Modulo Matematica

UNIVERSIDAD PRIVADA ANTONIO GUILLERMO URRELO PROGRAMA DE FORMACIÓN GENERAL

FORMACIÓN GENERAL

MÓDULO MATEMÁTICA BÁSICA R ecopilado ecopilado por:

UNIVERSIDAD PRIVADA ANTONIO GUILLERMO URRELO PROGRAMA DE FORMACIÓN GENERAL

 Somos

una

comunidad

universitaria

auténticamente

cajamarquina, integrada por personas que cultivan valores éticos, que formamos profesionales innovadores, con compromiso  social, garantizando servicios educativos superiores de alta calidad, que responden a los retos de una sociedad globalizada y contribuyen al desarrollo local, regional y nacional.

Comunidad

universitaria

integrada,

acreditada,

crítica

e

independiente, con una gestión efectiva que genera valor, que forma profesionales y posgraduados competitivos, que investiga para el desarrollo e innova con liderazgo regional y nacional.

CONTENIDO I UNIDAD: LÓGICA PROPOSICIONAL 1. Concepto de lógica  – Proposiciones - Clasificación de las proposiciones. 2. Formalización - Conectores Lógicos 3.  Verdad formal  – Tablas de verdad  – Método Abreviado 4. Ejercicios y problemas

II UNIDAD: ECUACIONES LINEALES Y CUADRATICAS 1. Ecuaciones de primer grado con una variable. 2. Sistemas de ecuaciones lineales con dos variables. 3. Ecuaciones de segundo grado con una variable 4. Ejercicios y problemas

III UNIDAD: REGLA DE TRES Y PORCENTAJE 1. Razones y Proporción Numérica 2. Regla de tres Simple y Compuesta 3. Porcentaje  – Tanto por ciento 4. Ejercicios y problemas

IV UNIDAD: INECUACIONES LINEALES 1. Inecuaciones de primer grado con una variable 2. Sistemas de inecuaciones lineales con una variable. 3. Inecuaciones de primer grado con dos variables. 4. Sistemas de inecuaciones lineales con dos variables. 5. Ejercicios y problemas

LOGICA PROPOSICIONAL 1. CONCEPTO DE LOGICA: La lógica estudia nuestros pensamientos de tal manera que se puedan producir razonamientos correctos, tomando como base para ello la estructura de nuestros pensamientos. La lógica se clasifica en:  

Lógica Formal, matemática o simbólica Lógica Objetiva o dialéctica

 Ambas estudian el pensamiento humano, pero desde perspectivas diferentes, la lógica matemática lo hace desde el punto de vista estructural y la lógica dialéctica desde el punto de vista del contenido de nuestros pensamientos que tengan correspondencia con la realidad. Existen varias áreas de la lógica, dentro de todas ellas la lógica proposicional será objeto del estudio de este capítulo. La lógica proposicional abarca las proposiciones lógicas.

Las proposiciones lógicas son oraciones del lenguaje que pueden ser verdaderas o falsas, pero no ambas a la vez, generalmente se expresan como oraciones declarativas. No son proposiciones oraciones donde no se puede determinar con certeza si son verdaderas (V) o falsas (F). Ejemplos: Oraciones Interrogativas: ¿Qué hora es? Creencias populares o personales ficticios: “Batman vive en la ciudad Gótica” “El hombre lobo se transforma con la luna llena” Refranes o proverbios: “Al pan pan y al vino vino” Oraciones exclamativas: ¡Gol de Universitario! Oraciones sin sentidos: Los cerros son raíces cuadradas de las montañas Fierro más madera da carpetas de la Upagu Verbos en infinitivo: Correr, Saltar, Sonreír Juicios valorativos: Para mi Toledo fue el mejor presidente del Perú Oraciones mal escritas: La nieve es blanca y consta de cuatro letras Oraciones que encierran ambigüedades: Miguel perdió los papeles y agredió a la multitud.  Andrea lleva los pantalones en su hogar.

2. CLASIFICACIÓN DE LAS PROPOSICIONES: A. Según su cantidad: a. Universales o generales: “Todos los nazis son alemanes” b. Existenciales o particulares: “Algunos estudiantes son responsables” c. Singulares o Individuales: “José es estudiante de la Upagu” B. Según su cualidad: a. Afirmativas: b. Negativas:

“Nigeria esta en África” “Pedro es capaz” “Pedro no es capaz” “Perú no tiene recursos financieros”

C. Según su Modalidad: a. Asertorias o Reales:

“Las células poseen mitocondrias” “Cristóbal Colon descubrió América”

b. Apodícticas o formales: “La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180o” “(a + b)2 = a2+2ab+b2” c. Hipotéticas:

“Keiko no ganará las elecciones del 2016 ”

D. Según lleven conector lógico o no: a) Proposiciones Simples: No llevan conector lógico y se denominan atómicas. Ejemplo: “María estudia derecho” “Cajamarca es capital del carnaval” “Chimbote está entre Trujillo y Lima” “Ernesto y Carmen son hermanos” b) Proposiciones compuestas: Llevan conector lógico y se le llaman moleculares o complejas. Ejemplo: “Juana estudia derecho “Luis estudia Medicina

“Si

y es natural de Chota”

o Veterinaria”

Trujillo es la capital de la primavera cálido”.

entonces

Las palabras resaltadas se les denominan conectores lógicos.

el clima es

4. Clasificación de la Proposiciones Compuestas Las proposiciones compuestas según el conector que presenten pueden ser: 1-

NEGATIVAS: Cuando presentan el conector de la negación “no” o sus sinónimos. Ejemplo: Este año no postularé a la UPAGU

2-

CONJUNTIVAS: Cuando presentan el conector de la conjunción “y” o sus sinónimos. Ejemplo: Los abogados y los médicos son profesionales

3-

DISYUNTIVAS INCLUYENTES: Cuando presentan el conector de la disyunción “o” débil. Ejemplo: En el verano postúlate a la UNC o a la UPAGU

4-

DISYUNTIVAS EXCLUYENTES: Cuando presentan el conector de la disyunción “ O” fuerte. Ejemplo: O estudio inglés o francés

5-

CONDICIONALES: Normalmente son las Implicativas. a. Implicativas o Condicionales directas: Cuando presentan el conector de la implicación: Si………………entonces…………….. Ejemplo: Si hoy es el cumpleaños de Luisa entonces iré a su fiesta. b. Replicativas o condicionales indirectas: Cuando presentan el conector de la replicación o contra implicación: .................porqué …………………. Ejemplo: Iván conseguirá un buen trabajo porque es un buen profesional.

6-

BICONDICIONALES: Cuando presentan el conector de la biimplicación: .…….. si y solo si…………. Ejemplo: Los animales comen carne si y solo si son carnívoros.

Clasifique e identifique en los siguientes ejemplos: 1) Carlos Fuentes es un escritor. 2) Sen(x) no es un número mayor que 1. 3) Trujillo es la capital de la primavera. 4) El 14 es factor del 42 y el 7 también es factor del 42. 5) El 2 es divisor de 48. 6) El 2 es divisor de 48 o el 3 es divisor de 48. 7) Si x es número primo, entonces x es impar. 8) Si x > 10, entonces 2x - 3 > 16. 9) No todos los números primos son impares. 10) Cajamarca es patrimonio histórico y cultural de las américas, y capital del carnaval peruano.

FORMALIZACIÓN Proceso por el cual se representa una proposición verbal como proposición formal utilizando un lenguaje simbólico. Para esta operación se asignan variables y conectores a la proposición a formalizar  Ejemplo: 

1)

Si José es estudioso entonces será un hombre de éxito:

(p → q)

VARIABLES PROPOSICIONALES:

Son letras minúsculas tomadas de la mitad del alfabeto, es decir desde la p hasta la z, que sirven para representar a las proposiciones atómicas: p, q, r, s, t, etc. Se asigna en forma alfabética: Ejemplo: Formalizar: José es comerciante, trabajador o mayorista p v q v r ……………….correcto r v p v q……………….incorrecto 2.

CONECTORES LOGICOS:

Son signos que representan a los conectores que enlazan a l as proposiciones simples.

Símbolos ~ ¬ ^ & . v v ∆ → ← ↔ ↓

 /

Nombre Negador  Conjuntor  Disyuntor incluyente o débil Disyuntor excluyente o fuerte Implicador  Replicador  Biimplicador o bicondicionador  Inalternador  Incompatibilizador 

Lenguaje común No  Y o O………..o Si………  entonces ……. porque……… ……si y solo si…… ni…. y ni……….. no…….o no………….

Los conectores se clasifican en dos grupos: 

Conectores Monódicos: Aquellos que enlazan a una sola proposición simple:

Ejemplo: “¬” 

Conectores Binarios: Aquellos que enlazan dos proposiciones simples:

“^”, “v”, “v”, “→”, “←”, “↔”, “↓”, ”/” En general los conectores tienen sinónimos en el lenguaje común: Ejemplo para el conjuntor “y”:    

Iván estudia Medicina y  José Luis estudia Farmacia Iván estudia medicina, pero José Luis estudia Farmacia Iván estudia Medicina s in embarg o José Luis estudia Farmacia Iván estudia Medicina no obs tante José Luis estudia Farmacia.

Ejemplo: Sea la proposición verbal : 

Manuel es un ingeniero mecánico o ingeniero industrial, sin embargo, Martín es abogado.

La Formalización es:

(p v q) ^ r 

SIGNOS DE AGRUPACIÓN Son: paréntesis ( ), corchetes [ ] y llaves { }. ¿CUÁNDO USAR SIGNOS DE AGRUPACIÓN?

Para evitar ambigüedades; es decir, enunciados que nos pueden dar varios significados.

Por ejemplo: En la siguiente expresión: p v q ˄ r , no se sabe si es una conjunción o una disyunción, sería una conjunción si estaría así: (p v q) ˄ r  o una disyunción si estaría escrito así: p v (q ˄ r);

de allí la importancia de usar signos de agrupación para determinar la jerarquía de conectores. La combinación de variables proposicionales y los conectivos lógicos por medio de signos de agrupación se denomina esquema molecular. En cada esquema molecular sólo un conectivo es el de mayor jerarquía.

DESCRIPCIÓN DE LOS CONECTORES LOGICOS A.

NEGADOR 

SIMPLE: Comúnmente se ligan al verbo  

Los tribunales no deben actualizarse: ~ p Javier nunca ingresará a la UPAGU: ~ p

Los prefijos también funcionan como negadores simples:  



Manuel es indisciplinado: ~ p Pedro es anti demócrata: ~ p

COMPUESTO: Tienen la terminación “que”  

E s fals o que los tribunales deben actualizarse: ~p No s e cumple que Javier ingresará a la UPAGU: ~p

CASOS ESPECIALES:    



No, no terminé el trabajo de Matemática: ~p Es falso y mentira que el cobre es un gas: ~p Es falso, incierto y mentira que España se encuentra en América: ~p Es falsamente mentira que sea incierto que Víctor tendrá libertad bajo palabra: ~ [~p] Es inobjetablemente no correcto que la corriente del niño no caliente las aguas del Pacifico: ~ ~ ~p

B- CONJUNTOR    

 

Tal como Manuel, Andrea terminó su carrera técnica: p ^ q Invertí en la bolsa , as imis mo en terrenos: p ^ q

Pinky, Fido, Boby y Ficher son los nombres de mis perros: p ^ q ^ r ^ s No solo terminé la secundaria a tiempo , además  ingresé a la UPAGU: p^q La historia y  la geografía no son Ciencias Formales: ~p ^ ~q  Andrés es trabajador. Es un hombre desinteresado: p ^ q

CASOS ESPECIALES: 

Martín al igual que Carlos son ingenieros, sin embargo no tienen título universitario: (p ^ q) ^ (~r ^ ~s)

Donde: p = Martín es ingeniero q = Carlos es ingeniero s = Martín tiene título universitario r = Carlos tiene Título universitario 

 Alejandra, José y Carlos son hermanos, no obstante, ellos aún no trabajan: p ^ (~q ^ ~r ^ ~s) Donde: p = Alejandra, José y Carlos son hermanos q = Alejandra trabaja r = José trabaja s = Carlos trabaja.

C- DISYUNTOR INCLUYENTE O DÉBIL      

Manuel saca la basura o de lo contrario tiende su cama: p v q No hay crisis salvo que no haya inflación: ~p v ~q  A menos que llueva habrá calor: p v q Rob es guitarrista salvo que además baterista: p v q La crisis económica no aumenta excepto que exista desocupación: ~p v q El reloj es un instrumento de tiempo excepto que inclusive de lujo: p v q

D- DISYUNTOR EXCLUYENTE O FUERTE

Por la estructura: Cuando su estructura es excluyente: O………………o……………………………. ……………..a menos que solo……….  

O comemos pizza o comemos pollo: p v q O duermo o necesariamente estudio matemáticas: p v q

Por el contenido: Los eventos que se generan no se pueden cumplir ambos a la vez:   

Martín nació en Cajamarca o en Tacna: p v q Los virus son microscópicos salvo que visibles a simple vista: p v q El perro de la esquina es macho excepto que sea hembra: p v q

E- CONDICIONADOR:

1) IMPLICADOR (→) Simbología: A

→

B

Si………………… entonces…………………………  Antecedente Causa Suficiente

→  →  → 

Consecuente Efecto Necesaria

2) REPLICADOR (←) Simbología: A

←

B

…………………..si…………………………………….. Consecuente Efecto Necesaria

←  ← ←

Antecedente Causa Suficiente

Cuando el condicionador va al inicio es IMPLICATIVA    

Si los cocodrilos son reptiles, tienen sangre fría: p→q Suponiendo que haga sol, iremos a la playa: p→q Cuando el interés bancario baje, obtendré ese premio: p → q Porque no llueve, obviamente mi ropa se secará: ~p → q

Cuando el condicionador va al centro es REPLICATIVA   

Ingresaré a la UPAGU suponiendo que estudie conscientemente: p ← q El alcohol no es dañino ya que se vende en cualquier farmacia: p ← q Los delfines son mamíferos debido a que no se reproducen por huevos: p ← ~q



Los cocodrilos tienen sangre fría si son reptiles: p ← q.

ESTRUCTURAS ESPECIALES:                 

Solo si A, B: p ← q Solo si A, entonces B: p ← q  A solo si B: p → q Únicamente cuando A, B: p ← q  A solamente porque B: p → q  A implica a B: p → q  A está implicado por B: p ← q  A es la causa de B: p → q  A es la consecuencia de B: p ← q La causa de A es B: p ← q La consecuencia de A es B: p → q Es suficiente A para B: p → q  A es necesario para B: p ← q Es necesario para A, B: p → q Para A es suficiente B: p ← q Suficiente para A es B: p ← q Es necesario para A, B: p ← q

Para estas estructuras debemos tener en cuenta que la flecha del Implicador o replicador siempre parte del antecedente o condición suficiente y llega hasta el consecuente o condición necesaria, de esta manera podremos saber siempre si son Implicativas o replicativas. F- BIIMPLICADOR O BICONDICIONAL Habrá prórroga para pagar los impuestos siempre y cuando el banco lo autorice: p ↔ q Las rayas tienen su cuerpo aplanado porque y solamente porque pertenecen a la familia de los escualos: p ↔ q El cuarto no está oscuro si y solamente si prendes el foco: ~p ↔ q Que vaya a la playa implica y está implicado que salga el sol: p ↔ q Para que los metales sean dúctiles es necesario y suficiente que sean maleables: p ↔ q





  

G- INALTERNADOR O NEGADOR CONJUNTIVO  

Ni las ballenas son peces ni tienen branquias: p ↓ q Ni los delfines son reptiles ni son ovíparos: p ↓ q

H- INCOMPATIBILIZADOR O NEGADOR DISYUNTIVO   

Los leopardos no son v eloces o no son felinos: p/q No consigo comprar el terreno en Surco a menos que no viaje a Lima: p/q

SINONIMOS DE LOS CONECTORES LOGICOS NEGACION

CONJUNCION

DISYUNCION INCLUYENTE

~

CONDICIONAL

BICONDICIONAL

EXCLUYENTE

IMPLICADOR

REPICLADOR

;

→

←

INALTERNA INCOMPATIBI DOR LIZADOR ↓

 ⁄ 

No…. Excepto que no…..

No es cierto que

Pero

… o también…

….o solo …

Por lo tanto

Puesto que

Cuando y solo cuando

No….y no…

Es falso que

 Aunque

Cada vez que

Si solamente si

Ni…, ni…..

 A la vez

…o solamente….

De modo que

No es el caso que

….a no ser que B …y/o…

…o únicamente…

Por consiguiente

Siempre que

Entonces y solo entonces

 Así pues

Supone que

Luego

Ya que

ES una condición necesaria y suficiente, etc.

En conclusión

…..Si…. Pues es una condición necesaria de

Mas/Más

Es imposible que ni

 A pesar de

Es absurdo que

 Además

Es inconcebible que

No obstante

Se concluye

Sino

No ocurre que

 Aun cuando

Es una condición suficiente de

Igualmente  A menos que Sin embargo

…o bien … …ya bien…

…..es incompatible con….

Porque

En consecuencia

Dado que

De ahí que

En vista de que

Se deduce

E Empero También Tanto como  Al igual que No sólo ..sino también..

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PRÁCTICA DOMICILIARIA Nº 1 FORMALICE LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES: 1. Que no haya ingresado a la Upagu es consecuencia de que me haya enamorado: 2. Suponiendo que mecánica, metalúrgica, industrial inclusive también química son carreras de ingeniería, seguramente no tienen el mismo director de escuela: 3. Diana la muchacha de mi barrio, estudia en el colegio San Ramón ya que vive en Fonavi I: 4. Es insostenible que no sea mentira que los estudios de aptitud académica no incrementan la capacidad de los estudiantes: 5. Cajamarca, la capital del carnaval con Arequipa la ciudad blanca son ciudades con bastante turismo: 6. Considerando que la aritmética es una ciencia formal, su objeto de estudio es concreto. Sin embargo, la anatomía es una ciencia fáctica ya que su objeto de estudio es concreto: 7. Que los partidos políticos sean democráticos es una condición suficiente y necesaria para que no haya corrupción: 8. Ni Francia, ni tampoco Italia son productores de café: 9. Es objetable que, el Perú tenga crecimiento económico o en su defecto que se termine con la recesión, A menos claro está, que no haya inflación. 10. La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180 grados, al igual que la suma de los ángulos internos de un cuadrado es 360 grados: 11. Los números 1,2 y 3 son naturales consecutivos, sin embargo, los números 1 y 5 no son consecutivos: 12. Paco no es ni economista ni administrador:

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13. Algunas enfermedades todavía frecuentes en los países en vías de desarrollo son el cólera, la disentería, la fiebre amarilla y la tifoidea, pero son fáciles de tratar: 14. Porque conseguí asiento libre para Otuzco en semana santa porque el chofer es amigo de mi padre, no garantiza que no pague mi pasaje en el ómnibus 15. Ernesto excepto que Sandra consiguieron empleo. Además, se casarán siempre y cuando consigan empleo:

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