Monografia de Geometría Analítica
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GEOMETRÍA ANALÍTICA
MATEMÁTICA BÁSICA I
³Universidad Nacional de Cajamarca´
MATEMÁTICA BÁSICA I GEOMETRÍA ANALÍTICA
DOCENTE:
Lic. Carlos Enrique Moreno Huamán
ALUMNO:
SARMIENTO ZEGARRA, Jaime Idelso
Cajamarca, Cajamarca, agosto de 2010
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GEOMETRÍA ANALÍTICA
MATEMÁTICA BÁSICA I
CONTENIDO DEDICATORIA DEDICATORIA ..................... ................................ ........... ...................... ................................ .......... ..................... ................................ ........... ...................... .......................... .... 4 AGRADECIMIENTO............ AGRADECIMIENTO....................... .................... ......... ...................... ................................ .......... ..................... ................................ ........... ................... ................... 5
INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN ............................... ................................. ....................... ................................ ......... ..................... ................................ ........... ..................... ....................... .. 6 ORIGEN ................ ........................... ................ ..... ..................... ................................ ........... ..................... ................................ ........... ..................... ................................ ........... .... 6 LA LINEA RECTA ........................... ................................ ..... ..................... ................................ ........... ..................... ................................ ........... ..................... ..................... 14 DEFINICIONES ................ ........................... ................ ..... ...................... ................................ .......... ..................... ................................ ........... ...................... ........................ .. 14 CARACTERÍSTICAS DE LA RECTA ................. ............................ ............... .... ...................... ................................ .......... ..................... ............................. ........ 14 PENDIENTE Y ANGULO DE INCLINACIÓN DE UNA RECTA .................. ............................. .............. ... ...................... ........................ .. 14 ECUACION DE LA RECTA .............. ......................... .................. ....... ...................... ................................ .......... ..................... ................................ ........... ......... 15 CONDICIONES DE: .................. ............................. .............. ... ..................... ................................ ........... ...................... ................................ .......... .................. .................. 16 REDUCCION DE LA FORMA GENERAL A LA NORMAL ................... .............................. ............. .. ...................... .............................. ........ 17 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA ............... .......................... ................. ...... ...................... ................................ .......... ................ ................ 18 LA CIRCUNFERENCIA CIRCUNFERENCIA .................. ............................. .............. ... ...................... ................................ .......... ..................... ................................ ........... .............. .............. 20
DEFINICIÓN:................ DEFINICIÓN:........................... ................ ..... ...................... ................................ .......... ..................... ................................ ........... ...................... ........................... ..... 20 DIMENSIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA: CIRCUNFERENCIA: ........................... ................................ ..... ...................... ................................ .......... .................... .................... 20 POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS: .................. ............................. .............. ... ..................... ............................. ........ 20 ÁNGULOS DE LA CIRCUNFERENCIA: CIRCUNFERENCIA: ...................... ................................ .......... ...................... ................................ .......... ..................... ....................... .. 21 LA PARÁBOLA ....................... ................................ ......... ...................... ................................ .......... ..................... ................................ ........... ...................... ........................ .. 24 DEFINICIÓN................... DEFINICIÓN.............................. ............. .. ..................... ................................ ........... ...................... ................................ .......... ..................... ............................ ....... 24 PROPIEDADES DE LA PARÁBOLA .............. ......................... .................. ....... ...................... ................................ .......... ..................... ............................ ....... 24 LA ELIPSE ............................. ................................ ... ..................... ................................ ........... ...................... ................................ .......... ..................... ............................... .......... 27 DEFINICION:................ DEFINICION:........................... ................ ..... ...................... ................................ .......... ..................... ................................ ........... ...................... ........................... ..... 27 TANGENTE A UNA ELIPSE ..................... ................................ ........... ...................... ................................ .......... ...................... ................................ .......... ....... 28 LA HIPERBOLA .......................... ................................ ...... ..................... ................................ ........... ...................... ................................ .......... ..................... ....................... .. 30 DEFINICIÓN:................ DEFINICIÓN:........................... ................ ..... ...................... ................................ .......... ..................... ................................ ........... ...................... ........................... ..... 30 ASÍNTOTAS DE UNA HIPÉRBOLA ..................... ............................... ............ ...................... ................................ .......... ...................... ................................ .......... ..... 34
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MATEMÁTICA BÁSICA I
CONTENIDO DEDICATORIA DEDICATORIA ..................... ................................ ........... ...................... ................................ .......... ..................... ................................ ........... ...................... .......................... .... 4 AGRADECIMIENTO............ AGRADECIMIENTO....................... .................... ......... ...................... ................................ .......... ..................... ................................ ........... ................... ................... 5
INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN ............................... ................................. ....................... ................................ ......... ..................... ................................ ........... ..................... ....................... .. 6 ORIGEN ................ ........................... ................ ..... ..................... ................................ ........... ..................... ................................ ........... ..................... ................................ ........... .... 6 LA LINEA RECTA ........................... ................................ ..... ..................... ................................ ........... ..................... ................................ ........... ..................... ..................... 14 DEFINICIONES ................ ........................... ................ ..... ...................... ................................ .......... ..................... ................................ ........... ...................... ........................ .. 14 CARACTERÍSTICAS DE LA RECTA ................. ............................ ............... .... ...................... ................................ .......... ..................... ............................. ........ 14 PENDIENTE Y ANGULO DE INCLINACIÓN DE UNA RECTA .................. ............................. .............. ... ...................... ........................ .. 14 ECUACION DE LA RECTA .............. ......................... .................. ....... ...................... ................................ .......... ..................... ................................ ........... ......... 15 CONDICIONES DE: .................. ............................. .............. ... ..................... ................................ ........... ...................... ................................ .......... .................. .................. 16 REDUCCION DE LA FORMA GENERAL A LA NORMAL ................... .............................. ............. .. ...................... .............................. ........ 17 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA ............... .......................... ................. ...... ...................... ................................ .......... ................ ................ 18 LA CIRCUNFERENCIA CIRCUNFERENCIA .................. ............................. .............. ... ...................... ................................ .......... ..................... ................................ ........... .............. .............. 20
DEFINICIÓN:................ DEFINICIÓN:........................... ................ ..... ...................... ................................ .......... ..................... ................................ ........... ...................... ........................... ..... 20 DIMENSIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA: CIRCUNFERENCIA: ........................... ................................ ..... ...................... ................................ .......... .................... .................... 20 POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS: .................. ............................. .............. ... ..................... ............................. ........ 20 ÁNGULOS DE LA CIRCUNFERENCIA: CIRCUNFERENCIA: ...................... ................................ .......... ...................... ................................ .......... ..................... ....................... .. 21 LA PARÁBOLA ....................... ................................ ......... ...................... ................................ .......... ..................... ................................ ........... ...................... ........................ .. 24 DEFINICIÓN................... DEFINICIÓN.............................. ............. .. ..................... ................................ ........... ...................... ................................ .......... ..................... ............................ ....... 24 PROPIEDADES DE LA PARÁBOLA .............. ......................... .................. ....... ...................... ................................ .......... ..................... ............................ ....... 24 LA ELIPSE ............................. ................................ ... ..................... ................................ ........... ...................... ................................ .......... ..................... ............................... .......... 27 DEFINICION:................ DEFINICION:........................... ................ ..... ...................... ................................ .......... ..................... ................................ ........... ...................... ........................... ..... 27 TANGENTE A UNA ELIPSE ..................... ................................ ........... ...................... ................................ .......... ...................... ................................ .......... ....... 28 LA HIPERBOLA .......................... ................................ ...... ..................... ................................ ........... ...................... ................................ .......... ..................... ....................... .. 30 DEFINICIÓN:................ DEFINICIÓN:........................... ................ ..... ...................... ................................ .......... ..................... ................................ ........... ...................... ........................... ..... 30 ASÍNTOTAS DE UNA HIPÉRBOLA ..................... ............................... ............ ...................... ................................ .......... ...................... ................................ .......... ..... 34
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APLICACIONES ................... .............................. ............. .. ..................... ................................ ........... ...................... ................................ .......... ..................... ....................... .. 36
BIBLIOGRAFÍA BIBLIOGRAFÍA ......................... ................................ ....... ...................... ................................ .......... ..................... ................................ ........... ...................... ........................ .. 37
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DEDICATORIA
A Dios por el don de la vida. A la Virgen María por ser nuestra madre y cobijarnos en su man to sagrado.
A mi madre y padre, que con su paciencia y ternura alientan en este trabajo.
A mis estimados amigos por su apoyo ético y moral que día a di me da fuerzas para continuar.
El Autor
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AGRADECIMIENTO
Un Sincero Agradecimiento a:
El profesor de Matemática Básica: Lic. Carlos Enrique Moreno Huamán por sus conocimientos brindados y por la amistad y estimación.
Nuestra Universidad Nacional de Cajamarca por albergarnos en sus aulas del saber.
Al la vida y las cosas que nos brinda ya sea para bien o mal ya que si no fuese por este gran don que podríamos hacer.
JISZ
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INTRODUCCIÓN ORIGEN La historia del origen de la Geometría es muy similar a la de la Aritmética, siendo sus conceptos más antiguos consecuencia de las actividades prácticas. Los primeros hombres llegaron a formas geométricas a partir de la observación de la naturaleza. El sabio griego Eudemo de Rodas, atribuyó a los egipcios el descubrimiento de la geometría, ya que, según él, necesitaban medir constantemente sus tierras debido a que las inundaciones del Nilo borraban continuamente sus fronteras. Recordemos que, precisamente, la palabra geometría significa medida de tierras. Los egipcios se centraron principalmente en el cálculo de áreas y volúmenes, encontrando, por ejemplo, para el área del círculo un valor aproximado de 3'1605. Sin embargo el desarrollo geométrico adolece de falta de teoremas y demostraciones formales. También encontramos rudimentos de trigonometría y nociones básicas de semejanza de triángulos. También se tienen nociones geométricas en la civilización mesopotámica, constituyendo los problemas de medida el bloque central en este campo: área del cuadrado, del círculo (con una no muy buena aproximación de, volúmenes de determinados cuerpos, semejanza de figuras, e incluso hay autores que afirman que esta civilización conocía el teorema de Pitágoras aplicado a problemas particulares, aunque no, obviamente, como principio general. No se puede decir que la geometría fuese el punto fuerte de las culturas china e india, limitándose principalmente a la resolución de problemas sobre distancias y semejanzas de cuerpos. También hay quien afirma que estas dos civilizaciones llegaron a enunciados de algunos casos particulares del teorema de Pitágoras, e incluso que desarrollaron algunas ideas sobre la demostración de este teorema. En los matemáticos de la cultura helénica los problemas prácticos relacionados con las necesidades de cálculos aritméticos, mediciones y construcciones geométricas continuaron jugando un gran papel. Sin embargo, lo novedoso era, que estos problemas poco a poco se desprendieron en una rama independiente de las matemáticas que obtuvo la denominación de "logística". A la logística fueron atribuidas: las operaciones con números enteros, la extracción numérica de raíces, el cálculo con la ayuda de dispositivos auxiliares, cálculo con fracciones, resolución numérica de problemas que conducen a ecuaciones de 1 er y 2º grado, problemas prácticos de cálculo y constructivos de la arquitectur a, geometría, agrimensura, etc. Al mismo tiempo ya en la escuela de Pitágoras se advierte un proceso de recopilación de hechos matemáticos abstractos y la unión de ellos en sistemas teóricos. Junto a la demostración geométrica del teorema de Pitágoras fue encontrado el método de hallazgo de la serie ilimitada de las ternas de números "pitagóricos", esto es, ternas de números que satisfacen la ecuación a 2+b2=c2.
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En este tiempo transcurrieron la abstracción y sistematización de las informaciones geométricas. En los trabajos geométricos se introdujeron y perfeccionaron los métodos de demostración geométrica. Se consideraron, en particular: el teorema de Pitágoras, los problemas sobre la cuadratura del círculo, la trisección de un ángulo, la duplicación del cubo, la cuadratura de una serie de áreas (en particular las acotadas por líneas curvas). .Paralelamente, al ampliarse el número de magnitudes medibles, debido a la aparición de los números irracionales, se originó una reformulación de la geometría, dando lu gar al álgebra geométrica. Esta nueva rama incluía entre otros conceptos el método de anexión de áreas, el conjunto de proposiciones geométricas que interpretaban las cantidades algebraicas, división áurea, expresión de la arista de un poliedro regular a través del diámetro de la circunferencia circunscrita. Sin embargo, el álgebra geométrica estaba limitada a objetos de dimensión no mayor que dos, siendo inaccesibles los problemas que conducían a ecuaciones de tercer grado o superiores, es decir, se hacían imposibles los problemas que no admitieran solución mediante regla y compás. La historia sobre la resolución de los tres problemas geométricos clásicos (sobre la cuadratura del círculo, la trisección de un ángulo, la duplicación del cubo) está llena de anécdotas, pero lo cierto es que como consecuencia de ellos surgieron, por ejemplo, las secciones cónicas, cálculo aproximado del número pi, el método de exhaución como predecesor del cálculo de límites o la introducción de curvas trascendentes. Asimismo, el surgimiento de la irracionalidad condicionó la necesidad de creación de una teoría general de las relaciones, teoría cuyo fundamento inicial lo constituyó el algoritmo de Euclides. Las primeras teorías matemáticas que se abstrajeron de los problemas concretos o de un conjunto de problemas de un mismo tipo, crearon las condiciones necesarias y suficientes para el reconocimiento de la autonomía y especificidad de las matemáticas. El carácter abstracto del objeto de las matemáticas y los métodos de demostración matemática establecidos, fueron las principales causas para que esta ciencia se comenzara a exponer como una ciencia deductiva, que a partir de unos axiomas, presenta una sucesión lógica de teoremas. Las obras en las cuales, en aquella época se exponían los primeros sistemas matemáticos de denominaban "Elementos". Se encuentran elementos pertenecientes a muchos autores, sin embargo todos ellos han quedado relegados a un segundo plano tras la obra matemática más impresionante de la historia: Los Elementos de Euclides. "Los Elementos", como denominaremos a esta obra a partir de ahora, están constituidos por trece libros, cada uno de los cuales consta de una sucesión de teoremas. A veces se añaden otros dos, los libros 14 y 15 que pertenecen a otros autores pero por su contenido, están próximos al último libro de Euclides. En "Los Elementos" de Euclides se recogen una serie de axiomas o postulados que sirvieron de base para el posterior desarrollo de la geometría. Es de especial interés, por la controversia que originó en épocas posteriores el quinto axioma, denominado EAPIS
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"el de las paralelas", según el cual dos rectas paralelas no se cortan nunca. Durante siglos se asumió este axioma como irrebatible, hasta que en el siglo XIX surgieron las llamadas geometrías no euclídeas, que rebatieron este postulado. Con posterioridad a Euclides y Arquímedes, las matemáticas cambiaron fuertemente, tanto en su forma como en su contenido, haciendo el proceso de formación de nuevas teorías más pausado, hasta llegar a interrumpirse. Entre las nuevas teorías desarrolladas ocupa el primer lugar la teoría de las secciones cónicas, que surgió de las limitaciones del álgebra geométrica. El interés hacia las secciones cónicas creció a medida que aumentaban la cantidad de problemas resueltos con su ayuda. Sin duda, la obra más completa, general y sistemática de las secciones cónicas se debe a Apolonio de Perga. En la época del dominio romano destacan algunos recetarios en forma de reglas que permitían el cálculo de algunas áreas y volúmenes; y en especial la conocida fórmula de Herón para calcular el área del triángulo conocido los tres lados. Durante el primer siglo del Imperio Musulmán no se produjo ningún d esarrollo científico, ya que los árabes, no habían conseguido el impulso intelectual necesario, mientras que el interés por el saber en el resto del mundo, había desaparecido casi completamente. Fue a partir de la segunda mitad del siglo VIII, cuando comenzó el desenfrenado proceso de traducir al árabe todas las obras griegas conocidas, fundándose escuelas por todo el Imperio. Destacaremos como avance anecdótico, pero no por ello carente de valor, la obtención del número pi con 17 cifras exactas mediante polígonos inscritos y circunscritos en la circunferencia realizada por Kashi (s. XV). Después de más de 150 años, en 1593, en Europa, Viète encontró sólo nueve cifras exactas. Hubo que esperar a fines del siglo XVI y comienzos del XVII para repetir el cálcu lo de Kashi. El rasgo característico más importante de las matemáticas árabes fue la formación de la trigonometría. En relación con los problemas de astronomía, confeccionaron tablas de las funciones trigonométricas con gran frecuencia y alto grado de exactitud, tanto en trigonometría plana como esférica. Entre las obras geométricas destacan las de Omar Khayyam (s. XVI) y Nasir Edin (s. XIII), directamente influenciadas por las obras clásicas, pero a las que contribuyeron con distintas generalizaciones y estudios críticos, como los relativos al axioma euclidiano del paralelismo, que pueden considerarse como estudios precursores de la geometría no euclidiana. En el continente europeo, las matemáticas no tienen un origen tan antiguo como en muchos países del Lejano y Medio Oriente, alcanzando sólo éxitos notorios en la época del medioevo desarrollado y especialmente en el Renacimiento. Podemos considerar la obra de Fibonacci "Practica Geometriae" como el punto de arranque de la geometría renacentista. Esta obra está dedicada a resolver EAPIS
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determinados problemas geométricos, especialmente medida de áreas de polígonos y volúmenes de cuerpos. Otro contemporáneo, aunque no tan excepcionalmente dotado fue Jordano Nemorarius (1237-?) a quien debemos la primera formulación correcta del problema del plano inclinado. El profesor parisino Nicole Oresmes (1328-1382) llegó a utilizar en una de sus obras coordenadas rectangulares, aunque de forma rudimentaria, para la representación gráfica de ciertos fenómenos físicos. Ya en el siglo XV, época de las grandes navegaciones, la trigonometría fue separada de la astronomía, alzándose como ciencia independiente de la mano de Regiomontano (1436-1474), que trató de una manera sistemática todos los problemas sobre la determinación de triángulos planos y esféricos. Asimismo en esta obra se establece un notable cambio desde el álgebra literal al álgebra simbólica. Fue François Viète (1540-1603) quien dio un sistema único de símbolos algebraicos consecuentemente organizado, estableciendo en todo momento, una fuerte conexión entre los trabajos trigonométricos y algebraicos, de forma que de igual manera que se le considera el creador del álgebra lineal, se le podría considerar como uno de los padres del enfoque analítico de la trigonome tría, esto es, la goniometría. Para hacer más fáciles los cálculos, los matemáticos desarrollaron ciertos procedimientos en los que, el papel fundamental lo jugaban determinadas relaciones trigonométricas, lo que llevó a la confección de numerosas tablas trigonométricas. En la elaboración de tablas trabajaron, por ejemplo, Copérnico (1473 -1543) y Kepler (1571,1630). Semejantes métodos se utilizaban tan frecuentemente que recibieron el nombre de "prostaferéticos". Ellos fueron utilizados por los matemáticos de Oriente Medio, Viète, Tycho Brahe, Wittich, Bürgi y muchos otros. Estos métodos siguieron utilizándose incluso después de la invención de los logaritmos a comienzos del siglo XVII, aunque sus fundamentos, basados en la comparación entre progresiones aritméticas y geométricas, comenzaron a fraguarse mucho antes. Durante el siglo XVII surgieron casi todas las disciplinas matemáticas, produciéndose en lo que a la geometría se refiere el nacimiento de la geometría analítica. Sin duda los dos grandes en es ta materia y época fueron René Descartes (1596-1650) y Pierrede Fermat (1601-1655). La última parte de la famosa obra de Descartes "Discurso del Método" denominada "Géometrie", detalla en su comienzo, instrucciones geométricas para resolver ecuaciones cuadráticas, centrándose seguidamente en la aplicación del álgebra a ciertos problemas geométricos. Analiza también curvas de distintos órdenes, para terminar en el tercer y último libro que compone la obra, con la construcción de la teoría general de ecuaciones, llegando a la conclusión de que el número de raíces de una ecuación es igual al grado de la misma, aunque no pudo demostrarlo.
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Prácticamente la totalidad de la Géometrie está dedicada a la interrelación entre el álgebra y la geometría con ayuda del sistema de coordenadas. Simultáneamente con Descartes, Pierre de Fermat desarrolló un sistema análogo al de aquél. Las ideas de la geometría analítica, esto es, la introducción de coordenadas rectangulares y la aplicación a la geometría de los m étodos algebraicos, se concentran en una pequeña obra: "introducción a la teoría de los lugares planos y espaciales". Aquellos lugares geométricos representados por rectas o circunferencias se denominaban planos y los representados por cónicas, especiales. Fermat abordó la tarea de reconstruir los "Lugares Planos" de Apolonio, describiendo alrededor de 1636, el principio fundamental de la geometría analítica: "siempre que en una ecuación final aparezcan dos incógnitas, tenemos un lugar geométrico, al describir el extre mo de uno de ellos una línea, recta o curva". Utilizando la notación de Viète, representó en primer lugar la ecuación Dx=B, esto es, una recta. Posteriormente identificó las expresiones xy=k2; a2+x2=ky; x2+y2+2ax+2by=c 2; a2-x2=ky2 con la hipérbola, parábola circunferencia y elipse respectivamente. Para el caso de ecuaciones cuadráticas más generales, en las que aparecen varios términos de segundo grado, aplicó rotaciones de los ejes con objeto de reducirlas a los términos anteriores. La extensión de la geometría analítica al estudio de los lugares geométricos espaciales, la realizó por la vía del estudio de la intersección de las superficies espaciales por planos. Sin embargo, las coordenadas espaciales también en él están ausentes y la geometría analítica del espacio quedó sin culminar. Lo que sí está totalmente demostrado, es que la introducción del método de coordenadas deba atribuirse a Fermat y no a Descartes, sin embargo su obra no ejerció tanta influencia como la Géometrie de Descartes, debido a la tardanza de su edición y al engorroso lenguaje algebraico utilizado. El desarrollo posterior de la geometría analítica, mostró que las ideas de Descartes sobre la unificación del álgebra y geometría no pudieron realizarse sino que siguieron un camino separado aunque relacionado. El surgimiento de la geometría analítica, aligeró sustancialmente la formación del análisis infinitesimal y se convirtió en un elemento imprescindible para la construcción de la mecánica de Newton, Lagrange y Euler, significando la aparición de las posibilidades para la creación del análisis de variables. Ya en el siglo XVIII se completó el conjunto de las disciplinas geométricas y, excluyendo sólo las geometrías no euclidianas y la apenas iniciada geometría analítica, prácticamente todas las ramas clásicas de la geometría, se formaron en este siglo. Así además de la consolidación de la geometría analítica, surgió la geometría diferencial, descriptiva y proyectiva, así como numerosos trabajos sobre los fundamentos de la geometría. Entre los diferentes problemas y métodos de la geometría, tuvieron gran significado las aplicaciones geométricas del cálculo infinitesimal. De ellas surgió y se desarrolló la geometría diferencial, la ciencia que ocupó durante el siglo XVIII el lugar central en al sistema de las disciplinas geométricas. Estudiemos por separado cada una de estas ramas: EAPIS
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Geometría Analítica: Bajo esta denominación se considera aquella parte de la geometría donde se estudian las figuras y transformaciones geométricas dadas por ecuaciones algebraicas. Las puertas a esta rama fueron abiertas, ya en el siglo XVII por Descartes y Fermat, pero sólo incluían problemas planos. Hubo de ser Newton quien en 1704 diera un paso importante al publicar la obra, "Enumeración de las curvas de tercer orden", clasificando las curvas según el número posible de puntos de intersección con una recta, obteniendo un total de 72 tipos de curvas, que se podían representar por ecuaciones de cuatro tipos. Si designamos ax3+bx2+cx+d=A, entonces las soluciones indicadas serán: xy2+ey=A ; xy=A ; y2=A ; y=A. Sin embargo, lo verdaderamente importante de esta obra fue el descubrimiento de las nuevas posibilidades del método de coordenadas, definiendo los signos de las funciones en los cuatro cuadrantes. Con posterioridad a Newton, las curvas de tercer orden fueron estudiadas por Stirling, Maclaurin, Nicolle, Maupertius, Braikenridge, Steiner, Salmon, Silvestre, Shall, Clebsch y otros. Fue Euler quien, en 1748, sistematizó la geometría analítica de una manera formal. En primer lugar expuso el sistema de la geometría analítica en el plano, introduciendo además de las coordenadas rectangulares en el espacio, las oblicuas y polares. En segundo lugar, estudió las transformaciones de los sistemas d e coordenadas. También clasificó las curvas según el grado de sus ecuaciones, estudiando sus propiedades generales. En otros apartados de sus obras trató las secciones cónicas, las formas canónicas de las ecuaciones de segundo grado, las ramas infinitas y asintóticas de las secciones cónicas y clasificó las curvas de tercer y cuarto orden, demostrando la inexactitud de la clasificación newtoniana. También estudió las tangentes, problemas de curvaturas, diámetros y simetrías, semejanzas y propiedades afines, intersección de curvas, composición de ecuaciones de curvas complejas, curvas trascendentes y la resolución general de ecuaciones trigonométricas. Todo estos aspectos se recogen en el segundo tomo de la obra "Introducción al análisis..." que Euler dedicó exclusivamente a la geometría analítica. En la segunda mitad del siglo se introdujeron sólo mejoras parciales, pues en lo fundamental, la geometría analítica ya estaba formada. Destacaremos entre otros los nombres de G. Monge, Lacroix y Menier. Geometría diferencial: Esta disciplina matemática se encarga del estudio de los objetos geométricos, o sea, las curvas, superficies etc. Su singularidad consiste en que partiendo de la geometría analítica utiliza métodos del cálculo diferencial. A comienzos de siglo ya habían sido estudiados muchos fenómenos de las curvas planas por medio del análisis infinitesimal, para pasar posteriormente a estudiar las curvas espaciales y las superficies. Este traspaso de los métodos de la geometría
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bidimensional al caso tridimensional fue realizado por Clairaut. Sin embargo, su obra fue eclipsada, como casi todo en esta época, por los trabajos de Euler. El primer logro de Euler en este terreno, fue la obtención de la ecuación diferencial de las líneas geodésicas sobre una superficie, desarrollando a continuación una completa teoría de superficies, introduciendo entre otros el concepto de superficie desarrollable. A finales de siglo, es desarrollo de esta rama entró en un ligero declive, debido principalmente a la pesadez y complejidad del aparato matemático. Geometría descriptiva y proyectiva: Los métodos de la geometría descriptiva surgieron en el dominio de las aplicaciones técnicas de la matemática y su formación como ciencia matemática especial, se culminó en los trabajos de Monge, cuya obra en este terreno quedó plasmada en el texto "Géometrie descriptive". En la obra se aclara, en primer lugar, el método y objeto de la geometría descriptiva, prosiguiendo a continuación, con instrucciones sobre planos tangentes y normales a superficies curvas. Analiza en capítulos posteriores la intersección de superficies curvas y la curvatura de líneas y superficies. El perfeccionamiento de carácter particular y la elaboración de diferentes métodos de proyección constituyeron el contenido fundamental de los trabajos sobre geometría proyectiva en lo sucesivo. La idea del estudio de las propiedades proyectivas de los objetos geométricos, surgió como un nuevo enfoque que simplificara la teoría de las secciones cónicas. Las obras de Desargues y Pascal resuelven este problema y sirven de base a la nueva geometría. Como acabamos de ver la geometría hacia comienzos del siglo XIX representaba ya un amplio complejo de disciplinas surgidas del análisis y generalizaciones de los datos sobre las formas espaciales de los cuerpos. Junto a las partes elementales, se incluyeron en la geometría casi todas aquellas partes que la conforman actu almente.
La geometría analítica realizó un gran camino de desarrollo y determinó su lugar como
parte de la geometría que estudia las figuras y transformaciones dadas por ecuaciones algebraicas con ayuda del método de coordenadas utilizando los métodos de l álgebra. La geometría diferencial se caracterizó por la utilización de los conceptos y métodos
del cálculo diferencial, lo que conllevó relaciones estables con el análisis matemático y con numerosos problemas aplicados. Una de las características principales de la geometría que se desarrolló durante la segunda mitad del siglo XIX, fue el entusiasmo con que los matemáticos estudiaron una gran variedad de transformaciones. De ellas, las que se hicieron más populares fueron las que constituyen el grupo de transformaciones que definen la denominada geometría proyectiva. Los métodos aparentemente detenidos en su desarrollo desde EAPIS
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la época de Desargues y Pascal, de estudio de las propiedades de las figuras invariantes respecto a la proyección, se conformaron en los años 20 del siglo XIX en una nueva rama de la geometría: la geometría proyectiva, merced sobre todo a los trabajos de J. Poncelet. Otro aspecto esencial durante este siglo fue el desarrollo de las geometrías no euclidianas. Podríamos considerar fundador de esta geometría al matemático ruso Nicolai Ivanovich Lobachevski (1792-1856). Su obra mostraba que era necesario revisar los conceptos fundamentales que se admitían sobre la naturaleza de la matemática, pero ante el rechazo de sus contemporáneos tuvo que desarrollar sus ideas en solitario aislamiento. El punto de partida de las investigaciones de Lobachevski sobre geometría no euclidiana fue el axioma de las paralelas de Euclides, sin demostración durante siglos. Lobachevski, que inicialmente intentó demostrar dicho axioma, rápidamente se dio cuenta que ello era imposible, sustituyendo dicho axioma por su negación: a través de un punto no contenido en una recta se puede trazar más de una paralela que yace en el mismo plano que la primera. El año 1826 puede considerarse como la fecha de nacimiento de esta geometría no euclidiana o lobachevskiana, siendo en ese año cuando el autor presentó muchos de los trabajos que avalaban la nueva teoría. En 1829 Janos Bolyai (1802-1860) llegó a la misma conclusión a la que había llegado Lobachevski. E incluso el mismo Gauss que apoyaba y elogiaba a escondidas, nunca de forma pública, los trabajos de Bolyai y Lobachevski, es posible que mantuviera los mismos puntos de vista pero los calló por temor a comprometer su re putación científica. La geometría no euclidiana continuó siendo durante varias décadas un aspecto marginal de la matemática, hasta que se integró en ella completamente gracias a las concepciones extraordinariamente generales de Rieman. En esta rama, conocida como geometría analítica, se introduce el empleo de sistemas de coordenadas, mediante los cuales se pueden aplicar procedimientos algebraicos para estudiar situaciones geométricas y viceversa. La geometría analítica estudia los elementos de la geometría euclidiana refiriéndolos a sistemas de coordenadas, como el cartesiano. En este texto nos limitaremos a estudiar solamente algunas figuras respecto de dicho sistema coordenado.
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LA LINEA RECTA
DEFINICIONES Des e e punto de v sta analítico, la ecuaciónd e una recta y su gráfica sirven para modelar situaciones de variada naturale a, donde la tasa de crecimiento o decrecimiento es constante como: pagos de impuestos, alargamiento de materiales, costos de productos, interés simple de un capital, ingresos económicos, con versión de escalas de temperatura, etc El uso de estos modelos lineales en la vida es muy e tenso. Es importante por esta razón cono cer las di versas definicion es de la línea recta, entre ellas se encuentran:
Geométricamente : Se define como la distancia más corta entre dos puntos Analíticamente : Es una ecuación de primer grado con dos variables. Gráficamente : Es el lugar geométrico de la sucesión de punto s, tales que, tomados dos puntos dif erentes cualesqui era P1 (x1, y1 y P2 (x2, y2 del lugar geométrico, el valor de la pendi ente m es siempre constante.
CARACTERÍSTICAS DE LA RECTA La recta se prolonga al infinito en ambos sentidos. La distancia más
corta entre dos puntos está en una línea recta, (geometría
euclidiana). La r ecta es un con junto de punto s situado s a lo largo de la intersección de dos planos
PEN DIENTE Y ANGULO DE INCLINACIÓN DE UNA RECTA p endiente (m) de una recta ³L´ se define como la razón que existe en la variación de ordenadas (eje y ) entre la variación de abscisas (eje x ). La
siguiente figura muestra la gráfica de la ecua ción lineal y=2x±4, en ella se puede observar que el valor La
de y aumenta en 2 unidades cada vez que el valor de x aumenta una unidad , La razón d e cambio de y entr e el cambio correspondiente de x es 2/1=2.
esta razón se le llama pendiente de la recta y se define como sigue: A
Si do s punto s (x 1, y 1) y ( x 2, y 2 ) están en una recta L, la pendi ente m de la recta, se define como:
m! E PI
y 2
y1
x 2
x1
; x 2
{
x1
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También se denomina pendiente o coeficiente angular de una recta a la tangente de un ángulo de inclinación.
m=tanø Y
m ! TanJ ! y 2
J x 2 x1
P 1
y1
y 2 y1 x2 x1
; J ! Tan 1m
X
ECU ACION DE L A RECT A p1 ( x1 , y1 ) y p1 ( x 2 , y 2 )
1.- Dados dos puntos ;
Y
P 1
! ( x1 , y1 )
! ( x 2 , y 2 )
P 2
y y1 !
y 2 y1 x 2 x1
( x x1 )
X
2.- Dados un punto y la pendiente;
p 1 ( x 1 , y 1 ) y m
Y
m
y y1 P 1
! ( x x1 )
! ( x1 , y1 ) X
3.- Dados la pendiente y su ordenada en el origen; m y p (o, b) Y
y ! mx b
(o, b )
J
X m
EAPIS
15
GE
E RÍ
4.-
l
LÍ I
E
i ter ecci e c
p a, o)
y
l
I
I
I
eje ;
p o, b)
(ecuación simétrica)
Y
x a
o,b) a, o)
y b
!
1
X
m
5.- Ec
ció
e er l e l rect .
Ax By C ! 0 Es el resultado de desarrollar cualqui era de las cuatro formas anteriores, ha sta llevarlas a la forma g eneral. P EN IENTE DE U NA RECTA A P ARTI R DE L A EC U ACION GENE R AL
m!
Ax By C ! 0 ;
A B
CON DICIONES DE: Par aleli m d e dos rect as ;
m ! m2
P er e d ic l ari dad d e dos rect as
m1
!
1
m2
ó
m1 m2 ! 1
AN GULO ENT RE DOS RECTAS.
E PI
16
GE
E RÍ
LÍ I
Y
E
I
I
I
l 2 m2
l 1
J
TanJ
m1
m 2 m1 1
m2 m1
X
EC U ACIONES DE L A RECTA EN L A F ORM A NORM AL O DE H ESSE .
De:
Y
x
y
a
(o, b) a! b
,
1
b p
,
cos E
x cos E ysenE p
E
!0
( a , o)
E
X
p
b!
o
se
,
nE
REDUCCION DE LA FORMA GENERAL A LA NORMAL
Ax By C ! 0
A
cos E
se
y
E p!0
Dividiendo cada termino de la primera ecuación por la constante ; obtenem os:
:
Ax s
A
2
B
2
By
s
A
2
B
2
C
s
A
2
B
2
!0
ó
Ax By C
r !
s
A
2
B 2
!0
s A B
Se toma el signo del radical, como sigue: a) si c { 0, el signo del radical será contrario al de c. b) si c ! 0y B
{
0, el
signo del radical será el mismo de B
c) si c=B=0, el signo del radical será el mismo de A.
E PI
17
GEOMETRÍA ANALÍTICA
MATEMÁTICA BÁSICA I
DIST ANCI A DE UN PUNTO A UN A RECT A Dada la recta : Ax B y C ! 0 y el punto p1 ( x1 , y1 ) Y
P 1
! ( x1 , y1 )
d
d
!
A x1
s
B y1 A
2
C B
2
!0
X
l
a) la distancia es positiva (+) cuando el punto p1esta situado en la parte superior de la recta.
b) la distancia es negativa cuando el punto p1 esta por debajo de la recta. D
A
Dadas
A
R D
R
A PARA LEL A
las rectas y ! mx b1 y y ! mx b2 m2 y ! mx b1
Y
p !
b1
1 Tan 2E
b1
!
1 m2
y ! mx b2 b1 o1b1
d E
p
b2
p , !
b2
!
1 Tan 2E
b2
1 m2
p ,
d ! p p , !
b1
b2
1 m2
La distancia entre dos rectas paralelas siempre es positiva.
EAPIS
18
GE
E RÍ
LÍ I
E
I
I
I
EC U ACION DE L A BISECT RIZ .
b sec r z de un ángulo es la rec par es iguales, d ! d 2 p2 l 2 d 1 d 2 1 Y d 2 La
a
que pasando por el vér ce d v de el ángulo en dos
l 1
A1 s
d 1
B1 2
A1
C 1 2
B1
A x B1 y C 1 1 X 2 2 s A1 B1
EJEMPL
A2 s
!
B2
A2
2
C 2
B2
2
A2 x B2 y C 2 s
A2
=
5
2
B2
2
... (1)
(2)
:
1) Hallar la distancia entr e los punto s P1 (2, -8) y P 2 (3, 5) Solución: x2
x1
=
3
2
=
1
;
y2
y1
(-3)
=
13
Lu ego,
2) Sean P1 (-1, 1) y P 2 (3, 0) dos puntos en el plano. Determine: Coordenadas del punto medio M d el segmento
Solución:
Si el punto medio M tiene coordenadas. M (x m, y m) enton ces:
Por lo tanto las coordena das del punto medio es M(1, ½)
E PI
19
GEOMETRÍA ANALÍTICA
MATEMÁTICA BÁSICA I
L A CIRCUNFERENCI A DEFINICIÓN: Es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que equidistan de otro llamado centro. La di tancia del cent a un punt cualquiera de la circunferencia es el radio.
DIMENSIÓN DE L A CIRCUNFERENCI A: Al ser una línea, la circunferencia tiene una sola dimensión, la longitud. ir unferen ia : punto del que equidistan todos los puntos de la
C entro de la
circunferencia. Radio de la
ir unferen ia : segmento que une el centro de la circunferencia con
cualquier punto de la misma. C uerda de la ir unferen ia : segmento que une dos puntos de la circunferencia, el
radio es perpendicular a la cuerda en su punto medio. Diámetro de la ir unferen ia: es una cuerda que pasa por el centro. Es la cuerda que
mayor tamaño tiene. Ar o de la ir unferen ia: es la porción de circunferencia limitada por dos puntos de la
misma, también se puede decir que es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia.
POSICIONES REL ATIV AS DE DOS CIRCUNFERENCI AS: C ir unferen ias exteriores: son las que no tienen ningún punto en común y cada una
está en una región exterior a la otra. C ir unferen ias interiores : no tienen ningún punto en común y una está en la región
interior de la otra. C ir unferen ias tangentes exteriores : tienen un punto en común y los demás puntos
de cada una de ellas están en la región exterior de la otra. C ir unferen ias tangentes interiores : tienen un punto en común y los demás puntos
de una de ellas están en la región interior de la otra. C ir unferen ias se antes: tienen dos puntos en común. C ir unferen ias
on éntri as : no tienen ningún punto en común, una esta en el
interior de la otra y tienen el mismo centro pero distinto radio.
EAPIS
20
GEOMETRÍA ANALÍTICA
MATEMÁTICA BÁSICA I
Posiciones relativas de una recta y una circunferencia Una recta puede estar respecto a una circunferencia: Re ta exterior : cuando no tiene ningún punto común con la circunferencia. Re ta tangente : a la circunferencia cuando tiene un punto común Re ta se ante: a la circunferencia cuando tiene dos puntos comunes .
ÁNGULOS DE L A CIRCUNFERENCI A: Ángulo entral : es el ángulo que tiene su vértice en el centro y sus lados lo forman dos
radios. -Si dos ángulos centrales son iguales también lo son los arcos correspondientes. -La medida de un arco central es la misma que la de su ángulo central correspondiente. Ángulo ins rito : es aquel que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son
secantes a ella. -La medida de un ángulo inscrito es igual a la mitad del arco que abarca. Ángulo semi-ins rito: es aquel que tiene su vértice en un punto de la circunferencia y
un lado es tangente y el otro secante a ella. -La medida de un ángulo semi-inscrito es la mitad del arco que abarca. Ángulo interior : es aquel que tiene su vértice en un punto interior del circulo. Sus
lados con cuerdas de la circunferencia. -Un ángulo interior mide la mitad de la suma de las medias de su arcos que abarcan su lados y las prolongaciones de los mismos .
EAPIS
21
GEOMETRÍA ANALÍTICA
MATEMÁTICA BÁSICA I
Ángulo exterior : es aquel que tiene su vértice en un punto fuera de la circunferencia y
del circulo y su lados son secantes o tangentes de la circunferencia. -La medida de un ángulo exterior es la mitad de la diferencia de los arcos que abarca el ángulo.
1) r ! x E
2
2
y F 2
Si alfa y beta valen cero es porque la circunferencia está centrada en el eje de cartesianas geométricas: r 2
! x 2 y 2
c 0,0
1) D
ll
:
E y 2 y F F 2 r 2 ! 0 2) Ax 2 B y 2 Dx E y F ! 0 2
2
x 2 xE
2
2E ! D 2 F ! E
F 2 r 2 ! F r 2 ! F E 2 F 2 D E ! E2
2
F !
2
r
E
! F
D
4
2
E
2
4
2
Dado que A y B son iguales (por ser una circunferencia), la Ecuación 2) se divide por A: x 2
y 2
Ej
pl
1) x
r 2
2
D
A
x
E
A
y
F
A
!0
:
y 2 x 3 y 4 ! 0 2
! 4 1
r !
EAPIS
29
9 4
Al
í i
gi
i , l
i
i
gi
i .
4
22
GEOMETRÍA ANALÍTICA
MATEMÁTICA BÁSICA I
Se sigue desarrollando:
y 2 2 x 3 y ! 4 x 2 2 x 1 ¨© y 2 3 y 9 ¸¹ ! 4 1 9 4 º 4 ª
x 2
2
3 3 x 1 ¨© y ¸¹ ! 2 º 4 ª 2
2) Hallar la intersección entre la recta x y ! 1 y la circunferencia x 2 y 2 4 x 2 y 1 ! 0 Despejar una componente de la recta y reemplazarla en la ecuación de la circunferencia:
y ! x 1
x 12 4 x 2 x 1 1 ! 0 x 2 x 2 2 x 1 4 x 2 x 2 1 ! 0 x 2
2 x 2 4 x ! 0 2 x x 2 ! 0 Se obtienen d os val or e s d e x x1 ! 0 ®
¯ x2 ! 2 °
Reempl azand o en d e l a r ect a: y ! 1 y ¯ 1 y 2 ! 3 °
EAPIS
l a
ecuación
23
GEOMETRÍA ANALÍTICA
MATEMÁTICA BÁSICA I
L A P AR ÁBOL A DEFINICIÓN Una parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de talo manera que su distancia de una recta fija situada en el plano es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta. Al punto fijo se le llama foco y la recta fija directriz. La recta que es perpendicular a la directriz y que pasa por el foco se llama eje focal, la intersección de la parábola con el eje focal se denominavértice. La cuerda focal es el segmento de recta perpendicular al eje focal y que pasa por el foco , en nuestra gráfica, esta es el lado recto. Los elementos de una parábola son entonces: vértice, foco, longitud del lado recto, y la ecuación de la directriz. Nosotros estudiaremos únicamente las parábolas con ejes focales paralelos al eje X o al eje Y. La distancia del vértice a la directriz es la misma distancia del vértice al foco.
x 2
! 2 P y
Eje ocal y P : P arámet r o ( di st ancia d e l a d ir ect ri z al punto F ) 2P : e s el númer o que acompaña a µ y¶ o a µ x¶ y 2 ! 8 x F oco sobr e eje d e S imet ría // a µ x¶: 2 P ! 8 x1 ! E s P 2 y1 ! F
P
!4
P
! 2 x ! E 2 1
F oco sobr e
y1 y
2
eje d e S imet ría // a µ y¶:
! F s P 2
! 2 P x Eje Focal x
y F 2 ! 2 P x E
x E 2 ! 2 P y F
Vér tice d e s pl azad o en E y F y D x E y F ! 0 Eje hor izontal 2
x 2
D x E y F ! 0 Eje Ver tical
PRO PIED ADES DE L A P AR ÁBOL A Una de las propiedades geométricas de la parábola más utilizada fue descubierta por los griegos : un rayo, por ejemplo, de luz, que emane del foco, se refleja en la parábola a lo largo de una trayectoria paralela al eje de la parábola, sin importar cual sea el punto de reflexión.O recíprocamente, un rayo paralelo al eje de la parábola y reflejado en ella pasa por el foco.Este hecho es útil en la construcción de linternas, faros EAPIS
24
GE
E RÍ
LÍ I
E
I
I
I
automotrices y faros buscadores, en los cual es el reflector tiene una sección tran sversal parabólica y la fuent e lumino sa esta en el foco.Igualm ente, en los telescopios y receptores de radar, las se ales de una fu ent e remota entran paralelas al eje y se reflejan pasando por el fo co, mediante un reflector parabólico.La potente concentración que produce un reflector parabólico grande, como el de un radiotelescopio, hace posible detectar y analizar se ales lumino sas muy peque as. Teorema (pr opiedad d e reflexió ) La
tangente a una parábola en un punto forma ángulos iguales con :
La
recta que pasa por y por el foco (ángulo de reflexión).
La
recta que pasa por y es paral ela al eje de la parábola (ángulo de incid encia).
E je mplo:
1) Hallar la ecuación de las siguient es parábola s: a) De eje paralelo al coordenado x, qu e pa se por los puntos(-2 , 1), (1 , 2) y (-1 , 3) Recordando
la fórmula: y 2 Dx Ey F ! 0
Se reemplazan las x e y por los puntos formando un sistema de 3 ecua ciones con 3 incógnitas:
12 D 2 E 1 F ! 0 22 D1 E 2 F ! 0 32 D 1 E 3 F ! 0
E PI
2 D E F ! 1 D 2 E F !
4
3 E F !
9
D
25
GEOMETRÍA ANALÍTICA
MATEMÁTICA BÁSICA I
Resolviendo: D
!
2
5
E
!
21
5
F
!4
Reemplazando: y 2
2
21
5
5
x
y4!0
b) De eje vertical, que pase por los puntos (4 , 5) ; ( -2 , 11 ) y ( -4 , 21 ).
x
2
D x E y F ! 0
42 D4 E 5 F ! 0 22 D 2 E 11 F ! 0 42 D 4 E 21 F ! 0
4 D 5 E F ! 16
2 D 11 E F ! 4 4 D 21 E F ! 16
Resolviendo: D ! 4
E !
2
F ! 10
Reemplazando: x
EAPIS
2
4 x 2 y 10 ! 0
26
GEOMETRÍA ANALÍTICA
MATEMÁTICA BÁSICA I
L A ELI PSE DEFINICION: La elipse, al igual que la parábola, es una curva con importantes aplicaciones prácticas, que abarcan campos como la ingeniería y la astronomía. De manera típica esta curva plana tiene forma ovoide. En algunos casos, su forma es completamente redonda pues toda circunferencia es en realidad una elipse. Es el lugar geométrico de un punto P(x, y) que se mueve en un plano, de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (llamados focos) de ese plano es siempre igual a una constante y mayor que la distancia entre los dos puntos. que los separa.
! Focos V 1 a V 4 ! Vér tices x ! eje ocal y ! eje normal secundar io F 1 , F 2
P F 1 , P F 2 ! radios vectores 2c ! distancia focal 2a ! diámetro mayor 2b ! diámetro menor
2a " 2c @ a " c P F 1 P F 2 ! constante P | V 1 cte ! 2 a @ P F 1 P F 2 ! 2 a (1)
P F ! y 2
1
2
c x 2
P F 1
! y 2 c x 2
P F 2
! y 2 c x 2
Reempl azand o en (1): y 2
c x 2 ! 2 a y 2 c x 2
se elevan al cuadrado
2
¨© y 2 c x 2 ¸¹ ! ¨© 2 a y 2 c x 2 ¸¹ ª º ª º y 2
2
c x a
2 2
2
c
2
se resuelven
c 2 2 c x x 2 ! 4 a 2 4 a . y 2 c x 2 y 2 c 2 2 c x x 2 4 c x 4 a 2 ! 4 a . y 2 c x 2
c
ambos miembros
x 2 x
2
2 c xa 2 a 4
2
! ¨© a . y 2 c x 2 ¸¹ ª º 2 2 2 ! a y c 2 c x x 2
2 a 2 c x a 4 !
EAPIS
se divi e por - 4 y se elevan al cuadrado
a
2
y
2
se resuelven
a 2 c 2 2 a 2 c x a 2 x 2
27
GEOMETRÍA ANALÍTICA
MATEMÁTICA BÁSICA I
H aciend o una con st r ucción
au xil iar: a 2 ! b2 c2
a 4 a 2 c 2 ! a 2 y 2
x 2 a
2
y 2 b
y ! s
c c
2
b
2
2
! a 2 b2
dividir todo por a 2b 2
a2
! 1 Fórmula Canónica de la Elipse
2
b
a
c
x 2
2
b
2
a
2
x
2
2
; x ! s a
! a 2 b2
!s
! a 2 c2
a 2b 2 ! a 2 y 2 x 2b 2 y 2
2
a 2 x 2 c 2 x 2
a 2 a 2 c 2 ! a 2 y 2 x 2 a 2 c 2
1!
b
2
b
F | 2
a
2
b
2
®c; F ¯ °E ; c
y 2
El mayor (a o b) da el Eje Focal.
Excentricidad: e !
c
a
1
a
x ! E s ± ± e
Directrices: d | ¯ a ± y ! F s ± e ° Ecuación de la Elipse con centro de simetría desplazado del origen:
! x E y ! y F
x E 2 y F 2
x
a
2
b
2
!1
T ANGENTE A UN A ELIPSE: La ecuación de la tangente a la elipse centrada en el origen b x a y ! a b en cualquier punto P 1 x1 , y1 de la curva es: 2
2
2
2
2
2
b
EAPIS
x1 x a 2 y1 y ! a 2 b 2
2
28
GEOMETRÍA ANALÍTICA
MATEMÁTICA BÁSICA I
La ecuación de la tangente a la elipse con centro desplazado, de la forma
x E 2 y F 2 a2
b
2
! 1 en cualquier punto P x1 , y1 de la curva es: 1
y y1
!
b 2 ¨ x1 E ¸ © ¹¹ x x1 2 © a ª y1 F º
Las ecuaciones de las tangentes a la hipérbola y
! mx s
a
2
b
2
x 2
m
2
a 2 y 2 ! a 2b 2 de pendiente m son:
b2
Ejemplos: 1) Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la elipse
x 4 2 y 12 16
3
! 1 en el punto P 2 ; 0,5 . Representar gráficamente.
Se utiliza la fórmula de la tangente a la elipse con centro desplazado: y 0 ,5 ! y
1 2
3 ¨ 2 4 ¸
¹ x 2
©
16 ª 0,5 1 º
!
¨ 4 ¸ © ¹ x 2 16 ª 3 º 3
1 1 1 y ! x 4 2 2 y !
1 4
x Tangente
Para la normal se utiliza la fórmula de una recta que pasa por dos puntos: y y1 ! m x x1 La pendiente de la normal tiene que ser perpendicular a la pendiente de la tangente: y 0,5 ! 4 x 2
EAPIS
m1
!
1 4
;
m2
! 4
y ! 4 x 8,5 Normal
29
GEOMETRÍA ANALÍTICA
MATEMÁTICA BÁSICA I
L A HIPERBOL A DEFINICIÓN: La hipérbola es una curva que consta de dos ramas, y que, desde la antigüedad fue llamada hipérbola por los geómetras griegos. Muchos fenómenos de la física, ingeniería, biología y otras ciencias están representados mediante relaciones de proporcionalidad inversa, cuya gráfica es una r ama de esta curva. Aunque a primera vista podría pensarse que una de tales curvas es una parábola, veremos que no es así. Ambas curvas poseen, como cónicas, propiedades similares, pero como curvas independientes, muestran comportamientos muy diferentes. Es el lugar geométrico de un punto P ( x, y) que se mueve en un plano, de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano (denominaos focos), es constante, positiva y menor que la distancia entre los focos. La definición excluye el caso en que el punto móvil se mueva sobre la recta que pasa por los focos a excepción del segmento comprendido entre ellos. Los focos y el punto medio de este segmento no pueden pertenecer al lugar geométrico.
F , F : Focos Recta e : Eje focal V , V : Vértices VV : Eje transverso (sobre el eje focal) '
C : Centro (punto medio del eje transverso y del eje conjugado) Recta e : Eje normal (pasa por C y es perpendicular al eje focal)
EAPIS
30
GEOMETRÍA ANALÍTICA
AA'
MATEMÁTICA BÁSICA I
: Eje conjugado o no transverso (sobre eje normal)
Cuerda : Segmento que une dos puntos diferentes cualesquiera de la hipérbola EE '
: Cuerda Focal (pasa por uno de los focos)
LL '
: Lado recto (cuerda focal perpendicular al eje focal)
DD '
: Diámetro (cuerda que pasa por C)
P : Punto cualquiera de la hipérbola F P , F ' P :
radios vectores (segmentos que unen los focos con el punto P)
Ec uac i n de la hip érbola:
Considerar la hipérbola con centro en el origen y cuyo eje focal coincide con el eje X. Los focos F y F están entonces sobre el eje X. Como el centro O es el punto medio del segmento FF, las coordenadas de F y F serán (c,0) y (c,0), respectivamente, siendo c una constante positiva. Sea P(x,y) un punto cualquiera de la hipérbola. Entonces, por la definición de la hipérbola, el punto P debe satisfacer la condición geométrica siguiente, que expresa que el valor absoluto de la diferencia de las distancias del punto a los focos es una cantidad constante: F P
F P ! 2a '
(1)
En donde a es una constante positiva y 2a < 2c. La condición geométrica (1) es equivalente a las dos relaciones, F P
F P ! 2a
(2)
F P
F P ! 2a
(3)
'
'
La relación (2) es verdadera cuando P está sobre la rama izquierda de la hipérbola; la relación (3) se verifica cuando P está sobre la rama derecha. Reemplazando con la fórmula de distancia entre dos puntos se obtiene:
EAPIS
31
GEOMETRÍA ANALÍTICA
F P
MATEMÁTICA BÁSICA I
! x c 2 y 2 ,
F ' P
! x c2 y 2
por lo tanto, la relaciones (2) y (3) se pueden expresar:
x c2 y 2
x c2 y 2
! 2a
(4)
x c2 y 2
x c2 y 2
! 2a
(5)
Para simplificar la ecuación (4) (la ecuación (5) de forma análoga), se pasa el segundo radical al segundo miembro, se eleva al cuadrado, se simplifica y se agrupan los términos semejantes: 2
¨© x c 2 y 2 ¸¹ ! ¨© 2a x c2 y 2 ¸¹ ª º ª º
2
x c 2 y 2 ! 4a 2 2.2a. x c 2 y 2 x c2 y 2 x 2 2c x c 2
y 2 ! 4 a 2 4a. x c 2 y 2 x 2 2c x c 2 y 2
4c x 4a 2 ! 4a x c
2
c x a 2 ! a x c
2
y 2
y 2
Elevando nuevamente al cuadrado se obtiene: 2
c x a ! ¨©ª a x c y ¸ º¹ x 2c x c a y c x 2 a c x a ! a 2 2
2
c
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2 a 2 c x a 4 ! a 2 x 2 2 a 2 c x a 2c 2 a 2 y 2
2
x 2
de donde,
a 2 x 2 a 2 y 2 ! a 4 a 2 c 2 c 2 a 2 x 2 a 2 y 2 ! a 2 c 2 a 2 c
2
x 2
(6)
Por ser c>a, c 2 a 2 es un número positivo que se puede designar por b 2 . Por lo tanto, sustituyendo en la ecuación (6) la relación b 2 ! c 2 a 2 (7) se obtiene 2 2 2 2 2 2 b x a y ! a b , que puede escribirse de la forma: x 2 a
2
A x
2
y 2 b
2
! 1 Ecuación Canónica de la hipérbola
(8)
B y 2 D x E y F ! 0 Ecuación General de la hipérbola (9)
EAPIS
32
GEOMETRÍA ANALÍTICA
MATEMÁTICA BÁSICA I
Si los coeficientes A y B difieren en el signo, la ecuación general representa una hipérbola o dos rectas que se cortan. Las intersecciones en la ecuación (8) con el eje X son a y ±a. Por lo tanto, las coordenadas de los vértices V y V ¶ son ( a,0 ) y (-a,0 ), respectivamente, y la longitud del eje transverso es igual a 2a, que es la constante que interviene en la definición. Aunque no hay intersecciones con el eje Y , dos puntos, A( 0 ,b ) y A¶ ( 0 ,-b ), se toman como extremos del eje conjugado. Por lo tanto, la longitud del eje conjugado es igual a 2b. Como la hipérbola es simétrica con respecto a ambos ejes coordenados y al origen, despejando µ y¶ de la ecuación se obtiene: y ! s
b a
a2
x 2
(10)
Por lo tanto, para que los valores de y sean reales, x está restringida a variar dentro de los intervalos x u a y x e a . De aquí que ninguna porción del lugar geométrico aparece en la región comprendida entre las rectas x ! a y x ! a . De la relación (7) y la ecuación (10) se obtiene que la longitud de cada l do re to es 2b 2
.
a
La excentricidad de una hipérbola está definida por la razón
c a
.
Por lo tanto, de (7), se
tiene
e!
c a
!
a
2
b2
a
Como c>a, la excentricidad es mayor que la unidad.
Si el eje focal de la hipérbola coincide con el eje Y, se halla, análogamente, que la ecuación de la hipérbola es: y 2 a
2
x 2 b
2
!1
(11)
Si el centro de una hipérbola no está en el origen, siendo el centro el punto (E , F ) , con eje focal paralelo al eje X, la ecuación es de la forma:
x E 2 y F 2 a2
EAPIS
b
2
! 1, si el eje focal es paralelo al eje Y, queda:
y E 2 x F 2 a2
b
2
!1
33
GEOMETRÍA ANALÍTICA
MATEMÁTICA BÁSICA I
Asíntotas de una hipérbola : La hipérbola no tiene asíntotas horizontales ni verticales, pero si tiene dos asíntotas oblicuas. De la forma canónica de la ecuación de la hipérbola, b 2 x 2 a 2 y 2 ! a 2 b 2 (1) Se despeja y, se obtiene: y ! s
a
x 2
a 2 que puede escribirse en la forma
2
b
a
a
x 2
y ! s x 1
b
. (2)
Si un punto de la hipérbola (1) se mueve a lo l argo de la curva, de manera que la abcisa x aumenta numéricamente sin límite, el radical del segundo miembro de (2) se b
aproxima más y más a la unidad, y la ecuación tiende a la forma y ! s x a
b
b
a
a
(3).
Como la ecuación (3) representa las rectas y ! x y y ! x , esto lleva a inferir que la hipérbola es asíntota a estas dos rectas. La hipérbola b x
b
2
x 2
a 2 y 2 ! a 2b 2 , tiene por asíntotas a las rectas
b x
ay ! 0 y
ay ! 0
Ejemplos: 1) Representar gráficamente la hipérbola
x 2 125
y2 100
! 1 e indicar sobre su gráfico los
siguientes elementos: a) Focos
b) Eje Focal
c) Eje transverso, su longitud
d) Eje conjugado, su longitud
e) Vértices
EAPIS
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GEOMETRÍA ANALÍTICA
MATEMÁTICA BÁSICA I
2) Verificar que la hipérbola 9 x 2 16 y 2 ! 144 , y la elipse 3 x 2 4 y 2 ! 300 , tienen los mismos focos. 9 x 2 144 x
2
16
16 y 2
!
144
y
2
9
144
a
2
144
b
2
!1
c
! 16 !9
!
a
2
b2
c
! 16 9
c
! 25
c
!5
c
! 100 75
Focos de la hipérbola: 5;0y 5;0
3 x 2 300 x
2
100
4 y 2 300 y
!
300
a
2
300
b
2
2
75
!1
c
! 100 ! 75
!
a
2
b2
! 25 c!5 c
Focos de la elipse: 5;0y 5;0 Por lo tanto la hipérbola y la elipse tienen los mismos focos.
EAPIS
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GEOMETRÍA ANALÍTICA
MATEMÁTICA BÁSICA I
APLIC ACIONES Todo lo referente a la recta, circunferencia, parábola, elipse, e hipérbola son aplicables en la física, en los fenómenos que estudia esta rama de la ciencia, estos conceptos, teorías, teoremas, y muchas cosas más que se ven a lo largo de la rama de la geometría que es la Geometría Analítica y como ejemplos de el uso en la vida diaria de estas, tenemos:
Al determinar la velocidad, aceleración, o descomponer vamos a utilizar los conceptos preconcebidos que se tienen de la recta. Para realizar una medición de los neumáticos de una maquina de transporte, los conceptos que se tienen también nos ayudan a determinar las revoluciones por minuto (rpm) de un motor. Con la ayuda de las teorías de la parábola se puede llegar a medir aproximadamente el viaje de la luz. Como la elipse es un tipo de circunferencia esta complementa en las mediciones de las fuerzas que se realizan con las fajas.
Y así existen muchas cosas más complejas que se pueden realizar y otras que ocurren en nuestro entorno si darnos cuenta, y conoci endo un poco se puede ver algunos fenómenos que no tomamos en cuenta en nuestra vida diaria.
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