Momento de Inercia en Areas
July 8, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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DE ÁREAS CURSO DE ESTÁTICA DOCENTE : ANGEL DARIO CANLLAHUI AQUISE INGENIERO AGRÍCOLA
I. INTRODUCCION
• El momento de inercia es la capacidad de resistencia
que tiene un cuerpo, a sufrir una transformación. • Por ello podemos decir que el momento de inercia
sólo depende dede la giro; geometría deldepende cuerpo ydedelas la posición del eje pero no fuerzas que intervienen en el movimiento.
II. DETERMINACIÓN DEL MOMENTO DE INERCIA DE UN ÁREA POR INTEGRACIÓN
MOMENTO O DE INERCIA PA PA RA UNA AREA A REA POR INTEGRACION: MOMENT
Considere la Área dada en el plano área( )
, tomamos el diferencial de
Se define los siguientes momentos de inercia: 1)- MOMENTO DE INERCIA RESPECTO AL EJE “X”
2
=
2)- MOMENTO DE INERCIA I NERCIA RESPECTO AL EJE “y”
2
=
III. MOMENTO POLAR DE INERCIA DE UNA AREA
• Es una cantidad utilizada para predecir habilidad para resistir la
torsión del objeto , en los objetos (o segmentos de los objetos)
con un invariante circular deosección transversal deformaciones importantes fuera del plano dey sin deformaciones.
Es una cantidad utilizada para predecir habilidad para resistir la torsión en los objetos (o segmentos de los objetos) con un invariante circular de sección transversal y sin deformaciones impo im port rtan ante tess o fuer fuera a del del plan plano o de def deforma ormaci cion ones es.. E meonm uan máorm eaeneto n proelalarcd ióenina plerp diecn utlaor adesu ipnlearncoiasedlelam ercuian, yesje e repr re prese esent nta a por J.
El momento de dA con respecto al polo O o al eje z, es deno de nomi mina nado do mo mome ment nto o pola polarr de iner inerci cia a
A uí,ent r es diP star an a paer erp enea dicel ula es esd detoelpo po lrod(ejiner e erci z) cia hases ta: el elem elqemen to ldaA. ara actiod oda elpár área mrodm en ent pola lar in es:
= 2 = 2 = 2 2, lo que hacacee pososibiblle una relelacacióiónn enentrtree , y :
R DIO DE GIRO DE UN ÁRE El radio de giro de un área plana tiene unidades de longitud y es una cantidad usada a menudo en mecánica estructural para el diseño de columnas. Si se conocen las áreas y los momentos de inercia, los radios de giro se determinarán de la siguiente manera. Tenemos un área A:
• Consideremos que el área A tiene un momento de inercia
con
respecto al eje x. Imagine que se ha con centrado esta área en una x
tira delgada paralela al eje .
Si el área A, concentrada de esta forma, debe tener el mismo momento de inercia con respecto al eje x , la tira debe ser colocada a una distancia desde el eje x , donde está definida por la
relación: Y despejando
se obtiene:
• En forma similar se pueden definir los radios de giro
y :
• Y reescribiendo la ecuación del momento polar de inercia en términos de radio de giro tenemos:
Problemas
PROBLEMA RESUELTO - 1 Determine el momento de inercia de un triángulo con respecto a su base.
SOLUCIÓN y l h–y
Se dibucoinci dibu ja un triángu trián gulo desebase ba se b y altu al tura ra Se elleccio ejeciona se dA seleccio selec ciona de tira ma h; selec x na ra que coin cida da con lalobase ba del trián triángu gulo. lo. se como co monauna timane ra nedi-diferen fe rencial cial para parale lela la al eje x. Como Como todas todas las porcio porciones nes de la tira tira están están a la mismisma distan distancia cia a partir partir del eje x, se escri escribe be dI x y2 dA
h dy b
dA l dy
Si se utilizan triángulos semejantes se tiene que
y x
l b
h y h
h y h
h y h
l b dA b dy
Con la integración de dI x desde desde y y 0 hasta y hasta y h, se obtiene
I x y 2 dA b
h y b y b dy (hy h h h
2
0
h
0
y3 y4 h
h
2
y3) dy
bh b h3 I x
h
3
4
12
0
PROBLEMA RESUELTO -2 a) Determine el momento polar centroidal de inercia de un área circular por integración directa; b) utilice el resultado del inciso a) y determine el momento de inercia de un área circular con respecto a uno de sus diámetros.
SOLUCIÓN y
a)
Momento Momen to polar polar de inerc inercia. ia. Se selecciona dA como un elemento
anular de área. Como lasseporciones tán a ladiferencial misma distancia desde el todas origen, escribe del área diferencial esdu
r
dJO u2 dA
u O
x
JO dJO
dA 2 u du
u (2 u du) du) r
2
0
u du r
2
3
0
JO
4
2 r
b) Momen Momento to de inercia inercia con respec respecto to a un diámetro. diámetro. Debido a la simetría del área circular, se tiene que I x I y. Entonces, se escribe
JO I x I y 2I x
4
r
2I x Idiámetro I x r 4
2
VPARALELOS . TEOREMAPARA DE LOUN S EÁREA JES O TEOREMA DE STEINER
4
TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS O TEOREMA DE STEINER
Considere el momento de inercia I de un área A área A con respecto a un eje AA (figura ). Si se representa con y con y la distancia desde un elementode área dA hasta hasta AA AA, se escribe
I y2 dA
Aho Ahora, ra, dibu dibu tra vés centroi troide de cen C troi del dal. área. Repre unpresen ejesentan BB quecon es para pa rale lelo losea AA a AA diacho dicho eje esdel llacen llama mado do eje troidal Re tando do , ja
y
B
dA C
y
B
d A
A
y la distan distancia cia desde desde el elemen elemento to dA has hasta ta BB, se escri escribe be y y y d, donde don de d es la distan distancia cia entre entre los ejes AA ejes AA y BB. Susti Sustitu tu yen yendo do por y por y en la inte integral gral ante anterior, rior, se escri escribe be 2
2
I y dA ( y y d) dA 2 2 y dA 2d y dA d
dA
La prime primera ra inte integral gral repre represen senta ta el momen momento to de inercia inercia I del área con respec res pecto to al eje centroi centroidal dal BB. La segun segunda da inte integral gral repre represen senta ta el priprimer momen momento to del área con respec res pecto to a BB; como como el centroi centroide de C del área está está loca locali liza zado do sobre sobre dicho dicho eje, la segun segunda da inte integral gral debe debe ser igual a cero. cero. Final Finalmen mente, te, se obser obser va que la úl últi tima ma inte integral gral es igual al área total to tal A A.. Por tanto, tanto, se tiene tiene
I I Ad2 Esta fórmu Esta fórmula la expre expresa sa que el momen momento to de inercia inercia I de un área con respec res pecto to a cual quier eje da dado do AA AA es igual al momen momento to de inercia inercia I del área con respec respecto to a un eje centroi centroidal dal BB que es para parale lelo lo a AA a AA más el produc producto to del área A y el cua cuadra drado do de la distan distancia cia d en entre tre los dos ejes. Este Este teore teorema ma se cono conoce ce como como el teo teore re ma de los ejes pa para rale lelos los o 2
2
teo teore rebién ma se de puede Stei ner de ner expre . Susti Sus titu tu yen yendo dosiguien A por I yma k A por I , el teore teorema ma también tam pue ex presar sar de la sikguiente te forma for
k2 k2 d2 Se puede puede utili utilizar zar un teore teorema ma simi similar lar para para rela relacio cionar nar el momen momento to polar po lar de inercia inercia J JO de un área, con respec res pecto to a un punto punto O, con el momomento men to polar polar de inercia inercia J J misma área con respec respecto to a su centroi centroi- C, de la misma de C. Deno Denotan tando do con d la distan distancia cia entre entre O y C, se escri escribe be C Ad2 JO J
o
k2O k2C d
2
Como una aplica Como aplicación ción del teore teorema ma de los ejes para parale lelos, se proce procede derá rá a deter determi minar nar el momen momento to de inercia inercia IT de un área circu cir cular lar con respec respecto to a una línea línea tangen tangente te al círcu círculo lo (figu (figura ra a). Enel pro ble blema ma resuel resuelto 2 se en contró contró que el momen momento to de inercia inercia de 1 4 un área circu circular lar con respec respecto to a un eje centroi centroidal dal es I 4 r r . Por tantanto se puede puede escri escribir bir Ejemplo plo 1. Ejem
C
r
d = r T Figura a
D
D
2
1
4
2
2
5
4
4 r 4 r IT I Ad ( r )r Ejemplo Ejem plo 2. El teore teorema ma de los ejes para parale lelos los también también se puede puede utililizar uti zar para para deter determi minar nar el momen momento to centroi centroidal dal de inercia inercia de un área cuando cuan do se cono conoce ce el momen momento to de inercia inercia del área con respec res pecto a un eje para parale lelo. lo. Por ejemplo, ejemplo, consi conside dere re un área triangu trian gular lar (figu (figura ra b). En el proble blema ma resuel resuelto 1 se en contró contró que el momen momento to de inercia inercia 3 del triángu triángulo lo con respec respecto to a su base base AA AA es igual a 112 bh . Con el teorema de los ejes para parale lelos, los, se escri escribe be
3
h C
B
B
d = 13 h A
A
b Figura b
IBB Ad
I AA IBB
d = 2 h
I AA
2 2
1
3
1
1
2
1
3
bh( Ad 1 (3h) 36 bh 2 bh 2 bh
Es nece necesa sario rio resal resaltar tar que el produc producto to Ad Ad2 fue res ta tado do del momen momento to de inercia inercia dado, dado, con el fin de obte obtener ner el momen momento to centroi centroidal dal de inerinercia del triángu triángulo. lo. Obser Obser ve que dicho di cho produc producto to se su se su ma cuan cuando do se papasa de un eje centroi centroidal dal a un eje para pa rale lelo, lo, pero pero debe debe res tar se cuan cuando do se pasa pasa a un eje centroi centroidal. dal. En otras pala palabras, bras, el momen momento to de inercia inercia de un área siempre siempre es menor menor en rela relación ción con un eje centroi centroidal dal que con respec respecto to a cualquier cualquier otro eje para parale lelo. lo. En la figura 9.11 se observa que el momento de inercia del triángulo con respecto a la línea DD (la cual se ha dibujado a través de un vértice del triángulo) se puede obtener escribiendo IDD
IBB Ad 36 bh 2 bh bh((3h) 4 bh 2
1
3
1
2
2
1
3
Obser ve que IDD no se habría Obser habría podi podido do obte obtener ner direc directa tamen mente te a par tir de I AA . El teore tir teorema ma de los ejes para parale lelos los sólo sólo se puede puede aplicar aplicar si uno de los dos ejes para parale lelos los pasa pasa a tra vés del centroi cen troide de del área.
VI.. MOME VI MOMENT NTOS OS DE INER INERCI CIA A
DE ÁREAS COMPUESTAS
ÁREA COMPUES COMPUESTTA: Es aque aquell lla a que esta divida en varias áreas componentes, por ejemplo el área A esta dividida en varias áreas: A1,A2 y A3
El momen entto de in iner erci cia a de un ár área ea compue uessta que con onssta de figu figurras conocid cidas se hallará aplicando las formulas que se encontraran en las tablas, sin embar arg go en algunas ocasiones antes de sumar los momentos de inercia será nece ne cesa sari rio o ut util iliz izar ar el teor teorem ema a de lo loss eje ejess pa parralel alelos os estu estudi diad ado o an ante teri rior orme ment nte. e.
• EL MOMENTO DE INERCIA DE UN ÁREA SIEMPRE ES
POSITIVO
sin importar la posición del eje respecto al cual se
realizará.
• PARA CALCULAR MOMENTO POLAR DE INERCIA se pueden utilizar lasELformulas ya conocidas. Jo = JJxx + Jy Jy • Antes de realizar el procedimiento para hallar el momento de inercia es posible hallar el centroid centroide. e.
y
1 I x = 12 bh3
y
1 3 I y = 12 b h
Rectángulo
h
C b
x
x
I x = 13 bh3 I y = 13 b3h 1 JC = 12 bh(( b bh b2 + h2)
Triángulo
h
C
h 3
x
1
3 x 36 I = 1 bh I x = 12 bh3
x
b
y
x
O
1 4 r 4 1 4 r 2
I x = I y =
r
Círculo
JO =
y
C
Semicírculo O
1 4 r 8 1 4 r 4
I x = I y = JO = r
x
y
Cuarto de círculo
I x = I y =
C O
r
x
JO =
1 4 r 16
1 8 r 4
r
y 1
I x = 4 ab 3
b Elipse
x
O a
Figura
1
I y = 14 a3 b JO = 14 ab ab((a2 + b2)
Momentos de inercia de formas goemétricas comunes.
Es necesario señalar que el radio de giro de un área compuesta no es igual a la suma de los radios de giro de las áreas componentes. Para determinar el radio de giro de un área compuesta, es necesario que primero se calcule el momento de inercia del área.
Forma
x
y
Área
h
Área triangular
y
Un cuarto de área circular Área semicircular
C b
b
2
2
O
x
Un cuarto de área elíptica Área semielíptica
C O
O
x
r 2
4r 3
0
4r 3
4a 3
4 b 3
0
4 b 3
38a
35h
2ah 3
0
3h 5
4ah 3
3a 4
3h 10
ah
4
a
r 2
2
ab
4
ab
2
a
Área semiparabólica C
Área parabólica
b
C
y
2
r
y
O
bh
3
4r 3
C
C
h
C
y
O
O
x
h a
a y = kx2
Enjuta parabólica C O x
h y
3
a y = kx n
Enjuta general
h C
O
n + 1 a n + 2
n + 1 h 4 n + 2
ah n + 1
y
x r
Sector circular C
O x Figura A Centroides de áreas comunes.
y
PROBLEMA RESUELTO 5
2r sen sen α 3α
0
α
r 2
240 mm
Determine el momento de inercia del área sombreada con respecto al eje x. 120 mm
r
=
90 mm
x
SOLUCIÓN El área dada puede obtenerse restándole un semicírculo a un rectángulo. Los momentos de inercia del rectángulo y del semicírculo serán calculados en forma separada.
y
y
240 mm
y
A −
120 mm
a
C
a
=
38.2 mm
A
=
x
Momento de inercia del rectángulo. Haciendo referencia a la figura , se obtiene 1
A
x
x
3
1
I x 3 bh 3(240
y
b
x 1
A
mm)(120 mm)3 138.2 106 mm4
Momento Momen to de inercia inercia del semi semicír círcu culo lo. Ha Hacien ciendo do refe referen rencia cia a la fifigura gu ra A, se deter determi mina na la ubica ubicación ción del centroi centroide de C del semi semicír círcu culo lo con resrespecto pec to al diáme diámetro tro AA.
120 mm
x
C b
=
a
81.8 mm
x
4r 3
(4)(90 mm) 3
38.2 mm
La distancia b desde el centroide C hasta el eje x es b
120 mm a 120 mm 38.2 mm 81.8 mm
Ahora, en refe Ahora, referen rencia cia a la figu figura ra 9.12, se calcu calcula la el momen momento to de inercia inercia del semi se micír círcu culo lo con respec respecto to al diáme diámetro tro AA; además, además, se calcu calcula la el área del sesemicírcu micír culo. lo. 1
1
4
(90 I AA 8 r r 8 (90 1 1 2 (90 A 2 r r 2 (90
mm)4 25.76 106 mm4 mm)2 12.72 103 mm2 I
Con el teorema de los ejes paralelos, se obtiene el valor de 2
x
I x Aa I AA
:
25.76 106 mm4 I x (12.72 103 mm2)(38.2 mm)2 I x 7.20 106 mm4
De nuevo, con el teorema de los ejes paralelos, se obtiene el valor de I x : 2
6
7.204 10 I x I x Ab 6
92.3 10 mm
4
mm
3
2
2
(12.72 10 mm )(81.8 mm)
Momento Momen to de inercia inercia del área dada dada.. Si se le resta resta el momen momento to de inercia iner cia del semi semicír círcu culo lo al momen momento to de inercia inercia del rectán rectángu gulo, lo, se obtie obtiene ne I x
138.2 106 mm4 92.3 106 mm4 x
I
45.9
6
4
10 mm
VII.PRO VII. PRODUCT DUCTOS OS DE INERCIA
• El producto de inercia es importante para hallar el momento de inercia máximo y mínimo para el área. Estos valores máximos y mínimos son importantes para diseñar elementos estructurales y mecánicos como co mo vig vigas y colu column mnas as..
El prod produc ucto to de iner inerci cia a del del ár área ea con con re resp spec ecto to a la figu figura ra mostrada con respecto a los ejes X y Y se define como:
Al igual que momento de inercia, el producto de inercia tiene unidades de longitud a la cuarta potencia y pueden ser positivos, negativos o cero, dependiendo de la ubicación y orientación de los ejes coordenados. Ya que si el área analizada es simétrico con el eje X o el eje Y el producto inercial será cero. De todo esto podemos inferir que el producto inercial depende mucho de como este ubicada el área con respecto a los ejes de coordenadas. coordenadas.
TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS
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