Momentos de Una Fuerza

ESCUELA DE IGEIERIA CIVIL Y AMBIETAL

CUERPOS RIGIDOS RESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZAS •  Analizar el concepto de momento de una fuerza y mostrar cómo cal cularla en dos y tres dimensiones. •

Proporcionar un método para encontrar el momento de una fuerza c on respecto a un eje específico.

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Definir el momento de un par.

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Presentar métodos para determinar las resultantes de sistemas de fuerzas no concurrentes.

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Indicar cómo reducir una carga simple distribuida a una fuerza r esultante con una localización especifica.

3.1 Momento de una Fuerza – Formulaciòn Escalar •

El Momento de una fuerza con respecto a un punto o eje proporciona una medida de la tendencia de la fuerza a ocasionar que un cuerpo gire alrededor del punto o eje.

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En la figura, la fuerza horizontal horizontal Fx, que actúa perpendicularmente al mango de la llave, y está localizada a una distancia dy del punto O, tiende a girar el tubo alrededor del eje z.

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Entre mayor es la fuerza o la distancia dy , mayor es el efecto de rotación. A esta tendencia a la rotación causada por Fx ocasionalmente se le llama torca, pero más a menudo se denomina momento de una fuerza o simplemente momento (   Mo)z 

 Al aplicar la fuerza Fz a la llave, la fuerza no girará el tubo con respecto al eje z, si no tiende girarlo alrededor del eje x. Fz aún crea la tendencia de rotación produce así el momento (Mo)x.

y se

Finalmente si una fuerza Fy es aplicada a la llave, no se produce ningún momento con respecto al punto O. Esto resulta en una ausencia de giro ya que la línea de acción de la fuerza pasa por O y, por tanto, ninguna tendencia a rotar es posible

MAGNITUD. La magnitud de Mo es: Mo = Fd  donde d es referido como brazo de momento o distancia perpendicular del eje en el punto O a la línea de acción de la fuerza. Las Unidades de la magnitud del momento son el producto de la fuerza multiplicada por la distancia, esto es, N . m o lb . pies.

DIRECCIÓN. La Dirección de Mo será especificada usando la “regla de la mano derecha”. Para hacer esto, los dedos de la mano derecha son enrollados en forma tal que sigan el sentido de rotaciòn que ocurriría si la fuerza pudiese rotar alrededor del punto O. El pulgar señala entonces a lo largo del eje de momento de manera que da la dirección y el sentido del vector momento, que es hacia arriba y perpendicular al plano sombeado que contiene a F y d.

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Momento resultante de un sistema de fuerzas coplanares Si un sistema de fuerzas se encuentra en un plano x – y, entonces el omento producidopor cada fuerza con respecto al punto O estarà dirigido a lo largo del eje z.

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El Momento Resultante de sistema se determina sumando los momentos de todas las fuerzas algebraicamente ya que todos los vectores momento son colineales. Esta suma vectorial puede escribirse como: + MR o = Σ F d

El momento de una fuerza no siempre causa rotación. Por ejemplo, la fuerza F tiende a girar la viga en el sentido de las manecillas del reloj alrededor de su soporte en A con un momento M  A  = F d  A . La rotación real ocurrirá si el soporte en B fuese retirado. De la misma manera, F genera una tendencia a girar la viga en sentido contrario contrario al de las manecillas del reloj alrededor de B con un momento M B  B  = F d B  B.  Aquí el soporte en A impide la rotación.

3.2 Producto cruz El producto cruz de dos vectores  A y B da el vector C, el cual se escribe como: C=AxB

y se lee “C es igual a A cruz B” Magnitud. La magnitud de C se define como el producto de las magnitudes de A y B y el seno del ángulo θ entre sus colas (0º ≤ θ ≤ 180º )

 As í, C = AB sen θ  Dirección. El vector C tiene una dirección perpendicular al plano que contiene a A y B de manera tal que C se especifica mediante la regla de la mano derecha.

Enrollando los dedos de la mano derecha desde el vector A (cruz) hacia el vector B, el pulgar señala entonces la dirección de C, como se muestra en la figura. figura. Conociendo la magnitud y la dirección de C, podemos escribir  AB sen θ  ) uC C = A x B = ( 

Donde el escalar AB sen θ  define la magnitud de C y el vector unitario uC define la dilección de C.

Leyes de operación

1. La ley conmutativa no es válida, es decir,  A x B ≠ B x A 

En vez de ello  A x B = - B x A 

2. Multiplicación por un escalar a(A x B) = (aA ) x B = A x (aB) = (A x B) a

3. La ley distributiva  A x (B + D) = (A x B) + (A x D)

Formulación Vectorial Cartesiana i x j = k 

i x k = -j

i xx i = 00

jxk=i

j x i = -k 

j xx j = 0

kxi=j

k x j = -i

kxk=0

El producto cruz de dos vectores generales A y B, B, se  puede expresar en forma vectorial cartesiana , como:  A x B = (   Axi + Ayj + Azk   ) x ( Bx Bxi + By j + Bzk )  Al efectuar las operaciones de productos cruz y combinando términos resulta:  A x B = (   AyBz –   –  AzBx)  AyBz –  AzBy)  AzBy)i – (AxBz  – (AxBz –   AzBx)j + (AxBy –  (AxBy –   AyBx)k 

En forma de determinante: i

 A x B =

j

k 

 Ax  Ay  Az Bx By  Bz

3.3 Momento de una Fuerza (Vectorial) El momento de una fuerza F con respecto al punto O, y es perpendicular al plano que contiene a O y a F, puede expresarse usando el producto cruz, es decir: Mo = r x F

r, representa un vector posición trazado desde O hasta cualquier punto que se encuentre sobre la línea de acción de F. Magnitud. La magnitud del producto cruz, se define cómo:  Mo = r Fsen θ  = F ( rsen θ  ) = Fd  Dirección. La dirección y el sentido de Mo están determinados por la regla de la mano derecha, tal cómo se aplica ésta al producto cruz.

Principio de transmisibilidad. Considere la fuerza aplicada en el punto A en la figura. El momento producido por F con respecto a O es: Mo = rA x F = rB x F = rC x F

Formulación Vectorial Cartesiana. Si establecemos ejes coordenados x, y, z, el el vector posición r y el vector F pueden expresarse como  vectores cartesianos: i

Mo = r x F =

j

k 

rx ry  rz Fx Fy  Fz

Donde: rx,ry , rz: representan las componentes x,y,z del  vector posición trazado desde el punto O hasta cualquier punto sobre la línea de acción de la fuerza. Fx, Fy , Fz Representan las componentes x, y, z del vector fuerza. Si se desarrolla el determinante, tenemos: Mo = ( ry  Fz – rz Fy  )i – (rxFz – rzFx )j + (rxFy  –   –  ry Fx )k 

Momento Resultante de un Sistema de Fuerzas

Si un sistema de fuerzas actúa sobre un cuerpo, el momento resultante de ls fuerzas con respecto al punto O puede ser determinado mediante la adición vectorial. Esta resultante puede escribirse como: MRo = Σ ( r x F )

3.4 Principio de Momentos

Un concepto usado a menudo en mecánica es el principio de momentos al cual se le llama a veces Teorema de Varignon  ya que fue originalmente desarrollado por el matemático francés Varignon (1654 – 1722). Este principio establece que el momento de una fuerza con respecto a un punto es igual a la suma de los momentos de los componentes de la fuerza con respecto al punto. Mo = r x F1 + r x F2 = r x (F1 + F2) = r x F

3.5 Momento de una fuerza con respecto a un eje especifico Si la línea de acción de una fuerza F es perpendicular a cualquier eje específico a , la magnitud del momento de F con respecto al eje puede ser determinado mediante la ecuación Ma = F da dA es la distancia perpendicular o más corta desde la línea de acción de la fuerza hasta el eje. La dirección se determina con el pulgar de la mano derecha cuando los dedos se enrollan de acuerdo con la dirección de la rotación producida por la fuerza.

Si se usa el análisis vectorial, Ma = ua . (r x F),

Mo = ua . ( r x F) =

uax uay uaz rx ry  rz Fx Fy  Fz

donde ua define la dirección del eje y r está dirigido desde cualquier punto sobe el eje hacia cualquier punto sobre la línea de acción de la fuerza. Si Ma es calculado como un escalar negativo, entonces el sentido de dirección de Ma es opuesto a ua. El momento Ma expresado como un vector cartesiano es determinado a partir de Ma = Ma ua