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Montaña rusa 1
Yareli Jazmín Rodríguez López, María Teresa Izaguirre Hernández, Abril Valdez Rodríguez, Frida Michelle Méndez Ramírez.
1
Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingeniería de Guanajuato del Instituto Politécnico Nacional. Mineral de valenciana No. 200, C.P. 36275, Silao de la victoria, Gto.Méx.
Resumen Se desarrolló un modelo de montaña rusa, basado en un prototipo hecho a base de la construcción de funciones aplicando métodos de aproximación de funciones a partir de una gráfica.
OBJETIVO GENERAL Aplicar los conocimientos adquiridos de cálculo diferencial e integral en el
Reporte del proyecto Marco teórico. Montañas rusas. Las montañas rusas, (roller coasters) han sido un pasatiempo emocionante durante muchos años. La montaña moderna proviene de Rusia tal como su nombre lo indica. Muchos conceptos de la física son utilizados en el diseño de una montaña rusa. Actualmente, las montañas rusas diseñadas con ayuda de las computadoras para determinar las fuerzas óptimas para hacer de la montaña rusa una experiencia satisfactoria. Aproximación de funciones. Aproximar una función f(x) es encontrar la ecuación de la misma cuando no se conoce la función en todos los puntos. Se determina a partir del conocimiento del comportamiento de la curva que describa la gráfica. Existen diferentes tipos de aproximación:
Polinomios de Lagrange. Polinomios de Hermite.
Los polinomios Si-1 y Si interpolan el mismo valor en el punto ti, es decir, se cumple: Si-1(ti) = yi = Si(ti)
por lo que se garantiza que S es continuo en todo el intervalo. Además, se supone que S' y S'' son continuas, condición que se emplea en la deducción de una expresión para la función del spline cúbico.
Desarrollo de actividades. 1. Se realizó la investigación acerca de todo lo relacionado con montañas rusas, cuál fue su origen, los diferentes tipos de diseños que existen, el
deslizarse a través de la montaña y pudiese funcionar sin algún tipo de fuerza o impulso externo aplicado al carro.
X
y
-52
21
-36
12
-18
15
-4
12
10
15
24
10
37
15
52
21
67
21
25 20 15 Series1
10 5 0 -100
-50
0
50
100
5. Una vez ajustada la gráfica, y conociendo los puntos por los que pasa la misma se procedió a realizar una aproximación a la función utilizando regresión lineal, tomando trozos de la gráfica para determinar funciones por separado.
16 y = 0.0153x2 + 0.1224x + 12.245
14 12 10 8
Series1
6
Poly. (Series1)
4 2 0 -20
-10
0
10
20
16 y = -0.0204x2 + 0.3367x + 13.673
14 12 10 8
Series1
6
Poly. (Series1)
4 2 0 -10
0
10
20
30
6. En conocimiento de que algunos de los métodos para aproximar funciones tienen un margen de error, en este caso, se pudo apreciar a través de la regresión lineal, con la que se obtuvieron 7 polinomios de segundo grado, (sin tomar en cuenta la escalera que se define por una función simple de la forma y= mx+b) que definían al diseño de la montaña, que había algunas fluctuaciones en las funciones aproximadas con respecto a la gráfica original. Así que se desarrolló la aproximación polinomial a pedazos, utilizando splines cúbicos, para obtener una función definida en 7 polinomios de tercer grado.
Primero tabulamos los datos de los puntos de la función K
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Xk
-52
-36
-18
-4
10
24
37
52
67
Yk
21
12
15
12
15
10
15
21
21
Se resuelve el sistema matricial, sustituyendo los valores de: h0
2(h0 + h1) h1
h1 2(h1 + h2)
h2
h2
2(h2 + h3)
h3 ……. Etc.
Se construye el spline natural para todos los valores k = 0,1……..8
0
bk
-0.7907
1
-0.1057
2
3
4
5
6
7
8
-0.0593
0.0388
-0.0967
-0.1497
0.413
0.18
0
( )
()
()
Prototipo: Graficando la función en 2 partes, obtenemos lo siguiente, con lo cual comprobamos que la función se ajusta a la gráfica. Gráfica 1:
S0= Rojo
S1= Verde
S2= Azul
S3=Amarillo
Reporte de trabajo en equipo Calendario y distribución de actividades y responsabilidades. (adjunto página 14).
Reflexión de equipo. El proyecto fue una experiencia que nos retroalimento en muchos sentidos, tanto en el ámbito matemático como en el personal. Fuimos capaces de desarrollar un trabajo tomando en cuenta las diferentes opiniones de los integrantes, aprendimos a convivir y apoyarnos cuando algo no salía, esto fue fundamental para que el proyecto tuviera éxito. El trabajo en equipo resultó indispensable para integrar y plasmar los conocimientos adquiridos en el curso de cálculo, y así, buscar el método matemático más conveniente para obtener la función más aproximada de la montaña.
Reflexión individual. Abril Valdez Rodríguez.
cooperación, la aportación de ideas y conocimientos, fue grato realizar este proyecto con mis compañeras, tuvimos una buena convivencia y afianzamos lazos de compañerismo.
Yareli Jazmín Rodríguez López. El llevar a cabo el desarrollo de este proyecto, me ha dejado mucho aprendizaje, puesto que implementamos el uso de conceptos tanto de cálculo diferencial e integral, como de métodos numéricos, complementando así nuestros conocimientos adquiridos en el salón de clases. Además de todos los valores que apreciamos durante el arduo trabajo, que nos refuerzan vínculos entre compañeros, como son la tolerancia, el trabajo en equipo, la unión, la responsabilidad, entre otros.
Bibliografía.
Cronograma de actividades.
ACTIVIDAD/Responsables 1 2
3 4
Investigación de Montañas rusas. / Abril Valdéz, Frida Méndez. Esbozo de la gráfica. /María Teresa Izaguirre. Investigación de conceptos de física. / Abril Valdéz, Frida Méndez, María Teresa Izaguirre. Ajuste de la gráfica. /Yareli Rodríguez.
Octubre 27
28
29
x
x
x
30
Noviembre 31
1
2
3
4
6
7
8
9
10
11
12
x
x
x
x
x
13
14
15
16
17
18
19
x x
x x
x
Aproximación de funciones por regresión lineal. /Yareli Rodríguez. Desarrollo de splines cúbicos. / Todo el 6 equipo. Elección de materiales a utilizar para el 7 modelo físico de la Montaña Rusa. / Todo el equipo. Elaboración del modelo físico de la 8 montaña./Todo el equipo. Pruebas de funcionamiento. /Todo el 9 equipo. 10 Elaboración del reporte. /Todo el equipo.
x x
5
11
5
x
x
x x x
Entrega de reporte. / Todo el equipo.
Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingeniería campus Guanajuato
x
x x
IPN
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