Momento-4

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA 301301- Momento 4 Álgebra, Trigonometría y Geometría Analítica

FUNCIONES, TRIGONOMETRÍA E HIPERNOMETRÍA

YENITH PARRA 30508899

Grupo: 301301_173

Tutor (a): JOICE ANDREA CORREDOR

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD INGENIERIA DE SISTEMAS CEAD FLORENCIA 2016

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INTRODUCCION

Esta actividad nos permito conocer y determinar que en el las matemáticas, la función es un concepto importante, el cual nos permite hallar respuestas por un determinado valor. Donde se representaron a través de las funciones, como la representación gráfica, conversiones, dominio y rango. La importancia de realizar los ejercicios planteados en esta actividad es interesante y aplicativos porque se desarrollaron paso a paso para lograr y obtener su resultado exacto. En el presente trabajo colaborativo ponemos en práctica cada uno de los conceptos expuestos en la guía del momento cuatro; desarrollando cada uno de los ejercicios propuestos, implementando las técnicas y procedimientos de solución con programas como geogebra para su comprobación.

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OBJETIVOS



Entender claramente los conceptos expuestos en la guía del momento cuatro para dar solución a cada uno de los ejercicios planteados en el desarrollo del presente trabajo.



Aplicar los conceptos e interactuar en el grupo de trabajo para compartir ideas en el momento del desarrollo de cada uno de los ejercicios.

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TRABAJO COLABORATIVO MOMENTO # 4 FUNCIONES, TRIGONOMETRÍA E HIPERNOMETRÍA

Resolver cada uno de los siguientes problemas propuestos: 1. Determine la inversa de la siguiente función: g (x )=

8 x +3 5 x−7

Si g ( x ) tiene inversa entonces g ( x 1 )=g ( x 2 ) entonces x 1=x 2 8 x+ 3 8 x 2 +3 = 5 x 1−7 5 x 2−7

( 5 x 2−7 ) ( 8 x 1+ 3 )=( 8 x 2 +3 ) ( 5 x 1−7 ) (5 x2 −7)(8 x1 +3)=(8 x 2+3)(5 x 1−7) −71 x 1=−71 x 2 x 1=x 2

Por tanto la función g( x)si posee inversa ahora

x=

8 y +3 5 y −7

(5 y−7) x=8 y +3

5 yx−7 x=8 y +3 5 yx−8 y=3+ 7 x

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y (5 x−8 )=3+7 x y=

3+7 x 5 x−8

Por tanto La función inversa de g(x )es

g−1 (x)=

3+7 x 5 x−8

2. Para la función dada determine el dominio y el rango: f ( x )=

Dominio:

x+ 9 √ x −8

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RESTRICCION EN dado que no existen soluciones en los números reales para raíces cuadradas con cantidad subradical negativa tenemos que:

√ x−8 , dado que x−8> 0 pues no se puede dividir por cero , luego x> 8 Domf ( x )= ( 8, ∞)

Rango:

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Ranf ( x )=¿ 3. Dadas las funciones a.

f ( x ) = √ x 2+ 4

f ∙ g=√ ( x−2 ) +4 2

f ∙ g=√ x 2−4 x+ 4+ 4 f ∙ g=√ x 2−4 x+ 8 b.

g . f = √ x 2+ 4−2

c.

( f ∙ g )( 3 )=√ ( 3 ) −4 ( 3 ) +8 2

( f ∙ g )( 3 )=√ 9−12+ 8

( f ∙ g )( 3 )=√ 5 d.

( g . f ) (5 )=√ 52 +4−2 ( g . f ) (5 )=√ 25+4−2

( g . f ) (5 )=√ 29−2 ( g . f ) (5 )=5,4−2

( g . f ) (5 )=3,4

y

g ( x ) =x−2

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4. Realizar las siguientes conversiones: a. Convertir a grados 

3π 180 ° rad . 2 π rad 3π 180 ° rad . 2 π rad 540 ° =270 ° 2

3π a grados . 2 4π a grados . 3

3π es equivalente a 270 grados 2

4π es equivalente a 240 grados 3 Usaremos regla de tres para realizar la conversión de radianes a grados π → 180

3π →x 2 3π 180 2 x= π 540 π 2 x= π

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x=

270 π π 3π es x=270 grados 2

Por lo tanto



4π 180 ° rad . 3 π rad 4π 180 ° rad . 3 π rad 720 ° =240 ° 3 π → 180

4π →x 3 4π 180 3 x= π 720 π 3 x= π x=

240 π π Por lo tanto

b. Convertir a radianes: 

150 ° 150

π rad 180°

π rad 180

4π es x=240 grados 3

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15 π rad 18 5π rad 6



750 ° 750

π rad 180°

π rad 180

75 π rad 18 25 π rad 6 5. El número de bacterias en un cultivo está dado por el siguiente modelo N ( t )=250 e0.25 t Donde t se mide en horas 

¿Cuál es la población inicial del cultivo?

Para la población inicial t = 0 que viene siendo la población inicial, tenemos: N ( 0 )=250 e 0.25(0) N ( 0 )=250 e 0 N ( 0 )=250 ( 1 )=250 bacterias La población inicial del cultivo fue es de 250 bacterias. 

¿Cuántas bacterias habrá en el cultivo a los 2 días?

Dado que t esta dado en horas primero se debe hacer la conversión de días a horas 24 horas t=2 días 1 día

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t=48 horas

Ahora se hace el remplazo del tiempo t para las 48 horas en el modelo matemático N ( 48 )=250 e0.25 (48) N ( 48 )=250 e12 N ( 48 )=250 ( 162754.8 ) N ( 48 )=40688700 bacterias Al cabo de 2 días el cultivo estará compuesto por 40 688 700 bacterias. 

¿después de cuantas horas las bacterias serán 500000? Se tiene que con

N ( t )=500000 , se remplaza este valor en el modelo matemático y

se despeja t: N ( t )=250 e0.25 t 500000=250 e 0.25 t 500000 0.25 t =e 250 2000=e0.25 t ln 2000=ln e0.25 t 7,6=0,25t

7,6 =t 0,25 t=30,4 horas Al pasar 30, 4 horas el cultivo estará formado por 500000 bacterias. 6. Si un triángulo ABC tiene lados �=130, �=90 � �=60. Calcular los ángulos α, β, γ. Solución:

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2

2

2

teorema coseno :a =b +c −2 bc cos A 602=902+ 1302−2 ( 90 ) (130 ) cos A 3600=8100+ 16900−23400 cos A 3600−8100+ 16900=−23400 cos A

−21400 cos A −23400 0.9145=cos A A=inv cos 0.9145 23.79 cos A 2

2

2

teorema coseno :b =a +b −2 ab cos C 1302=602 + 902−2 ( 60 )( 90 ) cos C 16900=3600+ 8100−10800 cos C 16900−3600−81000=−10800 cos C

−5200 cos C −10800

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−0.4814=cos C A=inv cos−0.4814 118.77 cos C 23.79+118.77−180 37.44=B

7. Un turista que mide 1,8 metros, está ubicado sobre una roca que tiene de altura 30

cm, esta divisa un edificio que está a 150 metros de distancia, si el Angulo de elevación desde la vista del turista hasta la cima del edificio es de 35 grados, ¿Cuál será la altura del edificio? Solución:

tan 35=

y 150

y=tan 35∗150

y=105.3+2.10 mts

√ 4.41+22500 =150.01 m 150.01m+2.1 m=152.11 m

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8. Verifique la siguiente identidad trigonométrica: 2 2 tan ( x ) Csc ( x ) Sen (x ) Sen ( x ) + + ( 1−cos 2 ( x ) )− =2 Sen2 (x ) 2 cos (x) ( ) cos x Sec ( x)

Explicación: tan 2 ( x ) Csc ( x ) Sen2 (x ) Sen ( x ) + + ( 1−cos 2 ( x ) )− =2 Sen2 (x ) 2 cos (x) cos ( x ) Sec ( x) Sen 2( x)+tan ( x ) +Sen 2( x)−tan(x)=2 Sen2 ( x ) 2 Sen2 ( x ) =2 Sen2 ( x ) Por lo tanto, la identidad trigonométrica es cierta 9. Encuentre el valor de x que satisface la siguiente ecuación trigonométrica para ángulos entre 0°≤ x ≤ 360°. tan 2 x+ 3 tan x+ 2=0

Explicación: 2+3 tan ( x )+ ¿ tan 2 (x )=0 ¿

( x) ( x) ( 2+tan ¿ ¿ 1+tan ¿ ¿ ¿ 1+tan ( x )=0 O 2+tan ( x )=0 Por lo tanto

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tan ( x )=−1 O 2+tan ( x )=0 Si tomamos X =π n 1−

tan ( x)−1 Obtenemos que π 4

O X =π n 2−tan −1 (2)

-

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CONCLUSIONES

 Aplicar los temas de esta actividad nos permito ampliar los conocimientos, aplicándose a través de funciones que se encuentran establecida y determinadas para hallar un valor como resultado.

 Conocer y desarrollar estos ejercicios individual y grupalmente, nos aporta grandes beneficios para ser aplicables en nuestras actividades laborales y profesionales.

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REFERENCIAS

 MASCO, A., LÓPEZ, R., Lecciones de Álgebra y Geometría Analítica II. EUCA. 1972.

 RABUFFETTI, H., Introducción al Análisis Matemático (Cálculo 2). El Ateneo. 1984.(Capítulo 2. Vectores).

 ROJO, A., Álgebra I. El Ateneo. 1972. (Capítulos 1 y 2. Lógica Proposicional y Teoría de Conjuntos).

 ROJO, Algebra Lineal. Ejercicios y Problemas. Mc Graw-Hill. 1994.