ModulodeCuartoAñoRazonamiento
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Colegio Privado ¡Es otra forma de educar!
“Juan Mejía Baca” CHICLAYO
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Sucesión Polinomial de
SUCESIONES
C. an An3 Bn2 Cn D tercer orden (Sucesión Cúbica)
SUCESIÓN: Es aquel conjunto cuyos elementos (términos) se encuentran ordenados según una característica determinada, de modo que uno de sus términos es señalado como el primero, el siguiente como el segundo, el otro como el tercero y así sucesivamente, de tal forma que a cada uno de ellos le corresponde un número ordinal en la sucesión.
Ejm: {n3 + 2n} 3
12 9
33 21
12
2° X 8 2 /3
3° G 8 3 /4
4° T 10 4 /5
|
|
|
: Número ordinal : Sucesión 1 : Sucesión 2 : Sucesión 3
a2 a3 a4
… an
Ejm:
a 4 a3 xq a1 q 3
Sucesión Polinomial de primer
{3n} + 1
r
a1 = 4 r=3
III. Sucesión Armónica: Es aquella sucesión en la que las inversas de sus términos forman un P.A.
B. an An 2 Bn C an segundo orden (Sucesión Sucesión Polinomial de
Ejm:
Cuadrática)
Ejm:
3 ; 6 ; 11 ; 18 ; 27 ; 38 ; 51 3
5 2
7 2
9 2
donde q: es la razón
an a1q n1
Ejm: 4 ; 7 ; 10 ; 13 ;16 ;... 3
3° Diferencia
a3 a2 xq a1 q 2
A. an An B an orden (Sucesión lineal)
r
6
2° Diferencia
a1 a1 a2 a1xqn
El grado del polinomio señalado, identifica a la sucesión:
3
6
30
1° Diferencia
an P.G.
an C1 nk C2 nk 1 C3 nk 2 ...... Ckn Ck 1
r
24
93
64 96 14 4 216 32 4 3 3 3 3 3 razón : x x x x 2 2 2 2 2
Ejm: Así, la sucesión {an} será polinomial si:
3
63
II. Progresión Geométrica: Es aquella sucesión en la que el primer termino diferente de cero y cada termino posterior a partir del segundo se obtiene multiplicando al anterior por un mismo numero (diferente de cero) llamado “razón” de la PG.
I. Sucesiones Polinominales o Aritméticas: Cuando la diferencia entre 2 términos consecutivos de la secuencia es constante también se las denomina “PROGRESIÓN ARITMÉTICA” y la diferencia común que estas presentan, se les conoce como “Razón Aritmética”.
r
135 228
Formula General a (n 1) a3 (n 1)(n 2) a1 2 ...... 1! 2!
CLASES DE SUCESIONES
3
39 18
6 1° A 7 1 /2 ° | a1
72
11 2
13
2
1
1
;
1 1 1 1 1 1 ; ; ; ; ;....... 3 5 7 9 11 2n 1
n
3 3 3 3 3 3 3 3 ; ; ; ; ; ; ;....... 2 8 14 14 10 26 32 6n 4
4ºSECUNDARIA DE MENORES RAZONAMIENTO MATEMÁTICO BIMESTRE I Y II
Colegio Privado ¡Es otra forma de educar!
“Juan Mejía Baca” CHICLAYO IV. Sucesión Especial:
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Sucesiones Literales Alternadas
a) Sucesión de Fibonacci. A
1;1; 2 ; 3
; 5
;
8
; 13 ; 21 ;
34 ;
A
55
1 11 22 33 55 88 13 13 2121 34
B
D
1 12
C
4 22
Sucesiones Literales U D T C
an an 2 an 1
I
C
16 4 2
S Seis Cinco Cuatro Tres Dos Uno
b) Sucesión de Lucas.
O
9 32
Formula de recurrencia
1 ; 3 ; 4 ; 7 ; 11 ; 18 ; 29 ;
D
47
VI. Sucesiones Graficas:
1 33 4 4 7 7 1111 18 19 29
Ejm:
c) Sucesión de Feinberg. 1 ; 1 ;
2
;
4
;
7
;
13
; 24
1 1 2 1 2 4 2 4 7 4 7 13
Ejm:
V. Sucesiones Literales:
A B C D E ..... Z
1 2 3
27
4
5
PROGRESIONES (Formulas)
Ejm1 Literales Simples:
C
F
I
L
Ñ
3
6
9
12
15
3
3
3
I. Aritméticas: Inicio de la progresión Primer termino Ultimo termino Razón o diferencia Termino de lugar n Numero de términos Suma de términos
3
Ejm2 Literales Compuestas: AB ;
CD
;
EH
;
an a1 (n 1)r
GO
a an Sn 1 2
Se observan dos sucesiones 1.
A (1)
C (3) +2
2.
B (2) x2
E (5) +2
D (4)
G (7)
x2
n
o
2a n 1r S 1 n 2
Interpolación de Medios Aritméticos
+2 H (8)
: : a1 : an :r : tn :n :S
a .......... b ....
"m" medios aritmeticos
O (16)
r
ba m 1
II. Geométrica:
x2
PA / PG
2
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ó
6. Halla “x” en:
Nota : a1 t1 tc t1 tn
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a n tn r q
q n 1 t SumaLimite : SL 1 : q 1 Sn t1 1 q q 1 Interpolar: q m1
b “m” medios geométricos. a
a) 54 d) 60
AB es AD como CE es a:
1. ¿Qué número sigue? 4 ; 5 ; 7 ; 10 ; 16 ; 24 ; 40 ; 59 ; ……… b) 96 e) 99
a) JK d) HL
c) 97
b) LR e) MQ
b) IJ e) HK
c) IK
8. Hallar “x” en:
2. Hallar el par de letras que siguen: C; D ; E ; I ; G ; M ; I ; O ; ……… a) KR d) KR
c) 72
7. Sabiendo que:
EJERCICIOS
a) 95 d) 98
b) 64 e) 57
4 16 289
c) KQ a) 375 d) 515
3. Hallar “x” en:
(18) (16) (x)
b) 430 e) 455
3 2 5 c) 425
9. ¿Qué número continua? 17 ; 19 ; 15 ; 14 ; 17 ; 23 ; -1 ; -22 ; … a) 121 d) 144
b) 64 e) 169
a) - 78 d) 83
c) 72
4. Hallar el termino que sigue en la siguiente sucesión:
b) 15x3
2
3
2
d) 17x 8
0
e) 17x
c) - 83
10. ¿Qué número sigue? 2 ; 9 ; 93 ; …………
3x 2 ; 5x 6 ; 8x 12 ; 12 x 20 ;...... a) 18x3
b) 105 e) - 95
a) 875 4 d) 877 5
c) 16x2 4
0
b) 874 5 e) 854 5
c) 847 5
11. ¿Qué figura sigue? 5. Calcular el t24 4 ; 9 ; 17 ; 28 ; 42 ; ……… a) 878 d) 856
b) 787 e) 798
c) 868
3
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0 ; 4 ; 9 ; 17 ; 31 ; 55 ; ……… a)
b)
c)
a) 152 b) 118 d) 112 e) 123 17. ¿Qué número sigue?
c) 154
4 ; 2 ; 2 ; 4 ; ………… d)
e)
a) 1 d) 16
b) 4 e) 0
c) 2
18. ¿Qué figura continua? 12. Hallar “x” en:
a) 4 d) 2
b) 3 e) 5
d)
e)
a) 22RT6 4 c) 22QR6 4 e) 22RO6 4
c) Ñ
45 15 12
5 ; 7 ; 10 ; 15 ; 22 ; ……… b) 142 e) 143
b) 22QO6 4 d) 22RS64
20. Hallar en cada caso el número que falta:
14. Hallar la suma de los 3 términos siguientes:
a) 140 d) 139
c)
13ZD25 ; 16WH36 ; 19TL49 ; ……
A ; B ; D ; H ; ……… b) R e) Q
b)
19. Señale el grupo alfanumérico que sigue:
c) 8
13. ¿Qué letra sigue?
a) P d) O
a)
c) 137 a) 26 d) 24
(50) (30) ( )
b) 27 e) 22
55 45 40 c) 29
15. ¿Qué termino ocupa el lugar 100? 21. ¿Qué figura sigue?
1 ; 4 ; 10 ; 19 ; 31 ;………… a) 1568 1 c) 1452 4 e) 1485 1
b) 1530 2 d) 1498 1
a)
b)
d)
e)
c)
16. Hallar en la siguiente sucesión el primer término mayor que 100. 22. ¿Qué número falta?
4
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16 26 18
(20) (33) ( )
24 40 12
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29. Calcular el número que continúa en la siguiente sucesión: 1 ; 6 ; 30 ; 168 ; …………
a) 12 b) 14 d) 17 e) 15 23. ¿Qué número falta? 2 3 5 a) 50 d) 36
(12) (10) ( )
c) 18 a) 460 d) 108 0 2 1 3
b) 52 e) 56
b) 630 e) 121 5
c) 810
30. Hallar el valor de “x” que completa correctamente la siguiente distribución numérica:
c) 48
24. Señale el grupo de letras que sigue: BMD ; CÑG ; DPJ ; ……… a) ETS d) ERM
b) EQP e) ETN
a) 13 d) 18
c) EQN
25. Federico reparte a sus nietos caramelos del modo siguiente: a Paula 2, Andrea 7, Sebastián 12; André 17, Anita 22, así sucesivamente. ¿Cuántos caramelos recibirá el nieto número 24?. a) 123 d) 119
b) 120 e) 121
b) 7 e) 21
c) 15
31. Calcular la suma de los tres números que tiene la figura 50, teniendo en cuenta la siguiente secuencia:
c) 117
26. ¿Qué palabra debe escribirse en el espacio punteado? 31 49 a) LECHE d) DIHA
(CAFE) (………) b) DIGA e) BEJE
a) 597 d) 1515 0
65 71
32. ¿Qué valor toma “x” en la siguiente analogía numérica? 4 2 3
CTT ; FIV ; IVX ; ……… b) KVZ e) LVZ
c) 588
c) DIME
27. Señale el grupo de letras que sigue:
a) KWZ d) LVM
b) 12 e) 1487 5
c) LWZ a) 16 d) 12
28. Señale el grupo alfanumérico que sigue:
(20) (10) (x)
b) 13 e) 18
4 6 4 c) 19
5ZA18 ; 17WC25 ; 29TE32 ; ……… a) 41QH3 9 c) 39QG3 8 e) 41QG3 9
33. ¿Cuál es el valor de “x”?
b) 41RG3 7 d) 41QH4 0
5
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b) 2 e) 5
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c) 3 a) 9 d) 11
34. Calcular el valor de “x + y + z” en la siguiente sucesión:
b) 12 e) 10
40. Hallar el valor de x: 2 4 6
2 1 9 64 x ; 2n 2 ; n5 ; n ; 125 n11 ; z n y 2 n 2 3
a) 32 d) 26
a) 512 b) 680 c) 724 d) 840 e) 984 35. Calcular la letra que continua en la siguiente secuencia:
b) M e) X
10 13 11
9 24 x
b) 29 e) 24
c) 31
41. En la sucesión:
1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ...... 1 2 1 3 2 1 4 3 2 1
A ; A ; B ; C ; E ; H ; ……… a) K d) P
c) 8
c) O
a) 78 d) 81
b) 80 e) 85
c) 75
36. Calcular la suma de cifras del término que continua en la siguiente sucesión: 42. Indique la alternativa que debe ocupar el casillero TRILCE:
1 ; 3 ; 13 ; 183 ; ……… a) 28 d) 22
b) 11 e) 18
c) 13
3 a) 88 d) 92
37. ¿Qué término continua?
A C D G ; ; ; ;......... B B E H a) d)
p I p K
b) e)
O K O I
c)
b)
d)
e)
0
0
0
5
27
b) 80 e) 85
TRILCE c) 87
43. Identifique la alternativa que continua coherentemente la siguiente sucesión grafica.
p M
38. Indique la alternativa que sigue la serie mostrada:
a)
0
a)
b)
c)
SUCESIONES
c)
1. ¿Qué número sigue en la sucesión? 3 ; 2 ; 4 ; 2 ; 4 ; 1 ; 3 ; …… a) 0 d) - 2
39. En la siguiente distribución numérica hallar el valor de x. 2 1 3
3 4 5
4 7 x
b) 1 e) - 1
c) 2
2. ¿Cuál es el producto de los dos términos siguientes en la sucesión?
6
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9. De la siguiente sucesión, halle la suma de cifras del número que sigue:
4 ; 11 ; 8 ; 7 ; 12 ; 3 ; 16 ; ……… a) 16 d) - 12
b) 20 e) - 20
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c) - 8
- 1 ; - 1 ; 0 ; 3 ; 10 ; …… a) 2 d) 8
b) 5 e) 10
c) 7
3. ¿Qué número sigue en la sucesión? 10. Halle x + y : 60 ; 12 ; 3 ; 1 ; …… x ; 1 ; 19 ; 45 ; 75 ; 107 ; y a) 1 b) 1/2 d) 1/3 e) 1/6 4. Encuentre m + n + p , de:
c) 1/4 a) 130 d) 139 11. Halle x + y :
m ; 2 ; 8 ; 12 ; 19 ; np ; 30 a) 5 d) 8
b) 6 e) 9
b) 21 e) 25
c) 7
a) 157 d) 160 12. Encuentre
c) 22
a)
6. Señale el valor de x2 – y conocida la siguiente sucesión:
40 17 39 17
a) 3 d) 6
c) 6
a) 20° d) 17°
39 20
40 19
b) 4 e) 7
c) 5
b) 18° e) 21°
c) 16°
15. ¿Qué termino sigue en la sucesión mostrada?
-1;-2;-4;4;-7;-8;-x;y b) 6 e) 6
e)
c)
¿A partir de qué lugar los términos de la sucesión son menores que 0,72?
c) 18
8. Halle x – y , de :
a) 10 d) 4
b) 2
6 10 12 14 ; 1; ; ; 5 11 14 17
0 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 6 ;…… b) 17 e) 15
a . b
14. Sea la sucesión {an} en la que sus primeros términos son:
7. Hallar la suma de los dos términos que continúan.
a) 16 d) 19
c) 159
13. En la sucesión 8 ; 17 ; 32 ; 53 ; 80 ; … ¿Cuántos términos de 3 cifras acaban en 3?
-2 ; 1 ; 1 ; 2 ; 0 ; 4 ; 1 ;(x2 – y2); (x - y) b) 7 e) 2
b) 158 e) 161
3 6 12 21 24 30 a ; ; ; ; ; ; ; 5 6 7 9 11 14 b
d)
a) 8 d) 4
c) 136
5 ; 64 ; 1210 ; 1522 ; 6046 ; xy
5. De la siguiente sucesión: 0 ; x ; a ; c ; b ; (x b) ; x ; .... indique el termino que sigue, si a ; b ; c son números consecutivos crecientes, que suman 30 y x ; b ; (a + c) forman una progresión geométrica. a) 20 d) 24
b) 133 e) 141
1 ; 3/2 ; 19/11 ; 11/6 ; 17/9 ; ……
c) - 4
a)
7
19 12
b)
23 19
c)
46 37
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d)
73 38
e)
38 23
a) d)
16. Dada la sucesión:
5 7 9 13 , , , 1, , ... 2 5 8 14
b) 9 e) 12
c) 10
15 16 8
b)
15 418
c)
15 2 20
d)
15 89
e)
16 15 7
c) 50
b) 4 e) 13
a) – 21 y 2 d) – 19 y 3
c) 7
b) – 19 y 2 e) – 17 y 2
c) – 21 y 3
6. ¿Cuántos números pares hay entre: 31 y 128? a) 45 d) 48
b) 46 e) 49
c) 47
7. Se desea saber el número de múltiplos de 4 que hay entre 10 y 116. a) 26 d) 29
b) 27 e) 30
c) 28
8. ¿Cuánto vale la suma de los 25 términos de una P.A., cuyo primer término es 4 y cuya razón es 10?
PROGRESIÓN ARITMÉTICA
a) 3 090 d) 3 120
1. Hallar el término de lugar 120 de la progresión aritmética.
b) 592 e) 587
b) 3 100 e) 3 130
c) 3 110
9. Una P.A. de 30 términos tiene por primer termino 200 y por suma 5 130. ¿Cuánto valen la razón y su último término?
- 8 ; - 3 ; 2 ; 7 ; 12 ; …… a) 597 d) 582
80 6
a) 24 b) 16 c) 22 d) 18 e) 20 5. En una P.A. el término de lugar 40 es 59; el término de lugar 27 es 33. Hallar el primer término y la diferencia común de dicha progresión.
3 5 ; 1 ; ; ... 2 8
a)
c)
Hallar el primer término de dicha progresión.
18. Calcular el término que ocupa el lugar 30 en la siguiente sucesión numérica:
2;2;
e)
79 6 76 6
4. Se sabe que una P.A. el término que ocupa el lugar 12 es 42, la razón es 2.
1 ; - 4 ; - 8 ; - 8 ; 1 ; 26 ; …… b) 25 e) 76
b)
a) 1 d) 10
17. ¿Qué número sigue en la sucesión?
a) 24 d) 75
72 3 80 3
3. Obtener el término a40 en una P.A. sabiendo que: a25 = 52 y r = - 3
¿A partir de que lugar los términos de la sucesión son menores que 4/5? a) 8 d) 11
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c) 577 a) – 3 y 144 d) – 3 y 142
2. Hallar el término de lugar 26 de la P.A.:
b) – 2 y 140 e) – 2 y 144
c) – 2 y 142
10. Hallar la suma de los 25 primeros términos de la P.A.
2 7 5 ; ; ; .... 3 6 3
2 11 16 ; ; 5 15 15
8
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a) 109 d) 112
b) 110 e) 113
b) 4 594 e) 4 428
a) 4 y 20 d) 4 y 21
a) 100 ° d) 130 °
c) 0 y 305
b) 3 830 e) 3 820
a) 704 4 d) 470 4
b) 264 e) 267
a) 6 d) 3
c) 265
a) 18 d) 6
c) (x + 164)
b) 6 e) 21
b) 5 e) 2
c) 4
b) 24 e) 22
c) 30
23. Hallar la suma de todos los números de dos cifras que son múltiplos de 3.
17. El mayor de tres números que forman una progresión aritmética es el triple del menor. ¿Cuál es el mayor de estos tres números, si su producto es 1 296? a) 15 d) 12
c) 740 4
22. Determinar el mayor de los 5 primero términos de una P.A. sabiendo que la suma de los tres últimos es igual al duplo de la de los tres primeros, y que la suma de estos 5 términos es 90.
(x - 6); (x - 1); (x + 4); (x + 9); …. b) (x + 169) e) (x + 174)
b) 744 0 e) 407 4
21. La suma de los tres primeros términos de una P.A. es la raíz positiva de la ecuación: x2 – 17x – 84 = 0, siendo el sexto termino 15. Hallar la razón.
16. En la siguiente: P.A.
a) (x + 184) d) (x + 179)
c) 120 °
c) 3 835
15. Una progresión aritmética tiene 33 términos y su término central vale 8. ¿Cuánto vale la suma de los 33 términos? a) 263 d) 266
b) 110 ° e) 140 °
20. En una progresión aritmética el quinto termino es 22 y al octavo 34. Calcula la suma de los 60 primeros términos.
14. Sumar los 30 múltiplos de 5 siguientes a 50. a) 3 825 d) 3 840
c) 3 y 20
19. El menor ángulo de un hexágono irregular (ángulos desiguales) es de 100° y los seis ángulos están en P.A. ¿Cuánto mide el mayor de los ángulos?
a) 39 y 2577 b) 40 y 2580 c) 39 y 2580 d) 41 y 2583 e) 40 y 2577 13. Es una progresión aritmética de 60 términos la diferencia común es igual a 5 y la suma de sus términos es 9 150. ¿Cuánto vale a1 y a60? b) 5 y 305 e) 0 y 295
b) 5 y 20 e) 5 y 24
c) 4 536
12. Hallar el número de términos y la suma de ellos, en una P.A., cuya razón es 3, su primer término es 6 y su último termino 123.
a) 10 y 295 d) 5 y 300
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18. Los términos extremos de una P.A. son 3 y 79, y la suma de todos ellos es 820. ¿Cuál es la razón de la progresión y cuántos términos tiene?
c) 110
11. Hallar la suma de los números impares desde 29 hasta 137. a) 4 565 d) 4 702
¡Es otra forma de educar!
a) 166 2 d) 167 1
c) 18
9
b) 166 5 e) 167 4
c) 166 8
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Colegio Privado ¡Es otra forma de educar!
“Juan Mejía Baca” CHICLAYO 24. ¿Cuántos términos hay que tomar en la progresión aritmética: - 2 ; 2 ; 6 ; 10 ; 14 ; … para que la suma sea 8190? a) 63 d) 66
b) 64 e) 67
30. Los cuatro primeros términos de una expresión aritmética son: a ; 2x ; b ; 3x. La razón entre “a” y “b” es de: a) 1:3 d) 3:5
c) 65
25. (x + y); (4x – 3y); (5y + 3x); son tres términos consecutivos de una progresión aritmética. La relación entre “x” e “y” es: a)
x 1 y 3
b)
x 2 y
d)
x 5 y
e)
x 1 y 4
c)
x 3 y
a) 125 y 2006 d) 126 y 2002
a) 96 años d) 94 años
c) 20
b) 8; 10; 12 e) 2; 8; 14
c) 49 años
b)
1 9
e)
1 3 1 2
c)
1 6
2. En una progresión geométrica el primer término vale 6 y el término de lugar 15 vale 54. Hallar el octavo término.
c) 2; 10; 11
a) 18 d) 27
b) 36 e) 6
c) 9
3. En una progresión geométrica se sabe que: a 15 = 512 y a10 = 16, hallar la razón y el primer termino.
1 1 1 ;4 ;2 2 2 2
b) 23 e) 26
b) 77 años e) 36 años
a) 3 d)
Se deben tomar para que la suma sea - 396. a) 22 d) 25
c) 126 y 2006
1. El séptimo término de una progresión geométrica vale 243 y la razón 3, hallar el primer termino.
29. ¿Cuántos términos de la P.A.?
6
b) 125 y 2002 e) 124 y 2006
PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
28. Las dimensiones de un paralelepípedo rectangular están en P.A. cuya suma de dichas dimensiones es 30m; el volumen del paralelepípedo es de 640 m3. ¿Cuánto mide las aristas? a) 6; 10; 14 d) 4; 10; 16
c) 4:7
32. Averiguar las edades que tiene cuarto individuo sabiendo que forman una progresión aritmética creciente, sabiendo que la suma de la edad del primero con la del cuarto es 71 años y que multiplicando ambas edades resulta 1078. (Dar como respuesta la edad del mayor.)
a) 11 + 10a b) 100a + 11 c) 111a d) 55a e) 110a 27. Hallar el valor de c2; en la P.A: a; b; c; e; si se sabe que: a + e = 20 b) 100 e) 160
b) 2:5 e) 5:8
31. El primer término de una progresión aritmética vale – 7, y la diferencia común es 4. Hallar el termino a34 y la suma de los 34 primeros términos (S34).
26. Si se sabe que: a; a2 y 3ª son los tres términos de una P.A., entonces la suma de los 10 primeros términos es:
a) 400 d) 10
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a) r = 2 y a1 = 1/16 c) r = 2 y a1 = 1/8 e) r = 2 y a1 = 1/4
c) 24
10
b) r = 2 y a1 = 1/32 d) r = 2 y a1 = 1/64
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“Juan Mejía Baca” CHICLAYO 4. Hallar el término de lugar 16 de la progresión 1 2 4 8 geométrica : : : 3 9 27 81 a) 2-15.3-16 d) 315.2-16
b) 2-15.3-16 e) 215.3-16
d)
c) 216.3-15
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665 64
b) 1 024 e) 5 120
1 1 1 1 ... 3 9 27 81 1 1 1 1 ... 5 25 125 625
c) 2 048 a) 3/5 d) 2
6. Hallar la suma de los seis primeros términos 4 2 1 de la progresión geométrica: ; ; 3 3 3 a) 21/4 d) -21/8
b) 21/8 e) -16/3
656 32
11. Suponiendo que el numerador y el denominador tiene infinitos términos, calcular el valor de la fracción.
5. Hallar el producto de los once primeros términos de una progresión geométrica si sabemos que el término central vale 2. a) 3 072 d) 4 096
e)
b) 5/2 e) 4
c) 3
12. La suma de los términos de una P.G. decreciente y prolongada indefinidamente, es el doble de la suma de los cinco primeros términos. Hallar la razón.
c) 23/6
7. Sabiendo que : a1 = 7 y r = 2, hallar la suma de los nueve primeros términos de la progresión geométrica.
a)
a) 5 377 b) 3 577 c) 7 735 d) 5 735 e) 7 537 8. En una progresión geométrica el primer término vale – 5 y la razón – 1/5. Hallar el término de lugar 10.
d)
1 4
b)
1 5
e)
2
1 2
c)
1 3
4
1 3
2
13. Sumar: a) 5-7 d) 5-10
b) 5-8 e) 5-6
c) 5-9
2
S
9. Nos dan el primer término y la razón de una progresión geométrica, que valen respectivamente 27 y 1/3. Nos piden hallar el producto de los ocho primeros términos (p8). a) d)
1 27 1 P8 243
P8
b) e)
1 87 1 P8 16 P8
c)
P8
a) d)
1 64
1 3 1 7
10. Hallar la suma de los seis primeros términos 2 3 de la progresión geométrica: ; 1; 3 2
665 8
b)
665 48
c)
4
b) e)
2 3
c)
1 2
3 3
14. La suma de los 6 primeros términos de una P.G. es igual a 9 veces la suma de los tres primeros términos. Hallar la razón. a) 1/2 d) 2
a)
3
1 1 1 1 ... 3 3 3 3
b) 4 e) 1/3
c) 3
15. La diferencia del tercer termino menos el sexto termino de una P.G. es 26 y el cociente 27. Calcular el primer término.
647 64
11
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“Juan Mejía Baca” CHICLAYO a) 245 d) 1/4
b) 234 e) 5/9
d) 64/3 cm2
c) 243
a) 6 x 10-10 d) 3 x 2-10
3 3 : : ... 2 4
b) 3 x 2-11 e) 6 x 10-12
a) 256 d) 501
c) 2 x 3-10
b) 260 e) 105
c) 510
22. Un circulo tiene un diámetro de 2m; un segundo circulo tangente exterior al primero tiene un diámetro de 1m, un tercer circulo, tangente exterior al segundo (y con el centro alineado con el del primero) tiene un diámetro igual a 1/2m; si se continua indefinidamente construyendo círculos en las mismas condiciones. ¿Cuánto suma las áreas de estos infinitos círculos?
17. El primer término de una progresión geométrica vale 1 y la razón es 2. Hallar el término a7 y el producto de los siete primeros términos (p7) a) a7 = 37; p7 = 210 c) a7 = 16; p7 = 218 e) a7 = 32; p7 = 221
e) 32/3 cm2
21. Una hoja de papel se parte por la mitad; después se superponen las dos mitades y se vuelven a partir por la mitad, y así sucesivamente. Después de ocho cortes. ¿Cuántos trocitos de papel habrá?
16. Hallar el término de lugar 12 de la progresión geométrica.
6 :3:
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b) a7 = 64; p7 = 221 d) a7 = 64; p7 = 220
18. Calcular la suma de los 12 primeros términos de la progresión:
1 : 3 : 3 : ...
182 3 1
a) 728 3 1
346
3 1
b) 364 3 1
a) 2m2 d) (3/2)m2
c) 364 3 1
d) e) 19. La suma de los términos de una progresión geométrica decreciente ilimitada es 4; y su primer término es 3. ¿Cuál será la suma de los términos a los cuadrados de los del anterior? a) 16 d) 15
b) 9,6 e) 7,2
b) (4/3)m2 e) 3m2
c) (3/4)m2
23. Si el segundo y el sexto término de una progresión geométrica son 24 y 96, ¿Cuál es el cuarto término positivo?
c) 12
a)
2 30
d) 24 20. Uniendo los puntos medios de los lados de un triangulo equilátero, cuya área es de 16cm2 se obtiene un segundo triangulo equilátero; repitiendo la construcción con este segundo triangulo se obtiene un tercero y así se prosigue indefinidamente. Hallar la suma de todas las áreas de los triángulos obtenidos por el procedimiento descrito, cuando el número de ellos tiende a infinito.
b) 16 e)
c) 48
4 3
24. Sabiendo que A; B y C están en progresión geométrica en ese orden, entonces el producto (A + B + C) . (A – B - C) es igual a: a) A2 + B2 + C2 c) A2 + B2 - C2
b) A2 - B2 + C2 d) A2 - B2 - C2
e) -A2 + B2 + C2
25. La suma de los 7 primeros términos de una progresión geométrica creciente es 2 186, y la a) 8 cm2
b) 16 cm2
c) 8/3 cm2
12
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“Juan Mejía Baca” CHICLAYO razón del séptimo término sobre el segundo termino es 243. Hallar el término de lugar 4. a) 12 d) 24
b) 18 e) 162
c) 54
26. Una progresión geométrica admite 4 términos siendo la suma de sus extremos 27 y la de los centrales 18. Proporcionar la suma de cifras del mayor d estos números. a) 3 d) 6
b) 4 e) 7
c) 5
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n
2k 1 1 3 5 7 ... 2n 1 n2
k 1
4.Suma de los “n” primeros números cuadrados perfectos.
k 2 12 22 32 ... n2 n
k 1
nn 12n 1 6
5.Suma de los “n” primeros números cubos perfectos.
nn 1 2
n
k3 13 23 33 4 3 ...n3
27. Los tres números positivos en progresión aritmética que aumentados en 3; 3 y 7 respectivamente forman una progresión geométrica de suma 28 son:
k 1
2
6.Suma de los “n” primeros productos consecutivos. a) Tomados de 2 en 2 n
a) 3; 5 y 7 d) 1; 5 y 9
b) 2; 6 y 10 e) 3; 7 y 11
n 3 .4 4. 5 ... n 1 kk 1 1.22.3
k 1
c) 3; 6 y 9
28. La diferencia del tercer término menos el sexto de una progresión geométrica es 312 y el cociente 27. Calcular el primer término. a) 10
b) 12
d) 5
e) 8
c) 291 6
SERIES Y SUMATORIAS
n
2. 3 4 3 .4 .5 ... kk 1k 2 1.2.3 .
k 1
" n " sumandos
1 1 1 1 1 ... a1 a2 a2 a3 a3 a 4 a 4 a5 P U r
nn 1 2
r
8.Suma de una serie asociado a una sucesión polinómica de orden superior.
T1 T2 T3 T4 T5 T1C1n rC2n C3n C4n r p q y a b z z z
2.Suma de los “n” primeros números pares naturales. n
k 2 4 6 8 ...2n nn 1
k 1
3.Suma de los “n” primeros números impares naturales.
r
1 1 1 r a U
1.Suma de los “n” primeros números naturales. n
" n " sumandos
nn 1n 2 n 3 4 7.Suma de los inversos de productos binarios.
Principales Series y Sumas Notables
2 34 5 ... n k 1
nn 1n 2 3
b) Tomados de 3 en 3
S
k 1
" n " sumandos
Ckn
nn 1n 2 kk 1k 2k 3 ...x3 2 1
9.Suma de los cuadrados de los primeros números impares.
13
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“Juan Mejía Baca” CHICLAYO d) 377 4
n
2 2 2 2n 2 3 5 1 2k 12 1 ...
k 1
" n " ter min os
e) 391 0
3. Calcular “m”
2n 12n 2n 1 6
m + (m - 1) + (m - 2) + …… + 3 + 2+ 1 = 105
10. Suma de cuadrados de los primeros números pares.
a) 7 d) 14
n
b) 12 e) 15
c) 16
4. Calcular y3 en:
2 n 2 4 2 6 ... 2k 22 2
k 1
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" n " ter min os
1 + 3 + 5 + …….. + (3y - 2) = 169
2n2n 12n 2 6
a) 64 d) 125
b) 729 e) 100 0
11. Suma de los cubos de los primeros números pares.
c) 512
5. Hallar:
n
2n
3
k 1
n 2nn 1 2 4 6 8 ... 2 3
3
3
3
3
2
S = 22 + 42 + 62 + …… + 302
" n " ter min os
a) 245 0 d) 520 0
12. Suma de potencia.
n
n
n
k 1
k 1
k 1
an b a n b a.
nn 1 b.n 2
2 + 4 + 6 + ………………………….. + 60 4 + 6 + …………………………… + 60 6 + …………………………… + 60 . . .
Si: n
n
n
k 1
k 1
k 1
S an 2 bn c a n2 b n c a.
60
nn 12n 1 nn 1 b n.c 6 2
a) 9455
20 20 20 20 . . . 20 20
c) 232 5
2. Calcular: S = 5 + 12 + 21 + ……….. + 486 a) 364 0
b) 359 0
c) 1050 0
7. Hallar el resultado de sumar:
1. Una progresión geométrica admite 4 términos siendo la suma de sus extremos 27 y la de los centrales 18. Proporcionar la suma de cifras del mayor d estos números. b) 195 5 e) 215 0
b) 9556 0 e) 1891 0
d) 8655 0
EJERCICIOS
a) 250 0 d) 194 0
c) 280 0
6. Hallar la suma total del siguiente arreglo:
Propiedades Si: S
b bn 1 b 1
b1 b2 b3 b4 b5 ... bn
b) 496 0 e) 365 0
+ + + +
19 19 19 19
+ 18 + 18 + 18 + 18
14
……………… ……………… ……………… ………………
+ + + +
5 5 5 5
+ + + +
4 + 3 + 2 +1 4+3+2 4+3 4
+ 19
a) 3450 d) 2870
c) 232 5
+ + + +
b) 1870 e) 4230
c) 4070
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14. Hallar la suma de los 20 primeros términos:
8. En la base cuadrangular de una pirámide se ha usado 900 bolas. ¿Cuántas bolas se ha usado en total? a) 9215 d) 3025
b) 7215 e) 1708 5
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S = 1 x 3 – 3 x 5 - + 5 x 7 – 7 x 9 + …… a) – 820 d) - 840
c) 9455
b) - 700 e) 0
c) 820
15. Halle el valor de “S” 9. Se forma una pirámide triangular regular (tetraedro) con 1540 esferas. ¿Cuántas esferas conforman la base? a) 200 d) 190
b) 930 e) 420
S
c) 210
4 8 12 16 ... 1 3 3 5 7 7 9 5 20 ter min os
a) 19/2 0 d) 41/4 0
10. Calcular el valor de “S” si:
S 22 23 24 ....
b) 21/2 0 e) 40/4 1
c) 39/4 0
100 sumandos
a) 834 5 d) 847 5
b) 725 0 e) 832 0
16. Hallar el valor de “x” :
c) 817
4 + 7 + 10 + ……… + x = 175 a) 26 d) 29
11. ¿Cuantos términos hay que considerar en las dos sumas siguientes para que tengan el mismo valor?
b) 100 e) 48
S
d) 200 0 13. Hallar “S” :
b) 120 0 e) 400 0
a) d)
b) 2205 0 e) 2152 5
1 3 5 21
b) e)
7 20 3 32
c)
3 11
18. Hallar la suma limite de :
c) 210 0
S 1 a) 10/80 d) 101/79
S = 1 x 3 + 3 x 5 + 5 x 7 + …… + 49 x 51 a) 2207 5 d) 1562 5
3 8 13 18 2 3 4 ... 11 11 11 11
c) 67
12. Sabiendo que la suma de 20 números impares consecutivos es 400, hallar la suma de los 20 posteriores a los 20 siguientes números impares consecutivos, si todos son positivos. a) 800
c) 30
17. Calcular:
S1 = 1 + 2 + 3 + 4 + ……………. S2 = 100 + 98 + 96 + 94 + ………… a) 61 d) 50
b) 31 e) 28
c) 2102 5
2 26 242 ... 32 36 310 b) 31/81 e) 101/81
c) 100/80
19. Calcular:
15
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1
1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 ... 2 2 32 3 4 4 5
1
d)
1 1 2 2 19 20
115 7392
e)
236 7320
2003 k3 2002 k 2 2001k 2000 n
1 a) 9 3 d) 8
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2 b) 8 9
9 20
25. Si:
1 20 3
c)
k 1
an 4 bn3 cn2 dn e
Calcular a + b + c + d + e
e) 1
a) 1 d) 3 20. Calcular la cifra de las decenas de la siguiente suma:
b) 0 e) - 1
c) 2
EJERCICIOS
1! + 2! + 3! + 4! + ………. + 2002! a) 1 d) 3
b) 2 e) 8
1. La suma de 20 números enteros consecutivos es 430. ¿Cuál es la suma de los 20 siguientes?
c) 0
21. Indicar la suma de cifras del resultado de:
a) 830 d) 820
9 99 999 . 999 ..99
b) 720 e) 900
c) 630
40 cifras
a) 45 d) 360
b) 90 e) 48
2. Al sumar 61 números naturales consecutivos el resultado da 2745. Hallar el mayor de los sumandos.
c) 99
a) 75 d) 76
22. Calcular “S” :
b) 74 e) 77
c) 73
S 1 5 6 4 8 5 9..... 2 3 7 20 productos
a) 250 d) - 320
b) - 250 e) - 800
3. La suma de todos los números naturales desde “n” hasta “5n” es 1230. Calcular el valor de “n” y dar como respuesta el producto de sus cifras.
c) 320
n
a) 0 d) 32
ak x k x 4 2x 2 1
23. Sea:
k 0
Calcular:
c) 12
n
ak
4. Si :
k 0
a) 4 d) 3
b) 24 e) 40
b) 2 e) 8
c) 0
1 + 2 + 3 + … + n = 990 3 + 6 + 9 + … + 3m = 360 Hallar :
24. Cuál es la suma de la serie :
S
1 1 1 1 ... 2.4.6 4.6.8 6.8.10 40.42.44
a)
4 115
b)
115 3696
c)
a) 10 d) 8
230 294
mn b) 12 e) 6
c) 7
5. Calcular el valor de : J = 3,01 + 3,02 + 3,03 + …… + 7
16
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1
a) 200 b) 200 c) 200 2 4 6 d) 120 e) 802 0 6. Determinar el valor de la siguiente suma :
2 3 4 5
S = 2,01 + 4,04 + 6,09 + ……. + 18,81 a) 90,2 8 d) 92,2 8
b) 92,8 5 e) 93,2 3
2 3
4 5
3 4
4
5
5
5
.
c) 98,2 5
.
a) 2870 d) 2872
b) 2780 e) 2880
c) 2875
10. Se arreglan números en forma de “diamante”, como se muestra en el diagrama.
7. Calcular el valor de los 100 primeros términos de:
1 1 2 2 1 2 2 3 3 3 1 2 2 3 3 3 4 4 4 4 ........ 1 2 2 3 3 3 1 2 2
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , -8 , 9 , 10 , 11 , -12 a) 264 0 d) 267 0
b) 265 0 e) 268 0
c) 266 0
1 Cual es la suma de todos los números en el siguiente diamante.
8. Disponga los números naturales en forma adjunta y de enseguida el último término de la fila número 30.
a) 84 d) 94
1 2 4 7 11
5
S
6 9
13
10 14
.
a) 240 d) 210
15 .
a) 465 d) 910
b) 850 e) 999
c) 72
11. Calcular:
3
8 12
b) 74 e) 82
k 3 k 12 2k 20 k2 k k 1 20
b) 220 e) 250
c) 230
12. Hallar el valor de:
c) 890
2 k 4k 3 10
k 1
9. Hallar la suma total si hay 20 filas :
a) 204 6 d) 102 3
b) 220 0 e) 480
c) 185 6
13. Calcular:
17
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k 4
5 k 1 22
20
k
k 0
k 2
1
2k 4 20
2
k 0
k 2 1k 2 1 20
a) 120 d) 110
b) 100 e) 117
c) 105
k 0
a) – 3 d) - 4
14. Calcular el valor de E: 26
n k 7 n E k k k 9 k 1
a) 1 236 d) 1 242 15.
10
100
100 101 10200 d) 101 21. Calcular:
c) 1 342
10099 101 10300 e) 101
a)
k 2 b) – 1 e) 2
b)
30
M 4 kk 11
k 1 k
k 1
k2 k
a) 0,9
b) 1
d) 1,1
e) 2,9 9
k 4
d)
12 31 27 31
b) e)
23 31 25 31
c)
26 31
Donde :
d)
18.
b) e)
20 3 21 3
c)
a 2 3b b 2 3a
1
Siendo “a” y “b” cifras significativas diferentes entre si.
22 3
a) 12 d) 40
b) 18 e) 44
c) 30
23. Hallar M:
270
a k 1 a k
M = 50 + 50 + 49 + 51 + 48 + 52 + ….. + 1
k 1
Donde: ak = 1 + 3k a) 800 d) 820
c) 0,9 9
72 70 68 66 ... m aabb
a 17. a 3 a 2
18 3 24 3
51500 101
22. Halle el valor de “m”, si :
5
a)
c)
99
c) 0
16. Calcular:
a)
1 k k2
k 1 kk 1
n 100
b) 1 296 e) 1 316
a) – 2 d) 1
c) – 1
20. Calcular: 1 10
Cos
k 5
b) - 2 e) – 5
b) 805 e) 825
a) 4 000 d) 4 901
c) 810
b) 4 500 e) 5 000
c) 4 900
24. Halle la suma de los términos de la siguiente progresión aritmética:
19.
18
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29. Halle la suma de todos los números que utilizan 4 cifras pares que empiezan en 2 y acaban en 4.
a ; b ; aa ; ab ; ca ; ... cc ter min os
a) 1 045 d) 1 771
b) 1 177 e) 2 772
a) 59 600 d) 61 100
c) 1 221
a) 240 d) 210
mn 3n 2
b) 225 e) 195
c) 216
b) 46 e) 49
c) 59 200
de todos los ... ... ... ...
25 27 29 31 . . . 49
a) 4 225 b) 4 280 c) 4 500 d) 4 850 e) 4 950 31. Halle el valor de sumar las cifras de S, si:
26. La suma de los “n” primeros números impares, más 47, es igual a la suma de los (n + 1) primeros números impares. ¿En cuánto es mayor la suma de los (n + 1) primeros números pares a la suma de los “n” primeros números pares? a) 45 d) 48
b) 52 900 e) 62 500
30. Indique el valor de la suma términos del siguiente arreglo: 1 3 5 7 3 5 7 9 5 7 9 11 7 9 11 13 . . . . . . . . . . . . 25 27 29 31
25. Halle la suma de los 6 términos de una progresión aritmética cuyo primer término es , siendo el último término y además :
m 27
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S2 6 8 ... 4 " n " sumandos
donde 1 + 2 + 3 + …… + n = 55
c) 47
a) 0 d) 3
b) 1 e) 5
c) 2
27. Halle S: 32. Halle a + b + c de la siguiente suma :
S ab ba 41 ...abc
43 71 46 69 49 67 ... 70 aabc
Si los términos forman una progresión aritmética, donde a, b y e son cifras significativas. a) 2 375 d) 3 575
b) 3 275 e) 5 275
a) 4 d) 10
c) 3 525
b) 6 e) 12
33. Encuentre la suma de cifras del resultado que se obtiene al sumar todos los números diferentes de 9 cifras diferentes que se pueden formar al colocar la última cifra como primera del número siguiente:
28. Determine M = S + V donde:
S 21 20 20 19 21 20 20 19 ...
1234 … 9 ; 9123 … 8 ; 8912 … 7
V 88 13 8 13 8 8 13 8 13 ...
y así sucesivamente :
40 sumandos
50 Sumandos
a) 6 000 d) 1 300
b) 4 500 e) 1 600
c) 8
a) 20 d) 72
c) 3 200
b) 27 e) 81
c) 36
34. La suma de los “n” primeros números naturales es igual a 45 veces el último sumando.
19
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“Juan Mejía Baca” CHICLAYO ¿Cuál es la suma de los “n” primeros números impares? a) 2 025 d) 7 921
b) 2 116 e) 8 100
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Los símbolos que se indican son la base para crear operaciones de diferentes reglas o leyes de operar.
c) 2 601
Ejemplo: Operador
35. Al hallar el valor de S :
b) 2 0 0 5 e) 4 1 0 5
c) 2 1 0 5
m +
n
regla de formación
a) d)
1 3 5 ... 39 2 3
2 4 3 6 3 ... 40 3
Solución: En este caso el operador es . La regla de formación es m + n 2 . Lo que tenemos que hacer, es hallar el V.N. de tal regla para m = 5 y n= 3, ya que: m n 5 3
a) 100/14 b) 200/44 c) 200/44 7 7 1 d) 141/12 e) 21/20 1 8 11 ... 37. Se conoce : S1 2 5 De los 10 sumandos
a) 248 d) 247
=
Ejercicio: Si: m n = m + n2 11 b) 10 c) 14 Calcular: 53 12 e) 13
36. Calcule el valor de la siguiente expresión:
E
n
operador
sus cuatro últimas cifras son : a) 3 2 0 5 d) 4 2 0 5
m
S = 1 + 12 + 123 + … + 123 … 89
b) 249 e) 246
c) 250
mn =m+n 5 3 = 5 + 32 =5+9 5 3 = 14
OPERACIONES MATEMÁTICAS OPERACIÓN MATEMÁTICA: Procedimiento que valiéndose de reglas o leyes previamente establecidas, transforma cantidades o funciones en otra.
Ejercicio:
Si A * B = A 2 – 2B. Calcular 5 * 2
Solución: De la condición:
OPERADOR + x
* Operador asterisco Operador cuadrado Operador nabla # Operador grilla
* B = A 2 – 2B * 2 = 5 2 – 2(2) * 2 = 25 – 4 * 2 = 21 OPERACIÓN Adición Sustracción Multiplicación División Radicación
A 5 5 5
OPERADOR MATEMÁTICO: Es un símbolo que representa a una operación matemática.
Aquí mostramos otros operadores:
2
EJERCICIOS
Operador triángulo Operador rectángulo Operador diamante @ Operador arroba
20
1) x x
es un operador = 7x – 25 Si x 4 = 25 – 7x Si x < 4 4ºSECUNDARIA DE MENORES RAZONAMIENTO MATEMÁTICO BIMESTRE I Y II
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7) Si: a b = a 2 – b2
Calcular el valor de: P=
2
a) 114 d) 101
+
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5
a b = (a - b) 2
b) 108 c) 96 e) 122
2) Si se cumple que:
x
a*
ab b ab
b=
= 3x – 1 Hallar C, Si: C
Hallar:
4
-
2
2 a) -1
a) 2 d) 11
b) 3
c) 1
y = 3y – x; y = 3x – y;
Si Si
x y x>y
a
=
x2 , si a es par 2
a
=
x 1 , si a es impar 2
Hallar: 7
Calcular de izquierda a derecha: 7 * 3 * 20 * 16 a) 82 b) 64 c) 32 d) 110 e) 84 5) Una operación representada por se define así: x x
d) -2 e) 2
8) Sabiendo que:
Calcular: (5 2) (3 1) a) 30 b) 35 c) 59 d) 56 e) 61 * *
b) 3
c) 7
e) 5
3) Si: a b = 5a – 3b
4) x x
1 2 (34) ( 4 * 2)
a) 2 d) 1 9) Si se define
= 2x si x es par = x si x es impar
–
4
b) -2 e) 3
c) -1
x
= 2x, si x es par
x
= x + 1; si x es impar.
Hallar el valor de: 3
+
7
-
5
–
3
–
Calcula:
7
4 3
a) 5 d) 10 6)
b) 6 e) 12
10) Si: a
Si x 4 Si x < 4
= 7x – 25, = 25 – 7x,
b) 3 d) 1
c) 9
es un operador de tal modo que: x x
a) 4 c) 2 e) 5
a
= 2a – 1; Si a es par = a + 1; Si a es impar
Calcular el valor de: 2 + a) - 4
5
– b) 4
Calcula:
1 c) 3
d) -2
2
e) 1 a) 6
21
b) 8
c) 10
d) 12 e) 14
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c) 1/8 11) Definimos la operación ( * ) mediante la siguiente tabla. Hallar ( 2 * 1) * ( 1 * 2)
e) 1/5
16) Z
= 3Z – 2;
Si Z 0
Z
= 2Z + 1;
Si z < 0
Hallar “x” si además: * 0 1 2 3 a) 3 * 2 d) 2 * 2
0 0 1 0 1
1 1 1 2 1
2 0 2 4 0
3 1 1 0 2
x
a) 1/16 13) Si: a
b
2 3 2 4 1
3 2 1 3 3
=a
–b
-b
c) 0
a) 1 d) 8
a) 33 d) 64
b) 2 e) 0
2
c) 47
a 2 10 b2 1
Hallar: (5 % 2) % (4 % 2) a) -1/10 d) 1/3 19) Dado:
b) 1/10 c) 1/14 e) 5 p*q=p +q p # q = 5p + q 2 p % q = p2 + q2
2
c) 4
Hallar: (3 # 2) * [(3%2) # (3*2)] a) 105 d) 109
14) Dada la tabla * 2 3 5
b) 45 e) 8
18) Si: a % b =
( 2 2)
–a
+
2
(4 * 27) * (6 2 * 512)
d) 2 e) 1/5
Calcular el valor de M = 2 4
– 4
Calcular el valor de:
4 1 2 3 4
(2 2) (3 1) E (3 2) (4 4) b) 1/4
12
a * b3 = a – b
17) Se define:
1 1 2 3 1
=
12 7 11 b) 5 ó c) -5 ó 3 5 2 6 4 d) ó 3 e) 3 ó 5 5
12) Según la tabla:
Calcular:
-3
a) 4 ó
b) 3 * 3 c) 0 * 3 e) 4 * 1
1 2 3 4
+
2 5 3 2
3 3 2 5
5 2 5 3
b) 107 c) 110 e) 116
ab ba ab
20) Si: a* b = Hallar:
(1* 2) * 3* 4* 5 * 6
Calcular el valor de:
M
a) 1
(3 * 5) * (3 * 2) (5 * 2) * (3 * 2)
a) 5/3
b) 3
c) 2
d) 1
15) Se define: m * n = n : (n : m) Entonces hallar: N = 2 * 16 a) 1/3
b) 1/2
b) 2
21) Si: a % b =
e) 4
c) 3
d) 4
e) 5
a 2 b 3b 1 xb 4a
2
Hallar: 3% (3%{3%[3% (...)]}) a) 1
c) 1/4
22
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
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22) Si a b =
Hallar:
a* a ; x * y = y - 2y ab
2
b) 80 c) 60 e)120
29) Calcule :
b) -3/4 c) 1/2 e) 2
23) Si a * b = 4a
(5 * 2) 2 * 1* 2 5
a) 71 d) 100
Hallar: 6 2 a) 3/4 d) -1/2
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+3
Hallar: 6 * [(a*(b*(c*(d * … ))))] a) 36 d) 147 24) Si:
b) 72 c) 108 e) 150
a) 1 000 d) 2 000
x-3
30) Sabiendo que:
x + 5 =
b) 4 000 e) 100 000
c) 10 000
Hallar: 49 + 69 a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6 Calcular:
25) Si: x % = 2x – 3 X = 3x – 4 Hallar: (x ) % - (x %) a) -2 b) 0 c) 1 d) 2 e) 4 26) Si: a * = 2 (a%) a 2 4a ; a b = ab -1 a%
a) x – 398 d) x - 401 31) Si :
2
b) 9
c) 8
d) 10 e) 12
a) 16 d) 18
a 2 x b 2 ; Si a b 2a b ; Si a b
27) Si: a * b = Además: Hallar: a) 6
(1* 1) * ( 3 * 1) #4 4* 4 c) 8
d) 9
b) 12 e) 24
c) 20
32) Se define una operación matemática mediante la tabla :
a # b = a2 x b2
b) 7
c) x - 400
Hallar el valor de :
Hallar: [(2*)*] (4*) a) 6
b) x – 399 e) x - 402
* 123
1 231
2 123
3 312
Calcular : [(1 * 2) * 3 ] * [(3 * 2) * 1]
e) 10
a) 1 d) 4
28) En el conjunto de los números naturales se define el operador * por:
3m 2n ; Si : m n m* n 3n 2m ; Si : n m
33) Si : n
23
b) 2 e) 5
c) 3
n(n 1) 2
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Calcular “x”:
e)
d) 3 Si: a) 1 d) 3/4
b) 1/2 e) 2
39) Si : x
c) 2
18 5
x 1 x 1
Calcule “n” en :
34) Si : P Q = 5p2 - 3
2 x 4 x 6 x … x 2n = 145
Calcular:
a) 72 d) 146
E = 2 (3 (4 (… (19 20)…))) a) 14 d) 17
b) 15 e) 18
b) 145 e) 147
c) 73
c) 16 40) Dado :
35) Hallar : E 4 4 4 ... Halle : M = 1 + 2 + 3 + … + 10
Si: m * n = (2n)2 – 3m a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
a) - 25 d) - 55
c) 3
d) 37) Si :
12 5 12 5
b) e)
5 12 1 2
c)
5 12 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 42) Se define en Z+ , la siguiente operación :
x ax bx 3 1 Calcule: 3
a) d)
1 ab 1 ab 3
c) 220
41) Se define : m n m n n m
x 1 x 1 36) Dado : f( x) f 3 x 1 x 1 Halle: f(1/ 2) a)
b) 165 e) 11
x 3 ; x 100 x x 5 ; x 100
1 4 7
Calcule: 97 b) ab
c) - ab
a) 95 d) 98
e) – 2
38) Se define :
b) 96 e) 99
c) 97
RAZONES Y PROPORCIONES
Si: 500 = 3 Halle el valor de 600 a) 1
b) 2
c)
Razón o Relación: Es el resultado de comparar dos cantidades por medio de una diferencia o por medio de un cociente.
5 2
24
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COMPARACIÓN POR DIFERENCIA: consiste en determinar en cuanto excede una de las cantidades a la otra. La razón por diferencia, se le saber llamar “Razón Aritmética”.
a y c Son antecedentes b y d Son consecuentes
Donde:
a y d ( tér minos extremos) Además: c y b ( tér minos medios)
15 6 = 9 razón aritmética = 9 unidades
Ejm:
CLASES DE PROPORCIONES ARITMÉTICAS:
15 excede a seis en 9 unidades
En toda proporción aritmética debe cumplirse que la suma de los términos extremos es igual a la suma de los términos medios o sea: 16 + 4 = 9 + 11 Extremos Medios
15 6 = 9 → razón aritmética
antecedente B.
Proporción Aritmética Discreta: Es aquella cuyos términos son diferentes. Ejemplo: 16 – 9 = 11 – 4 16 9 11 4
TÉRMINOS DE LA RAZÓN ARITMÉTICA: Los términos de la razón aritmética son el antecedente y consecuente.
Ejemplo:
consecuente
COMPARACIÓN POR COCIENTE: Consiste en determinar cuantas veces una de las cantidades contiene a la otra. La razón por cociente se le sabe llamar “Razón Geométrica”
Proporción aritmética Continua: Es aquella cuyos términos medios son iguales llamándose a cada uno de estos términos medios. Media diferencial o Media Aritmética. medios
12 3 Ejemplo: razón geométrica = 3 4 1
Ejemplo: media
3
razón geométrica
“La
¿Cómo se halla la media diferencial? Se forma una proporción aritmética con los dos números dados y con “x” colocando “x” dos veces como término medio repetido. Se halla el valor de “x” y ese valor es la media diferencial.
a se lee “a es a b” b PROPORCIÓN: Es la comparación de dos razones iguales ya sean aritméticas ó geométricas.
Ejemplo: Hallar la media diferencial de 8 y 2
Proporción Aritmética: Es la comparación de dos razones aritméticas iguales. Ejemplo 13 - 6 = 11 - 4 Razón aritmética = 7 razón aritmética = 7 Se lee: “13 es a 6 como once es a 4”
8 -x=x–2
8+2=x+x 10 = 2x
medios
5=x
(La media diferencial de 8 y 2 es 5)
medios
En general:
3
En la proporción aritmética continua se cumple que la media diferencial es igual a la semisuma de los extremos 6 9 3 2
consecuente
1.
6 -
diferencial es 6”
antecedente =
9 - 6 = Extremos
Términos de la razón geométrica: los términos de la razón geométrica son el antecedente y consecuente. Ejemplo:
12 4
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¿Cómo se halla la tercera o tercia diferencial? Se forma una proporción aritmética con los dos números dados y con “x” repitiéndose como
a - b = c - d Extremos
25
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término medio uno de los números dados. Se halla el valor de “x”; y ese valor es la tercera diferencial.
P.G. = n x1 . x 2 . x 3 .... xn Veamos un ejemplo: Calcular el promedio geométrico de 2; 4 y 8. De acuerdo con la definición: P.G. = 3 2 . 4 . 8 = 4
Ejemplo: Hallar la tercera diferencial de 2 y 8. 2 -8=8–x
trasponiendo términos tenemos:
medios x = 8 – 2 + 8 = 14 (La tercera diferencial de 8 y 2 es 14)
Particularmente para 2 números se le llama media geométrica:
¿Cómo se halla la cuarta diferencial? Se forma una proporción aritmética con los tres números dados y con “x”, colocándolos en cualquier orden. Se halla el valor de “x” y ese valor es la cuarta diferencial.
M.G. = a x b El promedio armónico se define:
P.H. =
Ejemplo: Hallar la cuarta diferencial de 10; 4 y 8 10 – 4 = 8 – x x = 8 – 10 + 4 x =2
P.H. =
PROMEDIO: Es un valor representativo de un conjunto de números que tiene la característica de ser mayor que el menor de ellos pero menor que el mayor. Los promedios más utilizados son: Dado un conjunto de números: x1, x2, x3... xn El promedio aritmético se define:
1 1 1 1 ... x1 x 2 x 3 xn
3 3 36 1 1 1 6 3 2 11 2 4 6 12
Particularmente para 2 números se le llama media armónica.
M. H. = 2ab
ab
x x x ... x n P.A. = 1 2 3 n
Cuando un móvil recorre espacios iguales con velocidades diferentes, la velocidad promedio se calcula por medio del promedio armónico.
Este promedio es quizá el que más usamos. Por ejemplo lo utilizamos para obtener la nota promedio. Si un alumno tiene por ejemplo, notas como 12; 15; 17 y 16 en cada uno de los bimestres, su nota promedio se obtendrá así:
PROPIEDADES 1) La relación de orden entre los promedios es: RA. P.G. RH. Ejemplo: sean los números 6 y 24
12 15 17 16 60 15 4 4
6 24 15 P.G. = 2 2 48 9,6 P.H. = 1 1 5 6 24
P.A. =
Particularmente para 2 números se le llama media aritmética:
M.A. =
n
Veamos un ejemplo; Calcular el promedio armónico de 2; 4; 6. De acuerdo con la definición:
PROMEDIOS
P.A. =
¡Es otra forma de educar!
ab 2
6 x 24 12
se cumple que: 15 > 12 > 9,6 2) M.G. = (M . A. ) (M .H.) Ejemplo:
El promedio geométrico se define:
26
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“Juan Mejía Baca” CHICLAYO Tomaremos anterior.
los
valores
12 15 x
de
la
propiedad
a) 21/25 d) 25/49
48 144 5
b) 25/40 e) 49/25
c) 140/125
Solución: La palabra relación implica cociente, es decir razón geométrica, así la razón entre la media aritmética y la media armónica debe entenderse.
3) Si una constante multiplica a todos los números, también multiplica a su promedio. Por ejemplo: P.A. =
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Ka1 Ka 2 Ka 3 a a a k 1 2 3 3 3
Como:
M.A. M.H.
M.A. 7 ; M.H. 5 (M.A.)(M.H.)
Luego; por dato: Cuando tenemos el promedio aritmético de dos o más grupos y queremos determinar el promedio de todos en conjunto, aplicamos el promedio aritmético ponderado:
y como: M.G. Reemplazando:
Elevando al cuadrado: M.A.2 49 Simplificando
Pa n Pa2n2 Pa 3n3 ... Pamnm P.A. = 1 1 n1 n2 n3 ... nm
(M.A.) (M.H.) 25
M.A. 49 M.H. 25
Donde: Pa1 = promedio aritmético del primer grupo. Pa2 - promedio aritmético del segundo grupo. y así sucesivamente; también: n1 = número de elementos del primer grupo. n2 = número de elementos del segundo grupo. Es decir el número de elementos del grupo correspondiente.
3) El promedio armónico de 20 números es 12. Calcular el promedio armónico del doble de cada uno de los números. a) 6 b) 12 c) 18 d) 24 e) 30 Solución: Recurrimos a la propiedad siguiente: Sí una constante multiplica a todos los números de una serie, también multiplicará a su respectivo promedio; para este caso particular se cumplirá: P.H. (Kx1; Kx2; Kx3; … Kxn) = K P.H. (x1; x2; … xn) =
1) La media aritmética de dos números es 13 y la
Luego, si: P.H. = (x1; x2; x3;...x20)= 12 entonces: P.H. (2x1 + 2x2 + 2x3+ ......2x20)= 2 x 12 = 24
144 media armónica de los mismos es . Hallar 13 la media geométrica. a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 Solución: La media aritmética, la media geométrica y la media armónica cumplen una propiedad que las relaciona entre sí. La aplicación de esta relación da solución al problema. • Por la propiedad: M.G.
4) El producto de notas de 12 alumnos es 15 y el promedio de notas de otros 4 alumnos es 13. Hallar el promedio de los 16 alumnos. a) 15 d) 13
(M.A.)(M.H.)
Reemplazando: M.G. =
M.A. 7 (M.A.) (M.H.) 5
13 x 144 / 13 144 12
b) 14 e) 13,5
c) 14,5
Solución: Son dos grupos con número de elementos diferentes por lo que hay que aplicar el promedio aritmético ponderado.
2) La media arimética y la media geométrica de dos números son entre sí como 7 es a 5. En qué relación se encuentra la media aritmética y la media armónica.
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2) Un alumno sabe que su máxima nota puede ser 15. Si el promedio de los cuatro bimestres es 13, ¿Cuál es la menor nota que pudo haber obtenido? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
P.A.1 x n1 P.A. 2 x n2 n1 n2 Donde: P.A.1 y PA.2 son los promedios aritméticos y n1 y n2 son los números de elementos de cada grupo. Operando: P.A.=
3) El promedio de puntos obtenidos por los cinco miembros de un equipo de básquet es 29, pero ninguno de ellos ha conseguido más de 32 puntos. ¿Cuál es el mínimo puntaje obtenido por uno de ellos? a) 15 b) 16 c) 18 d) 19 e) 17
15 x 12 13 x 4 14,5 12 4
5) En un salón de clase de 45 alumnos el promedio de nota en Matemática es de 15. Si el promedio de las mujeres es 18 y de los varones es 13, ¿Cuántas mujeres hay? a) 27 b) 18 c) 24 d) 36 e) 25
4) Si.
M.A. 5 M.A. ; Hallar M.G. 3 M.H.
a) 25/9 d) 14/6
Solución: En este problema identificamos el promedio de dos grupos y un promedio de todos los integrantes del grupo, por lo tanto reúne las características del promedio ponderado, por lo tanto: Según el problema: P.A. = 15 En la relación:
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5) Si M.A. = a) 5
b) 20/9 e) 30/9
c) 17/5
75 28 y M.H. = hallar M.G. 7 3
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
6) Si M. G. = 10 3 y M.A.= 20, hallar M.H. a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16
18 x 13 ( 45 x) 15 45
7) Hallar el promedio aritmético de: 2x;3(x2);5(2-x) a) 1/3 b) 2/3 c) 4/3 d) 5/3 e) 7/3
18x + 585 - 13x = 675 5x = 90 x = 18 Por lo tanto hay 18 mujeres.
6) La media geométrica de dos números es 2 2 y la media geométrica de otros dos números es
8) Hallar
el
promedio
geométrico
de:
1 2 ; 8; a 2 b 2 ; ab a b
9 2 . Hallar el promedio geométrico de los 4 números. a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
a) 0
Solución: Este problema corresponde al cálculo del promedio geométrico ponderado: n n ...nm P.G.= 1 2 (P.G.1 ) n1 (P.G.2 ) n2 ....(P.G.m ) nm Para nuestro caso particular. 2 2 2 2 P.G.= 2 2 9 2 4 8 x 162 4 1296 6
b)1
c) 2
d) 3
e) 4
9) Hallar el promedio armónico de:
1 1 1 ; ; 2 3 4 10 a) 2 13
b)
10 13
c)
35 8 d) e) 1 13 26
10) Hallar el promedio de los números enteros positivos cuyos cuadrados sean menores que 25. a) 1 b) 5/2 c) 3/5 d) 4 e) 2
EJERCICIOS
11) El promedio de notas de 4 alumnos es 12 y el promedio de notas de otros 6 alumnos es 17. ¿Cuál es el promedio de los 10 alumnos? a) 10 b) 13 c) 15 d) 16 e) 17
1) El promedio de edad de 5 personas es 24 años. Si la mínima edad que puede tener cada uno de ellos es 19 años, ¿Cuál es la mayor edad que puede tener una de ellas? a) 40 b) 41 c) 42 d) 43 e) 44
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“Juan Mejía Baca” CHICLAYO 12) La media aritmética de 2 números enteros positivos es 10 y la media geométrica es 6. ¿Cuál es la media armónica? a) 3 b) 3,6 c) 4 d) 4,5 e) 0 13) Si:
equipos en un partido, si ninguno de ellos hace menos de 2 goles por partido? a) 4 b) 5 c)7 d) 6 e) 8
a 8 y a + b = 45, hallar: a3 - b2 b 7
a) 108 d)153
14) Hallar la diferencial de 8 y 12. a) 11 d) 14
b) 135 e)162
22) El promedio de 15 números es 32. Si se eliminan el 20, el 30 y el 10, ¿Cuál es el promedio de los números que quedan? a) 35 b) 36 c) 37 d) 34 e) 38
c) 144
media diferencial de la media de 28 y 22; y la tercera diferencial b)12 e) 15
23) Si:
c)13
a) 8320 d) 7260
17) Si:
b) 90 e) 145
c)105
Hallar: c - (a + b)
b) 12 e) 30
c) 9960
25) Si la suma de los cuadrados de los cuatro términos de una proporción geométrica continua es igual a 1600, hallar el valor de la media proporcional si la diferencia de los extremos es 24. a) 12 b) 16 c) 18 d) 20 e) 24
a b c , y a + b + c = 72 2 3 7
a) 6 d) 24
b) 9760 e) 6420
24) La media diferencial de la tercera proporcional de 8 y 16, y la media proporcional de 4 y 16, es: a) 12 b) 16 c) 20 d) 24 e) 28
a 4 y b - a = 15, hallar: 2a + 3b b 7
a) 80 d) 135
a 10 y b – a = 24 b 13
Hallar: a . b
15) Hallar la media proporcional de la media proporciona! de 3 y 12, y la cuarta proporcional de 3; 9 y 8. a) 10 b) 12 c) 15 d) 18 e) 24 16) Si:
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c)18
26) La suma de los cuadrados de los cuatro términos de una proporción geométrica continua es igual a 6084. Si la diferencia de los extremos es 30, hallar la razón de la proporción. a) 1/2 b) 1/3 c)2/3 d) 1/4 e)3/4
18) Las notas de un alumno son 13; 11; 08; ¿Cuál deberá ser su cuarta nota, para que tenga el puntaje mínimo aprobatorio en su promedio? a) 11 b) 13 c) 14 d) 10 e) 12 19) El promedio de 8 números es 36. Si se agrega el número 72, ¿Cuál será el nuevo promedio? a) 40 b) 42 c) 41 d) 38 e) 39
27) En un salón de clase hay 36 alumnos entre los cuales unos residen en el distrito en el cual queda ubicado el centro educativo y otros no. ¿Cuál de las siguientes no podría ser la relación de los unos y los otros? a) 1/3 b) 5/12 c)2/7 d) 7/11 e) 1/8
20) En un grupo de 4 muchachos, el promedio de sus edades es 1 5 años; ninguno de ellos es menor que 13 años. ¿Cuál es la mayor, edad que puede tener uno de de ellos? a) 19 b) 18 c) 21 d) 17 e) 16
28) El promedio aritmético de 3 números pares consecutivos es 10. ¿Cuál es su promedio geométrico? 3 3 a) 8 5 b) 2 5 c) 4 15 3 d) 5 2 e) 4 15
21) El promedio de goles por partido de 4 equipos de fútbol es de 3 goles. ¿Cuál es el mayor número de goles que hace uno de estos
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“Juan Mejía Baca” CHICLAYO 29) El promedio de 12 números es 15. Si a cada uno se le aumenta 2 unidades, ¿Cuál será el nuevo promedio? a) 16 b) 17 d) 15 e) 18 e) 19
37) ¿Qué fracción se deberá añadir a las siguientes fracciones: 3/5;1/4; 1/10 y 1/2 para tener un promedio de 3/10?
1 20 29 d) 20
2 3 121 e) 20
a)
30) En una colección de 5 tomos, ninguno sobrepasa de las 450 páginas. ¿Cuál será el menor número de páginas que tendrá uno de dichos libros, si el promedio de páginas de los 5 tomos es 400? a) 200 b) 220 c) 300 d) 275 e) 350
b)
c)
8 5
38) La edad promedio de 3 personas es 54 años; ninguno de ellos es mayor de 56 años. ¿Cuál es la mínima edad que puede tener el menor? a) 54 b) 48 c) 50 d) 56 e) 44
31) Un alumno obtiene 12 de nota en un primer examen, 10 en un segundo examen y 12 en el tercer examen. Si los pesos de dichas notas son sucesivamente 1; 2 y 3, ¿Cuál es el promedio ponderado de dichas notas? a) 10,7 b) 11,1 c) 11,6 d) 11,3 e) 11,8 32) Un automóvil ha recorrido 105 000 km y usó 7 llantas en tota!. El promedio recorrido por cada llanta será (en km): a) 60 000 b) 15 000 c) 26 500 d) 80 000 e) 70 000
39) De un total de 14 números, 3 eran 5; 5 eran 8; 4 eran 9 y el resto eran 14. ¿Cuál es el promedio de estos números? a) 12 b) 10,4 c) 13 d) 8,5 e) 22 40) El doble de la media aritmética de dos números es igual al cuadrado de su media geométrica más 1. Si uno de los números es 120, e! otro será: a) 10 b) 100 c) 1 d) 20 e) 30
33) La razón de la suma con la diferencia de 2 números enteros positivos es 11/5. Calcular la media armónica de dichos números si su producto es 216. a) 13 1/11 b) 13 2/11 c) 13 3/11 d) 14 4/11 e) 13 5/11
41) Hallar dos números sabiendo que su media aritmética es 9 y su media geométrica es 6 2 a) 36; 1 b) 6; 12 c) 8; 9 d) 18; 4 e) 7 ;10 42) Dos números son entre sí como 12 es a 7. Si se le disminuye al primero 20 y al segundo se le aumenta 30, se obtienen 2 números iguales ¿Cuál es el menor número? a) 68 b) 70 c) 77 d) 84 e) 105
34) María tuvo su primer hijo cuando tenía 24 años. Actualmente sus edades son entre sí como 8 es a 5. ¿Cuál es la suma de las edades actuales? a) 98 b) 100 c) 104 d) 108 e) 120
43) Sea la siguiente serie:
35) La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la misma relación que los números 5; 3 y 16. Hallar el mayor de los números y dar como respuesta la suma de las cifras del número. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 16
Además:
a b c k x y z ay bx 8, x 3 y 3 z 3 36 Y: xy
36) Si:
Hallar: A = a3 + b 3 + c3 a) 1 000 b) 1872 d) 2700 e) 3624
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ac c 3 e 3 150 bd d3 f 3
Hallar:
a 2c 3e b 2d 3f
a) 1
b) 2
c) 3
44) Sea la siguiente serie: Además: c) 2304
30
a c e b d f
d) 4 e) 5
a c e b d f
axc c xe 18 bxd dxf
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Hallar: a) 9 d) 27
b) 18 e) 36
c) 24
54) Si la media geométrica de dos números a y b es k veces la media armónica de dichos números y ambos números cumplen: a = 9b; entonces k es: a) 1 b) 4/3 c) 5/3 d) 2 e) 3
3 2 7 11 6 ; ; ; ; 5 3 9 15 7 b) 0,53 e) 0,68
c) 0,72
46) Si la media geométrica de 2 cantidades es 200 y su media armónica es 160; ¿Cuál es la media aritmética? a) 180 b) 179 c) 250 d) 236 e) 186
55) La media geométrica de 2 números es 12; si aumentamos ambos números en 10 unidades, la media aritmética sería 23. La media armónica es: a) 144 b) 288 c) 13
47) Siendo la media aritmética de dos cantidades 18/5 y su media armónica 2,5; la media geométrica es: a) 3 1/3 b) 6 c) 33/16 d) 3 e) 9
x2
e)
13
e) 10
144
56) Hace 10 años la media geométrica de tu edad y la mía eran 10 años; ¿Cuál es la media armónica de nuestras edades actuales? a)
1 20
d) 20
b) 10
c) 30
e) 18
57) Se hacen las siguientes compras de alcohol en diferentes farmacias: - 30 lt a S/. 15 por litro - 35 lt a S/.18 por litro - 40 lt a S/. 20 por litro - 45 lt a S/. 26 por litro - 50 lt a S/. 25 por litro Hallar el precio promedio de alcohol. a) 80 b) 12,8 c) 21,5 d) 42 e) 20
49) Si la semisuma de dos números es x2 y su media geométrica es y, la media armónica de ellos será: ab y2 a) b) c) y2 y 2 ab y
y2
13
d) 13
288
48) Un avión va de una ciudad A a B, con una velocidad de 80 km/h y regresa con una velocidad de 40 km/h. ¿Cuál es la "velocidad promedio"? a) 60 b) 20 c) 531/3 d) 120 e) F.D.
d)
e) 14
53) ¿Cuál es el producto de dos números si su media aritmética es 16 y su media armónica es 12? a) 36 b) 12 c) 144 d) 96 e) 192
45) En las fracciones dadas, hallar el promedio armónico de las tres menores.
a) 0,67 d) 0,48
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d) 13
axc x e bxdxf
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x 2y
a c a2 c 2 y = 10 b d ab cd ac Hallar: bd
50) Calcular la media diferencial de la media diferencia! de 28 y 12; y la tercia diferencial de 20 y 14. a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e)14
58) Si:
51) Calcular la cuarta diferencial de la media diferencia! de 34 y 28, la tercia diferencial de 29 y 26; y la cuarta diferencial de 24; 19 y 21. a) 6 b)7 c) 8 d) 9 e) 10
a) 5 d) 12
b) 6 e) 15
c) 10
59) Dos números son tales que la suma, la diferencia y el producto -de ellos son proporcionales a los números 10; 4 y 105. Hallar la suma de las cifras del mayor de ellos. a) 6 b) 7 c) 8
52) Calcular la cuarta diferencial de la media diferencial de 20 y 12; !a tercia diferencial de 22 y 15; y la cuarta diferencial de 24; 20 y 25. a) 10 b) 11 c) 12
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“Juan Mejía Baca” CHICLAYO d) 9
2. En una serie de cuatro razones geométricas iguales, el producto de los antecedentes es 1485 y el producto de los consecuentes es 120285. Hallar el valor de la razón.
e) 10
a c e g b d f h ace ceg y: 54 bdf dfg
60) Si:
Hallar:
a)
2a 2 3c 2 5e 2 g2
y:
d)
2b 2 3d2 5f 2 h2
a) 3 d) 9 61) Si:
b) 1/3 e) 12
5b 2 3d2
1 4 1 3
b) e)
1 5 1 6
2a 3c 5e 20 2b 3d 5f
a) 11 b) 22 d) 66 e) 33 4. Dada la serie de razones iguales:
Hallar: a + c + e, si además: b + d + f = 42
a c e g K b d f h
a) 168 d) 280
Se cumple: a2 + c2 + e2 + g2 = 296 y; b2 + d2 + f2 + h2 = 1850
b) 210 e) 360
c) 288
62) En la siguiente serie de razones:
a) 0,2 d) 0,1
la suma de tos antecedentes es 56 y la suma de los consecuentes 14. Calcular el valor de P, si:
b) 24 e) 32
c) 0,8
Hallar: “a + b + c + d”
c) 28
a) 63 b) 60 c) 75 d) 81 e) 45 6. Si la suma de los antecedentes de una serie de tres razones iguales es los 5/6 de la suma de los consecuentes, hallar el producto de los antecedentes es 7500.
1. Si: a . b . c = 1008, hallar “a + b + c” en:
a) 14520 d) 18540
a b c K 30 35 15 b) 30 e) 48
b) 0,6 e) 0,4
Además: a.b + c.d = 513
EJERCICIOS DE RAZONES Y PROPORCIONES
a) 26 d) 36
c) 44
5. Sabiendo que : a b c d 3 5 6 7
a1 b1 a2 b2 a3 b3 a 4 b 4
a) 20 d) 30
1 8
Hallar “k”
a1 a 2 a 3 a 4 b1 b 2 b 3 b 4
P=
c)
3. En una serie de tres razones iguales, el producto de los antecedentes es 16128 y el de los consecuentes es 252. Si la suma de los antecedentes es 88, hallar la suma de los consecuentes.
c) 1/9
a c e b d f 5a 2 3c 2
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b) 12960 e) 32400
c) 24620
7. Si se cumple:
c) 32
A B C D K a b c d
32
y
AB C D 2401 a bc d
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“Juan Mejía Baca” CHICLAYO Hallar: A40 B 40 C 40 D 40 M 40 a b 40 c 40 d 40 a) 720 d) 730
uruguayos. ¿En cuánto excede el número de brasileños al número de peruanos?. a) 70 d) 95
c) 710
b) 7 e) 740
b) 15 e) 24
a) 50;45;75 c) 20;30;130 e) 60;75;45
c) 18
9. Dada la serie:
se cumple que el producto de los antecedentes es 448 y el producto de los consecuentes es 1512. Determinar la suma de los antecedentes sabiendo que: a + b + c + d + e + f = 65 b) 39 e) 24
a) 1980 d) 2200
Calcular: E a) 12 d) 20
y
3 4
b) 15 e) 24
a) K6 d) K3/2
a
2
c) 18
b2 c 2 d 2 e2 f 2 bdf 2 b) K2 + 1 e) (K2 + 1)3
c) 2000
Si hay 90 colombianos más que bolivianos. ¿Cuántos diplomáticos asistieron en total? a) 720 d) 900
11. Dada la serie: a c e k b d f Hallar:
b) 2100 e) 2400
A B C 1 , , e igual a B C D 3
A B Ca b c 576 Aa Bb Cc
b) 72;30;78 d) Otro valor
15. A una convención diplomática asistieron Argentinos (A); Bolivianos (B); Colombianos (c) y daneses (D). Si con dichas cantidades se forman razones continuas:
c) 26
10. Si se cumple:
A B C K a b c
c) 90
14. Una persona por cada 100 huevos que compran se le rompe 10 y por cada 100 huevos que vende da 10 de regalo. Si vendió 1800 huevos, ¿cuántos huevos ha comprado?.
a c e b d f
a) 42 d) 50
b) 80 e) 75
13. Lucero dispone de $ 180 para gastar en la compra de tres artículos cuyos precios son entre si como 2; 1 (1/2) y 2 (1/2). ¿Cuánto gasto en cada uno?.
8. La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la misma relación que los números 7; 3 y 30. ¿Cuál es la mayor de los números? a) 12 d) 21
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b) 750 e) 800
c) 600
16. Para dibujar un terreno rectangular se empleo 9 una escala de . Si resulta un dibujo cuyo 800 perímetro es 324cm. Hallar el área del terreno sabiendo que la razón de sus dimensiones es 5 . 13
c) K3
a) 7200m
b) 4160m2
d) 5265m
2
2 2
12. En un avión viajan 170 personas, se sabe que por cada 2 peruanos hay 20 brasileños y 12
33
e) 5200m
c) 7488m 2
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“Juan Mejía Baca” CHICLAYO 17. En un trueque, por un cuadrado se reciben 4 círculos y por 6 círculos se reciben 3 triángulos. ¿Cuántos cuadrados pueden recibirse por 24 triángulos?. a) 30 d) 48
b) 24 e) 12
se orientan a indagar la edad de las personas en una determinada época. Para lo cual debemos verificar los elementos siguientes: a) Personas: A las que corresponden las edades. b) Tiempos: Pasado, presente y futuro. c) Conducciones: Relaciones entre las edades que intervienen.
c) 36
18. El producto de tres números enteros es 13824 y el primero es al segundo como el segundo es al tercero, si el primero es cuatro veces el tercero. Hallar la suma de los tres números. a) 104 d) 58
b) 90 e) 72
RELACIÓN DE TIEMPOS Tenemos los siguientes casos; usando cuadros para colocar los datos del problema:
c) 84
CASO I: Pasado y Presente Tiempo Persona Persona 1 Persona 2
19. A avanza en 28 pasos lo que B en 30; B en 35 Io que C en 40 y C en 21 lo que D en 18. Si A y D hacen un mismo recorrido y A da 8575 pasos. ¿cuál será la longitud del paso de D, si la longitud de este recorrido es 7920 metros?. a) 0,80 m d) 0,85 m
b) 0,88 m e) 0,82 m
b) 2l e) 5l
b) 6334 e) 6348
Presente
CASO II: Presente y Futuro Tiempo Persona Persona 1 Persona 2
Presente
Futuro
CASO III: Pasado, Presente y Futuro Tiempo Persona Persona 1 Persona 2
c) 3l
21. La suma del antecedente y el consecuente de una razón es 84. Si el valor de la razón es 0,05; entonces la diferencia de sus cuadrados es: a) 3684 d) 3486
Pasado
c) 0,90 m
20. Se adultera 60l de leche con 15l de agua. Después de haber vendió 25l de leche adulterada se agrega igual cantidad de leche pura a la que quedó. ¿Cuántos litros de agua contiene 18l de la nueva mezcla?. a) 1l d) 4l
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Presente
Futuro
Ejemplo:
El año pasado la edad de Ana era seis veces la edad de su hijo y dentro de 19 años será el doble. Halla la suma de las edades actuales.
Edad del hijo
=x
Edad de Ana
= 6x (en el pasado)
c) 3846
PROBLEMAS DE EDADES
Pasado
Edad actual del hijo = x + 1 Edad de Ana
Para la solución de este tipo de problemas, es necesario definir bien las edades incógnitas ya que a base de ellas leyendo el problema a resolver se podrán formar las ecuaciones que se requieran de acuerdo a la cantidad de incógnitas pedidas. Este tipo de problemas forma una ecuación con una o dos incógnitas. Los problemas sobre edades
Edad Ana Hijo
= 6x + 1 (actual) El año pasado 6x x
Actual 6x + 1 x+1
Dentro de 19 años 6x + 20 x + 20
A = 2h
34
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“Juan Mejía Baca” CHICLAYO Ana: 6x + 1 = 6 (5) + 1 = 31 años 6x + 20 = 2 (x + 20) Hijo: x + 1 = 5 + 1 = 6 años x=5 31 + 6 = 37 años
¿Qué edad tendrá Andrea dentro de 7 años? a) 28 d) 42
1. Marilyn dice “Dentro de 16 años mi edad será 4 veces la edad que tenía hace 14 años” ¿Qué edad tengo en años? b) 20 e) 24
8. Luis Armando nació en 19ab y actualmente (2001) tiene una edad igual a la suma de cifras de su año de nacimiento. ¿Qué edad tiene? a) 18 d) 21
b) 21 años d) 28 años
b) 1962 e) 1956
a) 26 d) 16
c) 1958
a) 28 años b) 30 años c) 32 años d) 34 años e) 11 años 5. En el mes de Agosto una persona sumó a los años que tiene los meses que ha vivido y obtuvo 226. ¿En qué mes nació dicha persona? b) Abril
c) 24
b) 22 e) 18
c) 24
10. Si Manuel tuviese 27 años menos, el tiempo que hubiera permanecido durmiendo sería la quinta parte del tiempo que hubiese permanecido despierto si es que tuviese 27 años más. Si en el transcurso de su vida duerme un promedio de 8 horas diarias. ¿Cuántos años lleva durmiendo?
4. José le dice a Walter: “Hace 21 años mi edad era la mitad de la edad que tendrás dentro de 4 años, cuando yo tenga el doble de la edad que tú tienes”. ¿Qué edad nene José?
a) Febrer o d) Junio
b) 23 e) 19
9. Mary tuvo en 1988 tantos años como el producto de las dos últimas cifras del año de su nacimiento. ¿Cuál es la suma de cifras del número que expresa el año en que cumplió 15 años?
3. Judith tuvo su primer hijo a los 25 años, su segundo hijo a los 30 y 3 años después a su tercer hijo. Si actualmente (2005) la suma de todas las edades es 84. ¿En qué año nació Judith? a) 1959 d) 1960
c) 39
c) 18
2. Antonio le dice a María: “Yo tengo el doble de la edad que tenías, cuando yo tenía la edad que tú tienes, y cuando tú tengas el doble de la edad que yo tengo, la diferencia de nuestras edades sería 8”. Hallar la edad de María. a) 18 años c) 24 años e) 32 años
b) 35 e) 21
7. El año en que nació Rosa representa el cuadrado de su edad que tenía en el año 1980, año en que Erik también cumplía la misma edad. ¿Qué edad tendrá Erik en el 2005? a) 49 b) 59 c) 69 d) 46 e) 52
EJERCICIOS
a) 26 d) 29
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a) 16 b) 10 c) 12 d) 15 e) 21 11. Liliana le pregunta su edad al profesor de R M y él para confundirla le responde “Si hubieran pasado 2 veces más los años que han pasado, me faltaría la tercera parte de los años que supongo que pasaron para duplicar la edad que tengo, y la suma de esta supuesta edad actual con mi edad actual sería 80 años. ¿Qué edad tiene el profesor de R.M.?
c) Mayo
e) Julio
6. Si al año en que cumplí 20 años, le restamos el año en que cumplí 12 años, obtendríamos la cuarta parte de mi edad actual. Si mi edad es como 8 y la de Andrea es como 7.
a) 20 años c) 30 años
35
b) 25 años d) 35 años
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“Juan Mejía Baca” CHICLAYO e) 18 años
17. Hace 6 años tenía la mitad de los años que tendrá dentro de 4 años. ¿Cuántos años tendré dentro de 10 años?
ab 12. Richi tiene ab años y Chicha años. Le 3 preguntaron a Cucho por su edad y éste indica que Richi le lleva tantos años como los años que le lleva él a Chichi. Actualmente la suma de las edades de los tres es 36 años. Calcular: (a + b) a) 9 d) 15
b) 12 e) 6
a) 28 b) 29 c) 32 d) 26 e) 18 18. Si hubiera nacido 15 años antes, entonces toque me faltaría actualmente para cumplir 78 años, sería los cinco tercios de la edad que tendría si hubiese nacido 7 años después. ¿Qué edad tendré dentro de 5 años?
c) 5
a) 38 años c) 34 años e) 35 años
13. Las edades de dos personas hace “n” años estaban en la relación de 1 a 3, actualmente sus edades están en la relación de 4 a 7. Si dentro de “2n” años sus edades sumarán 126. Halle la suma de sus edades dentro de “n” años. a) 90 d) 98
b) 95 e) 96
k 4
d)
3k 28 4
b)
k 8
c) 80
e)
3k 2
c)
a) 4 d) 7
b) 30 e) 15
3k 32 4
a) 28 d) 30
b) 9 e) 10
c) 6
b) 26 e) 32
c) 24
21. Las edades actuales de Cristina y Carlos están en la relación de 5 a 4 respectivamente. La edad que tendrá Carlos dentro de 5 años es igual a la edad que tenía Cristina hace 4 años. ¿Cuántos años tenía Cristina cuando nació Carlos?
c) 25
a) 8 d) 11
16. Si la edad que tendré dentro de “n” años se le toma tantas veces como años tendré y a dicha edad se le resta tantas veces los años que tuve hace “n” años, como años tenía, obtendré 36 veces el valor de mi edad. ¿Cuántos años más tendré de aquellos años que tuve? a) 22 d) 20
b) 5 e) 8
20. Hace 5 años de edad de un hijo se diferenciaba en el doble de su edad con la edad de su padre y se diferenciaba en la mitad de su edad con la de su hermano menor. Si dentro de 7 años el menor tendrá la edad que tiene su hermano mayor. Hallar la edad que tuvo el padre cuando nació su primer hijo.
15. Dentro de 10 años tendré el doble de la edad que tuve, si tendría lo que tengo tuve y tendré, mi edad sería el triple de la edad que tengo. ¿Qué edad tuve hace 5 años? a) 35 d) 20
b) 32 años d) 33 años
19. Una persona en el año 1975 se le preguntó su edad y contestó: “Tengo en años la mitad del número que forman las dos últimas cifras del año de mi nacimiento”. Halla la suma de las cifras de su edad.
14. Dentro de 4 años la suma de las edades de 2 hermanos será “k” años. Si hace 4 años la edad del mayor era el triple de la edad del menor. Hallar la edad actual del mayor. a)
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b) 9 e) 12
c) 10
22. El año 1984 ha sido declarado en el Perú: Año del Sesquicentenario del Natalicio del Almirante Miguel Grau. Si Grau murió el 8 de Octubre de 1879. ¿A qué edad murió Grau? a) 48 años b) 56 años c) 45 años d) 50 años e) 53 años
c) 18
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“Juan Mejía Baca” CHICLAYO 23. Un coche tiene ahora la mitad de años que tenía Martin cuando el coche era nuevo. Hoy Martín tiene 12 años. ¿Cuántos años tiene el coche? a) 4 d) 5
b) 6 e) 2
triple del segundo. Dentro de 30 años tendrá el doble de la edad del tercero. Hallar la edad del padre. a) 75 d) 95
c) 3
24. Martín nació 14 años antes que Adam. Hace “4a” años sus edades estaban en la relación de 10 a 3 y hace “4b” años estaban en la relación de 12 a 5; dentro de “6a” años sus edades serán como 20 es a 13 y dentro de “10b” años serán como 19 es a 12. ¿Cuánto suman sus edades actualmente? a) 41 años c) 43 años e) 45 años
b) 42 años d) 44 años
b) n + 1 e) 12 + n
a) 25 d) 24
b) 41 e) 30
b) 25 a 1 e) 28 a 1
b) 20 e) 30
c) 35
c) 11 - n a) 84 años c) 80 años e) 24 años
b) 48 años d) 72 años
31. A un joven se le preguntó por su edad y respondió: “Mi abuelo tenía 65 años cuando yo nací y cuando él murió (justamente en el día de su cumpleaños), su edad era la raíz cuadrada del año en el cual nació sumada a la raíz cuadrada de uno de los años en que hubo un gran concurso de Matemáticas en Lima”. ¿Qué edad tuvo el joven cuando murió el abuelo?
c) 54
27. La edad de Antonio es un número de 2 dígitos y la ele su hijo tiene los mismos dígitos pero en orden inverso. Sus dos nietos tienen edades que coinciden con cada uno de los dígitos de la edad de Antonio, respectivamente. Se sabe que la edad del hijo es 5 veces la edad del mayor de los nietos. ¿En qué relación está la edad de Antonio y la del nieto menor? a) 24 a 1 d) 27 a 1
c) 90
30. Dentro de 2x años tendré 3 veces más de los años que tuve hace x años. Si a los años que tuve agrego los que tengo y los que tendré obtendría 84. ¿Qué edad tendré dentro de los mismos años que viví?
26. Andrea le dice a Erik, hace tantos años como la mitad de los años que tendré, tenía tantos años como los que deben pasar para tener los años que te dije que tendría. Si los años que tenía y tendrá Andrea suman 70 años. ¿Qué edad tiene Eric si es mayor por 5 años que Andrea? a) 47 d) 68
b) 80 e) 85
29. Al preguntarle a Berenice por su edad ella contestó: “Mi edad es la suma de todos aquellos números naturales tales que al cuadrado de su quíntuplo disminuido en 4 son mayores que 16, pero menores que 896. ¿Cuál es la edad de Lucía si ésta nació 20 años antes que Berenice?
25. La edad de Mauricio es un número de 2 cifras, que es igual a “n” veces la suma de sus cifras. Si a la edad de Mauricio se le invierten sus cifras, ésta sería igual a la suma de sus cifras multiplicada por: a) 12 - n d) 11 + n
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a) 22 años c) 24 años e) 21 años
b) 20 años d) 23 años
32. Cuando tenga q años tendré p veces la edad que tenía hace x años. Entonces la edad que tendré dentro de x años será:
c) 26 a 1
28. La edad de un padre sobrepasa en 5 años a la suma de las edades de sus 3 hijos. Dentro de 10 años, él tendrá el doble de la edad de su hijo mayor, dentro de 20 años, él tendrá el
a)
37
q px p
b)
pq p
c)
q 2qx p
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d)
pq x p
e)
b) 250 e) 360
38. La edad actual de Alejandro y la de Elian son entre sí como 9 es a 8. Cuando Elian tenga la edad que tiene ahora Alejandro, éste tendrá el doble de la edad que tenía Elian hace 18 años. ¿Cuántos años tenía Alejandro cuando nació Elian? a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 10 39. María le dice a Janina. “La suma de nuestras edades es 46 años y tu edad es el triple de la edad que tenías cuando yo tenía el triple de la edad que tuviste cuando yo nací. Qué edad tiene Janina? a) 21 años b) 24 años c) 26 años d) 18 años e) 48 años
c) 200
34. El año en que yo tenía la edad que tienes era 1980 y el año en que tú tendrás la edad que yo tengo es el año 2000. ¿Cuándo naciste cuántos años yo tenía? a) 12 d) 20
b) 10 e) 18
40. Una persona nacida en la segunda mitad del siglo XX, tendrá “a” años en el año a2 ¿Cuántos años tenía dicha persona en 1995? a) 10 b) 12 c) 15 d) 18 e) 14
c) 15
41. Cuando yo tenía lo que te falta actualmente para tener el doble de mi edad, tú tenías la mitad de la edad que yo tendré cuando tú tengas lo que me falta actualmente para tener 70 años. Si la suma de nuestras edades actuales es 50 años. Calcule la diferencia de nuestras edades dentro de 40 años? a) 5 años b) 12 años c) 6 años d) 8 años e) 12 años
35. Un hombre fue condenado a prisión Para que su castigo fuera más duro no le dijeron cuanto tiempo tendría que estar allí, pero el carcelero era un tipo muy decente y el preso le había caído bien. Preso: Vamos, ¿no puedes darme una pequeña pista sobre el tiempo que tendré que estar en este lugar?. Carcelero: ¿Cuántos años tienes? Preso: 25 Carcelero: Yo tengo 54, dime que día naciste. Preso: Hoy es mi cumpleaños. Carcelero: Increíble, ¡También es el mío!, bueno por si te sirve de ayuda te diré que el día en que yo sea exactamente el doble de viejo que tú, ese día saldrás. ¿Cuánto dura la condena del preso? a) 4 d) 6
b) 8 e) 5
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relación es de 5 a 1. ¿Dentro de cuántos años la relación será de 2 a 1? a) 24 b) 30 c) 35 d) 20 e) 27
x q
33. La suma de las edades de dos hermanos es 30 años Si dentro de 10 años la edad de uno será el doble de la edad que tuvo el otro hace 10 años. ¿Cuál es la edad de cada hermano?. (De como respuesta el producto de dichas edades) a) 180 d) 144
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42. La suma de las edades de una pareja de esposos, cuando nació su primer hijo, era la mitad de la suma de sus edades actuales. Si actualmente el hijo ha cumplido 25 años. ¿Qué edad tenía el hijo cuando las edades de los tres sumaban 95 años? a) 25 años b) 29 años d) 12 años e) 22 años
c) 12
c) 15 años
43. Tomemos la edad que tendré dentro de algunos años, tantas veces como años tendré y restémosle los años que tuve hace los mismos algunos años, tantas veces como años tuve y obtendremos una cantidad 23 veces mayor que mi edad actual. De aquellos años que tuve. ¿Cuántos años más son los que tengo? a)3 b)6 c)5 d)4 e)7
36. “Yo tengo el doble de tu edad; pero él tiene el triple de la mía, si dentro de 6 años tu edad sumada a la mía será 18 años menos que la edad de él” ¿Qué edad tengo? a) 12 años b) 14 años c) 18 años d) 25 años e) 16 años
44. Yo tengo la edad que tú tendrás cuando yo tenga el triple de la edad que tú tuviste, cuando yo tuve la mitad de la edad que tengo
37. Hace 5 años las edades de Popis y Ángel estaban en la relación de 9 a 1, actualmente la
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“Juan Mejía Baca” CHICLAYO ahora. Si hace 5 años nuestras edades sumaban 35 años. ¿Cuántos años tengo? a) 24 b) 29 c) 26 d) 28 e) 20
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entonces, cuando ya no éramos adolescentes, además nuestras edades suman 98 años. a) 70 años b) 51 años c) 96 años d) 83 años e) 88 años
45. Para fiestas patrias, en el año 1981, la suma de las edades de Rocío, Angélica y Carlos, más los años de sus nacimientos fue 5941. Si Rocío nació en setiembre y Carlos en mayo. ¿En qué mes nació Angélica? a) enero b) febrero c) marzo d) abril e) noviembre
51. Dentro de algunos años, la relación de mi edad y tu edad será de 15 a 19. Hace tantos años como la tercera parte de los años que tengo, la relación de nuestras edades era de 3 a 5. Si la diferencia de nuestras edades fue un cubo perfecto. ¿Qué edad tienes? a) 21 años b) 22 años c) 23 años d) 24 años e) 26 años
46. Cuando entre los tres teníamos 180 años, tú tenías lo que yo tengo, yo lo que Carlos tiene y él la tercera parte de lo que tú tendrás, cuando entre los tres tengamos 20n2 años y yo tenga lo que tú tienes y Carlos lo que yo tengo, tú eres mayor que yo, y si tuviese lo que tuve, tengo y tendré, tendría 17 n2 años. ¿Qué edad tengo? a) 70 años b) 85 años c) 24 años d) 75 años e) 80 años
52. Angélica dice : “El año pasado fue un año bisiesto, en el cual mí edad fue tanto como las dos últimas cifras del año de mi nacimiento” y Adolfo contesta “El próximo año mi edad también será las dos últimas cifras del año de mi nacimiento”. ¿Cuántos años tenía Adolfo cuando la edad de uno era el doble de la del otro? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
47. La edad que tú tienes es la edad que yo tenía, cuando él tenía la octava parte de lo que tendré, cuando tengas lo que yo tengo, y él tenga 6 años más de lo que tuve; si lo que tuve es 6 años más de lo que él tiene y 12 años más de lo que tuviste. ¿Qué edad tengo? a) 36 años b) 38 años c) 40 años d) 37 años e) 42 años
53. Salvajito reflexionaba así : “Si cambiara el calendario de 1994 por el nuevo 1995, en mi último cumpleaño, mi edad sería igual a la cuarta parte del número que forman las dos últimas cifras del año de mi nacimiento”. Determine qué edad cumplirá Salvajito en su próximo cumpleaños. a) 17 años b) 18 años c) 19 años d) 20 años e) 21 años
48. Mi abuela Matilde me decía : “El 31 de diciembre del año en que sus tres últimas cífras se obtienen al intercambiar las cifras de las unidades y centenas del año de mi nacimiento, mi edad no pasaba de un siglo”. ¿Cuál es la edad de mi abuela actualmente, si es la mínima posible? (considere fecha actual enero del 2004) a) 104 años b) 106 años c) 105 años d) 109 años e) 96 años
54. Marlene comenta : “Hoy tengo 10 años menos de la edad que tenía mi padre cuando nací, además las dos últimas cifras del año en que nació mi padre son iguales a las dos últimas cifras del año en que nos encontramos, pero en orden invertido”. Entonces en que año su padre tuvo 23 años, si el próximo año ella cumplirá esa edad (año actual 1990) a) 1972 b) 1 962 c) 1 982 d)1963 e)1964
49. Magali le dice a Gisela: “Mi edad hace muchos años era mayor de 20, pero menor de 30, y en dicho año se podía calcular de la siguiente manerq : sumando los cuadrados de cada una de las dos primeras cifras y restándole la suma de cada uno de los cuadrados de las dos últimas cifras de aquel año”. ¿Cuántos años tiene Magali actualmente (2004), sabiendo que es la mayor posible? a) 104 b) 106 c) 98 d) 109 e) 96 50. Qué edad tendré cuando tú tengas el triple de la edad que tuve, que es cuando tuviste la mitad de los años que tengo. Si tu edad era el cuadrado más próximo a mi edad, en ese
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