Momento de Inercia

LABORATORIO DE FISICA MOMENTO DE INERCIA I. Objetivos: 

Determinar experimentalmente el momento de inercia de una masa puntual y compararla con su valor teórico.



Determinar el momento de inercia de un cilindro hueco y compararla con su valor teórico.



Determinar el momento de inercia de un disco y compararlo con su valor teórico.



Analizar Usando Data Studio los resultados que se obtienen de medición y observaciones, para predecir comportamientos previos o posteriores a la toma de datos.

II. Fundamento teórico

El “quarterback” de un equipo de Futbol Americano lanza la pelota de modo que gire durante el vuelo. Una partidora realiza un elegante giro e incrementa su velocidad de giro acercando sus brazos al cuerpo. El momento de inercia juega un papel muy importante en estos dos fenómenos. El momento de inercia de un objeto depende de su masa y de la distribución de su masa. En general, cuanto más compacto es el objeto, menor es su momento de inercia.

Momento de inercia de una distribución de masas puntuales

Para una distribución de masas puntuales, el momento de inercia estaría dado  por la ecuación: …… (1)  = ∑ 2  …… (1) Donde, x i, es la distancia de la partícula de masa mi al eje de rotación.

CSC FISICO MATEMATICAS

Página 1

LABORATORIO DE FISICA Momento de inercia de una distribución continua de masa

Pasamos de una distribución de masas puntuales a una distribución continua de masa, la formula a aplicar es:

 = ∫ 2 …… (2) Aquí, dm es un elemento de masa situado a una distancia x del eje de rotación. Momento de inercia de una varilla

Sea una varilla de masa M y longitud L respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el centro de masas y la masa dm del elemento de longitud de la varilla comprendido entre: x entre:  x y y x + dx

El momento de inercia de la varilla es:

/2   2  =  2 ..…. (3)  = ∫−/2  2 Aplicando el teorema de Steiner, podemos calcular el momento de inercia de la varilla respecto de un eje perpendicular a la misma que pasa por uno de sus extremos. Su momento de inercia es:

2   2   =  +  2 = 3  …….. (4) Teóricamente, el momento de inercia, I, de un aro viene dado por:

 = 2 (2 + 22) ….. (5)

CSC FISICO MATEMATICAS

Página 2

LABORATORIO DE FISICA Donde, M es la masa del are, R 1  es el radio interior del aro, y R 2  es el radio exterior del aro. Teóricamente, el momento de inercia, I, de un disco solido de densidad uniforme viene dado por:

 =   ….. (6) Donde M es la masa del disco, y R es el radio del disco. Para determinar EXPERIMENTALMENTE el momento de inercia del aro y el disco, aplique un toque o momento de fuerza al aro y al disco, y mida la aceleración angular resultante. Dado que

 =  ……. (7) Donde, α es la aceleración angular y es el torque El torque depende de la fuerza aplicada y de la distancia entre el punto donde el objeto pivota y el punto donde se aplica el impulso, es decir:

 =  ×  ……. (8)

Donde r es la distancia desde el centro del aro o del disco hasta al punto donde se aplica la fuerza y F es la fuerza aplicada. El impulso es máximo cuando  rxF  rxF es rFsinθ donde θ es el ángulo entre r y la dirección fe F , la fuerza aplicada. El impulso es máximo cuando r y F son perpendiculares. En este caso, la fuerza aplicada es la tensión ( T ) de un hilo atado al aparato giratorio. La gravedad tira de una masa suspendida m atado al hilo. El valor de r es el radio de la polea del aparato. El radio es perpendicular a la fuerza aplicada (tención). En consecuencia, el torque es:

 =  ….. (9) CSC FISICO MATEMATICAS

Página 3

LABORATORIO DE FISICA La siguiente solución es derivada de la convención de que hacia arriba es  positiva y hacia abajo es negativo, la dirección de las agujas del reloj rel oj es positiva y viceversa. Aplicando la segunda Ley Ley de Newton para la masa en suspensión, m, resulta:

  =    = () () Resolviendo para la tensión:

 = ( (  ) El torque es:

 =  = ( ) …….. (10) La aceleración lineal α de la masa en suspensión es la tangencial, α T, del dispositivo que gira. La aceleración angular está relacionada con la aceleración tangencial, αT, del dispositivo que gira:

 =  ……… (11) Sustituyendo la ecuación (10) y (11) en (7) resulta:

 =  2   1…….. (12)

Esta ecuación permitirá calcular experimentalmente el momento de inercia del sistema, partiendo de la aceleración tangencial, tangencial, αT  y el valor conocido de la aceleración gravitacional g.

III.Equipos III. Equipos y materiales 

Computadora personal



Software Data Studio instalado



Interface Science Workshop 750



Sensor de Movimiento rotacional (C1-6538)



Set de Masas (ME –  (ME –  8967)  8967)



Accesorio adaptador de base rotacional (CI –  (CI  –  6538)

CSC FISICO MATEMATICAS

Página 4

LABORATORIO DE FISICA 

Sistema rotacional completo



Equipo de rotación (ME-8951)



2.0 m de hilo negro



Balanza analógica (a±0.1 gr.)



Regla de nivel



Vernier

IV. Procedimiento y actividades

Procedimiento para configuración de equipos y accesorios. a. Encender el Computador e ingresar al  Data Studio  Studio  haciendo Doble Clik en el icono ubicado en el escritorio, luego seleccionar crear experimento.  b. Seleccionar el  sensor de movimiento rotacional   de la lista de sensores, luego efectuar la conexión usando los cables para transmisión de datos de acuerdo a lo indicado por Data Studio. c. Efectué la calibración correspondiente, elija para el sensor de movimiento rotacional una frecuencia de muestreo igual a 10Hz (registro por segundo), y 360 divisiones por giro; luego en calibración lineal seleccione polea grande. d. Genere un gráfico para la aceleración tangencial tan gencial vs. Tiempo. e. Mida con un vernier el diámetro de la polea grande del sensor de movimiento rotacional y calcule el radio. f. Realice al montaje del sensor de movimiento circular en el soporte del sistema rotacional completo, usando el accesorio adaptador de base rotacional (CI  –  6690). g. Monte la plataforma rotante de aluminio, la cual previamente deberá ser pesada  junto con el eje de acero. h. En este punto haga una prueba con una masa en la porta pesas de 5 gramos. i.

Usando las ecuaciones correspondientes calcule el momento de inercia del conjunto solo, a anótelo en la tabla (1), este resultado deberá restarse de los resultados posteriores del momento de inercia.

CSC FISICO MATEMATICAS

Página 5

LABORATORIO DE FISICA Aceleración

Masa

Radio de la

Distancia respecto al centro

angular

aplicada

 polea

de giro

1

151.99

0.055 kg

2.625 cm

0.67 cm

2

178.02

0.060 kg

2.625 cm

0.67 cm

3

196.35

0.65 kg

2.625 cm

0.67 cm

EVENTO

Tabla 1: masa y momento de inercia del sistema solo

Elemento

Masa eje rotante

Masa plataforma de aluminio

Masa del disco

Masa del cilindro hueco

Masa del elemento puntual

Dato

250 g

Elemento

Dato

Momento de inercia del eje Momento de

585 g

inercia sistema 8eje-plataforma)

1444 g

Radio interno del cilindro hueco

5.345 cm

Radio externo 1427 g

del cilindro

6.38 cm

hueco

272 g



Radio del del eje rotante 0.67 cm



Radio de la polea

Radio del disco

11.4 cm

2.625 cm

Primera actividad (momento de inercia de masa puntual)

a. Pese al elemento puntual y colóquela a una distancia conocida del eje de rotación, sobre la  plataforma rotante de aluminio, tal como se muestra

CSC FISICO MATEMATICAS

Página 6

LABORATORIO DE FISICA en la figura  b. Use inicialmente una masa de 5gr. y realice una medición, anote los datos de aceleración tangencial, el radio (r) es conocido (radio de la polea del eje rotante). c. Calcule el momento de inercia restándolo del encontrado para el momento de inercia del conjunto solo. d. Varíe la masa en el porta pesos adicionando 5gr. y efectué nuevamente una medición. Tabla 2: Datos Obtenidos

Aceleración

Masa

Radio de la

Distancia respecto al centro

angular

aplicada

 polea

de giro

1

0.20

0.055 kg

2.625 cm

15 cm

2

0.22

0.060 kg

2.625 cm

15 cm

3

0.29

0.65 kg

2.625 cm

15 cm

EVENTO

e. Repita el proceso 5 veces y calcule el promedio. f. Compare estos resultados con el valor teórico dado por la ecuación (3) y determine el error absoluto, relativo y porcentual anote sus resultados en la tabla (3). Tabla 3: momento de inercia del elemento puntual

Momento de inercia experimental

Momento de inercia teórico

Error absoluto

Error porcentual

Segunda actividad (momento de inercia del disco)

a. Pese el disco y colóquelo sobre el eje rotante tal como se muestra en la figura.

CSC FISICO MATEMATICAS

Página 7

LABORATORIO DE FISICA

 b. Use inicialmente una masa de 5gr. y realice una medición, anote los datos de aceleración tangencial, el radio (r) es conocido (radio de la polea del eje rotante). rot ante). c. Calcule el momento de inercia restándole del encontrado par el momento de inercia del conjunto solo. d. Varíe la masa en el porta pesos adicionando 5gr. y efectué nuevamente una medición. Tabla 4: Datos Obtenidos

Aceleración

Masa

Radio de la

Distancia respecto al

angular

aplicada

 polea

centro de giro

1

0.44

0.55

2.625 cm

11.4 cm

2

0.53

0.60

2.625 cm

11.4 cm

3

0.61

0.65

2.625 cm

11.4 cm

EVENTO

e. Repita el proceso 5veces y calcule el promedio. f. Compare estos resultados con el valor teórico dado por la ecuación (8). Determine el error absoluto, relativo y porcentual, anote sus resultados en la tabla (5) Tabla 5: momento de inercia del disco, eje de rotación perpendicular a su plano

Momento de inercia experimental

CSC FISICO MATEMATICAS

Momento de inercia teórico

Error absoluto

Error potencial

Página 8

LABORATORIO DE FISICA Tercera actividad (momento de inercia del disco y el cilindro hueco)

a. Usando un vernier determine los radios interior R1 y exterior R2 del cilindro hueco, luego pese el cilindro y colóquelo sobre el disco en posición horizontal sobre el eje rotante tal como se muestra en la figura.

 b. Use inicialmente una masa de 5gr. y realice una medición, anote los datos de aceleración tangencial, el radio r es conocido (radio de la polea del eje rotante) 3 c. Calcule el momento de inercia restándole del encontrado para el momento de inercia del conjunto solo. d. Varíe la masa en el porta pesos adicionando 5gr. y efectúe nuevamente una medición, el momento de inercia no debe de cambiar. Tabla 6: Datos Obtenidos

Distancia EVENTO

Aceleración angular

Masa aplicada

Radio de la  polea

respecto al centro de giro

1

0.26

0.055

2.625 cm

6.38 cm

2

0.35

0.060

2.625 cm

6.38 cm

3

0.42

0.065

2.625 cm

6.38 cm

e. Repita el proceso 5 veces y calcule el promedio. f. Este resultado debe restarse del momento de inercia mostrado en la tabla 3. g. Compare estos resultados con el valor teórico dado por la ecuación (11) y determine el error absoluto, relativo y porcentual, anote sus resultados en la tabla 7.

CSC FISICO MATEMATICAS

Página 9

LABORATORIO DE FISICA Tabla 7: Momento Momento de Inercia Inercia de un cilindro hueco

Momento de inercia

Momento de inercia

experimental

teórico

Error absoluto

Error potencial

V. Cuestionario

1. ¿Qué factores podrían motivar las diferencias entre los valores teóricos y experimentales? Factores como las fuerzas de rozamiento que aunque eran despreciables incidieron en los resultados.

2. Determine el radio de giro para cada uno de los elementos utilizados. Radio interno del

5.345 cm

cilindro hueco Radio externo

6.38 cm

del cilindro hueco Radio del disco

11.4 cm

Radio del eje

0.67 cm

rotante Radio de la polea

2.625 cm

3. ¿A través de qué punto debe pasar el eje de rotación para que el momento de inercia sea mínimo en el caso de la varilla y el cilindro? Pasando por el centro de la masa Lo más cerca posible del origen para poner tener menos distancia que utilizar.

CSC FISICO MATEMATICAS

Página 10

LABORATORIO DE FISICA

4. ¿Si el sistema permanece fijo con respecto al cuerpo rígido, el momento de inercia  permanece constante? Si

5. ¿Mediante que ecuación se relacionan el momento de inercia y el momento angular para un cuerpo rígido? El producto del momento de inercia por la velocidad angular viene a ser el componente longitudinal del momento angular. Para explicar, el momento angular tiene dos componentes: un momento longitudinal que actúa perpendicularmente al plano de rotación o lo que es igual decir a lo largo del eje de giro. En un sistema de coordenadas pongamos que la  partícula gira en el plano xy con centro de rotación en el origen. Entonces el componente longitudinal del momento angular está sobre el eje Z, y está dado por: Lz = (∑mR^2)ω, donde el factor  mR^2  mR^2 es el momento de inercia. El segundo componente del momento angular es el componente transversal, dado  por: Li = ∑m(ω-h)R, ∑m(ω-h)R, todos afectados por el subíndice i, y en notación vectorial.

6. Aplicando un razonamiento similar al aplicando para el caso del cilindro y el disco, calcule el momento de inercia de una placa rectangular delgada de masa M de lados a y b respecto del eje que pasa por la placa.

CSC FISICO MATEMATICAS

Página 11

LABORATORIO DE FISICA 7. Aplicando un razonamiento similar al aplicado para el caso del cilindro y el disco, calcule el momento de inercia de una esfera de masa M y radio R respecto de uno de sus diámetros.

8. ¿Cómo se denomina el punto respecto al cual el momento estático de una distribución de masa es nulo? Se da cuando la distancia entre las masas es muy pequeña o no existe.

CSC FISICO MATEMATICAS

Página 12

LABORATORIO DE FISICA 9. ¿Por qué el momento estático respecto respect o a un plano es la proyección pro yección perpendicular al mismo del momento estático respecto a cualquiera de sus puntos? Porque si se tuviera un plano infinito este momento también se podría obtener de una proyección pues su perpendicular también seria perpendicular al plano.

10. ¿Por qué el momento de inercia en el caso de una masa puntual respecto al punto en que está concentrada es nulo? Porque si se concentra en el eje de rotación no existiría una distancia por lo tanto al integrar se daría la integral de cero y eso es cero también. Cómo se denomina el  punto respecto al cual el momento estático de una distribución de masa es nulo

VI. Conclusiones 

Se logró determinar el momento de inercia de dos sólidos con masas similares (disco y aro) y pudimos ver como variaba el momento de inercia entre ellos gracias a la distribución de su masa, siendo mayor el momento del aro porque su masa está distribuida en el borde la circunferencia



Los resultados obtenidos tuvieron cierto margen de error debido a factores como las fuerzas de rozamiento que aunque eran despreciables incidieron en los resultados.



Se puede concluir que entre más alejada este la masa del centro de rotación, mayor es su inercia. Esto se ve en los resultados obtenidos con el aro, mucho mayor que el disco a pesar que sus masas eran muy similares

VII. 

Bibliografía Sear, Zemansky, Física Universitaria, Volumen 1, Décimo primera edición,



Pearson Educación, México, 2004.



Wilson, Jerry D. Física, Segunda edición,



Pearson Educación, México, 2001

CSC FISICO MATEMATICAS

Página 13

LABORATORIO DE FISICA

CSC FISICO MATEMATICAS

Página 14