MODULO Ecuaciones Diferenciales 2013-2.PDF Unad

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ECUACIONES DIFERENCIALES

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA PROGRAMA CIENCIAS BÁSICAS

100412 – ECUACIONES DIFERENCIALES RICARDO GOMEZ NARVAEZ Director

JUAN JOSE CRUZ (Acreditador)

Palmira, agosto 2012

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ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y VERSIONAMIENTO

El presente módulo fue diseñado en el año 2009 por Carlos Iván Bucheli Chaves docente de la UNAD, ubicado en el CEAD de San Juan de Pasto, el Autor es físico-matemático, especialista en docencia universitaria, magíster en enseñanza problemita y otros. Se ha desempeñado como tutor de la UNAD desde 2001 hasta la fecha y ha sido catedrático de diversidad Universidades de Pasto. El presente módulo ha tenido 4 actualizaciones realizadas por su autor Carlos Iván Bucheli Chaves. Y una quinta actualización que se realiza con los tutores Ricardo Gómez Cead Palmira y Pablo Pinto (Bogotá). El material ha sido revisado por la dirección de la Escuela de Ciencias básicas, Tecnología e Ingeniería: Jorge Eliécer Rondón y por su primer acreditador: Ricardo Gómez Narváez, los cuales han aportado para la calidad de este material.

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INTRODUCCIÓN

El curso de ECUACIONES DIFERENCIALES, es una de las temáticas con mayor grado de importancia en el desarrollo de la educación superior ya que esta se considera una de las herramientas de mayor utilidad especialmente en el área de la ingeniería. La estrategia para comprender esta rama de la matemática, implica interés, dedicación compromiso y sobre todo responsabilidad. La enseñanza de las ecuaciones diferenciales ha experimentado una gran evolución, tanto en términos pedagógicos como el contenido. Lo que una vez se pudo considerar como una colección de métodos, ha avanzado sustancialmente con el fin de proporcionar a sus investigadores diversos experiencias, que un reconocido matemático ha denominado conceptualización, exploración y solución de problemas de dificultad superior. El curso de Ecuaciones Diferenciales, se ha sometido a diversos cambios estructurales con el único objetivo de consolidar un material práctico para el estudiante, este le permitirá instruirse con mayor facilidad y así obtener un mayor rendimiento académico. El curso contiene material necesario para un completo aprendizaje de ecuaciones diferenciales, los ejercicios desarrollados y propuestos no quieren otros conocimientos de los que se han trabajado a lo largo de la carrera. Se hace un desarrollo más o menos profundo, y un estudio detallado de las diferentes ecuaciones a tratar. En el desarrollo del curso, el estudiante tiene la oportunidad de encontrar las definiciones de los temas tratados incluidos en tres unidades, así mismos encontrará ejemplos prácticos por cada tema a tratar como también ejercicios para resolver. Una característica particular del módulo es la presentación resumida de los conceptos fundamentales a tener en cuenta en el desarrollo intelectual

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INDICE DE CONTENIDO

UNIDAD I. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Capítulo 1: INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES. Lección 1: Fundamentos generales como apoyo a las ecuaciones diferenciales. Lección 2: Concepto de una ecuación diferencial. Lección 3: Resolución de una ecuación diferencial. Lección 4: Clasificación de las ecuaciones diferenciales. Lección 5: Ejercicios propuestos. Capítulo 2: ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN. Lección 6: Ecuaciones con variables separables. Lección 7: Ecuaciones Homogéneas. Lección 8: Ecuaciones exactas. Lección 9: El factor integrante. Lección10: Ejercicios Propuestos. Capítulo 3: CAMPOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN. Lección 11: Trayectorias Ortogonales. Lección 12: Los campos de fuerza. Una aplicación de las Ecuaciones diferenciales. Lección 13: Aplicaciones de familias de curvas y trayectorias ortogonales. Lección 14: Otras aplicaciones de las ecuaciones diferenciales. Lección 15: Ejercicios Propuestos.

UNIDAD II. ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN Y DE ORDEN SUPERIOR Capítulo 4. ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN. Lección 16: Ecuaciones diferenciales de segundo orden y métodos de solución. Lección 17: La Solución General de una ecuación diferencial como Combinación Lineal de Soluciones Linealmente Independientes. Lección 18: Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas y no homogéneas con coeficientes Constantes. Lección 19: Operador para la solución de ecuaciones diferenciales. Lección 20: Ejercicios Propuestos. 4

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Capítulo 5: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR. Lección 21: Ecuaciones diferenciales lineales de orden n. Lección 22: Ecuaciones diferenciales de orden superior con coeficientes constantes Lección 23: Ecuación diferencial de orden superior homogénea y no homogénea con coeficientes constantes. Lección 24: Métodos generales de solución de las ecuaciones diferenciales de orden superior. Lección 25: Ejercicios propuestos. Capítulo 6: CAMPO DE APLICACIONES DE ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN Y DE ORDEN SUPERIOR. Lección 26: Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden Lección 27: Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de orden superior Lección 28: Ecuaciones diferenciales de Euler. Lección 29: Ecuaciones diferenciales de Chebyshev y de Bessel . Lección 30: Ejercicios Propuestos.

UNIDAD III. ESTUDIO DE SERIES Y FUNCIONES ESPECIALES Capítulo 7: GENERALIDADES DEL ESTUDIO DE SERIES. Lección 31: Definición de serie matemática. Lección 32: Clasificación de las series matemáticas. Lección 33: Técnicas para resolver Ecuaciones Diferenciales mediante series matemáticas. Lección 34: Definimos el concepto de punto ordinario y punto singular regular en una Ecuación diferencial. Lección 35: Ejercicios Propuestos. Capítulo 8: SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIE DE POTENCIAS. Lección 36: Estudio de Series De Potencias. Lección 37: Propiedades y Convergencia de las series de potencias. Lección 38: Solución de ecuaciones diferenciales de primer orden mediante Series de potencias. Lección 39: Solución de ecuaciones diferenciales de orden superior mediante Series de potencias. Lección 40: Ejercicios Propuestos. 5

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Capítulo 9: FUNCIONES ESPECIALES Y SERIES MATEMATICAS. Lección 41: Funciones analíticas. Lección 42: Series De Taylor. Lección 43: Solución de ecuaciones diferenciales mediante Series de Taylor. Lección 44: Series de MacLaurín. Lección 45: Ejercicios Propuestos. AUTOEVALUACION DEL CURSO

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LISTADO DE TABLAS Pag. Tabla 1……………………………………………………………........ 40 Tabla 2 …………………………………………………………….… 41

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LISTADO DE GRÁFICOS

Pag. 1) Gráfica 1 …………………………………………………………… 16 2) Gráfica 2 …………………………………………………………… 46 3) Gráfica 3 …………………………………………………………… 55 4) Gráfica 4 …..………………………………………………………... 55 5) Gráfica 5 ……………………………………………………………. 56 6) Gráfica 6 ……………………………………………………………...56 7) Gráfica 7 ……………………………………………………………..105 8) Gráfica 8 …………………………………………………………….106

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UNIDAD 1 Nombre de la Unidad Introducción

Justificación

Intencionalidades Formativas

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ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una ecuación de la forma F ( x, y, y ')  0 En la que aparecen una variable independiente, una variable dependiente y una primera derivada. La razón por la cual a las ecuaciones de este tipo se les dice ecuaciones diferenciales ordinarias1 En esta unidad trataremos los siguientes aspectos de mucha Importancia en la ingeniería y sus diferentes proyecciones a la solución de problemas así: estudio de las ecuaciones diferenciales de primer orden, clasificación, tipo, orden, linealidad y métodos de solución para las ecuaciones de variables separadas y homogéneas. Donde los tipos de ecuaciones diferenciales a trabajar principalmente son las exactas y las lineales, veremos sus características, su modo de identificación y la manera de resolver cada una de ellas, dando ejemplos, ejercicios explicativos y aplicaciones para esta unidad. Las ecuaciones diferenciales, de primer orden, constituyen uno de los más importantes instrumentos teóricos y a su vez herramienta para la praxis y así interpretar y modelar fenómenos científicos y técnicos de la mayor variedad. Son por eso de especial importancia práctica y teórica para los ingenieros de cualquier rama. El área de los sistemas ha penetrado prácticamente en todas las áreas de la tecnología, porque permite abordar y manejar sistemáticamente aspectos de optimización y logro de comportamientos deseados. El área de los sistemas es transversal y genérica. Transversal por aplicarse a varias áreas de conocimiento: sistemas mecánicos, eléctricos, de procesos, humanos, económicos entre otras áreas, por eso se encuentra todo género de investigadores: ingenieros de todas las disciplinas, economistas, físicos, matemáticos entre otros. · Reconoce y distingue una ecuación diferencial de primer orden. · Clasifica ecuaciones diferenciales de acuerdo con su tipo, orden y linealidad.

es.wikibooks.org/ecuaciones diferenciales

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· Reconoce la diferencia entre una solución particular y una solución general de la ecuación diferencial. · Define campo de direcciones correspondientes a la ecuación diferencial de primer orden. · Identifica ecuaciones diferenciales de variables separadas y homogéneas. · Emplea el método de separación de variables para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden. · Resuelve correctamente ecuaciones diferenciales homogéneas. · Reconoce una ecuación diferencial exacta y las resuelve. · Encuentra el factor integrante para una ecuación diferencial lineal. · Resuelve ecuaciones diferenciales lineales. · Identifica, distingue y resuelve correctamente ecuaciones diferenciales de Bernoulli. · Realiza sustituciones adecuadas para poder resolver ecuaciones diferenciales con tipos ya conocidos empleando sustituciones. · El estudiante plantea problemas correctamente empleando la modelación con ecuaciones diferenciales de primer orden. · Por último, resuelve correctamente ecuaciones diferenciales lineales y cuantifica la importancia de la modelación matemática con ecuaciones diferenciales en la solución de problemas científicos. Denominación de capítulos

1.1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES. 1.2. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN. 1.3. CAMPOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN.

CAPITULO 1: INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Introducción Dejaremos de lado las funciones de dos o más variables y comenzaremos con el estudio de ecuaciones diferenciales ordinarias, y así encontraras algunas definiciones importantes que nos permitirán el estudio de diferentes tipos y métodos de solución a la ecuación para luego ubicarlas en el fascinante mundo de las matemáticas como herramienta de aplicación a nivel socioeconómico y científico. 10

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Se indican las estrategias que debes seguir para el provecho de la unidad, las mismas están orientadas a explicar los aspectos relacionados con las ecuaciones diferenciales, su estructura y aspectos básicos. Lección 1: Fundamentos generales como apoyo a las ecuaciones diferenciales. Ver módulo de Cálculo diferencial y cálculo integral Unad 2010.

Lección 2: Concepto de una ecuación diferencial Una ecuación diferencial es aquella ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes, con respecto a una o más variables independientes. Son ejemplos de ecuaciones diferenciales las siguientes:

d2y dy  2  3y  0 dx 2 dx d2y  2x dx 2

d2y dy 3  (1  ) dx 2 dx f ( x)  f ( x)  7 x  0

d2y  y0 dx 2

y  3 x

y  cos( x)  0

y  y  3x  2 11

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x

y 5  0 x

 5u  3u  6 x 4 x3 En los anteriores ejemplos se observa que las ecuaciones cumplen la definición de ecuación diferencial, porque tienen derivadas de diferente orden y tipo (ordinarias y parciales), además en los ejemplos se observan diferentes notaciones de derivada como lo hemos aprendido en el cálculo diferencial. En resumen podemos decir que una ecuación que tiene derivadas se llama ecuación diferencial. A través de los ejercicios y actividades de esta franja, tendrás la oportunidad de verificar la comprensión del material en el cual las ecuaciones diferenciales parciales son muy importantes y útiles; sin embargo su manejo requiere del conocimiento profundo de las ecuaciones diferenciales ordinarias.

Lección 3: Resolución de una ecuación diferencial Una función y = f(x) se dice que es una solución de una ecuación diferencial si al sustituir y sus derivadas en la ecuación la reduce a una identidad. Por ejemplo, -2x derivando y sustituyendo es fácil comprobar que y = e es una solución de la ecuación diferencial:

dy  2y  0 dx Se puede demostrar que toda solución de esta ecuación diferencial es de la forma y = C e -2x, solución general. Donde C denota cualquier número real. -2x -2x Derivando la ecuación y = C e derivando y’ = -2C e Reemplazando en la ecuación diferencial la función y su respectiva derivada, -2x -2x efectivamente existe una identidad -2C e = -2C e Ejemplo: Averiguar si las funciones dadas son solución de la ecuación diferencial:

d2y y0 dx 2 a)

y = sen x

b) y = e2x 12

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c) y = 4e -x d) y = C ex Averiguemos: a) Como: y = sen (x)

dy  cos( x) dx

d2y   sen( x) dx 2

d2y  y   sen x – sen x   2 sen x  0 dx 2 Por tanto, y  sen  x  no es solución. b) Como

y  e2 x

 tf ( x, y) y

d2y  4e2 x entonces 2 dx

d2y  y  4e2 x  e2 x  3e2 x  0 2 dx Por tanto, y = e2x no es solución. c) Como y = 4 e

dy  4e x y dx

–x

d2y  4e x 2 dx

entonces

d2y  y  4e x  4e x  0 2 dx Por tanto,

y = 4 e –x

es solución.

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d) Como y = C ex

dy  Ce x dx

d2y  Ce x 2 dx d2y  y  Ce x  Ce x  0 2 dx Por tanto, y = C e

x

es solución.

Ejemplo: Solución particular Para la ecuación diferencial

x

dy  3 y  0 verificar que y = Cx3 es solución y dx

hallar la solución particular determinada por la condición inicial y = 2 para cuando

x = -3 Solución: Sabemos que y = Cx3 es una solución, ya que y’ = 3Cx2, por lo tanto:

x

dy  3 y  x  3 Cx2  – 3  Cx3   0 dx

Además, la condición inicial y = 2 cuando x = -3 implica que la solución general esta dada por: y = C x3, al remplazar el valor de x que es la condición inicial se tiene: 2= (-3)3C por tanto C= -2/27

Luego concluimos que la solución particular es:

2 x3 y 27

y = -2x3/27

Para determinar una solución particular, el número de condiciones iníciales ha de coincidir con el de constantes arbitrarias en la solución general. Recordemos que la solución de una ecuación diferencial no es una sola función, sino todo un conjunto de funciones (familia de soluciones). Ejemplo:

y4 y  c es la solución general de 4

dy  x3  0 dx 14

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Derivando y Tenemos: 3

dy  x3 al sustituir en la ecuación diferencial, la convierte dx

en una identidad x = x

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INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA SOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL Geométricamente, la solución general de una ecuación diferencial de primer orden representa una familia de curvas o familia de soluciones, una para cada valor asignado a la constante arbitraria C. El término “condiciones iníciales” proviene de que, con frecuencia, en problemas donde interviene el tiempo, se conoce el valor de la variable dependiente o de alguna de sus derivadas en el instante inicial t = 0 El problema de valor inicial implica hallar la solución de una ecuación diferencial sujeta a una condición inicial Y(X0) = Y0, y es el punto de partida para encontrar la familia de curvas. Cabe aclarar que la solución del problema de valor inicial no es una familia de curvas, sino una curva de ellas que cumple las condiciones. Ejemplo: dy  2 x es fácil observar que la solución general dx es y = x2 + c generando una familia de curvas (familia de parábolas) y al dar una condición inicial se obtiene de esa familia de curvas una única curva, por ejemplo con la condición inicial y(2) = 5 tenemos que C=1 por tanto la curva es y = x2+1 (veamos la gráfica demostrativa):

Al resolver la ecuación diferencial

Gráfica de color rojo es la única curva que satisface las condiciones iníciales y las otras curvas pertenecen a la familia de curvas solución.

Grafica 1

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Lección 4: Clasificación de las ecuaciones diferenciales Las ecuaciones diferenciales se clasifican por tipo, orden y linealidad. 4.1 Clasificación por Tipo: Si una ecuación contiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (EDO): Ejemplo:

dy a)  3 y  e x , b) dx

, c)

d 2 y dy   3y  0 , dx 2 dx

En el ejemplo b) podemos notar que hay dos variables dependientes y solo una variable independiente. Si una ecuación con derivadas de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes se llama ecuación diferencial parcial (EDP) Ejemplo: a)

d2y d2y   0, dx 2 dz 2

b)

 2u  2u u   , x 2 v 2 v

c)

du dv  0 dx dx

En estos estos ejemplos se nota que existen más de dos variables independientes, contrario a las ecuaciones diferenciales ordinarias que solo tiene una variable independiente. 4.2. Clasificación según el orden: El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO o EDP) es el orden de la derivada mayor en la ecuación: Por ejemplo: 3

a)

d2y  dy   2    3y  0 , dx 2  dx 

esta ecuación es de orden 2, no debe

confundirse con el exponente 3 que esta definido para la derivada de orden 1. Y como para el orden se debe tener en cuenta el mayor orden entonces el orden es 2.

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b) y’’’+ 3y’’ – 3y’ – y = 0 es una ecuación de orden 3 c) M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 es una ecuación diferencial de orden 1, porque hay que tener en cuenta que y’ = dy/dx. 4.3. Clasificación según la Linealidad: Se dice que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal si F es lineal en y, y’,…, y(n). Esto significa que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal cuando F (x, y, y’,…, y(n)) = 0 es:

an ( x) y n  an1 ( x) y n1 

 a1 ( x) y ' a0 ( x) y  g ( x)

En la combinación aditiva en el lado izquierdo de la anterior podemos afirmar que: La variable dependiente “y” y todas sus derivadas y’, y’’,…, y(n) son de primer grado. Y los coeficientes a0, a1,…, an dependen solo de la variable x. Los ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales se tiene las siguientes:

a)

d2y dy  x  3 y  e2 x , 2 dx dx

b) y’’’ + y’’ + y = 0, c) (1-x) y’’ – 4xy’ + 5y = cos x

Los ejemplos de ecuaciones no lineales tenemos: a) (1-y) y’’ – 2y= ex, es una ecuación diferencial no lineal porque el coeficiente de la variable dependiente y’’ también depende de y. b) y’’ + sen y = 0 Es una ecuación diferencial no lineal porque la función seno es función de y c) y’’ + y2 = 0, es una ecuación diferencial no lineal porque la potencia de la variable y es 2, y no 1 para que sea lineal. d) (y’’’)3 + xy’’ – 3y = 0, es una ecuación diferencial no lineal porque la potencia de la variable y’’’ es 3 y para ser lineal debe ser 1

Lección 5: Ejercicios propuestos Sistema de Aprendizaje Auto gestionado Asistido sostienen, que el aprendizaje es para toda la vida y el proceso de aprender también debe llevarse a cabo durante todo el tiempo que vivamos, además que cada individuo elabora y construye su aprendizaje y los procesos para lograrlo, de forma singular y de acuerdo a sus vivencias. 17

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A. Clasificar las ecuaciones diferenciales de acuerdo con su tipo y orden: 1)

dy  3xy  x 2 dx

Sol. Ordinaria y de primer orden

2)

d2y dy  2  y 1 dx 2 dx

Sol. Ordinaria y de segundo orden

3)

d 2 x dy   4 x  et 2 dt dt

Sol. Ordinaria y de segundo orden

4)

 2u du   sec(t ) t 2 dt

Sol. Parcial y de segundo orden.

5)

d2y 2 dy ( 2 )  3( )  4 y  0 dx dx

Sol. Ordinaria y de segundo orden.

B. Verificar que la función dada es solución de la ecuación diferencial.

1.

y  C1cos x  C2 sen x

2.

y  C1e

x

3.

u  e

–t

cos x  C2e

sen bx ,

x

,

senx ,

d2y  yo dx 2 d2y dy  2  2y  0 2 dx dx

u  2u b  t t 2 2

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C. Hallar la solución particular que pasa por el punto (-4,4)

y 2  Cx3 , 2x( dy )  3 y  0 dx

Autoevaluación Capitulo 1 1. En las siguientes ecuaciones diferenciales establece el orden, el tipo y la linealidad. y   y   4 y  0

y   y d2y dy 2 0 2 dx dx y   y   8 y   8 y  0

x

2. Verifique que la función dada es una solución de la ecuación diferencial.

dy  4 y  32; y  8 dx x 2 dy  2 xydx  0; y   (

1 x2

dy 3 dy ) x  y; y  x  1 dx dx

dy 1 x  dx xy 2 Donde su solución es y = 2(Ln (x) + x c) (como x > 0, no se necesita de valor absoluto). - Grafique la familia de curvas o familia solución. - Encuentre una solución particular cuando y(1) = 4

3. verifique la solución de la ecuación diferencial

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Algunos casos importantes de Derivadas

a. y

= xn = nx n -1

―

y b. y

= c

―

y c. y

= cx n

―

y

d. y

―

e. y

= cos x

= cos x

―

y f. y

= sen x

= ex

―

y

= ex

g. y

= lnx

―

y

=

1 x

= fx  gx = f x  g x

―

―

y

―

h. y

= fx gx

―

=

g x

―

―

=

g x + fx

fx  gx  0 gx f x

g x - fx [gx] 2

g x

―

j. y

= f x

―

―

y

y

= ncx n -1 = sen x

y

i. y

= o

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Algunos casos importantes de Integrales - Capitulo 1

a.  dx = x + c x n -1 b.  x dx =  c  n  1 n 1 enx nx c.  e dx = c n  0 n ax x d .  a dx = c a  0 Loga  cos Kx e.  s e n Kxdx = c  K  0 K dx f . = Lnx  c x   1 g.   = s e n 1 x  c  2  1 x  h.  sec 2 xdx = tan x  c n

senKx c K j.  csc x 2 dx = -ctgx  c

i.  cos Kxdx =

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CAPITULO 2: ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN Introducción En este aparte daremos a conocer técnicas para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Como lo es la solución de ecuaciones por el método de separación de variables, solución de ecuaciones diferenciales homogéneas, solución de ecuaciones exactas y utilización del factor integrante. Entonces se da a conocer los procedimientos respectivos y a su vez ejemplos que afianzaran el aprendizaje. Una ecuación de primer orden y primer grado puede reducirse a la forma:

M(x, y) dx + N (x, y) dy = 0 Siendo M y N funciones de X e Y

 M  x, y  dx   N  x, y  dy  K Siendo una solución de la ecuación.

Lección 6: Ecuaciones con variables separables En este aparte comenzamos estudiando técnicas para resolver familias específicas de ecuaciones diferenciales ordinarias. Como una ecuación diferencial de primer orden que se puede escribir en la forma:

M ( x)  N ( y )

dy 0 dx

Donde M es una función continua de x solamente, y N una función continua de y solamente. Para este tipo de ecuaciones, todos los términos en x se pueden unir con dx y todos los términos en y con dy, y se obtiene una solución por integración. El procedimiento de resolución se denomina separación de variables. Los pasos necesarios son los siguientes: 1. Expresar la ecuación en forma diferencial: De la siguiente ecuación:

M(x, y) dx + N (x, y) dy = 0

Despejando obtenemos: M(x) dx = - N (y) dy 22

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2. Integrar para obtener la solución general:

 M ( x)dx   N ( y)dy  C Despejando obtenemos:

 M ( x)dx   N ( y)dy  C Igualmente la ecuación por variables separables se define: Definición: Si el segundo miembro de una ecuación expresada de la forma: dy  f ( x, y ) se puede expresar como una función que depende solamente de x, dx

multiplicada por una función que depende solamente de y; entonces, la ecuación diferencial se llama separable. Es decir una ecuación es de variables separables si y solo si se puede escribir de la forma: dy  g ( x) p( y ) dx

La forma de resolver las ecuaciones por variables separables es la siguiente: 1. Operamos por 1/p(y) ambos lados de la ecuación por tanto se tiene:

1 dy  g ( x) p( y ) dx

2. Por conveniencia sustituimos h(y)= 1/p(y), luego h( y )

dy  g ( x) dx

3. Se sigue el paso al otro lado de la igualdad el diferencial dx, entonces h(y)dy = g(x) dx 4. Se integra ambos lados de la igualdad por lo tanto:  h( y)dy   g ( x)dx 5. Finalmente se obtiene: H(y) = G(x) +C 6. La ecuación obtenida es generalmente una solución implícita. Ejemplos de separación:

23

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ECUACION DIFERENCIAL EN VARIABLES SEPARABLES

x2  3 y

( senx)

dy 0 dx

3y dy   x2 dx

dy  cos x dx

dy dx  2 y e 1 x

dy  (tan x)dx

1 2 dy  dx y e 1 x

EJEMPLO

Hallar la solución general de: ( x 2  4)

dy  xy dx

Solución: Para empezar, observamos que y = 0 es una solución. Con el fin de hallar otras soluciones, supongamos y  0 y separamos las variables así:

x

2

 4  dy  xy dx

dy x  2 dx y x 4

Forma diferencial

Separar variables

Integrando, obtenemos:



dy x  2 dx y x 4 Integrar

Ln y 

1 Ln( x 2  4)  C1 2 24

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y  eC1 x 2  4

y  eC1 x 2  4 Como y  0 también es solución, podemos escribir la solución general como:

y  C x2  4

Solución general

Recuerde que en ciertos casos no es posible escribir la solución general en la forma explícita y=f(x), por tanto se puede utilizar la derivación explicita para verificar dicha solución.

Ejemplo:

2 x y dx  e x ( y2 1)dy  0 donde y es diferente de 0 e x  y 2  ln y 2  2c . 2

Donde la solución general es Ejemplo

Por el método de separación de variables encuentre la solución general de la ecuación diferencial y encuentre su solución particular.

y  2 y  2 Con la condición y= 1/2 si x = 4 Solución: Por tanto por separación de variables

dy dy dy  2  2 y Entonces  dx integrando   dx se tiene: 2  2y dx 2  2y  2  2y  x  c Remplazando la condición inicial c = - 4 por tanto la solución 2 2  2y  x  4 (solución implícita). particular es ln 2 ln

Ejemplo

Hallar la ecuación de una curva que pasa por el punto (2,6) y tiene pendiente

y x2 25

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Solución: como la interpretación geométrica de la derivada es la pendiente de la curva entonces

dy y  dx x 2

Separando variables e integrando se llega a

dy dx  y  x2

y  e(1/ x )c  ce1/ x

1 Entonces ln y    c donde x -1/2 como y = 6 y x = 2 entonces 6 = C e luego C = 6 e

y0

que se pide es y = 6 e

1/2

e-1/x simplificando

1/2

por tanto la curva

y  6e(1/21/ x )

Al trabajar con las constantes en el método de separación de variables dicha constante aparece cuando integramos el lado derecho o sea dx por tanto utilizamos una sola constante C.

Lección 7: Ecuaciones Homogéneas Una función f(x, y) es homogénea de grado n si para un número real n satisface la siguiente identidad:

f (tx, ty)  t n f ( x, y) Veamos con ejemplos si la función es homogénea o no. 2

3

2

a) f( x,y) = x y – 4x + 3xy es una función homogénea de grado 3 porque:

f  tx, ty  =  tx   ty   4 tx   3 tx ty  2

3

=

t 3  x2 y   t 3  4 x3   t 3 3xy 2 

=

t 3  x 2 y  4 x3  3xy 2 

2

= t f  x, y  3

b) f  x, y   xe

x/ y

 y sen  y / x  es una función homogénea de grado 1 porque:

26

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f (tx, ty)  txe x / y  tysen  t ( xe x / y  ysen

 tf ( x, y)

ty tx

y ) x

c) f(x,y) = x + y2 no es homogénea porque f(tx, ty) = tx + t2 y2

t  x  ty 2   t n  x  y 2  2

d) f( x, y) = x 2xy Es homogénea de grado

f (tx, ty )  (tx) 2  2(tx)(ty ) f (tx, ty )  t 2 ( x 2  2 xy ) 3

3

e) f(x,y) = x y – xy + 5 No es homogénea (verificar) En una mayoría de casos se puede verificar si una función es homogénea si observas el grado de cada término de la función. Como ejemplo a lo anterior veamos ejemplos:

f ( x, y)  x 2 y  y 2 x  y 3 El grado de los 3 términos es 3 por tanto es homogénea de grado 3

f ( x, y)  x5  12 xy

Esta función tiene dos términos de grado 5 y 2 respectivamente por tanto no es homogénea. Ahora veamos si una ecuación diferencial es homogéneas.

DEFINICION DE ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS: Si la ecuación diferencial tiene la forma:

M(x, y) dx + N (x, y) dy = 0 Y cumple con la propiedad:

27

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M (tx, ty )  t n M ( x, y ) y N (tx, ty )  t n N ( x, y ) Se dice que la ecuación diferencial es homogénea siempre y cuando tienen el mismo grado n.

MÉTODO DE SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA Si la ecuación diferencial tiene el mismo grado de homogeneidad se pueden reducir a una ecuación de separación de variables utilizando una sustitución y= ux o x = vy Donde u y v son variables dependientes. Si elegimos y= ux entonces

dy  udx  xdu M ( x, ux)dx  N ( x, ux)[udx  xdu ]  0 Por homogeneidad del mismo grado

[ M (1, u)  uN (1, u)dx  xN (1, u)du  0 Y por tanto por homogeneidad la ecuación se transforma a variables separadas y procedemos a resolverla con los procedimientos para separación de variables, explicado con anterioridad en el modulo.

Veamos lo anterior con ejemplos: Ejemplo: Resolver la ecuación:

y 2  x2

dy dy  xy dx dx

Solución:

y 2 dx  ( x2  xy)dy  0 28

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Aquí M = y2 y N = x2 - xy. Ambas son homogéneas y de segundo grado “X” y “Y”. Además tenemos.

dy y2  dx xy  x 2 Haciendo la sustitución y = ux, se obtiene:

du u 2 x u  dx 1 u O sea

udx  x(1  u)du  0

A fin de separar las variables, dividimos por ux, esto da:

du (1  u )du  0 x u

Integrando se tiene:

Lnx  Lnu  u  C Lnux  C  u ux  ec u  ec , eu ux  Ceu

Pero u 

y Luego la solución general es: x

y  Ce y / x

El aprendizaje significativo permite al estudiante, tener mayor conciencia sobre lo que se aprende y de los procesos que utiliza para su consolidación, así como darse cuenta del arsenal de herramientas disponibles para abordar los retos.

Ecuaciones Homogéneas. Son de la forma

 y y  f   . x Se hace el cambio de la función y(x) por u(x) mediante y=ux, transformándose así la E.D. en una de variables separadas. 29

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Ejemplo: resolver la ecuación xy

2

dy  y 3  x3 dx

La ecuación la escribimos xy dy  ( y  x )dx  0 2

3

3

Como es una ecuación diferencial homogénea de grado 3 sustituimos Y  ux por

dy  udx  xdu tanto

x(ux)2 (udx  xdu )  ((ux)3  x 3 )dx  0

Haciendo distribución y reduciendo la ecuación se tiene:

u 2 x 4du  x3dx

Como

3 Integrando y  3ln x  3c

x  0, u 2 du 

1 dx x

remplazando la sustitución Y  ux entonces

u  y / x obtenemos y  3x ln x  3cx 3

3

3

Ejemplo: Comprueba que

la ecuación diferencial

homogénea

y

de

grado

1

al

resolver

la

( x  y) dx  x dy  0 es

ecuación

su

resultado

es

x ln x  y  cx Lección 8: Ecuaciones exactas Si en la ecuación diferencial de la forma M(x, y) dx + N (x, y) dy = 0 El lado izquierdo corresponde a la derivada total de alguna función f (x,y) la ecuación diferencial es exacta. Criterio de exactitud Si M y N tienen derivas parciales continuas, entonces la ecuación diferencial de la forma M(x, y) dx + N (x, y) dy = 0 es exacta si y solamente si:

M N  y x

Ejemplos de comprobación para exactitud.

30

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a) La ecuación diferencial:

 xy

Es exacta porque:

2

 x  dx  yx 2 dy  0

M N   2 xy y x   xy2  x   2xy   y x

 yx  2

2

b) la ecuación (y +1) dx + xy dy = 0 no es exacta. c) la ecuación cos y dx + (y2 + x sen y) dy = 0 no es exacta, a pesar de que difiere de la primera ecuación solamente en un signo. En algunos casos se ve que una ecuación es exacta después de una agrupación adecuada de sus términos. La ecuación así ordenada se puede integrar término a término. Ejemplo:

( x2  y)dx  ( y 2  x)dy  0

Es exacta porque:

M   N  ( x 2  y )  1  ( y 2  x)  y y x x

Ejemplo:

(4 x3  2 xy ) dx  (3 x 4 y 2  x 2 )dy  0 M N  12 x3 y 2  2 x  y x La ecuación es exacta. Ejemplo:

(3e3 x y  2 x)dx  e3 x dy  0 M N  3e3 x  y x Ejemplo: La ecuación también es exacta. 31

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(cos y  y cos x)dx  ( senx  xseny )dy  0 M N   seny  cos x  y x Solución de una ecuación diferencial exacta El método de solución de la ecuación diferencial exacta es el siguiente: 1. Verificamos que la ecuación diferencial sea exacta  M  N  y x 2. Suponemos que existe una función f tal que

f  M ( x, y ) x

3. Encontramos f integrando ambos lados de la ecuación con respecto a x y mantenemos constante y: f ( x, y)   M ( x, y)dx  g ( y) , donde g (y) es la constante de integración. 4. Ahora derivamos f(x, y) con respecto a y por tanto se debe obtener N(x, y)

f   ( M ( x, y )dx  g ( y )) y y   g ( y )  N ( x, y )   M ( x, y )dx y

donde

5. Ahora integrando esta última ecuación obtenemos respecto a y obtenemos g(y)

6. Reemplazamos lo encontrado y tenemos en su totalidad la función a encontrar f(x,y).

Ejemplo: Hallar la solución de la siguiente ecuación diferencial

 2xy – 3x  dx   x 2

2

– 2y  dy  0

Solución: La ecuación diferencial dada es exacta, ya que:

32

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N x

M y

 2xy  3x 2  y



Podemos obtener la solución general

f ( x, y ) 

 x

 2x 

f  x, y 

x

– 2y 

2

como sigue:

 M ( x, y)dx   (2 x  3

2

)dx

f ( x, y)  x2 y  x3  g ( y) Determinamos g( y) integrando N( x,y) con respecto a y e igualando las dos expresiones de f(x,y)

g ( y )   N ( x, y )dy g ( y )   x 2  2 ydy   y 2  C1 f ( x, y )  x 2 y  x 3  y 2  C1 2x x2 dx  2 dy  0 Ejemplo: Resolver la ecuación y y Verificando las derivadas

Suponemos

f ( x, y ) 

M N 2x   2 y x y

 f 2x integrando respecto a x tenemos:  x y

x2  g ( y ) Ahora derivamos respecto a y se tiene: y

33

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 f x2   2  g ( y ) x y

Igualando a N  x, y 

x2 x2  2   2  g ( y ) y y

Entonces g’(x) por lo tanto g(y) = c donde c es una constante arbitraria.

x2  c esta es la función solución. Remplazando f ( x, y )  y Lección 9: El factor integrante Cuando una ecuación diferencial no es exacta se puede convertir en exacta,





multiplicando por un factor apropiado u x, y , llamado factor integrante de la ecuación diferencial. Por ejemplo, si la ecuación diferencial

2 y dx  x dy  0 Es multiplicada por el factor integrante

Ecuación no exacta

u  x, y   x, la ecuación resultante

2 xy dx  x2 dy  0

Es una ecuación exacta

Otro ejemplo: si la ecuación y dx – xdy =0 Ecuación no exacta Si al multiplicarla por el factor integrante u ( x, y ) 

1 , la ecuación resultante: y2

1 x dx  2 dy  0 Es una ecuación exacta. y y Y luego se resuelve la ecuación de acuerdo a lo explicado anteriormente. Ahora cuando se presenta una ecuación diferencial exacta es necesario encontrar el factor integrante. Cómo encontrarlo?





Si M x, y dx factor integrante:

 N  x, y  dy  0

no es exacta entonces, se buscará un

M N  y x a ) si  f (x N 34

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Función solo de x, diferencial.

b)

 entonces e

f ( x ) dx

es un factor integrante de la ecuación

M N  y x si   g ( y) M

Función de solo de y, entonces ecuación diferencial.

e

g ( y ) dy es un factor integrante de la

Ejemplo

(2 xy y e y  2 xy 3  y)dx  ( x 2 y y e y  x 2 y 2  3x)dy  0 M  8 xy 3e y  2 xy 4e y  6 xy 2  1 y N  2 xy 4e y  2 xy 2  3 x

La ecuación no es exacta.

Sin embargo,

M N   8 xy 3e y  8 xy 2  4 y x

M N  4 y x    g ( y) Luego: M y

35

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e

g ( y ) dy

e

4

dy

 dx

 e4 Lny 

1 y4

Es

un

factor

integrante,

al

remplazarlo en la ecuación diferencial inicial la ecuación es exacta.

dy x x2 x 2 4 (2 xe  2  3 )dx  ( x e  2  3 4 )dy  0 dx y y y y

EJEMPLO

(2 x3 y 2  4 x 2 y  2 xy 2  xy 4  2 y )dx  2( y 3  x 2 y  x)dy  0 M  4 x3 y  4 x 2  4 xy  4 xy 3  2 y N  2(2 xy  1) x La ecuación es exacta.

El factor integrante es

M N  y x  2 xy N

e

2 xdx

 ex

2

Si se introduce en la ecuación se convierte en:

(2 x3 y 2  4 x2 y  2 xy 2  xy 4  2 y)e x dx  2( y3  x2 y  x)e x dy  0 2

2

Luego la ecuación diferencial es exacta. Ejemplo 3

y

2

– x  dx  2 y dy  0

Solución: La ecuación no es exacta, ya que M x  x, y   2 y y N x  x, y   0

36

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My

M ( y  x)  2 y y

N (2 y )  0 x Sin embargo como:

M y ( x, y)  N x ( x, y) N ( x, y)



2y  0  1  h( x ) 2y

x

Donde e es un factor integrante. Multiplicando la ecuación diferencial dada por

ex, obtenemos la ecuación exacta:

y e

2 x

– x ex  dx  2y ex dy  0

Se deja al lector para que los anteriores ejercicios sean resueltos por el método de ecuaciones diferenciales exactas.

Lección 10: Ejercicios Propuestos Sistema de Aprendizaje Auto gestionado Asistido sostienen, que el aprendizaje es para toda la vida y el proceso de aprender también debe llevarse a cabo durante todo el tiempo que vivamos, además que cada individuo elabora y construye su aprendizaje y los procesos para lograrlo, de forma singular y de acuerdo a sus vivencias. 1. De acuerdo a las ecuaciones diferenciales dadas completa los cuadros que se piden:

 2u  2u  2u   u  0 1)  x 2 y 2  x 2  y 2

2)

3) ( x2  4) y”  x y  x  2  0

4) 

5)

d2y  t sen( y)  0 dt 2

d 6 x  d 4 x  d 3 x     x t dt 6  dt 4  dt 3  3

 dr     ds 

6)

d 2r ds2

1

d2y  y sen(t )  0 dt 2

37

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7)

8) x2 dy  y 2 dx  0

dy 2  x y  xe x dx

Ecuació Ordinaria Orden Función Variables n o Parcial incógnita independien tes 1 2 Ordinaria 6 x(t) t 3 4 5 6 7 8 Tabla 1 2. Para las ecuaciones ORDINARIAS responde también a lo siguiente Ecuació Lineal Términos NO Justificación de la NO linealidad n ¿SI o lineales NO? 2 NO Los coeficientes de la cuarta y de la xiv x’’’ tercera derivada dependen de la variable dependiente 3 5 6 7 8

 



Ecuación Están en forma estándar Homogéne Término ¿SI o NO? a NO (si NO lo están ponerlas en esa ¿SI o NO? homogéne forma) o 1 2 3 5 8 Tabla 2 38

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2. Por separación de variables resuelva:

1.

dy  3x 2  1 dx

2.

dy  dx

3

x y

3.xy  4 y dx 1 2 y2 4.  dy ysenx dp 5.  p (1  p ) dt 6.sec( x ) dy  x cot( y ) dy 4. Determine si la ecuación diferencial es homogénea y determine el grado

x3 y  x 2 y 2 1. f ( x, y )  x  8y

2. f ( x, y)  ( x  y  1)2 3. f ( x, y)  cos(

x ) x y

4. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales y encuentre la solución particular.

1.xy 2

dy  y3  x3 , y(1)  2 dx

2.xtdx  x2 dt  t x 2  t 2 dt , t (0)  1 5. Determine si es exacta, si es exacta resuelva la ecuación por su método caso contrario si no es exacta, encuentre el factor integrante.

1.(2 x  y)dx  ( x  6 y)dy  0

2.( x  y)( x  y)dx  x( x  2 y)dy  0 39

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3.( x 2 y 3 

1 dx )  x3 y 2  0 2 1  9 x dy

4.(3x cos3x  sen3x  3)dx  (2 y  5)dy  0 Puedes tomar referencia de http://es.wikipedia.org METODO DE RESOLUCION

f ( x, y)   M dx  g ( y)   N dy  g ( x) FORMULA GENERAL DE LA INTEGRACION

Recordemos Factor integrante solo en función de x. Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a x (es decir, u(x)), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente: My  Nx dx N

u ( x)  e



Factor integrante solo en función de y. Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a y (es decir, u(y)), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente: Nx  My  M dy

u( y)  e

Factor integrante solo en función de xy. Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto al producto xy (es decir, u(x y)), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente:

Nx  My

u ( xy )  e

 N  y M x dy 40

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Donde M * x = M·x Mencionando que:

CAPITULO 3: CAMPOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN

Introducción Antes de entrar de lleno a los campos de aplicación es necesario realizar una nota sobre una herramienta de las matemáticas como lo es las ecuaciones de Bernoulli, ecuación muy utilizada en física y en general las ciencias naturales. Como sabemos una ecuación diferencial lineal de primer orden tiene la forma: dy  P( x) y  Q( x) dx

Donde P y Q son funciones continuas, y partiendo de esto no podemos olvidar que existen ecuaciones aplicativas no lineales que se pueden reducir a lineal como es el caso de las ecuaciones de Bernoulli las cuales tienen la siguiente notación: n dy  P( x) y  Q( x ) y dx

Donde esta ecuación será lineal si n=0, pero la ecuación de Bernoulli tiene a n diferente de 0. Realizando procesos matemáticos podemos demostrar (investiga demostración) encontramos que la solución de la ecuación de Bernoulli es:

y

1 n

esta

 (1n) P( x ) dx  (1  n)Q( x)  (1n) P( x ) dxdx  C e e 

Solución a la ecuación de Bernoulli.

y  xy  xe x y 3 2

Ejemplo: Solucionar la siguiente ecuación de Bernoulli

41

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Solución: U= -3 usamos la sustitución z = y1-n = y4 derivando z’ = 4y3y’,

4e x

multiplicando por 4y3 se tiene 4y3y’ + 4xy4 =

y

2

Ahora ya tenemos la ecuación diferencial lineal z  4 xz  4 xe donde P(x) = 4xyademás integrando P se tiene la expresión 2x2 con lo que el factor  x2

integrante para la ecuación diferencial es integrante la ecuación diferencial: 2 2 d [ ze2 x ]  4 xe x dx

e2 x

Por tanto z = 2e

 x2

y multiplicando por este factor

 Ce2 x sustituyendo el valor

y 4  2e x  ce2 x 2

de Z la solución general es

2

2

2

Trabaja con la ecuación de Bernoulli e investiga sus aplicaciones

Lección 11: Trayectorias Ortogonales. Un problema común en electrostática, termodinámica e hidráulica es hallar la familia de curvas ortogonales toda la familia de curvas de acuerdo al comportamiento del fenómeno. Son ortogonales porque cada curva corta la familia de curvas de la solución del problema diferencial. Por ejemplo en electrostática las líneas de fuerza son ortogonales a las equipotenciales. En termodinámica es el flujo de calor ortogonal a las curvas llamadas isotermas y en hidráulica el flujo de corriente es ortogonal a las curvas potenciales de velocidad. También las curvas ortogonales son encontradas en estudios meteorológicos.

42

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Primero debemos encontrar

dy  f ( x, y ) para la familia de curvas dada, luego dx

dy 1  encontramos permitiéndonos así encontrar las ortogonales. dx f ( x, y ) Ejemplo: Hallar las ortogonales para la ecuación térmica y = cx2. Esta familia es un conjunto de curvas parabólicas asimétricas al eje y, derivamos entonces

para encontrar

dy  2cx dx

como la ecuación dada es y = cx2.

Eliminamos c igualando c en las ecuaciones anteriores.

dy 2 y  dx x

Ahora para las ortogonales se invierte

ecuación es:

dy  x  y la solución a esta dx 2 y

1 2 x  y 2  k que son las curvas ortogonales a las parábolas. 2

Grafica 2 Grafica del programa derive y Editor Matemático Mathtype

Lección 12: Los campos de fuerza. Una aplicación de las Ecuaciones diferenciales. En la física los campos de fuerza son importantes para determinar direcciones y sentido de aplicación, intensidad de la misma y a su vez la magnitud de la fuerza aplicada, esta fuerza en su mayoría de tipo electromagnético. Veamos un ejemplo: 43

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Para hallar el campo de fuerzas dado por

2y

f ( x, y ) 

i x2  y 2 Determinamos la pendiente del vector F(x, y)

 dy  dx

y2x x2  y 2

j

( y 2  x) x 2  y 2 ( y 2  x )  2y 2y x2  y 2

En forma diferencial es

( y 2  x)dx  2 ydy  0

Resolviendo la ecuación

y 2  e x  1  Ce x

2 x es decir, y  x – 1  Ce

Esta función nos muestra varias curvas representativas de esta familia. Si graficáramos la ecuación observamos que el vector fuerza es tangente a la curva que pasa por (x,y). Plantea tus propios problemas de la física en campos vectoriales y encuentra los campos de fuerza mediante la ayuda de las ecuaciones diferenciales.

Lección 13: Aplicaciones de familias de curvas y trayectorias ortogonales Texto http://www.caribu.byethost8.com/ Lección 14: Otras aplicaciones de las ecuaciones diferenciales Como mencionamos anteriormente existe una gran gama de aplicaciones de las ecuaciones diferenciales. En este e material didáctico procederemos a encontrar solamente el modelo matemático (ecuación diferencial) de las aplicaciones y dejaremos al lector para resuelva la ecuación diferencial por procedimientos anteriormente explicados como transferencia en el curso. Aplicación 1. Un recipiente contiene 50 litros de una mezcla de 90 y 100 de A líquido y 10 por 10 de líquido B, se vierte este depósito a 4 litros/minuto una segunda mezcla que 44

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contiene 50 por 100 y 50 por 100 respectivamente, al mismo tiempo se vacía en el recipiente a razón de 5 litros/minuto. La mezcla total se agita totalmente. Cuánto alcohol queda en el depósito después de 7minutos? Solución: Y= número de litros de B en el depósito en un tiempo t, y=50, cuando t=0 El número de litros en el instante dado t es 50-t El recipiente pierde 5 litros/minuto entonces

(

5 )y 50  t

Es la cantidad de litros de B por minuto

Como en el recipiente entran 2 litros de B por minuto entonces la ecuación para determinar cambio de cantidad está dada por la ecuación diferencial

dy 5  2( ) y. Sugerencia (para resolver la ecuación se debe hacer dt 50  t P (t) = 5/(50-t). Y además al hacer tN Geométricamente hablando, la expresión anterior significa que Sn se encuentra entre (Sn – Є) y (Sn – Є) cuando n>N. Se debe tener en cuenta que N depende del valor que se elija para Є. Ahora para el caso que tratamos p=Sn – Rn. Por lo tanto, │Sn - p│= │Rn│ luego la convergencia en x=x0 significa que podemos hacer │Rn(x0)│tan pequeño como queramos. Podemos resumir que una sucesión converge en un punto x=a si se cumple que │x - a│< R y diverge si │x - a│> R, donde R se llama radio de convergencia. El radio de convergencia puede determinarse a partir de los coeficientes de la serie, por medio de las siguientes formulas:

A)

1  lim n cn R n

B)

C 1  lim n1 R n cn

Siempre y cuando existan los limites. Ejemplo 84

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1) Para

1  lim R n

el

caso

de

la

serie

m 1

n 3n1  lim (m  1)3  lim m  1  1 n ( m)(3n 1 ) n 3m m n 3 3

, el radio de

convergencia es: 1/R= 1 dado que C=1 2) Si tenemos la serie

1  lim R n

, el radio de convergencia será:

m 1

n 3n1  lim (m  1)3  lim m  1  1 n ( m)(3n 1 ) n 3m m n 3 3

Luego el radio de convergencia es R=3, entonces el intervalo de convergencia │X│< 3, luego se tiene que [-3≤ x ≤3]. Lección 32: Clasificación de las series matemáticas Series aritméticas La forma general de estas series es: a + (a + d) + (a + 2d) +... + (a + (n - 1) d) El término d se llama diferencia. La suma de estas series se pueden calcular sumando el primer término y el último y multiplicando el resultado por la mitad del número de términos de la serie. 1 + 2 + 3 +... + n = (1 + n)*n / 2 1 + 3 + 5 +... + (2n - 1) = (1 + (2n - 1))*n / 2 = n2 Series geométricas La forma general de estas series es: a + ar + ar2 +... + arn - 1 El término r se llama razón. La suma de estas series se puede calcular multiplicando el último término por la razón, restándole el primero y dividiendo el resultado por la razón menos uno. S = a (1 - rn) / (1 - r) Si la razón es un numero comprendido entre -1 y 1, y el número de términos es muy grande, como en la fórmula de la suma, la razón está elevado a n, el resultado de la operación rn es un número que tiende a cero y la fórmula de la suma quedaría S = a / (1- r).

85

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Series aritmético-geométricas La forma general de estas series es: a + (a + d)r + (a + 2d)r2 + ... + (a + (n - 1)d)rn 1

Series-p La forma general de estas series es 1 + 1/2p + 1/3p +... + 1/kp +... Estas series fueron estudiadas por Jakob Bernoulli. Para p = 2 el problema se le resistió y también a Leibniz, hasta que Euler lo resolvió. El valor de esta serie para p = 2 es p2/6. Serie armónica Es un caso particular de las series-p. Cuando p = 1 la serie se llama armónica. Esta serie es muy curiosa. Aunque su término general tiende a cero, la serie diverge (no tiene un límite fijo).

Series telescópicas La forma general de estas series es (a1 - a2) + (a2 - a3) + (a3 -a4) +... La suma de esta serie es S = a1 - an+1 Lección 33: Técnicas para resolver Ecuaciones Diferenciales mediante series matemáticas Ejemplos de Series de Potencias La forma de resolver las ecuaciones diferenciales aplicando el método de las series de potencias es el siguiente: Primero se tiene que una serie de potencias es una serie infinita (en potencia de xa) de la forma:

donde c0, c1, … son constantes, llamadas coeficientes de la serie, la a es una constante, llamada centro y x es una variable. Si en particular a=0, se obtiene una serie de potencias de x 86

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Las series de potencias muy familiares son: La series de Maclaurin:

Para resolver una ecuación diferencial por medio de series de potencia, primero se representan las funciones dadas en la ecuación por medios de series de potencias de x (o en potencias de x-a). Por lo tanto debemos saber como derivar una serie: Suponga que tenemos la serie

Entonces la primera derivada es:

La segunda derivada es:

87

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Y así sucesivamente. Ejemplo Resolver la ecuación diferencial y’ – y = 0 Sustituimos la primera derivada y’ y la función y, se tiene:

Se agrupan las potencias iguales de x y se encuentra:

Igualando a cero los coeficientes de cada potencia de x, se tiene

Resolviendo estas ecuaciones, se pueden expresar c1, c2,… en términos de c0, entonces: ,

,

;…

Con estos valores la ecuación

, se transforma en:

Si despejamos c0 y tenemos como solución:

Lección 34: Definimos el concepto de punto ordinario y punto singular regular en una Ecuación diferencial.

88

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El a0 x

punto

x0

d2y dx 2

a1 x

d2y dx 2

a1 x a0 x

x

se dy dx

dy dx

llama a2 x y

a2 x a0 x

punto 0 si

x y

ordinario

a1 x a0 x

y

de

a2 x a0 x

la

ecuación

diferencial

de la ecuación normalizada

0 son analíticas en x0 . si una de ellas o ambas

no es analítica en x0 entonces x0 se llama punto singular de la ecuación diferencial. Ejemplo: 1.

2.

d2y dy x x 2 2 y 0 aquí x y x 2 2 son polinomios y son analíticos 2 dx dx en todo son todos los puntos ordinarios

d2y dx 2

x dy x 1 dx

1 y x x 1

0 los puntos x

0 yx

1 la función no es

analítica, luego son puntos singulares.

Lección 35: Funciones Especiales en Ecuaciones Diferenciales. Método de Fobenius Algunas ecuaciones diferenciales de segundo orden, que tienen una gran importancia en muchas aplicaciones, tienen coeficientes que no son analíticas en x=0, pero son de tal naturaleza que puede aplicarse en el siguiente teorema: Teorema: Método de Frobenius. Toda ecuación diferencial de la forma

, donde las

funciones a(x) y b(x) son analíticas en x=0, tienen por lo menos una solución que puede representarse en la forma:

Donde el exponente r puede ser cualquier número (real o complejo).

89

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Ecuación diferencial de Legendre: La ecuación diferencial de Legendre:

Se presenta en numerosos problemas, físicos particularmente en los problemas con valores a la frontera para el caso de la esfera. El parámetro n, es un número real dado. Se puede observar que la ecuación anterior se puede escribir de la forma:

Ecuación diferencial de Bessel (de primera Clase). Una de las ecuaciones diferenciales más importantes en las matemáticas aplicadas es la ecuación de Bessel.

Donde el parámetro v es un número dado, y se supondrá que v es un número real no negativo. Y tiene una solución es de la forma:

Ejercicios Propuestos. Determine la solución en serie de potencias de x de cada una de las ecuaciones diferenciales

d2y 1. dx 2

x

dy dx

y

2.

d2y dx 2

x

dy dx

x2 y

0

3.

d2y dx 2

x

dy dx

x3 y

0

0

90

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d2y dx 2

x

dy dx

( x 2 1) y

d2y 5. dx 2

x

dy dx

1 y x x 1

4.

0

0

Una serie de potencias en torno al punto x0 es una expresión de la forma:



 cn  x  x0   c0  c1(x  x0 )  ...  cn ( x  x0 )n  ... n

n 0

Una serie de potencias es convergente cuando su n-ésimo término tiende a cero, cuando n crece indefinidamente. Solucionar una ecuación diferencial por medio de series infinitas no es más que buscar un método para solucionar ecuaciones que no se pueden resolver tan fácilmente. Las series de potencias se pueden derivar, integrar, dos aspectos fundamentales para la solución de ecuaciones diferenciales. CAPITULO 2: SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIE DE POTENCIAS Lección 36: Estudio de Series De Potencias. Se suponen conocidas las series numéricas y también los conceptos fundamentales relativos a las series de potencias. Definiciones: Una serie de potencias en torno al punto xo es una expresión de la forma:



n c x  x  c  c ( x  x )  ...  c ( x  x )   n 0 0 1 0 n 0  ... n

n 0

Donde los

cn

son constantes.

91

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-

La serie converge en el punto x = a, si converge la serie numérica 

c a  x  n 0

n

n

0

N

lim  cn  a  x0 

Es decir, si existe y es finito el límite suma de la serie en

N 

x  a.

Caso contrario la serie diverge en

n 0

n

, que se designa

x  a.

- La serie puede converger para algunos valores de x y no para otros. Siempre converge para x =

x o , siendo c o su suma en dicho punto.

Es necesario dar a conocer un teorema que nos permitirá decir donde converge la serie, este es el llamado teorema de Abel.

Teorema de Abel 

 a n  x  x0 n

“Una serie de potencias

n0

converge siempre para todo valor de

x  x0  R x de un cierto intervalo abierto I  x 0  R, x 0  R y diverge si . En los extremos del intervalo puede converger o no. Además en el intervalo la convergencia es absoluta, es decir, que converge en el







 a n  x  x0 n

intervalo y la serie se puede escribir n0 I = intervalo de convergencia.

Ahora la tarea es hallar el radio de convergencia de la serie: Es necesario tener en cuenta el siguiente criterio: Si existe lim n an   , entonces R  n

1



92

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Si existe lim n

an1   , entonces an

(Se entiende que si

lim n



n0

an   y

R

1



  0 es R   y si    , es R  0 )

Ejemplo 1: averiguar si la serie converge en 

n

x 3

 2n  x  3n n1

Solución:

an Es

Luego

n 2  

n 1

1 R 2

lim

. Luego

n

an1 2(n  1)  lim 2 n ( n  2) an

y por tanto la serie converge en

1 1  3  , 3    2 2

5 7 ,  ahora reemplazando 2 2

es decir I  



En

x

5 , la serie es 2 

En

x

7 , es 2

n0

que diverge por ser la armónica.

 1 n

 n 1

n0

1

 n 1

que converge (armónica alternada)

Ahora resolvamos ecuaciones diferenciales por medio de series. Todas las funciones se pueden expresar como series de potencias, aquellas Funciones que si se pueden expresar se llaman analíticas.

93

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Lección 37: Propiedades y Convergencia de las series de potencias. Criterios de convergencia Clasificar una serie es determinar si converge a un número real o si diverge ( u oscilante). Para esto existen distintos criterios que, aplicados a la serie en cuestión, mostrarán de que tipo es (convergente o divergente). Condición del resto

Para que una serie

sea divergente, una condición suficiente es que

. Esta afirmación es muy útil, ya que nos ahorra trabajo en los criterios cuando el límite es distinto de cero.

Criterio de D'Alembert o Criterio del Cociente (Criterio de la razón)

Sea una serie

, tal que ak > 0 ( serie de términos positivos).

Si existe

con   

, el Criterio de D'Alembert establece que: si L < 1, la serie converge. si L > 1, entonces la serie diverge. si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.

En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe. Criterio de Cauchy (raíz enésima)

94

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Sea una serie que existe

, tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos

, siendo Entonces, si:   

L < 1, la serie es convergente. L > 1 entonces la serie es divergente. L=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión.

Criterio de Raabe En algunas series, puede ocurrir que ni el criterio de D'Alembert ni el de la raíz nos permitan determinar la convergencia o divergencia de la serie, entonces recurrimos al criterio de Raabe.

Sea una serie que existe

, tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos

, siendo Por tanto, si L > 1, entonces la serie es convergente y si L < 1, la serie es divergente Tened cuidado aquí, pues las conclusiones son al contrario que en los criterios de D'Alembert y de la raíz.

Criterio de la integral de Cauchy Si f(x) es una función positiva y monótonamente decreciente definida en el intervalo [1, ∞) tal que f(n) = an para todo n, entonces converge si y sólo si es finita. Más generalmente, y para el tipo de función definida antes, pero en un intervalo [N,∞), la serie 95

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converge si y sólo si la integral

converge. Criterio de condensación de Cauchy Sea

una

serie

monótona

de

números

positivos

decrecientes.

converge si y sólo si la serie

converge.

Criterio de Leibniz

Una serie de la forma (con ) se llama alternada. Tal serie converge si se cumplen las siguientes condiciones: a)

para n par y n impar

b) La serie tiene que ser absolutamente decreciente es decir que:

Si esto se cumple, la serie contrario la serie diverge.

es condicionalmente convergente de lo

Nota: Se debe descartar primero la convergencia absoluta de aplicar este criterio, usando los criterios para series positivas.

antes de

96

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Criterios de convergencia comparativos Son aplicables en caso de disponer de otra serie tal que se conozca su condición, tal como la divergencia para la serie geométrica con razón (en valor absoluto) mayor que 1, |z| > 1. Entonces:

Criterio de comparación directa (de la mayorante o de Gauss ) Si 

Si

converge



Si

diverge

converge diverge

Criterio de comparación por paso al límite del cociente

Entonces: 

Si L = 0 y

 

Si y diverge diverge En otro caso, ambas series comparten la misma condición (ambas convergen, o bien ambas son divergentes).

converge

converge

Tipos de convergencia Convergencia absoluta

Una serie alternada an converge absolutamente si es una serie convergente. Se demuestra que una serie que converge absolutamente, es una serie convergente

97

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Lección 38: Solución de ecuaciones diferenciales de primer orden mediante Series de potencias. No todas las ecuaciones diferenciales se pueden desarrollar por medio de los métodos tradicionales que se han mencionado en las lecciones anteriores, por tanto es necesario recurrir a las series y en especial a las series de potencias.

Debemos recordar que una serie de potencias representa a f(x) en un intervalo de convergencia I, y que podemos derivar la serie de potencias sucesivamente, para obtener series para

f , f , f ", f ´, etc .

Paso 1. Se considera la solución como serie.

y  c0  c1x  c2 x 2  ....

Donde las constantes se deben determinar.



y   cn x n n 0

Paso 2. Derivamos la ecuación anterior 

dy  c1  2c2 X  3c3 x 2 = dx

y   ncn x n1 n 0

Paso 3. Sustituimos los resultados anteriores en la ecuación diferencial a solucionar. Paso 4. Comparamos coeficientes de los dos miembros y hallamos los valores C Paso 5. Sustituimos en la solución en serie del paso 1. De tal manera que la serie encontrada es la solución general de la ecuación diferencial dada. Paso 6. Teniendo una condición inicial encontramos la constante encontramos la solución particular.

c0

y así

Veamos ejemplos tanto para ecuaciones diferenciales lineales como para ecuaciones diferenciales no lineales.

Ejemplo: Hallar la solución general de la ecuación diferencial y   2 y  0 98

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Paso 1. Se considera la solución como serie.



y   cn x n n 0

Paso 2. Derivamos la ecuación anterior 

y   ncn x n1 n 0

Paso 3. Sustituimos los resultados anteriores en la ecuación diferencial a solucionar.



y  2 y   ncn x n 0



 nc x n 0

n1



 2 cn x n  0 n 0



 2 cn x n  0

n1

n

n 0

Paso 4. Comparamos coeficientes de los dos miembros y hallamos los valores C 

  n  1 c n 0



n x  2 c x 0  n1 n n

n 0

Obtenemos la fórmula de recurrencia

cn1 

2cn , n 1

 n  1 cn1  2cn de donde

n0

Esta fórmula genera los resultados siguientes en términos de c0 99

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c1  2c0 2c1 22 c0 c2   2 2

2c2 23 c0 23 c0 c3    3 23 3!

2c3 24 c0 24 c0 c4    4 2 3 4 4!

 2n c0 cn  n! Paso 5. Sustituimos en la solución en serie del paso 1. De tal manera que la serie encontrada es la solución general de la ecuación diferencial dada. 

 2n c0 n 2n n y x  c0  x  c0e2 x n 0 n ! n 0 n !

Ejemplo: Hallar la solución general de la ecuación diferencial y  xy  1  x

2

Paso 1. Se considera la solución como serie.



y   cn x n n 0

Paso 2. Derivamos la ecuación anterior

100

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y   ncn x n1 n 0

Paso 3. Sustituimos los resultados anteriores en la ecuación diferencial a solucionar.



y  xy   ncn x n 0

n1



 x cn x n  1  x 2 n 0

Paso 4. Comparamos coeficientes de los dos miembros y hallamos los valores C

c1  1

c2  

c0 2

c3  (1  c1 ) / 3  

Así sucesivamente, encontraremos los

2 3

c4 

c0 2 c5  8 15

c6  

c0 48

cn

Paso 5. Sustituimos en la solución en serie del paso 1. De tal manera que la serie encontrada es la solución general de la ecuación diferencial dada. Aquí la daremos a la solución una nueva forma de expresión:

y  c0  x 

c0 2 2 3 c0 4 x  x  x  .... 2 3 8

Se deja al estudiante encontrar una solución particular para este ejercicio con las ecuaciones resultantes. Sol. Co  1

Comúnmente este tipo de solución se llama solución alrededor de cero. Lección 39: Solución de ecuaciones diferenciales de orden superior mediante series de potencias.

101

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Para esta lección consideremos el mismo proceso de solución de ecuaciones diferenciales de primer orden. Ejemplo: Hallar la solución general de la ecuación diferencial

y   xy   y  0

Paso 1. Se considera la solución como serie.

y



c n 0

n

xn

Paso 2. Derivamos la ecuación anterior 



y   ncn x ,



xy   ncn x ,

n1

y   n  n  1 cn x n2

n

n1

n1

n2

Paso 3. Sustituimos los resultados anteriores en la ecuación diferencial a solucionar. 

 n  n 1 cn x

n 2

n2



  ncn x   cn x n  0 n

n1



 n  n  1 c n 2



n

x

n 2

n1



   n  1 cn x n n 1

Paso 4. Comparamos coeficientes de los dos miembros y hallamos los valores C, pero ajustamos índices sustituyendo n  2 en el primer miembro. (Diferencia clave).   n n n2 n n2 n1

  n  2 n  1 c

x    n  1 n x

Se obtiene la fórmula de recurrencia

cn2  

 n  1 c  cn ,  n  2  n  1 n n  2

n0

102

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Y los coeficientes de la serie solución son

c0 2

c3  

c4  

c2 c  0 4 24

c5  

c2 c  1 5 3 5

c6  

c4 c  0 6 246

c7  

c5 c  1 7 35 7

c2  



c1 3

  1

c0  1 c0 c2 k   k 2  4  6  2k  2  k ! k

k

 1 c1 c2 k 1  3  5  7  2k  1 k

Paso 5. Sustituimos en la solución en serie del paso 1. De tal manera que la serie encontrada es la solución general de la ecuación diferencial dada.

 x2 x4 y  c0 1    2 2  4 

  x3 x5    c1  x   3 3  5  

  

Utilizando la sumatoria tenemos:  1 x 2 k 1 x 2 k 1   y  c0  k  c1   2k  1 k 0 2  k ! k 0 3  5  7 

k

k

Ejemplo: Hallar la solución general de la ecuación diferencial 2

(1  t ) y  2ty  2 y  0

Paso 1. Se considera la solución como serie. 

y   cnt n n 0

103

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Paso 2. Derivamos la ecuación anterior 

y   ncnt , n1

n1





ty   ncnt ,

y   n  n  1 cnt n2

n

n 0

n2

Paso 3. Sustituimos los resultados anteriores en la ecuación diferencial a solucionar. 

(1  t ) n  n  1 cnt 2

n 2

n2



 2t  ncnt n1

n 1



 2 cnt n  0 n 0

Paso 4. Comparamos coeficientes de los dos miembros y hallamos los valores C, pero ajustamos los índices sustituyendo =n  2 en el primer miembro. (Clave de solución para encontrar las constantes). 

2t  ncnt

n1

n1



  2ncnt n n1

Se obtiene la fórmula de recurrencia

n  1  cn2   cn  n  1

Dando valores a k de 2, 3,4, 5, 6,7,…se obtienen las constantes o los llamados coeficientes de la serie solución, ellos son:

cn  0 Para n impar

1 c4  c2 , c6  c0 3 En general

c2 m  

1 c0 , m  1,2,3,4,5,6,7,... 2m  1

Para n par. 104

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Paso 5. Sustituimos en la solución en serie del paso 1. De tal manera que la serie encontrada es la solución general de la ecuación diferencial dada. 

1 2m t ] 2 m  1 m1

y  c1t  c0[1  

Lección 40: Ejercicios Propuestos. Determinar la solución de cada un de las siguientes ecuaciones diferenciales mediante la aplicación de series: 1. 12y

15 y

2. y 4 12 y3

6y

y

3. 3y3 14 y 4. 23y

22 y

0

2y

0

15 y

0

26 y

22 y

36e

2x

1

5. y

15 y

16 y

18

e senx

Puedes tomar referencia de http://es.wikipedia.org http://www.terra.es

Una serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma:

Una serie de potencias alrededor de x=a es una serie de la forma:

En el cual el centro es a, y los coeficientes cn son constantes.

105

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Ejemplos



La serie geométrica es una serie de potencias absolutamente convergente si | x | < 1 y divergente si | x | > 1 ó | x | = 1



La serie de potencias todo



La serie de potencias

es absolutamente convergente para

solamente converge para x = 0

En matemáticas, la serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define como la siguiente suma:

Gráfica. 7 Sin (x) y aproximaciones de Taylor centradas en 0, con polinomios de grado 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13.

Expresiones analíticas

106

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CAPITULO 3: FUNCIONES ESPECIALES Y SERIES MATEMATICAS Introducción. En el presente capitulo se trataran las funciones especiales y series matemáticas ya que son métodos útiles a la hora de resolver ecuaciones diferenciales, para lo cual se abordaran los siguientes temas: funciones analíticas, series de Taylor, soluciones mediante series de Taylor, series de Maclaurin, algunos ejercicios propuestos y conceptos para recordar con el fin de una mejor comprensión y manejo de los mismos.

Lección 41: Funciones analíticas. Lección 42: Series De Taylor.

Gráfica. 8 Gráfico: TAYLOR (3·x·y + COS(x·y), x, 0, 6) 107

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Gráfica del programa derive y Editor Matemático Mathtype Fuente: Esta investigación Autor: Carlos Buchely

El teorema de Taylor establece que, si una función f  x  posee suficientes derivadas en un punto a, existen un entorno de a (cuya amplitud no se especifica) y un polinomio Pn ( x) , del grado n que se desee, tales que la diferencia f  x  – Pn  x  tiende a cero cuando

x

x  a , y lo hace “más rápidamente” que

– a  . con algo más de precisión, entonces lim n

xa

también se dice,

f  x  – Pn  x   0  x – a 

f ( x)  Pn ( x)  0 o como ( x  a) n

n

Importante: a) Elegido el grado n, el polinomio Pn  x  es único.

f ( n 1) (a) ( x  a) n 1 . Para mayor precisión (n  1)! requiere calcular sólo un término más, no es necesario recalcular todo. b) P0  x   f (a ; Pn1  x   Pn1  x  

Es necesario tener en cuenta que existen los polinomios de Taylor, el polinomio de Taylor para fracciones algebraicas por ejemplo.

f ( x) 

x3  2 x 3 2 x 2  x  1 . Se pide un desarrollo de Taylor de

Sea la función racional grado 3 en a = 0. Desarrollando la división en potencias se tiene:

3

 2 x  0 x2

 x3

1 x

n

 2 x 2  X iYi i 1

1

6

1

5

1 6

3

1

5

6

10 4

12

Realizando operaciones de comprobación se tiene: x3  2 x 3 3  2 x  x3 4 x 4  12 x5 2 3 f ( x)    3  x  5x  6 x  2 x2  x 1 1 x  2 x2 1 x  2 x2

El polinomio 3  x  5x 2  6 x3 es el polinomio de Taylor

108

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Lección 43: Solución de ecuaciones diferenciales mediante Series de Taylor Como ya tenemos la conceptualización y generalidades de las series de Taylor. Ahora es necesario aprender a resolver ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales con la ayuda de las series de potencias y en general con series de Taylor. Para resolver ecuaciones diferenciales.

x a:

Un desarrollo en serie de Taylor, en torno al punto

( x  a) ( x  a) 2 ( x  a) 3  y ' ' (a)  y ' ' ' (a)  .... 1! 2! 3! Ahora 1. La función y(h) tiene derivadas de todos los órdenes. 2. la serie converge. y ( x)  y (a )  y ' ( a )

Si en particular hacemos a = xn y x = xn + h entonces la

h2 h3 y ( x n  h)  y ( x n )  y ' ( x n ) h  y ' ' ( x n )  y' ' ' ( x n )  .... 2 6 Si suponemos que y(x) es una solución de la ecuación diferencial de primer orden y’ = f(x, y) y además consideramos solamente dos términos de la serie anterior, se obtiene la siguiente aproximación:

y( x n  h)  y( x n )  f ( x n , y( x n ))h Relacionando lo anterior con la equivalencia a la fórmula de Euler.

y n  1  y n  hf ( x n , y n ) Si se conservan tres términos de la serie, podemos escribir:

h2 y ( x n  h)  y ( x n )  y ' ( x n ) h  y ' ' ( x n ) 2 Realizando las sustituciones

h2 yn 1  yn  y h  y 2 ' n

'' n

Ejemplo.

109

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dy  y2  t Usar las series de Taylor para hallar la solución en serie de dt Donde la condición inicial es y= 1 en t= 0. Usaremos los primeros términos de esta solución en serie para aproximar los valores de y Solución: Como c= 0 entonces, y  y  0   y  0  t 

y  0  2 y  0  3 t  t  2! 3!

Como y (0) = 1 e y’ = y2 - t, derivando se tiene lo siguiente y0  1

y  y 2  t

y 0  1

y   2 yy   1

y 0  2  1  1

y   2 yy   2 y 

y 0  2  2  4

y 4   2 yy   6 y y 

y 4  0  8  6  14

2

y 5  2 yy 4   8 y y   6 y 

2

y 5 0  28  32  6  66

Por tanto, la aproximación es:

y  y  0   y  0  t 

y  0  2 y  0  3 y 4  0  4 y 5  0  5 t  t  t  t 2! 3! 4! 5!

Reemplazando los valores encontrados tenemos  1 t 

1 2 4 3 14 4 66 5 t  t  t  t 2 3 4 5

Ahora ya se puede aproximar la solución de y para diferentes intervalos de t. es decir dar valores dentro de un intervalo en la anterior serie (Tema de un nuevo curso). Ejemplo. Usar las series x0  1, y0  1,

de Taylor para hallar la solución h  0.1, aplicando la regla obtenemos

en

serie

de

Solución: 110

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y’’  2 xy’  2 y y 0 1 y 0'  2 x0 y 0  2(1)(1)  2

y 0''  2 x0 y 0'  2(1)(2)  4 Por lo que la solución particular es: y1  y 0  y 0' h  y o''

h2 0.12  1  2(0.1)  4( )  1.23 2 2 ;

Ejemplo. Utilice la fórmula de Taylor de tres términos para obtener la solución particular de y’ = (x + y – 1)2, en la cual y (0) = 2 Solución: x0 = 0, y0 = 2, h = 0,1 y’’  2  x  y  11  y’

y0  2 y 0'  ( x0  y 0 1) 2  (0  2 1) 2 1

y 0''  2( x0  y 0 1)(1  y 0' )  2(0  2  1)(1  1)  4 Se obtiene la solución particular:

h2 0.12 y1  y 0  y h  y  2  1(0.1)  4( )  2.1200 2 2 ' 0

'' o

Verifica lo anterior, desarrolla ejercicios de ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales. Plantea tus propios ejercicios.

Lección 44: Series de MacLaurín Es necesario recordar que las series de MacLaurin se relacionan con Taylor con la propiedad que en Taylor a  0 y estaremos hablando de McLaurin. Entonces Hablemos un poco de la serie de McLaurin 111

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f (n) (0) n f (0) x 2 f(x) = f(0)+ f (0)x +...+ x + R n+1(x)  + 2! n! f (n+1) (z) n+1 R n+1(x) = x (n+ 1)! donde 0  z  x. n f (n) (0) n f(x) = x + R n+1(x) n! 0 .





f (n) (0) n f (n) (0) n f (0) 2 + x +....+ x +...   n! x = f(0)+ f (0)x 2! n! 0 Esta serie describe a f  x  cuando coincida cumple:

con la fórmula de McLaurin si

1) Se trabaje en el intervalo de convergencia de la serie. 2)

lím R n+1(x) = 0 n  .

Veamos un cuadro de series de Taylor notables tomadas de la web: http://es.wikipedia.org Función exponencial 

xn e  n 0 n ! x

para todo x

(1)n1 n ln(1  x)   x n n1 

para x  1

Serie Geométrica  1   xn 1  x n 0

para x  1

Binomio 

(1  x)   C ( , n) x n 

para todo x  1 y cualquier  complejo

n0

112

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Función trigonométrica

(1)n 2 n1 sin x   x n0 (2n  1)! 

(1)n 2 n cos x   x (2 n )! n 0

para todo x



para todo x

B2 n (4)n (1  4n ) 2 n1  tan x   x para x  (2n)! 2 n1  (1)n E2 n 2 n  sec x   x para x  (2n)! 2 n 0 



(2n)! x 2 n1 2 n0 4 ( n!) (2n  1)

arcsin x  

para x  1

n

(1)n 2 n1 arctan x   x 2 n  1 n 0 

para x  1

Funciones Hiperbólicas 

1 x 2 n1 para todo x n0 (2n  1)!  1 2n cosh x   x para todo x (2 n )! n 0

sinh x  

B2 n 4n (4n  1) 2 n1 tanh x   x (2n)! n1 

para x 

(1)n (2n)! 2 n1 sinh x   n x 2 n0 4 ( n!) (2n  1) 1





1 2 n1 x n 0 2 n  1

tanh x   1

 2

para x  1

para x  1

113

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Esta franja incluye ejercicios propuestos, dirigidas a proveerte de un mecanismo que te permita determinar el nivel de dominio adquirido con relación a la unidad Nº dos.

Lección 45: Ejercicios Propuestos 1. Mediante series de potencias resolver la ecuación diferencial.

y   9 y  0 b. y   4 y  0 c. y   3xy  0 d. y   xy   0 a.

e.

x

2



 4 y   y  0

Soluciones:

a) y  coe3 x  c1e3 x b) y  co cos(2 x)  c1sen(2 x)  (3)k 2 k (3)k x  a x 2 k 1 1 k k 0 2 k ! k 0 1.3.5...(2k  1) 

c) y  a0 

x 2 k 1 d ) y  a1  k k  0 2 k !(2k  1) 

e) y  ao (1 

x2 x4   ............) 8 128

2. Usar el teorema de Taylor para hallar solución de la ecuación diferencial con las condiciones iniciales. Donde n es el número de términos a encontrar o aproximar. a. y   2 x  1 y  0

y  0  2, n  5

114

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y  0  1,

b. y  2 xy  0

y  0   3, n  4

Soluciones: a)

2 x 2 x 2 10 x3 2 x 4 y  2    1! 2! 3! 4!

b)

3x 2 x3 12 x 4 y  1   1! 3! 4!

3. verificar si la serie converge a la función dada.



 n 0

 1n x 2n1 2n  1

 arctg x,

 1,1 Ecuación diferencial: x 2  1y   2 xy   0

Soluciones: si converge utilizando la ecuación diferencial.

x

2



 1 y   2 xy   0

PREPARATE PARA LA EVALUACION FINAL I. Hallar la solución general de la ecuación diferencial.

1.

dy y   2 x dx x

2.

y  2 y  e x

3. 10 x  8 y  2dx  8x  5 y  2dy  0

4.

1  y ln1  y dx  dy  0

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5. x  yy  

x2  y2

Solución: 3 2

1)

y  x ln x  2 x  cx

2)

y  ce2x  e x

2

3) 5 x  8 xy  2 x  2

4)

ln(1  y)  ce x

5)

y 2  2cx  c 2

5 2 y  2y  c 2

II. Hallar la solución general de la ecuación diferencial de segundo orden.

3 1. y   y  x  x

2.

y   y  2 cos x

3.

y   2 y   y  2 xe

sol: y  c1sen( x)  c2 cos( x)  5x  x3 sol: y  (c1  x)sen( x)  c2 cos( x)

x

x3 x sol: y  (c1  c2 x  )e 3

III. Hallar la familia de trayectorias ortogonales

1. y  2 x  C

116

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Solución:

Son círculos

x 2  ( y  k )2  k 2

IV. Hallar la solución utilizando series para la siguiente ecuación diferencial.

1.

 x  4 y   y  0

Solución:



xn y  a 0 n k 0 4 V. Estudia las diferentes aplicaciones de las ecuaciones diferenciales y realiza una aplicación de interés en alguna área de tu carrera profesional, la cual estas cursando en la Universidad Nacional Abierta y a distancia UNAD. Lo importante es que sea de tu creatividad y así realizar la transferencia en el curso. Puedes descargar aplicaciones y laboratorios en: http://www.caribu.byethost8.com/ Regístrate.

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