Momentos y Centros de Masa de Una Lamina Plana de Densidad Variable

Calculo vectorial

Momentos Y Centros De Masa De Una Lamina Plana De Densidad Variable.

Alumnos: Manuel ángel pineda bustos 2011131228 Jonathan rojas 2011131235

Cuso: 3AN

Escuela colombiana de carreras industriales Mecánica automotriz 22 de mayo de 2012

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CENTRO DE MASA DE UNA LAMINA PLANA. El centro de masa de una lámina plana es el punto donde el balanceo de la lámina está en equilibrio. El calcular este centro implica el calcular primero su momento (medida de la tendencia de un sistema a girar alrededor de un punto, comúnmente llamado origen) y su masa, en donde aplicaremos la integral definida.

MOMENTOS Y CENTROS DE MASA. Nuestro objetivo es hallar el punto P en que una lámina plana delgada se equilibra horizontalmente. Este punto se llama centro de masa (o centro de gravedad) de la placa. Vamos a suponer inicialmente que tenemos dos masas m1 y m2 ubicadas sobre una varilla de masa despreciable en los lados opuestos de un fulcro (de un balancín) y a una distancia respectivamente. De acuerdo al principio de Arquímedes, la varilla se equilibra si

Si suponemos que la varilla coincide con el eje x, con y ubicadas en y respectivamente . Supongamos que queremos hallar su centro de masa, x. Claramente , y por consiguiente

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Los

números se conocen como momentos de las masas (con respecto al origen). Es claro que el centro de masa se obtiene de sumar los momentos y de dividir por la masa total .

CENTROS DE MASA: DEFINICIÓN DE MASA * Medida de la resistencia de un cuerpo al cambiar su estado de movimiento independientemente del sistema gravitatorio en que el cuerpo se encuentre. * La masa a veces es identificada como su peso, pero el peso es un término incorrecto. El peso es una fuerza y es dependiente de la gravedad. * La fuerza y la masa se relacionan por la siguiente ecuación. Fuerza= (masa) (aceleración) CENTRO DE MASA DE UNA LAMINA PLANA Se considera una lámina plana delgada, de material con densidad constante llamada una lámina plana. La densidad es una medida de masa por unidad de volumen, como g/cmᶟ y se denota por la letra griega ρ. Para el caso de una lámina la densidad se considera como la masa por unidad de área. El centro de masa de una lámina plana puede visualizarse como su punto de equilibrio. Para una lámina circular, coincide con el centro del círculo. En una lámina rectangular, el centro de masa es el centro del rectángulo.

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Considerar una lámina plana irregularmente formada de densidad uniforme ρ, limitada por las gráficas de y = f(x), y = g(x), y a ≤x≤ b. La masa de esta región está dada por: m= (densidad) (área) =ρA

Momentos y centros de masa: Dada

una

lamina, región

partición

de

una

correspondiente

a

una

plana

rectángulo

considerar

esimo

el

de área

como se muestra en la figura 1. Suponer que la masa de en

uno .

El

de

sus

puntos

momento

respecto el eje

de

se conecta interiores masa

de

puede aproximarse

por medio de

Figura 1 De manera similar, el momento de masa con respecto al eje y puede aproximarse por medio de Formando la suma de todos los productos y tomando limites cuando la norma de

se aproxima a , se obtiene las definiciones siguientes

de momentos de masa con respecto a los ejes

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y .

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Momentos Y Centro De Masa De Una Lámina Plana De Densidad Variable:

Sea

una función de densidad continua sobre la lámina plana . Los

momentos de masa con respecto a los ejes

Si

y

son:

es la masa de la lámina, entonces el centro de la masa es:

Si representa una región plana simple en lugar de una lamina, el punto se llama el centroide de la región.

En algunas laminas planas con densidad constante

se puede

determinar el centro de masa (o una de sus coordenadas) utilizando la simetría en lugar de usar integración. Por ejemplo, considerar las laminas de densidad constante mostradas en la figura 2.utilizando la simetría, se puede ver que

y

en la segunda lamina.

Figura 2

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Ejercicio de aplicación: Hallar el centro de masa que corresponde a la región parabólica.

Donde la distancia en el punto (x,y) es proporcional a la distancia entre (x,y) y el eje x. Solución: Como la lamina es simétrica corresponde al eje y y

.

El centro de masa esta en el eje y. Así,

para hallar , primero calcular la masa de la lámina.

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Hallamos el momento con respecto al eje x

Región parabólica de densidad variable.

Así El centro de masa es 2.3 En conclusión esto nos permite tratar una lamina como si su masa se encontrara en un solo punto. Se puede concebir el centro de la masa como el punto de equilibrio de la lamina.

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