Momentos de Inercia de Area

 

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I.  MOMENTOS DE INERCIA INERCIA DE AREA Para determinar el centroide para un área se considera el primer momento de área con respecto a un eje, vale decir, para el cálculo se evalúa una integral de la forma . A una integral del segundo momento de un área, tal como , se le llama momento de inercia para el área. Considere el área A, mostrada en la

∫   

∫ 

figura siguiente:

Por definición, los momentos de inercia del área diferencial plana a los ejes x e y son:



 con respecto

Los momentos de inercia son determinados por integración para toda el área; es decir,

II. 

TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS O DE STEINER

Si el momento de inercia para un área se conoce con respecto a un eje que pasa a través de su centroide, lo que a menudo es el caso, es conveniente determinar el momento de inercia del área respecto a un eje paralelo correspondiente usando lo que se llama teorema de ejes paralelos. Para derivar este teorema, considere

U N P RG RG .

F I C SA SA

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  encontrar el momento de inercia del área sombreada que se muestra en la figura con respecto al eje x. En este caso, un elemento diferencial dA está ubicado a una distancia arbitraria y' del eje centroidal x’, mientras que la distancia fija entre los ejes paralelos x y x' es definida como dy'

Luego, para el elemento diferencial de área dA, el momento de inercia respecto al eje x es:

Entonces, para toda el área es:

La primera integral representa el momento de inercia del área respecto al eje centroidal x´ y la denotamos



.

Para la segunda integral se da lo siguiente: Siendo

´ la distancia desde el eje y´





hasta el centroide, ahora como y´ pasa justo por el centroide implica que ´ =0. Por

U N P RG RG .

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  último la tercera integral representa el área de la figura. Por tanto el resultado final es:

Análogamente:

III.  MOMENTOS DE INERCIA PARA ÁREAS COMPUESTAS: Un área compuesta consiste en una serie de partes o formas "más simples" conectadas, tales como semicírculos, rectángulos y triángulos. Si el momento de inercia de cada una de esas partes se conoce o puede ser determinado con respecto a un eje común, entonces el momento de inercia del área compuesta es igual a la suma algebraica de los momentos de inercia de todas sus partes.

U N P RG RG .

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IV.  PRODUCTOS DE INERCIA PARA UN ÁREA

En general, el momento de inercia para un area es diferente para cada eje con respecto al cual de calcula. Los productos de inercia de un área están dados, por definición, por:

Note que los ejes que se consideran son los que pasan por el centroide de la figura. Es importante notar que el producto de inercia es nulo para áreas de simetría doble y sencilla. Esto puede notarse en la figura de la página siguiente. Donde,

  

debido a la simetría, para cada ∙ ∙

  

 hay otra − ∙ ∙

 y su suma se anula.

Comenzando con la definición de producto de inercia y usando el mismo procedimiento de la sección anterior se puede llegar a desarrollar una expresión análoga al teorema de Steiner o de ejes paralelos, vale decir:

U N P RG RG .

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  Donde



 es el producto de inercia del área A respecto de los ejes centroidales

de la figura.

V.  MOMENTO DE INERCIA INERCIA CON RESPECTO A EJES INCLINADOS INCLINADOS En el análisis anterior, los ejes centrooidales para un área de forma general fueron escogidos arbitrariamente. Por tanto, es importante investigar cómo cambian los momentos y productos de inercia si los ejes son girados. Esto se muestra en la

figura siguiente, donde los ejes están girados un ángulo θ, formando un nuevo conjunto de ejes coordenados.

U N P RG RG .

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  Consideremos el área plana mostrada mostrada en la figura y supongamos que los ejes XY son un par de ejes de referencia localizadas localizadas arbitrariamente. Los momentos y productos de inercia con respecto a esos ejes son:

Donde XY son las coordenadas de un elemento diferencial diferencial de área



 . Los

momentos y producto de inercia con respecto a los ejes X1Y1 se denota con

   ,

 

,

, respectivamente. Estas coordenadas pueden expresarse en términos de

las coordenadas coordenadas XY y el ángulo θ por geometría. 

Entonces el momento de de inercia con respecto al eje X1

Momento de inercia de

 

Usando un procedimiento análogo:

U N P RG RG .

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  De modo similar podemos obtener el producto de inercia con respecto a los ejes X1Y1:

Momento de inercia de

 

Note que la suma de los momentos de inercia respecto a los ejes x´ e y´ es:

´+ ´= +

 

   

VI.  MOMENTOS DE INERCIA PRINCIPALES. Las ecuaciones muestran que

   ´,

’ e x’y’ dependen del ángulo de inclinación O

de los ejes x’, y’. Determinaremos ahora la orientación de esos ejes con respecto a los cuales los momentos de inercia del área, Iu e Iv, son máximo y mínimo. Este conjunto particular de ejes se llama ejes principales del área, área, y los correspondientes momentos de inercia con respecto a esos ejes son llamados momentos de inercia principales. En general, hay un conjunto de ejes principales Para cada origen O elegido. Para realizar el diseño estructural y mecánico de un miembro, el origen O se ubica, generalmente, en el centroide del área de la sección transversal. El ángulo

  

 que define la orientación de los ejes principales para

el área, puede encontrarse diferenciando la primera de las ecuaciones con respecto a θ estableciendo el resultado igual a cero. Así en

    

U N P RG RG .

 

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  Esta ecuación entrega dos raíces separadas entre sí por 180° Como éstas son para

un ángulo doble, las raíces para θ están separadas entre sí sólo 90°. Y especifican la inclinación de los ejes principales. Para sustituirlos en la ecuación. Debemos encontrar primero el seno y el coseno de

  

.

Esto puede hacerse usando los triángulos mostrados en la figura que se basan en la ecuación. Para



,

Para



,

Una de estas raíces localiza un eje respecto al cual el momento de inercia es máximo; la otra localiza el eje conjugado para el momento mínimo de inercia. Estos

dos ejes se llaman “ejes principales de inercia”. Los mismos ángulos definen los ejes para los cuales el producto de inercia es cero. Sustituyendo esos dos conjuntos de relaciones trigonométricas en la primera o la segunda de las ecuaciones y simplificando, obtenemos.

2

 I 

ma x min

U N P RG RG .



 I   I   xx

 yy

2



  I   xx  I  yy     I 2XY        2   2

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VII.  CÍRCULO DE MOHR PARA MOMENTOS DE INERCIA

Las ecuaciones tienen una solución gráfica que es, en general, fácil de usar y recordar. Elevando al cuadrado la primera y la tercera de las ecuaciones y sumándolas, encontramos que:

En un problema dado,

 I 

  x x

e  I  XY  son variables, e

 I  ,  I   x  x

Y 

  e  I  XY    son constantes

conocidas. Así, la ecuación puede ser escrita en forma compacta como

      

 

Cuando esta ecuación es graficada sobre un par de ejes que representan el respectivo momento de inercia y producto de inercia, figura, la gráfica resultante representa un círculo de radio.

Con su centro ubicado en el punto (A,O), donde

   

. El círculo así

construido se llama círculo de Mohr, en honor del ingeniero alemán Qtto Mohr (1835-1918).

U N P RG RG .

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VIII.  EJERCICIOS APLICATIVOS 1. 

Determine los momentos de inercia principales para el área de la sección transversal de la viga mostrada en la figura con respecto a un eje que pase a través del centroide.

Solución Los momentos y productos de inercia de la sección transversal con respecto a los ejes x, y fueron calculados en los ejemplos 10.6 y 10.8. Los resultados son

       

 

Usando la ecuación, los ángulos de inclinación de los ejes principales x o y son

    []        

 

Entonces, como se muestra en la figura,





     U N P RG RG .

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  Los momentos de inercia principales con respecto a los ejes u o y son determinados con la ecuación. Por tanto,

               √ (  )  

 

                                √     []         

 

 

Específicamente, el momento de inercia máximo,

, ocurre

     

con respecto al eje u seleccionado ya que por inspección nos damos cuenta de que la mayor parte del área de la sección transversal está muy alejada de este eje. 0, dicho de otra manera,

 

  ocurre con respecto al eje u ya que éste está ubicado

dentro de ±45° del eje y, el cual tiene el mayor valor de puede concluirse también sustituyendo los datos con las ecuaciones

U N P RG RG .

F I C SA SA

Además, esto

  en la primera de

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