Momento Segundo Orden

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MOMENTO SEGUNDO ORDEN O MOMENTO DE INERCIA El momento de inercia es la resistencia que ofrece un cuerpo al giro alrededor de un eje.

m

Fuerza que genera giro

Momento de inercia

Inercia

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y se expresa matemáticamente con la siguiente integral de segundo orden

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

Aplicaciones del momento de inercia

En ingeniería estructural, es una propiedad geométrica de la sección transversal de los a nálisis de vigas y columnas, elementos estructurales (Dinámica rotacional).  Es importante para el análisis porque el diseño del tamaño de estos elementos está relacionado con el momento de inercia, ya que el momento de inercial define la forma apropiada que debe la sección del elemento estructural .

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Físicamente se utiliza en el estudio de fuerzas distribuidas, está relacionado con las tensiones y deformaciones máximas que aparecen por flexión en un elemento estructural y , por tanto , junto con las propiedades del material determina la resistencia máxima de un elemento estructural bajo flexión.

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1. MOMENTO DE INERCIA DE UN ÁREA PLANA El momento de inercia de área o también llamado momento de segundo orden , ese el momento de inercia que hallamos cuando el cuerpo tiene un espesor minimo y entonces es considerado una plancha o una superficie .

Es una propiedad geométrica de una superficie o área que representa la distancia de un área con respecto a un eje dado.

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Se define matematicamente como la suma de los productos de todas las áreas elementales multiplicadas por el cuadrado de las distancias a un eje ; y tiene como unidad de medida [longitud]4. .



Como actúa la integral que define el momento de inercia

Si tenemos fuerzas distribuidas ∆ F cuyas magnitudes ∆ F son proporcionales a los elementos de área ∆A sobre los cuales actúan dichas fuerzas y, que al mismo tiempo, varían linealmente con la distancia que hay desde ∆ A hasta un eje dado.

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La magnitud de la resultante R de las fuerzas elementales ∆ F que actúan sobre toda la sección es

La última integral obtenida se conoce como el  primer momento Qx de la sección con respecto al eje  x ; ésta es igual ӯA, por tanto, es igual a cero puesto que el centroide de la sección está ubicado sobre el eje x . Por con siguiente, el sistema de fuerzas ∆ F se reduce a un par.

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La magnitud M de dicho par (momento flector) debe ser igual a la suma de los momentos ∆Mx = y ∆F = ky2∆A de las fuerzas elementales. Al integrar sobre toda la sección se obtiene

La última integral se conoce como el segundo momento, o momento de inercia de la sección de la viga con respecto al eje x y se representa con Ix. Éste se obtiene con la multiplicación de cada elemento de área dA por el cuadrado de su distancia desde el eje x e integrándolo sobre la sección de la viga. Entonces la cantidad de momento de la distribución de carga con respecto a un eje es el llamado momento de inercia del área.

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1.2. Momento de inercia de un área simple Cuando el momento de inercia que se calcula es para superficies conocidas como rectángulos, triángulos y círculos, obtendremos un momento de segundo orden de un área simple.

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El momento de inercia respecto a un eje cartesiano es:

Estas integrales, conocidas como los momentos rectangulares de inercia del área A, se pueden evaluar con facilidad si se selecciona a dA como una tira delgada paralela a uno de los ejes coordenados. Para calcular Ix, la tira se selecciona paralela al eje  x , de manera que todos los pun tos de dicha tira estén a la misma distancia y del eje  x  entonces, se obtiene el momento de inercia dIx de la tira multiplicando su área dA por  . Para calcular Iy, la tira se selecciona paralela al eje y de forma que todos los puntos de dicha tira estén a la misma distancia  x del eje y ;así el momento de inercia dIy de la tira es x 2 dA.



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Momentos de inercia conocidos

 ∶ es el momento de inercia respecto al eje x.  ∶ es el momento de inercia respecto al eje y  ∶ es el momento de inercia respecto al eje x y ( Momento polar) .

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

Momento polar de inercia

Es el momento de inercia calculado respecto al polo O o respecto al eje z.

Se define como

Donde: r es la distancia perpendicular desde el polo (eje z) hasta el elemento dA. El momento polar de inercia de un área dada puede calcularse a partir de los momentos rectangulares de inercia Ix e Iy del área, si dichas cantidades ya son conocidas. De hecho, si se observa que, se puede escribir

Esto es

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

Radio de giro de un área

El radio de giro de un área con respecto a un eje tiene unidades de longitud y es una cantidad que se usa a menudo en mecánica estructural para el diseño de columnas. Considere un área  A que tiene un momento de inercia Ix con respecto al eje  x (figura 9.7a). Imagine que se ha concentrado esta área en una tira delgada paralela al eje  x (figura 9.7b). Si el área  A, concentrada de esta forma, de be tener el mismo momento de inercia con respecto al eje  x , la tira de be ser coloca da a una distancia kx des de el eje  x , don de kx está definida por la relación

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Si se conocen las áreas y los momentos de inercia, los radios de giro se determinan a partir de las fórmulas

La forma de estas ecuaciones es fácil de recordar, ya que es semejante a la que se usa para encontrar el momento de inercia para un área diferencial con respecto a un eje. Por ejemplo,   =   mientras que para un área diferencial d   = 

      ;

  

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1.3. Momento de inercia de un área compuesta El área de interés está compuesta por serie de partes o formas “más simples” conectadas, como

rectángulos, triángulos y círculos, obtendremos un momento de segundo orden de un área compuesta, siempre que el momento de inercia de cada una de esas partes se haya calculado o tabulado previamente o se determine con respeto a un eje en común. Entonces el momento de inercia del área compuesta es igual a la suma algebraica de los momentos de inercia de todas sus partes.

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PROCEDIMIENTO PARA EL ANÁLISIS El momento de inercia para un área compuesta con respecto a un eje de referencia puede determinarse por el siguiente procedimiento.



Partes compuestas.

Con un croquis, divida el área en sus partes componentes e indique la distancia perpendicular desde el centroide de cada parte hasta el eje de referencia.



    

 



Teorema de los ejes paralelos.

Si el eje centroidal para cada parte no coincide con el eje de referencia, deberá usarse el teorema de los ejes paralelos, para determinar el momento de inercia de la parte con respecto al eje de referencia.



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

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Suma. 

El momento de inercia de toda el área con respecto al eje de referencia se determina por la suma de los resultados de sus partes componentes con respecto a este eje.

   

 

       

Si una parte componente tiene un “agujero”,  su momento de inercia se encuentra al “restar” el momento de inercia del agujero del momento de inercia de toda la parte,

incluido el agujero.

   − 

 

 

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2. TEOREMA DE EJES PARALELOS O TEOREMA DE STEINER 2.1

Teorema de ejes paralelos o teorema de Steiner en áreas simples

-

El teorema de Steiner se usa para determinar el momento de inercia de un área con respecto a cualquier eje que sea paralelo a un eje que pasa a través de su centroide y del cual se conozca el momento de inercia.

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Para desarrollar este teorema, consideraremos determinar el momento de inercia del área sombreada que se muestra en la figura con respecto al eje  x . Para iniciar, elegimos un elemento diferencial dA que está ubicado a una distancia arbitraria y′ del eje centroidal x ′.

Si la distancia entre los ejes paralelos x y x ′ se define como dy , entonces el momento de inercia  . de dA con respecto al eje  x es Para toda el área seria:

 ( ′  ) 

La primera integral representa el momento de inercia del área con respecto al eje centroidal . La segunda integral es cero ya que el eje  x ′ pasa a través del centroide C del área; es decir,   puesto que . Observamos que como la tercera integral representa el área total  A, el resultado final es, por tanto,

Ī ∫ ′ӯ′ ∫ 0

 ӯ  0

Para Iy, se puede escribir una expresión similar; es decir,

Y por último, para el momento de inercia polar, como tenemos   , tenemos

 

   Ī  Ī y    

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2.2

Teorema de ejes paralelos o teorema de Steiner en áreas compuestas

Como ya sabemos el teorema de Steiner se usa para determinar el momento de inercia de un área con respecto a cualquier eje que sea paralelo a un eje que pasa a través de su centroide y del cual se conozca el momento de inercia, la particularidad de este caso está en que la superficie al cual se le va a calcular el momento de inercia es un área compuesta.

El teorema explica que el momento de inercia de toda el área con respecto al eje de referencia paralelo a su eje centroidal se determina con la suma de los resultados de sus partes componentes con respecto a este eje.

Si una parte componente tiene un “agujero”, su momento de inercia se encuentra al restar el

momento de inercia del agujero del momento de inercia de toda la parte, incluida el agujero.

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3. PRODUCTO DE INERCIA El producto de inercia es la propiedad de un área necesaria para determinar los momentos de inercia máximo y mínimo de un área. Estos valores máximo y mínimo son propiedades importantes necesarias para diseñar elementos estructurales y mecánicos como vigas, columnas y flechas.

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El producto de inercia del área de la figura 10-10 con respecto a los ejes  x y y se define como:

Si el elemento de área elegido tiene un tamaño diferencial en dos direcciones, como se muestra en la anterior, para evaluar Ixy debe realizarse una integración doble. Sin embargo, con frecuencia es más fácil elegir un elemento que tenga un tamaño diferencial o espesor en sólo una dirección, en cuyo caso la evaluación requiere sólo una integración simple (vea la figura (a) ).

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Al igual que el momento de inercia, el producto de inercia tiene unidades de longitud a la cuarta potencia,   por ejemplo, m4, mm4 o pies4, pulg4. Sin embargo, como en este  x o y pueden ser cantidades negativas, el producto de inercia puede ser positivo, negativo o cero, dependiendo de la ubicación y orientación de los ejes coordenados.

 

Por ejemplo, el producto de inercia Ixy para área será cero si el eje  x , o el eje y , es un eje de simetría para el área, como en la figura

Aquí, cada elemento dA localizado en el punto ( x , y ) tiene un elemento dA correspondiente en ( x , - y ). Como los productos de inercia para esos elementos son, respectivamente,  xy dA y  _ xy dA, la suma algebraica o integración de todos los elementos que se elijan de esta manera se cancelarán uno a uno. En consecuencia, el producto de inercia para el área total se convierte en cero. De la definición también se infiere que el “signo” de esta cantidad depende del cuadrante

donde se ubique el área. Como se muestra en la figura 10-12, si el área se gira de un cuadrante a otro, el signo de Ixy cambiará.

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EJERCICIOS DE APLICACIÒN



Determine el momento de inercia de un área circular con respecto a uno de sus diámetros.

SOLUCIÒN

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Ejemplo 2 

Calcular el momento de inercia de la siguiente figura plana compuesta.

SOLUCIÒN 

Se divide la figura compuesta e figuras planas sencillas de las que conozcamos las fórmulas de área y momento de inercia.

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

Identificamos nuestras dimensiones estableciendo ejes coordenados



Determinamos las áreas de estas figuras simples y lo vamos a indicar como A1,A2,A3





A1: 30 x 1.9 = 57

A3 :30 x 1.9 = 57

A2:1.1 x 35.2 = 38.72

At : A1+A2+A3 =152.72

Realizamos la ubicación del centro de masa de la figura compuesta XG =

+ …+  ++⋯ +

YG =

+ …+  ++⋯ +

Fijamos un sistema rectangular de coordenadas e indicamos las distancias que hay desde el origen hasta el centro de masa de cada una de las figuras simples en las que dividimos a la compuesta.

= = =. =. =.

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

Sustituyendo valores en las formulas :

 =()()(.. )( )( )( )   =15   = ()(.)(.. )( .)( )(. )   =19.5 

Luego se debe calcular las distancias que hay desde cada centro de masa de las figuras sencillas hasta el cento de masa de la compuesta

 = = = 0 =18.55cm =0cm =18.55cm



Calculando momentos de inercia

 =()(. ) = 17.1475  =()(.) = 4275 (.)(.) = 3997.969 Para la figura2:  =   =(.)(.) = 3.90426 ()(.) Para la figura3:  =   = 17.1475   (.) ()  =   = 4275 Para la figura 1 :

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

Se calcula el momento de inercia de cada una de las figuras sencillas . aplicando el teorema del eje paralelo(teorema de Steiner)

  ̅ ´   ( )   ̅´   ( )   ̅ ´=19.631 ´=3.998   ̅ ´=4.275   ̅ ´  4.275    ̅ ´  3.9043    ̅ ´  4.275  

Se calculan los momentos de inercia de la figura compuesta a partir de los momentos anteriores

  ̅   =43.26   ̅ ´ =8.554

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Ejemplo 3 

Determine el momento polar centroidal de inercia de un área circular

SOLUCIÒN Se selecciona dA como un elemento anular diferencial de área. Como todas las porciones del área diferencial están a la misma distancia desde el origen, se escribe

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Ejemplo 4 

Para el rectángulo mostrado en la figura 9.8, se calcula el radio de giro kx con respecto a su base.

SOLUCIÒN En la figura se muestra el radio de giro kx del rectángulo. El radio de giro no debe confundir se con la ordenada y  h2 del centroide del área. Mientras kx depende del segundo momento o momento de inercia del área la ordenada y  está relacionada con el primer momento del área.

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Ejemplo 5 

El momento de inercia de un cuerpo de masa 2 kg respecto a un eje que pasa a 0,5 m del c.d.m vale 0,4 kg·m 2. Calcula el momento de inercia respecto a un eje paralelo situado 0,3 m más lejos del c.d.m.

SOLUCIÒN El teorema de Steiner no se puede aplicar entre dos ejes paralelos cualesquiera, uno de ellos tiene que pasar por el c.d.m del cuerpo, luego en este problema se debe utilizar dicho teorema para cada una de las dos distancias.

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Ejemplo 6 Determine el momento de inercia del área que se muestra con respecto al eje x

SOLUCIÒN 

Circulo

1   4 ᴨ (25)  ᴨ (25)(75) 11.4(10) 

Rectángulo

  121 (100) (150)  (100) (150)(75) 112.5(10) Suma. Entonces, en momento de inercia del área compuesta es

)  11.4(10) 112.5(10  101(10)

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Ejemplo 7 Determine los momentos de inercia para el área de la sección transversa del elemento que se muestra en la figura con respecto a los ejes centroidales  x y y .

SOLUCIÒN 

Rectángulos A y D

  121 (100)(300)  (100)(300)(200) 1.425(10)   121 (100)(300)  (100)(300)(250) 1.90(10) 

Rectángulo B

  121 (600) (300) 0.5(10)   121 (100) (600) 1.80(10)

Suma. Entonces, en momento de inercia para la sección transversal es

 1.425(10) 0.05(10)  ) (  2.90 10  )   2[1.90(10)] 1.80(10  5.60(10 )

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Ejemplo 8 Determine el momento de inercia del área sombreada con respecto al eje x.

SOLUCIÒN El área dada puede obtenerse restándole un semicírculo a un rectángulo.

Los momentos de inercia del rectángulo y del semicírculo serán calculados en forma separada. •

Momento de inercia del rectángulo

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•

MOMENTO DE INERCIA DEL SEMICÌRCULO

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