Monografia de Geodesia 1111

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO - PUNO FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA DE MINAS

CURSO: GEODESIA Y CARTOGRAFIA MINERA DOCENTE: Ing. Lucio Quea Gutiérrez DICENTE: Edy German Condori Barriales

SEMESTRE: V Grupo “B”

PUNO –  PERU  PERU

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO PUNO Facultad De Ingeniería De Minas

GEODESIA Y CARTOGRAFIA MINERA

MONOGRAFIA DE FORMA ELIPSOIDE DE LA TIERRA

CONDORI BARRIALES, EDY GERMAN

Puno, Perú

2016

Dedicatoria a mi madre, por su apoyo incondicional y a mis amigos(as) que colaboraron desinteresadamente. Edy German Condori Barriales

INDICE PORTARA DEDICATORIA INTRODUCCION Tabla de contenido CAPITULO 1 ........................................................................................................................................ 6 LA FORMA DE LA TIERRA EN LA HISTORIA  ............................................................................................. 6 CONTADA POR LOS GRIEGOS  ......................................................................................................... 6 CAPÍTULO 2  ....................................................................................................................................... 8 MATEMÁTICAMENTE EL ELIPSOIDE ...................................................................................................... 8 2.1 ECUACIÓN CARTESIANA DE UN ELIPSOIDE  .................................................................................... 8 2.2 SUPERFICIE  .......................................................................................................................... 8 2.3 VOLUMEN ............................................................................................................................. 8 CAPÍTULO 3  ..................................................................................................................................... 10 3.1 ELIPSOIDE TERRESTRE  ............................................................................................................... 10 3.1.1 MODELO GEOMÉTRICO .......................................................................................................... 10 3.1.2 MODELO DINÁMICO ............................................................................................................. 10 3.2 POSICIÓN SOBRE LA SUPERFICIE DE LA TIERRA  .............................................................................. 12 3.2.1 CORRECCIÓN DE COORDENADAS POR ALTITUD  ......................................................................... 13 CAPITULO 4  ..................................................................................................................................... 14 4.1 ELIPSOIDE DE REFERENCIA ......................................................................................................... 14 4.2 ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN ........................................................................................................ 14 CAPITULO 5  ..................................................................................................................................... 16 5.1 LA DIFERENCIA ENTRE EL GEOIDE Y EL ELIPSOIDE  ............................................................................ 16 5.1.1 ELIPSOIDE ......................................................................................................................... 16 5.1.2 GEOIDE ............................................................................................................................ 16 5.1.3 ELEVACIÓN TOPOGRÁFICA  .................................................................................................... 1 6 5.1.4 DIFERENCIAS CLAVE  ........................................................................................................... 16 5.2 USOS PRÁCTICOS  .................................................................................................................... 16 CONCLUCIONES: ............................................................................................................................... 17 REFERECIAS: .................................................................................................................................... 17

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INTRODUCCION El  elipsoide se utiliza como un marco de referencia en cálculos geodésicos. Se trata de una forma de la Tierra, con la que es más fácil trabajar que con el geoide. Es relativamente fácil de describir elipsoide de referencia utilizando empleando fórmulas matemáticas. La descripción del geoide es mucho más compleja, ya que conlleva realizar mediciones muy precisas. En los primeros modelos se empleaba la esfera, utilizada ya desde la Antigua Grecia. En el siglo XVII, había dudas sobre si la Tierra era una esfera perfecta. El 1688, Isaac Newton resolvió una controversia con Giovanni Domenico Cassini demostrando matemáticamente1 que la rotación de la Tierra generaba un allanamiento en la zona de los polos, y no en el ecuador. En la práctica esto no fue demostrado hasta medio siglo más tarde, por parte de Pierre Bouguer y Alexis-Claude Clairaut. Ambos hicieron unas expediciones al Perú y Laponia (1735-1741), respectivamente. Fue la comparación de ambos resultados que permitió demostrar este hecho. La expresión forma de la Tierra tiene varios significados en geodesia según el uso y la precisión con que se desea definir el tamaño y la figura de la Tierra. La superficie de la Tierra se vuelve más aparente con su variedad de formas de tierra y áreas de agua. Esta es, de hecho, la superficie sobre la cual las medidas modernas se llevan a cabo, sin embargo, no es deseable para propósitos matemáticos, pues el trabajo requerido para tomar en cuenta las irregularidades necesitaría de un número prohibitivo de cálculos. La superficie topográfica es generalmente el ámbito de estudio de topógrafos e hidrógrafos. En la actualidad, se sabe que la forma de la tierra es más parecida a un Geoide, entendiéndose como tal, la superficie real resultante de los mares en calma y sobre la cual la gravedad en todos sus puntos es normal a ella. La presente investigación pretende contribuir en al conocimiento de los compañeros de la Facultad de Ingeniería de Minas del curso de Geodesia Y Cartografía Minera.

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CAPITULO 1 LA FORMA DE LA TIERRA EN LA HISTORIA CONTADA POR LOS GRIEGOS La forma de la tierra ha variado mucho a lo largo de la historia. El desconocimiento, miedos, tabúes y limitaciones de la época, hacían pensar que la tierra era plana y tenía un fin. Ningún hombre antiguo llegó nunca al final de la tierra. Aunque se viajara muy lejos, siempre se pensaría que el fin de ésta, estaría más allá de donde ellos habían llegado.

Un ejemplo claro del pensamiento anterior, se puede encontrar en los libros escritos por Homero, en el que concebía la tierra como un disco flotando sobre el agua en el interior de una semiesfera transparente. Sobre el borde del disco descansaba la bóveda de los cielos y por debajo el reino de la oscuridad y los muertos.

fue el primero en empezar a cartografiar el mundo globalmente: con los ríos y los mares. Seguía pensando que la tierra era plana, pero con él apareció el concepto ecúmene en el que el mundo habitado era dos veces más grande en eje este-oeste que en norte-sur, es decir como un cilindro oblongo. El mapa abarcaba todo el ámbito de la tierra habitable con todos los mares y ríos conocidos y se distribuía alrededor del mar Mediterráneo que a su vez estaba rodeada por un río-océano.

fue un historiador griego que perfeccionó la imagen de la tierra que se tenía según Anaximandro, aportando datos nuevos referidos a las zonas más alejadas del centro del mundo.

filósofo griego al que se le atribuye como el primero en describir la esfericidad de la tierra y la situó en el cetro del universo. Acertó con la forma, aunque no fueron cuestiones geométricas o astronómicas las que indujeron tal afirmación, sino la cabal preferencia por la simetría y el equilibrio. Estos conceptos eran muy gratos a los pensadores griegos, siendo la esfera la forma más pura y perfecta del universo. Por tanto, con este pensamiento, sólo cabía esperar que el universo mismo y la tierra toda, participaran de esta perfección.

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filósofo y científico sustentó la anterior teoría (filosófica), basándose en razones geométricas y prácticas. Lo argumentó de la siguiente manera: si un observador ve aparecer un barco por la línea de horizonte, verá primero los mástiles y a continuación el casco. Además si ese mismo observador sigue un mismo meridiano, verá cambiar la elevación de la estrella polar y aparecerá en el horizonte estrellas y constelaciones que antes no se veían en el lugar de origen. Calculó la longitud de la circunferencia de la tierra en 72.000 km. A partir de estos momentos, la tierra será considerada esférica y los siguientes años se dedicarían a tratar de averiguar con precisión la longitud del radio de la tierra, de una manera más precisa. filósofo, astrónomo, matemático, geógrafo y director de la biblioteca de Alejandría, midió con exactitud la longitud del meridiano terrestre con una precisión sorprendente, equivalente a 39.500 km (no está mal teniendo en cuenta que con los medios actuales se ha obtenido una longitud de 40.000km). Este descubrimiento duró poco, ya que uno de sus seguidores Posidonio de Rodas, político, astrónomo, geógrafo, filósofo e historiador (135-50 a.C.), rehízo los cálculos y disminuyó la medida a algo más de 28.000 kilómetros, ¡un cuarto de superficie terrestre!. Su exposición indujo a un equívoco que duraría más de 1.500 años y en virtud del cual partió Colón hacia Occidente con la idea de llegar a Oriente, que presumía a la vuelta de la esquina.

físico, filósofo, teólogo, inventor, alquimista y matemático, quien da un paso más allá y comenzó a considerar la tierra como una figura elipsoidal cuyo eje mayor se encuentra de Este-Oeste. El razonamiento lo basó en el achatamiento de los polos como consecuencia de las diferentes velocidades rotacionales, siendo mayor en el ecuador e igual a cero en los polos. La tierra tiene forma de elipsoide de revolución achatada por los polos.

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CAPÍTULO 2 MATEMÁTICAMENTE EL ELIPSOIDE Un elipsoide es una superficie curva cerrada cuyas tres secciones ortogonales principales son elípticas, es decir, son originadas por planos que contienen dos ejes cartesianos. En matemáticas, es una cuádrica análoga a la elipse, pero en tres dimensiones. Un elipsoide se obtiene al «deformar» una esfera, mediante una transformación homológica, en la dirección de sus tres diámetros ortogonales.

2.1 ECUACIÓN CARTESIANA DE UN ELIPSOIDE La ecuación de un elipsoide con centro en el origen de coordenadas y ejes coincidentes con los cartesianos, es:

donde a, b y c son las longitudes de los semiejes del elipsoide respecto de los ejes x, y , z; son números reales positivos y determinan la forma del elipsoide. Si dos de estos semiejes son iguales, el elipsoide es un esferoide; si los tres son iguales, se trata de una esfera.

2.2 SUPERFICIE La superficie de un elipsoide está dada por la siguiente fórmula:

donde:

es su excentricidad angular,

son las integrales elípticas de primera y segunda especie.

Una ecuación aproximada de su superficie es:

donde p ≈ 1,6075. Con esta expresión se obtiene un error máximo de ±1,061%, en función de los valores de a, b y c. El valor p = 8/5 = 1,6 es óptimo para elipsoides cuasi esféricos, con un error relativo máximo de 1,178%.1

2.3 VOLUMEN El volumen de un elipsoide está dado por la ecuación:

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Utilizando Geometría diferencial se puede demostrar la expresión anterior. Se sabe que el volumen de una región cerrada Ω corresponde a la integral triple de la función f(x,y,z) = 1 y que si se realiza algún cambio de coordenadas ( por ejemplo esféricas) se ha de multiplicar por el Jacobiano del Cambio de Variable y adaptar los límites de integración.

En este caso el cambio de variable es de tipo pseudoesférico, mucho más general que el de la esfera (por un motivo lógico, un elipsoide con todos sus parámetros a,b,c iguales genera una esfera, es decir, que la esfera es un elipsoide particular con un alto grado de simetría). También se han definido los límites de integración.

Para calcular el Jacobiano habría que calcularse la matriz en derivadas parciales respecto de de esta matriz cuadrada tres por tres da como resultado:

y el determinante

Por lo tanto la integral que hay que resolver es teniendo el cuenta lo dicho anteriormente es:

Operando:

(Q,E,D) Una demostración alterna se puede hacer con sumas de Riemann. Esta consiste en sumar a lo largo del eje X las áreas de las secciones transversales. Como la sección transversal de un elipsoide es una elipse, su área está dada por por lo que el volumen del elipsoide estaría dado por:

Nuevamente como las secciones transversales son elipses se tiene:

Reemplazando:

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CAPÍTULO 3 3.1 ELIPSOIDE TERRESTRE Debido a las irregularidades que presenta la superficie física de la Tierra, se hace necesario asimilarla a una cierta superficie más o menos ideal que reproduzca ciertas magnitudes físicas; es lo que corrientemente denominamos un "modelo".

3.1.1 MODELO GEOMÉTRICO Desde un punto de vista geométrico, la Tierra puede considerarse, en primera aproximación, como una esfera de radio 6.371 km y, en segunda aproximación, como un elipsoide de revolución. La esfera y el elipsoide son equivalentes, tanto en área como en volumen, y el radio de la esfera, llamado radio medio de la Tierra, es la media aritmética de los tres semiejes del elipsoide (aproximada al km). Los elementos del elipsoide de revolución que fue adoptado como "elipsoide internacional" por la Asamblea General de la Unión Geodésica y Geofísica Internacional (U.G.G.I.), celebrada en Madrid en 1924, son: radio ecuatorial: a = 6.378,388 km achatamiento: f = a a− c =297 1 de los que se deduce: radio polar: c = 6.356,912 km Como consecuencia de los resultados obtenidos mediante la observación de satélites artificiales, en la Asamblea General de la Unión Astronómica Internacional (U.A.I.), celebrada en Hamburgo en 1964, se recomendó trabajar con los siguientes elementos: a = 6.378,160 km 1 = 298, 25 Ultimamente, en la Asamblea General de la Unión Astronómica Internacional que se celebró en Grenoble en 1976, se adoptó un nuevo sistema de constantes astronó-micas, designado por IAU (1976), que entró en vigor el 1 de enero de 1984. En él se toma: a = 6.378,140 km 1 = 298, 257

3.1.2 MODELO DINÁMICO El potencial creado por la Tierra no es de revolución. Ello se intenta explicar considerando que la Tierra, desde un punto de vista dinámico, se aproxima mediante un elipsoide de tres ejes cuyos elementos son: a = 6.378,2 km f = a − c = 1 a 298,3 1

a − b

e=

= a

30.000

donde f y fe son el achatamiento polar y el achatamiento ecuatorial, respectivamente.

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Desde 1958, por observación de las anomalías orbitales del satélite artificial Vanguard 1958 β2 , se sabe que, en cuanto se refiere a la distribución de masas, la Tierra tiene forma de pera. En la figura 1.2 la comparamos con el elipsoide.

FIG 1.2 El elipsoide de revolución es una sencilla figura geométrica de referencia, pero que se aparta algo de la forma real de la Tierra. Por eso se define el geoide relativo a un punto como la superficie ortogonal en cada punto a la dirección de la gravedad. Difiere en ±100 m del elipsoide de referencia. La fig ura teórica que se obtiene es una superficie que, coincidiendo con la superficie media de los mares (hecha abstracción de mareas y corrientes), se prolonga hipotéticamente por debajo de los continentes. Para ajustar el geoide real al teórico se ha de efectuar una compensación de masas.

FIG 2.2

Consideremos el elipsoide como figura de referencia y un observador O situado sobre dicho elipsoide. Para este observador O, llamaremos (Fig. 2.2): Vertical geodésica, Zg, a la dirección normal al elipsoide en O. Horizonte geodésico, Hg, al plano tangente al elipsoide en O. Vertical astronómica, Za, a la dirección normal al geoide que pasa por O (la dirección de la plomada). Horizonte astronómico, Ha, al plano tangente al geoide en O. Desviación de la vertical, θ , al ángulo que forman las verticales geodésica y astronómica. Su valor varia desde fracciones de segundo a un minuto de arco, lo que provoca errores de medida desde decenas de metros a 2 km. La Tierra gira alrededor de un eje de rotación instantánea, o eje del mundo, que no coincide ni con el eje de figura del elipsoide ni con el tercer eje del elipsoide central de inercia. Sean (Fig. 3.2): O el centro del elipsoide, T el centro de gravedad de la Tierra, i el eje instantáneo de rotación, e el eje de figura del elipsoide y e' el tercer eje del elipsoide central de inercia.

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Se definen los siguientes elementos:

FIG 3.2

Ecuador instantáneo, Qv, plano que pasa por el centro de gravedad de la Tierra y es ortogonal al eje instantáneo. Ecuador medio, Qm, plano que pasa por el centro del elipsoide y es ortogonal al eje de figura. Latitud astronómica, ángulo que forma la vertical astronómica con el ecuador instantáneo. Latitud geodésica, ángulo que forma la vertical geodésica con el ecuador medio. En lo que sigue se considerará que el centro del elipsoide coincide con el centro de gravedad de la Tierra (O=T) y que el eje de figura coincide con el tercer eje del elipsoide central de inercia (e =e'). Esto equivale a despreciar los desplazamientos de T y de e', debido a movimientos de masas interiores, y a considerar un eje y un ecuador medios que contienen los tres ejes del elipsoide central de inercia.

3.2 POSICIÓN SOBRE LA SUPERFICIE DE LA TIERRA Entre los diversos autores, no hay un criterio unánime para definir las coordenadas geográficas. Unos consideran como geográficas las astronómicas medias mientras que otros toman como geográficas las geodésicas. Así lo haremos nosotros, llamando coordenadas geográficas a las geodésicas, considerando los meridianos y los paralelos sobre un elipsoide de revolución cuyos ejes mayores estén situados en el ecuador medio y cuyo eje menor sea el eje polar medio. La longitud geográfica ya ha sido definida en el apartado 1.7.1. Para fijar la posición de un lugar O situado sobre la superficie de la Tierra, es ne-cesario conocer sus coordenadas rectangulares o polares con respecto a la elipse sección del elipsoide por el meridiano del lugar. Representemos, pues, la sección meridiana del elipsoide terrestre junto con su circunferencia principal(Fig. 4.2).

FIG 4.

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Sean T el centro de la Tierra, a el radio ecuatorial y c el radio polar. Consideremos un sistema de coordenadas cartesianas con origen en T y ejes X sobre a y Z sobre c. Sea, además, O un punto cualquiera del elipsoide. Si trazamos la vertical geodésica Zg (ortogonal al elipsoide) en O, φ representará la latitud geográfica. Asimismo, φ ' , ángulo del vector de posición de O con el eje X, se denomina latitud geocéntrica de O. La diferencia: v=φ−φ

′ 

se llama ángulo de la vertical y, como se demostrará, es siempre v