monografia de fisica.docx

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DEDICATORIA

Dedico este trabajo a los estudiantes que cursan el primer ciclo para que tengan un conocimiento acerca de este tema, o cualquier otra persona busque comprender y entender más este tema. Huamán Villanueva Thania Celfa.

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AGRADECIMIENTO

 Agradezco a Dios por haberme dado la oportunidad

de

realizar

esta

monografía y haber concluido con buenos resultados. Agradezco a mi hermano por haberme apoyado con ciertos libros, agradezco también a mis padres por su apoyo y a mi prima por la orientación en el tema.

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ÍNDICE Pag

Dedicatoria. ….………………………………………………………………………1  Agradecimiento. .……………………………………………………………………2 Introducción. ..……………………………………………………………………….5

Objetivos………………………………………………………………………….6 CINEMÁTICA 1. historia acerca de la definición del término

…..…………………………..8

1.1 ¿Qué es la cinemática?….……………………………………………………..8 2. Elementos Básicos de la cinemática………………………………………... ....8

3. conceptos fundamentales de la cinemática……………………… cinemática……………………………….. ………..9 3.1 posición…………………………………………………………………………..9 3.2 Partícula…………………………………………………………………….… ....9 3.3 Desplazamiento……………………………………………………………….…9

3.4 Movimiento………………………………………………….………………..…10 3.4.1 Elementos del movimiento…………………………………………………..10 3.4.2 Tipos de movimientos……………………………………………………..…10

 A. Movimiento rectilíneo…………………………………………………….…10  A.1 movimiento uniforme………………………………………………..11

 A.2 movimiento uniformemente variado variado ……………………………….13 B. Movimiento curvilíneo………………………………………………………14 C. Movimiento circular…………………………………………………………14 D. Movimiento parabólico……………………………………………………..19

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E. Movimiento pendular……………………………………………………….22

Conclusiones……………………………………………………………………..28 Recomendaciones……………………………………………………………….29 Bibliografía………………………………………………………………………..30

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INTRODUCCIÓN En el presente trabajo investigativo tratará de la cinemática, la que pertenece a la mecánica clásica, newtoniana o simplemente mecánica. La mecánica es la ciencia del movimiento. En un principio, la física pretendía dar imágenes mecánicas de todos los fenómenos físicos y en tiempos de GALILEO (15641642) ya se reconocía el papel hegemónico 1 de la mecánica. Hoy en día se ha renunciado a ese propósito pero, no obstante, los principios de la mecánica encuentran aplicación en todos los campos de la física y por ello deberemos comprenderlos bien antes de querer aprender otras ramas de la mecánica. La mecánica es una rama de la física que estudia los movimientos y las fuerzas que los producen. Atendiendo a la naturaleza de su contenido, la mecánica puede dividirse en dos partes: CINEMATICA o teoría geométrica del movimiento y DINAMICA o estudio de las relaciones existentes entre las fuerzas y los movimientos que esas producen. En el presente trabajo nos preocuparemos por describir adecuadamente el movimiento de los cuerpos (cinemática).

1

Supremacía que un estado o pueblo ejerce sobre otro

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OBJETIVOS Uno de los principales objetivos del respectivo trabajo es la comprensión del tema es decir poder llegar a entender la cinemática, poder ser capaces de desarrollar los diversos problemas que se presentan en nuestras vidas como estudiantes de ingeniería civil, los que están relacionados con el tema.

LA CINEMÁTICA CINEMÁTICA (MOVIMIENTO) HUAMÁN VILLANUEVA, THANIA CELFA

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1. HISTORIA ACERCA DE LA DEFINICIÓN DEL TÉRMINO Los primeros conceptos sobre Cinemática se remontan al siglo XIV, particularmente aquellos que forman parte de la doctrina de la intensidad de las formas o teoría de los cálculos (calculationes). Estos desarrollos se deben a científicos como William Heytesbury y Richard Swineshead, en Inglaterra, y a otros, como Nicolás Oresme 2, de la escuela francesa. Hacia el 1604, Galileo Galilei 3  hizo sus famosos estudios del movimiento de caída libre y de esferas en planos inclinados a fin de comprender aspectos del movimiento relevantes en su tiempo, como el movimiento de los planetas y de las balas de cañón. Posteriormente, el estudio de la cicloide realizado por Evangelista Torricelli (1608-47), va configurando lo que se conocería como Geometría del Movimiento. El nacimiento de la Cinemática moderna tiene lugar con la alocución 4 de Pierre Varignon el 20 de enero de 1700 ante la Academia Real de las Ciencias de París. En esta ocasión define la noción de aceleración y muestra cómo es posible deducirla de la velocidad instantánea con la ayuda de un simple procedimiento de cálculo diferencial. En la segunda mitad del siglo XVIII se produjeron más contribuciones por Jean Le Rond d’Alembert, Leonhard Euler y André-Marie Ampère, continuando con

el enunciado de la ley fundamental del centro instantáneo de rotación en el movimiento plano, de Daniel Bernoulli (1700-1782).

2

 (en francés Nicole Oresme o Nicole d'Oresme) (c. 1323 - 11 de julio de 1382) fue un genio intelectual perteneciente a la  escolástica tardía y probablemente el pensador más original del siglo XIV, por su actividad como economista,matemático, físico, astrónomo, filósofo, psicólogo, y musicólogo. Fue también un teólogo reconocido y obispo de Lisieux, además traductor y consejero del rey Carlos V de Francia 3 (Pisa, 15 de febrero de 1564 – Arcetri, 8 de enero de 1642) fue un astrónomo, filósofo, ingeniero, matemático y físico. 4 Discurso breve dirigido por un superior a sus subordinados con una finalidad determinada CINEMÁTICA (MOVIMIENTO) HUAMÁN VILLANUEVA, THANIA CELFA

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El vocablo Cinemática fue creado por André-Marie Ampere (1775-1836), quien delimitó el contenido de la Cinemática y aclaró su posición dentro del campo de la Mecánica. Desde entonces y hasta nuestros días la Cinemática ha continuado su desarrollo hasta adquirir una estructura propia.

1.1 ¿QUÉ ES LA CINEMÁTICA? La cinemática es la rama de la mecánica clásica que se ocupa del estudio de las leyes del movimiento de los cuerpos, independientemente y sin tener en cuenta aquellas causas que lo producen, es decir, la cinemática, se centra y limita a estudiar la trayectoria de un cuerpo en función del tiempo. 2. ELEMENTOS BÁSICOS DE LA CINEMÁTICA Los elementos básicos de la Cinemática son: espacio, tiempo y móvil. En la Mecánica Clásica se admite la existencia de un espacio absoluto; es decir, un espacio anterior a todos los objetos materiales e independientes de la existencia de estos. Este espacio es el escenario donde ocurren todos los fenómenos físicos, y se supone que todas las leyes de la física se cumplen rigurosamente en todas las regiones de ese espacio. El espacio físico se representa en la Mecánica Clásica mediante un espacio puntual euclídeo 5.  Análogamente, la Mecánica Clásica admite la existencia de un tiempo absoluto que transcurre del mismo modo en todas las regiones del Universo y que es independiente de la existencia de los objetos materiales y de la ocurrencia de los fenómenos físicos. El móvil más simple que podemos considerar es el punto material o partícula; cuando en la Cinemática se estudia este caso particular de móvil, se denomina “Cinemática de la partícula”; y cuando el móvil bajo estudio es un cuerpo rígido, 5

 es un tipo de espacio geométrico donde se satisfacen los axiomas de Euclides de la geometría. CINEMÁTICA (MOVIMIENTO) HUAMÁN VILLANUEVA, THANIA CELFA

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se lo puede considerar como un sistema de partículas y hacer extensivos similares conceptos; en este caso se la denomina Cinemática del sólido rígido o del cuerpo rígido. 3. CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE LA CINEMÁTICA Para la cinemática es primordial definir na serie de conceptos que permiten la interpretación de los fenómenos del movimiento. 3.1 POSICIÓN La posición de un cuerpo está definida desde la física por las coordenadas del punto ocupado por este en determinado momento, así las coordenadas (x,t) definen la posición para una dimensión (x,y,t) para dos dimensiones y (x,y,z,t) para las tres dimensiones donde x, y, y z son las coordenadas cartesianas y t el parámetro de la física llamado tiempo. 3.2 PARTÍCULA El concepto de partícula se puede definir como la abstracción que los científicos han hecho de los cuerpos y utilizado para modelar en la física, con el fin de aplicar la matemática y desde allí expresar las leyes que rigen los fenómenos físicos. Luego una partícula es todo cuerpo cuyas dimensiones son muy pequeñas comparadas con las dimensiones del sistema, su movimiento es de traslación6  únicamente, es decir solo varían las coordenadas cartesianas con respecto al sistema de referencia. (definicion de particula) 3.3 DESPLAZAMIENTO 

El desplazamiento es el vector que une la posición inicial con la final de un cuerpo que se mueve. El desplazamiento se puede abordar desde tres puntos de vista a partir de las coordenadas cartesianas (x,y).



tomando elementos de la trayectoria l llamados de lo infinitésimos de trayectoria.

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 Es el que la Tierra realiza alrededor del Sol, describiendo una órbita elíptica de 93 millones de km, a una velocidad de 28,9 Km por segundo. CINEMÁTICA (MOVIMIENTO) HUAMÁN VILLANUEVA, THANIA CELFA

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

por último utilizando el vector de posición r , siendo el desplazamiento la diferencia vectorial Δr entre la posición final e inicial.

3.4 MOVIMIENTO El movimiento es la variación de la posición de un cuerpo respecto del marco de referencia elegido, para este caso solo se consideran los movimientos de traslación y el de rotación. La traslación se sucede cuando la posición de la partícula cambia respecto del origen de coordenadas fijo al cuerpo referencial en el tiempo y rota cuando las coordenadas de un punto del cuerpo varían respecto de un sistema de referencia asociado al cuerpo en movimiento, llamado eje de rotación. (Carrera, 2010) 3.4.1 ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO En todo movimiento hay que distinguir tres elementos fundamentales: 

El cuerpo o móvil



El sistema de referencia



La trayectoria

3.4.2 TIPOS DE MOVIMIENTOS  A. MOVIMIENTO RECTILÍNEO Un movimiento es rectilíneo cuando describe una trayectoria recta. En ese tipo de movimiento la aceleración y la velocidad son siempre paralelas. La posición del objeto está definida por su desplazamiento medio desde un punto arbitrario u origen. En principio, el desplazamiento puede relacionarse con el tiempo mediante una relación funcional x= ḟ   (t). Obviamente x puede ser positiva o negativa. Para determinar la velocidad instantánea en un punto, debemos hacer el intervalo de tiempo Δt tan pequeño como sea posible , de modo que inicialmente no ocurran cambios en el estado de movimiento durante este pequeño intervalo. También podemos obtener la velocidad instantánea calculando la derivada del desplazamiento con respecto al tiempo. (Finn, 1967) Este movimiento a su vez se puede dividir en:

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 A.1 MOVIMIENTO UNIFORME El  movimiento rectilíneo uniforme cuya trayectoria además de ser una línea recta se recorre a velocidad constante, es decir, con una aceleración nula. Esto implica que la velocidad media entre dos instantes cualesquiera siempre tendrá el mismo valor. Además la velocidad instantánea y media de este movimiento coincidirán. Un movimiento es rectilíneo cuando un móvil describe una trayectoria recta, y es uniforme cuando su velocidad es constante en el tiempo, dado que su aceleración es nula. Nos referimos a él mediante el acrónimo 7 MRU, que en otros países es MRC, que significa Movimiento Rectilíneo Constante. (profesor en linea, 2012)    

Movimiento que se realiza sobre una línea recta. Velocidad constante; implica magnitud y dirección constantes. La magnitud de la velocidad recibe el nombre de celeridad o rapidez.  Aceleración nula.

1. A.1 PROPIEDADES Y CARACTERÍSTICAS La distancia recorrida se calcula multiplicando la magnitud de la velocidad o rapidez por el tiempo transcurrido. Esta relación también es aplicable si la trayectoria no es rectilínea, con tal que la  rapidez o módulo de la velocidad sea constante. Por lo tanto el movimiento puede considerarse en dos sentidos; una velocidad negativa representa un movimiento en dirección contraria al sentido que convencionalmente hayamos adoptado como positivo. De acuerdo con la Primera Ley de Newton 8, toda partícula permanece en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme cuando no hay una fuerza externa que actúe sobre el cuerpo, dado que las fuerzas actuales están en equilibrio, por lo cual su estado es de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme. Esta es una situación ideal, ya que siempre existen fuerzas que tienden a alterar el movimiento de las partículas, por lo que en el movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U) es difícil encontrar la fuerza amplificada.

7

 Palabra formada por las iniciales, y a veces por más letras, de otras palabras  conocida también como Ley de inercia, nos dice que si sobre un cuerpo no actúa ningún otro, este permanecerá indefinidamente moviéndose en línea recta con velocidad constante (incluido el estado de reposo, que equivale a velocidad cero). 8

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2. A.1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL MOVIMIENTO  Al representar gráficamente en un sistema de coordenadas cartesianas, la velocidad en función del tiempo se obtiene una recta paralela al eje de abscisas (tiempo). Además, el área bajo la recta producida representa la distancia recorrida. La representación gráfica de la distancia recorrida en función del tiempo da lugar a una recta cuya pendiente se corresponde con la velocidad. 3. A.1 ECUACIONES DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME: Sabemos que la velocidad aceleración. La posición

es constante; esto significa que no existe

en cualquier instante viene dada por: .

Para una posición inicial y un tiempo inicial t0, ambos distintos de cero, la posición para cualquier tiempo está dada por:

Esta ecuación se obtiene de: Derivación de las ecuaciones de movimiento

Para el cálculo del espacio recorrido, sabiendo que la velocidad es constante y de acuerdo con la definición de velocidad,

separando variables,

integrando,

y realizando la integral,

Donde

es la constante de integración, que corresponde a la posición del

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móvil para . Si en el instante el móvil está en el origen de coordenadas, entonces . Esta ecuación determina la posición de la  partícula en movimiento en función del tiempo.

4. A.1 APLICACIONES En astronomía, el MRU es muy utilizado. Los planetas y las estrellas no se mueven en línea recta, pero la que sí se mueve en línea recta es la luz, y siempre a la misma velocidad. Entonces, sabiendo la distancia a la que se encuentra un objeto, se puede saber el tiempo que tarda la luz en recorrer esa distancia. Por ejemplo, el sol se encuentra a 150.000.000 km. La luz, por lo tanto, tarda 500 segundos (8 minutos 20 segundos) en llegar hasta la tierra. La realidad es un poco más compleja, con la relatividad de por medio, pero a grandes rasgos podemos decir que la luz sigue un movimiento rectilíneo uniforme.  A.2 MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE VARIADO El Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado es aquél en el que un cuerpo se desplaza sobre una recta con aceleración constante. Esto implica que en cualquier intervalo de tiempo, la aceleración del cuerpo tendrá siempre el mismo valor. Por ejemplo la caída libre de un cuerpo, con aceleración de la gravedad constante. El movimiento rectilíneo uniformemente variado describe una trayectoria en línea recta este movimiento que recorre espacios diferentes en tiempos iguales  Además la aceleración juega un papel muy importante porque es la variación que experimenta la velocidad en la unidad de tiempo. Se considera positiva en el movimiento acelerado y negativa en el retardado El MRUV está relacionado con la aceleración de la gravedad es decir que la gravedad juega un papel muy importante en este fenómeno El movimiento rectilíneo uniformemente variado es aquel que experimenta aumentos o disminuciones y además la trayectoria es una línea recta Por tanto, unas veces se mueve más rápidamente y posiblemente otras veces va más despacio. En este caso se llama velocidad media Por tanto cabe mencionar que si la velocidad aumenta el movimiento es acelerado, pero si la velocidad disminuye es retardado La representación Gráfica Es Una Parábola y existen dos Alt ernativas:

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 A) Si La Parábola Presenta Concavidad Positiva (Simulando La Posición De Una "U"), El Movimiento Se Denomina Movimiento Uniformemente Acelerado (M.U.A.). B) Si La Parábola Presenta Concavidad Negativa (“U" Invertida), El Movimiento

Se Denomina: Movimiento Uniformemente Retardado (M.U.R.).Esta parábola describe la relación que existe entre el tiempo y la distancia, ambos son directamente proporcionales a la un medio; y ese es el objetivo principal en que se basa el modelo de hipótesis de trabajo. Se puede interpretar que en el MRUV La velocidad se mantiene constante a lo largo del tiempo. B) MOVIMIENTO CURVILÍNEO Llamamos movimiento curvilíneo al movimiento que realiza una partícula o un móvil que sigue una trayectoria parabólica, elíptica, vibratoria, oscilatoria o circular. Todo movimiento curvilíneo se puede considerar como la composición de movimientos rectilíneos sobre los dos ejes de coordenadas. Todo movimiento curvilíneo tiene, al menos, componente normal de la aceleración. Los movimientos curvilíneos más estudiados en física son aquellos que describen las trayectorias llamadas cónicas (distintas intersecciones de un plano con un cono): movimientos circulares, elípticos, parabólicos e hiperbólicos. C) MOVIMIENTO CIRCULAR El movimiento circular es el que se basa en un  eje de giro y radio constante: la trayectoria será una circunferencia.  Si, además, la velocidad de giro es constante, se produce el movimiento circular uniforme, que es un caso particular de movimiento circular, con radio fijo y velocidad angular constante. No se puede decir que la velocidad es constante ya que, al ser una magnitud vectorial esta tiene módulo y dirección. El módulo de la velocidad permanece constante durante todo el movimiento pero la dirección está constantemente cambiando, siendo en todo momento tangente a la  trayectoria circular.  Esto implica la presencia de una aceleración que, si bien en este caso no varía al módulo de la velocidad, si varía su dirección. (Guzman, 2011)

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En el movimiento circular hay que tener en cuenta algunos conceptos que serían básicos para la descripción cinemática y dinámica del mismo: 







Eje de giro: es la línea recta alrededor de la cual se realiza la rotación, este eje puede permanecer fijo o variar con el tiempo pero para cada instante concreto es el eje de la rotación (considerando en este caso una variación infinitesimal o diferencial de tiempo). El eje de giro define un punto llamado centro de giro de la trayectoria descrita (O).

 Arco: partiendo de un centro fijo o eje de giro fijo, es el espacio recorrido en la trayectoria circular o arco de radio unitario con el que se mide el desplazamiento angular. Su unidad es el radián (espacio recorrido dividido entre el radio de la trayectoria seguida, división de longitud entre longitud, adimensional por tanto).

Velocidad angular:  es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo (omega minúscula, ).

 Aceleración angular: es la variación de la velocidad angular por unidad de tiempo (alfa minúscula, ).

En dinámica de los movimientos curvilíneos, circulares y/o giratorios se tienen en cuenta además las siguientes magnitudes: 





Momento angular (L): es la magnitud que en el movimiento rectilíneo equivale al momento lineal o cantidad de movimiento pero aplicada al movimiento curvilíneo, circular y/o giratorio (producto vectorial de la cantidad de movimiento por el vector posición, desde el centro de giro al punto donde se encuentra la masa puntual).

Momento de inercia (I): es una cualidad de los cuerpos que depende de su forma y de la distribución de su masa y que resulta de multiplicar una porción concreta de la masa por la distancia que la separa al eje de giro.

Momento de fuerza (M): o par motor es la fuerza aplicada por la distancia al eje de giro (es el equivalente a la fuerza agente del movimiento que cambia el estado de un movimiento rectilíneo).

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Hay ciertas similitudes entre el movimiento rectilíneo y el circular que deben mencionarse y que resaltan las similitudes y equivalencias de conceptos y un paralelismo en las magnitudes utilizadas para describirlos. Dado un eje de giro y la posición de una partícula puntual en movimiento circular o giratorio, para una variación de tiempo Δt o un instante dt, dado, se tiene:  Arco descrito o desplazamiento angular  Arco angular o desplazamiento angular es el  arco de la circunferencia recorrido por la masa puntual en su trayectoria circular, medido en radianes y representado con las letras griegas (phi) o (theta). Este arco es el desplazamiento efectuado en el movimiento circular y se obtiene mediante la posición angular ( o ) en la que se encuentra en un momento determinado el móvil y al que se le asocia un ángulo determinado en radianes. Así el arco angular o desplazamiento angular se determinará por la variación de la posición angular entre dos momentos final e inicial concretos (dos posiciones distintas):

Siendo

o

el arco angular o desplazamiento angular dado en radianes.

Si se le llama al espacio recorrido a lo largo de la trayectoria curvilínea de la circunferencia de radio se tiene que es el producto del radio de la trayectoria circular por la variación de la posición angular (desplazamiento angular):

En ocasiones se denomina al espacio recorrido (del inglés "space"). Nótese que al multiplicar el radio por el ángulo en radianes, al ser estos últimos adimensionales (arco entre radio), el resultado es el espacio recorrido en unidades de longitud elegidas para expresar el radio.

Velocidad angular y velocidad tangencial 

Velocidad angular es la variación del arco angular o posición angular respecto al tiempo. Es representada con la letra (omega minúscula) y viene definida como:

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Siendo la segunda ecuación la de la velocidad angular instantánea (derivada de la posición angular con respecto del tiempo). 

Velocidad tangencial de la partícula es la velocidad del objeto en un instante de tiempo (magnitud vectorial con módulo, dirección y sentido determinados en ese instante estudiado). Puede calcularse a partir de la velocidad angular. Si es el módulo la velocidad tangencial a lo largo de la trayectoria circular de radio R, se tiene que:

 Aceleración angular y tangencial La aceleración angular es la variación de la velocidad angular por unidad de tiempo y se representa con la letra: y se la calcula:

Si a t es la aceleración tangencial, a lo largo de la circunferencia de radio R, se tiene que:

Período y frecuencia El período indica el tiempo que tarda un móvil en dar una vuelta a la circunferencia que recorre. Se define como:

La frecuencia es la inversa del periodo, es decir, las vueltas que da un móvil por unidad de tiempo. Se mide en hercios o s-1

 Aceleración y fuerza centrípeta

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i.

Mecánica clásica

La aceleración centrípeta o aceleración normal afecta a un móvil siempre que éste realiza un movimiento circular, ya sea uniforme o acelerado. Se define como:

La fuerza centrípeta es la fuerza que produce en la partícula la aceleración centrípeta. Dada la masa del móvil, y basándose en la segunda ley de Newton ( ) se puede calcular la fuerza centrípeta a la que está sometido el móvil mediante la siguiente relación:

ii.

Mecánica relativista

En mecánica clásica la aceleración y la fuerza en un movimiento circular siempre son vectores paralelos, debido a la forma concreta que toma la segunda ley de Newton. Sin embargo, en relatividad especial la aceleración y la fuerza en un movimiento circular no son vectores paralelos a menos que se trate de un movimiento circular uniforme. Si el ángulo formado por la velocidad en un momento dado es entonces el ángulo formado por la fuerza y la aceleración es:

Para el movimiento rectilíneo se tiene que y por tanto y para el movimiento circular uniforme se tiene y por tanto también . En el resto de casos . Para velocidades muy pequeñas y ángulos expresados en radianes se tiene:

(Carrera, 2010)

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D) MOVIMIENTO PARABÓLICO Se denomina movimiento parabólico al realizado por un objeto cuya trayectoria describe una parábola.  Se corresponde con la trayectoria ideal de un cuerpo que se mueve en un medio, que no ofrece resistencia al avance y que está sujeto a un  campo gravitatorio uniforme.  También es posible demostrar que puede ser analizado como la composición de dos movimientos rectilíneos, un movimiento rectilíneo uniforme horizontal y movimiento rectilíneo uniformemente acelerado vertical. Se denomina proyectil a cualquier objeto al que se comunica una velocidad inicial y luego sigue una trayectoria determinada por la fuerza gravitatoria que actúa sobre él y por la fuerza de rozamiento con la atmosfera.  Este comportamiento se aplica a una bala disparada por una escopeta, una bomba abandonada desde un avión o una pelota de  futbol pateada. En el caso ideal que el rozamiento sea despreciable y para la trayectoria de corto alcance, la única fuerza que actúa sobre el proyectil es el peso, considerado constante en magnitud y dirección. En virtud de la segunda Ley de Newton9.

Esto es la componente horizontal de la aceleración es nula y la vertical está dirigida hacia abajo y es igual a la de un cuerpo en caída libre. Puesto que la aceleración nula significa velocidad constante, el movimiento puede considerarse como combinación de un movimiento horizontal uniforme y de otro vertical, uniformemente acelerado. La velocidad original está representado por el vector v 0 denominado velocidad inicial o de salida del proyectil. Φ  es el ángulo que forma con la horizontal. Dado que la componente horizontal de la velocidad es constante en cualquier instante t tendremos: Vx=V0 cos Φ 

(1)

9

 La Segunda ley de Newton se encarga de cuantificar el concepto de fuerza. Nos dice que la fuerza neta aplicada sobre un cuerpo es proporcional a la aceleración que adquiere dicho cuerpo. La constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo, de manera que podemos expresar la relación de la siguiente manera: F=ma

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Como la aceleración vertical es a y=-g, la componente vertical de la velocidad en el instante vertical será: Vy=V0 sen Φ – gt

(2)

El vector velocidad es tangente a la trayectoria de modo que su dirección es la de una tangente en cada punto. Las coordenadas del proyectil en cualquier instante t se obtienen integrando las ecuaciones (1) y (2), determinándose las expresiones:

La ecuación de la trayectoria del proyectil se obtiene al combinar las ecuaciones (3) y (4), eliminando t en ambas expresiones en la ecuación (4).

1. D TIPOS DE MOVIMIENTO PARABÓLICO 1. D.1 MOVIMIENTO DE MEDIA PARÁBOLA O SEMIPARABÓLICO (lanzamiento horizontal) Se puede considerar como la composición de un avance horizontal rectilíneo uniforme y la caída libre. (FÍSICA Y QUÍMICA 4º E.S.O, 2014) 2. D.1 MOVIMIENTO PARABÓLICO COMPLETO Se puede considerar como la composición de un avance horizontal rectilíneo uniforme y un lanzamiento vertical hacia arriba, que es un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado hacia abajo (MRUA) por la acción de la gravedad. En condiciones ideales de resistencia al avance nulo y campo gravitatorio uniforme, lo anterior implica que:

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





Un cuerpo que se deja caer libremente y otro que es lanzado horizontalmente desde la misma altura tardan lo mismo en llegar al suelo. La independencia de la masa en la caída libre y el lanzamiento vertical es igual de válida en los movimientos parabólicos. Un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba y otro parabólicamente completo que alcance la misma altura tarda lo mismo en caer.

2. D ECUACIONES DEL MOVIMIENTO PARABÓLICO Hay dos ecuaciones que rigen el movimiento parabólico:

E) MOVIMIENTO PENDULAR El movimiento pendular es una forma de desplazamiento que presentan algunos sistemas físicos como aplicación práctica al movimiento armónico simple. A continuación hay tres características del movimiento pendular que son: péndulo simple, péndulo de torsión y péndulo físico.

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Se llama movimiento - a la trayectoria que un objeto describe después de haber sido lanzado desde un punto cualquiera del espacio. Si el objeto tiene una densidad de masa suficientemente grande, los experimentos muestran que, a menudo, se puede despreciar la resistencia del aire y suponer que la aceleración del mismo es debida sólo a la gravedad. El péndulo10 es un sistema físico que puede  oscilar bajo la acción gravitatoria u otra característica física (elasticidad, por ejemplo) y que está configurado por una masa suspendida de un punto o de un eje horizontal fijo mediante un hilo, una varilla, u otro dispositivo que sirve para medir el tiempo. Existen muy variados tipos de péndulos que, atendiendo a su configuración y usos, reciben los nombres apropiados: péndulo simple, péndulo compuesto, péndulo cicloidal, doble péndulo, péndulo de Foucault, péndulo de Newton, péndulo balístico, péndulo de torsión, péndulo esférico, etcétera. Sus usos son muy variados: medida del tiempo (reloj de péndulo, metrónomo,...), medida de la intensidad de la gravedad, etc. E.1 COMPONENTES DEL PESO DE LA MASA PENDULAR. También llamado péndulo ideal, está constituido por un hilo inextensible de masa despreciable, sostenido por su extremo superior de un punto fijo, con una masa puntual sujeta en su extremo inferior que oscila libremente en un plano vertical fijo.  Al separar la masa pendular de su punto de equilibrio, oscila a ambos lados de dicha posición, desplazándose sobre una trayectoria circular con movimiento periódico. Ecuación del movimiento Para escribir la ecuación del movimiento, observaremos la figura adjunta, correspondiente a una posición genérica del péndulo. La flecha azul representa el peso de la masa pendular. Las flechas en color violeta representan las componentes del peso en las direcciones tangencial y normal a la trayectoria.  Aplicando la Segunda ley de Newton en la dirección del movimiento, tenemos

Donde el signo negativo tiene en cuenta que la tiene dirección opuesta a la del desplazamiento angular positivo (hacia la derecha, en la figura).

10

del lat. pendŭlus, que significa pendiente .

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Considerando la relación existente entre la aceleración tangencial y la aceleración angular

Obtenemos finalmente la ecuación diferencial del movimiento plano del péndulo simple

E.2 PERÍODO DE OSCILACIÓN Factor de amplificación del período de un péndulo, para una amplitud angular cualquiera. Para ángulos pequeños el factor vale aproximadamente 1 pero tiende a infinito para ángulos cercanos a π (180º).  (movimiento educacion.es, 2006) El astrónomo y físico italiano Galileo Galilei,  observó que el periodo de oscilación es independiente de la amplitud,  al menos para pequeñas oscilaciones. En cambio, éste depende de la longitud del hilo. El período de la oscilación de un péndulo simple restringido a oscilaciones de pequeña amplitud puede aproximarse por:

Para oscilaciones mayores la relación exacta para el período no es constante con la amplitud e involucra integrales elípticas de primera especie:

Donde φ0  es la amplitud angular máxima. La ecuación anterior puede desarrollarse en serie de Taylor obteniéndose una expresión más útil:

Solución de la ecuación de movimiento

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Para pequeñas oscilaciones la amplitud es casi senoidal, para amplitudes más grandes la oscilación ya no es senoidal. La figura muestra un movimiento de gran amplitud (negro), junto a un movimiento de pequeña amplitud (gris). Para amplitudes pequeñas, la oscilación puede aproximarse como combinación lineal de funciones trigonométricas. Para amplitudes grandes puede probarse el ángulo puede expresarse como combinación lineal de funciones elípticas de Jacobi11. Para ver esto basta tener en cuenta que la energía constituye una integral de movimiento y usar el método de la cuadratura para integrar la ecuación de movimiento:

Donde, en la última expresión se ha usado la fórmula del ángulo doble y donde además: , es la energía, que está relacionada con la máxima amplitud

.

, es la energía potencial.

Realizando en variable movimiento puede expresarse como:

, la solución de las ecuaciones del

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10 de diciembre de 1804 en Potsdam, Prusia, actual Alemania, † 18 de febrero de 1851 en Berlín) fue un matemático alemán. estableció con  Niels Henrik Abel la Teoría de las funciones Elípticas. CINEMÁTICA (MOVIMIENTO) HUAMÁN VILLANUEVA, THANIA CELFA

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Donde: , es la función elíptica de Jacobi tipo seno.

El lagrangiano12  del sistema es , donde es el ángulo que forma la cuerda del péndulo a lo largo de sus oscilaciones (es la variable), y es la longitud de la cuerda (es la ligadura). Si se aplican las ecuaciones de Lagrange se llega a la ecuación final del movimiento: . Es decir, la masa no influye en el movimiento de un péndulo. E.3 PÉNDULO ESFÉRICO 1. E.3 PÉNDULO DE FOUCAULT EN EL HEMISFERIO SUR. Un péndulo esférico es un sistema con dos grados de libertad. El movimiento está confinado a la una porción de superficie esférica (de radio l) comprendida entre dos paralelos. Existen dos integrales de movimiento,  la energía E y la componente del momento angular paralela al eje vertical Mz. La función lagrangiana viene dada por:

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 es una función escalar a partir de la cual se pueden obtener la  evolución temporal, las leyes de conservación y otras propiedades importantes de un sistema dinámico CINEMÁTICA (MOVIMIENTO) HUAMÁN VILLANUEVA, THANIA CELFA

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Donde es el ángulo polar y es el ángulo que forma el hilo o barra del péndulo con la vertical. Las ecuaciones de movimiento, obtenidas introduciendo el lagrangiano anterior en las ecuaciones de Euler-Lagrange 13 son:

La segunda ecuación expresa la constancia de la componente Z del momento angular y por tanto lleva a la relación entre la velocidad de giro polar y el momento angular y por tanto a reescribir la lagrangiana como:

Y el problema queda reducido a un problema unidimensional. Período El movimiento de un péndulo esférico en general no resulta periódico, ya que es la combinación de dos movimientos periódicos de períodos generalmente inconmensurables. Sin embargo el movimiento resulta cuasiperiódico,  lo cual significa que fijado una posición y una velocidad previas del movimiento existe un tiempo T tal que el movimiento pasará a una distancia tan pequeña como se desee de esa posición con una velocidad tan parecida como se quiera, pero sin repetirse exactamente. Dada que la región de movimiento además resulta compacta, el conjunto de puntos la trayectoria de un péndulo esférico constituye un conjunto denso sobre una área esférica comprendida entre dos casquetes esféricos.

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 son las condiciones bajo las cuales cierto tipo de problema variacional alcanza un extremo. Aparecen sobre todo en el contexto de la  mecánica clásica en relación con el principio de mínima acción aunque también aparecen en teoría clásica de campos (electromagnetismo, Teoría general de la relatividad). CINEMÁTICA (MOVIMIENTO) HUAMÁN VILLANUEVA, THANIA CELFA

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Solución de la ecuación de movimiento Las ecuaciones de movimiento pueden expresarse en términos de integrales elípticas de primera especie y tercera especie:

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CONCLUSIONES Con las experiencias hemos podido comprobar que las ecuaciones teóricas se cumplen, a pesar de que no sean tan exactas en la práctica debido a otros factores. Luego de llevada a cabo la presente investigación, al desarrollar cada uno de sus pasos, con el constante esfuerzo entregado a la misma, se ha llegado al final de este interesante y enriquecedor proceso; por ello, merece mencionar que dado el carácter del trabajo, su demostración va implícita en la misma experiencia que como autor he conseguido, tal cual en la historicidad y análisis, previos a diagnosticar el tema, se ha subido un par de escalones en relación a la concepción de la ciencia física, la cual bien vista y sin rebajarse a su instrumentabilidad medieval, por sí sola, es más que un quehacer de asignar números que codifiquen a los fenómenos naturales; es pilar y es frontera, da lazos y abre puertas, es un laberinto y es camino; hoy, por todo ello que engloba, estoy en capacidad de emitir el criterio que ha nacido al rondar por los pasajes que se han recorrido en el presente proceso de investigación.

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RECOMENDACIONES

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Una recomendación clara y sencilla es incentivar a la juventud a la auto consulta, lo cual da como resultado la personalización de la educación para enfrentar el mundo que está lleno de cambios y enigmas que los debemos comprender para estar actualizados los mismos que nos permiten vivir en un siglo globalizado en el cual la información viaja de una manera vertiginosa y puede ser fácilmente modificada.

Es importante recalcar que a la ciencia física se la debe tratar sin creer que es el simple hecho de aplicar formulas o memorizar esquemas, definiciones, conceptos; sino más bien, asumir la postura de autocrítica continua en búsqueda de la creación de un razonamiento lógico propio.

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