Moment D'inertie D'un Solide

 

T.P.. N   1 T.P °

Momen Mom ent t d’ d’ine inerti rtie e d’u d’un n sol solide ide

Ce TP a pour objectif de déterminer le moment d’inertie de plusieurs solides indéformables à l’aide d’un inertie-mètre, appareil spécialement conçu pour la mesure expérimentale du moment d’inertie d’un corps quelconque par rapport à un axe donné. Les objets étudiés ont des formes géométriques différentes mais possèdent tous la même masse (M )),, ce qui permet de montrer l’influence de la répartition de la masse par rapport à un axe dans la valeur du moment d’inertie. Les résultats expérimentaux seront comparés aux valeurs que l’on peut calculer directement à partir des mesures géométriques de chaque corps.

1.1 1.1. 1.1.1 1

Rappels Rappels sur sur les les mome momen nts d’in d’iner erti tie e dé défini finiti tion on d du u mo mome men nt d’ d’ine inert rtie ie

Soit un système physique composé de plusieurs points solidaires   i  de masse   mi . Si cet objet tourne autour d’un axe   ∆  à la vitesse angulaire   ω, chaque point   i  possède une vitesse linéaire  V i  telle que   V i  =  r iω , où  r i  est la distance de   i  à   ∆. L’énergie cinétique de cet objet est donc : E c   =

  i

=

i

= =

 1 2 ω 2

1 mi V i2 2 1 2 mi (ωr i ) 2



mi ri2

i

 1 2 ω I ∆ 2

 

(1.1)

I ∆  est le moment d’inertie de l’objet par rapport à l’axe  ∆  et se définit donc par : mi ri2

I ∆  =

 i

9

 

(1.2)

 

10

 

T.P. T.P. N    1. MOMENT D’INER D’INERTIE TIE D’UN SOLIDE  SOLIDE  °  ° 

Par extension, le moment d’inertie d’un solide composé d’un ensemble continu de points matériels   x, de masse volumique   ρ, s’écrit : I ∆  =

   

d2 (x, ∆)dm  =

M 

   

d2 (x, ∆)ρdV 

 

(1.3)

V 

où –   dm  est la masse d’un volume élémentaire de l’objet –   d(x, ∆)  est la distance entre le point   x  et l’axe   ∆ –   dV  est un volume élémentaire de l’objet autour de   x. Le moment d’inertie peut également s’écrire sous forme vectorielle : I ∆   =

    

− − →

2



− →

u∆ ∧ OM 

M 

dm =

    

− →

− − →

u∆ ∧ OM 

V 

2



ρdV 

 

(1.4)

où –   O  est un point appartenant à l’axe   ∆ – − u→ ∆  est un vecteur unitaire de l’axe   ∆ Physiquement, le moment d’inertie peut être vu pour un système en rotation comme l’analogue de la masse pour un système en translation. En effet, plus la masse d’un système est importante et plus sa mise en mouvement requiert de l’énergie. De même, le moment d’inertie quantifie la résistance d’un corps à se mettre en rotation ou à se freiner. C’est la raison pour laquelle, lorsqu’un patineur souhaite acquérir une plus grande vitesse de rotation lorsqu’il tourne sur lui-même, il doit minimiser son moment d’inertie en rapprochant ses bras le long de son corps. 1.1.2 1.1 .2

Cal Calculs culs d de e momen moments ts d’iner d’inertie tie de q quelq uelques ues so solid lides es

Les solides remarquables étudiés ci-dessous sont supposés indéformables, homogènes (ρ  est constante) et de masse   M .

La boule pleine

Soit une boule pleine de rayon  R  et de centre  O . Compte-tenu de la symétrie sphérique de l’objet, les moments d’inertie au centre de la boule par rapport aux trois axes cartésiens (x x), (y y) et (z  z ) sont égaux. Par conséquent : 





I Ox Oz   = 3I ∆   = Oy  + I Oz Ox  + I Oy

        

Oy 2 + Oz 2  + Oz 2 + Ox2  + Ox2 + Oy 2 dm

M 



Ox2 + Oy 2 + Oz 2 dm

= 2

M   R

r2 ρ4πr 2 dr

= 2

0

 6 2 = 5MR





 



(1.5)

 

 

1.1. RAPPELS SUR SUR LES MOMENTS D’INER D’INERTIE  TIE 

11

sachant que   M   =   34 πR3 ρ. d’où I ∆  =

 2 M R2 5

(1.6)

La sphère creuse

Soit une sphère creuse de rayon   R  et de centre   O. Comme précédemment, comptetenu de la symétrie sphérique de l’objet, les moments d’inertie au centre de la boule par rapport aux trois axes cartésiens (x x), (y y) et (z  z ) sont égaux. Par conséquent : 

I Ox Oz   = 3I ∆   = Oy  + I Oz Ox  + I Oy



    



Oy 2 + Oz 2  + Oz 2 + Ox2  + Ox2 + Oy 2 dm



M 

= 2R2

dm

 



M 

M 

ρdS   = 2R2

= 2R2

  

  

S  S 

S S  

2

= 2M R

2

dS 

4πR

(1.7)

On en déduit alors   I ∆   : I ∆  =

 2 M R2 3

(1.8)

ρ  est la masse surfacique (masse par unité de surface, souvent notée   σ.

Le cylindre plein

Soit un cylindre plein de rayon   R  et de hauteur   h. Si   ∆  est l’axe du cylindre, alors :  R

I ∆   =

 

r2 (ρ2πrh dr)

0

 1 = ρπR 4 h 2  1 = M R2 2 2

 ρπR R h.   ρ  est la masse volumique (masse par unité de volume). avec   M   =  ρV   =  ρπ

(1.9)

 

12

 

T.P. T.P. N    1. MOMENT D’INER D’INERTIE TIE D’UN SOLIDE  SOLIDE  °  ° 

Le cylindre creux

Soit un cylindre creux de rayon intérieur   R1  et de rayon extérieur   R2 , et de hauteur h. Si   ∆  est l’axe du cylindre, alors :   R2

I ∆   =

r 2 (ρ2πrh dr )

R1

    r4

= 2ρπh

4

R2 R1

 1 ρπh(R24 − R41 ) 2  1 = ρπh(R22 − R21 )(R22 + R12 ) 2  1 = M (R22 + R12 ) 2

=

 

(1.10)

avec   M   =   ρV   =   ρπh(R22   − R12 ).   ρ  est la masse surfacique (masse par unité de surface, souvent notée   σ). La barre de section négligeable

Soit une barre de section négligeable, de masse   M  et de longueur   L  (tige) tournant autour d’une de ses extrémités coïncidant avec   O, l’origine du repère cartésien. Si l’on suppose que l’axe de la tige se confond avec l’axe ( x x), le moment d’inertie de la tige selon un axe perpendiculaire à la barre (par exemple l’axe ( z  z ) vaut alors : 



 L

I z z   = 

   

x2 ρdx

0

 L

=

x2

0

=

  M L2

3

M   d x L

 

(1.11)

où   ρ =   M   est ici la masse linéique (masse par unité de longueur, souvent notée   λ). L Le tableau qui se trouve sur la paillasse rassemble les propriétés de masse de quelques solides homogènes qui représentent un grand nombre de solides réels. On remarquera qu’il est possible de déduire de ce tableau d’autres résultats intéressants. Ainsi, la tige s’obtient en faisant faisant   R = 0  dans le cylindre plein, la plaque en faisant   c  = 0  dans le parallélépipède rectangle, etc. D’autre part, les résultats relatifs aux demi-solides s’obtiennent aisément à partir des solides entiers. 1. 1.1. 1.3 3

le thé théor orèm ème e de Hu Huyg ygen enss

Soit un objet en rotation autour d’un axe   ∆  passant par son centre de masse. Si   ∆



est un axe parallèle à   ∆, distant de   d, le théorème de Huygens permet d’en déduire le

 

 

1.2. L’INERTIE-MÈT L’INERTIE-MÈTRE  RE 

13

moment d’inertie de l’objet par rapport à   ∆ ,   I ∆  en fonction de   I ∆   : 



I ∆   =  I ∆  + M d2

(1.12)



Ainsi, à l’énergie cinétique de rotation propre du solide s’ajoute celle de translation circulaire de son centre de masse auquel est affectée la masse totale de l’objet. En conséquence, le théorème de Huygens nous enseigne que faire tourner un objet autour d’un axe passant par son centre de masse reste moins énergétique que de le faire tourner autour d’un axe parallèle distant de   d  du centre de masse.

1.2 1. 1.2. 2.1 1

L’in L’iner erti tiee-mè mètr tre e Rappe Rappels ls ssur ur le pe pend ndul ule e co compo mposé sé

On utilise la mesure de la période des oscill oscillations ations d’un pendule composé dont le centre de gravité n’est pas situé sur l’axe de rotation pour déterminer le moment d’inertie des corps étudiés. L’équation des oscillations d’un pendule composé s’obtient à partir du Principe Fondamental de la Dynamique appliqué à la rotation ou par application du théorème moment cinétique. Le couple total des forces appliquées au solide par rapport à l’axe de du rotation vaut : d2 ϑ Γ =  I  2 dt

 

(1.13)

où   I  est le moment d’inertie du solide indeformable par rapport à l’axe de rotation, et   ϑ  l’angle de rotation du solide par rapport à la verticale. Pour un solide de masse  M , uniquement soumis au champ gravitationnel g  (de module g ) , et dont le centre de gravité est situé à une distance   a  de l’axe, ce couple vaut :  

Γ = −M ga sin ϑ

(1.14)

  ϑ  est orienté dans le sens trigonometrique à partir de la verticale. L’équation des quand oscillations n’est linéaire que pour de petits angles, ce qui permet d’assimiler   sin ϑ  à ϑ. Le regime est alors purement sinusoidal et de periode   T  égale à :

T   = 2π

1.2. 1.2.2 2

 

  I  M ga

 

(1.15)

Le Less équ équat atio ions ns de ll’i ’iner nerti tie-m e-mèt ètre re

L’appareil se compose d’un cadre rectangulaire rigide et léger constitué par des tubes de duraluminium dont les petits côtés présentent des prolongements. Ce cadre est susceptible d’osciller sur un bâti autour d’un axe constitué par deux tiges cylindriques portant 

deux pointe pointess horizo horizontal ntales es réglabl réglables. es. L’axe horizon horizontal tal ( x x) par rapport auquel on mesure

 

14

 

T.P. T.P. N    1. MOMENT D’INER D’INERTIE TIE D’UN SOLIDE  SOLIDE  °  ° 

le moment d’inertie coïncide avec la droite qui joint les pointes du cadre. L’appareil est construit de façon parfaitement symétrique par rapport à l’axe d’oscillation. Posé seul sur son support, le cadre est en équilibre indifférent. Des masses tubulaires peuvent être engagées dans les prolongements des petits côtés du cadre, en haut et en bas de manière à déplacer le centre de masse du cadre hors de son axe de rotation. Pour étudier le moment d’inertie d’un corps solide donné on le serre entre les deux pointes du cadre, et on le bloque à l’aide de deux lamelles métalliques élastiques qui le solidarisent du cadre en l’empêchant de tourner. L’ensemble du système (corps à étudier + cadre + surcharges placées en bas et/ou en haut du cadre) possède un moment d’inertie total   I T T   :  + I 0  + ( k1  + k2 )md2 I TT    =  I  +

(1.16)

où : –   I  est   est le moment d’inertie du corps étudié –   I 0  est le moment d’inertie du cadre seul –   k1  est le nombre de surcharges placées en bas du cadre –   k2  est le nombre de surcharges placées en haut du cadre –   m  est la masse d’une surcharge et   d  sa distance à l’axe de rotation Le couple total,   ΓT , s’exerçant sur l’ensemble du système, et pour de petits angles, a pour valeur : ΓT   = − [M ga  + (k1 − k2 )mgd] ϑ

 

(1.17)

où   a  est la distance à l’axe ( x x) du centre de gravité du corps à étudier. La période des oscillations de l’ensemble est : 

T   = 2π

 

  I T  T  M ga  + ( k1 − k2 )mgd

 

(1.18)

Il suffit alors de mesurer les périodes obtenues avec différentes configurations adaptées (nombre et répartitions des surcharges) pour obtenir le moment d’inertie  I 0  du cadre, puis le moment d’inertie   I  du   du corps à étudier, ainsi que la distance   a  de son centre de gravité à l’axe de rotation. 1. 1.2. 2.3 3

Prin Princi cipe pe de de la la mes mesur ure e

C’est à partir de la mesure des périodes des oscillations du cadre dans lequel on insérera différents solides que l’on déduit la valeur de leur moment d’inertie par rapport à l’axe ( x x) de rotation du cadre. La première étape consiste à mesurer le moment d’inertie du cadre lui-même,  I 0 . En second lieu, on mesure le moment d’inertie des différents solides, sachant que la période des oscillations dépend à la fois du moment d’inertie du cadre et de celui du solide. Deux cas de figure peuvent être rencontrés : celui où l’axe de rotation du cadre est un axe de symétrie du solide, et celui où il ne l’est pas. Envisageons successivement 

ces deux cas.

 

1.3. MANIPULA MANIPULATION  TION 

 

15

1.   L’axe de rotation du cadre est un axe de symétrie du solide Dans ce cas le système "cadre + solide" est en équilibre stable quelque soit sa position autour de l’axe de rotation. Il faut ajouter des masses en bas du cadre de manière à déséquilibrer le système pour le faire osciller. La période d’oscillation permet à l’aide des formules 1.16 formules 1.16 et  et 1.18  1.18 de  de déterminer le moment d’inertie du solide par rapport à l’axe de rotation. En effet, l’axe de rotation étant un axe de symétrie, le centre de gra gravité vité se trouve trouve sur l’axe de rotation et la distance a  qui apparaît apparaît dans la formule 1.18 formule  1.18 est  est donc nulle. 2.   L’axe de rotation du cadre n’est pas un axe de symétrie du solide Dans ce cas, le système "cadre + solide" peut osciller sans ajouter de surcharges. Si on ne connaît pas la position du centre de gravité, et donc sa distance à l’axe (notée  a ), l’équation 1.18 l’équation  1.18 possède  possède alors deux inconnues. Il faut donc faire une autre mesure en ajoutant judicieusement des masses sur le cadre afin d’avoir une deuxième équation et de déduire du système d’équations les valeurs de   I  et   et de   a.

1.3 1. 3

Mani Manipu pula lati tion on

On mesure les périodes d’oscillation du pendule avec un compteur digital qui mesure le temps entre deux passages successifs du cadre dans le même sens. Positionner le détecteur du compteur de façon convenable pour que le faisceau de la cellule de détection soit intercepté lors des oscillations du cadre, et régler le compteur sur "PEND" avec "MEMORY" sur "ON". Le temps s’affiche en secondes. Pour chaque configuration, on prendra le soin de faire une série de mesures et à en faire la moyenne de façon à obtenir une bonne précision sur les résultats. 1.3. 1.3.1 1

Me Mesur sure e du mome momen nt d’i d’iner nerti tie e du ca cadr dre e

Le cadre est symétrique par rapport à l’axe de rotation. Il ne peut donc pas osciller seul. Pour créer un déséquilibre, placer un nombre pair de surcharges en bas du cadre (la masse   m  de chaque surcharge est 100 g). 1. Faire une première série de mesures de la période d’oscillation T 0 en donnant au cadre un angle initial   α0  relativement important (environ 60 ). Recommencer plusieurs séries de mesures avec des angles   α0  de plus en plus faibles (jusqu’à des angles   α0 constatez-vous ous ? proche de 5 ). Tracer la courbe   T 0  en fonction de   α0 . Que constatez-v 2. Quelle préca précaution ution sera nécess nécessaire aire pour détermi déterminer ner le moment d’inerti d’inertiee du cadre ? 3. Moy Moyennan ennantt cette précaution, précaution, effectuer une série de 5 à 10 mesures successives successives de  T 0 , puis en déduire la valeur de   I 0 . °

°

1.3.2 1.3 .2

Mes Mesure ure du m mome oment nt d’inerti d’inertie e de diff différen érents ts so solid lides es

Vous allez mesurer le moment d’inertie de trois objets de formes différentes mais   = 502g) : une boule de pétanque (sphère creuse), un parallélépipède de même masse (M  =

 

16

 

T.P. T.P. N    1. MOMENT D’INER D’INERTIE TIE D’UN SOLIDE  SOLIDE  °  ° 

rectangle (barre pleine) et un cylindre plein. Pour effectuer ces mesures, fixer entre les deux pointes du cadre l’objet à étudier et le caler, si besoin, à l’aide des lamelles métalliques de manière à ce qu’il ne pivote pas autour de lui-même durant les oscillations du cadre. 1. Cas de la boule de pétanque : (a) Fixer la sphère creuse comme expl expliqué iqué ci-dessus. ci-dessus. Comme le centre de masse de la sphère se trouve sur l’axe horizontal de rotation ( x x), ajouter un nombre pair de surcharges surcharges en bas du cadre de manièr manièree à permettre permettre les oscillations oscillations ; (b) Mesurer une dizaine dizaine de période d’oscil d’oscillation lationss et en faire la moy moyenne enne ; (c) Réécrire les équations 1.16 équations  1.16 et  et  1.18  1.18 correspondant  correspondant à ce cas de figure. (d) En déduire   I boule/x boule/x x . 2. Cas de la bar barre re pleine pleine et du cyli cylindr ndree plein : (a) Fixer la barre puis le cylindre comme expliqué ci-dessus en plaçant leur centre de masse sur l’axe horizontal de rotation ( x x). Ajouter un nombre pair de surcharges surc harges en bas du cadre de manière à permett p ermettre re les oscillati oscillations ons ; (b) Mesurer une dizaine dizaine de période d’oscil d’oscillation lationss et en faire la moy moyenne enne ; (c) Réécrire les équations 1.16 équations  1.16 et  et  1.18  1.18 corr  correspondan espondantt à chaque objet ; 





(d) En déduire les moments d’inetie de la barre   I barre/x x  et du cylindre   I cylindre. (e) Fixer à présent la barre ou le cylindre comme expliqué ci-dessus en plaçant cette fois-ci leur centre de masse sous l’axe horizontal de rotation (x x) ; (f) La distance du centre de gravité de l’objet à l’axe horizontal de rotation (∆ ), a, n’est plus nulle. L’équation 1.18 L’équation  1.18 comporte  comporte donc deux inconnues :   I ∆   et   a. Trouver deux configurations différentes du pendule (en disposant, ou non, les surcharges de manière judicieuse) pour avoir deux équations. Écrire les équations 1.18 tions  1.18 relatives  relatives à chacune des deux configurations et résoudre le système des deux équations ainsi obtenues pour déterminer   I ∆   et   a  pour la barre et le cylindre. (g) Vérifier le théorème de Huygens appliqué à la barre et au cylindre. Les périodes relatives aux différentes configurations varient peu. En conséquence, 









vous veillerez à les mesurer avec une précision la plus grande possible.