Momento Lineal y Choques - Monografias

 

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  La cantidad de movimiento de una partícula se define def ine como el producto producto de  de la ve la velocidad locidad v  v por po r la masa de la partícula: p = mv La segunda segunda ley  de  de Newton establece que la fuerza fuerza sobre  sobre un objeto es igual a la rapidez de cambio cambio de  de la cantidad de movimiento del objeto. o bjeto. En términos de la cantidad de movimiento, la segunda ley de Newton se escribe como: Momento líneal y su conservación

Para dos partículas que interactúan se cumple que: De la tercera ley de Newton, tenemos que: Conservación de la cantidad de movimiento para dos partículas m1 m2 F12 F21 P1 = m1v1 P2 = m2v2

 

  De aquí se obtiene que: Esto significa que: ptotal = p1 + p2 = constante La ley de la conservación del momento lineal establece que siempre que dos partículas aisladas interactúan entre sí, su momento total permanece constante.

Impulso y momento El impulso se define como el cambio c ambio en la cantidad de movimiento de un cuerpo: cuer po: El impulso impulso de la fuerza F es igual al cambio de momento de la partícula. El impulso es un vector vec tor que tiene una magnitud igual al área bajo la curva curv a de fuerza-tiempo fuerza-tiempo.. (Gp:) ti (Gp:) tf (Gp:) t (Gp:) F

 

  La fuerza F que actúa en un tiempo muy corto, co rto, y se le llama fuerza de impulso. El impulso impulso se puede escribir como: I = Fm Dt. Donde Donde Fm es la fuerza promedio durante el interv alo. ti tf t F Fm Área = Fm Dt Dt

Ejemplo Una pelota de golf de 50 g es golpeada por un palo de golf y ésta alcanza una distancia de 200m, calcule el impulso aplicado por el palo, suponga un ángulo de 45° el la veloc v elocidad idad inicial. El alcance esta dado por: A B C I = Dp Dp = mvB mvB mvA = (0.050)(44 (0.05 0)(44 ) = 2.2 kg m/s m/s El alcance esta dado por: Si el tiempo tiempo de contacto dura 4.5 x 10  4 s la fuerza fuer za es: F = I/Dt = 4900 N

 

  Colisiones Llamamos Llamamos colisión colisió n a la interacción interacció n de dos (o más) cuerpos mediante una fuerza impulsiva. impulsiva. Si m1 y m2 son las masas de los cuerpos, entonces ento nces la conservación de la cantidad cantidad de movimiento movimiento establece establece que: m1v m1v 1i + m2v2i = m1v1f m1v 1f + m2v2f Donde v1i, v1 i, v2i, v1f v 1f y v 2f son las velocidades inicial iniciales es y  finales de de las masas masas m1 y m2. m1 m2 F12 F21 v1f v 1f v1 i v2f v2i antes después después

Ejemplo Un automóvil de 1800 kg está detenido y es golpeado por atrás por otro automóvil de 900 kg y los dos quedan enganchados. Si el auto pequeño se movía movía a 20 m/s ¿cuál es la velocidad final de de los dos? pi = m1v1 i = (900)(20) (900)(20) = 18000 kg m/s pf = m1vf m1v f + m2vf = (m (m11 + m2) vf = 2700 270 0 vf v f vf  v f  = 18000/2700 18000/270 0 = 6.67 m/s

 

  Consideraremos colisiones en una dimensión. Las colisiones se clasifican en: Elásticas: cuando se conserva la energía cinética total, es decir: Inelásticas: cuando parte de la energía cinética total se transforma en energía no recuperable (calor ( calor,, deformación deformación,, sonido sonido,, etc.). Perfectamente inelásticas: cuando los objetos permanecen juntos después de la colisión. v1f = v2f Clasificación de las colisiones

Para colisiones perfectamente inelásticas se cumple lo siguiente: Si m2 está inicialmente en reposo, entonces: Si m1» m2, entonces v ? v1i. Si m1« m2, entonces v ? 0. 0 . Si v2i v 2i = -v1i , entonces: Si en este este caso m1= m2, entonces: v = 0 Colisiones perfectamente perfectamente inelásti inelásticas cas m1 m2 v1 i v2i m1+m2 vf

 

  En colisiones elásticas se conserva el momento y la energía total. Entonces se tiene que: y Es fácil mostrar, a partir de lo anterior, que: m1 m2 v1i v2i  v2ff v1 f Antes de la colisión Después  v2 Después de la colisión Choques elásticos

Es fácil mostrar que las velocidades finales de los dos objetos son: En una colisión elástica la velocidad relativa de los cuerpos en colisión cambia de signo, pero su magnitud permanece inalterada. Si denotamos por u la velocidad relativa de los objetos, entonces:

 

  Si m1 = m2, entonces entonces v1f v1 f = 0 y v2f = v 1i. Es decir, dos objetos de masas masas igual iguales es intercambian intercambian sus sus velocidades. Si m1 m1 » m2, entonces v1f ? v1 i y v 2f ? 2v1 i. Quiere Quiere decir que un objeto grande que choca con otro pequeñ pequeñoo casi no altera su velocidad pero el objeto pequeño es arrojado con una velocidad del doble de la del pesado. pesado. Si m1 « m2, entonces v1 f ? -v1 i y v2f ? (2 m1/m2)v1 m1/m2)v1 i ? 0. Cuando un objeto ligero ligero choca con otro pesado, adquiere una una  velocidad  ve locidad opuesta a la que traía. Si v2i = 0, entonces:

Colisiones en dos dimensiones Para el caso de dos dimensiones la conservación del momento se expresa para cada componente como: m1v1ix + m2v2ix = m1v1 fx + m2v2fx m1v1 iy + m2v2iy = m1v1 fy + m2v2fy m1 m2 v1i v2f v 2f v1 f Antes de la la colisión Después Después de la colisión colisión v2i

 

  Consideraremos el caso en e n que m2 está en reposo inicialmente. Después del choque m1 se muev e a un ángulo q con la horizontal y m2 se mueve a un ángulo f con la horizontal. Las ecuaciones ecuaciones anteriores  anteriores quedan como: m1v m1v 1i = m1v1 fcos q + m2v2fcos f 0 = m1v1f m1v1 f sen q - m2v2fsen f m1 m1 m2 v1 i v2f v1f  v 1f   Antes de la colisión Después Después de la colisión f q La ley de la conservación conservac ión de la energía suministra suministra otra ecuación. ecuació n. Sin embargo, embargo, dadas las masas y la  velocidad  ve locidad inicial deberá darse alguna de las cantidades restantes v1 f,v f,v2f, 2f, f, q.

Ejemplo Un auto de 1500 kg a 25 m/s hacia el este choca con una camioneta de 2500 kg que se mueve hacia el norte a 20 m/s en un cruce. Encuentre la magnitud y dirección de la velocidad de los autos autos después  después del choque, suponga un choque perfectamente inelástico. 25 m/s 20 m/s vf Momento en x:  Antes Después (15 (1500 00 kg)(25 m/s) = (4000 kg) vf cos(q) c os(q) Momento Momento en y: Antes Después Después (2500 kg)(20 m/s) m/s) = (40 (4000 00 kg) vf sen(q) Resolviendo q = 53.1°  vf = 15.6 1 5.6 m/s q

 

  Ejemplo q 35° v1i v1 f v2f y x En un Ejemplo un juego  juego de  de billar un jugador desea meter la bola objetivo objetivo en  en la buchaca de la esquina. Conservación de la energía Conservación del momento (bidimensional) Efectuando el producto punto q = 55°

Centro de masa El centro de masa de un sistema de partículas es un punto en el cual paracería paracer ía estar concentrada co ncentrada toda la masa del sistema. En un sistema formado por po r partíc ulas discretas el e l centro ce ntro de masa se calcula calc ula mediante la siguiente fórmula: fó rmula: (Gp:) (Gp:) m1 (Gp:) m2 (Gp:) mn mn (Gp:) mi mi (Gp:) r1 (Gp:) r2 (Gp:) ri (Gp:) rn (Gp:) rCM (Gp:) x (Gp:) y (Gp:) z

 

  Centro de masa de un objeto ex tendido rCM x y z ri Dmi El El centro de masa de un objeto extendido ex tendido se calcula calc ula mediante la integral: El El centro de masa de cualquier objeto simétrico se ubica sobre el eje de simetría y sobre cualquier plano de simetría.

Movimiento de un sistema de partículas Si se deriva respecto al tiempo el centro de masa de un sistema de partícula se obtiene la velocidad del centro de masa: El momento total del sistema es:

 

  La aceleración acelerac ión del centro de masa es: De De la segunada ley de Newton: T omando en cuenta la 3era. Ley de Newton: El centro de masa se mueve como c omo una partícula imaginaria de masa M bajo la influencia de la fuerza externa ex terna resultante sobre el sistema.

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