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´ CUADERNOS DE ALGEBRA

No. 3 M´ odulos odulos

Oswaldo Lezama

Departamento de Matem´aticas aticas Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia Sede de Bogot´a

30 de noviembre de 2016

ii

Cuaderno dedicado a Andreita, mi hija.

Contenido Pr´ ologo ologo

iv

1. M´ odulos, subm´ odulos, odulos y cocientes odulos 1.1. Defi Definic nici´ i´ on y ejemplos   . . . . . . . on 1.2. 1. 2. Su Subm bm´ o´dulos   . . . . . . . . . . . . odulos 1.3. 1. 3. Modulo o´dulo cociente . . . . . . . . . . 1.4. Eje Ejerci rcicio cioss . . . . . . . . . . . . .

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1 1 5 8 10

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11 11 13 15 17

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19 19 21 23 24

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26 26 28 31 32

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35 35 36 37 44

2. M´ odulos finitamente generados odulos 2.1. Ope Operac racion iones es con subm´ subm´ odulos   . odulos  2.2. 2. 2. Su Subm bm´ o´dulos maximales  odulos maximales   . . . . 2.3. Eje Ejempl mplos os . . . . . . . . . . . . 2.4. Eje Ejerci rcicio cioss . . . . . . . . . . .

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3. Homomorfis Homomorfismos mos 3.1. Defi Definic nici´ i´ on y propiedades b´asicas on asicas   . . . . . . 3.2. Teore eoremas mas de homomorfismo homomorfismo e isomorfismo isomorfismo 3.3. Eje Ejempl mplos os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Eje Ejerci rcicio cioss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Hom Hom 4.1. 4. 1. El gr grupo upo H  H omA (M, N )   . 4.2. Eje Ejempl mplos os . . . . . . . . . 4.3. 4. 3. Bi Bim´ m´ odulos   . . . . . . . . odulos 4.4. Eje Ejerci rcicio cioss . . . . . . . . 5. Product Producto o y sum suma a directa directa 5.1. Prod Product uctoo . . . . . . . . 5.2. Suma direc directa ta exter externa na   . 5.3. Pro Propie piedad dades es   . . . . . . 5.4. Eje Ejerci rcicio cioss . . . . . . .

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iv

 

CONTENIDO

6. Suma directa interna 45 6.1. Definici´ on y caracterizaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 6.2. Sumando directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 6.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 7. M´ odulos libres 7.1. Definici´ on y caracterizaciones . . 7.2. Cardinalidad de las bases . . . . . 7.3. M´ odulos libres y homomorfismos 7.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . .

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8. M´ odulos finitamente generados sobre  DIPs 8.1. M´ odulos de torsi´on . . . . . . . . . . . . . . 8.2. M´ odulos sin torsi´on   . . . . . . . . . . . . . . 8.3. Rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4. Componentes primarias . . . . . . . . . . . . 8.5. Divisores elementales y factores invariantes  . 8.6. Grupos abelianos finitamente generados . . . 8.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliograf´ıa

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52 52 54 57 61

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63 63 65 67 68 71 78 80 83

Pr´ ologo algebra  consta de 10 publicaciones sobre los principales La colecci´on   Cuadernos de ´  temas de esta rama de las matem´aticas, y pretende servir de material para preparar los ex´amenes de admisi´on y de candidatura de los programas colombianos de doctorado en matem´aticas. Los primeros cinco cuadernos cubren el material b´asico de los cursos de estructuras algebraicas y ´algebra lineal de los programas de maestr´ıa; los cinco cuadernos siguientes contienen algunos de los principales temas de los ex´amenes de candidatura, a saber: anillos y m´odulos; categor´ıas; a´lgebra homol´ ogica; ´algebra no conmutativa; ´algebra conmutativa y geometr´ıa algebraica. Cada cuaderno es fruto de las clases dictadas por el autor en la Universidad Nacional de Colombia en los u ´ ltimos 25 a˜ nos, y est´an basados en las fuentes bibliogr´aficas consignadas en cada uno de ellos, como tambi´ en en el libro   Anillos, M´  odulos y Categor´ıas , publicado por la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional de Colombia, y cuya edici´ on est´a totalmente agotada (v´ease [15]). Un material similar, pero mucho m´as completo que el presentado en estas diez publicaciones, es el excelente libro de Serge Lang,  Algebra , cuya tercera edici´on revisada ha sido publicada por Springer en el algebra   sea su pre2004 (v´ease [14]). Posiblemente el valor de los   Cuadernos de ´  sentaci´on ordenada y did´actica, as´ı como la inclusi´ on de muchas pruebas omitidas en la literatura y suficientes ejemplos que ilustran la teor´ıa. Los cuadernos son:

1. Grupos 2. Anillos odulos 3.  M´ ´ 4. Algebra lineal 5. Cuerpos

6. Anillos y m´ odulos 7. Categor´ıas ´ 8. Algebra homol´ ogica ´ 9. Algebra no conmutativa 10. Geometr´ıa algebraica

Los cuadernos est´an divididos en cap´ıtulos, los cuales a su vez se dividen en secciones. Para cada cap´ıtulo se a˜ nade al final una lista de ejercicios que deber´ıa ser complementada por los lectores con las amplias listas de problemas que incluyen las principales monograf´ıas relacionadas con el respectivo tema. Cuaderno de m´  odulos . Los grupos abelianos, las a ´lgebras asociativas y los espacios vectoriales pueden ser considerados como estructuras particulares de la teor´ıa general de m´odulos. Aunque hist´oricamente las tres estructuras mencionadas precedieron a la teor´ıa de m´odulos sobre anillos, esta u´ltima las generaliza y les sirve v

vi

´ PROLOGO

de soporte te´orico. Para se˜ nalar solo un caso, podemos decir que en los ´ultimos a˜ nos se ha venido estudiando con bastante intensidad el ´algebra lineal sobre anillos, la cual se fundamenta primordialmente en la teor´ıa de m´odulos sobre anillos conmutativos (v´ease por ejemplo [22]). El prop´osito de este cuaderno es presentar los conceptos y resultados elementales concernientes a m´odulos sobre anillos arbitrarios. Se destacan especialmente los teoremas de homomorfismo, correspondencia e isomorfismo. El lema 4.1.3 (lema de Schur ) describe los anillos de endomorfismos de m´odulos simples. En el cap´ıtulo 7 se caracterizan los m´odulos libres como sumas directas externas de copias del anillo A (teorema 7.2.5), o bien, a trav´es de funciones extendibles de manera u ´nica a homomorfismos (teorema 7.3.1). El estudio detallado de los m´odulos finitamente generados sobre dominios de ideales principales se realiza en el ´ultimo cap´ıtulo. Esto permite probar en forma rigurosa el teorema de estructura de los grupos abelianos finitamente generados, y con el teorema  5.3.6, calcular su grupo de endomorfismos. Hemos procurado presentar una gran variedad de ejemplos que complementan la teor´ıa. En particular, se destacan R p y QZ , el primero de ellos corresponde a un m´odulo irreducible no c´ıclico pero en el cual todos sus subm´odulos propios son c´ıclicos. El segundo es tambi´en un m´odulo irreducible sin subm´odulos maximales ni minimales. La teor´ıa de m´odulos que desarrollaremos en el presente cuaderno, y que usaremos posteriormente en otros cuadernos de la colecci´on, se har´a por el lado derecho, es decir, salvo que se advierta lo contrario, todo m´odulo ser´a con escalares a derecha. Por supuesto, y como veremos, para m´odulos sobre anillos conmutativos todo m´odulo derecho lo es a izquierda, y vicecersa. Los anillos aqu´ı considerados son asociativos, con unidad, pero no necesariamente conmutativos. Si f   es un homomorfismo de anillos, entonces f (1) = 1. Salvo que se advierta lo contrario, un anillo arbitrario ser´a denotado con la letra A, un anillo conmutativo por R  y un dominio de integridad mediante la letra D. Para n  ≥  1, M n(A) es el anillo de matrices cuadradas de tama˜ no n × n, GLn(A) denota el grupo lineal general de orden  n sobre A. La matriz id´entica de tama˜ no n × n la escribiremos como E n. El autor desea expresar su agradecimiento a Sandra Patricia Barrag´an Moreno, colega y amiga, por la digitalizaci´on del material del presente cuaderno, a Claudia Milena Gallego Joya por la revisi´on juiciosa de todo el contenido. Finalmente, el autor desea expresar su agradecimiento a Fabio Alejandro Calder´on Mateus por la lectura cuidadosa y las correcciones finales introducidas al presente cuaderno. ∞

Oswaldo Lezama Departamento de Matem´aticas Universidad Nacional de Colombia Bogot´ a, Colombia [email protected]

Cap´ıtulo 1 M´ odulos, subm´ odulos y cocientes En este primer cap´ıtulo presentamos la noci´on de m´odulo sobre un anillo, as´ı como una cantidad suficiente de ejemplos. Veremos que los grupos abelianos y los espacios vectoriales son casos particulares de esta estructura algebraica. Se introducen adem´as los conceptos de bim´odulo y ´algebra asociativa sobre un anillo conmutativo.

1.1.

Definici´ on y ejemplos

Definici´ on 1.1.1.   Sean  (M, +)   un grupo abeliano y  (A, +, ·, 1)   un anillo. Se dice  que  M  tiene una estructura de  m´  odulo   a la derecha sobre el anillo A, si se ha  definido un producto entre elementos de  M  y de  A M  × A −→ M  (m, a) −  → m·a para el cual se cumplen las siguientes condiciones:

(i) (m1  + m2 ) · a = m 1 · a + m2 · a (ii) m · (a1  + a2 ) = m · a1  + m · a2 (iii) m · (a1 a2 ) = (m · a1 ) · a2 (iv) m · 1 = m con  m, m1 , m2  ∈  M , a, a1 , a2  ∈  A . odulos a izquierda   sobre el anillo A, de tal De manera similar se definen los  m´  manera que se puede desarrollar toda la teor´ıa de m´odulos trabajando a izquierda. En adelante, si no se advierte lo contrario, la palabra m´odulo denotar´a m´odulo a la derecha. Un m´odulo a la derecha sobre A ser´a denotado por M A, o simplemente

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´ ´ CAP´ITULO 1. MODULOS, SUBMODULOS Y COCIENTES

por M  si es claro el anillo sobre el cual se define la estructura de m´odulo. Tambi´en se dir´a que M   es un A-m´ odulo. Tanto el elemento nulo del grupo (M, +) como el elemento nulo del anillo (A, +, ·, 1) ser´an denotados por 0. Siguiendo la terminolog´ıa usada en espacios vectoriales, los elementos del grupo M   se denominan  vectores y los del anillo A  escalares. ultiplos enteros de elemenEjemplo 1.1.2.  Sea (M, +, 0) un grupo abeliano. Los m´ tos de M  se definen inductivamente: m · 1 := m m · k := m · (k − 1) + m, k  ≥  2 m · 0 := 0 m · (−k) := (−m) · k, k  ∈ Z+

 

m  ∈  M , k  ∈ Z+ ;

es f´acil probar que M   es un Z-m´ odulo. As´ı pues, cada grupo abeliano es un Z-m´odulo.

Ejemplo 1.1.3.   Cada grupo abeliano (M, +) es m´odulo a la izquierda sobre su anillo E nd(M ) de endomorfismos respecto de la siguiente operaci´on: f  · m := f  (m), m  ∈  M , f  ∈  End(M ).

Ejemplo 1.1.4. Si T  es un anillo de divisi´on, entonces cada espacio vectorial sobre T  es un T -m´ odulo a izquierda (para los espacios vectoriales los escalares son dispuestos habitualmente a izquierda). As´ı pues, el a´lgebra lineal puede ser considerada como una rama particular de la teor´ıa de m´ odulos. Ejemplo 1.1.5. Sea A un anillo y sea M n (A) su anillo de matrices cuadradas de orden n. El producto a · F  := a · [f ij ] = [af ij ], da a M n (A) estructura de A-m´ odulo a izquierda. En forma an´aloga se define la estructura de A-m´ odulo por el lado derecho.

Ejemplo 1.1.6. Sea A un anillo, el anillo de sucesiones formales  A [[x]] (v´ease [18]) tiene estructura de  A-m´ odulo: (a0 , a1 , a2 , . . .) · a := (a0 a, a1 a , . . .), a  ∈  A. De igual manera, el anillo de polinomios A [x] es un A-m´odulo: (a0  + a1 x + · · · + an xn) · a := a0 a + a1 ax + · · · + an axn , a  ∈  A. Las estructuras de A-m´odulo por el lado izquierdo se definen en forma similar.

Ejemplo 1.1.7.  Cada anillo A tiene estructuras naturales de A-m´odulo izquierdo y A-m´odulo derecho:

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´ Y EJEMPLOS 1.1. DEFINICION

a · x := ax, x · a := xa, a, x  ∈  A. A presenta diferentes propiedades bajo estas dos estructuras, las denotaremos por A A y  A A , respectivamente.

Ejemplo 1.1.8. Si A es un anillo e I  es un ideal derecho de A, entonces el grupo abeliano cociente A/I  tiene una estructura natural de A-m´ odulo: x · a := xa, x = x + I ,  x, a  ∈  A. La estructura izquierda resulta al considerar un ideal izquierdo. Este ejemplo ser´a generalizado mediante la definici´on 1.3.1.

Ejemplo 1.1.9. Si A  es un anillo, entonces el grupo aditivo del anillo producto An = A × · · · × A, conformado por todos los   vectores columna de longitud  n con entradas en A, es un A-m´ odulo con la operaci´on (a1 , . . . , an)T  · a := (a1 a , . . . , an a)T , a  ∈  A. El conjunto de  vectores fila de longitud  n con entradas en A se denota por A1×n, y tiene estructura natural de A-m´odulo izquierdo dada por a · (a1 , . . . , an) := (aa1 , . . . , a an). En los ejemplos anteriores hemos considerado tanto m´odulos izquierdos como derechos. Es oportuno hacer la siguiente aclaraci´on.

Observaci´ on 1.1.10. Sea A   un anillo, dado un m´odulo izquierdo (derecho) M  sobre A, no siempre se puede convertir a  M  en m´odulo derecho (izquierdo) con s´olo cambiar el lado de la acci´on de los escalares. En efecto, sea V   el grupo abeliano definido por V  := { e, a, b, ab} ,

a2 = b2 = e,

ab = ba

y consideremos las funciones G e a b ab

f 

−→ G −  → e −  → a −  → ab −  → b

G e a b ab

g

−→ G −  → e −  → b −  → a −  → ab

que resultan ser endomorfismos para los cuales se tiene que f  ◦  g =  g ◦  f ; sea un el ejemplo 1.1.3, el producto A = End(V ) su anillo de endomorfismos. Seg´ h · m := h (m), h  ∈  A, m  ∈  V 

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´ ´ CAP´ITULO 1. MODULOS, SUBMODULOS Y COCIENTES

convierte a V  en A-m´odulo izquierdo. Definamos m × h := h · m = h (m), h  ∈  A, m ∈  V . N´otese que a × (f g)   = (a × f ) × g, con lo cual este producto no da a V  una estructura de A-m´odulo derecho. Sin embargo, si R es un anillo conmutativo y M   es un R-m´odulo derecho, entonces el producto r · m := m · r, m  ∈  M , r  ∈  R, convierte a M  en un R-m´ odulo izquierdo: 1 · m = m · 1 = m; (r1  + r2 ) · m = m · (r1  + r2 ) = m · r1  + m · r2  = r 1 · m + r2 · m; (m1  + m2 ) · r = r · (m1  + m2 ) = r · m1  + r · m2  = m1 · r + m2 · r; (r1 · r2 ) · m = m · (r1 · r2 ) = m · (r2 · r1 ) = (m · r2 ) · r1  = (r2 · m) · r1  = r 1 · (r2 · m). En resumen, la teor´ıa abstracta de m´ odulos se puede desarrollar por la izquierda o por la derecha. Sin embargo, un ejemplo particular de A-m´odulo derecho no siempre es un A-m´ odulo izquierdo. De manera inmediata se tienen las siguientes propiedades elementales. odulo. Entonces, Proposici´ on 1.1.11. Sea  A  un anillo y  M  un  A-m´ 

(i)   Para cada  m ∈  M  y  a ∈  A, 0 · a = 0, (−m) · a =  − (m · a) = m · (−a), m · 0 = 0, (−m) · (−a) = m · a. (ii) Si  f  : A

−→ A es un homomorfismo de anillos, entonces el producto m · a := m · f  (a ), a ∈  A  , m ∈  M ,

convierte a  M  en  A -m´  odulo. Demostraci´  on.  La dejamos como ejercicio al lector.

Es posible considerar a ambos lados dos estructuras de m´odulo sobre un mismo grupo abeliano.

Definici´ on 1.1.12.   Sean  A1 , A2   anillos. Se dice que el grupo abeliano M   es un  odulo izquierdo, A2 -m´  odulo derecho, y adem´  as, odulo, si  M  es  A1 -m´  A1 -A2 -bim´ 

´ 1.2. SUBMODULOS

5

(a · m) · b = a · (m · b), a ∈  A1 , b ∈  A 2 , m ∈  M .

Ejemplo 1.1.13.  Todo grupo abeliano M  es un E nd(M )-Z-bim´odulo: f · (m · k) = f  (m · k) = f  (m + · · · + m) = f  (m)+ · · · +f  (m) = f  (m) · k = (f  · m) · k para f  ∈ End(M ), m ∈ M , k ∈ Z+ . Para k   = 0, ´o, (−k) ∈ Z+ , se establece an´alogamente que f  · (m · k) = (f  · m) · k.

Ejemplo 1.1.14.  Cada anillo A es un A-A-bim´odulo. Si R es un anillo conmutativo, cada R-m´ odulo es un R-R-bim´odulo. Ejemplo 1.1.15.  Cada A-m´odulo derecho es un Z-A-bim´odulo. An´alogamente, cada odulo izquierdo es un A-Z-bim´odulo. A-m´ Ejemplo 1.1.16. M n (A) es un A-M n (A)-bim´odulo. Tambi´en, A [[x]] es un A [[x]]odulo. A-bim´ Seg´ un los ejemplos 1.1.2 y 1.1.4, los grupos abelianos y los espacios vectoriales son casos particulares de m´odulos. La teor´ıa de m´odulos es tambi´en generalizaci´on de las llamadas a´lgebras asociativas, como veremos a continuaci´on.

Definici´ on 1.1.17. Sea  R   un anillo conmutativo. Se dice que el anillo A   es una  odulo, y adem´  as, R-´  algebra  si  A  tiene estructura de  R-m´  (ab) · r = a (b · r) = (a · r) b, para cada  a, b  ∈  A y  r  ∈  R .

Ejemplo 1.1.18. Sea R un anillo conmutativo. Entonces, M n (R), R [[x]], R [x] son R-´algebras. Todo anillo A es una Z-´algebra. Si K  es un cuerpo y V   es un K -espacio vectorial, entonces el anillo de transformaciones lineales de V , EndK  (V ), es una K ´algebra. Este u ´ ltimo es un caso particular de la proposici´on 4.1.1 (iv) que veremos m´as adelante.

1.2.

Subm´ odulos

odulo y  N  un subconjunto no vac´ıo de  M . Se dice  Definici´ on 1.2.1. Sea  M  un  A -m´  que  N   es un  A -subm´  odulo de  M , si  N   es un  odulo de  M  o, simplemente, un subm´  subgrupo del grupo (M, +), y adem´  as 

n · a ∈  N , para cada  n  ∈  N   y cada  a  ∈  A . Se escribe  N  ≤ M . Los   subm´  odulos triviales de  M  son  0 = {0} y  M . Un  subm´  odulo de  M  que no coincide con ´ el se dice   propio. El m´  odulo M  =  0  se dice  ´  subm´  odulos son los triviales. Un subm´  odulo N  = simple   si sus unicos  M   se dice  maximal  en  M , si 

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´ ´ CAP´ITULO 1. MODULOS, SUBMODULOS Y COCIENTES

´  N  = M , N  ⊆  N  ⇔  N  = N , o, para cada subm´  odulo N  de  M . Un subm´  odulo N  =  0  se dice   minimal  en  M , si  ´  N  = 0 , N  ⊆  N  ⇔  N  = N , o, para cada subm´  odulo N  de  M .

Observaci´ on 1.2.2.  En la colecci´on de subm´odulos de un m´odulo M  la relaci´on  ser  odulos subm´  odulo es reflexiva, antisim´etrica y transitiva. Adem´as, si N  y N  son subm´ de M , se tiene que N  ⊆  N  ⇐⇒  N  ≤  N  .

Ejemplo 1.2.3. Sea M  un A-m´o dulo y m  ∈  M . El conjunto

{m :=  {m · a | a  ∈  A }  = m · A, es un subm´odulo de M   llamado   subm´  odulo c´ ıclico   generado por m. Diremos adem´as que M   es c´ıclico, si existe m ∈ M   tal que {m = M . Para m´odulos a izquierda usaremos la notaci´on   m}. Considerando A   como A-m´ odulo derecho, entonces sus subm´ odulos son precisamente sus ideales derechos; los ideales izquierdos corresponden a la estructura izquierda (v´ease el ejemplo  1.1.7).

Ejemplo 1.2.4.  Los subm´odulos de un grupo abeliano son sus subgrupos. As´ı pues, los subm´ odulos de Z son de la forma n, n  ≥  0, es decir, coinciden con sus subgrupos y con sus ideales. Adem´as,

 p  es maximal ⇔ p es primo. Z  no tiene subm´odulos minimales: 2n  n, n =  0. Aprovechamos este ejemplo para hacer la siguiente observaci´on: todo anillo A puede ser considerado como grupo abeliano, como A-m´ odulo o como anillo, seg´ un convenga. Ejemplo 1.2.5. Si K   es un cuerpo y V  un K -espacio vectorial, los subm´odulos de V   son sus subespacios. Si V   es de dimensi´on finita n, entonces sus subm´odulos maximales son los subespacios de dimensi´ on n − 1, y los minimales los de dimensi´on 1. Si V   es de dimensi´on infinita con base X , entonces para cada x  ∈  X , sea Y x := X  − {x}. N´otese que Y x    es maximal. Los subespacios minimales son como en el caso finito. Ejemplo 1.2.6.  En el ejemplo 1.1.6, A [x] es un A-subm´odulo de A [[x]].

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´ 1.2. SUBMODULOS

Ejemplo 1.2.7.  Sean T  un anillo de divisi´on y M n (T ), n  ≥  2, el anillo de matrices de orden n  sobre T . Se conoce que M n (T ) es un anillo simple (v´ease [18]), es decir, M n (T ) posee s´olo dos ideales bil´ateros; sin embargo, M n (T ) como m´odulo sobre T  no es simple. En efecto, veamos que si = r }, M r := { A = [aij ]  ∈  M n (T )  | aij  = 0, para i   es decir, M r = entonces:



0 T  · · · T  0



 (fila r-´esima),

(i) M r  es un T -subm´ odulo no minimal de M n (T ). (ii) M r  es un ideal minimal derecho de M n (T ). Veamos la demostraci´on. (i) Claramente M r  es un T -subm´ odulo de M n (T ). Sea ahora M 1r  el conjunto de matrices A = [aij ]  ∈  M n (T ) tales que aij  = 0 para i   =  r, ´o, j =  1, es decir, M 1r  =



0 T  0 · · · 0 0



.

Es claro que 0  M 1r  M r  (ya que n  ≥  2), luego M r  no es minimal en M n (T ). (ii) Dados A = [aij ] ∈ M r y B = [bij ] ∈ M n (T ), sea C  = AB = [cij ], donde



=  r, aik  = 0, con lo cual cij  = 0, de donde C  ∈  M r , y por cij = nk=1 aik bkj . Para i   lo tanto, M r  es un ideal derecho de  M n (T ). Sea ahora I  un ideal derecho no nulo de M n (T ) incluido en M r . Si A = [aij ]   =0 es un elemento de I , entonces arq = un q , 1 ≤ q  ≤ n, y para cada j se  0 para alg´ tiene que AE qj = (



n k =1

E rk  · ark ) E qj = E rj  · arq ∈  I ,

donde E ij   es la matriz cuya ´unica entrada no nula es 1 y est´a en la intersecci´on de la fila i con la columna j, 1 ≤ i, j ≤ n, v´ease [18]. Si B = [bij ] es un elemento cualquiera de M r , entonces





1 (E rj  · arq ) E  jj  · a− rq  b rj  = E rj  · brj ∈  I ,

para cada 1  ≤  j ≤  n, de donde B ∈  I . Por lo tanto M r = I  y M r  es minimal derecho en M n (T ).

8

´ ´ CAP´ITULO 1. MODULOS, SUBMODULOS Y COCIENTES

odulo. Entonces, Proposici´ on 1.2.8. Sea  M  un  A-m´ 

(i) M   es simple  ⇔ M  =  0   y para cada elemento no nulo m ∈ M   se cumple  M  =  { m. (ii) Sea  N   un subm´  odulo no nulo de  M , N   es minimal en  M  ⇔ N   es simple. (i) ⇒): Por definici´on M  =  0. Sea m =  0 en M , entonces 0 =  {m ≤ M , con lo cual M  = {m.

Demostraci´  on.

=  N  ≤  M ; existe entonces n   = 0 en N , y por la hip´otesis, { n = M , ⇐): Sea 0   de aqu´ı M  = N . (ii) Evidente.

1.3.

M´ odulo cociente

Dados un m´odulo M   y un subm´odulo N , construimos el grupo cociente M/N  al cual le damos estructura de A-m´ odulo como sigue: m · a := m · a, m = m + N, a  ∈  A.

 

(1.3.1)

La verificaci´on de los axiomas que definen la estructura de m´odulo es sencilla. odulo definido por el producto  ( 1.3.1)  se denomina  m´  Definici´ on 1.3.1.  El m´  odulo cociente de  M  por  N , y se denota por  M/N .

Ejemplo 1.3.2. Si M  = Z  y  N  =  n, entonces M/N  = Z/ n = Zn, n  ≥  0. N´otese que Zn  puede ser considerado como anillo cociente, grupo cociente o m´odulo cociente. Dados un m´ odulo M   sobre un anillo A y un ideal bil´atero propio I  de A, es interesante saber bajo qu´e condici´on se puede definir sobre el grupo M  una   estructura  natural  de A/I -m´ odulo. odulo sobre el anillo  A e  I  un ideal bil´  atero propio Proposici´ on 1.3.3. Sea  M  un m´  de  A, la multiplicaci´  on 

m · a := m · a, a = a + I  ∈  A/I, m  ∈  M 

 

define una estructura de  A/I -m´  odulo sobre  M   si, y s´  olo si, el conjunto

(1.3.2)

9

´ 1.3. MODULO COCIENTE

M  · I  :=  { es nulo.



n i=1

mi · ai | mi  ∈  M, ai ∈  I , n  ≥  1 }

Demostraci´  on. N´ otese en primer lugar que  M  · I   es un subm´odulo de M .





⇒): Si x = ni=1 mi  ·  ai ∈ M  · I , entonces, seg´un (1.3.2), x = ni=1 mi  ·  ai = n i=1 mi · 0 = 0, ya que  a i  ∈  I , 1  ≤  i  ≤  n. ⇐): El producto en (1.3.2) est´a bien definido: sea a = a 0 con a, a0 ∈A, entonces a − a0 ∈  I , y as´ı m · (a − a0 )  ∈  M  · I , es decir, m · (a − a0 ) = 0 para cada m  ∈  M . Resulta, m · a = m · a0 , es decir, m · a = m · a0 . Las propiedades que definen sobre M   una estructura de A/I -m´odulo se verifican inmediatamente. Como observaci´on final notemos que la condici´on M  ·  I   = 0 es equivalente a m · a = 0 para cada cada m  ∈  M  y cada a  ∈  I .



Ejemplo 1.3.4. Si n ≥  2, no existe ninguna estructura de Zn-m´odulo para Z: en efecto, si existiera una tal estructura, entonces necesariamente m · 1 = m = m · 1, para cada m ∈ Z. De aqu´ı obtendr´ıamos entonces que m  ·  k = m  ·  k, para cada un la proposici´on anterior este producto define una estructura de k ∈ Zn . Pero seg´ Zn-m´odulo para  Z  si, y s´olo si,  Z · n  = 0, lo cual evidentemente no es cierto.

Ejemplo 1.3.5.   Sean n, m  ≥  2, Zm es Zn-m´odulo si, y s´olo si, m | n. Al igual que en el ejemplo anterior, si existe una estructura de Zn-m´odulo sobre Zm , entonces necesariamente x · k = x · k, para cada k  ∈ Zn  y cada x  ∈ Zm . Seg´ un la proposici´on 1.3.3 esto ocurre si, y s´olo si, Zm · n  = 0, es decir, si, y s´olo si, 1 · n = n = 0, lo cual es equivalente a m | n. Esta u ´ ltima condici´on garantiza junto con (1.3.1) y (1.3.2), que  Z m  es un Zn -m´ odulo. Ejemplo 1.3.6.   Dados un grupo abeliano M  y un anillo A, es posible definir, en algunos casos, dos estructuras diferentes de A-m´ odulo sobre M . Por ejemplo, si R es un anillo conmutativo de caracter´ıstica 2 (v´ease [18]) y M  es un R-m´ odulo con el producto m · r, entonces el producto definido por m × r := m · r2 , m  ∈  M , r  ∈  R da a M  otra estructura de R-m´ odulo. En efecto, m × (r1  + r2 ) = m · (r1  + r2 )2 = m·(r12 + 2r1 r2  + r22 ) = m ·r12 +m·r22 = m ×r1 +m×r2 ; (m1  + m2 )×r = (m1  + m2 )·r2 = m1  · r 2 + m2  · r2 = m1  × r + m2  × r; m × (r1 · r2 ) = m · (r1 · r2 )2 = m · (r12 r22 ) = (m · r12 ) · r22 = (m × r1 ) × r2 ; m × 1 = m. Si M  = Z2 [x] = R es el anillo de polinomios sobre  Z 2 y p(x)q (x) es el producto corriente de polinomios, entonces (1 + x) × (1 + x) = (1 + x) (1 + x)2 = (1 + x) (1 + x2 ) = 1 + x2 + x + x3 ; (1 + x) (1 + x) = 1 + x2 , es decir, resultan dos estructuras diferentes sobre el mismo anillo.

10

´ ´ CAP´ITULO 1. MODULOS, SUBMODULOS Y COCIENTES

1.4.

Ejercicios

1. Demuestre la proposici´ on 1.1.11. 2. Demuestre que (1.3.1) define una estructura de m´odulo sobre M /N . 3. En la proposici´ on 1.3.3, demuestre que M  · I  es un subm´odulo de M . 4. Sean A  un anillo cualquiera, n, m ≥ 1 y M m×n (A) el conjunto de matrices de m filas y n columnas con entradas en A. Demuestre que M m×n (A) es un M m (A)-M n (A)-bim´odulo. 5. Defina sobre Z4 [x] tres estructuras diferentes de m´odulo. 6. Demuestre que Z  no posee ninguna estructura de espacio vectorial sobre  Q . 7. Sean A un anillo y F   una matriz rectangular de tama˜ no m ×n con componentes en A. Demuestre que la colecci´on de vectores X  ∈  An tales que F X   = 0 es un subm´odulo de An . 8. Ilustre con un ejemplo que la uni´ on de dos subm´odulos de un m´odulo no es siempre un subm´odulo. f 

9. Sea A − → B  un homomorfismo de anillos. Demuestre que B   tiene estructura natural de A − A-bim´ odulo. 10. Considere el conjunto A  de matrices cuadradas de la forma

 

Q R . 0 R

Demuestre que A  es una  Q -´algebra. 11. Sean A, B  anillos y M  un A-B-bim´ odulo. Demuestre que

  A M  0 B

tiene una estructura natural de anillo.

Cap´ıtulo 2 M´ odulos finitamente generados En la teor´ıa general de m´odulos un lugar muy importante lo ocupan los m´ odulos que se pueden generar con un n´umero finito de elementos. Veremos en el ´ultimo cap´ıtulo del presente cuaderno que para tales m´odulos sobre dominios de ideales principales se pueden generalizar algunos resultados de la teor´ıa de grupos abelianos.

2.1.

Operaciones con subm´ odulos

Algunas de las operaciones definidas para los ideales de un anillo pueden formularse tambi´en para subm´odulos (v´ease [18]). As´ı por ejemplo, si es  { M i }i∈C  una colecci´on on  i∈C M i  de dicha colecno vac´ıa de subm´odulos de un m´odulo M , la  intersecci´  ci´on es claramente un subm´odulo de M  y es, desde luego, el subm´odulo m´ as grande de M  contenido simult´aneamente en cada M i, i  ∈ C . Para definir la suma necesitamos considerar primero la generaci´on de subm´odulos por subconjuntos. Sea S  un subconjunto del A-m´ odulo M , denotamos por {S  la intersecci´on de todos los subm´ odulos de M  que contienen a S , es decir,



{S   =



S ⊆N ≤M  N .

Evidentemente, {S    es el menor subm´odulo de M   que contiene a S . N´otese que, odulo generado por S ; si adem´ as {S   = M  {∅  = 0. Decimos que  { S   es el  subm´  se dir´a que S  es un   sistema de generadores  para M . Si A = R es un anillo conmutativo escribiremos S . Decimos que M  es un  m´  odulo finitamente generado si existe un subconjunto finito S  en M  tal que

{S   = M . odulo y  ∅ =   S  ⊆  M . Entonces  Proposici´ on 2.1.1. Sea  M  un  A-m´ 





n

{S   =

si · ai  | si  ∈  S , ai  ∈  A , n  ≥  1 .

i=1

11

 

(2.1.1)

12

´ CAP´ITULO 2. MODULOS FINITAMENTE GENERADOS

Demostraci´  on.  La prueba es an´aloga a la de ideales y dejamos los detalles al lector

(v´ease [18]). Si S  =  { s1 , . . . , sk }  es un conjunto finito, entonces

{S   =



k i=1



si · ai  |  a i  ∈  A, 1  ≤  i  ≤  k ,

en particular, si S  =  { s}  es unitario,  { S   es el subm´odulo c´ıclico generado por s, es decir,  { s = s · A.

Ejemplo 2.1.2.  Para cada n  ≥  0, Zn  es un subm´odulo c´ıclico,

Z0  = Z =  1, Z1  = 0 =   0, .. . Zn  =   1, n ≥  2. En general, sea N  ≤  M  y S  un sistema de generadores de  M . Entonces, S  := { s + N  | s  ∈  S } es un sistema de generadores de  M /N .

Ejemplo 2.1.3. AA y  A A  son c´ıclicos. Ejemplo 2.1.4. M n (A) es finitamente generado:

{E ij | 1 ≤  i, j ≤  n  = M n (A), n  ≥  1. Ejemplo 2.1.5. Sea An [x], n ≥   0, el conjunto de polinomios de grado menor o igual que n con coeficientes en A. Este conjunto es claramente un A-subm´odulo de A [x], y es finitamente generado:

{1, x , x2 , . . . , xn  = A n [x].



A su vez, el conjunto xk

∞ k=0

 es un sistema de generadores para  A [x].

Ejemplo 2.1.6. Sea A n = A × . . . × A el m´odulo del ejemplo 1.1.9, si ei  := (0, . . . , 1, . . . , 0)T , 1  ≤  i  ≤  n, entonces  { e1 , . . . , en   = A n. Sea {M i }i∈C  una colecci´on no vac´ıa de subm´odulos de un m´odulo, se denomina odulo generado por el suma  de la familia dada, y se denota por i∈C  M i , al subm´ conjunto i∈C M i . Seg´ un la proposici´on 2.1.1,





13

´ 2.2. SUBMODULOS MAXIMALES



i∈C  M i  es



i∈C M i  =



n  j =1

m j |  m j ∈



i∈C M i , n



 ≥  1 .

claramente el subm´odulo m´ as peque˜ no de M   que contiene simult´aneamente a cada M i, i  ∈ C . Si la familia es vac´ıa, es decir, I  =  ∅ , entonces i∈∅ M i  = 0. Para una familia finita se tiene M 1  + · · · + M n  =



n  j =1

m j |  m j ∈  M  j , 1  ≤  j ≤  n .

La igualdad (2.1.1) ahora puede escribirse en la forma

{S  =







s∈S  s

· A.

Es de gran utilidad la siguiente relaci´on entre las operaciones de suma e intersecci´on. odulo y sean   N , P, L Proposici´ on 2.1.7 (Ley de modularidad). Sea  M   un m´  subm´  odulos de  M   tales que  P  ≤  L . Entonces,

(N  + P ) ∩ L = (N  ∩ L) + P . Demostraci´  on. Sea x ∈ (N  + P ) ∩  L, entonces x = n + p, n ∈ N , p ∈ P . Como

P  ≤  L y  x  ∈  L  entonces n = x − p  ∈  L, es decir, x  ∈  (N  ∩ L) + P . Rec´ıprocamente, si x = n + p  ∈  (N  ∩ L) + P , entonces x  ∈  (N  + P ) ∩ L, ya que n, p  ∈  L.

2.2.

Subm´ odulos maximales

odulo propio del  A-m´  odulo M . Entonces, Proposici´ on 2.2.1. Sea  N   un subm´ 

N   es maximal  ⇔  M  = N  + m · A, para cada  m ∈  M  − N . Demostraci´  on. ⇒): Evidente a partir de la maximalidad de N .

⇐): Sea N   N  ≤  M  y sea m  ∈  N  − N . Entonces M  = N  + m· A  ≤  N  , con lo cual N  = M  y as´ı N   es maximal. Ejemplo 2.2.2.  En el ejemplo 1.2.5 vimos que todo espacio vectorial finito dimensional posee subespacios maximales y minimales. El presente ejemplo muestra que esto no es en general cierto para m´odulos sobre anillos arbitrarios. Consideremos el Z-m´odulo Q; este m´odulo no posee subm´ odulos minimales: en efecto, para cada racional no nulo r   se tiene que r · 2  r . De otra parte, el m´odulo Q  tiene una propiedad bastante particular de la cual se desprende la carencia de subm´odulos maximales:   de cualquier sistema de generadores de  QZ   se puede suprimir un  elemento y el nuevo sistema tambi´ en genera a  Q. En efecto, sea S  un sistema de generadores para QZ  y sea a ∈ S . Consideremos el conjunto S 0 := S  − {a}. Si se prueba que a  ∈ S 0 , entonces queda demostrado que S   =  S 0   = QZ . Puesto que S   = QZ , entonces

14

´ CAP´ITULO 2. MODULOS FINITAMENTE GENERADOS

a

2

= a · k0  +

Resulta



n i=1

ai · ki , con ai  ∈  S 0 , k 0 , k i  ∈ Z, 1  ≤  i  ≤  n.

 

a = a · (2k0 ) + ni=1 ai · (2ki ) a · (1 − 2k0 ) = ni=1 ai · (2ki ) a · m = ni=1 ai · (2ki ), donde m := 1 − 2k0   = 0 es entero. Consideremos ahora el racional

  

a : m

= a · k0  + ti=1 bi · ki con bi  ∈  S 0 , ki ∈ Z, 1  ≤  i  ≤  t, a = a · mk0  + ti=1 bi · mki = ni=1 ai · 2k0 ki + ti=1 bi · mki , con a i ,bi  ∈  S 0 ,

a m















con lo cual a  ∈ S 0 . De esta propiedad se desprende que QZ  no es finitamente generado. Probemos por u ´ ltimo la no existencia de subm´odulos maximales: si N  =  Q   un subm´odulo maximal de QZ   entonces existe x ∈ Q −  N   tal que N  +   x = Q, lo cual indica que N  ∪ {x}  es un sistema de generadores para QZ . Por la propiedad demostrada se obtiene que N   =  Q  =  N , lo cual es una contradicci´on. Por lo tanto, QZ  no tiene subm´odulos maximales. Es conocido que todo anillo tiene ideales bil´ ateros maximales (v´ease [18] ). Dicha prueba es v´alida para ideales izquierdos o derechos, como se muestra en la siguiente generalizaci´ on. odulo no nulo finitamente generado tiene un subm´  odulo Teorema 2.2.3.   Cada m´  maximal. Demostraci´  on. Sea M  no nulo y  { m1 , . . . , mk }  un conjunto de generadores para  M .

Sea

P  :=  {N  ≤  M  |  N  =   M }. P  es no vac´ıo (0  ∈ P ) y parcialmente ordenado por la inclusi´on. Sea T   un subcon junto totalmente ordenado de  P  y sea N 1  :=



N ∈T  N .

N 1  es un subm´odulo de M  y es una cota superior de P . Adem´as N 1 ∈ P  ya que si suponemos N 1  = M  =  { m1 , . . . , mk , entonces para cada m i , 1  ≤  i  ≤  k se encuentra N i ∈  T  con mi ∈  N i ; como T   es totalmente ordenado existe i0 , 1  ≤  i 0 ≤  k, tal que N i  ≤  N i0  para cada 1 ≤  i  ≤  k, pero entonces M  = N i0 ∈  T , lo cual es contradictorio. Por el lema de Zorn, P  tiene elemento maximal N 0 , el cual obviamente es subm´odulo maximal de M .

2.3. EJEMPLOS

15

Corolario 2.2.4.  Todo anillo posee ideales maximales derechos e ideales maximales  izquierdos. Demostraci´  on.  Consecuencia directa del teorema anterior. odulo de  M   tal que  N  y  M/N   son finitamente  Proposici´ on 2.2.5. Sea  N   un subm´  generados. Entonces  M   es finitamente generado. Demostraci´  on. Si {m1 , . . . , mk }, mi ∈ M , 1 ≤ i ≤ k, es un sistema de generado-

res de M/N , y {n1 , . . . , nt }   es un conjunto generador de N , entonces el conjunto {n1 , . . . , nt , m1 , . . . , mk }  genera a M .

Ejemplo 2.2.6.   De la proposici´on anterior se obtiene que el cociente Q/Z  no es finitamente generado.

2.3.

Ejemplos

Ejemplo 2.3.1.  Los subm´odulos de un m´odulo finitamente generado no son necesariamente finitamente generados: sea A  un anillo cualquiera y B  := A N el anillo de sucesiones en A. B B  es finitamente generado (v´ease el ejemplo  2.1.3). Sea I  := { f  ∈  B | f  (k) = 0 para casi todo k  ∈ N}, n´otese que I   es un subm´odulo de B   (en realidad I   es un ideal bil´atero de B). Sup´ongase que I  es finitamente generado, es decir, existen {f 1 , . . . , fn  } en I   tales que  { f 1 , . . . , fn    = I . Sea = 0 }, 1  ≤  i  ≤  n; X i  :=  { k  ∈ N |  f i (k)  por definici´ on cada X i  es finito. Entonces X  := X 1 ∪ . . . ∪ X n es finito. Sea m  ∈ N − X   y sea f  (k) :=



1, k = m. 0, k   =  m.

f  entonces est´a en I  y existen g 1 , . . . , gn  ∈  B  tales que f  = f 1 · g1  + · · · + f n · gn. Resulta pues una contradicci´on: 1 = f  (m) = f 1 (m) · g1 (m) + · · · + f n (m) · gn (m) = 0. En consecuencia, I  no es finitamente generado.

16

´ CAP´ITULO 2. MODULOS FINITAMENTE GENERADOS

Mostramos ahora un m´odulo que no es finitamente generado, pero con todos sus subm´odulos propios c´ıclicos.

Ejemplo 2.3.2. Sea R un dominio de ideales principales y sea K  := Q(R) su cuerpo de fracciones (v´ease [18]). Sea p  un elemento irreducible de R y





 a |  a  ∈  R, k  ≥  0 . K  p  :=  pk Claramente K  p  es un R-subm´odulo de K   que contiene a R. N´otese que K  p  es la reuni´on de la cadena infinita de subm´odulos c´ıclicos: 1  1 R      2  ...,  p  p

∞

K p  =



 1  k .  p k=0

 

(2.3.1)

 1 1  1 1 Adem´as, para cada k ≥  0,  k   es maximal en  k+1 : en efecto,  k  =    k+1   ya  p  p  p  p 1 1 que en caso contrario encontrar´ıamos un a  ∈  R  tal que k+1 = k · a, obteni´endose  p  p  1 a la contradicci´on p |  1. Sea k+1 ∈ /  k , entonces el maximo com´un divisor de a  y  p  p  p es 1 y existen  r, s  ∈  R  tales que 1 = ar + ps. Para completar la prueba de la maximalidad aplicaremos la proposici´on 2.2.1. Sea 1 b ∈  k+1 . Tenemos que b = arb + psb, de donde +1 k  p  p  1 b arb sb a = + + ∈    ,  pk+1  pk+1  pk  pk+1  pk es decir, 1  1 a  k+1   =   k+1  +  k .  p  p  p Denotemos por R p := K  p /R; (2.3.1) induce la siguiente cadena de subm´odulos c´ıclicos de  R p , ∞ 1  1  1 0      2   . . . , R p =   (2.3.2)  k .  p  p  p k=0 ∞

∞

∞



 1 1 Como antes, es posible probrar que para cada k  ≥  0,   k   es maximal en   k+1 . Se  p  p tiene entonces que R p  no es finitamente generado. Mostraremos por ´ultimo que los subm´odulos propios de R p  son los de la cadena (2.3.2): sea 0 =   N    R p , existe 1 entonces m ≥   1 tal que m ∈ on, es / N ; sea m  el m´ınimo que cumple tal condici´  p decir, ∞

∞

∞

17

2.4. EJERCICIOS

1  pm−1

∈  N ,

1 ∈ /  N .  pm

Resulta entonces 1  m−1  ≤ N .  p Veamos que en esta relaci´on se da la igualdad: sup´ongase contrariamente que existe 1 a en N  que no est´ a en   , entonces r  ≥  m y podemos suponer sin p´erdida de  pr  pm−1 generalidad que el m´aximo com´ un divisor de a y pr es 1. De aqu´ı existen l, t ∈ R tales que 1 = p r l + at. Tenemos pues que 1 1  at at = l +  , es decir, = ,  pr  pr  pr  pr 1  1 ∈   ⊆ N .  pm  pr Si tomamos en particular R  = Z  obtenemos

y se obtiene la contradicci´on

1  1 0      2  ...,  p  p

∞

Z p = ∞



 1  k ,  p k=0

 

(2.3.3)

Z p  es pues un grupo no c´ıclico donde todos sus grupos propios son c´ıclicos. ∞

2.4.

Ejercicios

1. Demuestre la proposici´ on 2.1.1. 2. Complete los detalles de la demostraci´on de la proposici´on 2.2.5. 3. Pruebe que la suma finita de subm´ odulos finitamente generados en un subm´odulo finitamente generado. 4. Sea M  un A-m´ odulo derecho y ∅ =   X  ⊆  M . Se denomina  anulador  de X  al subconjunto Ann (X ) :=  { a  ∈  A  |  x · a = 0 para cada x  ∈  X }. Pruebe que: (i) Ann (X ) es un ideal derecho de  A. (ii) Si X  es un subm´odulo de M ,  Ann (X ) es un ideal bil´atero.

18

´ CAP´ITULO 2. MODULOS FINITAMENTE GENERADOS

(iii) Ann (M ) =



m∈M  Ann (m).

(iv) Si N , P  ≤  M   entonces Ann (N  + P ) = Ann (N ) ∩ Ann (P ). (v) M   tiene estructura de A/Ann (M )-m´odulo. 5. Se dice que un A-m´odulo M  es   exacto   con respecto a A si Ann (M ) = 0. Pruebe que si M   es un A-m´ odulo, entonces M   es exacto con respecto a A/Ann (M ). 6. Demuestre que   A/Ann (M ) es isomorfo a un subanillo de End Z (M )op (si M   es un A-m´odulo a izquierda se tiene el isomorfismo con un subanillo de End Z (M )). 7. Sean N , P  ≤  M . Se denomina   cociente de N  por P   al subconjunto (N  : P ) :=  { a  ∈  A  |  P  · a  ⊆  N }. Pruebe que (N  : P ) es un ideal bil´atero de A. Tambi´en pruebe que (0 : M ) = Ann (M ) y (N  : P ) = Ann ((N  + P ) /N ). 8. Sea R un anillo conmutativo  local , es decir, R tiene un ´unico ideal maximal J . Sea M R  un m´odulo finitamente generado tal que M J  = M . Demuestre que M  = 0. 9. Sea R un anillo conmutativo local con ideal maximal J . Sea M R   un m´odulo finitamente generado y sea N  un subm´odulo de M . Demuestre que M J + N  = M  si, y s´olo si, N  = M . 10. Sean R, J  y M  como en el ejercicio anterior. Demuestre que si  { x1 , . . . , xn }  es un sistema minimal de generadores de M , entonces  { x1 , . . . , xn}  es un sistema minimal de generadores del R/J -m´odulo M/MJ .

Cap´ıtulo 3 Homomorfismos Al igual que en anillos, es posible definir funciones entre m´odulos que sean compatibles con las operaciones, dando de esta manera origen a los homomorfismos de m´odulos. Debido a la gran analog´ıa que guarda este tema con el correspondiente de anillos (v´ease [18]), omitiremos algunas pruebas, las cuales quedan a cargo del lector.

3.1.

Definici´ on y propiedades b´ asicas

odulos. Una funci´  on  f  : M  −→ N  se  Definici´ on 3.1.1.   Sean  M  y  N A-m´  dice que es un  A-homomorfismo, o tambi´en un   homomorfismo de m´  odulos, si:

(i) f  (m + m ) = f  (m) + f  (m ) (ii) f  (m · a) = f  (m) · a para cualesquiera elementos  m, m ∈  M  y  a  ∈  A.

Los conceptos de n´  ucleo, imagen ,   homomorfismo inyectivo, homomor fismo sobreyectivo, isomorfismo y endomorfismo   de m´ odulos, se definen como en el caso de anillos (v´ease [18]). Notemos en particular que ker(f ) :=  { m ∈ M |f (m) = 0}  es un subm´odulo de M  e I m(f ) :=  { f (m)|m  ∈  M }  es un subm´odulo entico es i M  : M  →  M , m  →  m y el  homomorfisde N . El   homomorfismo id´ mo nulo  se define por 0 : M  →  N , m  →  0. Si f  es un homomorfismo sobreyectivo, entonces se dice que  N  es una   imagen homomorfa  de M . Si M  es un subm´odulo de M , entonces el   homomorfismo can´  onico j : M  −→ M/M  se define por  j(m) := m, para cada m  ∈  M . Los cocientes coker (f ) := N/Im (f ) y coim (f ) := M/ ker(f ) ucleo y  coimagen  de f , respectivamente. se denominan  con´ 

19

20

CAP´ITULO 3. HOMOMORFISMOS

odulos. Proposici´ on 3.1.2. Sea  f  : M  −→ N  un homomorfismo de m´ 

(i) Si  M  ≤  M   entonces  f  (M  ) ≤  N . Adem´  as, f −1 (f  (M  )) = M  + ker (f ). (ii) Si  N  ≤ N , entonces   ker(f ) ≤ f −1 (N  ) ≤ M . Adem´  as, f  (f −1 (N  )) = N  ∩ Im (f ). (iii) Si   ker (f )  ≤  M  ≤  M , entonces  f −1 (f  (M  )) = M  . Si  N  ≤  I m(f ), entonces  f (f −1 (N  )) = N  . (iv) Si  f   es sobreyectivo y  N  ≤  N  es maximal, entonces  f −1 (N  )   es maximal en  M . (v) Sea  f  es sobreyectivo y   ker(f )  ≤  M  . Si  M  es maximal en  M , entonces  f  (M  ) es maximal en  N . Demostraci´  on.  Dejamos al lector las pruebas de las partes (i)-(iii) .

(iv) Sea f −1 (N  )  ≤  M  ≤  M . Entonces, teniendo en cuenta la sobreyectividad de f  y (iii), se tiene que f  (f −1 (N  )) =  N  ≤  f  (M  ) ≤  f  (M ) = N . Por la maximalidad de N  , f  (M  ) = N , o, f  (M  ) = N  . Seg´ un (iii), f −1 (f  (M  )) =  M  = f −1 (N ) = M , o, M  = f −1 (N  ). (v) Sea f  (M  ) ≤  N  ≤  N . Seg´ un (iii), f −1 (f  (M  )) = M  ≤  f −1 (N  ) ≤ f −1 (N ) = M . Por la sobreyectividad de f  y la maximalidad de M  , f  (f −1 (N  )) = N  = f (M ) = N , o, N  = f (M  ).

on de homomorfismos inyectivos  (sobreyectivos ) Proposici´ on 3.1.3.   La composici´  es un homomorfismo inyectivo (sobreyectivo). Si  f , g  son homomorfismos tales que  f g  existe y es inyectivo (sobreyectivo), entonces  g   es inyectivo (f  es sobreyectivo). Demostraci´  on.   Ejercicio para el lector. g

f  h Proposici´ on 3.1.4. M  −→ N  , N  −→ P  y  M  −→ P    homomorfismos tales que  h = gf . Entonces,

3.2. TEOREMAS DE HOMOMORFISMO E ISOMORFISMO

21

(i) ker(h) = f −1 (ker (g)), Im (h) = g (Im (f )). (ii) Im (f ) + ker (g) = g −1 (Im (h)). Si  h  es sobreyectivo, Im (f ) + ker (g) = N . (iii) Im (f ) ∩ ker(g) = f  (ker (h)). Si  h  es inyectivo, Im (f ) ∩ ker (g) = 0 . Demostraci´  on.  Las pruebas son consecuencia directa de las definiciones y por tanto

quedan a cargo del lector. Una u ´ ltima afirmaci´on sobre el comportamiento de sumas e intersecciones a trav´es de homomorfismos. La prueba queda a cargo del lector.

Proposici´ on 3.1.5. Sea  f  : M  −→ N  un homomorfismo y sean  {M i }i∈C , odulos en  M  y  N , respectivamente. Entonces  {N  j } j ∈D familias de subm´ 

   

(i) f  (ii) f 

  

i∈C M i  =

i∈C  f  (M i ).

≤

i∈C f  (M i ).

i∈C  M i

Si   ker(f ) ⊆ M i   para cada  i ∈ C , entonces se 

verifica la igualdad.

(iii)

−1

 j ∈D f 

−1

(N  j )  ≤  f 

   j  j ∈D N 

. Si  N  j ⊆  I m (f )  para cada  j ∈ D, entonces 

se verifica la igualdad. −1

(iv) f 

3.2.

 j  j ∈D N 

  =

−1  j ∈D f 

(N  j ).

Teoremas de homomorfismo e isomorfismo

Los teoremas de homomorfismo, correspondencia e isomorfismo para m´odulos se enuncian y demuestran en forma completamente an´aloga a como se hace en anillos (v´ease [18]). odulo y  M  una  Teorema 3.2.1 (Teorema de homomorfismo). Sea  M   un m´  ∼ imagen homomorfa de  M . Entonces, existe un subm´  odulo N  de  M   tal que  M/N  = M  . Rec´ıprocamente, cada cociente de  M   es una imagen homomorfa de  M .

Teorema 3.2.2 (Teorema de correspondencia). Sea  M   un m´  odulo y  N  un  subm´  odulo de  M . Sea  I  la colecci´  on de subm´  odulos de  M  que contienen a  N , e  I 0 la  colecci´  on de los subm´  odulos de  M/N . Existe entonces una correspondencia biyectiva  entre  I  e  I 0   definida por 



 j :   I −→ I0   → j (K ) K  − donde  j (K )   es la imagen del subm´  odulo K   mediante el homomorfismo can´  onico  j : M  −→  M/N . Es decir,

22

CAP´ITULO 3. HOMOMORFISMOS





 j (K ) = k  ∈  M/N  |  k  ∈  K   := K/N . Adem´  as, para  K 1 , K 2  ∈ I   se tiene 

K 1 ≤  K 2  ⇔  j (K 1 )  ≤  j (K 2 ). odulo y  L , K   subm´  oTeorema 3.2.3 (Teoremas de isomorfismo). Sea  M   un m´  dulos de  M . Entonces,

(i) Si  K  ⊆  L   entonces, (M/K ) / (L/K )  ∼ =  M/L.

∼ (ii) (L + K ) /K  = L/ (L ∩ K ). Los teoremas precedentes pueden ser utilizados para caracterizar los m´odulos c´ıclicos y simples sobre un anillo A.

Corolario 3.2.4. Sea  A  un anillo. (i)   Los m´  odulos c´ıclicos sobre  A  son de la forma  A/I , donde  I  es un ideal derecho de  A. (ii) Sea  M  un  A-m´  odulo y  N    M . Entonces, N  es maximal en  M   si, y s´  olo si, M/N   es simple. odulos simples sobre  A  son de la forma  A/I , donde  I  es un ideal maximal  (iii)  Los m´  derecho de  A.

(iv)   Cada subm´  odulo propio de un m´  odulo finitamente generado est´  a contenido en  un subm´  odulo maximal.



odulo Demostraci´  on.   (i) Claramente A/I  = 1  es c´ıclico. Sea M  = m · A el subm´ c´ıclico generado por m  ∈  M . La funci´on

f  : A −→ M   → m·a a − es un homomorfismo sobreyectivo. Seg´ un el teorema 3.2.1, M  ∼ =  A/I , donde I  es un subm´odulo de A A, es decir, I   es un ideal derecho de  A. (ii)  ⇒ ): Sea K  ≤  M/N . Seg´ un el teorema de correspondencia, K  es de la forma   J  = M  /N , con N  ≤  M  ≤  M . Por la maximalidad de N  se tiene que M  = M , o, M  = N , es decir, K  = M/N , o, K  = 0, en otras palabras, M/N   es simple. ⇐): Similar a la prueba anterior. (iii) Se sigue de (i) y (ii) y del hecho que todo m´odulo simple es c´ıclico. (iv) Basta aplicar los teoremas 2.2.3 y  3.2.2.

3.3. EJEMPLOS

3.3.

23

Ejemplos

Ejemplo 3.3.1.   Calculemos las im´agenes homomorfas del Z-m´odulo Zm, m ≥ 0. Comencemos considerando por separado tres casos. un el teorema 3.2.1, las im´agenes son  Z / n = Zn, m = 0: Z0  = Z/ 0  ∼ = Z. Seg´ n  ≥  0 (n´otese adicionalmente que Z  es isomorfo a cada uno de sus subm´odulos no nulos: Z ∼ =  n · Z). m = 1: Z1 =  Z / 1  = Z/Z  ∼ =  0, en este caso la ´unica imagen homomorfa es el Z-m´odulo nulo 0. m  ≥  2: Zm  = Z/ m. De acuerdo al teorema de correspondencia, los subm´odulos de Zm son

n / m  =   n, n  |  m. De los teoremas   3.2.1 y  3.2.3  obtenemos que las im´agenes homomorfas de Zm para m  ≥  2 est´an dadas por

Z/ m / n / m  ∼ = Z/ n  = Zn , con n  |  m. Adicionalmente notemos que los m´odulos n / m, con n | m, y Z mn , son isomorfos. En efecto, como n / m  =   n  es c´ıclico, entonces considerando el homomorfismo sobreyectivo f 

Z −→ n = n · Z  → n·k k − encontramos que ker (f ) = fismo.

 m n

. Resta aplicar el teorema fundamental de homomor-

Ejemplo 3.3.2.  El ejemplo anterior admite la siguiente generalizaci´on a un dominio de ideales principales R: los subm´odulos de RR  son de la forma m, m  ∈  R, y las im´agenes homomorfas son Rm  = R/ m, m ∈  R. Como en Z, R   es isomorfo a cada uno de sus subm´odulos no nulos, R ∼ = m  ·  R, = 0. m   Para m, n  ∈  R se tiene m ≤ n, si, y s´olo si, n  |  m. Para m  ∈  R los subm´odulos de R m  son de la forma

n / m  =   n, n  |  m; y las im´agenes homomorfas son de la forma

24

CAP´ITULO 3. HOMOMORFISMOS

R/ m / n / m  ∼ =  R/ n  = R n , n  |  m. Se tiene adem´a s el R-isomorfismo n / m = Rd, n =  0, donde d ∈ R es tal que  ´ nico en R: si m = nd , entonces d = d ). m = nd (n´otese que d es u  1 Ejemplo 3.3.3.   Sean R un DI P  y p un elemento irreducible de R. Sea  k  uno  p  1 de los eslabones de la cadena (2.3.2) del ejemplo 2.3.2. Entonces  k  ∼ =  R pk :  p  1 1 g R −→  k   = k · R  p  p 1 r −  → · r,  pk g es claramente un R-homomorfismo sobreyectivo, y adem´as, r  ∈  ker(g)  ⇔



r ∈  R  ⇔  r  ∈  pk .  pk

Las cadenas (2.3.2) y (2.3.3) del ejemplo 2.3.2 pueden ahora escribirse en la forma 0  R p   R p2  . . .; R p = ∞

0  Z p   Z p2  . . .; Z p = ∞

3.4.

 

∞ k=0

R pk ,

∞ k =0

Z pk .

Ejercicios

1. Complete la demostraci´ on de la proposici´on 3.1.2. 2. Demuestre la proposici´ on 3.1.3. 3. Demuestre la proposici´ on 3.1.4. 4. Demuestre la proposici´ on 3.1.5. 5. Demuestre los teoremas 3.2.1, 3.2.2 y  3.2.3. 6. Demuestre que la relaci´on de isomorfismo en la colecci´on de todos los A-m´odulos es de equivalencia. 7. Sea f  : M  −→ N  un A-homomorfismo y M  ≤  M . Demuestre que f  : M/M  m

−→ N/f  (M  ) −  → f  (m)

3.4. EJERCICIOS

25

es un A-homomorfismo. Adem´ as, f  es inyectivo si, y s´o lo si, ker (f )  ≤  M  ; f  es sobreyectivo si, y s´olo si, f  es sobreyectivo. 8. Sean f , M  y N  como en el ejercicio anterior. Si  N  ≤  N , pruebe que se induce el homomorfismo inyectivo f  : M/f −1 (N  ) −→ N/N  −  → f  (m). m Si adem´as f  es sobreyectivo, entonces f  es un isomorfismo. 9. Sean M 1 , M 2  subm´odulos de un m´odulo M , con M 1  ≤  M 2 . Demuestre que M/M 1 m

−→ M/M 2 −  → m

es un homomorfismo sobreyectivo. 10. Sean G y  H  dos grupos abelianos y sea f  : G  →  H  un isomorfismo de grupos. Demuestre que si G es un A-m´odulo, entonces H  tiene una estructura natural de A-m´odulo y adem´as G  y  H  son A-m´ odulos isomorfos. 11. Calcule, salvo isomorfismo, todos los Z-m´odulos simples. 12. Sea A un anillo. Sea  I  la colecci´on de todos los ideales maximales derechos de odulos derechos simples. Demuestre A y sea S  la colecci´on de todos los A-m´ que I  = Ann(M A).

 

I ∈I 

M A ∈S 

13. Sean f  : M  −→ N  , g : M  −→ L A-homomorfismos. Se dice que f  se puede  factorizar  a trav´es de g, si existe un homomorfismo de m´odulos h : L −→ N   tal que hg = f . Demuestre que si f  : M  −→ N  es un homomorfismo y K  ≤ M , entonces f   se puede factorizar de manera ´unica a trav´es de j : M  −→ M/K  (homomorfismo can´ o nico) si, y s´o lo si, K  ≤  ker(f ). 14. Sea f  : M  → N  un homomorfismo de m´odulos   cancelable a derecha , es decir, g ◦ f  = h ◦ f  si, y s´olo si, g = h, donde g, h :  N  →  L  son homomorfismos de m´odulos. Demuestre que f  es cancelable a derecha si, y s´olo si, f  es sobreyectivo. 15. Sea f  : M  → N  un homomorfismo de m´odulos   cancelable a izquierda , es decir, f  ◦ g = f  ◦ h si, y s´olo si, g = h, donde g, h : L  →  M  son homomorfismos de m´odulos. Demuestre que f   es cancelable a izquierda si, y s´olo si, f  es inyectivo.

Cap´ıtulo 4 Hom El presente, y los tres cap´ıtulos siguientes, constituyen una introducci´on a una rama del ´algebra conocida como algebra ´  homol´  ogica   (v´ease [21]). La idea es estudiar la estructura de la colecci´on de homomorfismos entre dos A-m´odulos.

4.1.

El grupo HomA(M, N )

Es conocido que el conjunto de endomorfismos de un grupo abeliano  M  es un anillo en el cual la adici´on de dos endomorfismos f, g : M  −→ M  se define por (f  + g) (m) = f  (m)+g (m), m  ∈  M  (v´ease [18]). Considerando dos grupos abelianos M  y N  se prueba, definiendo la adici´on como antes, que el conjunto Hom (M, N ) de homomorfismos de M  en N   es un grupo abeliano. Adem´a s, si M , N , L son grupos abelianos y f, g : M  −→ N  , h : N  −→ L   son homomorfismos de grupos, entonces se cumple que h (f  + g) = hf  + hg.

 

(4.1.1)

En efecto, para cada m ∈ M   se tiene que (h (f  + g)) (m) = h ((f  + g) (m)) = h (f  (m) + g (m)) = hf  (m) + hg (m). Desde luego que para homomorfismos compatibles la distributiva por el lado derecho tambi´en se cumple. Como corresponde al tema que nos ocupa, consideraremos que M  y N   son adem´as A-m´odulos. Es claro que cada A-homomorfismo de M  en N  es un homomorfismo de grupos. odulos sobre un anillo A  y sea  HomA (M, N ) Proposici´ on 4.1.1.   Sean  M  y  N  m´  el conjunto de  A-homomorfismos de  M  en  N . Entonces 

(i) HomA (M, N )  es un subgrupo de  Hom (M, N ). (ii) Si  A = R   es un anillo conmutativo, entonces  HomR (M, N )   es adem´  as un  odulo. R-m´  26

27

4.1. EL GRUPO  H OM A (M, N )

(iii) Si  M  = N , entonces  End A (M ) := HomA (M, N )   es un subanillo del anillo End (M )  de endomorfismos del grupo abeliano M . (iv) Si  A = R  es un anillo conmutativo, entonces  End R (M )  es una  R-´  algebra. Demostraci´  on. (i) H omA (M, N ) es no vac´ıo ya que contiene por lo menos el homor-

fismo nulo. Como vimos arriba, H omA (M, N )  ⊆  H om (M, N ). Adem´as, si f , g son A-homomorfismos, entonces f − g es un A-homomorfismo: en efecto (f  − g) (m · a) = f  (m · a)  −  g (m · a) = f  (m)  ·  a  −  g (m)  ·  a = (f  − g) (m)  ·  a, para cada m ∈ M , a ∈  A. (ii) Para cada f  ∈  H omR (M, N ) y r  ∈  R definimos (f  · r) (m) := f  (m) · r, m ∈  M 

 

(4.1.2)

f  ·  r   es un R-homomorfismo: (f  · r) (m1  + m2 ) = f  (m1  + m2 )  ·  r = f  (m1 )  ·  r  + f  (m2 ) · r = (f  · r) (m1 ) + (f  · r) (m2 ); (f  · r) (m · s) = f  (m · s) · r = (f  (m) · s) · r = f  (m) · (s · r) = f  (m) · (r · s) = (f  (m) · r) · s = (f  · r) (m) · s, con m, m1 , m2 ∈  M ; r, s ∈ R. Encomendamos al lector la verificaci´on de las propiedades restantes de R-m´odulo. (iii) Se desprende del hecho que la suma y composici´on de A-endomorfismos es un A-endomorfismo. Adem´ as, el homomorfismo id´entico est´a en E ndA (M ). (iv) Por (ii)-(iii) s´olo basta observar que (f g)  ·  r = f  (g · r) = (f  · r) g   donde f, g  ∈  EndA (M ), r  ∈  R: ((f g) · r) (m) = (f g) (m) · r = f  (g (m)) · r = f  (g (m) · r) = f  (g · r (m)) = (f  (g · r)) (m), m ∈ M , es decir, la primera igualdad est´a probada. Adem´as, ((f g) · r) (m) = f  (g (m)) · r = (f  · r) (g (m)) = ((f  · r) g) (m), con lo cual hemos probado que (fg) · r = (f  · r) g. odulo. Entonces,  M  es un  E ndA (M )-A-bim´  odulo. Corolario 4.1.2. Sea  M  un  A -m´  Demostraci´  on.  Ya hab´ıamos observado en el ejemplo 1.1.3 que M   es un End (M )-

m´odulo a la izquierda. El resultado se obtiene entonces de (iii) y de  1.1.11 (ii). Consideremos un par de situaciones particulares. odulo simple. Entonces,  E ndA (M ) Lema 4.1.3 (Lema de Schur). Sea  M  un  A -m´  es un anillo de divisi´  on. Demostraci´  on. Sea f   un endomorfismo no nulo del m´odulo M . Entonces, Im (f )

es un subm´odulo no nulo de M , y as´ı, Im (f ) = M . De otra parte, como f  =  0, entonces ker (f )   =  M , y as´ı, ker (f ) = 0. f  es entonces un isomorfismo, de donde f  es un invertible del anillo E ndA (M ).

Proposici´ on 4.1.4. Sea  A  un anillo, entonces  End A (AA ) ∼ =  A (isomorfismo de anillos ).

28

CAP´ITULO 4. HOM

Demostraci´  on.   Si definimos

A −→ End A (AA)  → ha a −

h :

ha  :

A −→ A b −  → ab

es f´acil probar que ha   es un A-homomorfismo para cada a ∈ A, y que h   es un homomorfismo de anillos. ker (h) = 0: si h (a) = 0, entonces ab = 0 para cada b  ∈  A, en particular a · 1 = 0 = a. h  es sobreyectivo: en efecto, si  f  ∈  EndA (AA), entonces hf (1)  = f .

Observaci´ on 4.1.5.   Para AA se tiene el isomorfismo End A (AA)  ∼ = A op (isomorfismo de anillos), donde A op es el  anillo opuesto de A y definido sobre A con la misma adici´on pero con producto dado por a · b := ba, con a, b  ∈  A.

4.2.

Ejemplos

Calcularemos ahora los homomorfismos de Zm  en Zn  considerados como Z-m´odulos, es decir, como grupos abelianos (v´ease [18] para este mismo c´alculo pero vistos como anillos). Para ello probamos primero el siguiente hecho m´as general, v´ease [7].

Proposici´ on 4.2.1. Sea  R  un anillo conmutativo y sean  I , J  ideales de  R . Entonces  se tiene el  R-isomomorfismo HomR (R/I,R/J ) ∼ =  (J  : I ) /J , donde 

(J  : I ) :=  { x  ∈  R | Ix ⊆  J } ⊇  J , es el ideal cociente de  J  por  I . Demostraci´  on.   Se definen h  y  h x  de la siguiente manera

h :

(J  : I ) −→ HomR (R/I, R/J ) −  → hx x hx  :

R/I  −→ R/J  , −  → xr r

4.2. EJEMPLOS

29

donde r  = r + I ,  xr  = xr + J . El lector puede probar a partir de estas definiciones que para cada x  ∈  (J  : I ), hx  es un R-homomorfismo correctamente definido y que ucleo J . h es un R-homomorfismo sobreyectivo con n´

Ejemplo 4.2.2.  Sean M  y N  grupos c´ıclicos y consideremos el grupo H om (M, N ). N´otese que en general para grupos abelianos cualesquiera se tiene que Hom (M, N ) = H omZ (M, N ). Teniendo en cuenta que salvo isomorfismo los grupos c´ıclicos son de la forma Zm , m ≥  0 (v´ease [17]), entonces el problema se reduce a calcular HomZ (Zm , Zn ) mediante la proposici´on 4.2.1. (i) m = n = 0: H omZ (Z, Z)  ∼ = (0 : 0) /0 = Z/0 = Z. As´ı pues, HomZ (Z, Z) ∼ = Z. (ii) m = 1, o, n = 1. Teniendo en cuenta que Z1  = 0, entonces obviamente HomZ (0, Zn ) = 0, para cada n  ≥  0, HomZ (Zm , 0) = 0, para cada m  ≥  0. (iii) m = 0, n  ≥  2: HomZ (Z, Zn )  ∼ =  (n  : 0) / n  = Zn . (iv) m ≥  2, n = 0: HomZ (Zm , Z)  ∼ =  (0 :  m) /0 = 0/0 = 0. (v) m, n  ≥  2: HomZ (Zm , Zn )  ∼ = ( n  :   m) / n  =   n / d / n  = Zd , donde d = m.c.d. (m, n). un Ejemplo 4.2.3. End Z (Zm ) = End Zm (Zm ) ∼ = Zm , con m   = 0, o, m ≥   2. Seg´ la proposici´on 4.1.1 (iii), End Zm (Zm ) es un subanillo de End (Zm) = End Z (Zm ). Rec´ıprocamente, si f  un Z-endomorfismo de Zm , entonces f   es un Zm -endomorfismo: sean a, r  ∈ Zm , entonces f  (ar) = f  (ar) = f  (a) r = f  (a) r.

30

CAP´ITULO 4. HOM

Ejemplo 4.2.4. End Z (Q) = End Q (Q) ∼ = Q. Por la proposici´on   4.1.1   se tiene que End Q (Q) ⊆ End Z (Q). Sea f  un Z-endomorfismo de Q  y sean ab , pq ∈ Q con f 

 a  p bq

 = m  . Entonces n

 

f  ab p  =

Si p = 0, pq  = 0, y as´ı f 

a  p bq

mq n

  

= f 

a b

 = f  (0) = 0 =  f 

Sup´ongase por tanto que p =  0. Resulta f  decir, f  es un Q  -endomorfismo.

a b

=

 p,

a b

mq  , np

p . q

o tambi´en, f 

 a b

p q

= m  , es n

= ϕ  ∈  A y sea Ejemplo 4.2.5.  Vamos a describir1 el anillo A := EndZ (Z p ). Sea 0    0}. Veamos que ϕ( p1n ) = a pn   para alg´un an ∈ Z − 0, con n := m´ın{k ≥ 1|ϕ( p1k ) = ∞

m.c.d.(an , p) = 1: existen a n  ∈ Z − 0 y s  ≥  1 tales que ϕ( p1n ) =

an  ;  ps

si s > 1, entonces

 0, lo cual contradice la minimalidad de n. ϕ( pn1 1 ) = ϕ( p ·  p1n ) = p · ϕ( p1n ) =  pas n1 = −

As´ı, ϕ( p1n ) =

−

pn−1 an .  pn

De igual manera, para cada k  ≥  n se tiene que ϕ( p1k ) =  pankk , con

 0, m.c.d.(ak , p) = 1 y ak ∈ Z−0, luego ϕ( p1n ) = ϕ( pk−n · p1k ) = p k−nak · pn1k =  pnkakk+n = −

por lo tanto nk  −  k + n ≥  1; si nk  −  k + n > 1 entonces ϕ( pn1 1 ) = p ·  pnkakk+n = −

−

ak  pnk −k+n−1

=  0, pero esto contradice la minimalidad de  n. As´ı pues, n k = k + (1 − n) y de esta manera para cada k  ≥  n se tiene que ϕ( p1k ) =

pn−1 ak ,  pk

con m.c.d.(ak , p) = 1 y alg´ un a k ∈ Z − 0.

Hemos probado que cada ϕ  ∈  A induce una sucesi´on (0, 0, . . . , pn−1 an , pn−1 an+1 , . . . ) en el anillo producto i≥1 Z pi ; definimos entonces la funci´on α :  A  → i≥1 Z pi por ϕ  →  (0, 0, . . . , pn−1 an, pn−1 an+1 , . . . ). Veamos que α  es un homomorfismo inyectivo de anillos: α(iZp ) = (1, 1, 1, . . . ) ya que n = 1 y ak   = 1 para cada k ≥   1; sean ϕ, φ  ∈  A con α(ϕ) = (0, 0, . . . , pn−1 an, . . . ), α(φ) = (0, 0, . . . , pm−1 bm , . . . ), entonces n 1 m 1 para cada k ≥  1 se tiene que (ϕ + φ)( p1k ) = ϕ( p1k ) + φ( p1k ) = p ak p+k p bk , con lo cual α(ϕ + φ) = (0, 0, . . . , pn−1 ak  + pm−1 bk , . . . ) = α(ϕ) + α(φ); α(ϕ ◦ φ) = α(ϕ)α(φ) m 1 n 1 m 1 n 1 ya que ϕ(φ( p1k )) = ϕ( bk p pk ) = b k pm−1 · ϕ( p1k ) = b k pm−1 · ak p pk = bk p  pkak p ; sea = 0 con α(ϕ) = 0, entonces en particular  p n−1 an  = 0 en Z pn , de donde p |an , falso. ϕ   Se ha demostrado que A es isomorfo a un subanillo de i≥1 Z pi  (se puede probar adicos  Zp  (v´ease el ejercicio  10). que este subanillo es el  anillo de enteros  p-´ 





∞

−

−

−

−

−

−



1

Este ejemplo corresponde a un ejercicio resuelto por Brian Andr´es Zambrano Luna, estudiante de la   Carrera de Matem´  aticas  de la Universidad Nacional de Colombia, sede Bogot´a

31

´ 4.3. BIMODULOS

4.3.

Bim´ odulos

Las siguientes proposiciones tienen un caracter mucho m´as general que el que necesitamos en el ejemplo 4.3.5. Las pruebas son rutinarias y las encomendamos al lector. odulo y  N  un  D − C Proposici´ on 4.3.1.   Sean  B ,  C , D  anillos, M  un  B − C -bim´  bim´  odulo. Entonces, el grupo HomC  (M, N ) de  C -homomorfismos es un  D −  B bim´  odulo con los productos dados por 

(d · f ) (m) := d · f  (m)

(4.3.1)

(f  · b) (m) := f  (b · m)

(4.3.2)

donde  d  ∈  D , f  ∈  H omC  (M, N ), b  ∈  B , m  ∈  M . odulo y  N  un  C  − DProposici´ on 4.3.2.   Sean  B ,  C , D  anillos, M  un  C  − B -bim´  bim´  odulo. Entonces el grupo HomC  (M, N ) de  C -homomorfismos es un  B −  D bim´  odulo con los productos dados por 

(b · f ) (m) = f  (m · b)

(4.3.3)

(f  · d) (m) = f  (m) · d,

 

(4.3.4)

donde  b  ∈  B , d  ∈  D , m  ∈  M , f  ∈  H omC (M, N ). odulos  AM B y  AN B  se dice que son   isomorfos  si existe  Definici´ on 4.3.3.   Los bim´  una funci´  on biyectiva  f  : M  −→ N  tal que para cualesquiera  m1 , m2 ∈ M , a  ∈  A y  b ∈ B   se cumple  f  (m1  + m2 ) = f  (m1 ) + f  (m2 ), f  (a · m1 ) = a · f  (m1 ), f  (m1 · b) = f  (m1 ) · b. odulo. Entonces, se tiene el siguiente  B − AProposici´ on 4.3.4. Sea  M  un  B -A-bim´  isomorfismo

HomA (A, M )  ∼ =  M.

 

(4.3.5)

An´  alogamente, si  M  es un  A-B -bim´  odulo se tiene el  A−B -isomorfismo HomA (A, M )  ∼ = M . Demostraci´  on.  Basta con mostrar la funci´on h  que establece el isomorfismo (4.3.5),

lo dem´as es rutinario: h :

HomA (A, M ) −→ M  −  → f  (1) . f 

32

CAP´ITULO 4. HOM

Ejemplo 4.3.5.  La proposici´on 4.3.1 y la relaci´on (4.3.5) permiten probar el isomorfismo HomZ (Z, Q) ∼ = Q: tomando A = Z y M  = Q  podemos aplicar (4.3.5) y obtener lo anunciado. A medida que avancemos en el estudio de los m´odulos nos iremos introduciendo en el ´ambito de las categor´ıas (v´ease [20]) y del ´algebra homol´ ogica (v´ease [21]); muestra de ello lo constituyen las afirmaciones anteriores y el homomorfismo que presentamos a continuaci´on. Este isomorfismo ser´a utilizado al final del cap´ıtulo 7 para establecer la dimensionalidad de los anillos conmutativos.

Proposici´ on 4.3.6. Sea  f  : un  B -A-bim´  odulo. Entonces,

C M A

−→

C N A

un  C  − A- isomorfismo y sea  P 

f ∗ : HomA (N, P ) −→ HomA (M, P ) −  → hf  h es un  B − C - isomorfismo. Demostraci´  on.   Seg´ un la proposici´ on 4.3.1 H omA (N, P ) y H omA (M, P ) son B − C -

bim´odulos. Sean h 1 , h 2  ∈  H omA (N, P ), b  ∈  B. Entonces, f ∗ (h1  + h2 ) = (h1  + h2 ) f  = h1 f  + h2 f  = f ∗ (h1 ) + f ∗ (h2 ); f ∗ (b · h1 ) = (b · h1 ) f , y para todo m  ∈  M   se tiene ((b · h1 ) f ) (m) = = = =

(b · h1 ) (f  (m)) b · (h1 (f  (m))) b · ((h1 f ) (m)) (b · (h1 f )) (m) ,

con lo cual f ∗ (b · h1 ) = b  ·  f ∗ (h1 ). De manera similar se prueba que f ∗ es un C homomorfismo. De otra parte, si f ∗ (h1 ) = f ∗ (h2 ), h1 f  = h2 f , con lo cual h1 f f −1 = h 2 f f −1 y as´ı, h 1 = h 2 , es decir, f ∗ es inyectivo. Sea por ´ultimo, g  ∈  H omA (M, P ). Entonces, f ∗ (gf −1 ) = gf −1 f  = g  y as´ı f ∗ es sobreyectivo.

4.4.

Ejercicios

1. Complete la demostraci´ on de la proposici´on 4.2.1. 2. Demuestre las proposiciones 4.3.1 y 4.3.2. 3. Sea f  : C M A Entonces,

−→

C N A

un A- isomorfismo y sea P  un B − A-bim´odulo.

4.4. EJERCICIOS

f ∗  :

33

HomA (P, M ) −→ HomA (P, N ) −  → fh h

es un C  − B-isomorfismo. 4. Sea f  : C M A −→ C N A un C  − A-homomorfismo sobreyectivo y sea P  un B -A-bim´ odulo. Demuestre que f ∗ : HomA (N, P ) −→ HomA (M, P ) −  → hf  h es un B  − C -homomorfismo inyectivo. 5. Sea f  : C M A −→ C N A un C  − A-homomorfismo inyectivo y sea P  un odulo. Entonces, B − A-bim´ f ∗  :

HomA (P, M ) −→ HomA (P, N ) −  → fh h

es un C  − B-homomorfismo inyectivo. 6. Sean   M, N A-m´ odulos. Demuestre que HomA (M, N ) es un C -B-bim´ odulo, donde B = EndA (M ) y C  = EndA (N ). 7. Calcule HomZ (Q, Z), HomZ (Q, Zn), n ≥  2 (Sugerencia: suponga que existe un homomorfismo no nulo y recuerde que Q no tiene subm´odulos maximales). 8. Calcule H omZ (Z, Z p ), HomZ (Z p , Z). ∞

∞

9. Demuestre que  Z p ∼ = Zq  si, y s´olo si, p = q , donde p  y  q  son primos. ∞

∞

10. Sea p  un irreducible de  Z ; el   anillo de enteros p-´  adicos  es el subanillo del anillo producto i≥1 Z pi  definido por



Zp  :=  {(xi )  ∈



Z pi |αij (x j ) = x i , i  ≤  j },

i≥1

con αij : Z pj → Z pi , x → onico). Demuestre que  x (Z-homomorfismo can´ ∼ End Z (Z p ) = Zp  (Sugerencia: Demuestre que el subanillo del ejemplo  4.2.5 coincide con  Z p ). ∞

11. Sean A un anillo e I  un ideal derecho de A. Se define el  idealizador  de I  (en ingl´es,  idealizer ) por I(I ) :=  { a ∈  A |aI  ⊆  I }. Demuestre que: (i) I(I ) es el mayor subanillo de A en el cual  I  es un ideal bil´atero.

34

CAP´ITULO 4. HOM

(ii) Si I  es propio, note que I  =   I (I ) y demuestre el isomorfismo de anillos, I(I )/I  ∼ = E ndA(A/I ) (el anillo I(I )/I  se denomina el  anillo propio de I   (en ingl´es, eigenring. V´ease [23]). (iii) Si R  es un anillo conmutativo, note que  I (I ) = R e I(I )/I  = R/I .

Cap´ıtulo 5 Producto y suma directa Este cap´ıtulo est´a dedicado a realizar dos construcciones universales cl´asicas del ´algebra en el caso de los m´odulos: el producto y la suma directa externa, esta ´ultima conocida tambi´en como coproducto.

5.1.

Producto

Sean  C  un conjunto no vac´ıo, A, B anillos,  { M i }i∈C  una familia no vac´ıa de B − Abim´odulos y i∈C M i  el producto de la familia dada, es decir,

  i∈C M i  =

f  : C

 



−→

i∈C  M i |  f  (i)  ∈  M i , para cada i  ∈ C  .

Al escribir f i  := f  (i) para cada i  ∈ C , los elementos del producto cartesiano pueden ser denotados m´as sencillamente como f  = (f i )i∈C , o simplemente, f  = (f i ). i∈C M i tiene una estructura natural de  B  − A-bim´odulo de la siguiente manera: (i) Dados f  = (f i ), g = (gi )  ∈

(ii) Dados f  = (f i )  ∈





i∈C  M i , a

i∈C M i ,

definimos

f  + g = (f i + gi ).

 ∈  A y b  ∈  B, definimos b · f  = (b · f i), f  · a = (f i · a).



Proposici´ on 5.1.1.   Las operaciones anteriores definen en  i∈C M i   una estructura  de  B − A-bim´  odulo, y se denomina el   producto cartesiano de la familia de  B − Abim´  odulos  {M i }i∈C . odulo de cada M i  inducen la estructura Demostraci´  on.  Las propiedades de B −A-bim´ sobre el producto cartesiano. 35

36

CAP´ITULO 5. PRODUCTO Y SUMA DIRECTA

Observaci´ on 5.1.2. El producto de una familia vac´ıa de bim´odulos, es decir, cuando C  = ∅, es por definici´on nulo. Si B = Z, entonces la construcci´on anterior puede interpretarse como el producto de una familia de  A-m´odulos derechos. Proposici´ on 5.1.3. Las   proyecciones   del producto cartesiano definidas por 



−→ M  j π j (f ) := f  j

π j :

i∈C M i

son  B − A-homomorfismos sobreyectivos. Demostraci´  on.   La extracci´ on de la j -´esima componente respeta las sumas y el pro-

ducto por escalares.

5.2.

Suma directa externa

     

Sea f  = (f i )  ∈ i∈C M i , se define el  soporte de f  por  C f  := { i  ∈ C| f i   = 0}. Consideremos entonces en i∈C M i  el subconjunto i∈C M i  constituido por los elementos f  = (f i ) tales que C f  es finito. Es decir,

 

i∈C M i  := f  ∈

Proposici´ on 5.2.1.

i∈C M i   es





i∈C M i | C f  es finito .

un sub-bim´  odulo de  directa externa   de la familia  {M i }i∈C .

  



i∈C  M i ,

llamado la   suma 

 ∅   ya que 0 ∈ i∈C M i = i∈C  M i (C 0 = ∅). Para f  = (f i ), g = (gi )  ∈ i∈C M i ; sea h = f  + g, entonces  C h ⊆ C f  ∪ C g  es finito, luego y h  ∈ i∈C M i . De otra parte, si a ∈  A, sea k := f ·a, entonces y C k ⊆ C f  y por tanto k  ∈ i∈C M i . En forma similar, si b  ∈  B, entonces b · f  ∈ i∈C M i . Demostraci´  on.



Proposici´ on 5.2.2. Las   inyecciones  de la suma directa externa definidas por  µ j : M  j

−→

µ j (m) := f  = (f i ), con  m  ∈  M  j y  f i  :=



0, m,

son  B − A-homomorfismos inyectivos. Demostraci´  on.   Ejercicio para el lector.

i∈C M i

=  j . para  i   para  i = j .

37

5.3. PROPIEDADES

Observaci´ on 5.2.3.   (i) N´otese que para una familia finita de bim´odulos se tiene n la igualdad ni=1 M i = i=1 M i , es decir, el producto cartesiano y la suma directa externa coinciden. Este producto finito se acostumbra a denotar por M 1 × M 2 ×  . . .  ×  M n, y sus elementos por medio de n-plas, M 1 ×  M 2 ×  . . . ×  M n = {(m1 , . . . , mn) |  mi ∈  M i , 1  ≤  i  ≤  n }. (ii) Cuando todos los elementos de la familia dada  { M i }i∈C  son un mismo bim´odulo M , entonces el producto se denota por M C y la suma directa externa por M (C ) . Si C   es finito se escribe simplemente  M n . (iii) Si I  =  ∅ , entonces por definici´on i∈∅ M i  = 0 y i∈∅ M i  = 0. (v) Cada elemento no nulo f  = (f i) ∈ i∈C M i  se puede escribir en la forma f  = (f i ) = i∈Cf  µi (f i ), donde los µ i  son las inyecciones de la suma.









5.3.



Propiedades



Lema 5.3.1.   Dada  {M i }i∈C   una familia de  B − A-bim´  odulos, i∈C M i  su producto cartesiano, i∈C M i  su suma directa externa,  { π j } j∈C  las proyecciones y  { µ j } j∈C las 



inyecciones, entonces 

odulo  M  y cada  (i) (Propiedad universal del producto)  Para cada  B − A-bim´   familia de  B − A-homomorfismos  p j : M  −→ M  j  j∈C , existe un unico ´  B  − A-homomorfismo p : M  −→ i∈C  M i   tal que  π j p = p j , para cada   j ∈ C .

   



odulo M   y cada  (ii) (Propiedad universal de la suma )  Para cada  B  − A-bim´   familia de  B − A-homomorfismos  v j : M  j −→ M   j ∈C , existe un unico ´  −→ M  tal que  vµ j = v j , para cada  B − A-homomorfismo v : i∈C  M i  j ∈ C . Demostraci´  on.   (i) Para m ∈ M   se define p :





M  −→ i∈C  M i por p (m) := ( p j (m)). Es inmediato que p es un B  − A-homomorfismo para el cual se cumple la relaci´ on π j p = p j , para cada j ∈ C . p es u ´ nico con esta condici´on: en efecto, sea    p : M  −→ i∈C M i   otro B  − A-homomorfismo tal que π j p = p j , para cada  j ∈ C . Entonces, dado m ∈ M   se tiene que (π j p ) (m) = π j ( p (m)) = π j ((g j )), donde p (m) := g = (gi) ∈ i∈C M i . Resulta, (π j p ) (m) = g j = p j (m); es decir, g = ( p j (m)) y por tanto, p  (m) = p (m). (ii) Para f  = (f i )  ∈ i∈C M i  se define v  de la siguiente manera:







v (f ) :=

 0,

si f  = 0. si f  =  0.  j ),  j ∈Cf  v j (f 



v   es un B −  A-homomorfismo. En efecto, sean f  = (f i ), g = (gi ) ∈ i∈C M i . Si f  = 0, o, g = 0, entonces evidentemente v (f  + g) = v (f ) + v (g). Sup´ongase pues

38

CAP´ITULO 5. PRODUCTO Y SUMA DIRECTA

que f  =  0yg=  0, y sea h = (hi ) = f  + g. Si h = 0, entonces gi =  − f i  para cada i  ∈ C , y entonces



    

v (h) = 0 =  j ∈Cf  v j (f  j ) + = v (f ) + v (g) .

Sea h   = 0; puesto que C h  ⊆ C f ∪C g  entonces v (h) = Resulta

 

 j ∈Cg v j  (g j )

 j ∈Ch v j  (h j ) =

v (h) =  j ∈Cf ∪Cg v j (f  j  + g j ) =  j ∈Cf ∪Cg v j (f  j ) +  j∈Cf ∪Cg v j (g j ) =  j ∈Cf  v j (f  j ) +  j ∈Cg v j (g j ) = v (f ) + v (g).



 j ∈Cf ∪Cg v j (h j ).

De manera an´aloga se prueba que para f  ∈ i∈C M i , a ∈ A y b ∈ B, v (f  · a) = v (f ) · a, v(b · f ) = b · v(f ). Sea ahora m ∈ M  j , entonces (vµ j ) (m) = v (f ), donde f  = (f i ), con f  j = m, y =  j . De aqui resulta que v (f ) = v j (f  j ), es decir, vµ j = v j , para cada f i  = 0 para i    j  ∈  I . Probemos ahora la unicidad del homomorfismo v. Sea v  un B − A-homomorfismo de i∈C M i de M   tal que v  µ j = v j , para cada j ∈ C ; sea f  = (f i ) de i∈C M i , si  0, entonces f   = 0, entonces v  (f ) = v (f ). Si f  =



v (f ) = = =



 

 j )  j ∈Cf  v j (f    j )  j ∈Cf  (v µ j ) (f    j ))  j ∈Cf  v (µ j (f 





= v  j )  j ∈Cf  µ j (f  = v  (f ) .

odulos, su producto y su suma  Corolario 5.3.2.   Dada  {M i }i∈C  una familia de bim´  directa externa est´  an caracterizados un´ıvocamente, salvo isomorfismo, por sus respectivas propiedades universales.

P  −→ M  j , j ∈ C , homomorfismos con la propiedad universal (i) del lema anterior; existen homomorfismos p y  p tales que para cada j ∈ C ,  π j p = p j y p j p = π j . De aqu´ı obtenemos las relaciones Demostraci´  on. Sea P  un B − A-bim´ odulo y p j :

π j ( pp ) = π j , p j ( p p) = p j , j ∈ C . Aplicando nuevamente la propiedad universal para sariamente que i i

∈C

 M i



i∈C M i

= pp  e i P  = p  p,

y P  encontramos nece-

39

5.3. PROPIEDADES



es decir, P  ∼ = i∈C M i . La propiedad para la suma se demuestra de manera an´aloga. Otra consecuencia inmediata del lema 5.3.1 es el siguiente corolario.

Corolario 5.3.3. Sea  θ :   C  M i  ∼ =





i∈C

i∈C

on biyectiva. Entonces  −→ C   una funci´   M θ(i) ,  M i  ∼  M θ(i) . =





i∈C

Demostraci´  on.   Ejercicio para el lector.

i∈C

Las dos proposiciones siguientes establecen relaciones entre sumas, productos y B − A-homomorfismos. Las pruebas de ellas constituyen un interesante ejercicio que queda para los lectores. odulos y  Proposici´ on 5.3.4. Sea {M i }i∈C  una familia de  B −A-m´ 

  i∈C M i ,

i∈C M i

su producto y su suma directa externa junto con sus proyecciones  {π j } j ∈C   e inyecciones  {µ j } j∈C . Entonces 

(i) πi µ j =



0, =  j i   iM j , i = j.

(ii) (µ j π j )2 = µ j π j , para cada  j ∈ C . ´  (iii)   Existe un unico B  − A-homomorfismo δ  : tal que 

πi δµ j = δ ij =





i∈C  M i

−→



i∈C  M i

0, =  j i   iM j , i = j .

as, (iv) Si  C  := {1, 2, . . . , n}, entonces  δ  = iM 1 ×M 2 ×...×M n , y adem´  iM 1 ×M 2 ×···×M n . Demostraci´  on.   Ejercicio para el lector.



n  j =1

µ j π j =

odulos  Proposici´ on 5.3.5.   Dadas  {M i }i∈C y  {N i }i∈C   dos familias de  B −  A -bim´  (indizadas por un mismo conjunto  C ), y  αi  : M i −→ N i i∈C , una familia de  B − A-homomorfismos, entonces 



     

unico  B − A-homomorfismo (i)  Existe un ´ 





i∈C M i  → i∈C N i , denominado producto cartesiano de la familia de homomorfismos  { αi }i∈C , tal que para  cada  i  ∈ C   el diagrama 



i∈C α i  :

i∈C  α i

i∈C M i −−−−→

πi

πi

M i   −−−→ αi

es conmutativo.

i∈C  N i

N i

40

CAP´ITULO 5. PRODUCTO PRODUCTO Y SUMA DIRECT DIRECTA A

(ii)   Existe un ´  unico B  − A-homomorfismo

    i∈C  αi

:

i∈C M i

→



i∈C  N i ,

denominado suma directa externa de la familia de homomorfismos  { αi }i∈C , tal que  para cada  i ∈ C   el diagrama  

 

i∈C  α i

−−−−→ i∈C  M i −

µi

i∈C N i µi

M i   −−−→ αi

N i

es conmutativo.

(iii (iii)) (a) (a)

            i∈C  αi   es

s´  olo si,

(b) (c)

inyectivo si, y s´  olo si, para cada  i ∈ C , αi  es inyectivo si, y  i∈C  αi   es inyectivo.

sobreyectivo si, y s´  olo si, para cada  i  ∈ C , αi  es sobreyectivo si, y s´  olo si, i∈C α i  es sobreyectivo. i∈C  αi   es

isomorfismo si, y s´  olo si, para cada  i  ∈ C , αi  es isomorfismo si, y s´  olo si, i∈C α i  es isomorfismo. i∈C  αi  es

(iv) (iv) (a) (a) ker ker (b) ker

(v) (a) I m (b) I m

 ∼ =  ∼ i∈C  αi =

 ker(αi ). i∈C ker(α

 ∼ =  ∼ i∈C  αi =

 I m (αi ). i∈C  Im

i∈C  αi

i∈C α i

 ker (αi ). i∈C ker  I m (αi ). i∈C  Im

Demostraci´  on.   Ejercicio para el lector.

El teorema que presentamos a continuaci´on on habitualmen habitualmente te se prueba prueba para familias de A de A-m´ -m´odulos, odulos, donde el isomorfismo resultante es de grupos abelianos. Nosotros lo demostramos en una forma m´as as general para bim´odulos. odulos. familiass de  B -A-bim´  odulos odulos y  C -ATeorema 5.3.6. Si  {M i }i∈C y  {N  j } j ∈D   son familia bim´  odulos respectivamente, entonces se tiene el  C -B -isomorfismo

H omA

         i∈C M i ,

 j ∈D N  j

∼ =

 (M i , N  j ).  H omA (M  (i,j )∈C×D Hom

En particular, se tienen los  C -B -isomorfismos 

H omA M, y 

H omA

 j ∈D N  j

i∈C  M i , N 

 ∼ =

 (M,  H omA (M,  j ∈D  Hom

 ∼ =

 (M i , N ),  H omA (M  i∈C  Hom

N  j ),

41

5.3. PROPIED PROPIEDADES ADES

donde  M   es un  B -A-bim´  odulo y  N  un  C -A-bim´  odulo.

on on y escribimos Demostraci´  on.  Simplificamos la notaci´ := H omA H  := H y P  :=

   i∈C  M i ,

 j ∈D N  j



 (M i , N  j ).  H omA (M  (i,j )∈C×D Hom

Por la proposici´on 4.3.1 on  4.3.1,,  H  y  P  son C  son  C --B -m´ odulos. odulos. Para (i, (i, j )  ∈ C × D  fijo y f  y  f  ∈  H  se induce una funci´on on de M  de  M i en N  en  N  j j  por medio del siguiente diagrama:

 

i∈I  M i

f 

−−−→

µi

M i   −−−→ πj f µi

 

 j ∈J  N  j πj

N  j

Puesto que µ que  µi , f  y π j son A son A-homomorfismos, -homomorfismos, entonces µ entonces µi f π j  es un A un  A-homomorfismo. -homomorfismo. Definimos entonces  :  H  →  P, α (f ) (π j f µi ). α  : H  f ) := (π Veamos ahora que α que  α es  es un C  un  C --B -homomorfismo. En efecto, sean f  sean  f 1 ,  f 2  ∈  H ,  H , entonces ( π j (f   (f 1 + f 2) µi ) α (f 1 + f 2 ) = (π = (π ( π j f 1 µi + π j f 2 µi ) = α (f 1) + α (f 2 ). Dados f  Dados  f  ∈  H , ( π j (c  (c · f ) Si  m  ∈  M i , entonces  H ,  c  ∈  C  se  C  se tiene que  α (c · f ) f ) = (π f ) µi ). Si m [π j (c  (c · f )  (c · f )]  (m)) f ) µi ] (m) = [π j (c f )] (µi (m =  π j [(c  [(c · f )  (m))] f ) (µi (m =  π j [c  [c · (f  (µ  (µi (m  (m)))] =  c · [π j (f  (µ  ( µi (m  (m)))] =  c · [(π [(π j f µi ) (m)] = [c · (π j f µi )] (m), con lo cual π j (c  (c · f )  (π j f µi ); es decir, α (c · f ) alogamente, f ) µi = c  ·  (π f ) = c  ·  α (f ). f ). An´alogamente,  para  b  ∈  B. α (f  · · b) =  α (f ) f ) · b  para b  B . Falta mostrar que α  es inyectiva y sobreyectiva. Si f 1 , f 2 ∈ H , son tales que que  π j f 1 µi  = π  =  π j f 2 µi , para cada i cada i  ∈ C  y   y cada j cada  j ∈ D. α (f 1 ) =  α (f 2), entonces se tiene que π Por la propiedad universal del producto resulta f 1µi = f 2µi, y por la propiedad universal de la suma, f  suma,  f 1  = f   =  f 2 .

42

CAP´ITULO 5. PRODUCTO PRODUCTO Y SUMA DIRECT DIRECTA A

Para ver que α  es sobreyectiva, sea w = (wij ) ∈ P . P . Fijando i ∈ C , consideremos la familia de A-homorfismos wij , j ∈ D. La propiedad universal del producto  j ∈D N  j , considerado como A como  A-m´ -m´odulo, odulo, garantiza garantiza la existenci existenciaa de un unico A u´nico  A-homomorfismo γ i  : M i −→ que  π j γ i  = w  =  w ij , para cada j cada j  ∈ D. Co j ∈C  N  j  , tal que π mo lo anterior es v´alido alido para cada i cada  i  ∈ C , entonces la propiedad universal de la suma como  A-m´ -m´odulo, odulo, garantiza la existencia de un A un  A-homorfismo -homorfismo i∈C  M i , considerada como A −→ f  : que f µi  = γ   =  γ i , para cada i cada i  ∈ C . Resulta entonces  j tal que f i∈C  M i  j ∈D  N  que π que π j f µi  = w  =  wij , para cada (i, (i, j ) ∈ C×D , es decir, decir,  α (f ) f ) = (π j f µi) = (wij ) =  w.  w .

  





Finalizamos esta secci´on on con un resultado t´ecnico ecnico sobre so bre anillos conmutativos, conmutativos, el cual usaremos en el ultimo u ´lti mo cap´ıtulo. ıtul o. Sean R Sean  R  un anillo conmutativo, I  conmutativo,  I  un  un ideal de R de  R y r  ∈  R.  R. El conjunto (I  :  r)  r ) :=  { s  ∈  R  |  rs  ∈  I } es un ideal de R  (en efecto, (I  ( I  : r) = (I  : r)) y se tiene el R-m´odulo odulo cociente ( R/I ) · r := {s · r | s ∈ R}  es un R-m´odulo. odulo. Tenemos el R/((I  : r). De otra parte, (R/I  R/ R-isomorfismo  ( R/I ) · r R/((I  :  r) R/  r )  ∼ =  (R/I 

 

(5.3.1)

inducido por el homomorfismo sobreyectivo f  :  R  →  (R/I   ( R/I ) · r  definido por f ( f (s) := ucleo ucleo (I  (I  :  r). s · r, y con n´  r ). anillo conmuta onmutativ tivo o e  I 1 , I 2 , . . . , It ; J 1 , J 2 , . . . , Jr  Proposici´ on on 5.3.7. 5.3.7.   Sean  R   un anillo ideales propios de  R  tales que 

(i) I 1  ≥  I 2  ≥ ·· · ≥  I t ; J 1  ≥  J 2  ≥ ·· · ≥  J r . (ii) R/I 1 ⊕ · · · ⊕ R/I t  ∼ = R/J 1 ⊕ · · · ⊕ R/J r (R-isomorfismo).  =  r e  I i  = J   =  J i , para cada  1  ≤  i  ≤  t . Entonces  t  = r Demostraci´  on. Sea I   I   un ideal maximal de R  que contiene a I 1 , como 1 ∈ (I  : I i ),

entonces (I  (I  : I i ) = R   para cada 1 ≤ i ≤ t. Aplicamos H omR (   ,R/I ) a (ii) y obtenemos el R el  R/I  -isomorfismo /I -isomorfismo t

 i=1

r

H omR (R/I i ,R/I )  ∼ =



H omR (R/J i ,R/I ).

 

(5.3.2)

i=1

Seg´ un un la proposici´on 4.2.1 on  4.2.1 se  se tienen los siguientes  R-isomorfismos  R -isomorfismos  ( I  :  I i )/I, H omR (R/I i ,R/I )  ∼ /I , =  (I 

1  ≤  i  ≤  t,

 

(5.3.3)

43

5.3. PROPIEDADES

HomR (R/J  j ,R/I ) ∼ = (I  : J  j )/I,

1  ≤  j ≤  r.

 

(5.3.4)

Recordemos c´omo est´an definidos estos isomorfismos: f i  : (I  : I i )/I  →  H omR (R/I i ,R/I ) x →  f x donde f x  :  R/I i  →  R/I  r  → xr. Pero como ((I  : I i )/I ) ·  I  = 0, entonces (I  : I i )/I   es un R/I -m´odulo mediante el producto x · r := xr, con x  ∈  (I  : I i ) y r  ∈  R. N´otese que entonces cada f i  es tambi´en un R/I -isomorfismo: f i (x · s) = f i (xs) = f xs, f xs (r) = xsr = xr  · s = f x(r) · s = (f x · s)(r), es decir, f i (x · s) = f i (x) · s. De manera an´aloga se establece que en (5.3.4) se tienen R/I -isomorfismos. De (5.3.3) obtenemos el R/I -isomorfismo r

(R/I )  ∼ = t



(I  : J  j )/I.

 

(5.3.5)

 j =1

Puesto que I  es maximal y para cada 1  ≤  j ≤  r, I  ⊆  (I  : J  j ), resulta (I  : J  j ) = R ´o (I  : J  j ) = I . De (5.3.5) se obtiene entonces el R/I -isomorfismo (R/I )t  ∼ =  (R/I )s ,

s  ≤  r.

Teniendo en cuenta la dimensionalidad del cuerpo R/I  obtenemos t = s  ≤  r. Por la simetr´ıa del problema, r  ≤  t, es decir t = r. Sup´ongase ahora que existe un i   tal que I i =  J i   y sea i0   m´ınimo con dicha propiedad. Sea a ∈  I i0 , a ∈ /  J i0 . Entonces, (I k : a) = R   para k  ≤  i0 ; (J k  :  a) = R   para k < i 0  ya que I k  = J k ; (J k : a)  = R   para k  ≥  i 0 . Sean M  := ti=1 R/I i y N  = ti=1 R/J i , ya que M  ∼ = N   entonces M  · a ∼ = N  · a; aplicando el isomorfismo de (5.3.1) encontramos





R/(I i0 +1  : a) ⊕ · · · ⊕ R/(I t  : a)  ∼ =  R/(J i0 : a) ⊕ · · · ⊕ R/(J t  : a),

 

(5.3.6)

adem´ as (J i0 : a) ≥ (J i0 +1 : a)   ≥ · · · ≥ (J t : a) son ideales propios de R  ya que el primero de ellos es propio. Tambi´ en, (I i0 +1 : a) ≥ (I i0 +2 : a)   ≥ · · · ≥ (I t : a) son ideales de R, posiblemente no todos propios, pero de todos modos el n´umero de sumandos en la parte izquierda de (5.3.6) es estrictamente menor que en la derecha, lo cual contradice lo establecido en (i). En consecuencia  I i  = J i  para 1  ≤  i  ≤  t.

44

5.4.

CAP´ITULO 5. PRODUCTO Y SUMA DIRECTA

Ejercicios

1. Demuestre la proposici´ on 5.2.2. 2. Demuestre el corolario 5.3.3. 3. Demuestre la proposici´ on 5.3.4. 4. Demuestre la proposici´ on 5.3.5. 5. Calcule H omZ (Z3 , Z6 ⊕ Z15 ), H omZ (Z6 ⊕ Z15 , Z3 ) y H omZ (Z6 ⊕ Z15 , Z6 ⊕ Z15 ). 6. Calcule H omZ (Z ⊕ Z p , Z). ∞

7. Sean A un anillo y An [x] el conjunto de polinomios con coeficientes en A de grado ≤  n. Considere a An [x] como m´odulo sobre A. Calcule H omA(An [x], A). 8. Calcule H omZ (Zn [x], Z p ). ∞

9. Sean A   un anillo y A[x] el conjunto de polinomios con coeficientes en A. Considere a A[x] como m´odulo sobre A. Calcule H omA (A[x], A). 10. Calcule H omZ (Z[x], Z p ). ∞

Cap´ıtulo 6 Suma directa interna En este cap´ıtulo se estudia la suma directa de una familia de subm´ odulos de un m´odulo dado, y su relaci´on con la suma externa de m´odulos. Este estudio ser´a u ´til en el pr´oximo cap´ıtulo para la descripci´on de los m´odulos libres.

6.1.

Definici´ on y caracterizaciones

odulo y  {M i }i∈C  una familia de subm´  odulos de  Definici´ on 6.1.1.   Sean  M  un  A-m´  M . Se dice que  M  es   suma directa interna  de la familia si 

(i) M  = (ii)



i∈I  M i .

  = j M i i

∩ M  j = 0, para cada  j ∈  I .

En tal caso se denota 

M  =



⊕M i .

i∈I 

Si  I  = I n  es finito se escribe  M  = M 1 ⊕ · · · ⊕ M n . odulos del m´  odulo  M    tal que  Proposici´ on 6.1.2. Sea  { M i }i∈I  una familia de subm´  M  = i∈I  M i . Las siguientes condiciones son equivalentes:



(i) M  =



i∈I 

⊕M i .

(ii)   Para cada subconjunto finito {i1 , . . . , in }  de ´ındices diferentes de  I   se cumple  que 

mi1  + · · · + min = 0  ⇔  mik = 0 , con  mik ∈  M ik , 1  ≤  k  ≤  n .

45

46

CAP´ITULO 6. SUMA DIRECTA INTERNA

(iii)   Para cada subconjunto finito {i1 , . . . , in}  de ´ındices diferentes de  I   se cumple  que 

mi1  + · · · + min = m i1  + · · · + min ⇔ m ik = mik ,

 

(6.1.1)

con  mik , mik ∈  M ik , 1  ≤  k  ≤  n. Demostraci´  on. (i)⇒(ii): Sea {i1 , . . . , in }  un subconjunto de ´ındices diferentes de I 

tales que mi1 + · · · + min  = 0, donde mik ∈ M ik  para cada 1 ≤ k ≤ n. Fijando el sub´ındice k  se tiene mik =  − mi1 −  m i2  − · · · −  m ik 1  − mik+1  − · · · −  m in , −

luego

  

mik ∈  M ik  ∩

=ik  j 

M i ,

de donde, m ik  = 0, para cada 1  ≤  k  ≤  n. Rec´ıprocamente, si se da esta ´ultima condici´on se cumple que mi1 +· · · + min = 0. (ii)⇒(iii): Sea  { i1 , . . . , in }  un subconjunto de ´ındices diferentes de I  tales que se cumple (6.1.1). Entonces, mi1  − mi1 + · · · + min  − min  = 0, y por (ii) obtenemos que m ik = mik , para cada 1  ≤  k  ≤  n. Rec´ıprocamente, si se da esta u ´ ltima condici´on entonces m i1 + · · · + m in = m i1 + · · · + min . (iii)⇒(i): Sea j ∈ I  un ´ındice fijo, y sea m ∈ M  j  ∩  j =ik M  j ; entonces existen ´ındices diferentes  i 1 , . . . , in  ∈  I , tales que j ∈ / {i1 , . . . , in}  y adem´as,



 

m = m i1  + · · · + m im , donde mik ∈  M ik , para cada 1  ≤  k  ≤  m. La igualdad anterior se puede escribir como mi1  + · · · + m in  + m = mi1  + · · · + m im  + m j , donde mik = 0, para cada 1 ≤  k ≤  m y m j  = 0. Seg´ un (iii), m =  m j , por lo tanto M  j  ∩ i= j M i  = 0.



odulos del  A-m´  odulo M , M  es  Corolario 6.1.3. Sea  {M i }i∈I  una familia de subm´  suma directa interna de la familia si, y s´  olo si, cada elemento m ∈ M   tiene una  (salvo sumandos nulos )  en la forma  representaci´  on unica  ´ 

m = mi1  + · · · + min ,

 

(6.1.2)

donde  mik ∈  M ik , 1  ≤  k  ≤  n , y los ´ındices  i1 , . . . , in   son diferentes. Demostraci´  on.  Esto es consecuencia directa de la proposici´on anterior.



odulos y  M  = Proposici´ on 6.1.4. Sea  {M i }i∈I    una familia de  A-m´  i∈I  M i su   suma directa externa. Si  M i := µi (M i )   es la imagen de  M i   mediante la inyecci´  on  can´  onica  µi , entonces 

47

´ Y CARACTERIZACIONES 6.1. DEFINICION

(i) M  =



i∈I 

⊕M i .

(ii) M i ∼ =  M i , para cada  i ∈  I . Demostraci´  on.   Teniendo en cuenta que µi  es un A  - homomorfismo inyectivo para

cada i  ∈  I , entonces la afirmaci´on (ii) es evidente. Sea m = (mi )  ∈  M ; si m  = 0, entonces  m  ∈ i∈I  M i . Si m  = 0, entonces m =





 j ∈I m

µ j (m j ) ∈



 i∈I  M i ,

es decir, M  = i∈I  M i . Sea  { i1 , . . . , in }  un subconjunto de ´ındices diferentes de I , y mi1 ∈  M i1 , . . . , min ∈  M in ,

tales que m i1 + · · · + m in  = 0. Entonces, existen m i1 ∈  M i1 , . . . , min ∈  M in  tales que mik = µ ik (mik ), 1 ≤ k ≤ n. Resulta µi1 (mi1 ) + · · · + µin (min ) = 0. Consideremos en M  = i∈I  M i  el elemento m = (m j ), donde



m j =





0, mik

si j ∈ /  I m  =  { i1 , . . . , in} si j = i k , 1  ≤  k  ≤  n.

Entonces, m =  j∈I m µ j (m j ) = 0, de donde se desprende que m j  = 0 para cada  j ∈  I ; en particular, mik  = 0 para cada 1  ≤  k ≤  n. Esto implica que mik = 0 para cada 1  ≤  k  ≤  n, y as´ı la suma es directa.

Observaci´ on 6.1.5. Si I  = I n  :=  { 1, 2, . . . , n}, entonces M i =  { (0, . . . , mi , . . . , 0) |  m i  ∈  M i }, 1  ≤  i  ≤  n. La siguiente proposici´on es en cierto sentido el rec´ıproco de la proposic´on 6.1.4. odulos de  M  tales que  M  = Proposici´ on 6.1.6. Si  {M i }i∈I  es una familia de subm´  ∼ i∈I  ⊕M i , entonces  M  = i∈I  M i .





Demostraci´  on.  La idea central es aplicar la propiedad universal de la suma directa

externa. Los detalles quedan a cargo del lector. odulos. Entonces, para cada  Proposici´ on 6.1.7. Sea  {M i }i∈I   una familia de  A-m´   j ∈  I 

(



 j i∈I  M i )/M 

∼ =



= j  M i . i



f  : I  −→ M i de restricci´ on a I  − { j }, obtenemos un A-homomorfismo sobreyectivo de ucleo M  j . = j M i  con n´ i Demostraci´  on.   Asignando a cada elemento





su i∈I  M i en

i∈I  M i

48

CAP´ITULO 6. SUMA DIRECTA INTERNA

6.2.

Sumando directo

De particular importancia en la teor´ıa de m´odulos es el concepto de irreducibilidad que presentamos a continuaci´on. odulo y  N   un subm´  odulo de  M . Definici´ on 6.2.1.   Sean  M  un  A-m´ 

(i)   Se dice que  N   es un   sumando directo de  M   si existe un subm´  odulo N  de  M   tal que  M  = N  ⊕ N  . (ii)  Se dice que  M  es  irreducible  ( o  indescomponible)  si  0 y  M  son sus unicos  ´  sumandos directos. M  es   reducible si  M   no es irreducible. El m´  odulo nulo por definici´  on es irreducible.

Ejemplo 6.2.2.  Evidentemente todo m´odulo simple es irreducible. La afirmaci´on rec´ıproca no es cierta, tal como lo ilustran los siguientes ejemplos: (i) Z es irreducible: en efecto, sean   m,   n  subgrupos de Z tales que Z =  m ⊕ n. Puesto que mn ∈ m ∩ n  = 0, entonces  m = 0, o, n = 0. (ii) Sea R un DI P  y p   un irreducible de R. Seg´ un el ejemplo   2.3.2, R p   es un R-m´odulo irreducible. ∞

un el ejemplo Ejemplo 6.2.3. Sea m  ≥  2 y Zm  el grupo de los enteros m´odulo m. Seg´ 3.3.1, los subgrupos de Zm  son de la forma Zr con r  |  m. Veamos que

Zr  es sumando directo de Zm  ⇔  m.c.d.(r, mr ) = 1. ⇒): Existe s | m tal que Zm = Zr  ⊕ Zs . Por razones de cardinalidad m = rs. Sea d = (r, s). Entonces d  |  r, d  |  s y tanto en Zr  como en  Z s  hay un subgrupo de orden d. Pero Zr ∩ Zs  = 0 y en Zm s´olo hay un subgrupo de orden d. Resulta entonces que d = 1. ⇐): Sean r, s  positivos tales que (r, s) = 1 y rs = m. Entonces, s ⊕ r  = Zm . En efecto, de (r, s) = 1 resulta Zm =   s + r. Como rs =  m, entonces el m´ınimo com´ u n m´ ultiplo de r y s es  m, por tanto, r ∩ s  = 0. N´otese que  Z m  es irreducible si, y s´olo si, m  es primo. Definici´ on 6.2.4. Sea  f  : M 1

−→ M 2 un  A-homomorfismo.

(i) Si  f   es inyectivo, se dice que  f  es   hendido si  Im (f )  es un sumando directo de  M 2 . (ii) Si  f  es sobreyectivo, se dice que  f  es hendido si   ker (f )  es un sumando directo de  M 1 .

Proposici´ on 6.2.5. Sea  f  : M 1

−→ M 2 un  A-homomorfismo. Entonces,

49

6.2. SUMANDO DIRECTO

(i) f   es inyectivo hendido si, y s´  olo si, existe un homomorfismo de m´  odulos  g : M 2 −→ M 1   tal que  gf  = iM 1 . olo si, existe un homomorfismo de m´  odulos  (ii) f   es sobreyectivo hendido si, y s´  g : M 2 −→ M 1   tal que  f g = iM 2 .

odulo de M 2  tal que M 2 = M 2  ⊕  I m (f ). Demostraci´  on. (i) ⇒): Sea M 2  un subm´ Cada elemento m ∈ M 2   tiene una representaci´on u ´ nica en la forma m = m + y, donde m  ∈  M 2 y, y  ∈  I m (f ). Como f  es inyectivo, existe un ´unico x  ∈  M 1  tal que f  (x) = y, luego m = m  + f  (x), donde x est´a un´ıvocamente determinado por m. Se define g :

M 2 m

−→ M 1 −  → g (m) := x,

el cual, por lo que se acaba de decir, es evidentemente un A-homomorfismo. Para w  ∈  M 1  se tiene que (gf ) (w) = g (0) + gf  (w) = w, con lo cual gf  = iM 1 . ⇐): Seg´un la proposici´on 3.1.3, f  es inyectivo. Veamos ahora que M 2  = ker (g) ⊕ Im (f ) .

 

(6.2.1)

Sea y  ∈ M 2 , entonces y = y − (f g) (y)+(f g) (y), donde (f g) (y) = f  (g (y)) ∈  I m (f ), y adem´as, y − f  (g (y)) ∈   ker(g), pues g (y − f  (g (y))) = g (y)  −  (gf ) (g (y)) = g (y) − g (y) = 0. Se tiene as´ı que M 2  = ker(g) + I m (f ). Supongamos ahora que un x ∈ M 1 , luego y ∈   ker(g)  ∩  I m (f ), entonces g (y) = 0 y y = f  (x) para alg´ g (f  (x)) =  x = g (y) = 0, de donde y  = 0. (ii)  ⇒ ): Sea M 1  un subm´odulo de M 1  tal que M 1  = M 1 ⊕ ker(f ). Dado m  ∈  M 2 , existe x ∈ M 1  tal que f  (x) = m; x determina un´ıvocamente elementos x1 ∈ M 1 y x2  ∈  ker (f ) tales que x = x1  + x2 . Se define g :

M 2 m

−→ M 1 −  → g (m) := x 1 .

Veamos que g   est´a correctamente definido. Sea x ∈ M 1  tal que f  (x ) = m; para x := x1  + x2 , con x1 ∈ M 1 y x2 ∈  ker (f ), se tiene que f  (x − x ) = 0, con lo cual x − x ∈  ker (f ) y entonces x = x  + s, con s  ∈  ker (f ). Resulta x = (x1  + x2 ) + s = x1 + (x2  + s) = x1 + x 2 , y por la unicidad, x1 = x1 , lo cual demuestra que g est´a correctamente definida. Claramente g   es un A-homomorfismo. De otra parte, (f g) (m) = f  (g (m)) = f  (x1 ) = f  (x − x2 ) = f  (x) − f  (x2 ) = f  (x) = m, es decir, f g = i M 2 . ⇐): De la proposici´on   3.1.3  se desprende que f  es sobreyectivo. Resta probar que ker (f ) es sumando directo de M 1 , para lo cual se demostrar´a que M 1  = ker (f ) ⊕ Im (g) .

 

(6.2.2)

50

CAP´ITULO 6. SUMA DIRECTA INTERNA

Dado x ∈ M 1 , entonces m = m −  (gf ) (m) + (gf ) (m), donde (gf ) (m) ∈ Im (g) y m  −  (gf ) (m) ∈   ker(f ). Esto demuestra que M 1   = ker(f ) + I m (g). Sea x ∈ M 1  = ker(f ) ∩ Im (g), entonces x = g (z ), con z  ∈ M 2 , y adem´as f  (x) = 0, luego f  (g (z )) = 0, de donde x = 0. odulo y  N   un subm´  odulo de  M . Entonces, N  es  Corolario 6.2.6.   Sean  M  un  A-m´  sumando directo de  M   si, y s´  olo si, existe un endomorfismo π : M  −→ M  , 2 tal que  π = π y  π (M ) = N . Demostraci´  on. ⇒): Sea N  subm´ odulo de M  tal que M  = N  ⊕ N  . Consid´erese en

la primera parte de la proposici´on anterior f  := µ, donde µ es el homomorfismo que sumerge a N  en M , µ es un A-homomorfismo inyectivo hendido y existe entonces un la demostraci´on de la proposici´on anterior, g : M  −→ N   tal que gf  = iN . Seg´ g   es sencillamente la proyecci´o n de M   sobre N . Dado que m ∈ M   se tiene que m = n + n  , con n ∈ N  y, n ∈ N  , luego g (m) = n. Tomando π := µg   resulta (ππ) (m) = π (π (m)) = π (n) = π (n + 0) = n = π (m), es decir, π 2 = π. Adem´as, π (M ) = N . o n de N  en M  y π : M  −→ M  ⇐): Sean µ : N  −→ M  la inclusi´ 2 tal que π (M ) = N  y π = π. Para g : M  −→ N  definida por g (m) := π (m), se tiene que gµ = i N . En efecto, para n  ∈  N  existe m  ∈  M  tal que n = π (m), luego µ (n) = π (m), de donde g (µ (n)) =  g (π (m)) = π (π (m)) =  π (m) = n. Entonces, µ es hendido con imagen N .

Ejemplo 6.2.7. QZ   es irreducible. En efecto, sea N  un sumando directo de QZ . Seg´ un el corolario 6.2.6, existe un endomorfismo π de  Q Z  tal que π 2 = π, y π (Q) = N . Pero por el ejemplo  4.2.4, π  = 1, ´o, π  = 0, con lo cual  N  = Q, o, N  = 0.

6.3.

Ejercicios

1. Demuestre la proposici´ on 6.1.6. 2. Sea R  un  DIP , demuestre que R  es un R-m´odulo irreducible. 3. Sea R  un dominio de integridad y sea Q(R) su cuerpo de fracciones (v´ease [18]); demuestre que Q(R) es un R-m´ odulo irreducible. 4. Sean A un anillo y e un idempotente de A. Demuestre que A = eA ⊕ (1 − e)A. 5. Sea A  un anillo. Demuestre que las siguientes condiciones son equivalentes: (i) AA  es irreducible.

51

6.3. EJERCICIOS

(ii)

A A es

irreducible.

(iii) Los u ´nicos idempotentes de A  son los triviales. 6. Sean M  un A-m´ odulo y B := EndA (M ). Demuestre que las siguientes condiciones son equivalentes: (i) M A  es irreducible. (ii) BB  es irreducible. (iii)

B B es

irreducible.

(iv) 0 y 1 son los ´unicos idempotentes de B . 7. Sea A un anillo y M n (A) el conjunto de matrices cuadradas de orden  n, n  ≥  2. Muestre que M n (A) es reducible como A-m´odulo y como M n(A)-m´odulo. 8. Un m´odulo N  es   inyectivo  si para cada homomorfismo inyectivo f   y cada homomorfismo g, existe un homomorfismo h   tal que el siguiente diagrama conmuta: N         h g

       

 L f   

M

Demuestre que cada sumando directo de un m´odulo inyectivo es inyectivo. 9. Sea { N i }i∈C  una familia de A-m´ odulos. Si N i  es inyectivo para cada i, entonces i∈C  N i  es inyectivo.



10. Un m´ odulo P  es  proyectivo   si para cada homomorfismo sobreyectivo f  y cada homomorfismo g, existe un homomorfismo h tal que el siguiente diagrama conmuta:   P  h    

     



M

    g

   N  f 

Demuestre que si  { P i }i∈C  una familia de A-m´ odulos, entonces,



i∈C  P i   es

proyectivo  ⇐⇒ ∀i  ∈ C  , P i  es proyectivo.

Cap´ıtulo 7 M´ odulos libres Estudiaremos ahora los conceptos de independencia lineal y base para m´odulos, advirtiendo que varias propiedades de las bases de los espacios vectoriales no se conservan en este caso. Veremos que no todo m´odulo posee una base, dos bases finitas pueden tener diferente n´umero de elementos, no todo subm´odulo de un m´odulo libre es libre.

7.1.

Definici´ on y caracterizaciones

odulo sobre el anillo A y  X  = {x1 , . . . , xk } un  Definici´ on 7.1.1. Sea  M   un m´  subconjunto finito de  M . Se dice que  X  (los elementos de  X ) es  ( son )  linealmente dependiente(s ), si existen  a1 , . . . , ak ∈  A  no todos nulos tales que 

x1 · a1  + · · · + xk  · ak = 0 . En caso contrario se dir´  a que  X  es   linealmente independiente, es decir, para  cualesquiera elementos  a1 , . . . , ak de  A  se cumple 



k i=1

xi · ai  = 0  ⇔  ai  = 0, para cada  1  ≤  i  ≤  k .

Un subconjunto no vac´ıo X  de  M   se dice linealmente dependiente si contiene al  menos un subconjunto finito linealmente dependiente. Se dir´  a que  X   es linealmente  independiente si cada subconjunto finito de  X  es linealmente independiente. El con junto vac´ıo es linealmente independiente. Sea  ∅ =  X  ⊂ M , se dice que  X   es una  base de  M  si  X   es linealmente independiente y  {X   = M . Se dice que  M  es   libre si posee al menos una base.

0 es libre con base ∅  y notemos que el anillo A  es libre con base X  =  { 1}.

52

53

´ Y CARACTERIZACIONES 7.1. DEFINICION

olo   X  ⊂  M . X  es una base de  M   si, y s´  Proposici´ on 7.1.2. Sea  M   no nulo y  ∅ = si, cada elemento m de  M   tiene una representaci´  on unica ´  en la forma 

m = x 1 · a1  + · · · + xk  · ak ,

 

(7.1.1)

con  xi  ∈  X , ai ∈  A, 1  ≤  i  ≤  k .

on es consecuencia directa del Demostraci´  on. ⇒): La existencia de una representaci´ concepto de base. Supongamos que m  tiene otra representaci´on en la forma m = y 1 · b1  + · · · + yt · bt , con yi ∈ X , b j ∈ A, 1 ≤ j ≤ t. Sin p´erdida de generalidad (completando con sumandos nulos) podemos suponer que {x1 , . . . , xk } = {y1 , . . . , yt }; tambi´en podemos asumir que x i  = y i, 1  ≤  i  ≤  k. Resulta entonces 0 = x 1 · (a1 − b1 ) + · · · + xk · (ak  − bk ), y por la independencia lineal se tiene que  a i  = bi  para 1 ≤  i  ≤  k. ⇐): La existencia de representaciones como en (7.1.1) implica {X  = M . La unicidad garantiza la independencia lineal. odulo no nulo y  ∅ = Proposici´ on 7.1.3.   Sean  M   un m´    X  ⊂  M . X  es una base de  olo si, M   si, y s´ 



⊕ {x y  Ann (x) :=  {a  ∈  A  |  x · a = 0}  = 0, para todo x  ∈  X . Demostraci´  on. ⇒): De las proposiciones 6.1.3 y  7.1.2 resulta M  = x∈X  ⊕ {x. En vista de la independencia de X , la igualdad x · a = 0, con x  ∈  X  y a  ∈  A, implica a = 0. ⇐): La igualdad M  = x∈X  ⊕ {x  implica  { X  = M . Sean x 1 , . . . , xk   elementos diferentes de X  y a 1 , . . . , ak ∈  A tales que x 1 · a1 + · · · + xk  · ak  = 0. Sup´ongase que alg´ un a i   = 0. Sin p´erdida de generalidad asumamos que a 1   = 0. Entonces, M  =

x∈X 





x1 · a1  ∈ {x1  ∩



{x .

=x1 x∈X,x

Resulta, x1  ·  a 1   = 0, es decir, a1 ∈ Ann (x1 ), lo cual es contradictorio. As´ı pues, a1  =  · · ·  = ak  = 0, y X  es una base de M . Los siguientes ejemplos muestran la diferencia entre los espacios vectoriales sobre cuerpos y los m´odulos sobre anillos.

  X  ⊂ Q  es una Ejemplo 7.1.4. QZ  no es libre. Sup´ongase contrariamente que ∅ = base. Sea x0  ∈  X . De acuerdo con el ejemplo 2.2.2, Q = X 0 , X 0  = X −{x0 }. Existen entonces k1 , . . . , kn ∈ Z y x1 , . . . , xn ∈  X 0  tales que x0  + x1  · k1  + · · · + xn · kn = 0, de donde {x0 , x1 , . . . , xn}  es linealmente dependiente, lo cual es contradictorio. Ejemplo 7.1.5.  No todo subm´odulo de un m´odulo libre es libre. En efecto, seg´un vimos, A es un A-m´odulo libre con base {1}. En particular, Z4 es Z4 -libre. N´otese que N  =  { 0, 2} ≤ Z4  no posee base.

54

7.2.

´ CAP´ITULO 7. MODULOS LIBRES

Cardinalidad de las bases

En la secci´on anterior vimos que no todo m´odulo tiene base. Ahora, si M   es un m´odulo no nulo libre con base X , entonces cambiando alg´ un elemento x ∈ X  por ∗ en una base de M , as´ı pues, si A∗ es x · a, con a ∈ A , el nuevo conjunto es tambi´ infinito, M  tiene infinitas bases distintas. Con esto queda claro que no tiene sentido estudiar la unicidad de las bases, en cambio es interesante revisar el problema del tama˜ no de cada una de ellas. odulo libre finitamente generado posee una base finita. Proposici´ on 7.2.1.   Todo m´  Demostraci´  on.   La proposici´ on se cumple evidentemente para m´odulos nulos. Sean

 0, X   una base de M  y M  = {m1 , . . . , mk . Cada elemento m ∈ M   es una M  = combinaci´ on lineal de los generadores m1 , . . . , mk ; a su vez cada mi  determina un subconjunto finito X i ⊂ X   tal que mi ∈ {X i . Resulta entonces M  = { ki=1 X i, con lo cual ki=1 X i  es una base finita de  M .





odulo libre, o todas las bases son finitas, o todas son  Corolario 7.2.2.   En un m´  infinitas. Demostraci´  on.   El caso M  = 0 es trivial. Sea M  =  0 y X   una base finita de M .

Seg´ un la prueba de la proposici´on  7.2.1, para cualquier otra base Y  de M   existe Y 0  ⊂  Y  finito tal que Y 0  es base. Resulta entonces Y 0  = Y . El contenido de la siguiente proposici´on es conocido para espacios vectoriales sobre anillos de divisi´on. Como veremos a continuaci´o n, la prueba es v´alida para anillos arbitrarios. odulo libre sobre  A   con bases infinitas  X, Y . EnProposici´ on 7.2.3. Sea  M   un m´  tonces,  Card (X ) = Card (Y ).

on Demostraci´  on.   Cada elemento z  de Y  es representable mediante una combinaci´ lineal finita de elementos de X . Adem´as, dado x  ∈  X  existe z  ∈  Y  tal que x est´a en la representaci´on de z . En efecto, sea x = z 1 · α1  + · · · + z m · αm

 

(7.2.1)

la representaci´on de x en t´erminos de elementos de Y . Cada elemento z i , 1  ≤  i  ≤  m, es representable como combinaci´on lineal de elementos de X . Si suponemos que x no aparece en la representaci´on de ninguno de los elementos de Y , entonces x no aparece en la representaci´on de ninguno de los elementos z i, 1 ≤  i  ≤  m. Sea X i el conjunto (finito) de elementos de  X  que intervienen en la representaci´on de z i  y sea X 0  =



m i=1

X i .

7.2. CARDINALIDAD DE LAS BASES

55

Claramente X 0  es finito y x ∈ /  X 0 . De (7.2.1) se desprende que el subconjunto finito X 0  := X 0 ∪ {x} es linealmente dependiente, lo cual contradice el hecho de ser  X  una base para M . As´ı pues, dado x  ∈  X  existe al menos un z  ∈  Y   tal que x est´a en la representaci´on de z . Con ayuda del axioma de elecci´on definimos la funci´on φ :

X  −→ Y 

mediante la regla φ (x) := z , donde z   es un elemento de Y   tal que x   est´a en la representaci´on de z . Sea Y   := φ (X ) y sea z  ∈  Y   . φ −1 (z  ) es el conjunto (finito) de elementos de X  que intervienen en la representaci´on de z  . Esto permite establecer una correspondencia entre Y   y el conjunto de partes finitas de X : Y  z 

φ∗

−→ X  → φ−1 (z  ).

φ∗   es una funci´on inyectiva: en efecto, sea φ−1 (z  ) = φ−1 (z  ) con z  , z  ∈ Y  . Sea x ∈  φ −1 (z  ). Entonces φ (x) = z  = z  (n´otese adem´as que para elementos diferentes z  y z  de Y  se cumple que φ−1 (z  ) ∩ φ−1 (z  ) =  ∅ ). Sea Γ := I m (φ∗ ). Puesto que φ∗  es inyectiva entonces  Card (Γ) = Card (Y  ). Queremos ahora probar que Γ es una partici´on del conjunto X . Por lo que anotamos hace un momento entre par´entesis, basta probar que Evidentemente tanto,



X  =

z  ∈Y  



φ−1 (z  ).

z ∈Y  

φ−1 (z  )  ⊆  X . sea x  ∈  X . Entonces, φ (x) = z  ∈  Y   y, por lo x ∈  φ −1 (z  )  ⊆



z ∈Y  

φ−1 (z  ).

Puesto que X  es infinito entonces Γ es tambi´en infinito. En total se tiene que Γ es una partici´on infinita de partes finitas del conjunto infinito  X , de donde Card (X ) = Card (Γ) = Card (Y  )  ≤  Card (Y ). De manera sim´etrica se establece que   Card (Y ) ≤   Card (X ) . Por el teorema de Cantor-Berstein-Schr¨ oder de la teor´ıa de conjuntos podemos concluir que Card (X ) = Card (Y ) (v´ease [3]). Al final del cap´ıtulo mostraremos que la proposici´ on 7.2.3 no es siempre cierta para el caso de bases finitas.

Proposici´ on 7.2.4.   Sean  X  un conjunto no vac´ıo y  A (X ) la suma directa externa de  la familia  { M x }x∈X , con  M x  := A A . Entonces,  A(X ) es libre con una   base can´  onica  de cardinalidad igual a la de  X . Demostraci´  on.   Para cada x  ∈  X  consideremos la inyecci´on can´ onica

56

´ CAP´ITULO 7. MODULOS LIBRES

µx  :

A −→ A(X ) .

Probaremos que {µx (1)}x∈X  es una base para A(X ) . En primer lugar, es claro que  µx  (1) para x =  x en X . Sea z  = (z x )x∈X    un elemento de A(X ) . Si µx (1) = z  = 0, entonces z  ∈ {µx (1) |  x  ∈  X . Si z  =  0 existe un subconjunto finito X z = n {x1 , . . . , xn} ⊂ X  tal que z  = i=1 µxi (ai ), con a 1 , . . . , an  ∈  A. Entonces 

z  =





n i=1

µxi (1) · ai ∈ {µx (1) |  x  ∈  X .

Sean ahora X 0 = {x1 , . . . , xm }  un subconjunto finito de X  y a1 , . . . , am ∈ A tales que µx1 (1) · a1  + · · · + µxm (1) · am  = 0. Entonces, el elemento z  = (z x )  ∈  A (X ) es nulo, donde z x  =



0, x ∈ /  X 0 ai , x = x i , 1  ≤  i  ≤  m.

Esto implica que ai  = 0 para cada 1  ≤  i  ≤  m, de donde {µx (1)}x∈X  es linealmente independiente. odulo libre con base  X . Entonces  M  ∼ Teorema 7.2.5. Sea  M  un  A-m´  = A (X ) .

un la proposici´on 7.1.3, M  = Demostraci´  on.   Seg´



x∈X 

⊕ {x y Ann (x) = 0, para

cada x  ∈  X . Se tiene adem´as la familia de isomorfismos f x

A −→ {x  a → x·a la cual, de acuerdo con las proposiciones  5.3.5 y  6.1.6, induce el isomorfismo A(X )  ∼ =



 ∼ x∈X  {x =



x∈X 

⊕ {x = M .

Corolario 7.2.6. An es libre con   base can´  onica  {e1 , . . . , en }, ei  := (0, . . . , 1, . . . , 0)T , donde  1  est´  a en la  i -´esima posici´  on, 1  ≤  i  ≤  n. Rec´ıprocamente, sean  A  un anillo y  odulo libre con una base de  n  ≥  1  elementos. Entonces, M  ∼ M  un  A-m´  = A n .

Observaci´ on 7.2.7.   De acuerdo con el teorema  7.2.5, los m´odulos libres sobre A no son m´as que sumas directas externas de  A A. Adem´as, podemos complementar el corolario 7.2.6 y definir A (∅) := A0 := 0.

´ 7.3. MODULOS LIBRES Y HOMOMORFISMOS

7.3.

57

M´ odulos libres y homomorfismos

Es posible caracterizar los m´odulos libres a trav´es de homomorfismos. odulo no nulo y sea  ∅ = Teorema 7.3.1. Sea  M  un  A -m´    X  ⊂  M . Entonces,  M  es libre con base  X  si, y s´  olo si, para cada m´  odulo  N  y cada funci´  on  ψ : X  −→ N  existe un unico ´  A-homomorfismo ψ : M  −→ N  tal que  ψ (x) = ψ (x), para  cada  x  ∈  X . Demostraci´  on. ⇒): m ∈ M   tiene una u ´ nica representaci´o n en la forma m = x1  ·

a1 + · · · + xk · ak , con x i  ∈  X  y a i  ∈  A, 1  ≤  i  ≤  k. La aplicaci´on ψ : M  −→ N  definida por ψ (m) := ψ (x1 ) · a1 + · · · + ψ (xk ) · ak  es claramente un A-homomorfismo que satisface ψ (x) = ψ (x), para cada x ∈ X . Otro A-homomorfismo que cumpla esta condici´on coincide con ψ. ⇐): N´otese que si M   es un m´odulo libre con base X  y N   es un m´odulo con isomorfismo α : M  −→ N ,   entonces N  es libre con base {α (x)}x∈X . Sea pues odulo y X  un subconjunto no vac´ıo de M  que cumple la propiedad del M  un A-m´ enunciado del teorema. Seg´ un la proposici´on   7.2.4, A(X ) es libre con base X  := {µx (1)}x∈X , donde µx  : A −→ A(X ) es la inyecci´on can´onica correspondiente a x  ∈  X . La funci´on ψ :

X  −→ A(X )  → µx (1) x −

ψ :

M  −→ A(X )

induce el A-homomorfismo

tal que ψ (x) := ψ (x) = µ x (1), para cada x  ∈  X . La funci´on θ :

−→ M  X   → x µx (1) −

θ :

A(X )

induce el A-homomorfismo

−→ M 

tal que θ (µx (1)) = θ (µx (1)) = x, para cada x  ∈  X . Se tiene pues el homomorfismo θ  ◦ ψ : M  −→ M , θ  ◦ ψ (x) = x, para cada x ∈ X . Nuevamente por hip´otesis, la funci´ on i :

X  −→ M   → x x −

induce un u ´ nico A-homomorfismo i : M  −→ M  tal que i (x) = x, para cada x ∈  X . Pero tanto iM  como θ ◦ ψ cumplen esta condici´on, por lo tanto, iM  = i = θ ◦ ψ. An´ alogamente, apoy´ andonos en la primera parte ya probada, y teniendo en cuenta

58

´ CAP´ITULO 7. MODULOS LIBRES

que A(X ) es libre, obtenemos que ψ ◦ θ = i A(X ) . As´ı pues, θ es un isomorfismo, con lo cual M  es libre con base X  = θ (X  ). odulos libres con bases  X  y  Y   respectivamente, Corolario 7.3.2.   Sean  M  y  N  m´  con   Card (X ) = Card (Y ). Entonces, M  ∼ =  N .

X  −→ Y  una funci´on biyectiva de X  en Y . Seg´ un el teorema anterior, existe un ´unico A-homomorfismo ψ : M  −→ N  tal que ´ nico A-homomorfismo ψ (x) = ψ (x), para cada x ∈ X . An´alogamente, existe un u −1 θ : N  −→ M  tal que θ (y) = ψ (y), para cada y ∈ Y . Se tiene pues que θ ◦ ψ (x) = x, para cada x  ∈  X . De otra parte, la id´entica iX  : X  −→ X  se extiende de manera ´unica, con lo cual necesariamente θ ◦ ψ = iM . Por simetr´ıa, ψ ◦ θ = iN , con lo cual ψ  es un isomorfismo. Demostraci´  on. Sea ψ :

odulo libre con base  X . Entonces, Corolario 7.3.3. Sea  M   un m´ 

(i) Si  θ : M  −→ N  es un  A-homomorfismo tal que  θ (x) = 0   para cada  x ∈  X , entonces  θ = 0. (ii) Si  θ, α : M  −→ N  son  A -homomorfismos que coinciden en los elementos de  X , entonces  θ = α . (iii) Si  θ :

M  −→ M  es tal que  θ (x) = x  para cada  x  ∈  X , entonces  θ = iM .

N  −→ M  es un homomorfismo sobreyectivo, entonces existe un  homomorfismo inyectivo α : M  −→ N  tal que  N  = ker(θ) ⊕ Im (α), es  decir, θ  es hendido.

(iv) Si  θ :

Demostraci´  on.  Las tres primeras afirmaciones son consecuencia directa del teorema

7.3.1. (iv) Por ser θ una funci´on sobreyectiva, podemos, mediante el axioma de elecci´on, definir una funci´on α : X  −→ N  tal que α  (x) = n, si θ (n) = x. Puesto que M  es libre con base X , existe un ´unico A-homomorfismo α : M  −→ N  tal que α (x) = α (x), para cada x ∈ X . Como la inclusi´o n de X  en M   se extiende de manera u ´nica a la id´entica y θ ◦ α (x) = x, entonces necesariamente θ ◦ α = i M . De la proposici´on 6.2.5 resulta que α  es inyectivo hendido, y adem´as N  = ker(θ) ⊕ Im (α). La siguiente proposici´on muestra que todo m´odulo puede “cubrirse¸con un m´odulo libre. odulo es imagen de un m´  odulo libre. Proposici´ on 7.3.4. Todo m´ 

odulo. Si M  = 0, entonces no hay nada que probar. Demostraci´  on. Sea M  un A-m´ Sea M   un m´odulo no nulo. Seg´ un la proposici´on 7.2.4, A(M ) es un m´odulo libre y X  =  { µm (1)}m∈M  es una base, donde

´ 7.3. MODULOS LIBRES Y HOMOMORFISMOS

µm  :

59

A −→ A(M )

es la inyecci´on can´onica correspondiente a m. Se tiene entonces la funci´on ψ :

−→ M  X   → m µm (1) −

(n´otese que si µ m (1) = µ m  (1) entonces m = m  ). La funci´on ψ se puede extender a un homomorfismo ψ : A(M ) −→ M   . Puesto que ψ es sobreyectiva (m´a s a´ un, biyectiva), entonces ψ  es sobreyectivo. 

odulo finitamente generado es imagen de un m´  odulo libre  Corolario 7.3.5.   Cada m´  de bases finitas.

odulo no Demostraci´  on. Si M  = 0, entonces M   es imagen de A0 = 0. Sea M   un m´ nulo generado por el subconjunto finito Y  = {y1 , . . . , yn }. Sea An la suma directa externa de n copias del m´odulo AA  con la base can´onica X  =  { e1 , . . . , en }  definida en el corolario 7.2.6. Se tiene entonces la funci´on ψ :

X  −→ M   → yi , ei −

la cual puede ser extendida hasta un homomorfismo ψ : An −→ M . N´otese que ψ  es en realidad sobreyectivo. En efecto, sea m ∈ M , existen a1 , . . . , an en A tales que m = y 1 · a1  + · · · + yn · an = ψ (x1 ) · a1  + · · · + ψ (xn) · an = ψ (x1 ) · a1  + · · · + ψ (xn) · an = ψ (x1 · a1  + · · · + xn · an ). As´ı pues, M  es la imagen de A n . Terminamos el cap´ıtulo presentando el concepto de dimensionalidad. La proposici´on 7.2.3 puso en claro que para un anillo arbitrario A y un m´odulo libre M   de bases infinitas podemos definir la dimensi´on de M  como el cardinal de una cualquiera de sus bases. Para bases finitas la situaci´on puede cambiar, como lo ilustra el siguiente ejemplo.

Ejemplo 7.3.6. Sea M   un m´odulo libre sobre un anillo B   con base numerable X  = {xi }∞ i=1 , y sea A = End B (M ) su anillo de endomorfismos. Consideremos la estructura natural de A-m´odulo a izquierda sobre A. A es entonces libre con base {1}. Construimos una base de A con dos elementos: sean f , g   funciones definidas por

60

´ CAP´ITULO 7. MODULOS LIBRES

f, g : f  (xi ) = g (xi ) =

 

X  xn , 0, 0, xn,

−→ M  si i = 2n, si i = 2n − 1. si i = 2n, si i = 2n − 1.

Como M   es libre, f , g pueden ser extendidas a B-endomorfismos de M , f , g. Veamos que f , g  es una base de A. Sea h  ∈  A  y consideremos las funciones

 

t j : X  −→ M , j = 1, 2. t1 (xi ) = h (x2i ) t2 (xi ) = h (x2i−1 ),

para cada i = 1, 2, . . . . Sean t 1 , t 2  los B-endomorfismos inducidos por t 1  y t 2 . N´otese que h = t 1 f  + t2 g. En efecto, si i = 2n, entonces





 



 

t1 f  + t2 g (xi ) = t 1 f  (xi ) + t2 (g (xi )) = t 1 (xn) + t2 (0) = t 1 (xn) = h (x2n) = h (xi ).

Si i = 2n − 1, entonces



t1 f  + t2 g (xi ) = t 1 f  (xi ) + t2 (g (xi )) = t 1 (0) + t2 (xn ) = t 2 (xn ) = h (x2n−1 ) = h (xi ).

Consideremos por u ´ ltimo la independencia lineal: sean h 1 , h 2  ∈  A tales que h1 f  + h2 g = 0. Entonces, para cada i = 1, 2, . . . se tiene

 

  

h1 f  + h2 g (xi ) = 0,

en particular,



h1 f  + h2 g (x2i ) = h 1 f  (x2i )  = h 1 (xi ) = 0, h1 f  + h2 g (x2i−1 ) = h 2 (g (x2i−1 )) = h 2 (xi ) = 0,

es decir, h 1  = h2  = 0. Seg´ un el corolario 7.2.6 se tiene la curiosa relaci´on A  ∼ = A 2 .

61

7.4. EJERCICIOS

Definici´ on 7.3.7.   El anillo A   se dice  dimensional  si para cualesquiera enteros  positivos  m, n  se cumple  Am  ∼ = A n ⇔  m = n . Si  A  es dimensional y  M  es un  A -m´  odulo libre de bases finitas, se define la   dimensi´  on  de  M , y se denota por  dim(M ), como el cardinal de una cualquiera de sus  bases.

En la literatura los anillos dimensionales se conocen tambi´en como anillos I BN  (Invariant Basis Number ) . En [16] se puede consultar un estudio recopilativo de los anillos dimensionales. Demostraremos a continuaci´ on que los anillos conmutativos son dimensionales, apoy´ andonos en la proposici´on   4.3.6. Sean R   un anillo ∼ Rn . Sean I   un ideal maximal de conmutativo y m, n   enteros tales que Rm = R y R := R/I  el respectivo cuerpo residual, se tiene entonces el R-isomorfismo HomR Rn, R  ∼ = H omR Rm , R . El teorema 5.3.6 garantiza el R-isomorfismo

 

        HomR R, R

n

∼ = HomR R, R

m

.

n m Seg´ un (4.3.4), R ∼ ease [14]), =R y, puesto que los cuerpos son dimensionales (v´ entonces m = n.

7.4.

Ejercicios

1. Demuestre que los vectores v1   := (1, 2)T , v2   := (3, 4)T  ∈ Z2 son linealmente independientes pero no constituyen una base de  Z 2 . 2. Sea A  un anillo. Calcule dos bases distintas del A-m´odulo A[x]. 3. Sea A  un anillo. Calcule dos bases distintas del A-m´odulo M n (A), con n  ≥  1. 4. Demuestre que los anillos finitos son dimensionales. 5. Demuestre que todo m´ odulo sobre un anillo de divisi´ on es libre. 6. Demuestre que los anillos de divisi´ on son dimensionales. 7. Demuestre que cada sistema minimal de generadores de un m´odulo libre de dimensi´ on finita sobre un anillo de divisi´on es una base. 8. Sea A  un anillo y sea J  un ideal propio de A  tal que A/J  es un anillo dimensional. Demuestre que A  es tambi´en un anillo dimensional. 9. Sea A  un anillo. Demuestre que las siguientes condiciones son equivalentes:

62

´ CAP´ITULO 7. MODULOS LIBRES

a )

A es dimensional.

b)

Para cualesquiera m, n ≥   1, dadas dos matrices F  ∈ M m×n(A), G ∈ M n×m(A) con F G = E m , GF  = E n, se tiene que m = n (E m  es la matriz id´entica de orden  m, v´ease [18]).

10. Ilustre con un ejemplo que si un m´ odulo M A   es libre y M  es un sumando directo de M , entonces no necesariamente M  es libre. 11. Sea R un anillo conmutativo y sean M  y N  m´odulos libres de bases finitas. Demuestre que H omR (M, N ) es libre. Calcule su dimensi´on. 12. Sea R   un anillo conmutativo y sea M  un R-m´ odulo libre de dimensi´o n 2. Demuestre que no existe ning´un epimorfismo de R  en  M .

Cap´ıtulo 8 M´ odulos finitamente generados sobre  DIP s El tema central del presente cap´ıtulo es el estudio de los m´odulos finitamente generados sobre DIPs (dominios de ideales principales, v´ease [18]), y como aplicaci´on de esta teor´ıa general, demostrar el teorema de estructura de los grupos abelianos finitamente generados. A pesar que la mayor´ıa de las definiciones y propiedades presentadas en este cap´ıtulo son v´alidas para dominios de integridad arbitrarios, si no se advierte lo contrario, R  denotar´a un DI P .

8.1.

M´ odulos de torsi´ on

Sea K  el cuerpo de fracciones de R y sea M  un R-m´odulo. N´otese que si V   es un K -espacio y v ∈ V, k ∈ K   son tales que v  · k  = 0, entonces necesariamente v = 0 o´  k  = 0. Sin embargo en m´odulos sobre anillos tal situaci´on no es siempre cierta. odulo y sea  m  ∈  M , se dice que  m  es un  elemento Definici´ on 8.1.1. Sea  M  un  R-m´  on de todos los elementos  de torsi´  on   si existe  r   = 0  en  R  tal que  m · r = 0. La colecci´  de torsi´  on de  M  se denota por  T (M ). Se dice que  M   es un  m´  odulo de torsi´  on  si  odulo nulo por definici´  on  on  si  T (M ) = 0. El m´  T (M ) = M , y que  M  es   sin torsi´  es un m´  odulo sin torsi´  on. odulo. Entonces, Proposici´ on 8.1.2. Sea  M  un  R-m´ 

(i) T (M )  es un subm´  odulo de  M . (ii) M/T (M )  es sin torsi´  on. odulo sin torsi´  on y  N  ≤  M , entonces  N  es sin torsi´  on. (iii) Si  M  es un m´ 

63

64

´ CAP´ITULO 8. MODULOS FINITAMENTE GENERADOS SOBRE   DIPS 

Demostraci´  on.  Todas las afirmaciones son consecuencia directa de las definiciones.

Ejemplo 8.1.3. R como R-m´odulo es sin torsi´on; K  como R-m´odulo es sin torsi´on. En cambio, K/R es de torsi´on. Sea p  un elemento irreducible de  R, y sea  a K  p  :=  { n | a ∈  R, n ≥  0 }.  p N´otese que K  p  es un R-m´odulo sin torsi´on; en cambio R p (v´ease [18]).

∞

:= K  p /R es de torsi´on

Sea P   la colecci´on de elementos irreducibles de R (recordemos que en un  DIP , P  coincide con la colecci´on de elementos primos, v´ease [18]). odulo y sea  p  ∈ P . Se dice que  M   es un  m´  Definici´ on 8.1.4. Sea  M  un  R-m´  odulo n  p-primario  si para cada  m ∈  M   existe  n  ≥  0  tal que  m · p = 0 .

Sea M  un R-m´odulo y sea p  ∈ P ; definimos un n  ≥  0 }. M ( p) := { m  ∈  M  | m · pn = 0, para alg´ M ( p) se denomina la  componente p-primaria  de M .

Proposici´ on 8.1.5. Sea  M  un  R-m´  odulo y sea  p  ∈ P , entonces  M ( p) ≤  T (M ). Demostraci´  on.  La prueba es un sencillo ejercicio que dejamos al lector. odulo de torsi´  on. Entonces, M  es suma directa de  Teorema 8.1.6. Sea  M  un  R-m´  sus componentes primarias, es decir,

M  =



⊕M ( p) .

 p∈P 

Demostraci´  on.   Sea 0 =   m ∈ M  (si m = 0, claramente m ∈



( p)

). Como M  es de torsi´on, existe r   = 0 en R − R tal que m · r = 0. Como R  es un DF U ,  r  tiene una (´ unica) descomposici´on en producto de irreducibles ∗

 p∈P  M 

=  p j ,   para i  = j, 1  ≤  i, j  ≤  t. r = p k11 · · · pkt t , p j ∈ P , k j ≥  1, pi   Sea

k

k

j 1 j +1 kt r j := p k11 · · · p j − 1  p j +1 · · · pt , 1  ≤  j ≤  t. −

Claramente m.c.d.(r1 , . . . , rt ) = 1 y por tanto existen  s 1 , . . . , st  ∈  R  tales que r1 s1  + · · · + rt st  = 1.

65

´ ´ 8.2. 8.2. MODULOS SIN TORSI ON

De esta manera m = m · r1 s1  + · · · + m · rt st, donde claramente m · r j s j ∈ M ( pj ) para 1  ≤  j ≤  t,   un elemento fijo de P  y sea  t , es decir, m  ∈  p∈P  M ( p) . Sea ahora q  un (q ) ( p) m ∈ M  ∩  p=q M  . Existen p1 , . . . , pr  irreducibles distintos y diferentes de q , n  ≥  0, y  m j ∈  M ( pj ), 1  ≤  j ≤  r,  r , tales que





m · q n = 0, n

 =  m 1 + · · · + mr . m = m

n

Sea p Sea  p j j  tal que m que  m j  ·  p j j = 0, 0, para cierto cierto n  n j ≥  0, 1  ≤  j ≤  r.  r . Entonces 0. m · pn1 1 · · · prnr = m 1 · pn1 1 · · · prnr + · · · + mr ·  pn1 1 · · · prnr = 0. Como el m.c.d. el m.c.d. entre  entre q  existen a =  p n1 1 · · · prnr a +  q n y pn1 1 · · · prnr es 1, existen  a,, b  ∈  R tales  R  tales que 1 = p q n b. De esta igualdad tenemos  =  m · pn1 1 · · · prnr a + m · q nb  = 0. m  = m Esto muestra que la suma



( p)

 p∈P  M 

es directa.

odulo de torsi´  on finitamente generado. Entonces  Corolario 8.1.7. Sea  M  un  R-m´  M  es suma directa finita de sus componentes primarias no nulas. Demostraci´  on. Sea M  = x1 , . . . , xm , entonces la descomposici´ on on de cada xi de-

termina un subconjunto finito P i ⊆ P   de tal forma que M  ⊆



⊕M ( p) , donde

 p∈P M  M 

( p)

:=  P 1 ∪ · · · ∪ P m y M  = para  p  ∈ P M  P M   0 para p M  := P  M . Pero como la suma total es directa, ( p) entonces  M  = 0 para p ∈ ⊕M ( p) . / P M  M , y de esta forma  M  =

 

 p∈P M  M 

8.2.

M´ odulos odulos sin torsi´ on on

Ahora estudiaremos los R los  R-m´ -m´odulos odulos finitamente generados sin torsi´on. on. odulo libre es sin torsi´  on. Proposici´ on on 8.2.1.   Cada  R-m´  Demostraci´  on.   En efecto, sea M   on. Sea M   libre; si M   M   = 0, entonces M   M   es sin torsi´on.

 0, y sea X  una  0 en R  tal que m · r = 0, M  = X  una base de M . Sea m ∈ M   M   y sea r = entonces m = x1 ·  r 1 +  · · ·  + x  +  x k ·  r k , con ri ∈ R y xi ∈ X , 1 ≤ i ≤ k . Luego, donde  r i  = 0 ya m · r =  x 1  · r1 r + · · · + xk  · rk r, y entonces ri r  = 0 para cada i, de donde r que R  es un dominio de integridad. Esto implica que m  = 0 (notemos que en esta prueba R prueba  R  puede ser cualquier  DI  ).  D I ). odulo libre de dimensi´  on finita y sea  N  ≤  M . Proposici´ on on 8.2.2. Sea  M  un  R-m´  Entonces, N  es libre y  dim(N    dim(N )) ≤  dim(M   dim(M )).

66

´ CAP´ITUL ITULO O8 8.. MODULOS FINITAMENTE GENERADOS SOBRE   DIPS 

  = 0, entonces N  =   = 0 es libre de dimensi´on on 0. Sea M  no Demostraci´  on. Si M  = M  no nulo; sea X  = { x1 , . . . , xn }  una base de M , para cada 1  ≤  k  ≤  n definimos  n  definimos := N  ∩  ∩ x1, . . . , xk . N k := N  Demostremos que N  que  N k  es libre con dimensi´on on ≤  k.  k . De esto resulta en particular que on ≤ n. Para k = 1 N n = N  ∩ x1 , . . . , xn  = N  ∩  M  = N   N   es libre con dimensi´on tenemos que N 1 = N  ∩ x1 ; definimos I 1 := (N  : x1) = {r ∈ R | x1 · r ∈ N }. N´otese otese que I 1  es un ideal de R  y por tanto I 1 = a1. Adem´as, as, N 1 = x1  · a1 : en efecto, sea x  ∈  N 1 , entonces x =  x 1  · r ∈  N ,  N , luego r ∈  I 1  y de esta forma r =  a 1 s. Esto garantiza que x que  x =  = (x1 · a1 ) · s  ∈ x1 · a1 , es decir, N  decir,  N 1  ⊆ x1 · a1   De otra parte, por definici´ definici´ on x on  x 1 · a1  ∈  N , decir,  x 1 · a1  ∈  N  ∩  =  N 1 , de donde   x1 · a1  ⊆ N 1 .  ∩ x1  = N   N , es decir, x Notemos que N  que  N 1  es libre con dimensi´on on ≤  1. Suponemos ahora que N  que N k  es libre de dimensi´on on ≤  k, caso  k + 1.  k , y consideremos el caso k Sea I  Sea  I k+1  := (N  +  + x1 , . . . , xk  : x  :  x k+1 ) =  { r  ∈  R | xk+1 · r  ∈  N  +  + x1 , . . . , xk }. Existe entonces  a k+1  ∈  R tal que  I k+1  =   ak+1 . Se tiene entonces que  R  tal que I   =  z  +  + x1 · b1 + · · · + xk  · bk , xk+1 · ak+1  = z  con z  con  z  ∈  N  y  b i ∈  R, 1 ≤  i  ≤  k.  k . Vamos a mostrar que  =  N k  + z . N k+1  = N 

 

(8.2.1)

En efecto, sea x sea  x  ∈  N k+1 , entonces x entonces  x  ∈  N  y  x =  x  = x  x 1 · c1 + · · · + xk+1 · ck+1 , esto implica que x que xk+1 · ck+1  = x  =  x − (x1 · c1 + · · · + xk · ck )  ∈  N + que ck+1  ∈  I k+1 ,  N + x1 , . . . , xk , o sea que c por tanto, c tanto, ck+1  = a  =  a k+1 d. De esta forma, x forma,  x =  = x  = x1 · c1 +  x 1 · c1 + · · · + xk · ck + xk+1 · ak+1 d  =x  = x1 · c1 +· · · +xk ·ck +x1 ·b1 d +· · · +xk · bk d +z · d ∈ · · · +xk ·ck +z · d+x1 ·b1 d+ · · · +xk · bk d =x que x1 ·c1 +· · ·+xk ·ck +x1 ·b1 d+· · · +xk ·bk d  = x  =  x −z ·d ∈ x1 , . . . , xk ∩ N . Es N k +z  ya que x decir, N  decir,  N k+1  ⊆  N k + z . Rec´ıprocam ıpro camente, ente, como com o  N k ⊆  N k+1 y  z  ∈  N  ∩ x1 , . . . , xk+1 , entonces z  ∈ N k+1 , y de esta forma tambi´ en en N k  +  z  ⊆ N k+1. Esto completa la prueba de (8.2.1 (8.2.1). ). Si z  = 0, N k+1 = N k  y de esta forma dim N k+1   = dim N k ≤ k < k  + 1. Sea  0; si ak+1  = 0, entonces z  ∈  N  ∩ x1 , . . . , xk   =  N k   y nuevamente N k+1 = N k . z  = Sea pues ak+1 =  0, veamos que en este caso la suma es directa. Sea x ∈ N k  ∩ z , entonces  x = luego  x =  = x  x  = x  x 1 · c1 + · · · + xk · ck ∈  N  y  x =  x  = z   z  · c, luego x  x 1 · c1 + · · · + xk · ck = (xk+1 · ak+1 )  ·  c  −  (x  ( x1 · b1 + · · · + xk  · bk )  ·  c,  c , y por la independencia lineal se tiene que ak+1 c   = 0. Como ak+1 =  0, entonces c   = 0 y de esta forma x  = 0. Se tiene entonces que N  que  N k+1  = N   =  N k ⊕ z   con  z   = 0; si Y  si  Y  es  es una base de N  de  N k , entonces Y  entonces  Y  ∪ {z } es una base de N k+1  (como M   odulo sin torsi´on, on, luego M   es libre entonces  M  es  M  es un m´odulo dim( N k+1 )  ≤  k + Ann( Ann(z ) = 0). Esto implica que dim(N   k  + 1. demostra r (v´ease ease [21 21]) ]) que la condici´on on de finitud Observaci´ on on 8.2.3.   Se puede demostrar puede ser eliminada en la proposici´on 8.2.2 on  8.2.2,, es decir, en DIPs en  DIPs cada  cada subm´odulo odulo de un m´ odulo odulo libre es libre.

67

8.3. RANGO RANGO

odulo sin torsi´  on finitamente generado. Entonces  Teorema 8.2.4. Sea  M  un  R-m´  M  es libre.

odulo nulo es por definici´on odulo on libre. Sea M  Sea  M  no  no nulo generado por Demostraci´  on.  El m´ el subconjunt subconjuntoo finito X  = {x1 , . . . , xm }   de elementos no nulos de M . M . Sea L la colecci´ on on de subconjuntos de X  de  X  no  no vac´ vac´ıos y linealmente l inealmente independientes. indep endientes. Como M  Como  M  es sin torsi´on, on, los subconjuntos unitarios de X   an en L, con lo cual este ´ultimo ultimo no X   est´an es vac´ vac´ıo. ıo . Sea  X 0 =  { x1 , . . . , xn}, n  ≤  m,  m , uno de los elementos de L  de cardinalidad m´axima axima (se reordenan los ´ındices ındices si es necesario). Para cada x cada  x  ∈  X ,  X , el subconjunto {x1 , . . . , xn , x}   es linealmente dependiente. Por tanto, para cada x ∈ X   X   existen elementos no todos nulos r nulos  r x, r1 , . . . , rn  ∈  R  tales que x · rx + x1 · r1 + · · · + xn · rn  = 0.

 

(8.2.2)

ser´ıa linelamente linela mente dependiente. depen diente. Sea r := rx   es no nulo, ya que de lo contrario X 0   ser´ entonces r   = 0 y definimos M  definimos M ·r  :=  { m·r  |  m  ∈  M }; n´otese otese que M  que M  ∼ rx1 · · · rxm , entonces r =  M ·r y adem´as M  as M  · r  ⊆ X 0 . Esto ultimo u ´ltimo se tiene ya que m que  m · r  = (x1 · a1 + · · · + xm · am ) ·  +  x m ·  a m rx1 · · · rxm , pero seg´ un un (8.2.2 8.2.2)) cada sumando r = x1  ·  a1 rx1 · · · rxm +  · · ·  + x est´a en X 0. El resultado se desprende entonces de la proposici´on 8.2.2 on  8.2.2.. on de finitud el teorema anterior es falso: QZ . Ejemplo 8.2.5.  Sin la condici´on

8.3.

Rango

Basados en el siguiente resultado, definiremos el rango de un  R-m´ odulo finitamente  R -m´odulo generado. odulo finitamente generado. Entonces, Teorema 8.3.1. Sea  M  un  R-m´ 

(i)   Existe  N  ≤  M   libre tal que  M  =  T (  T (M ) M ) ⊕ N.

 

(8.3.1)

(ii)   Sean  N, N  tales que  M  = T ( T (M ) M ) ⊕ N  = T ( T (M ) ⊕ N  , entonces  N  y  N  son  libres e isomorfos.

que  M/T  odulo sin torsi´on, on, adem´as as como M  como M  Demostraci´  on.  (i) Sabemos que M /T ((M ) es un m´odulo es finitamente generado, entonces M entonces  M/T  e s tambi´ t ambi´en en finitamente generado. generad o. Seg´un un /T ((M ) es el teorema 8.2.4 teorema  8.2.4,, M/T  on finita). Entonces, el homomorfismo  M /T ((M ) M ) es libre (de dimensi´on can´ onico onico j : M  → M/T ( 7.3.3), esto implica que M  = M/T (M ) es hendido (corolario   7.3.3), ker( j) ker( j)) = T ( otese  j )  ⊕  N ,  N , con N  ≤ M , M , pero ker( j T (M ), M ), luego, M  = T ( T (M ) M )  ⊕  N .  N . N´otese entonces que N  que  N  ∼ on finita.  M /T ((M ) M ) es libre de dimensi´on =  M/T   (ii) Si M  Si  M  = T ( entonces  N  ∼  T (M ) M ) ⊕ N  =  T (  T (M ) M ) ⊕ N  , entonces N   M /T ((M ) M )  ∼ =  M/T  =  N 

68

´ CAP´ITULO 8. MODULOS FINITAMENTE GENERADOS SOBRE   DIPS 

El teorema anterior divide el estudio de los R-m´ odulos finitamente generados sobre DIPs en dos partes: los m´odulos de torsi´on y los que no tienen torsi´on. Estos u ´ ltimos son libres; adem´as, la parte libre N  de M  es u ´ nica, salvo isomorfismo, y es finitamente generada, por tanto, N   es un m´odulo de dimensi´on finita, digamos r. As´ı pues, N  ∼ =  R r y r  es un invariante para M . odulo finitamente generado sobre un DIP, se  Definici´ on 8.3.2. Sea  M  un  R-m´  denomina   rango de  M , y se denota por   rank (M ), a la dimensi´  on de la parte libre  de  M .

Seg´ un la proposici´on   8.2.1, si M   es libre, entonces T (M ) = 0 y   rank(M ) = dim(M ).

8.4.

Componentes primarias

La parte de torsi´on T (M ) en la descomposici´on (8.3.1) es ´unica para M   y agrupa los elementos de torsi´on de M . Seg´ un el teorema 8.1.6, T (M ) es suma directa finita de sus componentes primarias. La idea ahora es estudiar cada componente primaria. Para la prueba del teorema 8.4.2 necesitamos el siguiente resultado v´alido en DIPs. odulo finitamente generado. En  M   cada cadena  Proposici´ on 8.4.1. Sea  M  un  R -m´  ascendente de subm´  odulos se detiene, es decir, dada la cadena de subm´  odulos 

M 1  ≤  M 2 ≤ M 3  ≤ · · · existe  n  ≥  1  tal que  M n+k  = M n   para todo k  ≥  0 . Demostraci´  on.   Como R   es un DI P , cada cadena ascendente de ideales de R se

detiene (v´ease [18]). Aplicando el teorema de correspondencia (teorema   3.2.2), se obtiene inmediatamente que en R/I , con I  un ideal de R, cada cadena ascendente de R-subm´ odulos se detiene. Sea M  =   x1 , . . . , xn  = x 1 · R + · · · + xn · R. Para cada 1  ≤  i  ≤  n se tiene el R-isomorfismo R/Ann(xi )  ∼ = x i · R. Por tanto, cada x i · R tiene la propiedad exigida. Resta probar que si M 1 , M 2   son subm´odulos de M   que tienen la propiedad requerida, entonces M 1 +M 2  tambi´en la tiene: (M 1 +M 2 )/M 2  ∼ = M 1 /(M 1 ∩ M 2 ), como M 1   cumple la condici´on de cadena ascendente, entonces claramente M 1 /M 1  ∩  M 2 satisface tambi´en dicha condici´on, y en consecuencia, (M 1  + M 2 )/M 2  goza tambi´en de la propiedad mencionada. El problema se reduce ahora a demostrar que si N/L y on de cadena L son m´odulos con la condici´on, entonces N  es un m´odulo con condici´ asecendente: en efecto, sea N 1 ⊆ N 2  ⊆ · · ·  una cadena ascendente de subm´odulos de N ; resultan en L y  N/L las cadenas ascendentes N 1 ∩ L  ⊆  N 2 ∩ L  ⊆ · · ·  ,

69

8.4. COMPONENTES PRIMARIAS

(N 1  + L)/L ⊆  (N 2  + L)/L ⊆ · · · ; por consiguiente, existen k, l tales que N k ∩ L = N k+i ∩ L y (N l +L)/L = (N l+i +L)/L para todo i  ≥  0, luego N l  + L = N l+i  + L para i  ≥  0. Sea n = m´ax{l, k}, entonces N n  + L = N n+i  + L y N n ∩ L = N n+i  ∩ L para i ≥  0. Resulta (N n  + L) ∩ N n+i = (N n+i +L) ∩ N n+i , de donde N n +(L ∩ N n+i ) = N n+i , por tanto, N n +(L ∩ N n) = N n+i y en consecuencia, N n  = N n+i  para todo i  ≥  0. odulo p-primario finitamente generado. Entonces, Teorema 8.4.2. Sea  M  un  R-m´  odulos c´ıclicos. M  es suma directa finita de subm´  Demostraci´  on. Si M  es c´ıclico, el resultado se tiene trivialmente. Supongamos que

M   no es c´ıclico. Paso 1. Sea M  =   x1 , . . . , xm , x i   = 0, 1  ≤  i  ≤  m, entonces existen n 1 , . . . , nm  ≥ 1, m´ınimos, tales que xi ·  p ni = 0, 1 ≤ i ≤ m. N´otese que Ann(xi ) =  pni : en efecto, sea Ann(xi ) =  r, como x i · pni = 0, entonces p ni ∈ r , de donde r | pni , es decir, r = psi , con si ≤ ni; pero como ni  es m´ınimo, entonces si = ni . Sin p´erdida de generalidad podemos asumir que n1 ≥ ni   para cada 1 ≤ i ≤ m. Entonces, Ann(x1 ) =   pn1   = Ann(M ). Paso 2 . Vamos a probar que x1   es sumando directo de M . Puesto que M  no es c´ıclico se tiene que M  =   x1 . = y  ∈  M  tal que Paso 2.1. Probemos que existe 0  

x1  ∩ y = 0.

 

(8.4.1)

Sea z  ∈ M  −  x1 ; existe un entero m´ınimo j ≥  1 tal que z  ·  p j ∈ x1    (sabemos que z  ·  p n1 = 0 ∈ x1 ), luego z  ·  p j = x1 ·  a, a ∈ R, n1 ≥ j. Sea pk la mayor potencia de p   que divide a, es decir, a = pk b, con   m.c.d.(b, p) = 1. Veamos que k ≥  1: 0 = z  ·  pn1 = (z  ·  p j ) ·  pn1 − j = (x1 · a) ·  pn1 − j = x1 · pk b ·  pn1− j , de donde  pk bpn1− j ∈  Ann(x1 ) =   pn1 , luego p n1− j +k b = p n1 c, y como p no divide a b  entonces k  −  j ≥   0, de donde k ≥ j ≥  1. Definimos y := z  ·  p j−1 −  x 1  ·  bp k−1 , n´otese que  0 (de lo contrario z  ·  p j −1 ∈ x1 ). Probemos entonces que x1 ∩ y  = 0: sea y= y  · s = x1  · d; si p   s, entonces m.c.d. ( pn1 , s) = 1, con lo cual 1 = ds + epn1 , y de esto se obtiene que y = y  ·  ds + y  ·  ep n1 = y  ·  ds + 0 = y  ·  ds ∈ x1 , resultando z  ·  p j −1 = y + x1  · bpk−1 ∈ x1 , lo cual es falso. Por lo tanto p|s y entonces s = pt, luego y · s = y · pt = (z · p j −1 − x1 · bpk−1 ) · pt = z · p j t − x1 · bpk t = x 1 · at − x1 · at = 0; (si en el razonamiento anterior a = 0, entonces z  ·  p j = 0, y y := z  ·  p j −1 satisface = 0 y   x1  ∩ y  = 0). y   on de subm´odulos no nulos N  de M   tales que x1 ∩ N  = Paso 2.2 . Sea L la colecci´ 0; seg´ un (8.4.1), L =  ∅, y por el lema de Zorn, existe un subm´odulo no nulo N  en M   que es maximal para esta propiedad. Vamos a mostrar que M  = x1   +  N . Consideremos el cociente M/N , notemos que 0 =  x1 ∈ M/N   y probemos que M/N  =   x1 . Supongamos lo contrario; puesto que M/N  es p-primario finitamente

 

70

´ CAP´ITULO 8. MODULOS FINITAMENTE GENERADOS SOBRE   DIPS 

generado y Ann(x1 ) =  pn1  = Ann(M/N ), entonces por lo probado antes, existe 0 =  y en M/N   tal que y ∩ x1   = 0, luego (y + N )  ∩ x1   = 0 (en efecto, si y · s + q  = x 1 · r, con q  ∈  N , entonces y · s + q  = x 1 · r, luego y · s = x 1 · r, de donde x1 · r = 0. Resulta pues que x1  · r  ∈ x1  ∩ N   = 0). Pero y  + N   N   pues y ∈ /  N , lo cual contradice la maximalidad de N . Paso 2.3 . En total se obtiene que  M /N  =   x1 . Sea x  ∈  M , entonces x = x 1 · r, luego x − x1 · r  ∈  N , de donde M  =  x1  + N , y por la construcci´on, M  =   x1  ⊕ N . Paso 3 . Podemos ahora completar la prueba del teorema. Denotemos z 1 := x1 y N 1 := N ; seg´ u n vimos en el   Paso 2 , M  = z 1  ⊕  N 1 . N´otese que N 1   satisface las mismas hip´ otesis que M . Si N 1  es c´ıclico, hemos terminado. Supongamos que N 1   no es c´ıclico. Entonces, N 1 = z 2  ⊕  N 2 , donde Ann(z 2 ) =  pn2 . N´otese que n1  ≥  n 2  ya que N 1 · pn1 = 0. De esta forma podemos continuar y obtener una cadena z 1   z 1  ⊕ z 2   · · · . Pero en vista de la proposici´on   8.4.1  esta cadena debe detenerse, es decir, para alg´un t, N t  es c´ıclico, luego M  =   z 1  ⊕ z 2  ⊕ · · · ⊕ z t   es una suma directa finita de subm´odulos c´ıclicos. En la demostraci´on del teorema  8.4.2 vimos que M  = z 1  ⊕ z 2  ⊕ · · · ⊕ z t , adem´as Ann(z i ) =  pni  y n1 ≥ n2   ≥ · · · ≥ nt ≥   1. Pero n´otese que z i  ∼ = ni R/Ann(z i ) = R/ p  = R pni . Hemos probado el siguiente resultado. odulo p-primario finitamente generado. Entonces  Corolario 8.4.3. Sea  M  un  R-m´  existen enteros  1  ≤  n1  ≤  n2  ≤ ·· · ≤  nt  tales que 

M  ∼ = R pn1  ⊕ · · · ⊕ R pnt .

 

(8.4.2)

Demostraci´  on.  Basta renombrar los exponentes y tener en cuenta que la suma di-

recta externa es conmutativa. Veamos ahora la unicidad de la descomposici´ on (8.4.2).

Corolario 8.4.4. Sea  p   un irreducible de  R   y sean  1 ≤ n1 ≤ n2   ≤ · · · ≤ nt ; 1  ≤  l 1  ≤  l 2  ≤ ·· · ≤  l r  enteros positivos tales que se tiene el siguiente  R -isomorfismo R pn1  ⊕ · · · ⊕ R pnt ∼ =  R pl1  ⊕ · · · ⊕ R plr . Entonces  r = t y  ni  = li   para  1  ≤  i  ≤  t .

on 5.3.7 con  I i  =   pni , J  j =   plj , 1  ≤  i  ≤ Demostraci´  on.  Basta aplicar la proposici´ t, 1  ≤  j ≤  r.

8.5. DIVISORES ELEMENTALES Y FACTORES INVARIANTES

8.5.

71

Divisores elementales y factores invariantes

Sea M  un R-m´ odulo p-primario finitamente generado. El invariante de M   definido por los corolarios 8.4.3 y  8.4.4 se denota por (n1 , . . . , nt ) p ,

1  ≤  n 1  ≤ ·· · ≤  n t .

Recordemos que si M   es un R-m´odulo finitamente generado y de torsi´on, el conjunto P M , definido por = 0 }, P M  :=  { p ∈ P |  M ( p)  es finito y u ´ nico para M , donde P  es la colecci´on de irreducibles de  R y M ( p) es la componente p-primaria de M  (v´ease la demostraci´on del corolario 8.1.7). odulo finitamente generado y de torsi´  on. La coDefinici´ on 8.5.1. Sea  M  un  R-m´  lecci´  on 

{(n1 , . . . , nt ) p  |  1  ≤  n 1  ≤ ·· · ≤  nt } p∈P M  definida por las componentes primarias de  M   se denomina sistema de   divisores elementales de M .

Los resultados de las secciones precedentes se pueden resumir en el siguiente teorema de estructura de los m´odulos finitamente generados sobre dominios de ideales principales. odulo finitamente generado. Entonces, M   se desTeorema 8.5.2. Sea  M  un  R-m´  compone en suma directa de su subm´  odulo de torsi´  on  T (M )   y un subm´  odulo libre  N : M  = T (M ) ⊕ N. La parte libre  N   est´  a un´ıvocamente determinada salvo isomorfismo. M´  as exactar ∼ mente, existe un ´  unico entero r ≥ 0   tal que  N  = R (si  M   es de torsi´  on  r = 0 y  on  T (M ) es unica ´  y est´  a conformada por los elementos de  N  = 0) . La parte de torsi´  torsi´  on de  M . T (M )  es suma directa finita de sus componentes primarias, es decir, existe un conjunto finito p1 , . . . , ps  de elementos irreducibles de  R, unicos ´  para  M , tales que 

T (M ) = T (M )( p1) ⊕ · · · ⊕ T (M )( ps ) . Cada componente primaria  T (M )( p) es una suma directa finita de subm´  odulos c´ıclicos 

T (M )( p)  ∼ =  R pn1  ⊕ · · · ⊕ R pnt ,

con  1  ≤  n1  ≤ ·· · ≤  nt . T (M )( p) est´  a un´ıvocamente determinado por  (n1 , . . . , nt ) p , y  a su vez, T (M )  est´  a un´ıvocamente determinado por sus divisores elementales:

(n11 ,  · · ·  , n1t1 ) p1 , 1  ≤  n 11  ≤ ·· · ≤  n1t1 .. .

...

(ns1 ,  · · · , nsts ) ps , 1  ≤  n s1  ≤ ·· · ≤  n sts .

72

´ CAP´ITULO 8. MODULOS FINITAMENTE GENERADOS SOBRE   DIPS 

on se sustenta con todos los resultados precedentes. Demostraci´  on.  La demostraci´ Sea M  un R-m´odulo finitamente generado y de torsi´on; reordenando las componentes primarias de M  se obtiene una versi´on alterna del teorema de estructura a trav´es de los llamados factores invariantes de M . Sean (n11 , · · · , n1t1 ) p1 , 1  ≤  n11  ≤ ·· · ≤  n 1t1 .. .. . . (ns1 , · · ·  , nsts ) ps , 1  ≤  ns1  ≤ ·· · ≤  nsts los divisores elementales de M ; completando con ceros desde la izquierda en cada fila y reindizando podemos suponer que t1  =  · · ·  = t s  = m y construir la matriz

 

 

n11 · · · n1 j · · · n1m .. .. .. , . . . ns1 · · · nsj · · · nsm

con 0  ≤  ni1  ≤ ·· · ≤  n im, 1  ≤  i  ≤  s. N´otese que cada columna tiene por lo menos un elemento no nulo.

Definici´ on 8.5.3.   Se denomina  j -´esimo   factor invariante de  M   al elemento a j ∈  R  definido por  s

a j :=



n

 pi ij ,

1  ≤  j ≤  m.

i=1

N´otese que a j =  0, a j ∈ /  R ∗ para cada 1  ≤  j  ≤  m y adem´as para j ≤  k , a j |  ak .

 

(8.5.1)

De otra parte, para cada 1  ≤  j ≤  m se tiene el R-isomorfismo Raj ∼ =  R pn1j ⊕ · · · ⊕ R pns sj . 1

En efecto, la funci´on f j

n

→ R/  p1 1 j  ⊕ · · · ⊕ R/ pns sj  R− r  → (r , . . . , r)

 s

es un R-homomorfismo con n´ ucleo ker(f  j ) =

i=1

n

n

n

 pi ij  =   p1 1j · · · ps sj   =   a j . Por el

teorema chino de residuos f  j   es sobreyectivo (v´ease [18]). Ya que los sumandos de una suma directa son permutables, los isomorfismos anteriores inducen a su vez M  ∼ =  R a1  ⊕ · · · ⊕ Ram .

 

(8.5.2)

8.5. DIVISORES ELEMENTALES Y FACTORES INVARIANTES

73

Por la proposici´on 5.3.7, los factores invariantes a1 , . . . , am de M   son u ´nicos salvo invertibles de R, es decir, si  b 1 , . . . , bn  son elementos no nulos y no invertibles de  R que satisfacen (8.5.1) y (8.5.2), entonces n = m y adem´as a j = b j u j con ui ∈ R∗ , 1 ≤  j ≤  m. Hemos demostrado la siguiente proposici´on. odulo finitamente generado y de torsi´  on. EnProposici´ on 8.5.4. Sea  M  un  R-m´  tonces existen elementos  a1 , . . . , am  ∈  R , no nulos y no invertibles, tales que 

ai  |  a j ,   para  1  ≤  i  ≤  j ≤  m y 

∼ R a1  ⊕ · · · ⊕ Ram . M  = Salvo factores invertibles, la sucesi´  on  (a1 , . . . , am ) es unica ´  para  M  (los   factores invariantes de M ).

Queremos extender el resultado anterior a cualquier m´odulo finitamente generado. Para esto necesitamos algunos conceptos y resultados de ´algebra lineal sobre anillos (v´ease [19]). Recordemos que M n (R) denota el anillo de matrices cuadradas sobre R de tama˜ no n × n, la  equivalencia  de dos matrices F, G ∈  M n(R) se define por G =  DF C , con D, C  ∈  GL n (R) = M n(R)∗ = grupo de matrices invertibles de M n (R). Existe un isomorfismo de R-m´odulos entre HomR (Rn , Rn) y M n(R) que a cada homomorfismo f  le asigna una matriz F  calculada en la base can´onica de R n. Notemos que I m(f ) coincide con el R-subm´odulo de R n generado por las columnas de F . Adem´as, dos matrices F  y G de M n (R) son equivalentes si, y s´olo si, representan el mismo homomorfismo f  pero en diferentes bases. Finalmente, en  GL n (R) se tienen tres tipos de   matrices elementales , correspondientes a la realizaci´on de operaciones elementales sobre las filas y columnas de matrices de M n (R): las permutaciones , es decir, matrices de la forma P ij := E  − E ii  − E  jj  + E ij  + E  ji , las  diagonales Di (r) := diag(1, . . . , 1, r, 1, . . . , 1) = E  + E ii  · (r  − 1), con r ∈ R∗ en la i-´esima componente, y las   propiamente elementales, tambi´en llamadas = j. transvecciones, T ij (a) := E  + E ij  · a, con a  ∈  R, i  

Teorema 8.5.5 (Forma normal de Smith). Sea  F  ∈  M n(R). Entonces existen  elementos  d1 , . . . , dn  ∈  R  tales que  F  es equivalente a una matriz diagonal 

 

d1

0 ..

.

0

= 0, entonces  di  |  d j . en la cual si  i  ≤  j y  di  

dn

 

,

74

´ CAP´ITULO 8. MODULOS FINITAMENTE GENERADOS SOBRE   DIPS 

on sobre n. Para n = 1 no hay Demostraci´  on.   La prueba se efectuar´a por inducci´ algo que mostrar. Sea n  ≥  2. Sup´ongase la afirmaci´on cierta para todas las matrices de orden n  −  1 y sea F  = [aij ] ∈ M n(R). Si F   = 0 no hay m´as que establecer. Sea F  =  0. Multiplicando por matrices de permutaci´on, si es necesario, podemos suponer que a 11   = 0. Consideremos entonces tres casos posibles. Caso 1.  a 11 ∈  R ∗ . Multiplicando por una matriz diagonal y por matrices propiamente elementales, F  resulta equivalente a una matriz de la forma

 

1 0 , 0 B

B ∈  M n−1 (R). Aplicando inducci´on y el homomorfismo natural de grupos GLn−1 (R)  →  GLn (R)

(8.5.3)

se obtiene el resultado pedido. Caso 2.  a 11 ∈ /  R ∗ , pero a 11  |  a1 j , a 11  |  ai1 , para todo 1  ≤  i, j ≤  n. Multiplicando por matrices propiamente elementales, F  es equivalente a una matriz de la forma

 

a11 0 , 0 B

B ∈  M n−1 (R). Aplicando inducci´on y el homomorfismo (8.5.3) F   resulta equivalente a una matriz de la forma

 

a11 d2

... dn

 

,

 

(8.5.4)

donde di | d j , para 2 ≤ i ≤ j, di =  0. Si a11 | d2  la prueba ha terminado. En caso contrario la matriz de (8.5.4) resulta equivalente a la matriz

 

a11 d2 · · · 0 d2 ... 0

0

dn

 

 

(8.5.5)

y podemos proceder como en el siguiente caso 3. Caso 3 . a11 ∈ / R∗ y existe al menos un elemento no diagonal en la primera fila o en la primera columna de F   al cual a11  no divide. Consideremos la primera posibilidad (la segunda es de tratamiento an´alogo). Utilizando permutaciones, si ello es necesario, podemos suponer que a11    a12 . Sea a11  =: m.c.d.(a11 , a12 ); notemos que a11   a11   (de ser iguales se tendr´ıa que a 11 |a12 , lo cual es falso). Existen r, s  ∈  R

8.5. DIVISORES ELEMENTALES Y FACTORES INVARIANTES

75

tales que a11 = ra11  + sa12 , r, s ∈ R; sean adem´as r  , s ∈ R tales que a11 = a11 r  , a12  = a 11 s . Entonces a 11  = ra11 r + sa11 s , 1 = rr  + ss y la matriz

C  :=

 

r −s s r

 

0 1 ...

0

∈  GLn (R),

1

as´ı pues, multiplicando la matriz F  por C   a la derecha resulta F   equivalente a la matriz a11 0   ∗ · · · ∗ ∗ , .. . ∗

 

 

∗

donde * indica elementos de R. Si a11  ∈  R ∗ regresamos al caso 1 y la prueba termina. Si a11 ∈ /  R ∗ podemos repetir el razonamiento de los casos 2 y 3. Sin embargo, notemos que el proceso termina al cabo de un n´umero finito de pasos ya que lo contrario se obtendr´ıa la sucesi´on infinita ascendente de ideales a11   a11   a11   a 11   · · · , lo cual es imposible (v´ease [18]). Si se observa con detalle la prueba efectuada, esta se puede aplicar tambi´ en a matrices rectangulares. Los elementos d1 , . . . , dn  se denominan los   factores invariantes de F . ´  Proposici´ on 8.5.6.  Los factores invariantes de una matriz  F  ∈  M n(R)  son unicos, salvo factores invertibles. Demostraci´  on.   Sean P,Q, H, G matrices invertibles tales que

P F Q =

 

d1 0

0 ... dn

 

 

 p1

, H F G =

0 ...

0

pn

Sea f  : R n →  R n el R-homomorfismo defindo por F , es decir,

 

.

f [r1 , . . . , rn ]T  := F [r1 , . . . , rn ]T ; notemos que P F Q y HF G son equivalentes, luego definen el mismo homomorfismo f  (simplemente en diferentes bases de Rn , v´ease [19]). Por lo tanto, Im(f ) = [d1 , . . . , 0]T , . . . , [0, . . . , dn ]T   =   [ p1 , . . . , 0]T , . . . , [0, . . . , pn]T , y de esta manera [0, . . . , di , . . . , 0]T  = [ p1 , . . . , 0]T  · u1 + · · · +[0, . . . , pi, . . . , 0]T  · ui + · · · +[0, . . . , pn]T  · un,

76

´ CAP´ITULO 8. MODULOS FINITAMENTE GENERADOS SOBRE   DIPS 

con ui  ∈  R. Resulta, di  = p i ui . Sim´etricamente, p i  = d i z i , con z i  ∈  R. De esta forma, di  = d i z i ui , y entonces para cada 1  ≤  i  ≤  n se tiene que d i  = 0 = p i ´o  p i  = di z i , con z i  ∈  R ∗ . odulo Proposici´ on 8.5.7 (Teorema de las bases simult´aneas). Sea  M  un  R-m´  libre de dimensi´  on finita  n ≥ 1   y sea  0 =  N  ≤ M  con  m = dim(N ). Entonces, existe una base  X  =  { x1 , . . . , xn } en  M   y elementos  d 1 , . . . , dn  ∈  R  de tal forma que  = 0  se tiene que  {x1 · d1 , . . . , xm · dm }  es una base de  N   y para  1  ≤  i  ≤  j ≤  n con  d i   di | d j . Demostraci´  on. Sea X  = {x1 , . . . , xn }  una base de M . Seg´ un la proposici´on 8.2.2,

 }, con 1 ≤ m ≤ n, m = dim(N ). Expresamos N   tiene una base Y  = {w1 , . . . , wm   cada w j  a trav´es de  X  : n

w j

=



xi · bij , i ≤  j ≤  m.

i=1

Con notaci´on matricial las relaciones anteriores se pueden escribir de la siguiente manera:  [w1 , . . . , wm , 0, . . . , 0] = [x1 , . . . , xn]B, con B =

 

b11 · · · b21 · · · .. .

bn1

 

b1m 0 · · · 0 b2m 0 · · · 0 .. .. ..  ∈  M n (R). . . . · · · bnm 0 · · · 0

Por el teorema   8.5.5, existen matrices invertibles H  y G  de orden n   y elementos d1 , . . . , dn  ∈  R  tales que D := H BG = diag(d1 , . . . , dn ), adem´as, si i  ≤  j y d i   = 0, entonces d i | d j . Resulta  [w1 , . . . , wm , 0, . . . , 0]G = [x1 , . . . , xn]BG = [x1 , . . . , xn]H −1 D.

Sean  [w1 , . . . , wn] := [w1 , . . . , wm , 0, . . . , 0]G

y [x1 , . . . , xn] := [x1 , . . . , xn ]H −1 .

77

8.5. DIVISORES ELEMENTALES Y FACTORES INVARIANTES

Observemos que {x1 , . . . , xn}  es una base de M  y [w1 , . . . , wn ] = [x1 , . . . , xn]D = [x1 · d1 , . . . , xn · dn], es decir, w j = x j  · d j ,

1  ≤  j ≤  n.

  N´o tese que [w1 , . . . , wm  = , 0, . . . , 0 ] = [w1 , . . . , wn ]G−1 , luego N  = w1 , . . . , wm w1 , . . . , wn ⊆  N , es decir, x1 · d1 , . . . , xn · dn  =  N . Reordenando, y conservando la divisibilidad, sea {d1 , . . . , d p }   la colecci´on de elementos no nulos en el sistema {d1 , . . . , dn}. Entonces,  { x1 · d1 , . . . , x p · d p }  es una base de N  y p = m.

Estamos ya en condiciones de presentar la versi´on general de la proposici´on 8.5.4. odulo finitamente generado. Entonces existe un  Teorema 8.5.8. Sea  M  un  R-m´  conjunto finito de elementos  d1 , . . . , dn  ∈  R  tales que 

M  ∼ = R d1  ⊕ · · · ⊕ Rdn , = 0  entonces  di  |  d j . y para  1  ≤  i  ≤  j ≤  n, si  di  

 

(8.5.6)

Los elementos  d1 , . . . , dn  que cumplen  (8.5.6)  son unicos ´  para  M , salvo invertibles, y se denominan los  factores invariantes de  M . Demostraci´  on. Si M   = 0, entonces M  = R1 . Sea M   no nulo. Existen L   libre de f 

dimensi´ on finita n  ≥  1 y f  un homomorfismo sobreyectivo L − → M . Sea N  := ker(f ); si N  = 0, M  es libre y sus factores invariantes son d1 =  · · ·  = dn  = 0. Sea N  =  0, seg´ un la proposici´on 8.5.7, existe una base  X  =  { x1 , . . . , xn} en L y d1 , . . . , dn ∈  R tales que  { x1 · d1 , . . . , xm · dm }  es una base de N , con m = dim(N ). De este modo, M  ∼ =  L/N  =

x1 · R ⊕ · · · ⊕ xm · R ⊕ xm+1 · R ⊕ · · · ⊕ xn · R . x1 d1 · R ⊕ · · · ⊕ xm dm · R

Veamos por u ´ ltimo que este cociente es isomorfo a Rd1  ⊕ · · · ⊕ Rdm  ⊕ R ⊕ · · · ⊕ R,

    

 

(8.5.7)

n−m

completando as´ı la prueba de (8.5.6) con factores invariantes (d1 , . . . , dm , 0, . . . , 0). Para esto basta considerar el homomorfismo sobreyectivo g

→ R d1  ⊕ · · · ⊕ Rdm  ⊕ R ⊕ · · · ⊕ R x1 · R ⊕ · · · ⊕ xm · R ⊕ xm+1 · R ⊕ · · · ⊕ xn · R − x1 · r1  + · · · + xm · rm + xm+1 · rm+1  + · · · + xn · rn  →  (r1 , . . . , rm , rm+1 , . . . , rn ) cuyo n´ ucleo es precisamente N . La unicidad de los factores invariantes es consecuencia de la proposici´on 5.3.7.

78

´ CAP´ITULO 8. MODULOS FINITAMENTE GENERADOS SOBRE   DIPS 

8.6.

Grupos abelianos finitamente generados

Las definiciones y resultados del presente cap´ıtulo pueden ser aplicados al caso particular de los  Z -m´odulos, es decir, de los grupos abelianos.

Proposici´ on 8.6.1. Sea  G   un grupo abeliano, entonces: (i) G( p) es la componente  p-primaria de  G. (ii) Si  G   es finito, entonces  G( p) es el  p-subgrupo de Sylow de  G. (iii) Si  G  es de torsi´  on, entonces  G  es suma directa de sus componentes primarias. on finitamente generado, entonces  G  es finito y es suma directa  (iv) Si  G  es de torsi´   finita de sus componentes primarias, es decir, G  es suma directa finita de sus  subgrupos de Sylow. Demostraci´  on.   Consecuencia directa de la definci´on de componente primaria, del

concepto de subgrupo de Sylow (v´ease [17]) y de los resultados de las secciones anteriores. Podemos ahora complementar las propiedades de la proposici´ on 8.6.1 y probar el teorema de estructura de los grupos abelianos finitamente generados.

Teorema 8.6.2. Sea  G   un grupo abeliano finitamente generado. (i) Si  G es  p-primario, entonces  G   es suma directa de subgrupos c´ıclicos en la   forma 

G ∼ = Z pn1  ⊕ · · · ⊕ Z pnt , donde  1  ≤  n1 ≤ n 2  ≤ ·· · ≤  nt . En consecuencia, G  es finito.

(ii) G  es suma directa finita de subgrupos c´ıclicos. M´  as exactamente, existen irreducibles  p 1 , . . . , pr  y enteros no negativos  n 11  ≤ ·· · ≤  n1t1 ; . . . ; nr1  ≤ ·· · ≤  n rtr y  n  tales que  G  ∼ = Z pn1 11 ⊕ · · · ⊕ Z pn1t1 ⊕ · · · ⊕ Z pnr r1  ⊕ · · · ⊕ Z pnr rtr ⊕ Zn. 1

Demostraci´  on.  (i) Esta parte es consecuencia directa del corolario  8.4.3.

(ii) Seg´ un el teorema   8.3.1, G ∼ = T (G)  ⊕ Zn , donde n =  rank(G). Si G es de torsi´on, entonces n = 0 y G = T (G). Si G es libre entonces T (G) = 0 y G  ∼ = Zn . Si G no es libre y no es de torsi´on, por el teorema 8.1.6 se tiene que  G  ∼ =  G ( p1) ⊕ · · · ⊕ G( pr ) ⊕ Zn . Ahora aplicamos la parte (i) a cada componente G ( pi ) .

8.6. GRUPOS ABELIANOS FINITAMENTE GENERADOS

79

Ejemplo 8.6.3.   Con los resultados del presente cap´ıtulo podemos calcular (salvo isomorfismo) todos los grupos abelianos finitos de un orden dado n. As´ı por ejemplo, los grupos abelianos de orden pm con p  irreducible y m ≥  1 son Z pk1  ⊕ · · · ⊕ Z pkt con 1 ≤ k1  ≤ · · · ≤ kt , k1  + · · · + kt = m. Sea p = 5, m = 4, entonces tenemos 5 grupos abelianos (no isomorfos) de orden 625: Z5  ⊕ Z5  ⊕ Z5  ⊕ Z5 , Z5  ⊕ Z5  ⊕ Z52 , Z5 ⊕ Z53 = Z5 ⊕ Z125 ,  Z 52  ⊕ Z52 = Z25 ⊕ Z25 , Z54 = Z625 . Con ayuda de los divisores elementales calculemos todos los grupos abelianos (no isomorfos) de orden 1440 = 25 · 32 · 5: (1, 1, 1, 1, 1)2 , (1, 1, 1, 2)2 , (1, 1, 3)2 , (1, 2, 2)2 , (1, 4)2 , (2, 3)2 , (5)2 ; (1, 1)3 , (2)3 ; (1)5 . Se presentan entonces 14 grupos:

Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z3 ⊕ Z3 ⊕ Z5 ; Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z9 ⊕ Z5 ; Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z4 ⊕ Z3 ⊕ Z3 ⊕ Z5 ; Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z4 ⊕ Z9 ⊕ Z5 ; Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z8 ⊕ Z3 ⊕ Z3 ⊕ Z5 ; Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z8 ⊕ Z9 ⊕ Z5 ; Z2 ⊕ Z4 ⊕ Z4 ⊕ Z3 ⊕ Z3 ⊕ Z5 ; Z2 ⊕ Z4 ⊕ Z4 ⊕ Z9 ⊕ Z5 ; Z2 ⊕ Z16 ⊕ Z3 ⊕ Z3 ⊕ Z5 ; Z2 ⊕ Z16 ⊕ Z9 ⊕ Z5 ; Z4 ⊕ Z8 ⊕ Z3 ⊕ Z3 ⊕ Z5 ; Z4 ⊕ Z8 ⊕ Z9 ⊕ Z5 ; Z32 ⊕ Z3 ⊕ Z3 ⊕ Z5 ; Z32 ⊕ Z9 ⊕ Z5 . Ejemplo 8.6.4.  En el ejemplo 4.2.2 calculamos los grupos de homomorfismos entre grupos c´ıclicos. Ahora, con el teorema anterior y el teorema  5.3.6, podemos calcular los grupos de homomorfismos entre grupos abelianos finitamente generados. En efecto, sean G, H  dos grupos abelianos finitamente generados con descomposiciones G = T (G) ⊕ Zn, H  = T (H ) ⊕ Zm , T (G) = Z pn1 11 ⊕ · · · ⊕ Z pn1t1 ⊕ · · · ⊕ Z pnr r1  ⊕ · · · ⊕ Z pnr rtr , 1

T (H ) = Zq1m11 ⊕ · · · ⊕ Zqm1k1 ⊕ · · · ⊕ Zqsms 1 ⊕ · · · ⊕ Zqsmsks . 1

Entonces, para calcular H om(G, H ) = H omZ (G, H ) debemos realizar por separado los siguientes c´ alculos:

80

´ CAP´ITULO 8. MODULOS FINITAMENTE GENERADOS SOBRE   DIPS 

(i) HomZ (T (G), T (H )): en este caso el problema se reduce a calcular todos los grupos de la forma HomZ (Z pα , Zqβ ) y luego realizar el producto cartesiano. Pero sabemos que HomZ (Z pα , Zqβ )  ∼ = Zd ,

 

con d = m.c.d.  pα, q β  . (ii) HomZ (T (G), Zm ) = 0. (iii) HomZ (Zn , T (H ))  ∼ =  T (H )n . Si n = 0, H omZ (Zn , T (H )) = 0. (iv) HomZ (Zn , Zm ), n, m  ≥  1: HomZ (Zn , Zm )  ∼ = H omZ (Z, Z) ⊕ · · · ⊕ HomZ (Z, Z)  ∼ = Znm.

 



nm-veces

Si n = 0 o m = 0, entonces  H omZ (Zn , Zm ) = 0.

 

En particular, hemos probado que si G  y  H  son grupos abelianos finitamente generados de rangos n y  m respectivamente, entonces H om (G, H ) es un grupo abeliano finitamente generado de rango nm.

8.7.

Ejercicios

1. Demuestre la proposici´ on 8.1.2. 2. Demuestre la proposici´ on 8.1.5. 3. Calcule H omZ (Z2 ⊕ Z8 ⊕ Z9 ⊕ Z2 , Z4 ⊕ Z5 ⊕ Z25 ⊕ Z). 4. Calcule el rango y los divisores elementales del grupo abeliano del ejercicio anterior. 5. Demuestre que Z72 ⊕ Z84  ∼ = Z36 ⊕ Z168 . 6. ¿Son  Z 72 ⊕ Z12 y Z18 ⊕ Z48  isomorfos? 7. Sea R un DI P   y sean M, N  dos R-m´odulos finitamente generados. Demuestre que HomR (M, N ) es finitamente generado. 8. Calcule la forma normal de Smith y los factores invariantes de la siguiente matriz con entradas en  Z :

81

8.7. EJERCICIOS

 

1 2 4 4 1 2 . 4 4 3

9. Calcule la forma normal de Smith y los factores invariantes de la siguiente matriz con entradas en R[x] (recuerde que  R [x] es un DIP , v´ease [18]):





1 + x −x 1 − x2 −x x 1 + x2 . −x3 x2 x − 1

10. Sea R un DI P   y sea M  un R-m´odulo libre de dimensi´on n  ≥  1. Sea 0   =  x  ∈  M . Demuestre que las siguientes condiciones son equivalentes: a )

x es parte de una base de  M .

b)

Si x · r = x  · r , con x  ∈  M , r, r ∈  R, r   = 0, entonces r  es m´ ultiplo de r  .

c )

Si x = x  · r, con r  ∈  R y x  ∈  M , entonces r  ∈  R ∗ .

d )

El ideal generado por las coordenadas de x en una base X  de M  coincide con R (las   coordenadas de x son los coeficientes de R en la expansi´on de x  a trav´es de la base X ).

e )

El ideal generado por las coordenadas de x en toda base X  de M  coincide con R.

 f )

Existe f  ∈  H omR (M, R) tal que f (x) = 1.

11. Sean R un DI P , M  un R-m´ o dulo y 0 =  r ∈ R. El elemento m ∈ M   se dice divisible por r, si existe m ∈  M  tal que m = m  · r. M  es divisible por r si cada elemento de M  es divisible por r. Se dice que M  es divisible si es divisible por cada r   = 0, r  ∈  R. Demuestre que: a )

Si 0   = r  ∈  R, el conjunto de elementos de  M   divisibles por r  constituyen un subm´odulo de M .

b)

El conjunto de elementos de M  divisibles por cada r =  0, r ∈ R, es un subm´odulo de M .

c )

Existe un subm´odulo divisible d(M ) en M  el cual es m´aximo en la colecci´on de subm´odulos divisibles de M , respecto de la inclusi´on: d(M ) = on de subm´odulos divisibles de M . W ∈C W , donde  C  es la colecci´



d )

M   es divisible  ⇔  d(M ) = M .

e )

El cuerpo K  de fracciones de  R  es divisible.  Q  es divisible.

 f  )

Si M  es divisible y f  : M  →  N  es un homomorfismo, entonces Im(f ) es divisible.

82

´ CAP´ITULO 8. MODULOS FINITAMENTE GENERADOS SOBRE   DIPS 

g )

Cada sumando directo de un m´ odulo divisible es divisible.

h )

El producto y suma directa de divisibles es divisible.

i )

Para cada irreducible p  en R, R p  es divisible.

 j )

Sea I   un ideal de R   y sea f  : I  → P  un R-homomorfismo con P  un R-m´odulo divisible. Demuestre que f   se extiende a un homomorfismo f  : R  →  P .

∞



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´Indice alfab´ etico A ´algebra sobre un anillo, 5 anillo conmutativo local, 18 de enteros p-´adicos, 33 dimensional, 60 opuesto, 28 propio de un ideal derecho, 33 anulador de un subconjunto, 17

dependientes, 50 independientes, 50 endomorfismo, 19 equivalencia de matrices, 72 escalares, 2 estructura natural, 8

F factores invariantes de un m´odulo, 71, 72, 76 de una matriz, 74 factorizaci´ on de homomorfismos, 25 forma normal de Smith, 72

B base, 51 can´ onica, 54, 55 bim´odulo(s), 5 isomorfos, 31

H homomorfismo de m´ odulos, 19 cancelable a derecha, 25 a izquierda, 25 can´ onico, 19 id´entico, 19 inyectivo, 19 hendido, 47 nulo, 19 sobreyectivo, 19 hendido, 46

C cociente de subm´odulos, 18 coimagen de un homomorfismo, 19 componente p-primaria, 63 conjunto linealmente dependiente, 51 independiente, 51 con´ ucleo de un homomorfismo, 19 coordenadas de un elemento, 80 D dimensi´ on de un m´odulo libre, 60 divisores elementales, 70

I idealizador de un ideal derecho, 33 imagen de un homomorfismo, 19 homomorfa, 19 intersecci´on de una familia de subm´odulos, 11

E elemento de torsi´on, 62 divisible, 80 elementos linealmente 85