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Competencia bajo equilibrio parcial Con reflexiones críticas acerca de la microeconomía neoclásica

Sergio Monsalve (con la colaboración de Erick Céspedes)

Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Económicas Escuela de Economía BOGOTÁ D.C.

SEMANA 1

Principios de la teoría del consumidor y maximización de la utilidad

1.1.

Introducción

Durante esta primera semana estudiaremos los principios básicos de la teoría del consumidor bajo competencia perfecta, haciendo particular énfasis en la epistemología que lleva a la formación de las demandas de este agente económico, que es el objetivo central. La teoría neoclásica logra esto mediante la maximización del gusto (deseo) por el consumo que tiene un consumidor (que aquí llamaremos “utilidad”), pero que está restringido por su presupuesto.

1.2.

La noción de consumidor y de utilidad

Un consumidor (en ocasiones también llamado “hogar”) es una persona, un grupo o una familia con un propósito de consumo unificado. La teoría neoclásica del consumo (o del consumidor) bajo competencia perfecta, busca entender el proceso de la formación de la demanda bajo los parámetros de la economía como ciencia natural; es decir, asumiendo a los consumidores como partículas y optimizando cierta función para obtener las demandas. Y el problema es: ¿cuál es esa función? Para definirla, la teoría neoclásica asume que, de alguna forma, existe un “deseo interno” del consumidor hacia las mercancías que le produce placer (o felicidad) y que lo lleva a demandar por ellas, pero que no está influenciado por hechos exteriores al consumidor. Ese placer que le produce obtener las mercancías y consumirlas, se mide en una escala cuantitativa de valoración uniforme, que la economía neoclásica simplifica, para propósitos analíticos, mediante una función: ella es la función de utilidad (o utilidad cardinal) que especificamos enseguida.

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1.3.

SEMANA 1. PRINCIPIOS DE LA TEORÍA

Principios de la función de utilidad

En adelante trabajaremos, fundamentalmente, con dos mercancías, x e y, aunque todo es posible entenderlo (y lo haremos ocasionalmente) en el caso de una sola mercancía o extenderlo, inmediatamente, a tres o más mercancías. Sin embargo, para nuestro propósito, en este texto, de estudiar economías bajo el criterio del equilibrio parcial, esto es suficiente, pues será usual interpretar a x como la mercancía a analizar, y a y (ye) como el “resto de mercancías”. Por su parte, asumiremos aquí que todo consumidor tiene su propia función de utilidad U (x, y) que mide, de alguna forma, la “satisfacción” (“placer”, “felicidad” o “bienestar”) que la canasta (x, y) le produce (figura 1.1). Esta es la “fuerza de atracción” o “deseo de consumo” hacia las diferentes combinaciones de bienes del mercado. Es típico asumir inicialmente y para propósitos analíticos, que U (x, y) es una función continua, monótona creciente en cada uno de sus argumentos (x e y)1 , y cuasicóncava2 en el primer cuadrante del plano cartesiano R2 . 3

Figura 1.1. Función de utilidad z = U (x, y).

Ejemplo 1. (Cinco funciones típicas de utilidad) Estas son cinco clases de funciones típicas, cada una con características particulares como funciones de utilidad: a) La primera función de utilidad que presentamos es la función Cobb-Douglas U (x, y) = xα y β con α, β > 0. 1 Es decir, si x aumenta, también aumenta U (x, y); y si aumenta y (ye), también aumenta U (x, y). 2 Una función de utilidad cuasicóncava en el primer cuadrante del plano cartesiano R2 , se define mediante la característica de que para todo nivel fijo de utilidad U0 , los conjuntos S = {(x, y)|U (x, y) ≥ U0 } son convexos. Esto significa que las curvas de indiferencia son curvas convexas al origen (ver Apéndice matemático al final del manual), como ilustraremos más adelante. 3 En ocasiones se requerirá que la función de utilidad sea cuasicóncava estricta para que los típicos resultados neoclásicos se tengan (ver Apéndice matemático al final del manual).

1.3. PRINCIPIOS DE LA FUNCIÓN DE UTILIDAD

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b) La segunda función de utilidad es la función Leontief U (x, y) = Min{αx, βy} con α, β > 0.4 c) La tercera función de utilidad es la función lineal U (x, y) = αx + βy con α, β > 0. d) La cuarta función de utilidad es la función cuasilineal U (x, y) = αu(x) + βy donde u(x) es una función cóncava estricta, con α, β > 0. e) La quinta función de utilidad es la función separable U (x, y) = αu(x) + βv(y) donde u(x) y v(y) son funciones cóncavas estrictas y α, β > 0. Las diferencias en comportamiento de cada una de estas funciones de utilidad, se irán develando a medida que avancemos en las cuatro primeras semanas.

1.3.1.

Hipótesis sobre las curvas de indiferencia: la utilidad ordinal

A partir de la función de utilidad U (x, y) es muy conveniente, desde el punto de vista del análisis gráfico, calcularle sus correspondientes curvas de nivel de utilidad (también llamadas curvas de indiferencia o de isoutilidad) U (x, y) = U0 donde U0 es una constante. Se trata de todos los planes de consumo (x, y) que tienen el mismo nivel de utilidad, es decir, que le producen al consumidor la misma satisfacción (figura 1.2). Veamos algunos ejemplos de esto.

Figura 1.2. Curvas de indiferencia U (x, y) = U0 .

Ejemplo 2 (Curvas de indiferencia) a) Comencemos construyendo las curvas de indiferencia en un caso particular (α, β = 1) de la función Cobb-Douglas: U (x, y) = xy = U0 , con U0 > 0. De donde, despejando, se obtiene que: y= 4 Aunque

U0 x

(hipérbolas)

esta función fue utilizada mucho antes por Walras (1874), entre otros.

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SEMANA 1. PRINCIPIOS DE LA TEORÍA Para dar una idea de cómo surgen estas (ver figura 1.3), basta con hacer U o = 1, y dibujar la hipérbola y = 1/x. Luego puede hacer U0 = 2, y construir la hipérbola y = 2/x; etc. Variando U0 encontrará todas las curvas de nivel.

Figura 1.3. Curvas de indiferencia para una función de utilidad tipo Cobb-Douglas.

b) Ahora construyamos las curvas de indiferencia para la función de utilidad de tipo Leontief U (x, y) = Min{x, y} con α = β = 1. Éstas satisfacen la ecuación Min{x, y} = U0 para U0 fijo. Las escuadras de la figura 1.4 describen bien estas curvas de nivel. Para construirlas, basta que el lector, por ejemplo, comience colocando U0 = 1, y pase a encontrar todas las canastas (x, y) tales que Min{x, y} = 1. Entonces encontrará puntos tales como (1, 1), (1, 2), (1, 3), . . . , etc; y también puntos tales como (2, 1), (3, 1), (4, 1),. . . , etc. Una vez el lector coloque estos puntos en la figura 1.4, encontrará la escuadra predicha en esa figura. Y, por supuesto, podemos hacer lo mismo con cualquier nivel U0 > 0 diferente de 1, para construir todas las curvas de nivel correspondientes a la función de utilidad de tipo Leontief.

Figura 1.4. Curvas de utilidad para una función de utilidad tipo Leontief.

c) Pasemos ahora a construir las curvas de nivel de un caso particular de una función lineal U (x, y) = x + y (donde α, β = 1). Éstas resultan al resolver la ecuación x + y = U0 y, por tanto, estas curvas de nivel son rectas de la forma y = U0 − x (ver figura 1.5).

1.3. PRINCIPIOS DE LA FUNCIÓN DE UTILIDAD

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Figura 1.5. Curvas de indiferencia para una función de utilidad lineal.

d) Las curvas de indiferencia √ del caso particular de la función de utilidad x+y se construyen escribiendo la ecuación U (x, y) = cuasilineal con U (x, y) = √ x + y = U0 . De donde (figura 1.6) se obtiene que √ y = U0 − x (parábolas)

Figura 1.6. Curvas de indiferencia para la función de utilidad cuasilineal U (x, y) = x1/2 + y.

e) Finalmente,√ las curvas de indiferencia de la función de√ utilidad separable √ √ U (x, y) = x + y, se construyen haciendo U (x, y) = x + y = U0 . De donde se obtiene que √ y = (U0 − x)2 Estas curvas de indiferencia son semejantes a las curvas de la figura 1.6. N

Ahora: la hipótesis de que U (x, y) sea una función continua, monótona creciente estricta en cada uno de sus argumentos (x e y)5 y cuasicóncava en el primer cuadrante del plano cartesiano R2 , conlleva, inmediatamente, cierto comportamiento general, también típico neoclásico, de las curvas de indiferencia: 5 Es decir, si x aumenta (aunque y (ye) esté fijo) entonces U (x, y) aumenta; y si y (ye) aumenta (aunque x esté fijo) entonces U (x, y) aumenta. Sin embargo, algunas funciones de utilidad no satisfacen esta condición, sino únicamente que si ambas cantidades (x e y) aumentan entonces la utilidad aumenta. A este último tipo de funciones les aplicaremos todos los criterios sobre la teoría que sean posibles, sin ignorar el hecho de que no satisfacen plenamente la condición de monotonicidad creciente estricta en cada uno de sus argumentos.

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SEMANA 1. PRINCIPIOS DE LA TEORÍA

i) Las curvas de indiferencia son continuas. Esta característica, trasladada de la función de utilidad (que es continua) a las curvas de indiferencia, nos asegura, de manera intuitiva, que ninguna curva de indiferencia puede “estar rota” (figura 1.7).6

Figura 1.7. Hipótesis de continuidad de las curvas de indiferencia. Es decir, las curvas de indiferencia no pueden estar “rotas”.

ii) Un aumento en las cantidades consumidas (de la mercancía x y de la mercancía y (ye)) implica un aumento de la utilidad. Por lo tanto, las curvas “más lejanas” del origen son las que tienen mayor nivel de utilidad. A esta característica la llaman “monotonicidad” de las curvas de indiferencia y es el resultado de que la función de utilidad sea monótona creciente en cada uno de sus argumentos (x e y) (figura 1.8).

Figura 1.8. A es menos preferido que B y que C (es decir, A tiene menos utilidad (U0 = 1)). Por su parte, B y C son indiferentes (ambas tienen la misma utilidad (U0 = 2)). Etc.

iii) Debe observarse que también las curvas de indiferencia satisfacen la “condición de transitividad” (que se ilustra en la figura 1.8) señalando, por ejemplo, que, dado que A es menos preferida que B (pues A está en una curva de indiferencia inferior a la curva de indiferencia en la que está B), y B menos preferida que D, entonces A es menos preferida que D. 6 Sin lugar a dudas esta hipótesis de continuidad sobre la función de utilidad y, por ende, sobre las correspondientes curvas de nivel es un artificio analítico que la economía neoclásica impone sobre sus elementos matemáticos para que haya mayor “tratabilidad analítica”. Es decir, para que los resultados deseados puedan obtenerse recurriendo a las herramientas del cálculo diferencial y del análisis real.

1.4. LA RESTRICCIÓN PRESUPUESTARIA

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iv) (Hipótesis de la dieta balanceada) Las curvas de indiferencia satisfacen la condición de “convexidad al origen” que, en ocasiones, se interpreta así (figura 1.9): las combinaciones convexas λ(x1 , y1 ) + (1 − λ)(x2 , y2 ) (con 0 < λ < 1) de las dos canastas (x1 , y1 ) y (y1 , y2 ) son “preferidas o indiferentes” (en términos de la función de utilidad) que la “especialización” consistente en escoger la canasta (x1 , y1 ) o la canasta (x2 , y2 ), que están en los extremos de la recta.

Figura 1.9. Convexidad de las preferencias: las combinaciones convexas son “preferidas” a la especialización (“hipótesis de la dieta balanceada”). Observe que si λ = 1 entonces la combinación convexa es la canasta (x1 , y1 ) de un extremo de la recta; y si λ = 0 entonces la combinación convexa es la canasta (x2 , y2 ) del otro extremo de la recta. Obviamente, si λ = 1/2 la combinación convexa corresponde a (1/2)(x1 , y1 ) + (1/2)(x2 , y2 ) que se ubica exactamente en la mitad de la recta; etc.

Por ejemplo, si este consumidor tuviera que elegir, por un lado, entre 10 manzanas y 2 libras de arroz (notada por la canasta (10,2)), y, por otro lado, entre 2 manzanas y 10 libras de arroz (notada por la canasta (2,10)), la característica de convexidad al origen de las curvas de indiferencia de este consumidor, nos indicará que, en lugar de esas dos canastas, preferiría “mezclarlas” consumiendo, por ejemplo, la canasta promedio 1/2(10, 2) + 1/2(2, 10) = (6, 6). Es decir, 6 manzanas y 6 libras de arroz. En otras palabras, los consumidores muestran un “gusto por la variedad”. Esta condición, debemos decirlo aquí, es una consecuencia directa de la cuasiconcavidad de la función de utilidad. (ver el Apéndice al final del libro).

1.4.

La restricción presupuestaria

Ahora pasamos al segundo instrumento (después de la función de utilidad o, equivalentemente, de las curvas de indiferencia en utilidad) en la teoría del consumidor. Esta es la restricción presupuestal que se define mediante la ecuación p1 x + p2 y = M donde p1 es el precio por unidad del bien x; p2 es el precio por unidad del bien y (ye); y M es el presupuesto (renta) que tiene el consumidor para gastar en las mercancías x e y. En principio, el presupuesto M no depende de los precios de los bienes x y y.7 Esta ecuación define todas las canastas (x, y) que se pueden consumir al gastarse todo el presupuesto M , bajo los precios p1 y p2 . 7 Siguiendo a Marshall (1890), el propósito inicial de la hipótesis de que M no dependa de los precios de mercado (por ejemplo, de los salarios y de rentas) es que el enfoque principal de

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SEMANA 1. PRINCIPIOS DE LA TEORÍA

Obsérvese que la recta que define la restricción presupuestal también se puede escribir de la forma y = −(p1 /p2 )x + (M/p2 ). Por ello, cuando x = 0 (es decir, no consumimos nada del bien x) obtenemos que el consumo del otro bien es y = M/p2 , que es el intercepto con el eje y (ye); y cuando y = 0 (es decir, no consumimos nada del bien y (ye)) obtenemos, despejando, que la cantidad consumida del otro bien es x = M/p1 , que es el intercepto con el eje x (figura 1.10).

Figura 1.10. Restricción presupuestaria: está compuesta por todas las canastas (x, y) que puede adquirir un consumidor con presupuesto M , a los precios de mercado p1 y p2 .

Sobre la restricción presupuestal podemos efectuar estática comparativa (ceteris paribus) de la siguiente manera: i) Cambio de M en la restricción presupuestal (figura 1.11): si aumenta el presupuesto M (permaneciendo constantes los precios p1 y p2 ), la recta presupuestaria se desplazará hacia arriba de manera rígida; pero si, por el contrario, el presupuesto M disminuye, la recta presupuestaria se desplazará hacia abajo.

Figura 1.11. Desplazamiento de la recta presupuestal por cambio en M . este trabajo es el equilibrio parcial, y asumimos que los mercados de las mercancías en que está interesado el consumidor, están aislados (por ejemplo, del mercado laboral o de capitales). Esto se diferencia del equilibrio general que es cuando estos mercados están integrados. De otro lado, se ha asumido que la restricción presupuestal es una igualdad de la forma p1 x + p2 y = M y no una desigualdad de la forma p1 x + p2 y 6 M (indicando esto último que el consumidor no se gasta necesariamente todo su presupuesto), debido a que, en general, en nuestro modelo, a mayor consumo de mercancías, mayor satisfacción (utilidad). Luego el consumidor querrá utilizar todo el presupuesto si quiere maximizar la utilidad.

1.4. LA RESTRICCIÓN PRESUPUESTARIA

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ii) Cambio de p2 en la restricción presupuestal (Figura 1.12): Si aumenta el precio p2 , la proporción M/p2 disminuirá (asumiendo que M y p1 permanecen fijos); y por lo tanto, la recta presupuestaria girará en sentido contrario de las manecillas del reloj, tal como aparece en la figura 1.12. Si, por el contrario, el precio p2 disminuye, entonces la proporción M/p2 aumentará (asumiendo, de nuevo, que M permanece fijo); y, por lo tanto, la recta presupuestaria girará en el sentido de las manecillas del reloj.

Figura 1.12. Rotación de la recta presupuestal ante un aumento en el precio p2 .

iii) Cambio de p1 en restricción presupuestal asumiendo que M y p2 permanecen fijos (Figura 1.13): El comportamiento gráfico es similar al aumento o disminución de p2 tratado en II) arriba.

Figura 1.13. Rotación de la recta presupuestal ante un aumento en el precio p1 .

Con lo anterior en mente, en la figura 1.14 podemos observar, en algunos casos, las oportunidades de consumo perdidas (o ganadas), debido a un cambio unilateral (ceteris paribus) de parámetros.

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SEMANA 1. PRINCIPIOS DE LA TEORÍA

Figura 1.14. Oportunidades de consumo perdidas por cambio en las variables de la recta presupuestal.

1.5.

El problema principal (primal) del consumidor y la curva de demanda

Uniendo ahora las dos piezas claves en la teoría del consumidor (función de utilidad y restricción presupuestaria), llegamos al problema principal de la teoría del consumo: Maximizar

U (x, y)

sujeta a

p1 x + p2 y = M

donde x, y > 0. Es decir, maximizar la satisfacción en el consumo, sujeta al presupuesto que se tenga disponible y a los precios del mercado (figura 1.15). El objetivo central al resolver este problema es encontrar sus soluciones óptimas (x∗ , y ∗ ), que, en adelante, llamaremos las demandas del consumidor por los bienes x e y. Es decir, se han construido las herramientas epistemológicas que nos dan cuenta de cómo se pueden formar las demandas en una economía bajo competencia perfecta. El proceso consiste (ver figura 1.15), en fijar la recta presupuestaria p1 x+p2 y = M , e ir aumentando paulatinamente la utilidad hasta alcanzar el máximo de ésta. Y esto se logra en la figura subiendo las curvas de nivel en el sentido noreste, lo más lejos posible del origen, pero sin despegarse definitivamente de la recta presupuestal. Veamos unos ejemplos de ello.

1.5. EL PROBLEMA PRINCIPAL DEL CONSUMIDOR

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y

Demandas (x*,y*) U(x,y)=U(x*,y*) y*

p1x+p2y=M

x

x*

Figura 1.15. El problema principal del consumidor. La solución (x∗ , y ∗ ) al problema, indica las demandas del consumidor por ambos bienes.

Ejemplo 3 (Demandas para utilidad de tipo Cobb-Douglas) Resolvamos del problema de consumidor Maximizar

xy

sujeta a

p1 x + p2 y = M

Solución La restricción p1 x + p2 y = M la podemos reducir a y=

M − p1 x p2

(1.1)

Y con esto, colocamos nuestro problema de optimización en la siguiente forma:   M x − p1 x2 x(M − p1 x) = Maximizar p2 p2 Derivando esta función cóncava estricta con respecto a x, e igualando a cero, obtenemos que M − 2p1 x = 0 y así M − 2p1 x = 0 p2 o bien, x=

M 2p1

y, reemplazando en (1.1), llegamos a que y=

M 2p2

Y así obtenemos las demandas marshallianas (en honor de Alfred Marshall) de este consumidor: M M ; y∗ = x∗ = 2p1 2p2

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SEMANA 1. PRINCIPIOS DE LA TEORÍA

Figura 1.16. Demandas en un caso Cobb-Douglas.

Noten que estas demandas son directamente proporcionales al presupuesto M , e inversamente proporcionales a su propio precio. Y, además, si el presupuesto y los precios se multiplican por la misma cantidad (es decir, se duplican, se triplican, etc.), las demandas marshallianas no cambian. Esto último sucede siempre con las demandas marshallianas, ya que al satisfacer la restricción presupuestaria, p1 x+p2 y = M , aquellas no cambiarán si los precios y el presupuesto se multiplican simultáneamente por un mismo número positivo cualquiera. Es decir, el consumidor competitivo no padece de “ilusión monetaria”. Ejemplo 4 (Demandas para utilidad de tipo Leontief) Si la función de utilidad a maximizar es U (x, y) = Min{x, y}, el problema planteado por el consumidor será: Maximizar sujeta a

Min{x, y} p1 x + p2 y = M

Sin embargo, este problema no puede resolverse utilizando análisis marginalista (es decir, con derivadas) como en el caso Cobb-Douglas, y tendremos que recurrir al método gráfico. En la figura 1.17 se ve que al subir las escuadras de isoutilidad en el sentido noreste, las demandas marshallianas serán iguales, pues los vértices de las escuadras de isoutilidad deben desplazarse siempre a lo largo de la recta y = x, hasta que el “último” vértice intersecte la recta presupuestaria. Así, las demandas marshallianas deben satisfacer x∗ = y ∗ . Y, por lo tanto, de la recta presupuestaria p1 x + p2 y = M se obtiene que p1 x∗ + p2 x∗ = M De manera que, despejando x∗ , se llega a que las demandas marshallianas estarán dadas por: M 8 x∗ = = y∗ p1 + p2 8 Detrás

de este proceso de optimización gráfico que conduce a demandas de la forma (x∗ , y ∗ )

1.5. EL PROBLEMA PRINCIPAL DEL CONSUMIDOR

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Figura 1.17. Demandas en un caso Leontief.

Observamos que estas demandas dependen de ambos precios (p1 y p2 ), algo que no sucede, por ejemplo, con las demandas de la función Cobb-Douglas. Lo que se tiene aquí es que esta función es utilizada cuando existe “complementariedad” uno a uno entre los dos bienes; por ejemplo, una cucharadita de azúcar por cada taza de café. Así, si el azúcar y el café son complementarios para este consumidor (su gusto lo obliga a acompañar uno con otro) entonces el precio de un bien afectará la demanda del otro bien. Algo similar ocurre, en general, con los automóviles y la gasolina. Ejemplo 5 (Demandas para la utilidad lineal) Como para U (x, y) = x + y tampoco es posible llevar a cabo análisis marginalista (es decir, con derivadas), entonces procedemos notando que si p2 > p1 , el consumidor se especializará en el consumo del bien con precio más bajo; es decir, gastará todo el presupuesto en el bien x, y nada en el bien y (ye). En efecto: llevando las rectas de indiferencia lo más lejanas posibles (moviéndose hacia el noreste) pero sin abandonar la recta presupuestaria, encontramos que en el punto A de la figura 1.18 las demandas son: x∗ =

M p1

;

y∗ = 0

Obviamente, si p1 > p2 entonces: x∗ = 0

;

y∗ =

M p2

Ya en el caso p1 = p2 , las demandas x∗ , y ∗ quedan determinadas únicamente por la restricción presupuestaria p1 x + p2 y = M , y el consumidor podrá elegir cualquier canasta (x, y) que le sea alcanzable con su presupuesto. con x∗ = y ∗ , está el razonamiento de que si sucediera, por ejemplo, x∗ < y ∗ , entonces Min{x∗ , y ∗ } = x∗ = Min{x∗ , x∗ }. Por lo tanto, reduciendo y ∗ hasta el nivel x∗ se obtendría el mismo nivel de utilidad pero gastando menos presupuesto. Obviamente, unas demandas x∗ , y ∗ donde x∗ < y ∗ no podrían ser óptimas, es decir, no podrían ser demandas marshallianas. No sobra agregar que algo similar sucedería si x∗ > y ∗ .

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SEMANA 1. PRINCIPIOS DE LA TEORÍA

Es usual recurrir a este tipo de función cuando el consumidor adquiere uno u otro bien de manera indiferente. Es decir, cuando un bien sustituye perfectamente al otro en el consumo, sin ninguna diferencia esencial. Esto es lo que ocurre de manera aproximada en algunos países, con la gaseosa Pepsi y la gaseosa Coca-Cola. O también con la mantequilla y la margarina.

Figura 1.18. Demandas en el caso lineal cuando p2 > p1 .

1.6.

Análisis marginalista del problema del consumidor 9

Ahora pasamos a caracterizar la ecuación marginalista general que deben satisfacer las demandas de un consumidor cuando la función de utilidad es diferenciable con continuidad y cuasicóncava estricta (que es muy usual en aplicaciones). Y aunque hasta ahora hemos resuelto el problema primal de este consumidor insertando la condición de presupuesto y = −(p1 /p2 )x + M/p2 en la función de utilidad, para después pasar a derivar e igualar a cero, el procedimiento que ahora comenzaremos a explicar nos llevará a entender mejor (y de una manera general) lo que, en estos casos importantes, está involucrado al interior del cálculo de sus demandas. Veamos. Recobrando inicialmente el problema del consumidor: Maximizar sujeta a

U (x, y) p1 x + p2 y = M

ahora lo resolvemos en forma general recurriendo al método de los multiplicadores de Lagrange. Para ello requerimos que la función U (x, y) sea cuasicóncava estricta 9 Los resultados que siguen podrían no ser válidos si la función de utilidad no es diferenciable con continuidad y cuasicóncava estricta. Por ello, casos como los de la función de utilidad de tipo Leontief o la función lineal quedan excluidas de este análisis. Para ellas se tendrá que recurrir a un método alternativo (por ejemplo, al método gráfico o a técnicas de optimización como el método Kuhn-Tucker). Este último es una generalización del método de Lagrange que utilizamos aquí, pero permite encontrar soluciones que pueden estar sobre los ejes x o y (ye) (ver, por ejemplo, Monsalve (ed.), Vol. III, 2010).

1.6. ANÁLISIS MARGINALISTA

27

y diferenciable con continuidad (es decir, derivadas parciales continuas) en el primer cuadrante del plano R2 .10 Escribimos el lagrangiano L = U (x, y) + λ(M − p1 x − p2 y) Y derivamos con respecto a x, y, λ: ∂U ∂L = − λp1 = 0 ∂x ∂x ∂U ∂L = − λp2 = 0 ∂y ∂y ∂L = M − p1 x − p 2 y = 0 ∂λ Esto nos lleva (dividiendo las dos primeras ecuaciones término a término después de simplificarlas) a las ecuaciones de equilibrio del consumidor: ∂U ∂x ∂U ∂y

=

p1 λp1 = λp2 p2

;

p1 x + p2 y = M

/∂x Al término ∂U ∂U /∂y se le llama “tasa marginal de sustitución entre las mercancías x e y”, por razones que entenderemos enseguida. Y, por lo tanto, la ecuación de equilibrio fundamental es: ∂U p1 ∂x = p2 ∂U ∂y

que se conoce como ecuación de equilibrio de Jevons (Jevons (1871), p. 100) y se lee: “tasa marginal de sustitución igual a la relación (o razón) de precios”. En la figura 1.19, se explica gráficamente la ecuación de Jevons. En el punto A de la recta presupuestaria, el consumidor puede ceder un poco del bien y (ye) y recibir del mercado una cantidad adicional del bien x, que lo ubica en el nuevo punto de consumo B. Éste también está en la recta presupuestaria pero notemos que ahora está en un nivel superior de utilidad (curva de indiferencia superior). De la misma forma, el consumidor puede ir entregando y recibiendo a cambio del mercado hasta llegar al punto E que es el de equilibrio y en donde deberá darse que la tasa marginal de sustitución es igual al nivel relativo de precios (ecuación de Jevons). Observemos que este punto de equilibrio sí le maximiza la utilidad al consumidor, puesto que si éste intentara seguir intercambiando en el mercado y 10 Ver

el Apéndice matemático al final del libro.

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SEMANA 1. PRINCIPIOS DE LA TEORÍA

pasara a un punto de la recta presupuestaria como F, entonces llegaría a un nivel de utilidad inferior.

Figura 1.19. En la asignación A es posible ir al mercado y cambiarla (a los precios corrientes) por la asignación B que da más utilidad, etc. Hasta llegar al punto E.

Pero entonces: ¿qué mide la tasa marginal de sustitución? Veamos esto. La curva de nivel que pasa por el punto de equilibrio E del consumidor (es decir, que pasa por las demandas marshallianas (x∗ , y ∗ )), satisface la ecuación U (x, y) = U (x∗ , y ∗ ) siendo U (x∗ , y ∗ ) = U0 una constante. Tomando entonces diferenciales totales (ver el Apéndice matemático) a ambos lados de la ecuación U (x, y) = U0 se obtiene que ∂U ∂U dx + dy = 0 ∂x ∂y ó

∂U ∂U dx = − dy ∂x ∂y

Y, de allí, obtenemos (figura 1.20) que: dy ∂U/∂x =− ∂U/∂y dx Es decir, las tasas marginales de sustitución coinciden con las pendientes de las rectas tangentes a las curvas de nivel. Así, la tasa marginal de sustitución mide la

1.6. ANÁLISIS MARGINALISTA

29

cantidad que debe aumentarse de y (ye) al disminuir “una unidad”11 de x, pero siempre manteniéndose en la misma curva de utilidad. Lo importante aquí es que, en equilibrio, esta tasa marginal de sustitución es, exactamente, la relación de precios p1 /p2 dada por el mercado (ver figura 1.20). y

U(x,y)=U0

1 x Figura 1.20. Descripción gráfica de la tasa marginal de sustitución.

La ecuación de equilibrio de Jevons (que algunos autores pioneros neoclásicos la asimilaban, para el consumo, a lo correspondiente a una “ecuación de calor”, o a una “ecuación termodinámica”) es una igualdad entre una tasa subjetiva de intercambio con una tasa real de intercambio en el mercado. Es decir, es la igualdad entre un “costo de oportunidad subjetivo” (del consumidor) con un “costo de oportunidad objetivo” (mercado), pues la tasa marginal de sustitución nos dice cuánto vale el bien 1 en términos del bien 2 para el consumidor (tasa subjetiva), mientras que el precio relativo nos dice cuánto vale el bien 1 en términos del bien 2 para el mercado (tasa objetiva). En definitiva, el consumidor deberá “adaptarse bien” al mercado para poder maximizar sus gustos, dado su presupuesto. Veamos algunos ejemplos de aplicación directa de la ecuación de Jevons para calcular las demandas marshallianas. Ejemplo 6 (Función de utilidad Cobb-Douglas generalizada) Para resolver el problema del consumidor de tipo Cobb-Douglas Maximizar sujeta a

xα y β p1 x + p2 y = M

escribimos directamente la ecuación “tasa marginal de sustitución = relación de precios”: p1 ∂U/∂x = ∂U/∂y p2 Ecuación de equilibrio (de Jevons) 11 Realmente

no es una unidad sino un diferencial dx.

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SEMANA 1. PRINCIPIOS DE LA TEORÍA

que, en este caso, es: αxα−1 y β p1 = α β−1 βx y p2 de donde obtenemos, cancelando términos, que p1 αy = βx p2 y así,

βp1 y = x αp2

Ahora colocamos esta ecuación en la restricción presupuestaria p1 x + p2 y = M , y obtenemos   βp1 x p1 x + p2 =M αp2 Y despejando x, se llega a:

x∗ =

αM (α + β)p1

Luego, llevando esto a la restricción presupuestal y despejando y (ye), obtenemos que βM y∗ = (α + β)p2 Con ello hemos encontrado las demandas marshallianas utilizando la ecuación de Jevons. Notamos que cada demanda sólo depende de su propio precio (ver figura 1.21).

Figura 1.21. Características de las demandas para las funciones de utilidad Cobb-Douglas.

Ejemplo 7 (Función de utilidad separable) En el caso

Maximizar

√ √ x+ y

sujeta a

p1 x + p2 y = M

1.7. EL CASO DE LA FUNCIÓN CUASILINEAL la ecuación de Jevons es O bien,

31

√ y p √ = 1 p2 x y = x



p1 p2

2

Ahora colocamos esta ecuación en la restricción presupuestaria p1 x + p2 y = M , y obtenemos  2 p1 p1 x + p2 x=M p2 y así,

x∗ =

M p2 p1 p2 + p1 2

y∗ =

M p1 p1 p2 + p2 2

y, por tanto,

Notemos que ambas demandas dependen de ambos precios y del presupuesto.

1.7.

El caso especial y fundamental de la función cuasilineal

Consideremos el caso general de la “función cuasilineal” de utilidad U (x, y) = U (x) + y donde U (x) es una función monótona estrictamente creciente, con continuidad en su derivada y también cóncava estricta. Estas condiciones de la función de utilidad U (x) caracteriza al consumidor con utilidad marginal decreciente; es decir, que aunque la utilidad crece indefinidamente, la utilidad marginal decrece indefinidamente, mientras más se consume del bien x.12 Sobre esto, Walras, Jevons y Marshall escribían: “El deseo que tenemos por las cosas, o la utilidad que las cosas nos dan, disminuye gradualmente a medida que el consumo aumenta.” (Walras, “Éléments”, 1874) “Cada incremento de un alimento es menos necesario o posee menos utilidad, que el previo.” (Jevons, “The Theory of Political Economy”, 1871) “La utilidad marginal de algo para cualquier persona, disminuye con cada aumento en la cantidad que ya tiene de ella.” (Marshall, “Principles of Economics”, 1920) 12 La razón en esto es que U ′ > 0 y U ′′ < 0. La primera es la condición de monotonicidad estrictamente creciente y la segunda condición es la de concavidad estricta. A este criterio se le conoce en la literatura como la “ley de la utilidad (marginal) decreciente”.

32

SEMANA 1. PRINCIPIOS DE LA TEORÍA

Este tipo de función de utilidad cuasilineal es importante porque concentra su atención en el comportamiento de la mercancía x, dejando la variable y (ye) para el “resto” del consumo. A esta variable y (ye), Marshall la llamaba “dinero” y Hicks la llamaba “poder adquisitivo general”, por razones que entenderemos enseguida.13 Escribiendo la ecuación de equilibrio de Jevons14 para este caso, obtenemos que p1 U ′ (x) = 1 p2 p1 ó U ′ (x) = p2 Si se asume p2 = 1 (numerario medido en “dinero”), entonces se llega a la ecuación de equilibrio del consumidor: U ′ (x) = p1 Utilidad marginal = precio

Figura 1.22. Decisión de consumo de un hogar que solo demanda un bien.

Es decir, para maximizar la utilidad, un hogar consume una cantidad x, de tal forma que su utilidad marginal sea igual al precio del mercado (figura 1.22). En 13 Esta hipótesis marshalliana de que la variable “y” es “dinero”, tiene una formulación formal muy precisa en la microeconomía moderna: se llama el “Teorema de la mercancía compuesta”, que muestra que si estamos interesados en modelar un mercado particular aisladamente, lo podemos hacer siempre que los precios de las otras mercancías (en este caso es sólo una (“dinero”)) se muevan en tándem (es decir, los precios de las otras mercancías suben todas o bajan todas). 14 Aquí estamos asumiendo que el problema de maximizar la función de utilidad U (x)+y sujeta a p1 x + p2 y = M tiene solución interior x > 0, y > 0. Como se puede ver (Ejemplo 4, Semana 2) la solución y > 0, exigirá que el presupuesto M sea relativamente alto con respecto a los precios. Es decir, en nuestro curso, este tipo de consumidor cuasilineal será uno que consumirá del bien x pero también “ahorrará” parte de su presupuesto M en dinero y (ye). Sin embargo, no sobra advertir que para presupuestos relativamente bajos, la solución óptima será x∗ = M/p1 , y∗ = 0. Pero en este curso estaremos repetidamente interesados en la solución con ambas demandas positivas.

1.7. EL CASO DE LA FUNCIÓN CUASILINEAL

33

otras palabras, consume hasta que al agregar “una unidad” más, la diferencia de utilidades coincide con el precio del mercado15 . A esta utilidad marginal, que es el “motor” del deseo por las mercancías por parte del consumidor16 , Walras la llamaba “rareté”; Jevons la llamaba “final degree of utility”; para Marshall era el “terminal valor-in-use”; y la Escuela Austríaca de Menger, la llamaba “Grenznutzen”. Note que si p1 crece, entonces, dada la concavidad estricta de la función de utilidad (utilidad marginal estrictamente decreciente), la cantidad consumida x, disminuye (ver figura 1.23).

Figura 1.23. A mayor precio del bien, menor consumo de éste.

Observemos también que a partir de la curva inversa de demanda U ′ (x) = p, si encontramos la función inversa de U ′ , que se escribe (U ′ )−1 , entonces la demanda por el bien x, x∗ = (U ′ )−1 (p), no depende del presupuesto M . La razón de esto, de acuerdo con la ecuación de Jevons, es que la utilidad marginal del bien y (ye) es 1 (uno). De hecho, en general, esto mismo se daría si esta utilidad marginal es constante, y para ello basta aplicar la ecuación de Jevons a una función de utilidad cuasilineal de la forma U (x, y) = U (x) + βy donde β > 0 es constante. Por ello, en una función cuasilineal, Marshall consideraba a esta variable y (ye) como “dinero” y Hicks la llamaba “poder adquisitivo general”: porque cada unidad adicional de dinero arrojaba una utilidad marginal igual, sólo ponderada por una tasa de interés constante. En consecuencia, a partir de este momento asumiremos convenientemente que la variable y (ye) está medida en dinero legal y, por consiguiente (para poder sumar en las mismas unidades U (x) y y (ye) en la función cuasilineal U (x, y) = U (x) + y) también la función de utilidad U (x) estará medida en dinero legal.17 15 Recuerde

el lector que, realmente, no es una unidad más, sino un diferencial (dx) más. la teoría neoclásica que son los cambios (en este caso de utilidad) los que producen “deseo” por las mercancías. 17 Aunque Marshall reconocía que esta utilidad podía medirse en dinero, no avanzó más allá en esta idea. 16 Afirma

34

SEMANA 1. PRINCIPIOS DE LA TEORÍA

√ √ Por ejemplo, si U (x, y) = x + y entonces U (x) = x, y así la curva de demanda 1 = p, lo que conlleva, despejando x, que la demanda marshalliana es U ′ (x) = 2√ x del bien x es: 1 (figura 1.24) x∗ = 2 4p p

a

Demanda por el bien x si la función de utilidad es

a/b

Figura 1.24.

x

Figura 1.25.


Otro caso, muy importante en la práctica, es cuando U (x, y) = ax − 2b x2 + y con a, b > 0 fijos y x > a/b. Entonces la demanda marshalliana x∗ por el bien x será dada por: p = a − bx∗

que es la demanda recta donde el máximo precio es p = a y la máxima cantidad del bien x es a/b (ver figura 1.25). Es decir, este consumidor se sacia con a/b unidades del bien x, lo que muestra el problema de la satisfacción de las necesidades totales del consumidor sin recurrir a los precios como señal de escasez. En su momento histórico de finales del siglo XIX todo esto se consideró, por parte de algunos economistas, como un descubrimiento de primer nivel científico: se había encontrado la ecuación que rige la demanda, como resultado de la utilidad marginal decreciente. Y además, esta demanda siempre era inversamente proporcional al precio, lo que era congruente con los datos empíricos de la mayoría de los bienes que se transaban en el mercado. Se había “descubierto” la ley de la demanda como consecuencia de la utilidad marginal decreciente.18 Cabe, no obstante, precisar aquí que Marshall fue el primero en deducir la curva de demanda a partir de una curva de utilidad separable con utilidad marginal del dinero constante. Jevons y Walras habían mostrado antes la relación entre utilidad y demanda pero no lo habían establecido formalmente. Y aunque Jevons postuló las funciones de utilidad separable (sin utilidad marginal del dinero constante), 18 Una importante crítica al mecanismo de hallar demandas suponiendo que el consumidor maximiza la utilidad sujeta a la restricción presupuestaria se encuentra al señalarse la concepción “típicamente burguesa” del individuo que aumenta su utilidad partiendo de su riqueza, en contraste con la gran masa de población en una sociedad capitalista, cuyo principal problema es el de no morir de hambre en lugar de mejorar sus condiciones.

1.8. COMPORTAMIENTOS DE LA CURVA DE DEMANDA

35

Walras solo recurrió a las curvas de utilidad marginal decreciente como curvas de demanda. Por ello, el que Marshall fuera pionero en utilizar funciones de utilidad separable con utilidad marginal del dinero constante, dio origen a múltiples críticas por parte de sus contemporáneos (y también de economistas posteriores). En su época, Marshall se defendió asegurando que su teoría económica era una descripción aproximada de la realidad que podía aplicarse (a diferencia de Walras y Edgeworth quienes estaban (afirmaba él) mucho más inclinados al formalismo y al rigor): “La función del análisis y la deducción en economía no es proveer de unas cuantas largas cadenas de razonamiento sino proveer de cadenas cortas y sencillos lazos de conexión.” (Marshall, “Principles of Economics”, 1920) Marshall siempre defendió sus hipótesis de utilidad separable y utilidad marginal del dinero constante sobre bases operacionales y, más aún, aseguraba que habrían pocos problemas prácticos para los que se requiriera hacer correcciones importantes a su teoría si se tenía en mente su objetivo práctico. Al final de cuentas, creía que la teoría pura no ayudaría a mejorar la situación de la humanidad tan inmediata y directamente como lo haría su teoría.

1.8.

Diversos comportamientos de la curva de demanda ante aumentos del presupuesto y del otro precio

En lo que sigue, y a través de ejemplos, mostraremos que no es posible asegurar a priori ningún comportamiento general de la demanda de un bien ante cambios en el presupuesto y en el precio de los otros bienes. Para ello, siempre es necesario observar cuidadosamente la función de utilidad que se está estudiando. Veamos. Ejemplo 8 Tomemos, por ejemplo, la demanda marshalliana del bien x de la función CobbDouglas dada por la ecuación x∗ =

αM (α + β)p1

Puede notarse que, aquí, un cambio en el precio p2 del bien y (ye) no altera la demanda del bien x, pero si el consumidor es “más rico” o “más pobre” (aumento o disminución del presupuesto M ), podrá haber desplazamientos hacia arriba o hacia abajo (respectivamente) de la curva de demanda (figura 1.26).

36

SEMANA 1. PRINCIPIOS DE LA TEORÍA

Figura 1.26. Curvas de demanda para la función de utilidad Cobb-Douglas.

Ejemplo 9 Ahora tomemos la √ demanda marshalliana del bien x∗ para la función separable de √ utilidad U (x, y) = x + y, dada por x∗ =

M p2 p1 p2 + (p1 )2

Aquí se tiene que si M aumenta (es decir, el consumidor es “más rico”), la demanda x∗ se desplaza hacia arriba. Y también observamos que sucede lo mismo si aumenta el precio p2 del bien 2. Esto último debido a que el consumidor, ante una subida del precio del bien y (ye), “sustituirá” en su consumo algo de este bien por un poco del bien x (ver figura 1.27). Vale la pena, en este punto, que el lector observe la diferencia entre este tipo de comportamiento de la demanda y el presentado en el ejemplo anterior de la demanda de la función Cobb-Douglas.

Figura 1.27. Comportamiento de la demanda x∗ para una función de utilidad separable.

1.8. COMPORTAMIENTOS DE LA CURVA DE DEMANDA

37

Ejemplo 10 Sabemos que si U (x, y) =

√ x + y la demanda marshalliana del bien x es: x∗ =

1 4p2

donde p es el precio del bien x indexado en dinero (es decir, p2 = 1). p1

No se tiene crecimiento de la demanda x* cuando el prespuesto aumenta

x*

Figura 1.28. Curva de demanda x∗ para la función de utilidad cuasilineal.

Observemos que este tipo de curva de demanda (figura 1.28) no se desplazará hacia arriba por un aumento del presupuesto del consumidor: es inmutable ante este cambio19 . Esto, evidentemente, contrasta con el comportamiento de las demandas presentado en los ejemplos 8 (función de utilidad Cobb-Douglas) y 9 (función de utilidad separable). Ejemplo 11 Si U (x, y) = Min{x, y} (función Leontief) la demanda marshalliana x∗ está dada por la ecuación M x∗ = p1 + p2 Entonces, ante aumentos en el presupuesto M , la curva de demanda se desplazará hacia arriba. Sin embargo, dada la “complementariedad” de los bienes x e y (ye), aquí ocurre que ante un aumento del precio p2 , la demanda del bien x disminuye, haciendo que la curva de demanda se desplace hacia abajo (ver figura 1.29). 19 Todo esto es así porque aquí hemos asumido que p = 1. No obstante, notemos que si p 2 2 varía (por ejemplo, por un cambio de denominación en los billetes o, aún, por devaluación de la unidad de medida del “dinero”, etc.) entonces la curva de la demanda marshalliana ascenderá a la manera usual. Este cambio es interpretable como un aumento presupuestal pues, al fin y al cabo, la mercancía y (ye) (que es “dinero”) y el presupuesto M están indexados en la misma unidad p2 .

38

SEMANA 1. PRINCIPIOS DE LA TEORÍA

Figura 1.29. Comportamiento de la demanda x∗ para una función de utilidad Leontief.

Resumiendo, debemos ser cuidadosos al afirmar que “un aumento de la riqueza desplaza la curva de demanda hacia arriba” o que “un aumento del precio del bien y (ye) desplaza la curva de demanda del bien x hacia arriba”. Lo que hemos estudiado aquí muestra que antes de hacer tales afirmaciones, es necesario observar el comportamiento analítico de la función de utilidad del consumidor. Inclusive, más adelante señalaremos un caso un tanto al margen pero radical, en el que es posible que baje la demanda cuando baja su propio precio (bien Giffen).

1.9.

Nota histórica

El concepto de “utilidad” podría seguirse hasta la antigua Grecia con una aplicación de las filosofías epicúrea (de Epicuro (341 a.C. – 270 a.C.)) y estoica, que enfatizaba en la formación voluntaria y consciente de los gustos y capacidades de disfrute que derivan en satisfacción. Así, el gusto de comer pan se debe un poco al pan pero más a la capacidad de disfrutarlo y concentrar la atención en esa sensación. Pero el punto central de esta filosofía no se detenía allí, sino que hacía énfasis en que uno podría (y debería) entrenar el gusto y concentrar la atención en él, de tal manera que sólo necesitara un pequeño pedazo de pan para quedar satisfecho; es decir, proclamaban la frugalidad y no el consumo sin aliento de la teoría económica neoclásica. Los utilitaristas clásicos, especialmente Jeremy Bentham (1748-1832), estaban bien advertidos del origen epicúreo del término y sus connotaciones para esta escuela helenista. Y es precisamente a Bentham a quien se le considera el “padre del utilitarismo”, es decir, de la tradición filosófica centrada en la idea de que la acción humana es explicable a través del deseo por alcanzar el placer y evitar el dolor. Precisamente la reducción de placeres y dolores a una escala cuantitativa de valoración uniforme está enraizada en el sistema utilitario de Bentham: es la imagen de una humanidad conformada por una masa de máquinas vivientes y calculantes. Hoy no hay duda (ver, por ejemplo, Stark (1946)) de que esta fue la base de la visión neoclásica de Jevons, Edgeworth y también Menger. Por ejemplo, para Jevons (1871) la economía es una teoría

1.9. NOTA HISTÓRICA

39

“enteramente basada en el cálculo de placer y dolor, y el objeto de la economía es maximizar la felicidad comprando placer al más bajo costo de dolor.” Sin embargo, las actitudes de Marshall y Walras no están tan comprometidas con el utilitarismo de Bentham. Por ejemplo, la posición de Marshall hacia el utilitarismo como teoría ética, es siempre matizada, y esto puede observarse por la progresiva limpieza de ideas utilitaristas en sus escritos, movido por su convicción de las implicaciones éticas de la teoría económica: “Se asume que la utilidad está correlacionada con el desear o el querer. Ya se ha explicado que los deseos no pueden medirse directamente, sino únicamente de manera indirecta a través de los fenómenos visibles a los que ellos dan origen; y en el caso que tiene que ver principalmente con la economía, están principalmente implícitos en el precio que una persona está dispuesta a pagar por satisfacer su deseo. (...)” (Marshall, “Principles of Economics”, 1920) Por su parte, en Walras se atisbaba el principio regidor de la satisfacción utilitarista benthamita, pero su presencia no era explícita en tal sentido. Precisamente sobre el cálculo de las demandas a partir de la maximización de la utilidad, Walras (1909) decía lo siguiente: “Los fenómenos mecánicos son exteriores, pero los fenómenos económicos (de la demanda) son interiores. Se tienen instrumentos para determinar la atracción de los astros los unos hacia los otros, pero no se tienen para medir la intensidad de las necesidades en las personas que intercambian. Pero no importa, puesto que cada individuo que intercambia se encarga de operar él mismo esta medida, consciente o inconscientemente, y de decidirlo en interior profundo. (. . . )” “Que la medida sea exterior o que sea interior, en razón de que los hechos que se van a medir sean físicos o psíquicos, no impide que exista esta medida; es decir, que sea posible la comparación cuantitativa.” Y agregaba: “Así como las fuerzas serán causa del espacio recorrido por un objeto, y las masas serán causa del tiempo empleado en recorrer ese espacio, las utilidades (y las “raretés”) serán la causa de la demanda.”20

1.9.1.

Nota sobre las características de la función de utilidad

En los años posteriores a 1870, Jevons y Walras elaboraban sus teorías de la demanda (y del intercambio) dependiendo crucialmente de la hipótesis de que 20 “La “rareté” es la derivada de la utilidad efectiva respecto a la cantidad poseída, exactamente como se define la velocidad: la derivada de la distancia recorrida respecto al tiempo empleado en recorrerla” (Walras, 1874).

40

SEMANA 1. PRINCIPIOS DE LA TEORÍA

la función de utilidad era aditiva; es decir, de la forma ya estudiada U (x, y) = U (x) + V (y). En 1881, Edgeworth mostraba que esa hipótesis era poco realista, aunque no ahondó en el problema de generalizar los tipos de funciones de utilidad. Sin embargo, unos años más tarde, a principios del siglo XX, Pareto (1906) y Slutsky (1915), entre otros, mostraron cómo construir una teoría sistemática de la demanda del consumidor con funciones de utilidad no necesariamente aditivas. Y fueron ellos también quienes dieron las condiciones analíticas para que las curvas de indiferencia fueran “convexas al origen”. Sobre lo anterior discutiremos un poco más en las siguientes semanas.

Ejercicios (Observación: Los ejercicios señalados con uno o dos asteriscos ((∗) o (∗∗)) tienen, a juicio del autor, un nivel de dificultad un tanto o muy superior, con respecto a los ejercicios corrientes que aparecen sin asterisco.) 1. Responda las siguientes preguntas: a) ¿Por qué dos curvas de nivel de utilidad no pueden interceptarse? b) ¿Puede ser que la restricción presupuestaria sea la misma, incluso en el caso de hogares cuyas preferencias son diferentes? c) ¿Por qué los precios p1 y p2 explícitos en la recta presupuestal del consumidor competitivo están medidos en precio por unidad? Es decir, ¿por qué no pueden adquirir a precios por docena, por centena, etc., de tal manera que a algunos consumidores les resultara menos costoso comprar cantidades grandes del bien que quieren consumir? 2. Dibuje las curvas de indiferencia (o de isoutilidad) en el primer cuadrante (conjunto de canastas) R2 + , para las siguientes funciones de utilidad: a) b) c) d) e) f)

U (x, y) = 5x + 3y U (x, y) = Min{3x, 7y} U (x, y) = ln(1 + x) + y U (x, y) = ln(1 + x) + ln(1 + y) U (x, y) = yex U (x, y) = (x − 1)(y − 1) (con x > 1, y > 1)

Observe cuidadosamente las diferencias entre estos tipos de curvas de indiferencia. 3. Mabel consumía 100 unidades de X y 50 unidades de Y . El precio de X aumentó de 2 a 3. El precio de Y permaneció en 4. ¿En cuánto tendría que aumentar la renta de Mabel para que pueda permitirse el continuar adquiriendo exactamente 100 unidades de X y 50 unidades de Y ? 4. Julián tiene como función de utilidad U (x, y) = xy para los duraznos (x) y los bananos (y). Supongamos que el precio de los duraznos es 1, el precio de los bananos es 2 y su presupuesto es 40.

EJERCICIOS

41

a) En un gráfico, trace la recta presupuestaria de Julián. Indique algunos puntos de su curva de indiferencia que correspondan a un nivel de utilidad de 150. Ahora indique algunos puntos de la curva de indiferencia correspondientes a un nivel de utilidad de 300 y dibuje esta curva también. b) ¿Puede adquirir alguna cesta que le permita obtener una utilidad de 150? c) ¿Puede adquirir alguna cesta que le permita obtener una utilidad de 300? d) ¿Existe en el gráfico una cesta que Julián pueda adquirir y que corresponda a una utilidad superior a 150? e) ¿Cuál es la tasa marginal de sustitución de Julián en el tiempo en que consume 8 duraznos y 50 bananos? 5. Lo mismo que en el ejemplo anterior, pero ahora Julián tiene, en cada caso, la función de utilidad a) U (x, y) = Min{x, y} b) U (x, y) = x1/2 + y 1/2 c) U (x, y) = x1/2 + y 6. Para la función de utilidad U (x, y) = 4x2 + 6y: a) Calcule la tasa marginal de sustitución. b) ¿A medida que el consumidor sustituye x por y (ye), se tiene que esta tasa crece, decrece o permanece constante? c) ¿Contradice lo anterior la hipótesis de cuasiconcavidad en las curvas de isoutilidad? 7. (Un caso especial) A Jorge Luis le gusta el pan pero es indiferente ante el queso (bien neutral). Muestre que las curvas de indiferencia son verticales si en el eje x se colocan las cantidades de pan y, en el eje y (ye), el queso. 8. (Otro caso especial) ¿Podría dibujar curvas de indiferencia que describan el comportamiento de un consumidor que se sacia con 10 tazas de agua y 10 cucharaditas de café instantáneo? (Sugerencia: Considere el caso no-típico U (x, y) = −(x − 10)2 − (y − 10)2 . Note la no-convexidad al origen de las curvas de nivel.) 9. (Un consumidor sin la propiedad de convexidad en las preferencias) Dibuje las curvas de indiferencia de Mercy cuyos gustos están definidos por la función de utilidad U (x, y) = Max{x, y} donde “Max” significa “Máximo”. Interprete el comportamiento de Mercy, en especial con respecto a la propiedad de convexidad al origen de las preferencias (¿le gusta a Mercy “mezclar” en el consumo?) 10. a) Encuentre una función de utilidad que pueda representar a un consumidor tal como Diego, que siempre prefiere su taza de café con dos cucharaditas de azúcar. (Sugerencia: Piense en una función de utilidad Leontief conveniente).

42

SEMANA 1. PRINCIPIOS DE LA TEORÍA b) (Sobre la divisibilidad de las mercancías) Similarmente al caso a) anterior, encuentre una función de utilidad que represente a un consumidor de automóviles y de llantas; es decir, existe una relación automóviles/llantas=1/5. ¿Qué sentido tiene la canasta (1.5, 7.5)? ¿Es decir, qué significa consumir 1.5 automóviles y 7.5 llantas? Más aún: ¿Qué significado tiene afirmar que esta canasta es indiferente a la canasta (1.6, 7.5)? El problema que se plantea aquí es el de la “divisibilidad de las mercancías” que está concebida como un comportamiento ajeno al modelo neoclásico: para éstos es usual asumir que todas las mercancías son divisibles en cada posible medida (medios, tercios, cuartos, etc.).

11. a) ¿Es la cocaína un “bien” para el consumidor en el sentido que se estudia en este curso, aún sabiendo que puede ser dañina para el consumidor? Explique. Similarmente para el tabaco y el alcohol. ¿Podría analizarse de manera similar los alimentos altos en colesterol? b) (Sobre la saciedad de un consumidor) ¿Si un consumidor solo compra las cantidades de pan que necesita, compraría más si baja el precio? ¿Contradice esto la ley de la demanda? ¿Será este un consumidor que se sacia? Explique. c) En el mismo sentido del literal anterior, ¿cómo podría modelarse el consumidor que, en determinado período, necesita (y compra) un solo refrigerador? 12. ¿Cuáles serían las demandas marshallianas si un bien es deseado y el otro es neutral, asumiendo que la recta presupuestaria es p1 x + p2 y = M ? 13. Es usual escribir la recta de demanda inversa de un consumidor (es decir, la función inversa de la demanda) en la forma p = a − bx donde a, b > 0. ¿Cuál sería la recta de demanda agregada (es decir, la suma de las demandas de los consumidores) si a este consumidor se le adicionaran N consumidores idénticos a él? ¿Qué sucedería con la demanda agregada si, como se asume usualmente en competencia perfecta, N es “muy grande”? Interprete este resultado. 14. (∗) Calcular las demandas (estableciendo las condiciones sobre M , p1 y p2 , para los que esto es posible) para la función de utilidad U (x, y) = (x − x2 ) + y (Sugerencia: Dibujar las curvas de indiferencia y notar que, en algunos casos, la solución óptima y ∗ es negativa, algo que no puede darse en una demanda.) 15. (∗) Calcular las demandas (cuando sea posible) para la función de utilidad de tipo Gossen (1854) U (x, y) = α + (βx−δx2 ) + (γy − µy 2 ) donde α, β, δ, γ, µ > 0.

EJERCICIOS

43

16. Calcular las demandas marshallianas para la función de utilidad cuasilineal U (x, y) = U (x) + y = xα + y para 1 > α > 0. 17. Calcular la demanda por el bien x para la función de utilidad cuasilineal 1 U (x, y) = U (x) + y = − e−ax + y a

(a > 0)

Note que la función U (x) es creciente, aunque es siempre negativa. Esto no debería ser causa de evitarla como función de utilidad. ¿Por qué? 18. (∗) Calcular las demandas marshallianas en los siguientes casos: a) U (x, y) = xy + xy 2 b) U (x, y) = xy + x + y c) U (x, y) = xy + Min{x, y} Dibujar las respectivas curvas de nivel. 19. (∗∗) ¿Será posible calcular las demandas marshallianas en el caso agregado U (x, y) = Max{Min{2x, y}, Min{x, 2y}}? [Sugerencia: Dibuje las curvas de nivel cuidadosamente. Observe que es posible la no-convexidad al origen de las preferencias e interprete esto.] 20. (∗∗) Lo mismo que en el caso anterior para la función de utilidad U (x, y) = 2x + 2y −

2 2 1 − 2− +1 3x2 3y 2xy

21. (∗) Similarmente que en los dos casos anteriores, para la función de utilidad ( xy si x > 1 U (x, y) = y si x < 1 Interprete el comportamiento de este consumidor.

SEMANA 5

Principios de la teoría de la producción y maximización del beneficio

5.1.

Introducción

Así como la teoría neoclásica del consumidor se basa en la función de utilidad, también la teoría de la producción se basa en su propia función: la función de producción. Una función de producción es una regla explícita que transforma, de manera óptima, insumos (o factores) en productos. Es la “caja negra” de la teoría de la producción neoclásica, pues resume de una manera reduccionista, todo el proceso productivo interno de la empresa o firma: se asume que los problemas de eficiencia técnica que involucran ingeniería y administración dentro de la empresa, están totalmente representados, de alguna forma, por esa función. En esta semana estudiaremos el concepto de función de producción, su relación con la noción de rendimientos a (de) escala y la conexión de éstos con el problema fundamental del productor según la teoría neoclásica: maximizar el beneficio de la empresa (ingresos menos costos) sujeto a la restricción tecnológica (función de producción). Señalemos que en el propósito de las empresas al maximizar el beneficio, también surgirán las correspondientes demandas por los insumos y, fundamentalmente, la oferta de la empresa al mercado. No sobra aclarar que, en esta instancia, maximizar beneficios significará hacer la mayor cantidad de dinero posible (dinero respaldado por autoridad monetaria) que bajo un régimen de propiedad privada e independientemente de la forma legal de la empresa (sociedad limitada, anónima, etc.), irá al presupuesto de los dueños y de sus familias, quienes, a su vez, invertirán una parte de éste en la misma empresa o en diferentes activos, aunque también de allí partirá el presupuesto para gastar en consumo. Y sabemos que, en general, a más ingreso, mayor satisfacción de las 121

122

SEMANA 5. PRINCIPIOS DE LA TEORÍA DE LA PRODUCCIÓN

familias (medido por su función de utilidad). Así, desde la perspectiva neoclásica, un motor de fondo (o incentivo) del mercado bajo competencia perfecta por parte de los consumidores y también de los productores es el gusto por el consumo.

5.2.

Características de la función de producción neoclásica

En nuestro curso, estudiaremos funciones de producción de sólo uno o dos insumos (o factores) y un producto. La generalización a más de dos insumos es directa e inmediata; sin embargo, la generalización a varios productos es mucho más complicada (conocidas como “economías de alcance”). Y la razón fundamental para que solo estudiemos funciones de producción de un solo producto, es que nuestro norte inicial es el análisis del equilibrio parcial competitivo de la industria de un solo bien, entendiendo esto, claro está, como otra simplificación conveniente de la estructura de mercado. Una función de producción es una función de la forma f : R+ → R+ x → f (x)

(un solo insumo x)

o de la forma F : R2+ → R+

(x, y) → z = F (x, y)

(dos insumos x e y)

Allí, x e y nos indican las respectivas cantidades no-negativas de esos insumos (o factores)1 y z = F (x, y) es la cantidad máxima producida con esos insumos. Asumiremos, usualmente, que tanto y = f (x) como z = F (x, y) son funciones cuasicóncavas2 , diferenciables con continuidad R++ (números reales estrictamente positivos) o en R2++ (primer cuadrante del plano cartesiano, pero sin incluir los ejes)3 ; con f (0) = 0 y 1 Los

insumos o factores son aquellos bienes de la economía que son utilizados para la producción de otro bien. Por ejemplo, en la construcción de una casa requeriremos de tierra, mano de obra, ladrillos, cemento, vidrios, etc. Más adelante, observaremos que la economía neoclásica distingue factores de capital (K) y de trabajo (L). En la variable K incluye bienes tales como maquinaria, edificios (también los ladrillos, el cemento y los vidrios), etc. Y en la variable L amalgama el factor humano de trabajo desde el obrero raso hasta el trabajador más calificado. 2 Esta condición sobre la función de producción es, para la teoría neoclásica, muy conveniente analíticamente. En particular va a permitir asegurar la minimización de los costos de la empresa. No sobra aclarar aquí que esta hipótesis también lleva a que las curvas de nivel F (x, y) =constante sean similares (por su convexidad al origen) a las correspondientes curvas de nivel de una función de utilidad analizadas en la Semana 1. Y, por consiguiente, también está diciendo que la “combinación de insumos” conduce a más altas producciones. Si el lector está interesado en revisar de nuevo la noción formal de cuasiconcavidad, puede consultar al Apéndice matemático al final del libro. 3 Cabe observar que algunas funciones de producción muy importantes pueden no satisfacer esta condición de diferenciabilidad con continuidad. No obstante, le aplicaremos a estas funciones todo el análisis que nos permita, aunque sin involucrar, obviamente, ninguna derivada.

5.2 FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN NEOCLÁSICA

123

F (0, 0) = 0, respectivamente. Adicionalmente, será usual que supongamos que las funciones de producción tienen la condición de que a mayor cantidad de insumos, más producción; es decir, presentan lo que en adelante llamaremos “productividades marginales estrictamente crecientes” en cada uno de los insumos: i) En el caso de una función de producción con un solo insumo f (x), tendremos f ′ (x) > 0

(figura 5.1)

(producción marginal positiva) en R++ .

Figura 5.1. Ejemplo de una función de producción con sólo un insumo.

ii) Y en el caso de una función F (x, y) con dos insumos, tendremos ∂F >0 , ∂x

∂F >0 ∂y

(figura 5.2)

(producciones marginales positivas)4 en R2++ . Cabe observar que, en la práctica, una función de producción con un sólo insumo de la forma f (x), se puede entender como una función de dos variables F (x, y) pero en la que el insumo y (ye) es constante. Es decir, F (x, k) = f (x), donde la producción se realiza con x variable pero con y = k constante. Más adelante comprenderemos que cuando una empresa no puede varias todas las cantidades de insumos, sino que algunos de ellos permanecen fijos por un período de tiempo, habrá que distinguir la producción entre el corto plazo y largo plazo. En el corto plazo, algunos factores pueden permanecer fijos. En el largo plazo, todos los factores son variables.5 4 No sobra agregar aquí que también existen ejemplos muy importantes de funciones de producción que no satisfacen la condición de productividades marginales estrictamente crecientes. Ese es el caso de la función de producción z = F (x, y) = Min{x, y} que estudiaremos más adelante. 5 Realmente, deberíamos escribir f (x) en lugar de f (x). Sin embargo, a menos que debamos k especificar esto, asumiremos que una función de la forma f (x) representa una tecnología en la que el insumo y (ye) está fijo en algún nivel k.

124

SEMANA 5. PRINCIPIOS DE LA TEORÍA DE LA PRODUCCIÓN

y

Figura 5.2. Función de producción con dos insumos.

Ejemplo 1. (Construcción de una función de producción) Según la perspectiva neoclásica y en versión muy simplificada, toda empresa debería estar en condiciones de construir datos a la manera del Cuadro 5.1 ó del Cuadro 5.2. Obviamente, en teoría, cualquier empresa podría construir tablas mucho más completas y detalladas de sus necesidades de insumos y de su producción óptima, resumidas y extrapoladas en su función de producción. x=mano de obra (en horas) 1 2 3 5 7 9

y=máquinas 1 1 1 1 1 1

f (x)=producción máxima 1 1.5 2 3 3.5 4

Cuadro 5.1. Producción con un solo insumo variable (mano de obra) y otro fijo (máquinas), que podría dibujarse (extrapolando valores) mediante una gráfica como la de la figura 5.1

x=mano de obra (en horas) 1 2 3 5 7 9

y=máquinas 1 1 2 3 4 6

F (x, y)=producción máxima 1 1.5 2.5 3.5 4.2 7

Cuadro 5.2. Producción con dos insumos variables (mano de obra y máquinas), que podría dibujarse (extrapolando valores) mediante una gráfica como la de la figura 5.2

5.3. RENDIMIENTOS A ESCALA

5.3.

125

Rendimientos a escala6

Para propósitos analíticos que entenderemos más adelante (fundamentalmente para diferenciar el tipo de empresas que opera bajo competencia perfecta), la teoría neoclásica divide, de manera no-exhaustiva, las funciones de producción de uno o dos insumos (f (x) ó F (x, y)) en tres clases: funciones de producción con rendimientos decrecientes, constantes y crecientes a escala 7 . Veamos esto con detalle. i) Una función f (x) o F (x, y) tiene rendimientos decrecientes a escala si, para todo escalar t > 1, respectivamente, f (tx) < tf (x)

(para un insumo)

F (tx, ty) < tF (x, y)

(para dos insumos)

Así, por ejemplo, si se duplican (t = 2) los insumos (factores), la producción estará por debajo del doble de la producción inicial. Similarmente, si se triplican (t = 3) los insumos (factores), la producción estará por debajo del triple de la producción inicial; etc. (figura 5.3). En la práctica, es corriente asociar los rendimientos decrecientes a escala con: Factores fijos: por ejemplo, la tierra. Ineficiencia tecnológica. Ineficiencia administrativa: dificultades en la organización, coordinación e integración que surgen en la administración de una empresa. Número grande de trabajadores: puede no funcionar tan bien como los pequeños equipos. Sin embargo como entenderemos más adelante, la primera justificación (factores fijos) es la más socorrida cuando de hablar de rendimientos decrecientes a escala bajo competencia perfecta, se trata. 6 En

ocasiones, también llamados rendimientos de escala. concepto de rendimientos a escala, en el sentido tecnológico, es tan antiguo como la economía misma, aunque no fue cuidadosamente definido hasta, quizás, Alfred Marshall (1890). Marshall utilizaba el concepto de rendimientos a escala para capturar la idea de que las firmas pueden, alternativamente, enfrentar “economías de escala” (es decir, ventajas de tamaño) o “deseconomías de escala” (desventajas de tamaño), y presentaba razones por las cuales las firmas podrían enfrentar rendimientos a escala cambiantes. La definición del concepto de rendimientos a escala fue discutido posteriormente, con más profundidad y rigor, por Wicksell (1900, 1901, 1902), Wicksteed (1910), Sraffa (1926), Keynes (1932) y Hicks (1932, 1936), entre otros. 7 El

126

SEMANA 5. PRINCIPIOS DE LA TEORÍA DE LA PRODUCCIÓN y=f(x) y=tf(x) tf(x*) y=f(x) *

f(tx )

x*

tx*

x

Figura 5.3. Típica función de un solo insumo con rendimientos decrecientes a escala. Obsérvese que f (tx∗ ) < tf (x∗ ) para todo t > 1 y x∗ fijo.

Concatenado con esto, existe un resultado muy útil (y que no probaremos aquí)8 , que caracteriza cuándo una función de producción de un solo insumo tiene rendimientos decrecientes a escala. Es el siguiente: “Toda función de producción f (·) cóncava estricta con f (0) = 0, tiene rendimientos decrecientes a escala.” De esta manera, si la función de producción f (·) satisface f (0) = 0, f ′ > 0 y f ′′ < 0, entonces presenta rendimientos decrecientes a escala. Así, con este resultado se puede asegurar que, por ejemplo, las funciones f (x) = xα para 0 < α < 1 y f (x) = ln(1 + x) tienen rendimientos decrecientes a escala. Es muy importante advertir que las funciones f (·) con las características f (0) = 0, f ′ > 0 (marginalidad creciente) y f ′′ < 0 (rendimientos marginales decrecientes) son, para la economía neoclásica, las más típicas con rendimientos decrecientes a escala, y serán a ellas a las que usualmente nos referiremos (a menos que se especifique algo distinto) como “funciones de producción con rendimientos decrecientes a escala con un solo insumo”. Notemos, además, que estas tres condiciones significan, respectivamente, que: I) No puede producirse algo a partir de nada (f (0) = 0); II) Más insumos implican mayor producción (f ′ > 0); productividad marginal decreciente (f ′′ < 0), es decir, a mayor cantidad de utilización del insumo x, menor es la productividad marginal f ′ (x).9 ii) Una función f (x) o F (x, y) tiene rendimientos constantes a escala si, para 8 Para

su demostración, ver Monsalve (ed.) (2010), Vol. III. existe un criterio diferencial para que una función de producción con dos insumos, F (x, y), tenga rendimientos decrecientes a escala: Debe satisfacer F (0, 0) = 0, ∂F/∂x > 0, ∂F/∂y > 0 y ser cóncava estricta. Pero para entender este concepto aquí, necesitaríamos que el lector ya hubiera conocido de antemano el cálculo de varias variables más a profundidad. En el Apéndice matemático se presenta la noción de concavidad de una función de dos variables F (x, y). 9 También

5.3. RENDIMIENTOS A ESCALA

127

todo escalar t > 0, respectivamente, f (tx) = tf (x) F (tx, ty) = tF (x, y)

(para un insumo) (para dos insumos)

Así, por ejemplo, si se duplican (t = 2) los insumos (factores), la producción será igual al doble de la producción inicial. Similarmente, si se triplican (t = 3) los insumos (factores), la producción será igual al triple de la producción inicial; etc. (figura 5.4).

Figura 5.4. Típica función de un solo insumo con rendimientos constantes a escala. Obsérvese que f (tx∗ ) = tf (x∗ ) para todo t > 0 y x∗ fijo.

iii) Una función f (x) o F (x, y) tiene rendimientos crecientes a escala si, para todo escalar t > 1, respectivamente, f (tx) > tf (x)

(para un insumo)

F (tx, ty) > tF (x, y)

(para dos insumos)

De esta manera, si se duplican los insumos (factores), la producción estará por encima del doble de la producción inicial. Similarmente, si se triplican los insumos (factores), la producción estará por encima del triple de la producción inicial; etc. (figura 5.5). Y, por supuesto, podemos identificar algunas funciones de producción (para un solo insumo) con rendimientos crecientes a escala mediante el siguiente resultado: “Toda función de producción f (·) convexa estricta, con f (0) = 0, tiene rendimientos crecientes a escala.” 10 10 Para

su demostración, ver Monsalve (ed.) (2010), Vol. III.

128

SEMANA 5. PRINCIPIOS DE LA TEORÍA DE LA PRODUCCIÓN y=f(x) y=tf(x)

y=f(x)

f(tx*) tf(x*)

x*

tx*

x

Figura 5.5. Típica función de un solo insumo con rendimientos crecientes a escala. Obsérvese que f (tx∗ ) > tf (x∗ ) para todo t > 1 y x∗ fijo.

De esta manera si f (0) = 0, f ′ > 0 (marginalidad creciente) y f ′′ > 0 (rendimientos marginales crecientes) entonces la función de producción tiene rendimientos crecientes a escala. Ejemplos funcionales de esto son f (x) = xα con α > 1, y también f (x) = ex − 1. De otro lado, es posible encontrar descripciones de funciones de producción que tienen diferentes rendimientos a escala para diferentes niveles de producción (ver figura 5.6). Por ejemplo, cuando una firma produce pequeñas cantidades, puede mostrar rendimientos crecientes a escala debido a que podría hacer un uso más eficiente de los recursos; pero si produce grandes cantidades enfrentaría rendimientos decrecientes ya que un aumento en el tamaño de la empresa haría, quizás, más ineficiente la producción (Wicksell 1901, 1902).

Figura 5.6. Función de un sólo insumo sin rendimientos a escala específico.

También, en ocasiones, se justifica este tipo de comportamiento con la idea de que un factor (usualmente, mano de obra) es variable y el otro (usualmente, capital)11 11 Más adelante señalaremos que la hipótesis de tratar las máquinas, los edificios, etc., como insumos de capital que son medidos en cierta unidad homogénea, es una de las más

5.3. RENDIMIENTOS A ESCALA

129

es fijo, y que en etapas de producción menores se tiene un alto grado de cohesión laboral y eficiencia productiva, lo que lleva a presentar rendimientos crecientes a escala; pero que si la producción pasa de cierto nivel, entonces los requerimientos de más mano de obra harán que la gestión sea menos eficiente y esto lleve a la empresa a comportarse bajo rendimientos decrecientes a escala. Ejemplo 2. (Ejemplos de funciones producción con distintos rendimientos a escala) √ a) f (x) = x es una función con rendimientos decrecientes a escala: Si t > 1, f (tx) = (tx)1/2 = t1/2 x1/2 < tx1/2 = tf (x) b) f (x) = Ax (A > 0 es constante) es una función con rendimientos constantes a escala: Si t > 0, f (tx) = A(tx) = t(Ax) = tf (x) c) f (x) = x2 es una función con rendimientos crecientes a escala: Si t > 1, f (tx) = (tx)2 = t2 x2 > tx2 = tf (x)  d) La función general de Leontief F (x, y) = Min xa , yb (a, b > 0 constantes)12 es una función de producción con rendimientos constantes a escala, pues si t > 0 entonces ) ( ) ( tx ty x y = t Min , , F (tx, ty) = Min a b a b = tF (x, y) Un ejemplo sencillo que ilustra este tipo de función de producción es cuando los insumos son “complementarios”. Por ejemplo, un caja de cereal (cereal+caja); una bolsa de papas fritas (papas+bolsa), etc. √ √ e) F (x, y) = x + y es una función de producción con rendimientos decrecientes a escala, pues si t > 1, entonces:       1/2 1/2 F (tx, ty) = (tx) + (ty) = t1/2 x1/2 + t1/2 y 1/2    = t1/2 x1/2 + y 1/2   < t x1/2 + y 1/2 = tF (x, y)

grandes falencias de la teoría neoclásica homogénea. Aunque algunos de sus representantes más importantes bajo argumentos variados, no lo creyeran así. 12 La función de producción F (x, y) = Min{x, y} fue introducida por Wassily Leontief en 1936 en su “Quantitative Input-Output Relations in the Economic System of the United States” aunque los mismos pioneros neoclásicos, entre ellos, Jevons, Menger y Walras, utilizaban procesos de producción con cociente fijo de factores (x/y) que no eran sustitutos. Recordemos que esta misma función ya había sido adaptada como función de utilidad en la Semana 1.

130

SEMANA 5. PRINCIPIOS DE LA TEORÍA DE LA PRODUCCIÓN

f) Un caso muy importante: la función de producción Cobb-Douglas F (x, y) = xα y β . 13 Aquí,

Por lo tanto:

F (tx, ty) = (tx)α (ty)β
= tα+β xα y β
= tα+β F (x, y)

Si α + β < 1 entonces tα+β < t si t > 1, y así F (x, y) tiene rendimientos decrecientes a escala. Si α + β = 1 entonces tα+β = t si t > 0, y así F (x, y) tiene rendimientos constantes a escala. Si α + β > 1 entonces tα+β > t si t > 1, y así F (x, y) tiene rendimientos crecientes a escala. Por ejemplo, en el caso de una función de producción con rendimientos decrecientes a escala Cobb-Douglas F (L, K) = L1/2 K 1/4 donde L = horashombre (mano de obra), K = unidades de capital (máquinas, edificios, etc.), se tiene que esta empresa es más intensiva en mano de obra (1/2) que en capital (1/4) pues, recordemos (imitando lo estudiado en la teoría del consumidor) que α y β son las respectivas elasticidades-insumo de la producción (ver ejercicio 11 del presente capítulo). g) Otro caso importante es el de la función CES (Constant Elasticity of Substitution)14 1/ρ F (x, y) = [xρ + y ρ ] , 0 1, √ √ F (tx, ty) = tx + (ty) < t( x + y) = tF (x, y) i) La función de producción cuadrática F (x, y) = x2 + y 2 + xy tiene rendimientos crecientes a escala, pues si t > 1 entonces: F (tx, ty) = (tx)2 + (ty)2 + (tx)(ty)
= t2 x2 + y 2 + xy = t2 F (x, y) > tF (x, y)

Nota 1 Como el lector ya notará, es muy común para la economía neoclásica, estudiar funciones de producción de la forma F (L, K) donde L es mano de obra y K es capital, en lugar de la forma F (x, y). Así que, en adelante, recurriremos a cualquiera de las dos formas de escribirlas: F (L, K) o F (x, y). Observemos ahora que si una firma con tecnología F (L, K) opera con rendimientos constantes a escala en el largo plazo (es decir, con libertad de elegir cualquier cantidad de insumos L (mano de obra) y K (capital)) y tiene marginalidades estrictamente crecientes, entonces en el corto plazo (con K = K ∗ constante), opera con tecnología f (L) = F (L, K ∗ ) bajo rendimientos decrecientes a escala. En efecto: si t > 1 notemos que     tK ∗ K∗ ∗ f (tL) = F (tL, K ) = F tL, = tF L, < tF (L, K ∗ ) = tf (L) t t Para ilustrar esto, observemos dos ejemplos: 1. Si la función de producción Cobb-Douglas de una empresa (o de un sector productivo) en el largo plazo, se escribe como F (L, K) = Lα K 1−α

00

sujeta a

Π = py − wx y = f (x)

se reduce a Maximizar x>0

pf (x) − wx

Entonces, si asumimos que f (x) es estrictamente creciente (f ′ > 0) y cóncava estricta (f ′′ < 0) (que bajo f (0) = 0 es equivalente a los rendimientos decrecientes a escala) y diferenciable con continuidad en R++ , derivando e igualando a cero obtenemos que: pf ′ (x) − w = 0 o bien,

pf ′ (x) = w

(ingreso por productividad marginal = costo marginal del insumo) O, equivalentemente,

w p (Ecuación de equilibrio del productor (con sólo un insumo)) f ′ (x∗ ) =

(5.1)

que afirma que, para maximizar el beneficio, el productor debe requerir del mercado un nivel de insumos x∗ tal que su productividad marginal f ′ (x∗ ) coincida con w/p que es el “costo real” por unidad del insumo x (figura 5.7). Este factor w/p, en competencia perfecta, será dado por el mercado del insumo (que define el valor w) y por el mercado del producto (que define el valor de p). Por consiguiente, la ecuación 5.1 muestra, de manera precisa, cómo el agente deberá adaptar su producción (por productividad marginal) a las condiciones del mercado (relación de precios), si busca maximimizar el beneficio.

Figura 5.7. Maximización del beneficio para una tecnología de la forma y = f (x). Las rectas de isobeneficio ascienden desde la recta de beneficio cero hasta la recta de beneficio óptimo.

5.4 EL PROBLEMA PRINCIPAL (PRIMAL) DEL PRODUCTOR

135

A partir de la ecuación (5.1) de equilibrio del productor, llamaremos en adelante: x∗ = demanda del insumo por parte del productor f (x∗ ) = oferta de producto al mercado por parte del productor Π∗ = pf (x∗ ) − wx∗ = beneficio recibido por el productor Con el caso que acabamos de exponer (es decir, el de un insumo fijo y otro variable), comenzamos a entender que la noción de concavidad de la función de producción (es decir, la productividad marginal estrictamente decreciente) es fundamental al proceso de maximización del beneficio. Notemos (figura 5.8) que, en efecto, si f (x) tiene rendimientos crecientes a escala, no es posible la maximización del beneficio: no hay límite de beneficio pues crece indefinidamente. y y=f(x)

y=(w/p)x (beneficio cero)

y=(w/p)x (beneficio cero)

x*

x

Figura 5.8. Bajo rendimientos crecientes a escala, no es posible maximizar el beneficio, pues si supusiéramos que esto sucede en la cantidad x∗ , se llegaría a una contradicción, ya que el beneficio en tx (con t > 1) es superior. En efecto: Π(tx∗ ) = pf (tx∗ ) − w(tx∗ ) > tpf (x∗ ) − twx∗ = tΠ(x∗ ) > Π(x∗ ).

Por su parte, también notemos que si la producción tiene rendimientos constantes a escala, entonces no existe solución, no se produce absolutamente nada o, en caso extremo, puede tener múltiples soluciones. En efecto, en el panel superior de la figura 5.9, el productor presenta pérdidas en cualquier plan de producción y, por lo tanto, su obligación será no operar (solución nula) y desaparecer del mercado. Esta es la situación, por ejemplo, cuando la tecnología es y = f (x) = x y además w > p: si el costo por unidad del insumo (w) es mayor que el precio de venta (p), entonces la empresa siempre tendrá pérdidas en cualquier nivel de producción f (x). En efecto: pf (x) − wx = px − wx = (p − w)x < 0, para todo nivel de insumo x > 0.

136

SEMANA 5. PRINCIPIOS DE LA TEORÍA DE LA PRODUCCIÓN

El caso en el panel inferior izquierdo de la figura 5.9, el productor podrá aumentar sus beneficios tanto como quiera. Para ilustrar lo que sucede aquí, tomemos el ejemplo anterior y asumamos de nuevo y = f (x) = x con w < p. Entonces el costo por unidad del insumo es menor que el precio por unidad del producto que vende este productor. Así aumentará el beneficio aumentando la producción: pf (x) − wx = px − wx = (p − w)x > 0 para todo x > 0. Y, finalmente, el panel en el caso inferior derecho de la figura 5.9 (que será una situación muy particular e importante en discusiones posteriores de este manual) nos muestra que, independientemente de la producción, el beneficio será cero. Para guiar con un ejemplo de esto, imaginemos nuevamente a y = f (x) = x pero ahora w = p. Entonces el beneficio pf (x) − wx = px − wx = 0, sin importar la cantidad x > 0 del insumo ni su producción f (x). Solución nula

y

py-wx=(p-w)x 0, f ′′ < 0) que tiene como único insumo al capital K,17 entonces tendríamos que para maximizar el beneficio, la ecuación f ′ (K ∗ ) =

r p

(r =tasa de interés nominal)

señalaría la relación marginalista entre la cantidad de unidades de capital (K ∗ ) y la tasa de interés real (r/p) del mercado. Así, dada la condición f ′′ < 0 de la función de producción f (K), a mayores tasas de interés real (r/p), menores cantidades de capital (K ∗ ) se utilizarán. De esta manera, se establece el vínculo entre la productividad marginal decreciente (f ′′ < 0) y las tasas reales de interés (también conocidas como “precios del servicio del capital”) y viceversa. Sobre este punto regresaremos en la Semana 9. Ejemplo 4 Supongamos que nuestra función de producción es de la forma y = f (L) = Lα para 0 < α < 1 (recordemos que α, aquí, es la elasticidad-insumo de la producción). Sus gráficas son una familia de funciones cóncavas estrictas (figura 5.10). 17 Bajo

la hipótesis neoclásica de que K puede medirse en unidades uniformes.

138

SEMANA 5. PRINCIPIOS DE LA TEORÍA DE LA PRODUCCIÓN

Figura 5.10. Funciones con rendimientos decrecientes a escala.

Para maximizar el beneficio de esta empresa Π = pLα − wL hacemos

∂Π ∂L

= 0. Es decir, pαLα−1 − w = 0; o, despejando, L=



w pα

1/(α−1)

lo que nos lleva a la demanda óptima L∗ =

 pα 1/(1−α)

w (Demanda por mano de obra) Así, la oferta de producto al mercado es: y ∗ = f (L∗ ) = Y el beneficio obtenido es:

 pα α/(1−α) w

Π∗ = pf (L∗ ) − wL∗ = Cp1/(1−α) w−α/(1−α) donde C = (α)α/(1−α) − (α)1/(1−α)

Se ve que ambos (producto y beneficio) son directamente proporcionales al precio de venta del producto, e inversamente proporcionales al salario. Así, por ejemplo, si α = 23 , w = 1, tendremos que la demanda por mano de obra de la empresa al mercado será:   8 p3 L∗ = 27

5.4 EL PROBLEMA PRINCIPAL (PRIMAL) DEL PRODUCTOR

139

La oferta del producto al mercado es:   4 y = p2 9 ∗

Y el beneficio de la empresa será: Π∗ =



4 27



p3

donde p es el precio de mercado del producto que se ofrece. Es importante observar en el anterior ejemplo, que si α tiende a 1 (es decir, si la tecnología con rendimientos decrecientes a escala “converge hacia” los rendimientos constantes a escala) entonces, para w < p fijos, se tendrá un aumento tanto de la demanda de mano de obra L, como de la oferta al mercado y también de los beneficios. Así, podríamos extrapolar este ejemplo, y afirmar que, bajo competencia perfecta, mientras más “eficiente” es esta tecnología, mayor cantidad de trabajadores contratará. Aquí, no debemos olvidar que no hay sustitución de la mano de obra con otro insumo (por ejemplo, capital), ya que esta empresa opera en el corto plazo con capital fijo.

5.4.2.

Maximización del beneficio con dos insumos

Vamos a centrarnos ahora en el caso de una empresa que opera con dos insumos y con tecnología z = F (x, y), y que se enfrenta al problema: Maximizar sujeta a

Π = pz − w1 x − w2 y z = F (x, y)

(figura 5.11)

pz-w1x-w2y=cantidad de máximo beneficio posible, dada la tecnología z=F(x,y) de la empresa

Figura 5.11. Maximización del beneficio con dos insumos de producción.

O, lo que es igual: Maximizar x,y>0

pF (x, y) − w1 x − w2 y

140

SEMANA 5. PRINCIPIOS DE LA TEORÍA DE LA PRODUCCIÓN

Para estudiar las características analíticas de esta solución, primero debemos asumir que F (x, y) es diferenciable con continuidad, con derivadas parciales estrictamente positivas en x e y y cóncava estricta en R+ (ver Apéndice matemático al final del texto), pues, en otro caso, el problema de maximizar el beneficio podría no tener solución general.18 Además, también asumiremos que F (0, 0) = 0. Dado esto, pasamos a derivar parcialmente (con respecto a la variable x y con respecto a la variable y (ye)) la función de beneficios Π = pF (x, y) − w1 x − w2 y y a igualarla a cero, obteniendo que:

∂F ∂F = w1 ; p = w2 ∂x ∂y (Ingreso marginal = costo marginal para ambos insumos) p

O bien, w1 ∂F = ∂x p

;

∂F w2 = ∂y p

(productividades marginales = precios reales de insumos) Después, dividiendo término a término estas dos últimas ecuaciones, tendremos que: ∂F/∂x w1 = ∂F/∂y w2 (Ecuación de equilibrio del productor (con dos insumos)) Esta ecuación de equilibrio es la condición para que la empresa maximice el beneficio, y se lee: “En equilibrio, la tasa marginal de sustitución técnica ((∂F/∂x)/(∂F/∂y) ) es igual a la relación de precios de los insumos (w1 /w2 ).” Pero: ¿qué significado tiene aquí la “tasa marginal de sustitución técnica”? De manera similar a lo hecho para la teoría del consumidor, si escribimos la curva de nivel de producción que pasa por el punto de maximización del beneficio (x∗ , y ∗ ) como F (x, y) = k ∗ donde k ∗ = F (x∗ , y ∗ ), entonces, tomando el diferencial total, se obtiene que ∂F ∂F dx + dy = 0 ∂x ∂y o bien, dy ∂F/∂x =− ∂F/∂y dx 18 Ver Monsalve (2010), Vol.3, en donde se demuestra que estas condiciones sobre F (x, y) implican rendimientos decrecientes a escala.

5.4 EL PROBLEMA PRINCIPAL (PRIMAL) DEL PRODUCTOR

141

Y así la tasa marginal de sustitución técnica mide cuánto del insumo y (ye) se requiere para mantener el mismo nivel de producción, si reducimos en “una unidad” el insumo x (figura 5.12).19 En resumen: si el empresario busca maximizar su beneficio bajo competencia perfecta, entonces debe producir en un nivel tal, que la tasa marginal de sustitución técnica (dada por su tecnología), iguale a la relación de precios de los insumos (dados por el mercado). La ecuación de equilibrio del productor es, entonces, una relación entre un “costo de oportunidad tecnológico” y un “costo de oportunidad del mercado” Sin embargo, esto solo se da, usualmente, bajo rendimientos decrecientes a escala. O, más específicamente, bajo las condiciones de monotonicidad y concavidad estricta de una función de producción diferenciable con continuidad y con F (0, 0) = 0.

Figura 5.12. Cantidades de insumos (x e y) elegidas por el productor que maximiza su beneficio. Allí debe satisfacerse la ecuación de equilibrio.

Ejemplo 5 (Maximización del beneficio de la función Cobb-Douglas con rendimientos decrecientes a escala). El problema explícito es: Maximizar sujeta a

Π = pz − w1 x − w2 y z = F (x, y) = xα y β

Aquí, debemos asumir que α+β < 1 para que la función de producción sea cóncava estricta (ver Apéndice matemático) y, por tanto, tenga rendimientos decrecientes a escala. Recurriendo directamente a las ecuaciones de equilibrio, tenemos que: p 19 Realmente

∂F = w1 ∂x

,

es un diferencial dx del insumo x.

p

∂F = w2 ∂y

(5.2)

142

SEMANA 5. PRINCIPIOS DE LA TEORÍA DE LA PRODUCCIÓN

Llegando, en este caso, a que pαxα−1 y β = w1

pβxα y β−1 = w2

;

(5.3)

Y así, dividiendo término a término estas dos ecuaciones, encontramos que: w1 αxα−1 y β = βxα y β−1 w2

(5.4)

De aquí obtenemos, cancelando términos, que y βw1 = x αw2 (tasa de sustitución entre insumos) y por tanto,

βw1 x 20 (5.5) αw2 Luego colocando esta ecuación 5.5 en la primera ecuación de 5.3 se llega a que:  β w1 α−1 βw1 x αx = (5.6) αw2 p y=

Y así, después de una confiable manipulación algebraica de la ecuación 5.6 y luego de insertar la solución x en la ecuación 5.5, encontramos las demandas por insumos: x∗ =

p1/(1−α−β) (w1 /α)(1−β)/(1−α−β) (w2 /β)β/(1−α−β)

(∗)

y∗ =

p1/(1−α−β) (w1 /α)α/(1−α−β) (w2 /β)(1−α)/(1−α−β)

(∗∗)

Notemos que ambas cantidades de insumos son directamente proporcionales al precio de venta p del producto: si el precio es alto entonces la empresa producirá más para satisfacer el mercado y, por lo tanto, requerirá de más insumos. También observemos que si los costos de los insumos (w1 y w2 ) aumentan, disminuirán las demandas por ellos. Y algo más allá: notemos que si α y β crecen entonces ambas demandas crecen, justificándose esto porque la “mejora tecnológica” conlleva mayor productividad y, por tanto, también mayor necesidad de insumos. Ahora: Sabemos que la oferta al mercado es igual a z ∗ = F (x∗ , y ∗ ) = (x∗ )α (y ∗ )β . Luego recurriendo a las demandas por insumos (∗) y (∗∗) anteriores, se llega a que la oferta de esta empresa es: z∗ =

p(α+β)/(1−α−β) (w1 /α)

α/(1−α−β)

(w2 /β)

β/(1−α−β)

(∗ ∗ ∗)

20 Notemos que si los precios de los factores permanecen constantes, entonces la producción βw1 y = αw óptima siempre se realiza con proporciones constantes de factores: x . Esto no siempre 2 ocurre con otras funciones de producción.

5.4 EL PROBLEMA PRINCIPAL (PRIMAL) DEL PRODUCTOR

143

Y también, recurriendo a las ecuaciones (∗), (∗∗) y (∗ ∗ ∗), calculamos el beneficio Π∗ = pz ∗ − w1 x∗ − w2 y ∗ que recibe esta empresa si opera a estos niveles: Π∗ = pz ∗ − w1 x∗ − w2 y ∗ 1−α−β p1/(1−α−β) = α/(1−α−β) (w1 /α) (w2 /β)β/(1−α−β)

21

El análisis ceteris paribus para las funciones de oferta y de beneficio es similar al que hicimos antes para las demandas de insumos. Para ilustrar lo anterior, si α = 1/2, β = 1/4, w1 = 2, w2 = 3 se tiene que: x∗ =

p4 768

;

y∗ =

p4 2304

z∗ =

;

p3 192

;

Π∗ =

p4 768

En la figura 5.13 aparece dibujada la curva de oferta z ∗ . ¿Cómo interpretaría el lector la concavidad estricta de esta función de oferta? ¿Qué significado económico tiene esta característica?

Figura 5.13. Curva de oferta de producto con tecnología Cobb-Douglas (α + β = 3/4).

Ejemplo 6 (Maximización del beneficio con función de producción separable y rendimientos decrecientes a escala). Dada la función de producción cóncava estricta F (x, y) = do directamente la ecuación de equilibrio

√

x+

√ y y aplican-

∂F/∂x w1 = ∂F/∂y w2 se obtiene que: y = x



w1 w2

2

(tasa de sustitución entre insumos) 21 El primer estudio de las funciones de beneficio fue el trabajo pionero de Harold Hotelling (1932).

144

SEMANA 5. PRINCIPIOS DE LA TEORÍA DE LA PRODUCCIÓN

Sin embargo, no requeriremos, en este caso, de esta ecuación.  Serán suficientes las 1 ecuaciones básicas de equilibrio del productor: Como p 2√ = w1 entonces x p2 (2w1 )2   1 Y, similarmente, puesto que p 2√ y = w2 , entonces x∗ =

y∗ =

p2 (2w2 )2

(demanda insumo x)

(demanda insumo y (ye))

Por lo tanto, la curva de oferta de esta empresa al mercado es:   1 1 p + z ∗ = F (x∗ , y ∗ ) = 2w1 2w2 Y, finalmente, calculamos el beneficio de esta empresa: Π∗ = pz ∗ − w1 x∗ − w2 y ∗     1 1 1 1 p2 − p2 = + + 2w1 2w2 4w1 4w2   1 1 + p2 = 4w1 4w2 Llevar a cabo un poco de ceteris paribus con las ecuaciones anteriores, por parte del lector, sería aquí muy instructivo.

5.5.

Breve nota sobre la teoría malthusiana de la población y sus recursos naturales

“He afirmado que la población, cuando no está restringida, crece a una tasa geométrica; y la subsistencia del hombre a una tasa aritmética.” Thomas Malthus (1798) Como lo registra la cita, el economista inglés Thomas Malthus (1798) en “An Essay on the Principle of Population” aseguraba que puesto que la población tendía a crecer a tasas geométricas mientras la producción de alimentos tendía a crecer a tasas aritméticas, el futuro de la humanidad estaría en serio riesgo de inanición. No hay duda de que la predicción de Malthus se ha realizado en algunos países (por ejemplo, en algunos africanos) donde las tasas de crecimiento demográfico son muy superiores a las tasas de crecimiento de su producción de alimentos. Sin embargo, en otros países las mejoras tecnológicas en la producción de alimentos han llevado a que esta producción aumentara más rápidamente que la población. Algunos aseguran que este cambio en la producción de alimentos se ha dado a través de cambios tecnológicos exógenos (es decir, a través de un coeficiente A > 1 que multiplica a la función agregada de producción).

5.6. BENEFICIO NULO BAJO RENDIMIENTOS CONSTANTES

145

Era usual encontrar entre los economistas clásicos la hipótesis de que la producción agrícola y también la minera presentaban rendimientos decrecientes a escala, mientras que la industria manufacturera presentaba rendimientos constantes a escala. Cuando estas hipótesis se mezclaban con el argumento de Malthus, mostraban un panorama desolador, sobre todo para las economías basadas en la manufactura, pues como consecuencia inmediata, el crecimiento de la población aumentaría el empleo en el sector manufacturero más que lo que lo hace en el sector agrícola y aumentaría la oferta manufacturera más que la agrícola. Por lo tanto, la presión demográfica, aumentaría los precios de la agricultura más (relativamente) que los de la manufactura. Pero todo esto es muy discutible.

5.6.

Nota sobre el beneficio nulo bajo rendimientos constantes a escala

Ya habíamos mostrado que si la producción tiene rendimientos constantes a escala, entonces el problema de maximizar el beneficio no tiene solución, tiene una única solución nula (“no operar”) o, en caso extremo, puede tener múltiples “soluciones”. En la práctica, es corriente (aunque esto arroja críticas) que la teoría neoclásica escoja, entre los tres casos, precisamente aquel en el que, en condición extrema e interesante, existe “maximización” del beneficio con beneficio cero; es decir, escoge x∗ tal que pf (x∗ ) = wx∗ o, en otra forma, w f (x∗ ) = x∗ p (producción media = costo marginal real) Lo mismo sucede en funciones de producción F (x, y) con rendimientos constantes a escala y con dos insumos: se escoge x∗ , y ∗ tales que satisfagan la ecuación Π = pF (x∗ , y ∗ ) − w1 x∗ − w2 y ∗ = 0 Pero, obviamente, en ninguno de los dos casos se está llevando a cabo ningún proceso de maximización del beneficio. Esto es lo que sucede, por ejemplo, con la función de producción de tipo Leontief y con la función CES, ya que ellas presentan rendimientos constantes a escala. Sobre el problema de la “maximización” de la función de beneficios bajo rendimientos constantes a escala, daremos, más adelante, ciertos “argumentos paliativos”, que para algunos justifica plenamente este tratamiento dado al problema por la economía neoclásica homogénea.

146

SEMANA 5. PRINCIPIOS DE LA TEORÍA DE LA PRODUCCIÓN

5.7. 5.7.1.

Nota histórica Sobre la historia de la función de producción

Se sugiere que las primeras apariciones de fórmulas algebraicas relacionando insumos con productos estuvieron en los trabajos de Philip Wicksteed (1894) y Knut Wicksell (1900), aunque, al parecer, Johann von Thünen ya se les había anticipado desde 1840. Von Thünen, en “The Isolated State”, escribió una función de producción de la forma P = hq n donde P es la producción por trabajador, q es el capital por trabajador, y h es una constante que incorpora la fertilidad del suelo y la eficiencia de la mano de obra. Aquí, el parámetro n está entre 0 y 1. Esta, sin duda, es una función de tipo Cobb-Douglas en términos per-cápita, estudiada casi noventa años antes que Charles Cobb y Paul Douglas describieran el comportamiento de la industria manufacturera en los Estados Unidos durante el período 1889-1922 mediante insumos de capital y trabajo.22 Inclusive Knut Wicksell (1900-1901) se adelantó a Cobb y a Douglas, estudiando funciones de producción de la forma P = cLa C b , donde a + b = 1, c es una constante positiva, L es mano de obra y C es capital. Igualmente, la historia de la función Leontief no comenzó con este famoso economista ruso-norteamericano y ganador del premio Nobel, quien recurriera a estas funciones explíctas de producción en sus tablas insumo-producto para la economía de los Estados Unidos de la posguerra (Leontief, 1936). De hecho, ya los pioneros neoclásicos Jevons, Menger y Walras habían recurrido a comportamientos productivos sin sustitución entre insumos y con relaciones constantes de producto-insumo y de insumo-insumo, equivalentes a esta función. No obstante, algunos de ellos reconocían la posibilidad de que hubiese sustitución entre insumos y que aquellas relaciones constantes fueran variables, de tal manera que también la productividad marginal, lo fuera. Por ejemplo, en la última edición de los Éléments (1900), Walras incorporaría una generalización a la hipótesis de no sustitución, y para ello recurrió a una ecuación de producción [“ecuación de fabricación”] con rendimientos constantes a escala de la forma Q = F (T, P, K, . . . ). Pero quizás debido a que este intento fue tardío dentro de su trabajo científico, nunca incorporó una teoría completa de la productividad marginal en el modelo de producción: “He preferido no introducir la teoría de la productividad marginal en mi teoría general del equilibrio económico, ya suficientemente complicada por sí misma, por temor a que resulte demasiado difícil de asimilar en su conjunto.” (Walras, “Éléments”, 1874) 22 Von Thünen también estudió una función de producción de la forma P = h(L + C)n Ln−1 donde L es mano de obra, C es capital, y h,n son parámetros positivos con n un entero.

5.7. NOTA HISTÓRICA

147

También Marshall formularía una función de producción agregada de la forma P = F (L, E, C, A, F ), donde L es mano de obra, E es eficiencia, C es capital, A es nivel de tecnología y F es la fertilidad del suelo. De hecho, en esta función de producción consideraba que cada una de estas variables era un “flujo” (es decir, dependía del tiempo). No obstante lo anterior, el gran período de desarrollo de la teoría de las funciones de producción fue durante los primeros años 50 y finales de los 70 en el siglo XX. En aquella época se desarrollaron numerosas formas específicas de funciones de producción que tenían conveniencias empíricas. Por ejemplo, se desarrolló una de las funciones más utilizadas en la teoría neoclásica (homogénea) del productor: la función CES de Arrow, Chenery, Minhas y Solow (1961) F (x, y) = (xρ + y ρ )1/ρ . Esta es una generalización, no sólo de la función de producción Cobb-Douglas, sino, también, de la Leontief y de la lineal (ver ejercicio final de la Semana 6), lo que la convirtió en un paradigma para el estudio de producciones agregadas en economías competitivas. Posteriormente, hasta la década de los años 80, se encontraron distintas versiones que generalizaban en una u otra forma la función CES (inclusive incorporando el cambio tecnológico no-constante) para hacerla más conveniente a ciertos estudios particulares o a las circunstancias económicas del momento. Pero esta tendencia ya comenzó a detenerse poco a poco después de los años 70, tras el final de la “controversia Cambridge del capital” entre los economistas norteamericanos del MIT (Samuelson y Solow, principalmente) y los economistas ingleses de la Universidad de Cambridge (Sraffa y Robinson, particularmente), sobre el problema de la existencia de una función de producción agregada de la forma Y = F (L, K), y sobre la existencia de la medida de unidad de capital (K). Inclusive, algunos afirman que el surgimiento de la “era neoclásica” devino, en parte, con las críticas de Marx a los economistas clásicos, y que el comienzo del fin de la escuela neoclásica comenzó, precisamente, con la derrota en la controversia del capital. Acerca de esto discutiremos al final de la Semana 8.

5.7.2.

Sobre la función objetivo del productor: críticas y alternativas

Numerosos autores critican la “falta de realismo” y la “falta de adecuación” para propósitos empíricos, de la hipótesis de la maximización del beneficio por parte de la empresa del modelo neoclásico (homogéneo). Por ejemplo, Bejarano (2011, Tomo II, pp. 349) distingue, al menos, cuatro “tipos” de críticas: a) El managerialismo, que afirma que es la función de utilidad del administrador de la empresa, la que realmente se maximiza. Por ejemplo, prestigio, salarios de administradores y accionistas, crecimiento de los ingresos por ventas, etc.23 23 Incluso esta corriente afirma que existe evidencia empírica de que las firmas manejadas por administradores (gerentes) tienen menores beneficios que las administradas por sus propietarios.

148

SEMANA 5. PRINCIPIOS DE LA TEORÍA DE LA PRODUCCIÓN

b) El behaviorismo, que afirma que, dada la limitada información y no total habilidad de los administradores de la empresa, lo más que pueden alcanzar es una “conducta satisfactoria” en ventas, en beneficios, etc. c) La supervivencia y conservación de la participación de la firma en el mercado es el verdadero objetivo. d) La prevención de entrada de competidores a través de precios límite es el objetivo. Estas críticas han conducido a modelos en los que la empresa no maximiza beneficios sino que, por ejemplo, maximiza ingreso por ventas, maximiza el volumen de producción o, inclusive, maximiza el excedente del trabajador (empresa cooperativa). Aún así, independientemente de esto, lo que quizás se debe resaltar de la hipótesis de la maximización del beneficio es que su objetivo fundamental es ayudar a explicar la formación de los precios y la asignación de los recursos de una empresa (competitiva o no). Y con ello, en principio, quizás, salva su razón de ser.

Ejercicios (Observación: Los ejercicios señalados con uno o dos asteriscos ((∗) o (∗∗)) tienen, a juicio del autor, un nivel de dificultad un tanto o muy superior, con respecto a los ejercicios corrientes que aparecen sin asterisco.) 1. a) ¿Es un vendedor de dulces a la entrada de la universidad, un productor de los descritos por la teoría del curso? Si es así, ¿cuáles son los insumos? ¿cuáles son los productos? ¿Qué escala podría tener este pequeño negocio? (Sugerencia: La respuesta a la primera pregunta es “Sí”). b) ¿Podría existir en la vida real un proceso productivo que opere con un solo insumo? Explique. 2. Dibujar en el plano cartesiano, una función de producción f (L) que se rija por la siguiente tabla: L 1 2 3 4 5 6 7

K 2 2 2 2 2 2 2

F (L, K) √1 √2 3 2 √ √5 √6 7

Aquí, L son horas-hombre (mano de obra) y K es capital (maquinaria, edificios, etc.). En este punto sería muy importante que el lector comenzara a pensar cómo es posible medir K; es decir, cuál podría ser la unidad uniforme de medida para, por ejemplo, dos edificios y tres tractores, reconociendo

EJERCICIOS

149

no solo sus diferentes características físicas sino que también son bienes duraderos. Más adelante señalaremos que tal medida no existe y que esta es una de las más fuertes críticas a la construcción neoclásica de funciones de producción de la forma F (L, K). 3. En el análisis de producción de algunas empresas, en ocasiones se suele recurrir a la noción de “etapa de producción”, y es usual distinguir tres de ellas: la primera va desde la producción de cero unidades hasta el punto en que la productividad media es máxima (y, por tanto, igual a la productividad marginal24 ); la segunda etapa empieza donde termina la primera y finaliza cuando el producto marginal es cero; y, finalmente, la tercera etapa comienza cuando el producto marginal es negativo. Confirme o corrija las dos últimas columnas de la tabla siguiente, y señale (si existen) las tres etapas de la producción para la función f (L). Indique a partir de dónde se dan los rendimientos marginales decrecientes. K 8 8 8 8 8 8 8 8 8

L 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Produción total f (L) 0 20 45 75 100 120 135 145 145

Producción marginal f (L + 1) − f (L) 20 25 30 25 20 15 10 0 -

Producción media f (L)/L 20 22.5 25 25 24 22.5 20.7 18.13

Aquí, nuevamente, L es horas-hombre (mano de obra) y K es capital (maquinas, edificios, etc.). 4. Determine el tipo de rendimientos a escala de las siguientes funciones, en caso de que exista:
1/2 h) F (x, y) = x2 + y 2 a) f (x) = 3x
1/2 i) F (x, y) = x2 + y 3 b) f (x) = x3 j) F (x, y) = xn + y n para n > 1 entero. c) f (x) = x1 k) F (x, y) = xy + 5 d) f (x) = ln(1 + x) x l) F (x, y) = x1/2 y 1/2 + 5 e) f (x) = e m) F (x, y) = 650x2 y 2 − x3 y 3 con y = 5. f) F (x, y) = x + y + Min{x, y} n) (∗) f (x) = 1 si x > β, f (x) = 0 si g) F (x, y) = xy + Min{x, y} x < β para β > 0 fijo. 5. Las curvas de nivel de producción F (x, y) =constante (también llamadas “isocuantas de producción”) en la figura de abajo, describen una tecnología: 24 Para entender esto, basta derivar la productividad media f (x)/x e igualarla a cero. Allí el lector verá en el numerador de la derivada el término xf ′ (x) − f (x) = 0, lo que lleva, inmediatamente a que f (x)/x = f ′ (x), que es lo que se quería observar.

150

SEMANA 5. PRINCIPIOS DE LA TEORÍA DE LA PRODUCCIÓN a) Con rendimientos constantes a escala b) Con rendimientos decrecientes a escala c) Con rendimientos crecientes a escala d) Ninguna de las anteriores.

6. Las curvas de nivel de producción F (x, y) =constante (también llamadas “isocuantas de producción”) en la figura de abajo, describen una tecnología: a) Con rendimientos constantes a escala b) Con rendimientos decrecientes a escala c) Con rendimientos crecientes a escala d) Ninguna de las anteriores.

7. Explique y decida si es falsa o verdadera la siguiente afirmación: “Si los rendimientos son decrecientes a escala, las isocuantas de producción se alejan cada vez más, unas de otras. Similarmente, si los rendimientos son crecientes a escala, las isocuantas están cada vez más cerca unas de otras. Y, finalmente, si los rendimientos son constantes a escala, las isocuantas guardan la misma distancia, unas de otras.” 8. Encontrar la demanda de insumos, la oferta de producto y el beneficio máximo si la tecnología es f (x) = 4 ln(1 + x), p = $10, w = $2.

EJERCICIOS

151

9. Calcular las demandas por insumos, la oferta y el beneficio para las siguientes tecnologías con rendimientos decrecientes a escala: a) f (x) = 3x1/2 + 2 b) F (x, y) = x1/2 + y 1/3 c) F (x, y) = (x + y)α con 0 < α < 1. 10. Si una función de producción F (L, K) (L=horas-hombre, K=capital) es homogénea de grado 1 (es decir, F (tL, tK) = tF (L, K) para todo t > 0), demostrar que esta función puede ser expresada en términos per-cápita: F (L, K) = Lf (k, 1) donde k = K/L. ¿Por qué es interesante este resultado? 11. Muestre que para la función de producción Cobb-Douglas F (x, y) = xα y β , los coeficientes α, β son las elasticidades de la producción con respecto x al correspondiente insumo (elasticidades-insumo). Es decir, α = ∂F ∂x F y y β = ∂F ∂y F . Así, en este caso, ante un aumento de dx % en el insumo x, el productor obtendrá un aumento α % en su producción. 12. (∗) Si α tiende a 1 (es decir, las tecnologías con rendimientos decrecientes a escala tienden a una con rendimientos constantes a escala) en el ejemplo 4 de esta Semana 5, estudie el comportamiento de las demandas por el insumo, la producción y el beneficio. Dibuje e interprete económicamente. 13. a) Ubique la combinación insumo-producto que maximice el beneficio para la función de producción dibujada abajo. b) ¿Qué rendimientos a escala presenta esta función de producción? Tecnologías de este tipo son propias de un área de la teoría económica conocida como análisis de actividades (Koopmans, 1951). En este caso particular, la producción presenta tres “actividades” (¿Cuáles son?). El análisis marginalista de la economía neoclásica homogénea enfrenta muchas dificultades al llevar a cabo el estudio de este tipo de tecnologías debido a la no-diferenciabilidad de estas funciones de producción. y=producto

nivel de precios

x=insumo

14. Dé dos ejemplos de funciones de producción F (x, y) que tengan rendimientos decrecientes a escala pero que no sean cóncavas estrictas y, por lo tanto,

152

SEMANA 5. PRINCIPIOS DE LA TEORÍA DE LA PRODUCCIÓN pueden no determinarse las curvas de demandas por insumos ni la curva de oferta bajo competencia perfecta.

15. (∗∗) ¿Será cierto que si F (x, y) y G(x, y) son dos funciones Cobb-Douglas con rendimientos decrecientes a escala, entonces la oferta de la función de producción agregada F (x, y) + G(x, y) (que ya no es Cobb-Douglas) es la suma de las ofertas de cada una de las dos funciones de producción? Intente generalizar este resultado.