Monografia de Ecuaciones Diferenciales Exactas

AÑO DE AÑO DE LA INVERSIÓN PARA EL DESARROLLO RURAL Y LA SEGURIDAD

“  

ALIMENTARIA”

Universidad Nacional de Ucayali

FACULTAD DE INGENIERIA DE SISTEMAS Y DE INGENIERIA CIVIL ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

“ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS”



CATEDRÁTICO

:

LIC. YONY HUAMAN.



CURSO

:

EUACIONES DIFERENCIALES.



ALUMNO

:

DIAZ PUYO, EROS.

PERU-UCAYALI-PUCALLPA 2013

INTRODUCCION

Las ecuaciones diferenciales (E.D.) son expresiones matemáticas que establecen relaciones entre variables independientes, dependientes y las derivadas de ésta última. Las E.D. tienen diversas clasificaciones, una de ellas indica que este tipo de ecuaciones pueden ser: Ordinarias y Parciales

De acuerdo al contenido programático, serán analizadas solo las ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O), las cuales se caracterizan por poseer en su estructura, derivadas ordinarias de la variable dependiente.

Resolver una E.D.O., consiste en aplicar un conjunto de técnicas que permitan obtener, a partir de una ecuación diferencial, una expresión matemática que no presente derivadas; sino que exhiba una relación entre las variables mencionadas. Existen muchos métodos para resolver E.D.O, sin embargo, en el presente trabajo se desarrollara solo a lo que compete la investigación en esta monografía “Ecuaciones Diferenciales Exactas”.

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS. Primero debemos retomar algunos conceptos de cálculo vectorial. Definición (Vector gradiente) Sea

una función escalar, entonces el

gradiente

es la función vectorial

dada por

Ejemplo El gradiente de la función

es

Ejemplo El gradiente de la función

es

Definición (Campo vectorial conservativo) Sea que

una función vectorial, decimos es un campo vectorial conservativo si existe una función

escalar escalar

tal que

. A la función

se le llama función potencial.

Ejemplo La función vectorial conservativo, pues, si

es un campo vectorial se tiene que

.

La definición anterior no es muy útil al tratar de verificar que un campo vectorial es conservativo, pues involucra el hallar una función potencial. El siguiente teorema nos facilitará esta tarea.

Teorema

Sea un campo vectorial definido sobre una región simplemente conexa y dado por

donde continuas en

y tienen derivadas parciales de primer orden , entonces es conservativo sí y sólo sí

De paso este teorema nos da la clave para construir la función potencial, como veremos en el próximo ejemplo. Ejemplo

El campo vectorial

Es conservativo, pues si

Tenemos que

Como es conservativo, existe una función escalar

tal que

De donde, como

Derivando con respecto a

e igualando a la derivada parcial

Con lo cual

.

Observación: algunas veces resulta más fácil integrar respecto a y luego elegimos tomando los términos repetidos una vez.

respecto a

como la suma de ambos,

y

Definición (Ecuación diferencial exacta) Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden escrita en la forma

es exacta si el campo vectorial asociado

es conservativo.

Teorema La solución general de la ecuación diferencial exacta

Está dada por

, donde

campo vectorial

es la función potencial del .

Demostración:

Comprobemos que Suponiendo que

Como

es solución de la ecuación diferencial. es función de , derivamos implícitamente

es la función potencial del campo vectorial Y

Como se quería.

, de donde

,

Método de solución Para resolver una e.d. exacta es necesario determinar la derivada parcial mediante:

Forma general Para que una e.d. sea exacta debemos determinar que la derivada parcial con respecto a “x” y con respecto a “y” cumpla con la siguiente forma:

Ejemplo Tomemos como ejemplo la siguiente ecuación:

Lo primero que hay que saber es si es exacta: NOTA. Hay que recordar que M va acompañada de su dx y N de su dy para luego sacar sus respectivas derivadas parciales. Ya que el resultado de ambas derivadas parciales es el mismo, decimos que la ecuación es exacta.

Integramos  2xy:

Ahora debemos sacar la derivada parcial de x²y con respecto a y:

Eliminamos términos semejantes:

Nos queda:

Integramos y el resultado es:

Conclusión: En resumen podemos mencionar: 

Las derivadas parciales de X y Y deben tener el mismo valor, solo así serán exactas.



Tenemos que tomar en cuenta la formula básica para poder resolverlas.



En caso de no ser exactas se resolverán por medio de factor integral, un tema que veremos más adelante.