Monografia de Relaciones y Funciones

 

UNIVERSIDAD PARA EL DESARROLLO ANDINO FACULTAD DE HUMANIDADES Y CIENCIAS SOCIALES ESCUELA PROFESIONAL DE EDUCACIÓN INICIAL Y BILINGÜE.

TEMA RELACIONES Y FUNCIONES Nombre 

: Mariana Elena, Contreras Vargas

Docente

: Carlos Cantiotti Ordoñez.

Ciclo

:I

LIRCAY-HUANCAVELICA 2021

 

DEDICATORIA en primer lugar, dedicarle a dios por la salud que me nos da que a pesar de estos tiempos tan difíciles seguimos batallando día a día. En segundo lugar, a mi familia quienes siempre están apoyándome e inculcándome a seguir adelante, y formarme con los buenos valores profesionalmente. profesionalmente.

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INDICE INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................... .......................................................................................................................... 5 CAPITULO I .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. 6

1.1.

DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN .................................................................... 6

1.2.

DEFINICIÓN CONCEPTUAL ................................................................... ......................................................................................... ...................... 6

1.3.

PARA ENTENDER MEJOR REALIZAREMOS ALGUNOS............................................ 6

EJERCICIOS ............................................................................................................................. ............................................................................................................................. 6 CAPITULO II ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. 8

2.1. TIPOS DE RELACIONES, RELACIÓN INVERSA. COMPOSICIÓN DE RELACIONES. .... 8 2.1.1. RELACIÓN REFLEXIVA. .............................................................. ................................................................................................. ................................... 8 2.1.2. RELACIÓN ANTI-REFLEXIVA......................................................................................... ........................................................................................ 8 2.1.3. RELACIÓN NO REFLEXIVA. ........................................................................................... ........................................................................................... 9 2.1.4. RELACIÓN SIMÉTRICA. ............................................................................................... ............................................................................................... 10 2.1.5. RELACIÓN ANTISIMÉTRICA. ....................................................................................... ....................................................................................... 10 2.1.6. RELACIÓN NO SIMÉTRICA. ........................................................ ......................................................................................... ................................. 11 2.1.7. RELACIÓN TRANSITIVA.............................................................. .............................................................................................. ................................. 12 2.1.8. RELACIÓN NO TRANSITIVA. .................... ...................................................................................... .................................................................. 12 2.1.9. RELACIÓN DE EQUIVALENCIA. .... ........................................................................ ............................................................................. ......... 13 2.1.10. RELACIÓN DE ORDEN ESTRICTO. ........................................................................... ........................................................................... 13 2.1.11. RELACIÓN DE ORDEN PARCIAL. .............................................................................. .............................................................................. 13 2.1.12. RELACIÓN INVERSA. ............................................................... ................................................................................................ ................................. 14 ............................................................................................................................... .................................................................... 15 CAPITULO III........................................................... 3  

 

3.2.

DIFERENCIA ENTRE RELACIONES Y FUNCIONES ................................................. 15

3.3.

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN .................................................................... .................................................................... 16

3.4.

TIPOS DE FUNCIONES: INYECTIVA, SUBYECTIVA Y BIYECTIVA. FUNCIÓN

INVERSA. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES .............................................................. ......................................................................... ........... 19 3.4.1. FUNCIÓN INYECTIVA................................................................................................... ................................................................................................... 19 3.4.2. FUNCIÓN SOBREYECTIVA. ......................................................................................... ......................................................................................... 21 3.4.3. FUNCIÓN BIYECTIVA ................................................................................................... ................................................................................................... 22 CONCLUSIONES ........................................................................................................................ ....................................................................................................................... 24

4  

 

INTRODUCCIÓN Como sabemos hoy en día las matemáticas juegan un papel importante en todo ámbito como en nuestro vivir diario, en el trabajo, en la ejecución de un proyecto y otros, por ello es importante tener los conocimientos previo de las matemáticas, ya concerniente nuero tema de investigación en el presente trabajo cuyo título lleva relaciones y funciones. El estudio del tema de funciones es básico para lograr comprender muchos otros temas que se irán viendo más adelante en el curso de matemática, además es importante porque se le puede dar muchos usos en la “vida diaria” ya que

generalmente se hace uso de las funciones reales, (aun cuando el ser humano no se da cuenta), en el manejo de cifras numéricas en correspondencia con otra, debido a que se está usando subconjuntos de los números reales. Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de economía, de estadística, de ingeniería, de medicina, de química y física, de astronomía, de geología, y de cualquier área social donde haya que relacionar variables. En el contenido de la investigación hablaremos de los siguientes temas, Dominio y Rango de una relación, Tipos de relaciones. Relación Inversa. Composición de relaciones, Funciones. Definición, Diferencia entre relaciones y funciones, Dominio y Rango de una función, Tipos de funciones: Inyectiva, Subyectiva y Biyectiva. Función inversay finalmente de la Composición de funciones

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CAPITULO I 1.1.  DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN. 1.2.DEFINICIÓN CONCEPTUAL. El dominio de una función o relación es el conjunto de todos los valores independientes posibles que una relación puede tener. Es la colección de todas las entradas posibles-  El rango de una función o relación es el conjunto de todos los valores dependientes posibles que la relación puede producir. Es la colección de todas llas as salidas posibles. El dominio de una relación es el conjunto de preimágenes; es decir, el conjunto formado por los elementos del conjunto de partida que están relacionados. Al conjunto de imágenes, esto es, elementos del conjunto de llegada que están relacionados, se le denomina recorrido o rango

1.3.PARA ENTENDER MEJOR REALIZAREMOS ALGUNOS. EJERCICIOS. EJEMLO 01: hallar el dominio y rango de la siguiente relación  F(X)= (3, 7), (4, 8), (5, 4), (6, 5), (7, 6), (8, 7), (9, 8)} SOLUCION DOMINIO F(X)= {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} RANGO F(X)= {4, 5, 6, 7, 8,}

EJEMPLO 02 Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {4, 5, 6, 7, 8} y R la relación definida de A en B determinada por la regla “y es el doble de x” o “y = 2x”, encontrar dominio y

rango de la relación. Solución El total de pares ordenados que podemos formar, o producto cartesiano es: 6  

 

A x B = {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8)} Pero los pares que pertenecen a la relación R (y = 2x) son solo: R = {(2, 4), (3, 6), (4, 8)} En esta relación vemos que: “4 es el doble de 2”; esto es, “4  es

la imagen de 2

 bajo R”, dicho de otro modo, modo, “2 es preimagen de 4”. 

Así, el dominio y rango son: D = {2, 3, 4} Rg = {4, 6, 8}

7  

 

CAPITULO II TIPOS DE RELACIONES, COMPOSICIÓN DE RELACIONES 

RELACIÓN

21

INVERSA.

Una relación puede considerarse como una correspondencia entre los elementos de uno ó más conjuntos. En los tipos de relacione podemos varios como mencionaremos en lo siguiente. 211

RELACIÓN REFLEXIVA 

Se dice que una relación R definida en A es “reflexiva” si todos los elementos de A están relacionados consigo mismo; es decir, si todos los elementos de A forman  parejas ordenad ordenadas as en R con com componentes ponentes iguales. Simbólica Simbólicamente, mente,

Ejemplo 01: Si A={2,4,5,6,7} y R:A → A es una relación definida por R={(2,2),(4,4),(5,5), R={(2,2),(4 ,4),(5,5),(6,6),(7,7 (6,6),(7,7)}, )}, entonces es “reflexiva”, “r eflexiva”, porque todos los elementos

de A están relacionados consigo mismo. Observando la matriz de relación M de R (figura 01) se puede ver que, esto lo verifica si aparecen unos en la diagonal principal de la matriz.

212

RELACIÓN ANTI-REFLEXIVA 

Una relación R definida en A es “anti-reflexiva” si

ninguno de los elementos de A

está relacionados consigo mismo; es decir, si no hay elementos de A forman parejas ordenadas en R con componentes iguales. Simbólicamente.

8  

 

Ejemplo 8.15: Si A={2,4,5,6,7} y R:A → A es una relación definida por

R={(4,5),(2,4),(5,2),(6,7),(7,6)}, entonces R es Anti-reflexiva, porque todos los elementos de A están relacionados consigo mismo. Observe que en la matriz de relación M de R, no aparece al menos un uno en su diagonal principal.

213

RELACIÓN NO REFLEXIVA 

Se dice que una relación R definida en A es “no reflexiva” siempre que algunos

elementos de A no están relacionados consigo mismo; es decir, si no todos los elementos de A forman parejas ordenadas en R con componentes iguales. Simbólicamente,

Ejemplo: Si A={2,4,5,6,7} y R:A → A es una relación definida por R={(2,2),(4,4),(5,6),(6,5),(7,7)}, entonces R es “no reflexiva”, porque no todos los

elementos

de

A

están

relacionados

consigo

mismo

y

otros

no.

Observe que en la matriz de relación M de R. algunos elementos de su diagonal  principal tienen uunn 1, lo qque ue verific verificaa esta ppropiedad ropiedad..

9  

 

214

RELACIÓN SIMÉTRICA. 

Una relación R definida en A es “simétrica” cuando todas las parejas de la relación

tienen su recíproco; es decir, para elementos x, y de A se cumple cumpl e que si xRy, entonces yRx. Simbólicamente, Ejemplo 8.17: si A={2,4,5,6,7} y R:A→A es una relación definida por  

R={(2,2),(6,4),(5,6),(6,5),(4,6)}, entonces R es simétrica, porque todas las parejas de R tienen su recíproco. Intuitivamente observe La matriz de la figura 8.13 que, si se doblara por la diagonal  principal los 1 co coincidirían. incidirían.

215

RELACIÓN ANTISIMÉTRICA. 

10  

 

Ejemplo 8.18: si A={2,4,5,6,7} y R:A → A es una relación definida por R={(2,2),(6,4),(5,6), R={(2,2),(6 ,4),(5,6),(6,2),(4,5 (6,2),(4,5),(7,7)}, ),(7,7)}, entonces R es “antisimétrica”, porque ninguna

de sus parejas tiene su recíproco y si la tuviese, entonces la pareja sería reflexiva. Intuitivamente observe la matriz que, si se dobla por la diagonal principal ninguna de los 1 coinciden.

Ahora, la relación R:A→A cumple la propiedad definida por R={(2,2),(4 R={(2,2),(4,,4),(5,5)}

es ¿simétrica o antisimétrica? 2 1 6 RELACIÓN NO SIMÉTRICA SIMÉTRICA

Ejemplo 8.19: si A={2,4,5,6,7} y R:A → A es una relación definida por R={(2,2),(5,4),(5,6), R={(2,2),(5 ,4),(5,6),(6,5),(7,7 (6,5),(7,7)}, )}, entonces R es “no simétrica”, porque algunas de sus

 parejas

tienen

su

recíproco

y

otras

no.

Intuitivamente observe la matriz que, si se doblase por la diagonal principal algunos unos coinciden y otros no.

11  

 

 Nota: tenga en cuenta que hay diferencias entre relaciones relaciones anti-reflexivas anti-reflexivas y no reflexivas y, entre antisimétricas y no simétricas. 217

RELACIÓN TRANSITIVA 

Una relación R definida en A es “transitiva” siempre que un elemento esté relacionado

con un segundo y este con un tercero, entonces el primero esté relacionado con el tercero. Es decir, siempre que x, y, z sean elementos de A, se cumple que si (x,y) E R y (y,z) E R, entonces (x,z) E R. Simbólicamente,

Ejemplo 8.20: si A={2,4,5,6,7} y R:A→A es una relación definida por  

R={(2,2),(4,4),(5,4),(5,6),(6,5),(4,5),(4,6),(5,5),(7,7),(6,6)}, “transitiva”. Vea la relación

entonces

R

es

representada en una matriz M en la figura 8.16.

218

RELACIÓN NO TRANSITIVA 

12  

 

219

RELACIÓN DE EQUIVALENCIA 

Una relación R definida en un conjunto A es de equivalencia si, y sólo si es reflexiva, simétrica y transitiva.

Ejemplo:  si A={2,4,5,6,7} y R:A→A es una relación definida por R={(2,2),(4,4),(5,5),(6,6),(7,7),(2,4),(4,2),(2,5),(5,2),(2,6),(6,2),(2,7),(7,2),(4,5),(5,4) , (5,6),(6,5),(6,7),(7,6),(4,6),(4,7),(6,4),( 7,4),(5,7),(7,5)}.

entonces R es una relación de equivalencia. Observando la matriz de relación M de R. se  puede ver que todas las celdas de la ma matriz triz tienen unos. 2 1 10

RELACIÓN DE ORDEN ESTRICTO 

Una relación R definida en un conjunto A es de orden estricto si R antisimétrica y transitiva.

Ejemplo: si A={2,4,5,6,7} A={2,4,5,6,7} y R:A→A es una relación “ser menor”, entonces R es de orden estricto. En efecto. R={(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(4,5),(5,6),(6,7),(5,7)}. Es antisimétrica y transitiva. Verifique esta respuesta. 2 1 11

RELACIÓN DE ORDEN PARCIAL 

Una relación R definida en un conjunto A es de orden parcial si R es reflexiva, antisimétrica y transitiva, pero no hay relación entre algunos elementos de A.

13  

 

Ejemplo:  si

A={2,4,5,6,7}

y

R:A→A

es

una

relación

definida

por  

R={(2,2),(4,4),(5,5),(6,6),(7,7),(2,4),(2,5),(2,6),(4,5),(5,6),(6,7),(4,6)}, entonces R es de orden parcial, porque es reflexiva, antisimétrica y transitiva, pero algunos elementos de A no están relacionados entre sí. Compruebe la repuesta. 2 1 12

RELACIÓN INVERSA 

Sea A un conjunto cualquiera y R una relación definida en A por {(x,y)AxA/xRy}; entonces, la relación inversa denotada por R-1 se define como el conjunto {(x,y)AxA/yRx}. Ejemplo 8.26: Si A={6,12,18,24} y R una relación definida en A por R={(6,6),(12,12),(18,18),(24,24),(6,12),(6,18),(6,24),(12,24)} Entonces

14  

 

CAPITULO III 3.1. DEFINICIÓN DE FUNCIONES. Una función matemática es una una relación  relación que se establece entre dos conjuntos, a través de la cual a cada elemento del primer conjunto se le l e asigna un único elemento del segundo conjunto o ninguno. Al conjunto inicial o conjunto de partida también se lo llama dominio; al conjunto final o conjunto de llegada, en tanto, se lo puede denominar codominio.  Por lo tanto, dados un conjunto A y un conjunto B, una función una función es la asociación que se produce cuando a cada elemento elemento del conjunto A (el dominio) se la asigna un único elemento del conjunto B (el codominio). Al elemento genérico del dominio se lo conoce como variable como  variable independiente; independiente;   al elemento genérico del codominio, como variable como variable dependiente. dependiente. Esto  Esto quiere decir que, en el marco de la función matemática, los elementos del codominio dependen de los elementos del dominio.

3.2. 

DIFERENCIA ENTRE RELACIONES Y FUNCIONES. La relación matemática es el vínculo que existe entre los elementos de un subconjunto con respecto al producto de dos conjuntos. Una función implica la operación matemática para determinar el valor de una variable dependiente según el valor de una variable independiente. Toda función es una relación,  pero no toda relación relación es una función función

Relación Definición

Subconjunto de pares ordenados que corresponden al producto cartesiano de dos conjuntos.

Función  Operación matemática que hay que realizar con la variable x para obtener la variable y.

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 Notación

x R y; x está relacionada con y.

y=ƒ(x); y es función de x.

Características

Los conjuntos no están vacíos. Presenta un dominio y un rango.

Presenta variable dependiente y variable independiente. Presenta un dominio y un rango.

Los puestos ocupados de un tren: los puestos del tren son los elementos del conjunto A y las l as  personas en el el tren son los elementos del conjunto B. Los estudiantes de matemática de una universidad: los estudiantes de la universidad son los elementos del conjunto A y las carreras universitarias son los elementos del conjunto B.

Función constante y=ƒ(x)=c Función lineal y=ƒ(x)=ax+b Función  polinómica y=ƒ(x)=ax2+bx+c

Ejemplos

3.3. 

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN. Dominio de una función:  Es el conjunto formado por los elementos que tienen imagen. Los valores que le damos a “X” (variable independiente)

forman el conjunto de partida. Gráficamente lo miramos en el eje horizontal (abscisas), leyendo como escribimos de izquierda i zquierda a derecha.

Rango de una función: Es el conjunto formado por las imágenes. Son los valores que toma la función "Y" (variable dependiente), por eso se denomina “f(x)”, su valor depende del valor que le demos a "X". Gráficamente lo

miramos en el eje vertical (ordenadas), leyendo de abajo a arriba

16  

 

PARA UN MEJOR ENTENDIMIENTO REALIZAREMOS TRES EJERCICIOS DE DOMINIO Y RANGO EJERCICIO 1: Determinar Dominio y Rango de f(x) = X + 3 Como es una función lineal el dominio será todo el conjunto de los números reales.

El Rango será todo el conjunto de los números reales. Seguimos el eje “Y” de abajo hacia arriba y podemos leer valores siempre.

Rango = ( –   –  ∞ , + ∞ )  EJERCICIO 2: Determinar Dominio y Rango de

Como es una función polinómica de segundo grado el dominio será todo el conjunto de los números reales.

Dom f(x) = R

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El eje “Y” empieza a tomar valores (de abajo hacia arriba) a partir de

-4.

Rango = [  –  –  4 , + ∞ )  

EJERCICIO 3: Determinar Dominio y Rango de

Como es una función polinómica de tercer grado el dominio será todo el conjunto de los números reales.

El Rango será todo el conjunto de los números reales. Seguimos el eje “Y”

de abajo hacia arriba y podemos leer valores siempre. Rango = ( –   –  ∞ , + ∞ )  

18  

 

3.4. 

TIPOS DE FUNCIONES: INYECTIVA, SUBYECTIVA Y BIYECTIVA. FUNCIÓN INVERSA. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES. 3.4.1. FUNCIÓN 3.4.1.  FUNCIÓN INYECTIVA.  INYECTIVA.  La función La función  f  es   es inyectiva si cada elemento del conjunto final Y  tiene  ti ene un único elemento del conjunto inicial  X  al   al que le corresponde. Es decir, no pueden haber más de un valor de  X  que  que tenga la misma imagen misma imagen Y . Reciben también el nombre de funciones “uno a uno”.   No siempre todos los elementos del conjunto final Y  deben   deben corresponderse con alguno del conjunto inicial  X .

En términos matemáticos, una función una función f será será inyectiva  inyectiva si dados dos  puntos xa y xb: xb: Dicho de otra manera: una función es inyectiva es  inyectiva si se cumple que a valores de su dominio x0 ≠ x1 ⇒ f(x0) ≠ f(x1).  Una comprobación gráfica de la inyectividad de una función es cuando cualquier recta paralela al eje X corta a la misma, como máximo, en un punto.

Ejemplo de función inyectiva La función La función  f ( x) = 2 x+1 , con los elementos de su  su dominio restringidos a los números reales positivos, es inyectiva. es inyectiva.  

Veamos que se cumple la condición de inyectividad: 19  

 

En efecto, si  xa y  xb tienen la misma imagen, misma imagen, necesariamente  necesariamente deben ser el mismo elemento. Por lo tanto,  f  es  es inyectiva.  Veamos la gráfica de otra función: otra función:  

Esta función no cumple la condición de inyectividad, por lo que no es

inyectiva. Un ejemplo muy palpable de función inyectiva: función inyectiva: asignemos  asignemos a P al conjunto de  presidentes de los Estados Unidos de América elegidos en el siglo XXI y a  I  el   el conjunto de las fechas de investidura presidenciales en USA también del siglo XXI. Sea  f  la   la función que relaciona cada uno de estos presidentes con la fecha de su primera toma de posesión. La función  f  es, por tanto,  inyectiva pues tanto,  pues a cada presidente presidente le corresponde una única fecha fecha de su  primera toma de poses posesión. ión. Aunque, Aunque, por eejemplo, jemplo, Barack Obama, aparte aparte de la fecha de su primera investidura de 20-1-2009, fuese reelegido por segunda vez el 6-11-2012. Otro ejemplo de  de función inyectiva es la del volumen del volumen de la esfera, donde esfera, donde r  es  es su radio. Donde los valores de volumen y radio, codominio y dominio, son números reales positivos. Y a cada valor del radio le corresponde un único valor del volumen.

20  

 

3.4.2. FUNCIÓN 3.4.2.  FUNCIÓN SOBREYECTIVA.  SOBREYECTIVA.  Una función Una  función  f  es   es sobreyectiva (o  (o suprayectiva)  si todos  los elementos del conjunto final Y  tienen  tienen al menos un elemento del conjunto inicial  X  al  al que le corresponde.

Es decir, una función es  es  sobreyectiva si el el   recorrido de la función es el conjunto final Y . Dicho de otra manera, una función es  es sobreyectiva cuando son iguales su codominio su codominio y su su recorrido  recorrido o rango.  rango.  Por lo tanto, también t ambién será sobreyectiva:

En términos matemáticos, una función una función  f  es   es sobreyectiva si:

Ejemplo de función sobreyectiva La función La función en los números reales definida por  f ( x) =  x+1 es  es sobreyectiva. 

21  

 

Esta función sí que es sobreyectiva. es sobreyectiva.   Vamos a verlo demostrando que el el recorrido  recorrido de la función son todos los números reales.

El recorrido El recorrido de la función es el mismo que el conjunto final Y , por lo que  es sobreyectiva. la  f  es  sobreyectiva.   Es decir, que, con la función  f(x), todo número real será imagen será imagen de, como mínimo, otro número real (en el caso de esta función, esta  función,   imagen de un

único número real). Igualmente, con los mismos argumentos, será  será  sobreyectiva la función definida sobre los reales:

En esta función, esta función, todos  todos los elementos del conjunto imagen (que aquí coincide con el codominio), tienen al menos un elemento del conjunto inicial,  pudiendo tener dos o tres elementos del conju conjunto nto imagen un mismo elemento del conjunto inicial.

3.4.3. FUNCIÓN BIYECTIVA 3.4.3. FUNCIÓN Una función Una  función  f  es   es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva tiempo inyectiva y sobreyectiva.   sobreyectiva.  Es decir, si todo elemento del conjunto final Y  tiene  tiene al menos un elemento del conjunto inicial  X  al que le corresponde (condición de de función  función sobreyectiva)   y todos los elementos del conjunto inicial  X  tiene sobreyectiva)  tiene una única imagen en el conjunto final Y  (condición  (condición de función de función inyectiva). inyectiva). Digamos que no puede quedarse ningún elemento en el conjunto final Y  solo,  solo, sin asociarse con un único elemento del conjunto inicial  X .

22  

 

Formalmente, una función una función  f  es   es biyectiva si:

Ejemplo de función biyectiva La función La función  f ( x) = 2 x definida en los números reales es  es biyectiva. 

Para comprobarlo, veamos que f es inyectiva es  inyectiva y sobreyectiva. Empezaremos  sobreyectiva. Empezaremos  por la condición de de infectividad:

Se cumple la condición de infectividad, por lo que ahora nos quedaría demostrar la sobreyectividad. Para ello, tenemos que demostrar que el el recorrido  recorrido de la función son todos los números reales.

La función La función también es es sobreyectiva,  sobreyectiva, por  por lo que  f  es  es biyectiva. 

23  

 

CONCLUSIONES En conclusión, determinamos que las funciones y relaciones que desarrollamos en el tema es bastante amplio, pero con los conceptos y ejercicios que rrealizamos ealizamos se hace que sean entendibles, por ello que nosotros lo empleamos el concepto de cada tema desarrollado incluidos sus ejercicios de aplicación, como también nosotros como estudiantes tenemos que seguir profundizando el tema, t ema, por que como sabemos según a lo entendido las funciones y relaciones siempre están nuestras vidas cotidianas a veces lo aplicamos sin darnos cuenta. Como también a manera de conclusión podemos decir que las aplicaciones de los ejercicios están en función al tema desarrollada por lo que los lectores podrán entender y tener conceptos previos al tema de investigación desarrollada.

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BIBLIOGRAFÍAS  

BREUER, J.: Iniciación a la teoría de conjuntos, Madrid, Paraninfo, 1970.

 

GARCÍA MERAYO, F.: Matemática discreta, Madrid, Thomson, Paraninfo,

 

SA, 2005. LIPSCHUTZ, S.: Teoría de conjuntos. 530 problemas resueltos,

•

•

•

Serie de Compendios Schaum, Nueva York, McGraw-Hill, 1963.  

•

Eduardo Espinoza ramos en su libro matemática básica.

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