Momcilo Novkovic,Ilija Kovacevic,Verovatnoca Zbirka

Momcilo Novkovic

I1ija Kovacevic

ZBIRKA RESENIH ZADATAKA

IZ

VEROVATNOCE I STATISTlKE

STYLOS

I

t10-v; ~

ZIP&?

-'VJU#I~t'

UNIVERZITET U NOVOM SADU FAKULTET TEHNICKIH NAUKA

Momcilo B. Novkovic

I1ija M. Kovacevic

ZBIRKA RESENIH ZADATAKA

IZ

, VEROVATNOCE I STATISTIKE

Nuvi Sad, 1999

r;..'1.

Cd" ,)

,.. kn rt's('uih zadataka iz verovatnoce i statistike

PREDGOVOR "

'Il

Novkuvic, asistcnt FTN-a u Novorn Sadu

\lij;, Koval-evic, redovni profesor FTN-a u Novorn Sadu

1\11 !\\llliinio 1)1

t

.'/1.',°1111

1)1

lovall M;disic, rcdovni profesor Matcrnatickog fakllltcta

II

Verovatnoca i matematicka statistika je oblast matematike koja ima veliku primenu u svim oblastima nauke i prakse. Posebno je siroko polje primene matematicke statistike, koja je zasnovana na teoriji verovatnoce, pri resavanju raznih problema u prirodnim, tehnickim i drustvenim naukama.

Bcogradu

Zbirka je pisana prema planu i programu Matematickih metoda IV (IV semestar 2+2) za studente gradjevinske struke FIN-a .zbog nivoa izlaganja i raznovrsnosti sadrzaja smatramo da ona moze korisno posluziti i studentima tehnickih fakulteta, studentima PMF-a, kao i studentima ostalih fakulteta i viSih skola koji u okviru matematike izucavaju sadrZaje iz verovatnoce i matematicke statistike.Svesni smo da su u sadrZaju zbirke izostavljene neke vazne oblasti verovatnoce i 111atematicke statistike (neke dvodimenzionalne raspodele- normalna dvodimenzionalna raspodela, teorija korelaeije ­ linearna i kvadratna regresija itd). U zbirei, za sada su obradene sarno one oblasti verovatnoce i matematicke statistike koje se po programu predaju u okviru jednosemestralnog kursa iz Matematickih metoda IV za studente gradevinske struke FIN-a.

I h Mila StopkllVic, rcdovni profcsor FTN-a u Novom Saclll 1./1./,

"STY LOS"

11 .. ,1,11,11',1.

-/11 Ii.

l\ll.O.,

Novi Sad

Vcsclin Stcfanovic

-/.,1 I'njJl'cma: Ilija Tallackov

'.1111/1.1.

"S Print", Novi Sad, Bulcvar Vojvodc Stcpe 133, Tel.: 021/401-1174

:.III1P;1110 \I

S()O primcraka

('IP-KaTaJ1nnnal~Hja Y ny6J1I1Kal~l1jl1 I ; UOJ1l-l0TCKa MaTJ1l\c cpncKe,

HOBli Can

'i 19.21 (076.5R) 'i \ 9.22(076.5R)

HOBKOBlI1i., MOM'IUJlO Zbirka rcscnih zadataka iz verovatnocc i statistikc/Momcilll Novkovic, Ilija Kovaccvic.-Novi Sad: Fakultct Tehnickih nauka: Stylus, 191.)1.) (Novi Sad: SPrint). - 162 str. : graf. prikazi; 24 em I. KOna peA) 1- 3276 3 3 '4960 4960

1684 = 0 34 . 4960 '

9. U prizemlju zgrade koja ima 7 spratova u lift su usia tri coveka. NaCi verovatnoeu: a) da su svi iZaSli na prvom spratu (dogadaja A), b) da nijedan nije iZaSao pre treceg sprata (dogadaja B), c) da su izasli na raznim spratovima (dogadaja C), d) da je bar jedan iZaSao na trecem spratu (dogadaja D), e) dva su iZaSla na drugom, a treCi na bilo kom od ostalih (dogadaja E). n =#0 = V3 (7) = 73 = 343.

a)

m=#A=1,

P(A) =_1_=0,0029 . 343

b)

m=#B=V3 (5)=5 3 =125,

PCB) = 125 =0 36 . 343 '

c) d)

e)

7! P(C) 210 06l. m =#C V3 (7)=-=210, 343 ' 4! D - dogadaj da nijedan nije izasao na trecem spratu m =#D= V3(6) =6 3 = 216, P(D) = 216 => P(D) =1- 216 127 343 343 343 m=#E C 2 (3)· V1 (6)

=G} ~:

=3·6=18,

P(E) =

0,37.

3~3 =0,052.

(Dva coveka od tri mozemo izabrati na C 2 (3) nacina.) 10. Tri igraca igraju preferans. Svaki od njib je dobio 10 karata i dYe su ostalc u talonu. Jedan od igraea je dobio 6 tref-karata i cetiri koje nisu tref. On menja dYe od tib karata i uzima dYe karte iz talona. NaCi verovatnocu da dobije dYe karte trefove boje. n =#0 = C 2 (22) =

(~2}= 231,

peA) _1_ = 0,0043. 231 11. Iz spila od 52 karte izvlace se istovremeno cetiri karte. Odrediti verovatnocu dogadaja da se medu izvucenim kartama nalazi:

a) tacno jedna tref karta (dogadaj A),

b) bar jedna trefkarta (dogadaj B),

c) sve cetiri tref karte (dogadaj C),

d) nijedna trefkarta (dogadaj D)

m =# A = 1

15

Prostor verovatnoca

n =#Q = C 4 (52) [52) 270725 4 a)

m=#A=[~}[3;)=13. 39.38.37 6

b) m =#B=[l:) {3;)

peA) = 118807 270725

118807,

+[~} [3;) +[1:) {3:) +[~)

0,44.

188474,

P(B) = 188474 070.

270725 '

c) m=#c=[1:)=715,

P(C) -

715 270725

0,0026.

d) m =#D = [3:) =77805,

P(D)

77805 = 029. 270725 '

Geometrijski metod P(A) = m(A) , gde je mO oznaka za geometrijsku meru.

m(n)

1. Na duzi AB duzine a, na slucajan nacin su izabrane tacke MiN. NaCi verovatnoeu da tacka M bude bliza tacki N nego tacki A. n je skup svih tacaka iz kvadrata stranice a. ~ Iy-xll

1

Fy(y)::=O. Fy{y)=P(Y y (y) = F~ (y)

~

8. U pravouglom koordinatnom sistemu xOy iz tacke A(a,O), a>O se na slucajan 1t ) povlaci poluprava 2 2 koja preseca y-osu. Nad gustinu raspodele sJucajne promenljive Y koja predstavlja ordinatu (y-koordinata) tacke preseka poluprave sa y-osom

nacin (pod proizvoljnim slucajnim uglom t E

1t

y

1t

t----'---A-(""""a,-o)-·

2

~

Fy(y)=P(Y Pij= '-.,-.,-'-(. ')'=~' 1.J. 1.J. 1+J. e 1.J.

1

1 -.-, , e·1.

1 e j!

""

1=0

Pio . Poj

1 = -2-.-. e I! J!

1 e· j! '

--·e==-2

Poj == ,LPij

Pij

. t1 => X 1. Y SU neZaVlSneS ucaJne promen1" JIve. v

•

Dvodimenzionalna slucajna promenljiva

43

4. Neka slucajna promenljiva X ima Puasonovu 9>(1..) raspodelu i neb je uslovna raspodela za slucajnu promenljivu Y pri datom X = n binomna ffi(n,p) raspodela. Odrediti zakon raspodele za Y i uslovni zakon raspodele za X pri datom Y k.

An

Pn.=p(X=n)= r n. p(Y=kIX

n=0,1,2 ....

n)=[:)rkqn-k,

n,kEN o'

k~n

p(Y=klx=n)=P(X n,Y=k)=Pnk

P(X =n) Pn.

00

P.k = LPnk n=O

=

(Aq)n-k e -A+pA. - (0 k)!

5. Na sahovskoj tabIi se na slucajan nacin bira jedno polje. Neka je X broj susednih belih, a V broj susednih crnih polja. NaCi raspodelu za (X, V), marginalne raspodele, uslovnu raspodelu XlV =2, i proveriti da Ii su X i V nezavisne slucajne promenljive.

~

1

2

3

4

1

0

.2... 64

0

0

.2...

2

.2... 64

0

.12. 64

0

.a 64

0

.12.

0

0

.12. l!l.

3

4

64

0

0

0

l!l.

.2...

.a 64

.12.

l!l.

64

64

64 64

64

64

64

Dvodimenzionalna slueajna promenljiva

44

X:(~ 2 3 4) 64

1 2 XIY = 2: ( .1... 0 14

ll. 64

64

Y: ( .1...

12. '

64

64

ll.

ll.

64

64

M

36

64

14 • 12 :t:. -12 => X.1 Y msu . neZaVlSne. .

3 4)

-

0

ll.

ll.

3 4)

1 2

D

64 64

14

64

6. Data je raspodela verovatnoca dvodimenzionalne slucajne promenljive (X,Y).

~

-1

1 3 5

0,10 0,08 0,04

°

0,05 0,20 0,05

I

1

2

0,12 0,05 0,04

0,10 0,10 I 0,07 I

X I r:

q

a) Naci marginalne raspodele za X i Y. b) NaCi uslovne raspodele za X IY=3 i Y IX=O. c) Ispitati da Ii su slucajne promenljive Xi Y nezavisne.

a) X. ( -1 0 1 2) . 0,22 0,30 0,21 0,27

o

-1 b) Xly = 3: ( 0,08

0,20

1 0,05

\ 0,43

0,43

0,43

!) 0,43

y.( 1 3 5)

r:

1

. 0,37 0,43 0,20

YIX=0:(0~5

0,30

3 .QdQ.

0,30

0~5) 0,30

c) p(X = 0, Y = 3) = 0,20; p(X::: 0)· (Y = 3) =0,30· 0,43 =0,129:t:. 0,20 => X i Y nisu nezavisne slueajne promenljive.

a

DVODIMENZIONALNA SLUCAJNA PROMENLJIV A

NEPREKIDNOG TIPA

x

b

y

FXY(x,y) = Idt I(j)xv(t,u)du, (j)XY(x,y)zO jegustina

-00 -XY(x,y) m(S) { o ,(x,y)\itS ravni xy. -00

1.

a)

Data je gustina raspodeJe dvodimenzionalne slucajne promenljive c.e-:l..(X+Y) x>O y>O

«>Xy(x,y) { 0 ' I' 'I ~, •

, u osta 1m S 1ICaJevima a) NaCi konstantu C.

b) NaCi funkciju raspodele Fxy(x,y).

c) Naci marginalne gustine.

77(j)XY (x,y )dx dy = c· 71 e-:l..(X+Y)dx dy 00

-oo-co

-c 1) -AX 1 - . oof e -1,.,,( --·e 00

o

b)

U

'A

()

c· 7e-Axdxfe-AYdy 0

C C Je -Axdx --·e 'A 0 'A2

0

ro

-Ax

c

I'" 0

C

xs;O iii ys;O, FXY (x, y) = D x>O,y>O x

y

x

y

o

()

0

0

FXY (x,D) = Jdt J(j)(t, u)du == f dtJ 'A2 e -A(t+u)du =

-;'(e -AY -1). (e

'A2 j e-AtdtJ e-Audu = 'A2 o 0 i 'A

= 1- e -Ax _ e-J..y + e -A(~+Y)

-Ax

1)=

46

Dvodimcnzionalna sJucajna promcnljiva 2

C)

oor 1.2

'PX(X)=

0

e

1. e -Ax -'A.y I'" - A. -Ax y--T e 0 -·e

-i.(x+Y)d _

{

o

,X>

0

, xsO

1. -'A.y -Ax 1 '\ -'A.y

'"~ 2e -'A.(X+Y)dx=--e e =",·e o A. 0

,y>O

o

,ysO

2

00

COJ

{

2. Y

1 + ...................__ ._-.:.00

x

Dvodimenzionalna slucajna promenljiva (X,Y) ima uniformnu raspodelu nad oblucu S. Nac1 Cunkciju raspodele i marginalne gustine. 1 -1

2·1

q>XY(x,y)= m(so)-

() =-=1, mS 2

{

(x,y)eS

,

, (x,y)e: S

u

xsOiliysO

Fxy(x,y)=O

(x,y)e S y

x

y

o

2u

0

Y

\.I =XU IY0 - U21 0 =xy - y2 Fxy(x,y)= Jdu I dt == I(x 2u}J-U

x>2 i O2

Y -1------+-,-

1 +-...-...............-'"... ':::O~-

0

02

4

0

4

i y>l t

t FXY (X, y) = Jdt ~Jdu == 2I-=-dt =..,..i t 212 2

x

t

o

0

02

4

0

=1

47

Dvodimenzionalna sIueajna promenljiva XE

[0,2]

, x li!O [0,2] cpy(y) =

{

3.

Jdx =2 - 2y

, Y E [0,1]

o

, Yli!O [0,1]

2y

Dvodimenzionalna slucajna promenljiva (X, Y) data je gustinom

8

- xy, 1 < x < 2 , 1 < Y < x

XY (x,y ) = 9 • { o , u ostalim slueajevima a) Naci marginalne gustine za X i Y i ispitati njihovu nezavisnost.

b) Naci F( ~ ,3) i verovatnoeu dogactaja P(X+Y)\,.

8 2 U 211 8 2 U 21 3_1 = - J1d1 + - f1dt = 91 2 1 932 1

1 3 2

2

3 t

"2

3

42 9

J(t

3

-

42 t)dt + - Jt(8 6t + t 2 )dt 93

1

1 J+ +-4(8-t =4(14 - - -2

9 4

2

1

9

2

2

41 1 t -6- +- 13 = 3

3

2

4 /2

2

4.

Vektor (X,Y) je ravnomerno rasporeden unutar kvadrata K. a) Odrediti gustinu xv(X,Y)'

1

+ -1'

K

b) NaCi marginalne gustine.

1

c)

-1

a)

Naci uslovnu gustinu xlv =Y (x) •

1

m(K) = JiJi = 2, Xy(x,y) y

b)

1

m(K)=Z ' (x,Y)EK {

o

, (x,y)eK

I+x

1

1

-I-x

2

2

J -=Oy=-(l+x+l+x)

x

·1 -1

1 2 Ix 2 Ix( u -Jdtj(t+U).dU=-fl·tU+40

40

I

2

2JI2 dt

x

Ix

r

2

t

=-[ 2t+2-t -- 2J ·dt 40\

=

2

1X 3 2 =-J ( 2+2t--t ) ·dt= 40

2

1( 2 1 3)\x =="41 ( 2x + X 2- "21 X 3)

"4l2t + t - "2 t

0

x> 2,

Y> 2

Fxy(x,y) 1

t

Dvodimenzionaina siucajna promenljiva b)

53

lY 1 (X 3 2 -f(x+y).dx"",- 2+yxJIY ""'-y 40 4 2 0 8

o o b)

,

z::;;O

Y - vreme rada celog sistema.

~

... --[!J---­

Y =min{Xt,X1, ... ,X n}

Xi - vreme rada do otkaza i-tog prekidaca.

Fy{y)= P(Y < y)= P(min{X1,X 1,... ,X n}< y) = 1 P{min{X 1 ,X 2,... ,X n };;:: y) =1- P(XI ;;:: y,X2 ;;:: y,,,,,X2 ;;:: y)=

=1 P(XI ;;::y)P(X2 ;;::y),,,p(Xn ;;::y)=

=l-[l-P(XI '"

1n

n

i=l

I

~E)=O,zasvako

EER+.

i=1

Zakon velikih brojeva Hincina Ako su

Xl' X 2 "." X n "..

nezavisne slucajne promenljive sa jednakim

raspodelama, tada je Iimp(11 11->'"

n

I,X -ml~E)=O' j

za svako sER+, gde je

i=l

m = E(X n ) , n EN, matematicko ocekivanje.

Centralna granicna teorema Ako su Xl' X 2 , ••• , X n ".. nezavisne slucajne promenljive sa jednakim raspodelama, matematickim ocekivanjem E(X n ) = mER i standardnom devijacijom s == ~D(Xn ) E R + , n EN, tada je: n

LX' -n·m

•

I

limp(,=l n->'"

S

J; n

1 0, j eN nezavisne slucajoe

preomenljive. c)

a)

Xn

20 + 2 Y0' g de su Yj : GVY! _ i/'(-0- ,0-+2) , 30 0+1 0+1 preomeoljive. = _ ...-

0

• e N , nezavisoe sIucaJoe v

•

E(X ) == (-20)' _1_ + 0 1 + 20 . _1_ = 0 1 ' n 40 3 40 3 '

1 40 2 2

2 40 ·-+0,1+--0,01=0,09::;;2,1 zasvako oeN.Kako 3 3 40 40 0 je D(X n) S; 2,1 za svako 0 eN, sledi da su svi uslovi Cebisevog zakooa D(Xn)

velikih brojeva ispuojeoi, te vazi E(I b)

~ k~lXn - 0,11;;:: eJ~ 0 kada 0 ~

Eeyn ) A,D(Yn ) A, E(Xn)==E(Y2n)-2E(Y2n_l)=-A D(Xn) == D(Yzn - 2Y2n - 1 ) = D(Y2n ) + D(-2Y2n _1 ) == A+ 4A == SA. Svi uslovi CebiSevog zakooa velikih brojeva su ispuojeoi, te vaZi

~k~lxn -AI;;::e)~o,kada o~oo,

Ell c)

00.

E(X )==E(20+2 yn )= 20+2 E (Yn)== 20+2 ._o_=~.

n 30 30 30 0+1 3

D(Xn) == D(20 + 2 Yn) =(20+ 2)2D(Yn) 30 30 kada 0 ~OO. Vazi zakon velikih brojeva tj.

p(l! o

(20 +2)2 .(0+2) ~ ~, 30 0+2 9

tXk _;21;;:: eJ k=l

31

~ 0 kada 0 ~

00 .

70

Zakoni velikih brojeva i centraine graniene teoreme

2. Dat je niz {Xn} nezavisnih slucajnih promenljivih koje imaju istu raspodelu. P(X" =-10)==P(X k =10)=0,5, kEN. a) Odrediti raspodelu slucajne promenljive

1

y =S(X 1 +X2 +X3 +X4 +Xs)' b)

c)

1

NaCI,.

0)

p(iI-.r:... 1 ~X k::; I 1,)prlmenom ·

· centraI ne gramcne teoreme. 100 k=1

d) Oceniti

a)

100

Nad P(-LX" 100 k=1

v

r

p(~ X" I~ 1),primenom nejednakosti Cebiseva. IlOo "=1

-10 -6 Y: ( 2- 5 5.2-5

-2 2 6 10.2-5 10.2-5 5.rs

10) 2-5

(P(Y==-1O)=P(X 1 =X z =",=X s =-10)=(.!.)5, P(Y=-6)= 2 ==P(jedan clan zbira je 10, a ostali -10) = b)

(5). .!. 1,itd). 1 2 2 n

P(l~O!Xk =0) = =P(50 sabiraka je jednako -10, a 50 sabiraka je jednako 10)= = (100J.r 1OO 50

::::

100! r 50!·50!

100

=007979. '

c)

E(_l- IXk )=-l-IE(X k )=O, 100 k=1 100 k=l

1

I )

D(-l-rxk)=l sledidaje 100 k=1

[_l-

J

Ixk O ! tOO P( li-IXk::;1 =p 100k=1 - ::;1 =(1)-(-1)=2(1)-1= 100 k=1 1 2·0,8413 -1 == 0,6826 d)

~

1

tOO

Xk plfl-1-IXkl 1)::; D(iOQ t:1 ) = 1 100 k=1 12 ;

Dakle, nejednakost Cebiseva daje grubu procenu traZene verovatnoce.

Zakoni ve1ikih brojeva i centra/ne granicne teoreme 71 3. Dat je niz {Xn} nezavisnih slucajnih promenljivih koje imaju istu uniformnu 'tL(0,1) raspodelu. Da Ii za dati niz vazi slabi zakon velikih brojeva? Kako je E(Xj) HinCina, da

=1.2 to

sledi, na osnovu slabog zakona velikih brojeva

p(l! rXk _1121 z n k=l

e) ~ 0 kada n ~ 00

4. Neka je Xn sredina uzorka obima 25 iz normalne G0f (3,4) raspodele. Odrediti verovatnoce: P(Xn > 3), P(Xn =:; 2), P(3 =:; Xn =:; 4) i P(2 =:; Xn =:; 5). Odrediti a i b za koje je P(Xn < a) = 0,9, P(2 =:; Xn =:; b) =0,8.

X -3 3P(Xn >3)=P( n > 2 2 -

-. =P(X n >0) 0,5

-

5

5

X -3 2-3 -. P(X n =:; 2) = P( O < -2-) = P(Xn =:; -2,5) =11>(-2,5) = 2 5 5 = 1- 11>(2,5) = 1- 0,9938 =0,0062 2- 3 X - 3 4- 3 -. P(2 =:; Xn =:; 4) = P(-2-=:; n =:;-2-) =P(-2,5 =:; Xn =:; 2,5) 2 555

=11>(2,5) -

11>(-2,5) = 211>(2,5) -1 = 2·0,9938 1 0,9876

2-3 X -3 5-3 -. P(2 =:; Xn =:; 5) = P(-2- =:; n < -2-) = P( -2,5 =:; Xn =:; 5) 2 -

-

-

555

=11>(5) - 11>(-2,5) =1-1 + 11>(2,5) = 0,9938 X 3 a-3 a-3 P(Xn sa) P( O S-a-)=0,9=:>1I>(-2-)=0,9~ 2 5 5 5 =:> a 2 3 = 11>-1(0,9) =1,28 =:> a= 3,51 -

5

>

.

Zakoni velikih brojeva i centraine graniene teoreme

72

P(2s

2 3 X -3 b-3 -* b 3 - O. Ispitati etikasnost

Xi'

I naCin:

=n'e

-J..

D(f~)

f\

D =:> Oeena A. je najefikasnija.

II nacin L(e)

Kako Je 'A=

ain L(8)

OA

E.( ~ Iki

1 n -n+- 2:ki A i=1

A \n i=1

A.), sledi da Je statistika

1 A

K; najefikasnija ocena za Ie i da je D(~) = n n

4. Obeleije X ima uniformnu GU(a,b) raspodelu, a 0 => L(a)'Je monotono rastuca. ~,

_--'>.-1...

oe

a

X)'X 2 "'X n

2

82 Ocene paramelara Dakle, L(e) dostize maksimum za maksimalnu vrednost e. Kako je x ~ 8 to sledi da je statistika kojom se oeenjuje parametar 8 na osnovu uzorka

e = min{X] ,X 2 , ... ,X n }. Centriranost:

Y = min{X 1 ,X 2 ,· .. ,XJ

(

Fy(y) P(Y oo

n-->oo

n- 1

/\

e je asimptotski eentrirana.

Postojanost: (oeena nije centrirana, pa ne koristimo nejednakost Cebiseva).

p(1 e-e =

1

PIe

I~E)=l-P(1 £:;

<

e< e+ 81 = 1 p{e

\

the

1

f9y{y)dy=1G-e

8-8 I):2 E (0'16 9465) ( '19,8 ~ " Dvostani interval za

-2 -2] [ n Sn n Sn -b-'-a-

b = X~9:0,95

=

19,8 .

X29;0,1

SE

(0; 4,1166).

I s

S2

d' g e Je a = X~9:0,05 = 17,7 .

42,6 .

r (

30 ·11,1861. 30 ·11,18611 => ): 2 E (7 88452- 189482) ( 42,6 . 17,7 ) ~ , "

):

~

E

(2,8079', 4,3529)

s~).

b) Hipoteza H(;;2

\

-2

nSn

S~ Ba

30·11,1861 9

3702 ,

,

r:l I-'

1 -a

095 , , ca•

2 2 -4?6 Xn-l,l-a -X29;O.95 - ._,

j

< B:

hipotezu H(;; = 3) ne odbacujemo.

1

4. Metlu prvih 3000 beba rotlenih 1999 godine bilo je 1578 decaka. a) Ako pretpostavimo da se broj decaka moze opisati binomnom

raspodelom, naci 99% interval poverenja za verovatnocu p ratlanja

decaka. b) Testirati hipotezu da je verovatnoca ratlanja decaka 0,5. a) Interval za nepoznatu verovatnocu p

t;P)

~(1'::~; [t;~)r Y

(1578 - 3000p 3000p(1 p)

6,6564 =>

b) Hipolez. H(P ~ p,,) ,

Eo

Pl

=0,5024

c: =-1(1- ~)=-1(0,99) =>

P2

~ ~ ='1578 npoq()

c a > c:

t+~,99)~_1(O,995)~2,576 0,5494

3000 . 0,51

.J3000· 0,5 - 0,5

2,326

hipotezu H(p = 0,5) odbacujemo.

P E (0,5024; 0,5494).

2,848 ,

2

Testiranje hipoteza

95

NEPARAMETARSKE HIPOTEZE I TESTOVI ZNACAJNOSTI Pirsonov X2 -test Pretpostavimo da obeleije X ima raspodelu Fo(x). Za dovoljno veliko n statistiku

mozemo aproksimirati X~-l-I raspodelom, gde je k broj intervala, a I broj ocenjenih parametara. X2 -test je tako konstruisan, da sto je sracunata vrednost bliza nuli u toliko je verovatnije da je nulta hipoteza "tacna". ' · N a osnovu rea1lZovanog uzor k a (X I ,X 2 ""'X n ) nalaZlmO Xo2

~ = L.

m~l

(n m

nPm)2 nPm -

Ako je a unapred zadat prag znacjanosti tad a postupamo na sledeCi nacin: 1. Nademo vrednost X: iz tablica za X~-l-I raspodelu . Ova vrednost se na neki naCin moze shvatiti kao dozvoljeno odstupanje pri zadatom pragu znacajnosti a. 2. Uporedimo vrednosti X: i

X~ = f

(n m - nPm )2 i ako je m=l nPm

X: > X~ hipotezu F(x) = Fo(x) ne odbacujemo, X: :s; X~ hipotezu F(x) = Fo(x) odbacujemo. 1.

KoristeCi X2 -test sa pragom znacajnosti a o 2 1 8 62 12

= 0,05 proveriti da Ii su podaci 3 15

4

3

saglasni sa hipotezom da se radi 0 uzorku iz populacije sa raspodelom

0

1

2 3

X: ( .ll H. .ll .ll 6

8

4

7

4

1

42-739

168 .

L(e) [p(x = 0)]8. [p(x = l)f2 . [p(x = 2)r . [p(x = 3)r . [p(x =4)f =

_( 8)8 .(6_e)62 . (8)12 - .(8)15 - . (42-738)3..he·e 6 ,,8 4 7 168

- -

35

.(6 et2 .(42-73ey ,

Testiranje hipoteza

96 InL(9) InC + 351n9 + 621n(6 - 9)+ 31n{42 -739),

35 _~_ 3·73 =0

9 6 8 42 - 738 '

alnL(9)

ae

35.(6 9X42 739)-629{42-738)-2199{6-9)=0, 8820 -153308 14708 + 25558 2 73009 2 82

8 < 6,

°

;~

0,58 =>

Pi

=

4

L:

e=0,52.

1 8 0,086

mj

2

°

207188 + 8820 =

Xi

X

13149

2,848 + 1,21 0::::> 8 1 = 2,31 , 8 2 = 0,52

-

8<

-

26048 + 45269 2 + 2199 2

-

X: (

0,~86

3 12 0,130

2 62 0,685

0,:85

0~3 0,~74

0,;24)'

4 18 0,098

{m. - np.)2 ~~'--+ (62-68,5)2 + {12-13)2 + (18 9,8)2 =7,6 I

I

8,6

npi

;=1

r

2 Xr-l-l,I-Cl

68,5

4 1

13

9,8

- broj klasa - broj ocenjenih parametara

X~-I-l:I-(),()5 X~:().95 5,99 X2 > XL),95 ::::> hipotezu odbacujemo. 2.

KoristeCi X2 -test, sa pragom znacajnosti a

Ij

[o,! )

1 1

[8'4')

1 3

["4' 8) 6 12 22 mj saglasni sa hipotezom da se radi

8x , xe(o,~) q>x (x)

=

o,

x

~(o,i)

=0,05, proveriti da Ii su podaci:

3 1

[8'i) 0

30 uzorku iz populacije cija je gustina

a

Testiranje hipoteza o,x~o

Pk

=p(a~X X;:O,9 ::::> hipotezu odbaeujemo

Zadaci sa pismenih ispita

114 31. OS. 1997.

1. Masina se sastoji iz dva dela: rad svakog dela je neophodan za rad masine. Verovatnoca neprekidnog rada u toku vremena t prvog dela je Ph drugog P2' Masina je ispitivana u toku vremena t u kojem je doslo do prekida rada.Nad verovatnocu da je otkazao prvi deo, a da je drugi ispravan. 2. Iz partije od 100 proizvoda, od kojih su 10 neispravno, izabrano je na slucajan nacin pet proizvoda. Ako sa X oznacimo broj neispravnih medu njima, nad zakon raspodele slucajne promenljive X. Kolika je verovatnoca da imamo najmanje tri ispravna proizvoda medu izvucenima? 3. Slucajni vektor (X,Y) ima uniformnu raspodelu unutar trougla T na slici. y Odrediti : 2 ~'-. a) gustinu raspodele verovatnoca dvodimenzionalne 1~-~ -1-. ! slucajne promenljive (X, Y), , ! b) marginalne gustine slucajnih promenljivih X i Y, 2 3 X c) uslovne gustine xIY=/x) i Ylx=x{Y)'

1

4. -1 Obeletje

5

X date populacije ima raspodelu X: 2

I0 I> ..fi.

2

1 1 2 20 20 02 Na osnovu uzorka obima n, metodom maksimalne 1

gde je

2

0

5.

1­

su podaci o njihovom

Broj vlasnika Koristed Xl - test, sa pragom znacajnosti a =0,05, proveriti da Ii su podaci saglasni sa hipotezom da se radi 0 uzorku iz populacije sa normalnom raspodelom. 1. H j - dogadaj da su oba dela ispravna

H2 - dogadaj da je prvi ispravan, a drugi neispravan H3 - dogadaj da je prvi neispravan, a drugi ispravan H4 - dogadaj da su oba neispravna P(H1)=Pl -P2' P(H3

(1- pJ- Pz,

P(H z )=pt(l P2)'

~

P(H 4 )= (1-'- PI)- (1- pz)

-a

Zadaci sa pismenih ispita A - dogadaj da je masina otkazala u toku vremena t p(AIHl 0 p(AIH2)~ p(AI H 3)= p(AIH 4)=1

Id

'I' 0 ~j

II

II

peA) = P(H 1 )· P(A/H 1 )+ P(H 2)· p(AIH 2)+

1

p(H IA ) = p(AIH 3 )· P(H) = (1 Pl)'P2 3 PCA) I-P1P2

t !

I

+ P(H3)' p(AIH 3 )+ P(H 4 )· p(AIH 4)=

=Pl(1-P2)+(1 Pl)'P2 +(1 Pl)·(1-P2)=1-PIP2

2.

I:

I f

p(x 3.

m{T) QB.AJ3 = 2J2.J2 =2

2

2

1

1

, {x,y}e T XY(X'Y)= m(TJ ='2 { , (x,y)~ T b)

X" 2

1

y

2f--------,....

115

Zadaci sa pismenih ispita

116

O 9 + m· e 2 - 2 . 93 = 9 + 9(e 2 - 2 ) 2

2)+ 4m

-

°

=> 2{n

m)e2 + 4{n - m)+ 4m

m)e2 +4n=O¢:>2(n m)e2 =4n=>9 2 =~=> n-m

°

=>

e=±~

2n n-m

Dakle, statistika kojom se ocenjuje parametar 9 na osnovu uzorka je

e=+~ 2n - n-M' 5.

~==X100 = 1~0(1.5+3'10+5.26+7.34+9.15+11.1O)= ~~~ =6,48 1 2 1 (2 2 2 2 2 2 ) 4836 100LXj == 100 1 ·5+3 ·10+5 ·26+7 ·34+9 ·15+11 ·10 = 100 -2

s

100

1 100

~

-2

-IXi -Xi

A

/-2

48,36-41,99=6,37=>/;=v

S 100

48,36

=2,52

Pl = p(o s X < 2)= p(0-6,48 s X* < 2-6,48J = P(-2,57 s X' < -1,77)=

2,52 2,52 = (-1,77) - (- 2,57)= 1- (1,77)- (1- (2,57»= (2,57) (1,77) = 0,9949 - 0,9616 0,0333

pz

1

P{2 s X < 4)= p(2 6,48 sX' < 4-6,48 == P(-l,77 s X· < -0,98)= 2,52 2,52 J =(- 0,98)- (-1,77) == 1- (0,98)- (1- (1,77» = (1,77)- (0,98) =0,9616 0,8365 =0,1251

Zadaci sa pismenih ispita

118

P3

=P(4~XY=Z-X;

CPxz (x,z ) =

z

I Z

+

37.

3!:.

2

2

(z

1

1

3

2

z)

2

cpz(z)=~3zJdx =~(1-~) =~-~ 3 2 3 3

lSzS2

2

z 3

2 3

- +1 3

CPz {z}

-2szS-1 lszs1

2 z

---

lszs2

0

za ostale z

3

3

(x,z)e 0'

2( z+l-z) =-

2 '2(Z+1) 2 1 1 () x =

o ,

x~(-7,5)

Nad konstantu C i funkciju raspodele slucajne promenljive Y

1 X~-6

-X-5 -6~X~-2

-2 ~ X ~3 Y= X-I 2 3~X~4 X;24 X-2 3, Bacaju se dva pravilna tetraedra sa stranicama oznacenim brojevima 1, 2, 3 i 4. NaCi matematicko ocekivanje za raspodelu kolicnika Q veeeg i manjeg broja koji padaju na donjim stranama tetraedara. 4. Slucajna promenljiva X ima raspodelu datu gustinom q>x (x) =

X 2 e -~ "293 ' { o ,

x> 0, gde je e> O. Na osnovu uzorka obima n, x~O

metodom maksimalne verodostojnosti, nad ocenu parametra e. Ispitati centriranost tako dobijene ocene. 5. U toku 70 godina praceno je radanje cetvorki u jednoj oblasti. Podaci su dati u tabeli. I Broj rodenja cetvorki

I Broj godina

14

I

24

I

17

I

10

2 l 2l

1

I

KoristeCi X2 - test sa pragom znacajnosti a=0,05 , proveriti da Ii su podaci iz tabele saglasni sa hipotezom da se radi 0 uzorku iz populacije sa Puasonovom raspodelom. 1.

a)

Ai - dogadaj da je u i-tom izvlacenju izvucena b~la kuglica

> C i - dogadaj da je u i-tom izvlacenju izvucena erna kuglica

, Zadaci sa pismenih ispita

139

P(An)= P(A n- 1 )· p(AnIA n-1)+ p(c n-1 )· p(A n IC n _ 1 ):::: ::::

P{A 2 )=

a + 1 P{A )+ a p{C ) a + 1+ b n-1 a + b + 1 n-1

a+1 P(A 1 )+ a P(C,)=

a+1+b a+1+b

a+1 a a b --_. - - + .- - a +1+ b a + b a + b +1 a + b -

a(a+b+1)

--r-~---'-,"

a

(3 + b Xa + b + 1) a + b

P(A1)=_a_, P(A 2 )=_a- => P{An)=_a­ a+b a+b a+b b)

)P(A3IAl) ( I ) ( I ) (, I) ( IA3 ) = P{AtP(A ) PAl P A3 Al +P A2 A 3 Al +P,C 2A 3 Al = 3

a +1 a +1 b a _ (a + 1)2 + ab - - - ---+ ._-­ a + 1 + b a + 1 + b a + 1 + b a + b + 1- (a + b + 1)2 . 2.

X: GlL(-7,5)

cp () x

l.. , 2 {10 ,

xE{-7,S) x~(-7,S)

1 => C = 12

21----;:--( r-----.-----Il

3 4 5 X

-3 < y ~ 1

Fy(y)=P(Y (x) funkciju O

1

a

1 a2

-

[2

e

2

-a­ a -it

[(n+1)

Studentova tn

2

n x2 ~ &n-)(1+-)

n

2

n n-2 n>2

--,

xeR !-l -~

x2 e

Hi-kvadrat

X~

2

n

n

i2r(E.) 2

neN

n

2n

(1- 2it)

2

x>O Za Studentovu raspodelu karakteristicna funkcija k(t) je komplikovana, te nije nave dena u tablici.

Prilog3

156

PRILOG3

Uputstvo za koriscenje tablica

Tablice za normalnu Glf/(O,l) raspodelu Ove tablice daju vrednost funkcije (x) =

~ ",2It

je

t

2

2

dt.

-a:;

Primer L Slucajna promenljiva X ima oAI"(O,l) raspodelu. NaCi: (1,52),

(-1,52) ,P(X > 1,52), P(X > -1,52), p(IXI < 1,52) , p(IXI > 1,52) , (4) .

x

...

.02

...

...

...

1,5

...

.9357

U koloni ispod x nalazimo vrednost 1.5, a u vrsti desno od x nalazimo vrednost .02. U preseku vrste sa brojem 1.5 i kolone sa brojem .02 nalazi se vrednost (1,52) = 0,9357 .

Kako je ( -x) = 1- (x), to je (-1,52) =1 - (1,52) =1 - 0,9357= 0,0643.

P(X > 1,52) = P(X 21,52) =1- P(X < 1,52) =1- (1,52) = 0,0643.

P(X > -1,52) = P(X 2 -1,52) = 1- (-1,52)= 1 [1- (1,52)]=(1,52):= 0,9357

p(IXI < 1,52) = PC -1,52 < X < 1,52) =(1,52) (-1,52) =



=2(1,52) -1 = 1,8714 1 0,8714 p(IXI > 1,52):::: 1- P(IXI < 1,52) = 1- P( -1,52 < X < 1,52) = 1 [2(1,52) 1]=

=2(1- (1,52» = 2(1- 0,9357) =0,1286 Ako je x> 3,49, tada se uzima da je (x)

1. Dakle , (4) =1.

Primer 2. Ako slucajna promenljiva X ima QAI{O,l) raspodelu naCi x za koje je: P(X < x) = 0,9345, P(X > x) = 0,9345, p(IXI < x) = 0,9345, p(IXI > x) 0.9345. P(X < x) = 0,9345.

x ...

...

.01

. ..

...

1.5

...

.9345

P(X > x)

N alazimo iz tablica pribliznu vrednost funkcije ( x) sa unapred datim brojem 0,9345, to je za nas slucaj bas broj 0,9345. Nalazimo vrstu i kolonu u Cijem preseku se nalazi broj 0,9345. Tadaje x =i-1(0.9345) 1,51 .

1 P(X < x):::: 1- (x) = 1- 0,9345:= 0,0655.

Pnlog3

157

Kako je P(X > x) = 0,0655 30 slucajna promenljiva X~ postaje simetricna i tezi normalnoj a4{n,Fn)

raspodeli, te se za te vrednosti n koriste tablice normalne QA/'(O,l) raspodele, uz

prethodno standardizovanje.

n

Primer 3.

a) NaCi x ako je F(x) == 0.010, n = 5.

b) Ako slucajna promenljiva X ima

xi raspodelu naci x tako da je

P(X > x) = 0.005. e) Ako slucajna promenljiva X ima peX < x) := 0.9345. d) Ako slucajna promenljiva X ima

xi2 raspodelu naCi x tako da je

X; raspodelu naCi

P(X < 1.15); P(X > 1.15). a)

...

... ... ...

0.010

...

U preseku vrste n=5 i kolone F(x) = 0.010 nalazimo vrednost x=0,554

5 0.554 b) P(X > x) == 1- P(X s x) == 0,005 ~ P(X < x) = F(~) = 0,995 ~ x == 12,8 " X - 32 X-32 c) n > 30 ~ X == 164 = ima normalnu G41{O,l) raspodelu. 64 8

Prilog3

158

P(X < x) P( X - 32 < x - 32) =0,9345=> x 32 = x =44,08.

dl

888

...

0.050

...

. ..

...

5

...

1.15

i

Za n=S i x=I,15 je P(X < 1,15) = F(I,IS) == O,OSO P(X > 1,IS) 1- P(X :::; I,1S) = == 1 F(I,IS) 1- O,OSO 0,9S. Tablice za Studentovu t - raspodelu :

U ovim tablicama su date vrednosti za x koje odgovaraju vrednostima funkcije t

raspodele F(t) ==

I -00

r(1 + n) 2 n+l dx, gde je n broj stepeni slobode. n x2 ­ &r(-)(l + - ) 2

2

n

Tablice su na sliean naCin date kao i za X2 raspodelu, te ih neremo ovde posebno objasnjavati. Pri resavanju konkretnih problema treba da se znaju sledece osobine:

F(-t) = I-F(t),P(T > t) = I-P(T:::; t) == I-P(T < t) == I-F(t),

p(ITI < t)

= p(ITI :::;

p(ITI > t) == 1

t) == 2F(t) -1, t > 0,

p(ITI:::; t)

:=

2(1

F(t», t > 0.

Tablice za '). . -raspodelu Kolmogorov Smirnova: 00

k

U ovim tablicama su date vrednosti funkcije Q(')...) == I(-I) e- 2k

2 2

/.;

za razne

k=-oo

vrednosti Iv. Ove tablice su jednostavne za primenu i ne treba ih posebno objasnjavati.

159

Prilog4

PRILOG4 Statisticke tab lice N ormalna raspodela (x) =

12

1

,,-r;;- Je 2 dt '\I21t

-OCJ

x .0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9

.00 .5000 .5398 .5793 .6179 .6554 .6915 .7257 .7580 .7881 .8159

.01 .5040 .5438 .5832 .6217 .6591 .6950 .7291 .7611 .7910 .8186

.02 .5080 .5478 .5871 .6255 .6628 .6985 .7324 .7642 .7939 .8212

.03 .5120 .5517 .5910 .6293 .6664 .7019 .7357 .7673 .7967 .8238

.04 .5160 .5557 .5948 .6331 .6700 .7054 .7389 .7704 .7995 .8264

.05 .5199 .5596 .5987 .6368 .6736 .7088 .7422 .7734 .8023 .8289

.06 .5239 .5636 .6026 .6406 .6772 .7123 .7454 .7764 .8051 .8315

.07 .5279 .5675 .6064 .6443 .6808 .7157 .7486 .7794 .8078 .8340

.08 .5319 .5714 .6103 .6480 .6844 .7190 .7517 .7823 .8106 .8365

.09 .5359 .5753 .6141 .6517 .6879 .7224 .7549 .7852 .8133 .8389

1.0 1.1 1.2 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

.8413 .8643 .8849 .9032 .9192 .9332 .9452 .9554 .9641 .9713

.8438 .8665 .8869 .9049 .9207 .9345 .9463 .9564 .9649 .9719

.8461 .8686 .8888 .9066 .9222 .9357 .9474 .9573 .9656 .9726

.8485 .8708 .8907 .9082 .9236 .9370 .9484 .9582 .9664 .9732

.8508 .8729 .8925 .9099 .9251 .9382 .9495 .9591 .9671 .9738

.8531 .8749 .8944 .9115 .9265 .9394 .9505 .9599 .9678 .9744

.8554 .8770 .8962 .9131 .9279 .9406 .9515 .9608 .9686 .9750

.8577 .8790 .8980 .9147 .9292 .9418 .9525 .9616 .9693 .9756

.8599 .8810 .8997 .9162 .9306 .9429 .9535 .9625 .9699 .9761

.8621 .8830 9015 .9177 .9319 .9441 .9545 .9633 .9706 .9767

2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

.9772 .9821 .9861 .9893 .9918 .9938 .9953 .9965 .9974 .9981

.9778 .9826 .9864 .9896 .9920 .9940 .9955 .9966 .9975 .9982

.9783 .9830 .9868 .9898 .9922 .9941 .9956 .9967 .9976 .9982

.9788 .9793 .9834 .9838 .9871 .9875 .9901 . .9904 .9925 .9927 .9943 .9945 .9957 .9959 .9%8 .9%9 .9977 .9977 .9983 .9984

.9798 .9842 .9878 .9906 .9929 .9946 .9960 .9970 .9978 .9984

.9803 .9846 .9881 .9909 .9931 .9948 .9961 .9971 .9979 .9985

.9808 .9850 .9884 .9911 .9932 .9949 .9%2 .9972 .9979 .9985

.9812 .9854 .9887 9913 .9934 .9951 .9963 .9973 .9980 .9986

.9817 .9857 .9890 .9916 .9936 .9952 .9964 .9974 .9981 .9986

3.0 3.1 3.2 3.3 3.4

.9987 .9990 .9993 .9995 .9997

.9987 .9991 .9993 .9995 .9997

.9987 .9991 .9994 .9995 .9997

.9988 .9991 .9994 .9996 .9997

.9989 .9992 .9994 .9996;

.9989 .9992 .9994 .9996 .9997

.9989 .9992 .9995 .9996 .9997

.9990 .9993 .9995 .9996 .9997

.9990 .9993 .9995 .9997 .9998

1.3

.9988 .9992 .9994 .9996 .9997

.9991'

Prilog4

160

x2 - raspodela F(x)

n

F .010 .025 .0000 .0000 .0201 .0506 .115 .216 .297 .484 .554 .831

.050 .0039 .1030 .352 .711 1.15

.100 .0158 .211 .584 1.06 1.61

.250 .102 .575 1.21 1.92 2.67

.500 .455 1.39 2.37 3.36 4.35

.750 1.32 2.77 4.11 5.39 6.63

.900 2.71 4.61 6.25 7.78 9.24

.950 3.84 5.99 7.81 9.49

11.1

.975 5.02 7.38 9.35 11.1 12.8

.990 6.63 9.21 11.3 13.3 15.1

.995 7.88 10.6 12.8 14.9 16.7

10.6 12.0 13.4 14.7 16.0

12.6 14.1 15.5 16.9 18.3

14.4 16.0 17.5 19.0 20.5

16.8 18.5 20.1 21.7 23.2

18.5 20.3 22.0 23.6 25.2

13.7 14.8 16.0 17.1 18.2

17.3 18.5 19.8 21.2 22.3

19.7 21.0 22.4 23.7 25.0

21.9 23.3 24.7 26.1 27.5

24.7 26.2 27.7 29.1 30.6

26.8 28.3 29.8 31.3 32.8

15.3 16.3 17.3 18.3 19.3

19.4 20.5 21.6 22.7 23.8

23.5 24.8 26.0 27.2 28.4

26.3 27.6 28.9 30.1 31.4

28.8 30.2 31.5 32.9 34.2

32.0 33.4 34.8 36.2 37.6

34.3 35.7 37.2 38.6 40.0

16.3 17.2 18.1 19.0 19.9

20.3 21.3 22.3 23.3 24.3

24.9 26.0 27.1 28.2 29.3

29.6 30.8 32.0 33.2 34.4

32.7 33.9 35.2 36.4 37.7

35.5 36.8 38.1 39.4 40.6

38.9 40.3 41.6 43.0 44.3

41.4 42.8 44.2 45.6 46.9

20.8 21.7 22.7 23.6 24.5

25.3 26.3 27.3 28.3 29.3

30.4 31.5 32.6 33.7 34.8

35.6 36.7 37.9 39.1 40.3

38.9 40.1

41.9 43.2

45.6 47.0 48.3 49.6 50.9

48.3 49.6 51.0 52.3 53.7

1 2 3 4 5

.005 .0000 .0100 .0717 .207 .412

6 7 8 9 10

.676 .989 1.34 1.73 2.16

.872 1.24 1.65 2.09 2.56

1.24 1.69 2.18 2.70 3.25

1.64 2.17 2.73 3.33 3.94

2.20 2.83 3.49 4.17 4.87

3.45 4.25 5.07 5.90 6.74

5.35 6.35 7.34 8.34 9.34

7.84 9.04 10.2 11.4 12.5

11 14 15

2.60 3.07 3.57 4.07 4.60

3.05 3.57 4.11 4.6 5.23

3.82 4.40 5.01 5.63 6.26

4.57 5.23 5.89 6.57 7.26

5.58 6.30 7.04 7.79 8.55

7.58 8.44 9.30 10.2 11.0

10.3 11.3 12.3 13.3 14.3

16 17 18 19 20

5.14 5.70 6.26 6.84 7.43

5.81 6.41 7.01 7.63 8.26

6.91 7.56 8.23 8.91 9.59

7.96 8.67 9.39 10.1 10.9

9.31 10.1 10.9 11.7 12.4

11.9 12.8 13.7 14.6 15.5

21 22 23 24 25

8.03 8.64 9.26 9.89 10.5

8.90 9.54 10.2 10.9 11.5

10.3 11.0 11.7 12.4 13.1

11.6 12.3 13.1 13.8 14.6

13.2 14.0 14.8 15.7 16.5

26 27 28 29 30

11.2 11.8 12.5 13.1 13.8

12.2 12.9 13.6 14.3 15.0

13.8 14.6 15.3 16.0 16.8

15.4 16.2 16.9 17.7 18.5

17.3 18.1 18.9 19.8 20.6

12

13

E:~

161

Prilog4

Studentova t-raspodela l+n

r(---~)

t

F(t) =

I -00

n

2 J dx n x 2 n+ Vnn r(-)(1+-) 2 n r-

F

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

.75 1.000 .816 .765 .741 .727 .718 .711 .706 .703 .700

.90 3.078 1.886 1.638 1.533 1.476 1.440 1.415 1.397 1.383 1.327

.95 6.314 2.920 2.353 2.132 2.015 1.943 1.895 1.860 1.833 1.812

.975 12.706 4.303 3.182 2.776 2.571 2.447 2.365 2.306 2.262 2.228

.99 31.821 6.965 4.541 3.747 3.365 3.143 2.998 2.896 2.821 2.764

.995 63.657 9.925 5.841 4.604 4.032 3.707 3.499 3.355 3.250 3.169

.9995 636.619 31.598 12.941 8.610 6.859 5.959 50405 5.041 4.781 4.587

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

.697 .695 .694 .692 .691 .690 .689 .688 .688 .687

1.363 1.356 1.350 1.345 1.341 1.337 1.333 1.330 1.328 1.325

1.796 1.782 1.771 1.761 1.753 1.746 1.740 1.734 1.729 1.725

2.201 2.179 2.160 2.145 2.131 2.120 2.110 2.101 2.093 2.086

2.718 2.681 2.650 2.624 2.602 2.583 2.567 2.552 2.539 2.528

3.106 3.055 3.012 2.977 2.947 2.921 2.898 2.878 2.861 2.845

4.437 4.318 4.221 4.140 4.073 4.015 3.965 3.922 3.883 3.850

21

.686 .686 .685 .685 .684 .684 .684 .683 .683 .683

1.233 1.321 1.319 1.318 1.316 1.315 1.314 1.313 1.311 1.310

1.721 1.717 1.714 1.711 1.708 1.706 1.703 1.701 1.699 1.697

2.080 2.074 2.069 2.064 2.()50 2.056 2.052 2.048 2.045 2.042

2.518 2.508 2.500 2.492 2.485 2.479 2.473 2.467 2.462 2.457

2.831 2.819 2.807 2.797 2.787 2.779 2.771 2.763 2.756 2.750

3.819 3.792 3.767 3.745 3.725 3.707 3.690 3.674 3.659 3.646

.681 .679 .677 .674

1.303 1.296 1.289 1.282

1.684 1.671 1.658 1.645

2.021 2.000 1.980 1.%0

2.423 2.390 2.358 2.326

2.704 2.660 2.617 2.576

3.551 3.460 3.373 3.291

22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 rx>

Prilog4

162

Raspodela A Kolmogorov-Smirnova

'A

Q('A)

'A

Q('A)

A.

Q('A)

A.

Q(A.)

A.

Q('A)

A.

Q(},)

0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37

0,0000 0,0001 0,0002 0,0003 0,0005 0,0008 0,0013 0,0019 0,0028 0,0040 0,0055 0,0074 0,0097 0,0126 0,0160 0,0200 0,0247 0,0300 0,0361 0,0428 0,0503 0,0585 0,0675 0,0772 0,0876 0,0987 0,1104 0,1228 0,1357 0,1492 0,1632 0,1778 0,1927 02080

0,66 0,67 0,68 0,69 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99

0,2236 0,2396 0,2558 0,2722 0,2888 0,3055 0,3223 0,3391 0,3560 0,3728 0,3896 0,4064 0,4230 0,4395 0,4559 0,4720 0,4880 0,5038 0,5194 0,5347 0,5497 0,5645 0,5791 0,5933 0,6073 0,6209 0,6343 0,6473 0,6601 0,6725 0,6846 0,6964 0,7079 07191

1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,to 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29 1,30 1,31 1,32 1,33

0,7300 0,7406 0,7508 0,7608 0,7704 0,7798 0,7889 0,7976 0,8061 0,8143 0,8223 0,8399 0,8374 0,8445 0,8514 0,8580 0,8644 0,8706 0,8765 0,8823 0,8877 0,8930 0,8981 0,9030 0,9076 0,9121 0,9164 0,9206 0,9245 0,9283 0,9319 0,9354 0,9387 09418

1,34 1,35 1,36 1,37 1,38 1,39 1,40 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,46 1,47 1,48 1,49 1,50 1,51 1,52 1,53 1,54 1,55 1,56 1,57 1,58 1,59 1,60 1,61 1,62 1,63 1,64 1,65 1,66 167

0,9449 0,9478 0,9505 0,9531 0,9556 0,9580 0,9603 0,9625 0,9646 0,9665 0,9684 0,9702 0,9718 0,9734 0,9750 0,9764 0,9778 0,9791 0,9803 0,9815 0,9826 0,9836 0,9846 0,9855 0,9864 0,9873 0,9880 0,9888 0,9895 0,9902 0,9908 0,9914 0,9919 09924

1,68 1,69 1,70 1,71 1,72 1,73 1,74 1,75 1,76 1,77 1,78 1,79 1,80 1,81 1,82 1,83 0 • 1,tM 1,85 1,86 1,87 1,88 1,89 1,90 1,91 1,92 1,93 1,94 1,95 1,96 1,97 1,98 1,99

0,9929 0,9934 0,9938 0,9942 0,9946 0,9950 0,9953 0,9956 0,9959 0,9962 0,9965 0,9967 0,9969 0,9971 0,9973 0,9975 0,9977 0,9979 0,9980 0,9981 0,9983 0,9984 0,9985 0,9986 0,9987 0,9988 0,9989 0,9990 0,9991 0,9991 0,9992 0,9993

2,00 2,01 2,02 2,03 2,04 2,05 2,06 2,07 2,08 2,09 2,10 2,11 2,12 2,13 2,14 2,15 2,16 2,17 2,18 2,19 2,20 2,21 2,22 2,23 2,24 2,25 2,26 2,27 2,28 2,29 2,30 2,31

0,9993 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

0~18

0,39 0,40 0,41 0,42 0,43 0,44 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49 0,50 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,56 0,57 0,58 0,59 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 065

(iz sadriaja)

Knjiga se sastoji iz dva dela. U prvom delu su sistematski i detaljno uradeni zadaci, sa potrebnom teorijskom osnovom koji se rade na vezbama iz predmeta Matem~cke metode IV gradevinske struke FfN-a (uvodni pojmovi; elementi teorije verovatnoce; Bajesova formula i formula totalne verovatnoce; jedno4imenzionalne i visedimenzionalne slucajne promenljive i njihove transforDlacije; matematicko ocekivanje i disperzija; zakoni velikih brojeva i centralne granicne teoreme; osnovni pojmovi matematicke statistikej tackaste i intervalne ocene nepoznatih parametaraj parametarski i neparametarski testovi znacajnosti). U drugom delu knjige sistematski i detaljno su uradeni zadaci sa pismenih ispita (od aprilskog 1997. do oktobarskog roka 1998. godine). (iz recenzije)

CitajuCi tekst predlozenog rukopisa vidi se da je veoma dobra strana u njemu to sto se na pocetku daju formule neophodne za razumevanje i izradu l>lldataka i sto su zadaci detaljno uradeni (u svim delovima teksta). Veoma dobro je i to sto se posebna paznja poklanja pitanjima koja se odnose na one raspodele koje su ceste u primenama. Specijalno, detaljno su obradena mnoga pitanja vezana za Gausovu raspodelu verovatnoea. Tekst rukopisa napisan je jasnim jezikom i prilagodenim stilom, a sve to uradeno je i matematicki precizno i razumljivo. Zadaci su znalacki odabrani, tako da se kroz njih zaista moze savladati nastavna materija. Analiza predlozenog rukopisa pokazuje da sadriaj kakav nalazimo u ovom rukopisu je neophodno stivo za studente tehnickih fakulteta, a posebno za studente Fakulteta tehnickih nauka u Novom Sadu. Sem toga, i studenti drugih fakulteta mod ce da u njemu nadu dosta korisnih sadriaja. Iz navedenih razloga sa zadovoljstvom predlazemo da se rukopis ZBIRKA RESENIH ZADATAKA IZ VEROVATNOCE I STATISTIKE prihvati kao udzbenik za nastavni sadrzaj predmeta Matematicke metode IV. (0 autorima)

Momcilo Novkovic je asistent matematike na Fakultetu tehnickih nauka u Novom Sadu. Diplomirao je 1992. godine na Fakultetu tehnickih nauka u Novom Sadu (Masinski odsek). Magistrirao je 1997. godine na Matematickom fakultetu u Beogradu. Drii vezhe iz predmeta Matematicka analiza I, Matematicke metode IV i Matematika trio Podrucje njegovog naucnog rada je Verovatnoca i statistika ­ slueajni procest Ilija Kovacevic je redovni profesor matematike na Fakultetu tehnickih nauka u Novom Sadu. Doktorirao je 1979. godine na Prirodno-matematickom fakultetu u Beogradu. Predaje Matematicku analizu I, Funkcibnalnu analizu i Matematicke metode IV. Podrucje njegovog naucnog rada je Topologija - kompaktnost.