Momento de Inercia (1)

RESISTENCIA DE MATERIALES I

INTRODUCCION

En ingeniería estructural, el segundo momento de área, también denominado segundo momento de inercia o momento de inercia de área, es una propiedad geométrica de la sección transversal de elementos estructurales. Físicamente el segundo momento de inercia está relacionado con las tensiones y deformaciones máximas que aparecen por flexión en un elemento estructural y, por tanto, junto con las propiedades del material determina la resistencia máxima de un elemento estructural bajo flexión. El momento de inercia es similar a la inercia, excepto en que se aplica a la rotación más que al movimiento lineal. El segundo momento de área es una magnitud cuyas dimensiones son longitud a la cuarta potencia (que no debe ser confundida con el concepto físico relacionado de inercia rotacional cuyas unidades son masa por longitud al cuadrado). Para evitar confusiones, algunos ingenieros denominan "momento de inercia de masa" al momento con unidades de masa. Los momentos de inercia de sólidos rígidos con una geometría simple (alta simetría) son relativamente fáciles de calcular si el eje de rotación coincide con un eje de simetría. Sin embargo, los cálculos de momentos de inercia con respecto a un eje arbitrario pueden ser engorrosos, incluso para sólidos con alta simetría. El Teorema de Steiner (o teorema de los ejes-paralelos) a menudo simplifica los cálculos. Se analizarán también las Áreas Compuestas, nos referimos a un conjunto de formas geométricas (cuadrado, circulo, triangulo, etc.) conectadas conformando una sola área. Y el momento de inercia de ésta área compuesta vendría a ser la suma de los momentos de inercia de cada uno de estas partes; con respecto a un eje en común, que lo conforman.

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MARCO TEÓRICO SEGUNDO MOMENTO, O MOMENTO DE INERCIA, DE UNA AREA  DEFINICIÓN.Siempre que una carga distribuida actúa en forma perpendicular a un área y que su intensidad varía linealmente, el cálculo del momento de la distribución de carga con respecto a un eje e implicara una cantidad llamada el momento de inercia del área. Por ejemplo, considere la placa de la figura expuesta, la cual está sometida a una presión de p del fluido.

Esta presión varía en forma lineal con la profundidad, de tal manera que , de donde es el peso específico del fluido. Así la fuerza que actúa sobre el área diferencial de la placa es . Por tanto, el momento de esta fuerza con respecto al eje x es ,y al integrar sobre toda la área de la placa resulta . La ∫ integral ∫ se denomina el momento de inercia del área con respecto al eje x.

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RESISTENCIA DE MATERIALES I DETERMINACION DE UN MOMENTO DE INERCIA DE UNA AREA POR INTEGRACION Definiendo de forma similar el momento de inercia y se escribe: (Figura 1) ∫

de área A con respecto al eje

∫

Imagen I Esta integrales, conocidas como los momentos rectangulares de inercia del área A, se pueden evaluar con facilidad si se selecciona a como una tira delgada paralela a uno de los ejes coordenados. Para calcular , la tira se selecciona paralela al eje x, de manera que todos los puntos de dicha tira estén en la misma distancia y del eje x (Imagen II); entonces, se obtiene el momento de inercia de la tira multiplicando su área por .

Imagen II UNPRG - FICSA

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Para calcular , la tira se selecciona paralela al eje y, de manera que todos los puntos de dicha tira estén en la misma distancia x del eje y (Imagen III); así, el momento de inercia de la tira multiplicando su área por .

Imagen III TEOREMA DE EJES PARALELOS PARA UNA AREA O TEOREMA DE STEINER  Definición: El teorema de los ejes paralelos puede usarse para determinar el momento de inercia de un área con respecto a cualquier eje que sea paralelo a un eje que pasa a través de su centroide y del cual se conozca el momento de inercia. Para desarrollar este teorema, consideraremos determinar el momento de inercia del área sombreada que se muestra en la figura (IV) con respecto al eje x.

Figura IV UNPRG - FICSA

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RESISTENCIA DE MATERIALES I Para iniciar, elegiremos un elemento diferencial distancia del eje centroidal .

que este ubicado a una

Si la distancia entre los ejes paralelos y se define como momento de inercia de con respecto al eje x es el área.

, entonces el . Para toda

∫ ∫

∫

∫

Todo esto tiene a una reemplazante de A. La primera integral representa el momento de inercia del área con respecto al eje centroidal ̅ . La segunda integral es 0, ya que el eje pasa a través del centroide C del área, es decir ∫ puesto que y´=0. Observamos que como la tercera integral representa el área total A, el resultado final es, es por tanto. ̅ Para

, se puede escribir una expresión similar es decir: ̅

MOMENTOS DE INTERCIA DE AREAS COMPUESTAS Un área compuesta A que está constituida por varias áreas componentes A1, A2, A3. . . Como la integral que representa el momento de inercia de A puede subdividirse en integrales evaluadas sobre A1, A2, A3,. . . , el momento de inercia de A con res pecto a un eje dado se obtiene sumando los momentos de las áreas A1, A2, A3, . . . con respecto al mismo eje. Por tanto, el momento de inercia de un área que consta de varias de las formas comunes mostradas en la figura V. Se puede obtener con las fórmulas proporcionadas en dicha figura. Sin embargo, antes de su mar los momentos de inercia de las áreas componentes, es posible que se tenga que utilizar el teorema de los ejes paralelos para pasar cada momento de inercia al eje deseado

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Figura 5

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Ejercicios Desarrollados 1.- Determine el momento de inercia del área con respecto al eje y

Para el cálculo del momento de inercia con respecto a y elegimos una tira (área) paralela a este eje y una frontera que choque a la curva. El área rectangular es dA =ydx= ∫

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∫

∫

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2.- Determine el momento de inercia del área rectangular de la figura con respecto a(a) el eje centroidal x´, (b) el eje xb, que pasa por la base del rectángulo. .

Parte (a) Para la integración se elige el elemento diferencial que se muestra en la figura. Debido a su ubicación y orientación todo el elemento está a una distancia y´ del eje x´. Aquí es necesario integrar desde y´=-h/2 a y´=h/2. Como dA=bdy´, entonces: ̅

∫

∫

∫

̅ Parte (b).- El momento de inercia con respecto a un eje que pase por la base del rectángulo se puede obtener usando el resultado de la parte (a) aplicando el teorema de los ejes paralelos ̅

̅

̅

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3.- Determine el momento de inercia del área sombreada en gris de la figura, con respecto al eje x.

Para la integración se elige un elemento diferencial del área que sea paralelo al eje x, como se muestra en la figura. Como este elemento tiene un espesor dy e interseca la curva en el punto arbitrario (x, y), su área dA= (100-x) dy. Además, el elemento se encuentra a la misma distancia x desde el eje. Por consiguiente, al integrar con respecto a y, desde y=0 hasta y= 200 se obtiene.

̅

∫

∫

∫ ̅

4.-Determine le momento de inercia con respecto al eje x del area circular que se muestra en la figura

Usamos el elemento diferencia que se muestra en la figura dA =2xdy, tenemos ∫ ∫

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∫ √

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5.- Determine el momento del área sombreada respecto al eje x.

El área dad puede obtenerse restándole un semicírculo a un rectángulo. Los momentos de inercia del rectángulo y del semicírculo serán calculador de forma separada.

Momento de inercia del rectángulo Ix=

Haciendo referencia a la figura se determina la ubicación del centroide C con respecto al diámetro AA´.

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La distancia desde el centroide hasta el eje x

El momento de inercia del semicírculo con respecto al diámetro AA´, se calcula el área del semicírculo

Con el teorema de ejes paralelos se obtiene el valor de ̅

Momento de inercia dada si se resta el momento de inercia del rectángulo con la del semicírculo se obtiene.

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6.-Detemine el momento de inercia del área compuesta con respecto al eje y.

La teoría determina para áreas compuestas trazar el centroide cada una de las áreas para luego aplicar teorema de ejes paralelos (Teorema de Steiner)

(

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)

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RESISTENCIA DE MATERIALES I 7.-Detemine el momento de inercial del área de la sección transversal de la viga con respecto al eje y.

Cuando se trate de áreas compuesta graficar su centroide en este caso de dos rectángulos para su posterior cálculo.

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RESISTENCIA DE MATERIALES I 8.-Detemine el momento de inercia del área que se muestra en la figura con respecto al eje x

Volveremos a utilizar el teorema de los ejes paralelos los momento de inercia con respecto al eje x se determina con este método. Parte interior (Circulo)

Para Completa (rectángulo)

Resultado final la diferencia del rectángulo menos el círculo en momentos de inercia.

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RESISTENCIA DE MATERIALES I 9.-Detemine el momento de inercia del área de la sección transversal del elemento que se muestra en la figura, con respecto a los ejes centroidales x y y.

Aplicamos el teorema de ejes paralelos para los rectángulos A y D.

Rectángulo B:

El momento de inercia de toda la sección transversal [

] [

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]

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RESISTENCIA DE MATERIALES I 10.-Calcular el momento de inercia

Para realizar el ejercicio, dividimos la sección en tres rectángulos, uno de 160x20 y dos de 60x20. Una vez hecho esto, y dado que se conoce la expresión del momento de inercia de un rectángulo con respecto a los ejes que pasan por su centro de gravedad

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CONCLUSIONES  El momento de inercia o momento o segundo momento de área o momento de inercia de área es abordado por la estática, en el cual se relaciona con el esfuerzo normal o la fuerza por unidad de área con un momento M aplicado.

 El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.

 El teorema de Steiner no se puede aplicar entre dos ejes paralelos cualesquiera, uno de ellos tiene que pasar por un eje en cuyo momento de inercia sea conocido (es el caso del eje centroidal).

 Muchas veces se obtiene el momento de inercia de un cuerpo respecto a un cierto eje mediante el momento respecto a otro eje usando el teorema de Steiner.  Como el momento de inercia es aditivo el cálculo de un momento de inercia de un cuerpo compuesto se puede tomar como la suma de los momentos de inercia de sus partes. Estas partes divididas, al ser figuras conocidas como rectángulos o círculos, etc.; nos facilitan el proceso al conocer ya las formulas respectivas a cada una de ellas. Haciendo así más cómodo el proceso de hallar el momento de inercia de cada figura y con una simple suma, obtener el momento de inercia total de la figura compuesta.

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