Modulo Geometria
September 23, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
Short Description
Download Modulo Geometria...
Description
AI APAEC APAEC
SEMANA 1 Y 2 2 Ángulos Ángulos Es la figura geométrica determinada por la reunión de dos rayo rayoss no alineados que tienen el mismo origen.
A
O
Elementos
1 2 3
01. Vértice: O O 02. Lados: OA y OB OB
B Notación:
•
•
Ángulo AOB: +AOB, AOt B Medida del ángulo AOB: m+AOB = °
medida Clasificación de los ángulos por su medida Ángulo agudo agudo
Ángulo recto recto
Ángulo obtuso obtuso
0º < < 90º 90º
=
90º <
90º 90º
<
180º 180º
Bisectriz de un ángulo ángulo A
O
M
bisectriz bisectriz
L
bisectriz bisectriz
B
4
www .tri .trilce. lce.edu edu.pe .pe
Geometría
adyacentes Ángulos adyacentes
a b
c
d
O bservación
+ + + =
+ + + + =
180º 180º
360º 360º
complementarios Ángulos complementarios Son dos ángulos cuya suma de sus medidas es igual a 90º.
b
El complemento C(x) de un ángulo "x"
a
C(x) = 90º - x
a + b = 90º 90º
suplementarios Ángulos suplementarios Son dos ángulos cuya suma de sus medidas m edidas es igual a 180º. El suplemento S(x) de un ángulo "x"
S(x) = 180º - x + = 180º 180º
Ángulos adyacentes suplementarios suplementarios B
B
A
O
C
A
Los ángulos AOB y BOC también se les denomina par lineal.
5
O
C
Las bisectrices de todo par lineal son perpendiculares
Introductoro Introductoro
Ángulos opuestos por el vértice vértice
O bser bservació vació n Alternos internos internos
Correspondientes Correspondientes
Conjugados Conjugados
=
=
•
Si: L1
'
L2
•
+ = 180º
Si: L1
'
L2
L1
a
L1
a
b
x
c L2
+ + =
•
Si: L1
b
a + b + c c
L2
x=a+b b
'
L2
•
Si: L1
'
L2
L1
2
L1
1
3 + + + + =
n
L2
L2 1 + 2 + ... + n = 180º (n - 1) 1)
180º 180º
6
www .tri .trilce. lce.edu edu.pe .pe
Geometría
Práctica Práctica BLOQUE I
05. Calcule
"x", L1
'
L2
01. Del gráfico, gráfico, calcule el valor de "y" cuando "x" toma su mínimo valor entero. entero.
3x
x
x+ y x+y y - x 2x - y a) 46º d) 68º 02. Si:
b) 88º e) 64º
a) 18º d) 24º
c) 78º
b) 36º e) 32º
M
x
N
O
100º O
C
b) 60º e) 30º
N
c) 20º
a) 170º d) 165º
03. Si: mBOP = mPOC, mAOP = 60º,
07. Si: L1
mPOD-mCOD=20º, mAOB=? AOB=? B A P
L2 ,
'
b) 175º e) 160º
2
c) 40º
b) 20º e) 60º
a) 70º d) 40º
2
130º 130º
L1
A
x
a) 55º
b) 60º
d) 45º
e) 30º
c) 60º
'
L
b) 48º e) 72º
L2
08. Si: a b y el ABC es acutángulo. Calcule el máxi- mo valor entero de "x" "x" B 150º a
'
1
1
x
2
D
L
2x O
c) 185º
calcule: x x
C
04. Calcule x, si: L
c) 12º
m AON=m NOC,
mMON=20º, mBOC=? BOC=? M A B
a) 30º d) 10º
L2
06. Calcule el valor de "x"
m AOM=m MOB,
a) 50º d) 40º
L1
110º
L2
x
b
C
c) 35º
a) 61º d) 58º
7
b) 60º e) 57º
c) 59º
I APAEC APAEC
09. En la figura, L1
L2 y - =40º. Calcule y
'
12. En la figura, L1 // L2 // L3 y - =40º, Calcule "x"
L1
L1
x
80º a) º y 30º d) 60º y 20º
10. En la figura, L1
L2 . Calcule el valor de "x". "x".
b b
m
m
a) 80º d) 90º
c) 80º y 40º
'
a) 20º5' d) 24º20'
13. En el gráfico, gráfico, calcule el máximo valor entero de "y".
L1
5x
n n
b) 22º e) 25º10'
11. En la figura, L1
a) 55º d) 40º
x x - 2y 3y + x
a) 50º d) 40º
L2
c) 22º30'
L2 y + n = 250º. Calcule "x" "x"
14. Si: L1
b) 35º e) 52º L2 , calcular: " "
160º
L1
n x
b) 45º e) 44º
4
L1
3 2
L2
a) 16º d) 0º
L3
c) 50º
c) 41º
'
'
c) 75º
b) 70º e) 60º
3x a a
L3
L2
b) 50º y 10º e) 75º y 35º
L2
b) 20º e) 15º
L2
c) 5º
15. Se tiene el par lineal. Calcule el máximo valor de "y" Q
x - 2y
P
a) 45º d) 61º
8
3y
O
b) 50º e) 60º
R
c) 59º
www .tri .trilce. lce.edu edu.pe .pe
Geometría
Tarea domiciliaria domiciliaria d e un ángulo, aumentado 01. Si el doble del suplemento de en su mitad coincide con el ángulo ángulo.. Calcule el complemento del ángulo mitad. a) 12º b) 14º c) 16º d) 18º e) 20º 02. El complemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo es a) 15º b) 60º c) 90º d) 0º e) 5º
08. Se tienen ángulos consecutivos AOB, BOC y COD cuyas medidas están en progresión aritmética de ra- zón "r". Si: OA y OD son rayos opuestos. Calcule
la medida del ángulo formado por las bisectrices del mayor y menor ángul ángulo. o. a) 120º b) 130º c) 110º d) 125º e) 105º
consecutivos AOB, BOC y COD se en09. Si los ángulos consecutivos cuentran en progresión aritmética. Si: m AOD=102º Calcule: mBOC 03. Sean los ángulos consecutivos AOB y BOC, se trazan b) 36º c) 51º a) 64º las bisectrices OM del mAOC y ON del BOC. Si d) 27º e) 34º MON m ide 20º. 10. La media geométrica de dos ángulos es 4º y la media AOBB Calcule: m AO armónica 32 ¿Cuánto mide el menor de ellos? a) 30º b) 32º c) 36º 17 17 d) 40º e) 45º a) 16º b) 32º c) 10º e) 2º d) 1º 04. El complemento de la diferencia que existe entre el suplemento de un ángulo y su complemento complem ento es igual 11. Dados los ángulos consecutivos AOB y BOC, tal que 4 a los de la diferencia que existe entre el suplemen- 1 del mAOB=xº y m+BOC 5 BOC = Calcule la medida del suplemento ángulo. lo. to y el suplemento Calcule la medidadeldel ángulo. del mismo ángu a) 80º b) 85º c) 90º d) 70º e) 75º 05. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y
x
AOC; sabiendo que es loc mínimo posible.
a) 1º d) 3º
b) 2º e) 2,5º
12. En la figura, calcule "x"
COD, luego se trazan las bisectrices OX de AOB y OY de COD, si mAOC=25º, mXOY= mXOY=45º 45º
Calcule: mBOD BOD a) 56º b) 60º d) 65º e) 70º
35º
x
c) 58º 170º 170º 80º 80º
06. En un plano alrededor del punto O se trazan los rayos OA , OB , OC, OD y OE , de modo que los ángulos AOB, BOC, COD, DOE, y EOA; son proporcionales proporcion ales a 1, 2, 3, 4 y 5. Se trazan OX y OY bisectrices de los ángulos COD y DOE.
XOY Calcule: mXOY a) 42º b) 66º d) 90º e) 96º
c) 1,5º
c) 84º
a) 55º
80º
b) 60º
c) 65º
d) 70º e) 75º 13. Del gráfico, calcule el mayor may or valor entero de "x", si el triángulo ABC es acutángulo. B L1
x
aritm ética 07. Del gráfico, calcular el valor de la razón aritmética entre x e y, cuando "x" toma su mínimo m ínimo valor entero. A
a) 8º d) 5º
b) 3º e) 6º
L2
32º
x - y 2y+x 5x
C
c) 4º
a) 50º d) 57º
9
b) 44º e) 58º
c) 56º
APAC I APAC
14. En el gráfico L1 L2; calcule: calcule: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6, si: + + = 120º 120º '
18. Si L1 L2, es agudo. Calcule el mínimo valor entero de '
L2 2
30º+ 3
4 5
6
1
L1
a) 270º d) 600º
b) b) 300º e) 420º
c) 360º
15. En el gráfico "y" asume su mayor valor entero. CalcuCalcule el valor de "y" B
y-2x
A
a) 69º d) 72º
O
c) 46º
19. En el gráfico mostrado, calcule "", de tal manera que "" sea la medida de un ángulo máximo. = [116 - x (x + 4)]º 4)]º
C
c) 71º
16. Si: L1 L2 y la medida del ángulo ABC es agudo, calcule el menor valor entero impar de "x" "x" '
E
L1
a) 46º d) 43º
b) 44º e) 61º
x+2y
b) 70º e) 73º
A
a) 89º d) 31º
L2
C
L1
30º
a) 60º d) 62º 20.
b) 58º e) 56º
c) 75º
Según la figura: 2 - > 38º, calcular el mínimo valor entero de x, si: L1 L2 '
x D
2
L1
x B
L2
b) 47º e) 44º
c) 45º
a) 112º d) 132º
b) b) 119º e) 138º
L2
c) 129º
17. Calcule la razón aritmética del máximo y mínimo valor entero que puede tomar tom ar "x", si "" es la medida del ángulo agudo, en el gráfico L1 L2 '
L1
x
83º
L2
a) 90º d) 88º
b) 85º e) 86º
c) 87º
10 10
.trilce. lce.edu edu.pe .pe www .tri
Geometría
SEMANA 3 Y 4: TRIANGULOS
Definición Definición F B
1 4 01. Vértices: A, B, C C 4 AC 2 02. Lados: AB, BC y AC Elementos 4 1 2 Interiores: + A, +B, +C 4 03. Ángulos 3 3
Exteriores: + EAB, + FBC, + BCH
E
C
A
H
etc. Notación: ABC, TABC, etc.
O bservación
Se denomina región triangular a la reunión de los puntos interiores con el conjunto de puntos de sus lados.
Propiedades básicas básicas 01.
02.
º
º
e
%
2
e%
º
e
1
%
3
% % % + e + e = 360 c 1 2 3
º + º + º = 180º 180º
e
04.
03.
x = º + º yº y = º + º º z = º + º
xº º
Central 6198 100 100
º
b
c
a b - c < a < b + cc
zº zº
11
Marcos San Marcos
01 Capítulo 01
06.
05.
b
a x
c
e
x = + +
d
a + b + c + d + e = 180º 180º 08.
07.
B
Si: ) < Si:
"
c
"
Si: ) Si:
b>a
A
b
> b > c c < b <
a
c
c < a
b
"
"
a
>
d
C
a + b = c + d d 10.
09.
b
x
x x = a + b + cc
a
c y
x + y = +
12.
11.
B
B
P
D
A
AB + BC > AD + DC DC
A
C p: semiperímetro del AB ABCC
C
p < PA + PB + PC < 14. T. Acutángulo ( < 90º)
13.
b2 = c2 + a2
B
c
b
A
a
c
b >a b > c
a
C
a2 < c2 + b2
b
15. T. Obtusángulo ( > 90º)
a a2 > c2 + b2
c
b
12
.trilce. lce.edu edu.pe .pe www .tri
Geometría
Problemas resueltos resueltos 01. En la figura, AB = AC = CD. Calcular: x C B 2x-
x D
A
Resolución Resolución
2x
B
C Prolongamos BA m externo en A=3x -
•
2x-
Unimos B con C, mABC = mBCA = 2x 2x CD BCD: BC = CD ABC: equilátero
•
x 180º-4x 180º-4x
•
x+ A 3x-
x
•
D
2x = 60º
x = 30º 30º
02. Del gráfico mostrado: AB = BP = PQ = QC. Calcular: B 4 Q
A
P
C
Resolución Resolución B
4 2 Q 2 A
3
Central 6198 100 100
3
P
x
ABP: 10 = 180º 180º
•
=
18º 18º
C
13
Marcos San Marcos
01 Capítulo 01 entero. 03. En la figura, AB < FC; BC = FC. Calcular: x, si es un número entero. B
x
A
4º
C
F
Resolución Resolución Sabemos: 4 + x < 90º x < 86º
•
B
•
Si: AB < FC; AB < BC BC
x 4º+x
172º - 2x < 4º
172º - 4 < 2x
x A
4º
F
4º+x
172º-2x 172º-2x
x > 84º
86º C Luego: 84º < x < 86º x = 85º 85º •
14
.trilce. lce.edu edu.pe .pe www .tri
Geometría
Práctica Práctica 05. Los lados de un triángulo isósceles miden 9m y 19m calcular su perímetro. perímetro. a) 37m b) 48m c) 50m d) 47m e) 37m y 47m
01. Calcular "x" en función de a, a , b y c.
b
06. Si: AC = AB, AE = AD. Calcular "x" "x" B
x
a
c D
a) c - a + b
b) a - b + c
d) c - a - b
e) c - 2(a + b)
c)
a + b + c 3
x A
02. En la figura; AB = BC = CD Calcular la medida de "x" "x" C 2x
C a) 5 d) 20
B 60º
x D
b) 50º e) 20º
07. Calcular "x", si: RS = 5; QR = PQ = 8; PS = 13 13 S 60º 60º P
R
c) 60º
a) 100º d) 110º
M
N b) 40º e) 60º
Q
a) 45º d) 37º
40º
60º
c) 75º
3x+6
R c) 30º
12 2x
a) 3; 3; 4 y 5 d) 3 y 4
04. Calcular "x", si: AB = BC = AD AD B 100º 100º A
b) 90º e) 120º
valores enteros que puede pu ede 08. En la figura, calcular los valores tomar "x"
50º x
x Q
03. Calcular "x", si: PQ = PM P
80º 80º
c) 15
b) 10 e) N.A.
A a) 80º d) 40º
E
20º
b) 2; 2; 3 y 4 c) 4; 5 y 6 e) 2; 3; 4; 5 y 6
09. ¿Cuál es el menor valor entero que puede tomar "x"?
x C
7
x+ x+22
D
a) 50º d) 80º
Central 6198 100 100
b) 60º e) 75º
a) 6 4 d)
c) 70º
15
b) e) 37
c) 5
Marcos San Marcos
01 Capítulo 01 BC) 10. En un triángulo ABC, se traza BP ("P" está en AC) de 13. Exteriormente al triángulo isósceles ABC (AB = BC) se traza el triángulo equilátero BCD. PC tal manera que: BP = PC Calcular: mCAD CAD Calcular la medida del ángulo ABC, sabiendo además que: mABP - mBAC = 40º b) 18º c) 25º a) 10º a) 90º b) 100º c) 110º d) 30º e) 45º e) 180º d) 80º 14. En un triángulo ABC; se traza BP ("P" está en AC) de 11. En la figura, determinar el menor valor entero de "K" tal manera que AB = BP = PC PC Hallar la mABP, si: mBCA = 40º. 40º. a) 10º b) 20º c) 30º
K
d) 40º e) 50º 15. En un triángulo ABC (AB = BC) se ubica el punto "D" en AB, tal que: CD = AC AC Hallar mCBA, si: mDCA = 25º 25º a) 20º b) 50º c) 25º d) 15º e) 12º30'
9+K
12 a) 2
b) 3
d) 5
e) 1
c) 4
12. En la figura, ¿cuál es el segmento que tiene mayor longitud? A B 80º 80º 47º 46º 46º E 65º
50º
C a) AB d) AC
D b) BE e) BD BD
c) ED ED
16
.trilce. lce.edu edu.pe .pe www .tri
Geometría
domiciliaria Tarea domiciliaria 01. En la figura, calcular ""
05. Calcular el máximo valor entero de "x"
11 a) 12º d) 18º 02.
b) 10º e) 5º
c) 15º
Calcular "", si: AB = BE = EC EC 12 50º B
A
32º 32º
E
a) 92º d) 78º
a) 14º d) 12º
b) 86º e) 84º
C
c) 96º
6 a) 16 d) 13
b) 70º e) 40º
Central 6198 100 100
40º
A
c) 80º
C
D
a) 20º d) 30º
b) 60º e) 10º
c) 40º
09. Calcular la relación correcta para "x"
B 40º
a) 65º d) 75º
c) 12
80º
04. Si: AB = BE = EC, calcule mABC
A
b) 15 e) 14
08. Si: CD = BD, hallar: m ABD ABD B
b B
a) 60º d) 50º
b) 16º e) 18º
06. En un triángulo ABC; donde A=60º, sobre AC y BC se ubican los puntos D y E respectivamente, de tal manera que: AD EB BA y mBED = mEBA. Hallar: EDC EDC a) 50º b) 20º c) 18º e) 40º d) 30º 9 x 07. Calcular el máximo valor entero de "x"
ACB 03. Si: aº + bº = 240º, calcular mACB A a
C
x c) 15º
5 E
b) 60º e) 55º
9 x
C
11
c) 80º a) b) c) d) e)
17
17
7 < x < 13 13 4 < x < 28 28 6 < x < 14 14 4 < x < 14 14 6 < x < 28 28
Marcos San Marcos
01 Capítulo 01
10. Si: > 90º, AC es un número entero. Calcular la
suma del máximo y mínimo mínim o valor entero que puede tener "x" B 10 C x
2
x a) 40 d) 45
c) 20
b) 19 e) 22
i: AD=BD=DC AD=BD =DC 11. En el siguiente gráfico calcular "x", ssi: B A x
b) 20 e) 52
c) 30
15. Los lados de un triángulo miden 14; x - 4 y x + 6. Calcular el menor valor entero que puede pu ede tomar "x". a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 16. En un triángulo obtusángulo ABC; obtuso en "B";
D
b) 30º
d) 50º
e) 40º
c) 45º
12. Si el triángulo ABC es equilátero y BD = BC. Calcular "x" "x" D 4x B x
A
AB=2; BC=8. Calcular la medida de AC si es número entero. a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11
C
a) 60º
a) 14 d) 20
D
8
a) 18 d) 21
w w
2
A
gráfico, co, calcular "x" 14. Del gráfi
C
E c) 18
b) 16 e) 24
13. En la figura, AB = AD = DC. Calcular "x" B 26x
17. En un triángulo ABC se conoce que: AB=8 y BC=6. Calcular el mínimo valor entero de AC si la medida del ángulo B es mayor de 90º b) 10 c) 11 a) 9
d) 8
e) 12
18. En un triángulo ABC; M en AB, N en AC, AB=AC, ACB = 70º y BM MN AN. ¿Cuánto mide el ángulo MBN? MBN? b) 30º c) 10º a) 20º d) 15º e) 18º 19. En un triángulo PQR, m QPR=80º, m PQR=40º. Además D PQ, mPRD=50º y EQR, tal que: PR=RE PR=RE Calcule la mEDQ. EDQ.
90º a) d) 110º
b) 80º e) 120º
c) 100º
20. Se tiene un triángulo ABC, m B=78º, exteriormente y relativo al lado AC se ubica el punto D, tal que la mDAB=81º y mADC=141º
D
A
a) 3º d) 2º
b) 5º e) 4º
6x 4x
Calcular la mACD, si: BC = CD CD a) 10º b) 9º c) 18º e) 30º d) 20º
C c) 8º
18 18
.trilce. lce.edu edu.pe .pe www .tri
Geometría
Líneas notables en el triángulo Mediana Mediana B
: mediana
BM
A
M
b
b
C
Bisectriz Bisectriz B
B
L
BI: bisectriz interior
A
I
L
A
C
: bisectriz exterior
C
Altura Altura A
B
BH: altura A
AF: altura F
C
H
B
C
Mediatriz Mediatriz B L
L: mediatriz de AC
A
Central 6198 100 100
b
b
19
C
Marcos San Marcos
02 Capítulo 02 Ceviana B
B
BF: ceviana
A
BE: es ceviana exterior
A
C
F
E
C
Relaciones angulares angulares 02.
01.
Bº
B
x
x
x = 90c+ Bc 2
x = 90c - Bc 2
03.
04.
B
x
Bº
xº
A
º
xc
H
I
º
=
c - c 2
C
BH: altura
Bc x = Bc 2
BI: bisectriz del ángulo ABC
notables Puntos notables Ortocentro Ortocentro
Baricentro
Punto de concurrencia de las alturas o sus prolongacion prolongaciones, es, en un triángulo. Ejemplo:
Punto de concurrencia de las medianas en uunn triángulo. Ejemplo: B
B D
E
H A
G A
C
C
F
G: Baricentro del ABC
H: Ortocentro del AB ABCC
BG = 2(GF) 2(GF) AG = 2(GE) CG = 2(GD) 20
www.trilce.edu.pe www.trilce.edu.pe
Geometría Incentro
Excentro
Punto de concurrencia de bisectrices interiores de un triángulo.
Punto de concurrencia de dos bisectri bisectrices ces exteriores con una interior. Ejemplo:
Ejemplo:
B
E
B
I
A
A
C
C
E: Excentro relativo a BC del ABC
ABCC I: Incentro del AB Circuncentro Circuncentro
Punto de concurrencia de las mediatrices de los lados de un triángulo. Ejemplo: B
O
ABCC C O: Circuncentro del AB
A
Propiedades 01.
02.
b
x a
x
x = a + b 2
b
a
x = a + b 2
04.
03.
B
m
y
O
x
x
Central 6198 100 100
C
A
m
O : circuncentro x = 2y 2y
x = 45c - 4
21
Marcos San Marcos
Problemas resueltos resueltos B=80º. 01. En un triángulo isósceles ABC (AB = BC), se traza la altura AH. Calcular mHAC, si: mB=80º.
Resolución Resolución B
80º 80º
•
Si: AB = BC BC t = mC t = 50 c mA
H 50º
x
A
AHC: x + 50º = 90º 90º
•
40º x = 40º C
med ida del ángulo A excede a la medida del ángulo C en 36º. Hallar la medida del mayor 02. En un triángulo ABC; la medida ángulo formado por la mediatriz de AC con la bisectriz del ángulo exterior B. Resolución Resolución T Q
B
90º-
x P
•
•
•
36º+
A
M
m TBX = 36 + 2 m BPQ = 90º - BQP: x = 18º + + 90º - x = 108º 108º
C
03. En un triángulo ABC (B = 90º), se traza la altura BH, la bisectriz del HBC intersecta en P a HC. Si: AB=5, hallar el máximo valor va lor entero enter o de BP. BP. Resolución Resolución
m ABH = mC= m A = mHBC = 2 ABP: isósceles, AB = AP = 5
•
B
5 A
2
•
•
•
x H
+
P
ABP: ABP: 5 5-5
View more...
Comments
