Modulo de RRM 2016

Departamento de Estudios Generales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática G. MATEMATICAS 2016

George Polya 1887 - 1985

MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA

1-1-2016

Tabla de contenido 1

2

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS .......................................................................................................................... 7 1.1.

MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE GEORGE POLYA ............................................................... 7

1.2.

DESARROLLO TEMÁTICO: ........................................................................................................................ 7

1.3.

USO DE ALGUNAS ESTRATEGIAS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ............................................... 10

1.4.

DESCUBRIR UN PATRÓN: ....................................................................................................................... 13

1.5.

DE ATRÁS HACIA ADELANTE .................................................................................................................. 14

1.6.

ELABORACIÓN DE UNA LISTA O TABLA .................................................................................................. 15

1.7.

GRÁFICOS.............................................................................................................................................. 17

1.8.

APLICACIÓN DE FÓRMULAS................................................................................................................... 17

1.9.

ANALOGÍA O SEMEJANZA ...................................................................................................................... 21

1.10.

SIMPLIFICAR, PARTICULARIZAR ............................................................................................................. 22

1.11.

ORGANIZACIÓN, CODIFICACIÓN ............................................................................................................ 24

1.12.

CODIFICACIÓN: ..................................................................................................................................... 25

1.13.

RESOLVER UNA ECUACIÓN: ................................................................................................................... 25

1.14.

USAR LAS PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS U OPERACIONES MATEMÁTICAS ....................................... 27

1.15.

EJERCICIOS PROPUESTOS ...................................................................................................................... 28

1.16.

BIBLIOGRAFIA ....................................................................................................................................... 33

1.17.

WEBGRAFÍA: ......................................................................................................................................... 33

CONJUNTO Y NÚMEROS REALES ................................................................................................................... 34 2.1.

OBJETIVOS: ........................................................................................................................................... 34

2.2.

COMPETENCIAS: ................................................................................................................................... 34

2.3. DESARROLLO TEMÁTICO. ...................................................................................................................... 34 2.3.1. ¿QUÉ ES UN CONJUNTO? ................................................................................................................. 34 2.3.2. CLASIFICACIÓN DE CONJUNTOS ........................................................................................................ 35 2.3.3. DIAGRAMAS DE VENN EULER ........................................................................................................... 36 2.3.4. OPERACIONES CON CONJUNTOS ...................................................................................................... 36 2.3.5. NÚMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO ................................................................................... 38 2.3.6. EJEMPLOS DE PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LAS OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS .................... 39 2.4. CONJUNTOS NUMÉRICOS...................................................................................................................... 41 2.4.1. NÚMEROS REALES ............................................................................................................................ 41 2.4.2. OPERACIONES CON NÚMEROS REALES. ............................................................................................ 44 2.4.3. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR ............................................................... 45 2.4.4. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE OPERACIONES CON RACIONALES: .................................................... 48 2.5.

PROBLEMAS PROPUESTOS .................................................................................................................... 50

2.6.

BIBLIOGRAFÍA ....................................................................................................................................... 55

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RAZÓN Y PROPORCIÓN .................................................................................................................................. 57 3.1.

MAGNITUD ........................................................................................................................................... 57

3.2.

RAZÓN .................................................................................................................................................. 57

3.3.

PROPORCIÓN ........................................................................................................................................ 58

3.4.

MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES ................................................................................ 59

3.5. Aplicaciones de la proporcionalidad directa .......................................................................................... 60 3.5.1. REGLA DE TRES SIMPLE Y DIRECTA.................................................................................................... 60 3.5.2. PORCENTAJE..................................................................................................................................... 61 3.6.

Magnitudes inversamente proporcionales ............................................................................................ 64

3.7. APLICACIONES DE LA PROPORCIONALIDAD INVERSA. ........................................................................... 65 3.7.1. Regla de tres simple inversa ............................................................................................................. 65 3.7.2. Regla de tres compuesta .................................................................................................................. 66 4

5

INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO .................................................................................................................... 71 4.1.

OBJETIVOS: ........................................................................................................................................... 71

4.2.

COMPETENCIAS: ................................................................................................................................... 71

4.3.

DESARROLLO TEMÁTICO: ...................................................................................................................... 71

4.4.

INTERÉS SIMPLE .................................................................................................................................... 71

4.5.

FORMULA PARA CALCULAR EL INTERÉS SIMPLE .................................................................................... 73

4.6.

CALCULO DEL CAPITAL, TIEMPO O RATA ............................................................................................... 75

4.7.

INTERES COMPUESTO ........................................................................................................................... 76

4.8.

ACTIVIDADES......................................................................................................................................... 77

4.9.

BIBLIOGRAFIA ....................................................................................................................................... 78

CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA ........................................................................................................... 79 5.1.

OBJETIVOS ............................................................................................................................................ 79

5.2.

COMPETENCIAS .................................................................................................................................... 79

5.3. SISTEMAS DE MEDIDAS ......................................................................................................................... 79 5.3.1. CONCEPTOS BÁSICOS ....................................................................................................................... 79 5.4.

SISTEMAS DE UNIDADES ....................................................................................................................... 80

5.5.

EL SISTEMA MÉTRICO DECIMAL ............................................................................................................ 80

5.6.

UNIDADES DE LONGITUD ...................................................................................................................... 81

5.7.

UNIDADES DE LONGITUD DEL SISTEMA INGLES ..................................................................................... 83

5.8.

PERÍMETRO DE FIGURAS ....................................................................................................................... 83

5.9.

PERÍMETRO DE LA CIRCUNFERENCIA ..................................................................................................... 85

5.10.

UNIDADES DE SUPERFICIE Y ÁREA ......................................................................................................... 87

5.11.

UNIDADES AGRARIAS ............................................................................................................................ 88

5.12.

AREA DE FIGURAS ................................................................................................................................. 89

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MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 5.12.1. 5.12.2. 5.12.3. 5.12.4. 5.12.5. 5.12.6. 5.12.7. 5.12.8.

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ÁREA DE UN TRIANGULO ............................................................................................................. 89 ÁREA DE UN CUADRADO.............................................................................................................. 89 ÁREA DE UN RECTÁNGULO .......................................................................................................... 89 ÁREA DEL ROMBO........................................................................................................................ 89 ÁREA DEL TRAPECIO..................................................................................................................... 90 ÁREA DEL PARALELOGRAMO. ...................................................................................................... 90 ÁREA DEL CÍRCULO. ..................................................................................................................... 90 ÁREA DE UN POLÍGONO REGULAR ............................................................................................... 91

5.13.

UNIDADES DE VOLUMEN. ..................................................................................................................... 94

5.14.

VOLUMEN DE CUERPOS ........................................................................................................................ 95

5.14.1.

VOLUMEN DEL CUBO........................................................................................................................ 95

5.14.2.

VOLUMEN DE UN ORTOEDRO........................................................................................................... 95

5.14.3.

VOLUMEN DE UNA PIRÁMIDE........................................................................................................... 95

5.14.4.

VOLUMEN DE UN CILINDRO ............................................................................................................. 96

5.14.5.

VOLUMEN DE UN CONO ................................................................................................................... 97

5.14.6.

VOLUMEN DE UNA ESFERA ............................................................................................................... 97

FUNCIONES .................................................................................................................................................. 110 6.1.

Objetivos............................................................................................................................................. 110

6.2.

Competencias ..................................................................................................................................... 110

6.3. BASE CONCEPTUAL ............................................................................................................................. 110 6.3.1. INTRODUCCIÓN. ............................................................................................................................. 110 6.3.2. Pareja Ordenada............................................................................................................................. 111 6.3.3. Intervalos ....................................................................................................................................... 111 6.3.4. Función .......................................................................................................................................... 112 6.3.4. Representación de una Función...................................................................................................... 113 6.3.5. CLASIFICACION DE LAS FUNCIONES ................................................................................................ 116 6.3.6. ESTUDIO DEL DOMINIO DE ALGUNAS FUNCIONES REALES ............................................................. 117 6.3.7. Función Creciente, Decreciente y Constante................................................................................... 122 6.4. ESTUDIO DE ALGUNAS FUNCIONES PARTICULARES ............................................................................. 124 6.4.1. FUNCIÓN LINEAL ............................................................................................................................ 124 6.4.2. FUNCIÓN CUADRÁTICA................................................................................................................... 127 6.5.

PROBLEMAS ........................................................................................................................................ 133

6.6.

WEBGRAFÍA ........................................................................................................................................ 138

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JUSTIFICACIÓN La enseñanza y el aprendizaje con base en el desarrollo de competencias en el sistema educativo colombiano, están propuestos, por el MEN, desde la educación básica hasta la superior1. En este nivel educativo, las competencias, llamadas genéricas, son la continuación de las competencias básicas desarrolladas en los niveles precedentes, tratadas a niveles de profundidad y extensión cercanos a la formación del pensamiento científico, constituyéndose en la base del dialogo e intercambio de saberes de los profesionales de los distintos países, en el marco de los desafíos planteados por la actual sociedad de la información y el conocimiento. En este sentido, la Universidad del Magdalena, ha decidido adelantar la reforma educativa necesaria para ponerse a tono con las circunstancias, en el marco de los fines, principios y valores contenidos en el PEI, Misión y Visión institucionales, para lo cual se apresta a la revisión y redefinición del currículo y microcurrículos, centrados históricamente en el aprendizaje de contenidos, por el desarrollo de competencias que habiliten a los egresados para asumir el reto de contribuir al desarrollo humano, social, político , económico de la región y del país, además de competir y desempeñarse eficientemente en cualquier circunstancia y espacio. Esta reforma curricular conlleva a una transformación del modelo pedagógico, de la estrategia metodológica y, de manera muy especial, de la concepción y criterios y estrategias de evaluación. Las competencias genéricas, por definición, son comunes a todas las profesiones, son el sustrato de conocimientos, capacidades, habilidades y destrezas existentes en todos los profesionales, por tal razón son transversales a todas las áreas y planes de estudios. Sin embargo, las desarrolladas a partir de las matemáticas, por su función transformadora del pensamiento y de su capacidad de representar y comunicar conceptos y estructuras conceptuales complejas necesarias para su desarrollo mismo y el aprendizaje de otras áreas del conocimiento, son de ineludible presencia en la fase de formación general de todas las profesiones. En el caso de las competencias matemáticas, se encuentra que la totalidad de los programas académicos tienen, con diferentes niveles de profundidad, cursos de matemáticas específicas funcionales a cada programa y a otras áreas afines para cuya aprehensión y desarrollo se requiere solvencia en el manejo de las competencias matemáticas genéricas. Las competencias básicas matemáticas que se espera se encuentren desarrolladas, en su más elevado nivel al ingreso de nuestros jóvenes a la educación superior, son:

1

Tomado de Documento 3, Estándares recompetencias básicas MEN

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La comunicación y Representación. Razonamiento y Argumentación. Solución de problemas y Modelación. Sin embargo, sabemos de la debilidad de los procesos educativos de los niveles precedentes reflejados en los deficientes resultados en las pruebas ICFES, en la dificultad de aprobación de los exámenes de admisión de las universidades oficiales y en el bajo desempeño en los cursos de matemática y lógica matemática de los estudiantes de primer semestre en el nivel superior. Para el caso particular de la Universidad, se encuentra, según datos recientes que el 53% y 57% respectivamente reprueban matemática y lógica-matemática respectivamente en primer semestre, además es ya tradicional la dificultad que presenta la mayoría de los estudiantes en el aprendizaje de las matemáticas de su plan de estudios.

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1 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1.1. MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE GEORGE POLYA OBJETIVOS Identificar los pasos del modelo de Polya utilizado para resolver un problema. Describir las estrategias para resolver problemas Aplicar el modelo de Polya a la resolución de problemas. COMPETENCIAS  Capacidad para formular, plantear, transformar y resolver problemas matemáticos.  Desarrollo y profundización del pensamiento lógico matemático.  Identificación de regularidades, modelos y estructuras matemáticas en procesos y situaciones problémicas.  Capacidad comunicativa en lenguaje matemático.  Habilidad de conversión de un objeto matemático a los diferentes lenguajes, registros y representaciones matemáticas, cuando sea posible.

1.2. DESARROLLO TEMÁTICO: GEORGE POLYA: ESTRATEGIAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS George Polya nació en Hungría en 1887. Obtuvo su doctorado en la Universidad de Budapest y en su disertación para obtener el grado abordó temas de probabilidad. Fue maestro en el Instituto Tecnológico Federal en Zúrich, Suiza. En 1940 llegó a la Universidad de Brown en EE.UU. y pasó a la Universidad de Stanford en 1942. En sus estudios, estuvo interesado en el proceso del descubrimiento, o cómo es que se derivan los resultados matemáticos. Advirtió que para entender una teoría, se debe conocer cómo fue descubierta. Por ello, su enseñanza enfatizaba en el proceso de descubrimiento aún más que simplemente desarrollar ejercicios apropiados. Para involucrar a sus estudiantes en la solución de problemas, generalizó su método en los siguientes cuatro pasos: 1. Entender el problema. 2. Configurar un plan 3. Ejecutar el plan 4. Mirar hacia atrás Las aportaciones de Polya incluyen más de 250 documentos matemáticos y tres libros que promueven un acercamiento al conocimiento y desarrollo de estrategias en la solución de problemas. Su famoso libro Cómo Plantear y Resolver Problemas que se ha traducido a 15 idiomas, introduce su método de cuatro pasos junto con la heurística y estrategias específicas útiles en la solución de problemas. Otros trabajos importantes de Polya son Descubrimiento Departamento de Estudios Generales e Idiomas RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

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Matemático, Volúmenes I y II, y Matemáticas y Razonamiento Plausible, Volúmenes I y II. Polya, que murió en 1985 a la edad de 97 años, enriqueció a las matemáticas con un importante legado en la enseñanza de estrategias para resolver problemas. El Método de Cuatro Pasos de Polya. Este método está enfocado a la solución de problemas matemáticos, por ello nos parece importante señalar alguna distinción entre "ejercicio" y "problema". Para resolver un ejercicio, uno aplica un procedimiento rutinario que lo lleva a la respuesta. Para resolver un problema, uno hace una pausa, reflexiona y hasta puede ser que ejecute pasos originales que no había ensayado antes para dar la respuesta. Esta característica de dar una especie de paso creativo en la solución, no importa que tan pequeño sea, es lo que distingue un problema de un ejercicio. Sin embargo, es prudente aclarar que esta distinción no es absoluta; depende en gran medida del estadio mental de la persona que se enfrenta a ofrecer una solución: Para un niño pequeño puede ser un problema encontrar cuánto es 3 +2 o bien, para niños de los primeros grados de primaria responder a la pregunta ¿Cómo repartes 96 lápices entre 16 niños de modo que a cada uno le toque la misma cantidad? le plantea un problema, mientras que a uno de nosotros esta pregunta sólo sugiere un ejercicio rutinario: "dividir ". Hacer ejercicios es muy valioso en el aprendizaje de las matemáticas: Nos ayuda a aprender conceptos, propiedades y procedimientos -entre otras cosas-, los cuales podremos aplicar cuando nos enfrentemos a la tarea de resolver problemas. Como apuntamos anteriormente, la más grande contribución de Polya en la enseñanza de las matemáticas es su Método de Cuatro Pasos para resolver problemas. A continuación presentamos un breve resumen de cada uno de ellos y sugerimos la lectura del libro "Cómo Plantear y Resolver Problemas" de este autor (Editorial Trillas). Paso 1: Entender el Problema.  ¿Entiendes todo lo que dice?  ¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras?  ¿Distingues cuáles son los datos?  ¿Sabes a qué quieres llegar?  ¿Hay suficiente información?  ¿Hay información extraña?  ¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes? Paso 2: Configurar un Plan. ¿Puedes usar alguna de las siguientes estrategias? (Una estrategia se define como un artificio ingenioso que conduce a un final). 1. Ensayo y Error (Conjeturar y probar la conjetura). 2. Usar una variable. 3. Buscar un Patrón Departamento de Estudios Generales e Idiomas RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

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4. Hacer una lista. 5. Resolver un problema similar más simple. 6. Hacer una figura. 7. Hacer un diagrama 8. Usar razonamiento directo. 9. Usar razonamiento indirecto. 10. Usar las propiedades de los Números. 11. Resolver un problema equivalente. 12. Trabajar hacia atrás. 13. Usar casos 14. Resolver una ecuación 15. Buscar una fórmula. 16. Usar un modelo. 17. Usar análisis dimensional. 18. Identificar sub-metas. 19. Usar coordenadas. 20. Usar simetría. 21. Usar coordenadas Paso 3: Ejecutar el Plan.  Implementar la o las estrategias que escogiste hasta solucionar completamente el problema o hasta que la misma acción te sugiera tomar un nuevo curso.  Concédete un tiempo razonable para resolver el problema. Si no tienes éxito solicita una sugerencia o haz el problema a un lado por un momento (¡puede que "se te prenda el foco" cuando menos lo esperes!).  No tengas miedo de volver a empezar. Suele suceder que un comienzo fresco o una nueva estrategia conducen al éxito. Paso 4: Mirar hacia atrás.  ¿Es tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema?  ¿Adviertes una solución más sencilla?  ¿Puedes ver cómo extender tu solución a un caso general? Comúnmente los problemas se enuncian en palabras, ya sea oralmente o en forma escrita. Así, para resolver un problema, uno traslada las palabras a una forma equivalente del problema en la que usa símbolos matemáticos, resuelve esta forma equivalente y luego interpreta la respuesta. Este proceso lo podemos representar como sigue, algunas sugerencias hechas por quienes tienen éxito en resolver problemas. Además del Método de Cuatro Pasos de Polya nos parece oportuno presentar en este apartado una lista de sugerencias hechas por estudiantes exitosos en la solución de problemas: 1. Acepta el reto de resolver el problema. Departamento de Estudios Generales e Idiomas RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

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2. Reescribe el problema en tus propias palabras. 3. Tómate tiempo para explorar, reflexionar, pensar... 4. Habla contigo mismo. Hazte cuantas preguntas creas necesarias. 5. Si es apropiado, trata el problema con números simples. 6. Muchos problemas requieren de un período de incubación. Si te sientes frustrado, no dudes en tomarte un descanso -el subconsciente se hará cargo-. Después inténtalo de nuevo. 7. Analiza el problema desde varios ángulos. 8. Revisa tu lista de estrategias para ver si una (o más) te pueden ayudar a empezar 9. Muchos problemas se pueden de resolver de distintas formas: solo se necesita encontrar una para tener éxito. 10. No tenga miedo de hacer cambios en las estrategias. 11. La experiencia en la solución de problemas es valiosísima. Trabaje con montones de ellos, su confianza crecerá. 12. Si no estás progresando mucho, no vaciles en volver al principio y asegurarte de que realmente entendiste el problema. Este proceso de revisión es a veces necesario hacerlo dos o tres veces ya que la comprensión del problema aumenta a medida que se avanza en el trabajo de solución. 13. Siempre, siempre mira hacia atrás: Trata de establecer con precisión cuál fue el paso clave en tu solución. 14. Ten cuidado en dejar tu solución escrita con suficiente claridad de tal modo puedas entenderla si la lees 10 a años después. 15. Ayudar a que otros desarrollen habilidades en la solución de problemas es una gran ayuda para uno mismo: No les des soluciones; en su lugar provéelos con sugerencias significativas. 16. ¡Disfrútalo! Resolver un problema es una experiencia significativa.

1.3. USO DE ALGUNAS ESTRATEGIAS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Existen varias estrategias para resolver problemas. Cada vez que te enfrentes a uno de ellos, debes preguntarte: “¿hay otra manera de hacerlo?” Si tu respuesta es afirmativa, procede en la forma que has pensado; comprobarás que muchas veces utilizamos una combinación de dos o más estrategias para resolver un problema. A continuación describiremos algunas estrategias para resolver problemas y enunciaremos algunos ejemplos para su análisis: ENSAYO Y ERROR Esta estrategia te ayuda cuando no conoces otra. En esencia, consiste en realizar varios intentos para llegar a la solución. Consiste en realizar los siguientes pasos: Departamento de Estudios Generales e Idiomas RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

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1. Elegir un valor (resultado, operación o propiedad) posible. 2. Llevar a cabo con éste valor las condiciones indicadas por el problema. 3. Probar si hemos alcanzado el objetivo buscado. Ejemplo 1: Calcula un número que al elevarlo al cuadrado y sumarle el número buscado, nos dé 132. Solución: 1. Comprender el problema: Interpretación: Se va hallar un número que al elevarlo al cuadrado y sumarle el mismo número nos dé como resultado 132. Datos conocidos:  Resultado de la suma: 132  Planteamiento de la suma Datos desconocidos:  Cantidad a hallar bajo unas condiciones 2. Desarrollar un plan: Estrategia: Ensayo y error Descripción: Se elige un valor entre 10 y 20, luego se pone a prueba las condiciones del problema, hasta encontrar el número que las cumpla; puesto que 132 es mayor que el cuadrado de 10. 3. Ejecutar el plan:

102 + 10 = 100 + 10 =110 112 + 11 = 121 + 11 = 132

Respuesta: el número que cumple las condiciones es 11. 4. Comprobación: Verificando los cálculos con una calculadora se puede demostrar que ese es el número pedido. Esta estrategia puede ser puesta en práctica de formas diferentes, estas son: 1. Ensayo y error fortuito: realizado sin pautas o al azar. 2. Ensayo y error sistemático: los valores no se eligen al azar, sino de manera ordenada, de forma que eliminemos las posibles repeticiones de ensayo agotando las soluciones hasta encontrar lo que buscamos. 3. Ensayo y error dirigido: en él contrastamos cada respuesta para ver si estamos más cerca o más lejos del objetivo buscado. Ejemplo 2: Escribe símbolos de suma y resta entre números compuestos de los dígitos: 3 5 9 1 0 5 3 Departamento de Estudios Generales e Idiomas RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

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De modo que obtengas 257 como resultado. Los dígitos no se pueden repetir y se tienen que presentar en el mismo orden que aparecen. Solución: 1. Comprender el problema: Interpretación: Se establece que los números son compuestos solo hay que usar los símbolos de suma y resta, utilizar los dígitos una vez y seguir el orden en que aparecen. 3, 5, 9, 1, 0, 5 y 3. Además, el resultado tiene que ser 257. Datos conocidos:  Solo se pueden hacer operaciones de suma y resta  Dígitos dados en el siguiente orden: 3 5 9 1 0 5 3  Resultado de la operación: 257  Los dígitos no se pueden repetir Datos desconocidos:  Las combinaciones de las operaciones en un orden específico que cumpla con el resultado dado. 2. Desarrollar un Plan Estrategia: Ensayo y error Descripción: El plan que conviene utilizar es tantear colocando los símbolos de suma y resta en posiciones diferentes. Como el resultado tiene tres dígitos, 257, cabe suponer que al menos una cifra tiene tres dígitos y está entre 100 y 300. 3. Llevar a cabo el Plan A partir de 359 se pueden agrupar los números en esta forma: 359 + 10 – 53 = 316; entonces, esta combinación no funciona. Luego, se intenta con 105, ya que 910 está muy lejos, y resulta; 35 + 9 + 105 – 3 = 146; este ejercicio tampoco da 257. Por último, se prueba una combinación con 359 y 105: 359 – 105 + 3 = 257; ¡es el arreglo correcto! Respuesta: 359 – 105 + 3 = 257 4. Comprobar: Obviamente se puede ver que las condiciones del problema se cumplen. Ejemplo 3: Judith y Teodoro fueron de visita a la granja de su abuelo. Durante su estancia vieron un corral con cerdos y gallinas. Teodoro dijo haber contado 18 animales en total. Judith afirma haber contado un total de 50 patas ¿Cuántos cerdos había? (sin utilizar ecuaciones). Departamento de Estudios Generales e Idiomas RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

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Solución: Ensayo y error fortuito: Damos valores al azar. Cerdos Gallinas Patas 14 4 64 12 6 60 10 8 Etc. De forma sistemática: Se van dando valores de forma sistemática 1,2, 3, etc. Cerdos 1 2 3 Etc. De forma dirigida: Cerdos 10 9 8 7

Gallinas 17 16 15

Gallinas 8 9 10 11

Patas 38 40

Patas 56 (nos hemos pasado) sobran cerdos 54 “ “ “ “ 52 “ “ “ “ 50 es la solución

1.4. DESCUBRIR UN PATRÓN: Te ayuda a describir algo que ocurre en repetidas ocasiones. Un patrón en un problema se puede presentar como un comportamiento en el cual una misma cantidad se sume, reste, multiplique o divide. En otras ocasiones el patrón no tiene que ver con números, sino con figuras geométricas, letras o comportamientos. Ejemplo: Para cada uno de los patrones siguientes, determina los dos términos que siguen: a. 1, 3, 5, 7, … b. 1, -2, 3, -4, … c. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … d. 3, 12, 48, 192, … e.

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Solución: a. 9 y 11. Cada número es impar positivo. b. 5 y -6. El valor absoluto de cada número es uno más que el anterior. Los números son alternos en signos. c. 21 y 34. A partir del tercer número cada uno es la suma de los dos anteriores. (Nota: este patrón se conoce como la sucesión de Fibonacci) e.

Resolvamos el inciso d utilizando los pasos de Polya: 1. Comprender el problema: Interpretación: dada la serie 3, 12, 48, 192, … determinar los dos números siguientes. Datos conocidos: 3, 12, 48, 192, … Datos desconocidos: los números que ocupan el quinto y sexto puesto de la serie dada. 2. Desarrollar un plan: Estrategia: descubrir un patrón Descripción: se observa en la serie dada que cada número es el producto de 4 por el número anterior. 3. Ejecutar el plan: 1er puesto: 3 2° puesto: 4(3)= 12 3er puesto: 4(12)=48 4to puesto: 4(48)=192 5to puesto: 4(192)=768 6to puesto: 4(768)= 3072. Respuesta: 768 y 3072 son los números pedidos. 4. Comprobar: Trabajando hacia atrás dividiendo el último número entre cuatro nos da el anterior y así sucesivamente.

1.5. DE ATRÁS HACIA ADELANTE Esta estrategia también se conoce como comenzar por el final. Es útil cuando tienes que comenzar por la conclusión del problema y trabajar hacia delante. Ejemplo: El manatí que cuidaban en la Parguera, atrajo a muchas personas. El primer día acudieron a verlo 80 espectadores menos que el segundo. El segundo día fueron 250 personas menos que Departamento de Estudios Generales e Idiomas RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Página 14 de 138

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el tercero. En éste acudieron 50 personas más que el cuarto. Al cuarto día fueron 500 personas. ¿Cuántos espectadores vieron el manatí el primer día? Solución: 1. Comprender el Problema Interpretación: Se desea determinar el número de personas que fueron a ver el manatí el primer día. Se sabe que ese día fueron 80 espectadores menos que el segundo, cuando fueron 250 menos que el tercero. Durante éste acudieron 50 personas más que el cuarto día, en el que se presentaron 500 personas. Datos conocidos:  Cantidad de espectadores el cuarto día: 500 personas Datos desconocidos:  Cantidad de personas que vieron el manatí el primer día 2. Desarrollar un Plan Estrategia: De atrás hacia adelante. Descripción: Como se conoce la cantidad que fue el cuarto día, se calcula cuantos fueron el tercero, el segundo y por último el primer día haciendo las operaciones respectivas. 3. Llevar a cabo el Plan Si se sabe que el cuarto día fueron 500 personas y el tercero 50 más, cabe concluir que ese día hubo 550 asistentes. Con este dato y el hecho de que el segundo día fueron 250 personas menos que el tercero, se obtiene que la asistencia del segundo día fue de 300 personas. Para determinar la cantidad que acudió el primer día, solo queda restar 80 a la cantidad del segundo día, esto da 220 personas. Respuesta: el primer día acudieron 220 personas. 4. Comprobar: Este procedimiento también se pudo organizar haciendo uso de la estrategia elaboración de una tabla: DIA ASISTENCIA CUARTO 500 TERCERO 500 + 50 = 550 SEGUNDO 550 – 250= 300 PRIMERO 300 – 80 = 220

1.6. ELABORACIÓN DE UNA LISTA O TABLA Con esta estrategia puedes llevar la cuenta de los números, datos y combinaciones de números en forma organizada. Una tabla es un arreglo rectangular de la información, acomodada en filas y columnas. Departamento de Estudios Generales e Idiomas RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

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Ejemplo: Los estudiantes de una clase de Botánica llevaron 300 hojas para estudiar sus características y propiedades curativas. La clase analizó 10 hojas el primer día, el segundo estudió 15, el tercero 20 hojas y así sucesivamente. ¿Alrededor de cuántos días tardarán en estudiar todas las hojas? Solución: 1. Comprender el problema: Interpretación: En este caso se dice que la clase estudió 10 hojas el primer día, 15 el segundo, 20 el tercero y así sucesivamente. Además, la cantidad total de hojas que tienen que estudiar es 300. Se desea saber cuántos días más o menos tardarán en estudiar todas las hojas. Datos conocidos:  Total de hojas: 300  Cantidad de hojas analizadas el primer día: 10  Cantidad de hojas analizadas el segundo día: 15  Cantidad de hojas analizadas el tercer día: 20 Datos desconocidos:  Total de días para estudiar todas las hojas 2. Desarrollar un Plan: Estrategia: hacer una tabla Descripción: Se observa que la cantidad de hojas por estudiar aumenta cinco cada día. Esto define un patrón. Una vez descubierto, se pueden organizar los datos en una tabla con tres columnas. La primera se refiere al día que estudiaron las hojas, la segunda a la cantidad de hojas que analizaron ese día y la tercera representa la cantidad de hojas acumuladas. De esta manera se continúa el patrón hasta llegar a la solución. 3. Llevar a cabo el Plan: En este paso se prepara la tabla mencionada: HOJAS ESTUDIADAS

DIA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10 15 20 25 30 35 40 45 50 30

TOTAL DE HOJAS ESTUDIADAS 10 25 45 70 100 135 175 220 270 300

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Respuesta: se necesitan 10 días para estudiar todas las hojas. 4. Comprobar: Revisa si la respuesta tiene sentido. Observa que el patrón continúa hasta el noveno día y cambia en el décimo porque solo quedan 30 hojas por estudiar. En conclusión, el grupo demorará aproximadamente unos diez días en estudiar las 300 hojas.

1.7. GRÁFICOS En tu bolsillo tienes 5 monedas de diferentes denominaciones: 50, 100, 200, 500 y 1000 pesos. ¿Cuántas cantidades distintas puedes formar? 1. Comprender el problema: Interpretación: Se tienen 5 monedas de diferentes valores en el bolsillo con las cuales se pueden formar diferentes cantidades. Datos conocidos:  Cantidad de monedas y su denominación: Cinco monedas de 50, 100, 200, 500 y 1000 pesos Datos desconocidos:  Cantidad que se pueden formar con las cinco monedas.  Cantidad de números diferentes que se pueden formar 2. Desarrollar un plan: Estrategia: Gráficos Descripción: Se hará una representación gráfica que muestre las combinaciones entre las cinco monedas, diferenciando las que no se tiene con las que se tiene con un menos, luego sumaremos cada combinación posible para determinar las cantidades. 3. Ejecutar el plan

Respuesta: 32 números diferentes 4. Comprobación: Siguiendo cada rama, podemos sumar los valores de las monedas dando como resultado las cantidades que se podrían formar en el bolsillo, al final se cuentan dando como resultado 32 cantidades diferentes que se pueden formar.

1.8. APLICACIÓN DE FÓRMULAS Departamento de Estudios Generales e Idiomas RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

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Cuando se conoce la relación entre dos o más cantidades, ésta se puede representar mediante una expresión matemática conocida como una fórmula. En estos casos, las cantidades se representan con símbolos mejor conocidos en matemáticas como variables y su relación, con una igualdad. Ejemplo: Jaime, Gissella, Silvia y Carlos desean cancelar su matrícula de ingreso a la Universidad del Magdalena. Averiguan que la liquidación para alumnos nuevos en sus respectivos programas puede realizarse a través de la fórmula emitida por el acuerdo superior No. 017 en la cual se reglamenta que el valor de los derechos de matrícula puede calcularse así:

Además deben tener en cuenta el factor del programa, el factor estrato socio-económico y el factor del colegio de procedencia, los cuales pueden determinarse a través de los valores de las tablas:

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FACTOR DEL PROGRAGAMA ACADÉMICO

FACTOR ESTRATO SOCIO-ECONÓMICO

FACTOR COLEGIO DE PROCEDENCIA

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Donde:

Jaime y Silvia pertenecen a los programas de Ciencias Empresariales (Contaduría) e Ingeniería (Ambiental) y provienen de Colegios privados y pertenecen a los estratos 4 y 5 respectivamente, mientras que Carlos y Gisella de los programas de Ciencias de la educación (Licenciatura en Educación básica con énfasis en informática) y Ciencias básicas (biología) de estrato 2 y 3 respectivamente y de colegios públicos. La pensión de Jaime en el grado 10 fue de $180.000 y en grado 11 de $ 225.000. Para Silvia, el valor de la pensión en grado 10 era de $200.000 y en grado 11 de $ 280.000. Determina cuánto dinero debe cancelar cada estudiante una vez liquidada su matrícula. Solución: 1. Comprender el problema: Interpretación: El problema nos habla de cuatro estudiantes: Jaime, Gissella, Silvia y Carlos que van a ingresar a la Universidad del Magdalena y desean saber cuál es el costo de la matrícula, para su cálculo existe el acuerdo superior No. 017 en la cual se reglamenta el cobro de éstos derechos mediante una fórmula y unas tablas en el que se deben tener en cuenta el factor del programa, el factor estrato socio-económico y el factor del colegio de procedencia, además de los valor de la pensión de los últimos dos grados. Datos conocidos:  Estudiante Jaime: programa admitido: Contaduría, proviene de colegio privado, estrato 4, pensión en el grado 10 fue de $180.000 y en grado 11 de $ 225.000.  Estudiante Silvia: programa admitido: Ingeniería ambiental, proviene de colegio privado, estrato 5, pensión en grado 10 era de $200.000 y en grado 11 de $ 280.000.  Estudiante Carlos: programa admitido: Licenciatura en educación, proviene de colegio público, estrato 2.  Estudiante Gisella: programa admitido: Biología, proviene de colegio público, estrato 3.  Valor del salario mínimo legal mensual vigente a la fecha. Datos desconocidos:  El valor que cada estudiante debe cancelar una vez liquidada su matrícula. 2. Desarrollar un plan: Estrategia: Usar razonamiento directo y buscar una fórmula. Descripción: La fórmula que debe utilizarse será:

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Además se tendrán en cuenta los valores correspondientes a cada factor anotados en las tablas. 3. Ejecutar el plan: Para calcular el valor de la matrícula de Jaime se procede así: Valor matrícula = (1,337 + 0,15000 + 0,229007633) 𝑥 589.500 Valor matrícula = (1,716007633) 𝑥 589.500 = 1.011.586,5 180.000

225.000

Para calcular el Factor del colegio de procedencia = [(589.500) + (589.500)] ÷ 3.0 Factor del colegio de procedencia = (0,305343511 + 0,381679389) ÷ 3,0 =

0,6870229 3,0

= 0,229007633

Para determinar el costo de la matrícula de Gisella se procederá así: Valor matrícula = (1,337 + 0,15000 + 0,060) 𝑥 589.500 Valor matrícula = (1,547) 𝑥 589.500 = 911.956,5 Respuesta: el valor de la matrícula de Jaime es de $ 1.011.586,5 y el de Gisella es $ 911.956,5 Nota: Así mismo puedes determinar el valor de la matrícula que debe cancelar Silvia y Carlos. 4. Comprobar: Se comprueba utilizando la calculadora para determinar el valor de la matrícula.

1.9. ANALOGÍA O SEMEJANZA Consiste en la búsqueda de semejanzas (parecidos, relaciones, similitudes) en el “archivo” de la experiencia, con casos, problemas, juegos etc. que ya se hayan resuelto. A veces, ante la situación que nos ocupa, nos podemos preguntar: ¿A qué nos recuerda? ¿Es como aquella otra? Es muy bueno, a fin de encontrar un buen asidero que nos proporcione confianza, buscar situaciones semejantes a la propuesta. Al hacerlo, probablemente, surgirán procedimientos de ataque de dichas situaciones semejantes, que nos proporcionarán estrategias válidas para la que nos ocupa. Departamento de Estudios Generales e Idiomas RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

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Esta búsqueda será más fácil cuanta más experiencia tengamos en la resolución de problemas. Esta estrategia suele ir asociada a la particularización y la generalización. 1 Ejemplo: Calcular el área lateral del tronco de cono que aparece en la figura 1.1.1 1.1.2 Solución: 1. Comprender el problema. Interpretación: Se pide hallar el área lateral del tronco de cono de la figura adjunta Datos conocidos: radio de la base mayor R y el de la base menor r, y altura H. Datos desconocidos: Área lateral 2. Desarrollar un plan: Estrategias: razonamiento directo- uso de analogías o semejanzas. Descripción: La figura seccionada verticalmente se parece a un trapecio (estamos utilizando la analogía); luego el área del trapecio es igual a: A[

Basemayor  basemenor ]  altura 2

h= lado generatriz del tronco de cono: h  H 2  ( R  r) 2 Luego: Area 

2R  2r 2  H 2   R  r 2

¿Será cierto?

4. Comprobar: Reemplace y calcule una de las dimensiones dadas, es decir trabajar hacia atrás.

1.10. SIMPLIFICAR, PARTICULARIZAR Consiste en pasar de la consideración de un conjunto de objetos dado a considerar un conjunto más pequeño (o incluso un solo objeto) contenido en el conjunto dado. Particularizar significa simplificar el problema haciéndolo más concreto y específico, hasta que sea posible hacer algún progreso. A veces te encuentras con un problema que resulta difícil por su tamaño, por tener demasiados elementos que lo hacen enrevesado y oscuro. En este caso se puede empezar construyendo un problema semejante más sencillo, tratar de resolverlo y luego proceder a complicarlo hasta llegar al propuesto inicialmente.

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Es una de las mejores estrategias para los principiantes, pues sirve para adquirir confianza y, en otros casos, proporciona ayuda en los atascos y bloqueos y nos permite entrar en materia manipulando los datos. Se utiliza en la técnica de demostración lógica denominada “contraejemplo”: basta encontrar una sola excepción para refutar de forma irrevocable lo que pretende ser una regla o una afirmación de carácter general. La particularización puede hacerse al azar para entender el significado del problema o de forma sistemática para preparar el terreno hacia la generalización. Acude a ésta estrategia cuando no poseas ninguna idea que te haga prosperar, ya que en múltiples ocasiones te permitirá lograr un avance. Puede ir relacionada con otras estrategias como: la generalización, la modificación del problema, la experimentación. Ejemplo 16 jugadores de tenis participan en un sorteo para emparejarse entre sí en la primera ronda. ¿De cuántas maneras se pueden hacer los emparejamientos? Solución: 1. Comprender el problema: Interpretación: Hay 16 jugadores de tenis participando en un torneo, los cuales necesitan emparejarse entre sí en la primera ronda. Hallar el número de emparejamientos posibles. Datos conocidos: número de jugadores: 16 Datos desconocidos: número de emparejamientos posibles 2. Desarrollar un plan: Estrategia: simplificar Descripción: Como el número de jugadores es elevado, comenzamos primero con dos jugadores; en el cual claramente hay una sola forma. Si el número de jugadores es 3, tenemos 3 emparejamientos y así sucesivamente hasta encontrar el número posible de emparejamientos sin pasar los 16. 3. Ejecutar el plan: Anteriormente se mencionó que pasaba si habían dos y tres jugadores, ahora probemos si los jugadores son 4, tenemos los siguientes 6 grupos: (1,2); (1,3); (1,4); (2,3); (2,4) y (3,4). Si los jugadores son 6, aparecen 15 grupos (compruébalo) Respuesta: Con 6 jugadores, aparecen 15 grupos. 4. Comprobar: Departamento de Estudios Generales e Idiomas RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

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Otra forma de resolver el problema es visualizar las diversas situaciones en diagramas y sacar conclusiones

1 2

1

2

NO NO

SÍ NO

2 jugadores; un emparejamiento

1 2 3 4

1

2

3

4

NO NO NO NO

SÍ NO NO NO

SÍ SÍ NO NO

SÍ SÍ SÍ NO

4 jugadores; 6 emparejamientos

1.11. ORGANIZACIÓN, CODIFICACIÓN La organización, en general, consiste en adoptar un enfoque sistemático del problema. Suele ser de gran ayuda enfocar el problema en términos de tres componentes fundamentales: antecedentes (origen y datos), el objetivo y las operaciones que pueden realizarse en el ámbito del problema. Las técnicas asociadas a la organización pasan por realizar: símbolos apropiados, croquis, gráficos, figuras, diagramas y esquemas. Estos símbolos o dibujos no se reservan al uso exclusivo de la geometría; pueden ayudar en todo tipo de problemas, ya que las figuras trazadas sobre el papel son fáciles de hacer, de conocer y de recordar. Las figuras que te formes del problema deben incorporarse de forma sencilla a los datos relevantes y de esta manera, suprimir los hechos que pueden conducir a confusión. De ésta forma pueden quedar resaltadas visualmente las relaciones entre los aspectos más importantes del problema, y de ahí muy a menudo se desprenden luces que clarifican sustancialmente la situación. Una buena organización suele ir asociada con la elección de una notación o código que organice la búsqueda de posibles caminos hacia la solución. Las diferentes notaciones y códigos nos conducen a utilizar un determinado lenguaje. Los lenguajes que resultan útiles en la resolución de problemas son: el lenguaje de la Lógica el de las Matemáticas (geométrico, algebraico, analítico, probabilístico etc.), el analógico (modelos, manipulaciones etc.) y el imaginativo o pictórico (figuras, esquemas, diagramas etc.). Una buena organización es un buen punto de arranque y a veces allí se encuentra la clave del éxito. Ejemplo: Hay varias formas de sumar 10, mediante números impares y con cuatro sumandos; tenemos: Departamento de Estudios Generales e Idiomas RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

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10 =1+1+1+7; 10 = 1+1+3+5; 10 = 1+3+3+3; , tenemos tres formas (los cambios de orden en los números no cuentan como nuevas soluciones). Para obtener 20 con 8 sumandos impares ¿Cuántas formas hay? Desde luego hay que organizarse un poco y ser sistemático: 20= 1+1+1+1+1+1+1+13; 20=1+1+1+1+1+1+7+7; 20 = 1+1+1+1+1+1+3+11; , así llegamos hasta 11 combinaciones posibles ¿Te atreves?

1.12. CODIFICACIÓN: Ejemplo Se tiene 3 cajas iguales y 5 guantes de la mano izquierda, todos ellos iguales ¿De cuántas maneras se pueden distribuir en las tres cajas? Solución: 1. Comprender el problema: Interpretación: Se quiere saber de cuantas maneras se puede distribuir en tres cajas iguales 5 guantes de la mano izquierda. Datos conocidos:  Número de cajas: 3  Número de guantes:5 Datos desconocidos:  Número de posibilidades de distribuir en las tres cajas los 5 guantes 2. Desarrollar un plan: Estrategia: Codificación Descripción: Después de jugar un poco con el problema se puede llegar a definir un código que nos organice la búsqueda. Representaremos por A los guantes y las cajas por B luego empezaremos a hacer las diferentes combinaciones. 3. Ejecutar el plan: La secuencia BAA BA BAA nos indica que en la 1ª caja hay dos guantes, en la 2ª un guante y en la 3ª dos guantes. Quizás este código nos resulte más fácil de manejar y así resolver el problema. Respuesta: hay 9 formas 4. Comprobar: Usa la estrategia gráfica y verifica la respuesta.

1.13. RESOLVER UNA ECUACIÓN:

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Frecuentemente cuando se aplica la estrategia de usar una variable en la resolución de problemas, tal representación conlleva a una ecuación que puede ser de tipo lineal o cuadrática. Veamos el siguiente ejemplo: José es propietario de una finca en la cual cría conejos y gallinas. Para establecer el número de animales que posee, manda a uno de sus empleados a realizar el conteo de estos. Al regresar el empleado dice a José: “Contando todas las cabezas de los animales usted tiene 60; pero si cuenta las patas el resultado es de 188”. ¿Cuántos Conejos y cuántas gallinas tiene José en su finca? Solución: 1. Comprender el problema: Interpretación: José es propietario de unos conejos y de unas gallinas, al mandar a un empleado a contar la cantidad de Conejos y gallinas éste le responde: “Contando todas las cabezas de los animales usted tiene 60; pero si cuenta las patas el resultado es de 188”. ¿Cuántos Conejos y cuántas gallinas tiene José en su finca? Datos conocidos:  Número de cabezas: 60  Número de patas: 188 Datos desconocidos:  Número de conejos y gallinas 2. Desarrollar un plan. Estrategia: resolver una ecuación Descripción: Se aplicará la estrategia de resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, para ello debe asignarse variables así: Sea 𝑥 = 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑒𝑗𝑜𝑠 𝑦 = 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑔𝑎𝑙𝑙𝑖𝑛𝑎𝑠 3. Ejecutar el plan: Se deben plantear dos ecuaciones teniendo en cuenta los datos conocidos así: 𝑥 + 𝑦 = 60 (1) (𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑎𝑏𝑒𝑧𝑎𝑠) { 4𝑥 + 2𝑦 = 188 (2)( 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑝𝑎𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑒𝑗𝑜𝑠 𝑦 𝑝𝑎𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑔𝑎𝑙𝑙𝑖𝑛𝑎𝑠) La solución del sistema se realiza aplicando el método de reducción: 𝑥 + 𝑦 = 60 . (−2) { Luego: −2𝑥 − 2𝑦 = −120 4𝑥 + 2𝑦 = 180 . ( 1) 4𝑥 + 2𝑦 = 188 ____________________ 2𝑥 = 68 60 Por lo tanto 𝑥 = 2 = 34 𝑐𝑜𝑛𝑒𝑗𝑜𝑠. Sustituyendo: 𝑥 = 34 en (1) se tiene: Departamento de Estudios Generales e Idiomas RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Página 26 de 138

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34 + 𝑦 = 60. Entonces: 𝑦 = 60 − 34 = 26. Respuesta: hay 34 conejos y 26 gallinas. 4. Comprobación: Se realiza reemplazando los valores obtenidos en la ecuación (1) y (2): 𝑥 + 𝑦 = 60 34 + 26 = 60

1.14. USAR LAS PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS U OPERACIONES MATEMÁTICAS Entender la naturaleza intrínseca de los números a menudo es útil en la solución de problemas. Para resolver problemas donde intervienen cálculos numéricos u operaciones matemáticas, es importante establecer las relaciones que existen entre los datos suministrados. Ejemplo: Cristina desea remodelar la sala de su casa que tiene 7, 8 m de largo por 3 m de ancho, con baldosas cuadradas lo más grande posibles. ¿Cuánto debe medir el lado de cada baldosa si al colocarlas se desea que no se rompa ninguna? Solución: 1. Comprender el problema: Interpretación: La sala de Cristina va a ser remodelada, tiene dimensiones de 7, 8 m de largo por 3 m de ancho, con baldosas cuadradas lo más grande posibles. ¿Cuál debe ser la longitud del lado de cada baldosas para que al colocarlas no se rompa. Datos conocidos:  El largo de la sala 7, 8 m y el ancho de 3 m. Dato desconocido:  Longitud del lado de la baldosa cuadrada 2. Desarrollar un plan: Estrategia: uso de las propiedades de los números. Descripción: Para efectuar los cálculos, se expresará el largo y el ancho en centímetros, es decir, 7, 8 m = 780 cm y 3 m = 300 cm. Para determinar la medida del lado de la baldosa de tal manera que al colocarlas no se rompa ninguna, se requiere establecer un número exacto de veces en 780 cm y 300 cm, por lo tanto se debe buscar números que dividan exactamente a la vez ambos números, es decir, divisores comunes. Como la baldosas debe ser lo más grande posible, se debe elegir el mayor de los divisores comunes que corresponde al máximo común divisor de 780 y 300. 3. Ejecutar el plan: En consecuencia: Departamento de Estudios Generales e Idiomas RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

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780 300 2 390 150 2 195 75 3 65 25 5 13 5

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Respuesta: el lado de la baldosa debe medir 60 cm

4. Comprobar: Si divide cada dimensión, largo y ancho, por el número hallado dará un valor exacto lo cual indica que ninguna baldosa se romperá al ser instalada.

1.15. EJERCICIOS PROPUESTOS Resuelve cada uno de los ejercicios utilizando el mayor número de estrategias para la solución de problemas 1. Cuatro patinadores participan en un torneo, razón por la cual compiten en una pista circular recorriéndola totalmente en 8, 10, 12 y 15 segundos, respectivamente. Si parten juntos, ¿en cuántos minutos se encontrarán en la partida? 2. Un ratoncito sale de su hueco hacia el hueco de su ratoncita dando saltos de 11cm.Luego regresa dando saltos de 7cm; pero habiendo recorrido en total 1,23m.se detiene a descansar ¿Cuánto le falta aún por recorrer? 3. Álvaro, Juan, Daniela y Laura son estudiantes antiguos de la universidad del Magdalena. Al inicial semestre desean liquidar su matrícula para el año 2013, sabiendo que ésta puede realizarse con base en el acuerdo superior 024 del 23 de junio del 2009, el cual establece que el valor de la matrícula se determina mediante la fórmula:

PROGRAMA ACADÉMICO

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FACTOR ESTRATO SOCIO-ECONÓMICO

El Colegio de procedencia se estimará de la siguiente manera:

NÚMEROS DE CRÉDITOS ACADÉMICOS Departamento de Estudios Generales e Idiomas RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

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Si se sabe que: Álvaro pertenece al programa de medicina, procede de colegio privado y la pensión de escolaridad en el grado 10 era de $300.000 y en el grado 11 de $ 350.000 y de estrato 5. Daniela pertenece al programa de derecho, de colegio privado y la pensión en el grado 10 era de $225.000 y en grado 11 de $240.000 y de estrato 4. Mientras que Juan y Laura provienen de colegios oficiales de estratos 2 y 3 respectivamente y de los programas de Ingeniería Civil y Antropología ¿Cuánto dinero debe cancelar cada estudiante al inicio del semestre? Selecciona un estudiante del programa de Ingeniería Ambiental, Negocios Internacionales y Economía y realiza la respectiva liquidación teniendo en cuenta: a. El acuerdo 024 b. El acuerdo 017 Para ello considera que: a. Pertenece al estrato 3 b. Proviene de institución educativa de carácter oficial (No privado) Establece semejanzas y diferencias entre ambas liquidaciones. ¿Dónde la liquidación es mayor? ¿Dónde es menor? ¿Por qué? Realiza tu propia liquidación con el acuerdo 017. 4. Andrea desea azar en una parrilla tres arepas. En la parrilla caben dos arepas a la vez, pero solo se puede azar por un lado. Se tarda 30 segundos en asar una cara de una arepa, 5 segundos en colocar una arepa, o en sacarla y tres segundos en darle la vuelta. ¿Cuál es el mínimo de tiempo que se necesita para asar las tres arepas por ambas caras? 5. En las inmediaciones de la isla de Salamanca hubo un derrame de aceite de palma. Tal hecho ha ocasionado la muerte de muchas especies que allí habitan. Se cree que se derramaron parte de los 1, 5 millones de galones de aceite. Los 1, 5 millones de galones de aceite caben en 125 carro tanques. ¿Cuál es la cantidad de aceite contenida en cada carro tanques? 6. Camilo tiene una caja de chocolates y desea compartirla con sus mejores amigos. A Cristina regala la mitad de sus chocolates más uno, a José la mitad de los chocolates que le quedaron más uno y a Carlos la mitad de los que le quedaban más uno. Si a Camilo aún le queda un chocolate, ¿cuántos chocolates tenía la caja al inicio? Departamento de Estudios Generales e Idiomas RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

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7. Muchos ceros. ¿En cuántos ceros termina el número100! =100x99x98x....x4x3x2x1? Nota: Como el resultado de 100! , es un número muy grande, intenta primero resolver el problema análogo para 10!= 10x9x8x7x6x5x4x3x2x1 8. Lucía viajó 125 millas en dos días. El segundo día viajó 23 millas más que el primero. ¿Cuántas millas viajó cada día? 9. Sumar quince: Nueve fichas numeradas del 1 al 9, se ponen sobre la mesa. Juegan dos jugadores. Cada uno coge una ficha por turno. Gana el primero que sume 15. Intenta elaborar dos estrategias que puedan conducir a la victoria: una para usarla si eres tú el primero en comenzar y otra si te toca en segundo lugar. 10. Discos: Se tienen dos discos circulares. En la cara superior de cada uno de ellos hay escrito un número. En la otra cara tiene escrito otro número. Si lanzamos los dos discos al aire y sumamos los dos números, podemos obtener estos resultados: 11, 12, 16 y 17. Investiga qué números están escritos en la cara oculta de cada disco. Prueba ahora con estos tres discos sabiendo que los resultados que se obtienen son : 15, 16, 17, 19, 20, 21, 22, 23. 6

7

8

¿Y si los resultados obtenidos fuesen 12, 13, 15, 16, 17, 18, 20,21, qué números estarían escritos en la cara oculta de cada disco? 11. Un cajero contó 248 billetes. Solo tiene billetes de $20.000 y $ 5.000 y en total hay $ 2 215 000. ¿Cuántos billetes de $20.000 y de $ 5.000 hay? 12. Canelo es un asno glotón. Su dueño lo ha atado con una cuerda de 15 m de largo en el centro de un prado de forma cuadrada de 30 m de lado. Calcula la superficie de la parte del prado en la que no puede comer Canelo porque se lo impide la cuerda. 13. Luís pesa menos que Antonio, pero más que Pablo. Pablo pesa menos que Luís, pero más que Esteban. ¿Quién pesa más y quién le sigue en este orden? 14. Llegan 9 personas a un baile y cada una le da un apretón de manos a la otra. ¿Cuántos apretones de manos se dan en total? 15. La edad de un padre y la de su hijo suman 47 años. Si dentro de 14 años el padre tendrá el duplo de la edad del hijo, ¿cuál es la edad del padre?

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16. Julia tiene un carro pequeño que le rinde 30 kilómetros por galón en el pueblo, y 36 kilómetros por galón en el expreso. El tanque de su carro tiene capacidad de 15 galones, la gasolina regular cuesta a $ 0.28 el litro y la premiun a $ 0.32 el litro. ¿Cuánto le costará llenar el tanque de su auto con gasolina regular? (ayuda: 1 galón es aproximadamente equivalente a 1 galón = 3,7854118 litros). 17. La señora Martínez desea sembrar amapolas en el patio de su casa de modo que formen una verja recta. La distancia que desea cubrir mide 30 pies. El jardinero le indica que estas flores deben sembrarse a 2 pies de distancia entre ellas. ¿cuántas debe comprar para cubrir la verja de extremo a extremo si desea sembrar la primera amapola en uno de los extremos? 18. En el salón de historia están estudiando las banderas de los países de las Américas. Cada día estudian algunas y aprovechan para estudiar la topografía del país. El quinto día estudiaron 2 países más que el cuarto día. El cuarto día estudiaron tres países menos que el tercer día. El tercer día estudiaron la misma cantidad de países que estudiaron el segundo día. El segundo día estudiaron cuatro países. El primer día estudiaron un país menos que en segundo día. ¿Cuántos países estudiaron en total? 19. En un edificio de 4 pisos vive la familia Sánchez, Arteaga, Martínez y Castro. La familia Sánchez vive entre las familias Arteaga y Castro. La familia Sánchez vive dos pisos más arriba que la familia Martínez. Las familias viven en pisos diferentes. ¿En qué piso vive la familia Martínez? 20. Guillermo va al casino semanalmente. La primera semana triplicó su dinero, pero luego perdió $ 12.000. A la semana siguiente llevó el dinero que le sobraba, lo duplicó, pero después perdió $ 40.000. Habiendo guardado el dinero que le quedó, la semana siguiente lo intentó una vez más y cuadruplicó su dinero, con tanta suerte que no perdió nada y pudo regresar a casa con el total, que ascendía a $ 224.000. ¿Con cuánto dinero comenzó en la primera semana? 21. El sueldo anual de Miguel ha aumentado la misma cantidad en los últimos años. Su sueldo era de $18 000 anuales el primer año de trabajo. Si el séptimo año ganaba $24000. ¿Cuántos años lleva en el trabajo si ahora gana $30 000 anuales? 22. Las agendas para el próximo año escolar están en oferta. Los precios son independientes del color, pero dependen del tamaño. Si compras entre una o tres agendas del tamaño regular, cuestan $47 cada una. Si compras entre 4 y 24 de las mismas, cuestan $39.75 cada una. La agenda de bolsillo tiene los siguientes precios, entre una y tres cuestan $16.95, entre 4 y 24 cuestan $13.50. Para el día del ejecutivo, el presidente de JOTA MATEMAT decide comprar estas agendas para sus empleados. Si compra diez agendas de bolsillo color marrón y dos agendas negras de tamaño regular. ¿cuánto se ahorró? Departamento de Estudios Generales e Idiomas RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

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1.16. BIBLIOGRAFIA  CAMPISTROUS, L., RIZO, C. “Aprende a resolver problemas aritméticos” (1996) Editorial Pueblo y Educación.  RODRIGUEZ, J., CARABALLO, A., CRUZ, T., HERNANDEZ, O. “Razonamiento Matemático, Fundamentos y Aplicaciones”. (1997). International Thomson Editores.  SANTOS TRIGO, L. “La Resolución de Problemas Matemáticos Fundamentos Cognitivos”. (2007). Editorial Trillas.

1.17. WEBGRAFÍA:   

http://www2.minedu.gob.pe/digesutp/formacioninicial/wpdescargas/educacionprimaria/didactica_mat/04_resolucion_de_problemas.pdf http://www.educarchile.cl/Portal.herramientas/nuestros_sitios/7mm/sitio/respuesta3.htm http://www.planetamatematico.com/index.php?option=com_content&task=view&id=52&Itemid=7 4&limit=1&limitstart=3

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2 CONJUNTO Y NÚMEROS REALES 2.1. OBJETIVOS:   

Comprender claramente el concepto y las formas de representación de conjunto, desarrollar ejercicios y problemas utilizando las operaciones y cardinalidad. Desarrollar habilidades en el cálculo y aplicación de las operaciones y propiedades en los números Reales. Utilizar el modelo de Polya en la solución de situaciones problemas que requieren de la aplicación de las propiedades de las operaciones en los diferentes conjuntos numéricos.

2.2. COMPETENCIAS:    

Capacidad para formular, plantear, transformar y resolver problemas matemáticos. Capacidad comunicativa en lenguaje matemático. Capacidad para movilizar los conceptos básicos matemáticos: aritméticos, geométricos, métrico, variacional, de análisis matemático, estadístico y financiero en diferentes situaciones y problemas de tipo matemático. Capacidad para representar objetos matemáticos en diferentes registros o sistemas de notación para crear, expresar y representar ideas matemáticas.

2.3. DESARROLLO TEMÁTICO. 2.3.1. ¿QUÉ ES UN CONJUNTO? Al querer agrupar diferentes objetos como: personas, animales, autos, mesas, casas, ideas, creencias, lenguajes, letras, números, etc. Debemos tener presente una o varias características en común, al hacer la selección o al agrupar cualquier tipo de objeto por algún tipo de característica estamos formando un conjunto. Veamos un ejemplo de agrupar de como agrupar elementos:

En conclusión podemos decir que un conjunto es: una agrupación de elementos con una o más características en común. Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONJUNTO Y NÚMEROS REALES

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Intuitivamente, un conjunto es una colección o clase de objetos bien definidos, dotados de una propiedad que permita decidir (sin ninguna ambigüedad posible), si un objeto cualquiera forma parte o no de la colección. Consideremos, por ejemplo, los siguientes conjuntos: 1.- Las vocales: a, e, i, o, u. 2.- Los números enteros pares positivos: 2, 4, 6, .... 3.- Los siete enanitos de Blanca nieves. 4.- Los equipos chilenos de fútbol profesional participantes en el actual campeonato nacional. 5.- Las señoritas de nuestro curso de Matemáticas. Los objetos que forman un conjunto se llaman elementos del conjunto, y la relación entre un elemento y un conjunto es la de pertenencia. Se escribe x ∈ A y se lee “(el objeto) x pertenece a (el conjunto) A” Habitualmente los conjuntos se designan por una letra mayúscula y los elementos del conjunto por una letra minúscula y entre paréntesis de llave. 2.3.2. CLASIFICACIÓN DE CONJUNTOS EXTENSIÓN cuando se describen exhaustivamente (es decir, nombrando a todos y cada uno de sus elementos, que, en tal caso, se escribirían entre llaves) Ejemplo: A= {Pedro, Juan, Luis, Manuel} B= {a, e, i, o, u} C= {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo} COMPRENSIÓN: Cuando se indican las características de los elementos del conjunto o función proposicional p(x) que satisfagan todos los elementos x del conjunto definido y sólo ellos, dentro de un universo contextual ó relativo U”. Ejemplo: B = {números pares} C = {números enteros positivos menores de 10} D = {x/x, son las vocales} E = {y/y, son los días de la semana} CONJUNTO VACÍO: Es aquel conjunto que no tiene ningún elemento. Se representa por el símbolo ∅ o { } Ejemplos: el conjunto B = {números impares entre 5 y 7} es un conjunto vacío ya

que no existen ningún numero entre 5 y 7. SUBCONJUNTO: Se dice que un conjunto A es subconjunto de un conjunto B, o bien que A está incluido en B si y sólo si cada elemento que pertenece a A pertenece también a B. A está incluido en B y se anota A  B. Expresado de otra forma: A  B = {x / x  A  x  B} Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONJUNTO Y NÚMEROS REALES

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Ejemplo: si A = {1, 3, 5} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} entonces A  B. Si A no es subconjunto de B se escribe A  B. CONJUNTO UNIVERSAL: Es aquel conjunto del que son subconjunto toda una familia de conjuntos. Se denota con la letra U Ejemplos: Sean los conjuntos A = {tigres} B = {anfibios} C = {aves} D = {peces} Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos A, B, C y D y es conjunto de todos los animales U = {animales} por lo tanto este sería el conjunto universal. CONJUNTOS DISJUNTOS: Son aquellos conjuntos que no tienen ningún elemento en común. Por ejemplo: E = {1, 3, 5} y G = {2, 4, 6} son conjuntos disjuntos. 2.3.3. DIAGRAMAS DE VENN EULER Es la forma sencilla e instructiva para poder representar los conjuntos y las relaciones que se producen entre ellos. En ellos se representan habitualmente los conjuntos por un área plana, por lo general delimitada por un círculo. A= { a, b, c, d, e}

B = {b, c, d} B  A

2.3.4. OPERACIONES CON CONJUNTOS UNIÓN: La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos., y se representa por A ∪ B A ∪ B = {x / x ∈ A ∨ x ∈ B} Ejemplo: Sean los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = {3, 4, 5, 6}, entonces la unión entre A y B A ∪ B= {1, 2, 3, 4, 5, 6} y su se representa gráficamente por el diagrama de Venn

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INTERSECCIÓN: La intersección de dos conjuntos A y B (A  B) es el conjunto de todos los elementos comunes a A y a B al mismo tiempo. A ∩ B = {x: x ∈ A ∧ x ∈ B} Ejemplo: Si tomamos los mismos conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = {3, 4, 5, 6}, entonces la Intersección de A y B es A  B = {3, 4} y se representa gráficamente mediante el diagrama de Venn

DIFERENCIA: La diferencia entre los conjuntos A y B (A – B) o (A \ B) es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A pero no pertenecen a B A  B = A \ B = {x / x ∈ A ∧ x  B} Ejemplo: Utilizando los conjuntos A = { 1, 2, 3, 4 } y B = {3, 4, 5, 6} entonces la diferencia de A y B es A - B = { 1, 2 } y se representa gráficamente mediante el diagrama de Venn

COMPLEMENTO: El complemento de un conjunto A es el conjunto de todos los elementos que no pertenecen a A, pero sí pertenecen al Universo. En otras palabras es la diferencia entre el conjunto Universo y el conjunto A. Se representa por A’ = A c y es igual a U – A. Representado en un diagrama de Venn, se tiene:

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DIFERENCIA SIMÉTRICA: Es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B pero no a ambos. A  B = ( A  B ) ∪ ( B  A ) = ( A ∪ B )  ( A ∩ B)

REPRESENTACIÓN DE ALGUNAS OPERACIONES: (Escriba la operación)

2.3.5. NÚMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO Si A es un conjunto, se denota con n(A) el número de elementos de A. Sea V = {x/x es vocal} ; n(V) = 5. Sea P = {x/x es # primo par} ; n(P) = 1. Sea N = {x/x es divisor de 5} ; n(N) = 2. Entonces podemos analizar dos casos: Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONJUNTO Y NÚMEROS REALES

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A) Si se dan conjuntos A y B disjuntos, es decir, A  B = , entonces el número de elementos en la unión de A y B es igual a la suma del número de elementos de A y el número de elementos de B. Luego: Si A  B =  entonces n(A U B) = n(A) + n(B). Ejemplo: Sea A = {a, b, c, d} y B = {m, n, o, p, q} entonces: n(A) = 4 ; n(B) = 5 ; AB= A U B = {a, b, c, d, m, n, o, p, q} n(A U B) = n(A) + n(B) = 4 +5 = 9. B) Si se dan dos conjuntos A y B tales que A  B  , es decir, no son disjuntos. Se puede obtener el número de elementos de A U B de la siguiente forma: n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A  B) (*) Ejemplo. Sean A = {x/ -3 < x < 4, x  Z} y B = {x/ 2  x  6, x  Z} Entonces: n(A) = 6 ; n(B) = 5 y A  B = {2, 3} n(A  B) = 2 A U B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}; n(A U B) = 9. Aplicando (*) tenemos: como A  B   n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A  B) Si A  B =  entonces n(A  B) = 0, puede entonces generalizarse: n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A  B) Nota: Es posible derivar fórmulas para el número de elementos de un conjunto formado por la unión de más de dos conjuntos. Para tres conjuntos: n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(AB) – n(AC) – n(BC) + n(ABC) 2.3.6. EJEMPLOS DE PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LAS OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Ejemplo 1: Un alumno de la facultad, efectúa una encuesta sobre un grupo de 100 estudiantes, acerca de los hábitos de estudio en la Biblioteca de Ingeniería y aporta los siguientes datos:  Estudian trigonometría: 40  Estudian álgebra: 55  Estudian geometría: 55  Estudian trigonometría y álgebra: 15  Estudian trigonometría y geometría: 20  Estudian álgebra y geometría: 30  Estudian las tres materias: 10  No van a la biblioteca: 5 ¿Puede asegurarse que la encuesta realizada es correcta? Desarrollo: Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONJUNTO Y NÚMEROS REALES

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Primer paso. Comprender el problema. El problema trata de una situación en la cual nos dan los resultados de una encuesta sobre los hábitos de estudio de 100 estudiantes, en una biblioteca. Debemos averiguar si la encuesta realizada es correcta. Es decir si existe coherencia en los resultados. Paso2. Configurar un plan. Resolveremos el problema por medio de dos estrategias para resolver el problema: Elaborar una gráfica y emplear una fórmula. Observación: Para desarrollar esta clase de ejercicios se recomienda: A) “Dibujar” el diagrama de Venn y ubicar los datos dados. B) Se debe iniciar por aquel que puede señalarse con certeza. C) Una vez que el diagrama se completa, se puede leer el número de estudiantes que estudia cualquier combinación de materias. Paso3. Desarrollar el plan Elaboramos la gráfica del problema: Comenzamos por el final: No van a la biblioteca 5 y estudian las tres materias 10:

Estudian Algebra y Geometría 30, pero como ya hay 10 en la zona de intersección de algebra y geometría, entonces colocamos 20

Estudian trigonometría y Geometría 20, pero como ya hay 10 en esa zona de intersección, entonces colocamos 10

15 estudian trigonometría y Algebra. Pero como ya hay 10 en esa zona, solo colocamos 5

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55 estudian Geometría, pero como en ese conjunto ya hay 40, colocamos solo 15

Hacemos lo mismo hasta completar 55 de Algebra y 40 de geometría

Observamos que hay 95 estudiantes que asisten a la biblioteca a estudiar alguna asignatura y 5 estudiantes que no asisten a biblioteca. Por lo tanto la encuesta está bien realizada. Analíticamente: empleamos la fórmula: n(T U A U G) = n(T) + n(A) + n(G) – n(TA) – n(TG) – n(GA) + n(TAG) n(T U A U G) = 40 + 55 + 55 - 15 - 20 - 30 + 10 = 95 95 Estudiantes que asisten a la biblioteca. 100 – 95 = 5 Estudiantes que no asisten a la biblioteca. Por lo tanto la encuesta está bien realizada.

2.4. CONJUNTOS NUMÉRICOS 2.4.1. NÚMEROS REALES El conjunto de los números reales R es el conjunto que obtenemos entre la unión de los conjuntos Racionales Q e Irracionales I. Como ya es de tu conocimiento, en los números racionales Q están ya incluidos los naturales N y los enteros Z, entonces basta decir que: R=QUI En la siguiente figura puedes observar gráficamente este hecho: Q Z R=

+ N

I

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Las siguientes ilustraciones nos muestran algunos aspectos de estos conjuntos numéricos que conforman a los reales:

Cada punto de la recta representa un número racional o un número irracional; los números reales pueden ser positivos o negativos, además, no tienen ni un primer ni un último elemento. Algunas características de los números reales son: El conjunto de los números naturales: N N = {1, 2, 3, 4, …, 10, 11, 12, …} El conjunto de los números enteros: Z Z = {…, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, …} El conjunto de los números racionales: Q = { a/b : a, b 𝜖Z} Q Propiedad: todo número racional es 10 = −2 entero, decimal exacto o decimal −5 13 = 1,625 ( decimal exacto) periódico (puro o mixto) 8 −14 Importante: debes recordar de cursos = −1,555 … −9

anteriores cómo se expresa un decimal

19

12

= 1,58333 …

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exacto, periódico puro periódico mixto en forma de fracción. Por ejemplo: 165−1

164

1,65 = 99 = 99 Representación gráfica de fraccionarios

3

3

8

6

El conjunto de los números irracionales 1,2345678910111213141516171819202122… I: está formado por todos aquellos √2 = 1,4142136… números reales que no son racionales. pi = 3,14155927… Tienen infinitas cifras decimales pero no forman período. Ejemplo1. Un byte consta de 8 bits y representa un carácter (letra o dígito). Si 210 bytes son un kilobyte (1kB), 210 kilobytes son un Megabyte (1MB), ¿Cuántos caracteres puede almacenarse en una memoria de 500 MB? Solución. 1. Comprender el problema. El problema nos informa que 1 byte representa a un caracter además que 1KB equivale a 210 B y que 1MB corresponde a 210 kB. Además nos pide hallar cuántos caracteres se pueden almacenar en una memoria de 500 MB. 2. Configurar un plan. Utilizaremos la estrategia de Razonamiento directo para resolver el problema. 3. Ejecutar el plan. Como 1 kB equivale a 210 B y 1MB equivale a 210 kB, entonces tenemos que 1MB es 210 veces 210 Bytes, es decir: 1MB = 210x210 Bytes = 220 Bytes = 1.048.576 Bytes Por lo tanto 500 MB equivalen aproximadamente a: 500 MB = 500x(1.048.576 Bytes) = 524.288.000 Bytes Ahora como cada byte representa a un carácter, en la memoria de 500 MB caben aproximadamente 524.288.000 caracteres. /R

Ejemplo2 ¿Qué volumen ocupa el átomo de oxígeno, si se considera como una esfera, teniendo en cuenta que su radio es aproximadamente 6 x 10-6 mm.?

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Solución. Primer paso. Entender el problema. Tenemos la siguiente información: El radio del átomo de Oxígeno: 6·10-6 mm Segundo paso. Configurar un plan. Utilizaremos la estrategia de Emplear una fórmula para resolver el problema. La fórmula que utilizaremos es la del volumen de una esfera, la cual es: 4 𝑉 = 3 𝜋. 𝑟 3 V: volumen de la esfera: r: radio de la esfera Tercer paso. Ejecutar el plan. Remplazamos los valores en la fórmula respectiva: V = 4/3. (3,14)(6 x 10-6 mm)3 = 904,78·10-18 mm = 9,0478·10-16 mm Respuesta: el volumen del átomo de oxígeno es de 9,0478·10-16 mm 2.4.2. OPERACIONES CON NÚMEROS REALES. Nota: Se pide al estudiante que repase las operaciones y propiedades con números enteros,

racionales, e Irracionales. Así como los conceptos y aplicación de Mínimo Común Múltiplo, Máximo Común divisor y Notación científica. Operaciones con fracciones. Si

𝑎 𝑏

𝑦

𝑐 𝑑

son números racionales entonces:

Suma de Fracciones con el mismo denominador

𝑎

Sustracción de Fracciones con el mismo denominador

𝑎 𝑐 𝑎−𝑐 − = 𝑏 𝑏 𝑏 𝑎 𝑐 𝑎. 𝑑 + 𝑏. 𝑐 + = 𝑏 𝑑 𝑏. 𝑑 𝑎 𝑐 𝑎. 𝑑 − 𝑏. 𝑐 − = 𝑏 𝑑 𝑏. 𝑑 𝑎 𝑐 𝑎. 𝑐 × = 𝑏 𝑑 𝑏. 𝑑 𝑎 𝑐 𝑎 𝑑 𝑎. 𝑑 ÷ = × = 𝑏 𝑑 𝑏 𝑐 𝑏. 𝑐 𝑎 𝑛 𝑎𝑛 ( ) = 𝑛 𝑏 𝑏

Suma de Fracciones de diferentes denominadores Sustracción de Fracciones de diferentes denominadores Multiplicación de Fracciones División de Fracciones Potenciación de Fracciones

𝑏

𝑐

+𝑏 =

𝑎+𝑐 𝑏

Si dividimos un objeto o unidad en varias partes iguales, a cada una de ellas, o a un grupo de esas partes, se las denomina fracción. Las fracciones están formadas por dos números: el numerador y el denominador. Una fracción es un número escrito en la forma a/b, de tal modo que b no sea igual a cero. Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONJUNTO Y NÚMEROS REALES

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Recuerda que todo número que se puede escribir de la forma a/b se llama número racional. El numerador es el número que está sobre la barra de fracción; en este caso, la a. El denominador es el número que está debajo de la barra de fracción, o sea, la b. El denominador es el número de partes en que está dividido el entero, el conjunto o grupo. En matemáticas, una fracción o quebrado es la expresión de una cantidad dividida entre otra.

Diversas fracciones pueden tener el mismo valor (llamadas fracciones equivalentes), y el conjunto de todas las fracciones equivalentes se denomina, en sentido estricto, número racional. A la parte superior de una fracción se le denomina Numerador y la parte inferior Denominador. Cuando el valor del numerador es menor que el denominador, se dice que tenemos una Fracción Propia, y cuando el valor del numerador es mayor que el denominador, se le llama Fracción Impropia. 2.4.3. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR Mínimo Común Múltiplo El mínimo común múltiplo (M.C.M), entre dos o más números reales es el número más pequeño entre todos los múltiplos que tengan en común. Por ejemplo, para determinar el M.C.M entre 4 y 6 veamos los conjuntos de sus múltiplos. Múltiplos de 4 = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, . . .} Múltiplos de 6 = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, . . .} Y la intersección entre ´estos dos conjuntos es = {12, 24, 36, 48,. . .} Luego, como el mínimo de ´este ´ultimo conjunto es 12, entonces el M.C.M. entre 4 y 6 es 12. Otra forma de determinar el M.C.M. es con la siguiente tabla: 4 6 ÷2 2 3 ÷2 1 3 ÷3 1 Donde se va dividiendo a los números hasta obtener el 1 para ambos, luego el M.C.M. será la multiplicación entre los divisores usados. Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONJUNTO Y NÚMEROS REALES Página 45 de 138

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De manera que obtenemos: 2 · 2 · 3 = 12 Máximo Común Divisor Cuando nos referimos al divisor de un número real estamos hablando de un número que divide exactamente (sin dejar resto) al número en cuestión. El máximo común divisor (M.C.D) entre dos o más números reales es el divisor más grande que tienen en común. Por ejemplo, busquemos el máximo común divisor entre 16 y 40, para ello necesitamos conocer los conjuntos de sus respectivos divisores. Divisores de 16 = {1, 2, 4, 8, 16} Divisores de 40 = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40} Y la intersección entre ´estos dos conjuntos es = {1, 2, 4,8} Por lo tanto el M.C.D. entre 16 y 40, es 8. Otra manera de hallarlo es la siguiente: 16 40 2 8 20 2 M.C.D(16, 40) = 2x2x2 = 23 = 8 4 10 2 2 5 Observa que. . . El mínimo común múltiplo y el máximo común divisor entre dos o más números enteros siempre existen, ya que en el peor de los casos el M.C.M será la multiplicación entre ellos, y el M.C.D. será el 1.

Ejemplo3. Yon va a Barranquilla cada 18 días, Wilson va a Barranquilla cada 15 días y María va a Barranquilla cada 8 días. Hoy día 10 de enero han coincidido en Barranquilla los tres viajantes. ¿Dentro de cuántos días como mínimo volverán a coincidir en Barranquilla?

SOLUCIÓN 1. Entender el problema. El problema nos pregunta por el tiempo mínimo en que vuelven a encontrarse 3 viajeros en Barranquilla, sabiendo que el primero viaja cada 18 días, el segundo cada 15 días y el tercero cada 8 días.

2. Configurar un plan. La estrategia elegida es la de razonamiento directo. En la que hallaremos el mínimo común múltiplo de 18, 15 y 8. 3. Ejecutar el plan.

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El número de días que han de transcurrir como mínimo para que los tres viajantes vuelvan a coincidir en Barranquilla tiene que ser un múltiplo de 18, de 15 y de 8, y además tiene que ser el menor múltiplo común; luego hay que calcular el m.c.m. (18,15, 8). Descomponiendo los números en sus factores 18 15 8 2 9 15 4 2 9 15 2 2 m.c.m. = 23x32x5= 360 9 15 1 3 3 5 1 3 1 5 1 5 1 1 1 Otra forma Tenemos que: 18 = 2 x 32 15 = 3 x 5 8 = 23 Por lo tanto el m.c.m. de 18, 15 y 8 es

m.c.m. (18, 15, 8) = 23 x 32 x 5 = 360

Luego Los tres viajeros volverán a coincidir en Barranquilla dentro de 360 días. (RESPUESTA) Ejemplo3. En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas capacidades son: 250 litros, 360 litros, y 540 litros. Su contenido se quiere envasar en cierto número de garrafas iguales. Calcular las capacidades máximas de estas garrafas para que en ellas se puedan envasar el vino contenido en cada uno de los toneles, y el número de garrafas que se necesitan. 1. Entender el problema. El problema nos informa que se tienen 3 toneles de vino así: Cantidad de litros de vino del primer tonel = 250 Cantidad de litros del segundo tonel = 360 Cantidad de litros del primer tonel = 540 Se nos pide hallar: el número de garrafas de igual capacidad necesarias para envasar todo el vino, y la capacidad máxima de ellas. 2. Configurar un plan. Elegimos la estrategia de razonamiento directo. 3. Ejecutar el Plan. Para poder envasar la cantidad total de vino en forma exacta en garrafas de igual capacidad, esta debe ser un número divisor de 250, 360 y 540; y además debe ser el Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONJUNTO Y NÚMEROS REALES

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máximo. Por lo tanto hallamos el máximo común divisor de estos números. M.C.D (250, 360, 540). 250 125 25

360 180 36

540 2 270 5 54

M.C.D (250, 360, 540) = 2x5 = 10

Por lo tanto la Capacidad de las garrafas = 10 litros Número de garrafas de T 1 = 250 / 10 = 25 Número de garrafas de T 2 = 360 / 10 = 36 Número de garrafas de T 3 = 540 / 10 = 54 Número total de garrafas = 25 + 36 + 54 = 115 garrafas. Respuesta: se necesitan 115 garrafas de 10 litros de capacidad. 2.4.4. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE OPERACIONES CON RACIONALES: Multiplicación. Martina va a una fiesta de cumpleaños y allá le dan una cuarta parte de la torta, para que la reparta en su casa entre sus tres hermanos. El resto de la torta, la reparten en partes iguales entre las 9 personas presentes en la fiesta. Martina se preguntaba, al cortar en 3 partes iguales el pedazo de torta que le regalaron para sus hermanos, si el pedazo que ella comió sería más grande o más pequeño que el que comerían sus hermanos. ¿Podría Martina tener una respuesta a esa pregunta? Primero se verá cuánto le tocará comer a cada hermano: Cada uno comerá una tercera parte del pedazo que ella trajo a casa, que es un cuarto del total. Por lo tanto, comerán la siguiente fracción de la torta completa:

Comerán 1/12, es decir la doceava parte de la torta. De las tres cuartas partes que quedaron para los que estaban en la fiesta, Martina se comió una novena parte, es decir, la fracción de la torta completa que ella comió, fue:

En conclusión, Martina comió la misma porción de torta que sus hermanos (1/12). Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONJUNTO Y NÚMEROS REALES Página 48 de 138

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División. Repartiendo Doña Luisa tiene 3/4 de una pizza grande que quiere compartir, para la cena, con sus tres hijas en partes iguales. ¿Cuántas fracciones de la pizza le tocan a cada una? 3 Para poder responder debemos realizar una división: ÷ 4 4 Recordemos que para dividir tenemos que multiplicar por el inverso. En este caso el inverso de 4 es 1/4, por lo tanto:

A cada una le corresponden tres porciones de las 16 partes en que se dividió la pizza. Ejemplo 4. José Luis gana mensualmente $1.200.000. Gasta 2⁄6 en alimentación y 5⁄8 de lo que le queda en otros gastos. ¿Cuánto dinero puede ahorrar mensualmente? Solución: Paso1. Comprender el problema: El problema plantea una situación en la cual nos informan acerca de los ingresos y gastos de José. La información suministrada es la siguiente: Tenemos un ingreso mensual de $1.200.000 Se tiene un gasto inicial equivalente a los 2/6 del ingreso mensual Un tercer gasto equivalente a los 5/8 de lo que queda Se nos pregunta por la cantidad de dinero que le queda para ahorrarla mensualmente Paso2. Configurar un plan. Para abordar la solución del problema se proponen las estrategias: Razonamiento directo y representación gráfica Paso3. Ejecutar el plan : los datos corresponden del ingreso y los gastos mensuales de José Luis, algunos de los cuales se dan en forma fraccionaria, para que hallemos el saldo o diferencia entre ellos y determinar así la cantidad de dinero que podría ahorrar mensualmente dicha persona, que corresponde a lo que nos pide el problema. Partimos inicialmente de un ingreso mensual de $1.200.000 que representa la unidad. Como el gasto inicial fue de 2/6 del total inicial, entonces lo que queda corresponde a los 4/6 de dicho valor: 1 - 2/6 = 6/6 – 2/6 = 4/6 $1.200.000

2/6

4/6

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$400.000 $800.000 El saldo que le queda hasta ahora a José (S1) sería entonces de: S1 = 4/6.($1.200.000)

= (4x1.2000)/6 = $800.000 =

4/6 5/8 3/8 $800.000 $500.000 $300.000 De estos $ 800.000 que quedan gastó los 5/8, luego le quedan los 3/8 de dicho valor. Luego el saldo final S2 de José Luis es de: O también:

S2 = 3/8.($800.000)

= $300.000

Respuesta / José Luis puede ahorrar mensualmente $300.000 Nota: Según la gráfica también podemos calcular los 3/8 de los 4/6 del ingreso mensual para obtener la respuesta final así: 3/8.[4/6.($1.200.000)] = (3x4x$1.200.00)/(8x6) = 14.400.000/48 = $300.000 Paso 4. Mirar hacia atrás: comprobamos la respuesta, empezando por el final: Si el último gasto G2 fue 5/8 de lo que le quedaba (S1), entonces lo que sobra, $300.000, es los 3/8 de ese saldo (5/8 + 3/8 = 8/8 = 1), luego: 3/8(S1) = $300.000; luego 1/8(S1) = $300.000/3 y 8/8(S1) = (300.000 x 8)/3 = $800.000 S1 = $8000.000 Como inicialmente se gastó los 2/6 de su sueldo (I), lo que le quedó equivale a los 4/6, que corresponde a los $800.000 4/6(I) = $800.000; entonces 1/6(I ) = $800.000/4 y 6/6 (I) = (800.000 x 6)/4 Luego I = 4.800.000/4 = $ 1.200.000 Por lo tanto la respuesta obtenida satisface todas las condiciones del problema.

2.5. PROBLEMAS PROPUESTOS 1. En una encuesta a 200 estudiantes, se halló que: a) 68 se comportan bien. b) 138 son inteligentes. c) 160 son habladores. Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONJUNTO Y NÚMEROS REALES

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MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA d) e) f) g)

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120 son habladores e inteligentes. 20 estudiantes se comportan bien y no son inteligentes. 13 se comportan bien y no son habladores. 15 se comportan bien y son habladores, pero no son inteligentes.

¿Cuántos de los 200 estudiantes entrevistados no se comportan bien, no son habladores y no son inteligentes?. 2. Al final del semestre se hizo una encuesta sobre las materias que más perdieron los estudiantes: Calculo Diferencial, Calculo Integral y Razonamiento Matemático. Siendo la clase de 60 alumnos, se tiene: n(DIR) = 2 n(IR) = 8 n(DR) = 10 n(DI) = 7 n(D) = 25 n(I) = 15 n(R) = 35 Expresar simbólicamente y hallar el número de personas de: a) ¿Cuántos fracasaron exactamente en una prueba? b) ¿Cuántos aprobaron las 3 pruebas? c) ¿Cuántos fracasaron en la 1era y en la 3era, pero no en la segunda? d) ¿Cuántos fracasaron al menos en dos pruebas? e) ¿Cuántos aprobaron al menos una materia? f) ¿Cuántos aprobaron la 2da ó la 3era pero no la 1era? 3. De los 200 estudiantes de nuevo ingreso de una universidad, 98 son mujeres, 60 estudian licenciatura en prescolar y 60 son mujeres que no estudian licenciatura en prescolar. ¿Cuántos hombres no estudian licenciatura en prescolar? 4.

En una universidad se tienen los siguientes datos de 2500 estudiantes: a 750 Ingeniería Industrial; a 1200 Odontología; a 1350 les gusta Medicina; a 250 les Ingeniería Industrial y Odontología; a 550 les gustan Odontología y Medicina; a 300 les gustan Medicina y Ingeniería Industrial; a 100 les gustan Ingeniería Industrial, Odontología y Medicina. Indique a cuántos de estos 2500 estudiantes les gusta: a) sólo una de estas materias b) exactamente dos de estas tres materias c) ninguna de las tres materias d) al menos una materia e) cuando mucho dos de estas tres materias

5. De 250 maestros de una institución educativa se tienen los siguientes datos: 165 son de asignatura; 160 hablan inglés; 110 tienen por lo menos maestría; 85 son de asignatura y hablan inglés; 85 hablan inglés y tienen por lo menos maestría; 40 son de asignatura y Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONJUNTO Y NÚMEROS REALES

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tienen por lo menos maestría; y 5 no tienen ninguna de las características antes mencionadas. Determine cuántos de estos 250 maestros: a) tienen las tres características b) tienen exactamente dos características c) tienen exactamente una de las características 6. Con respecto a los empleados de una empresa se tiene la siguiente información: 170 son hombres, 125 son casados, 5 son mujeres casadas sin profesión, 50 son hombres casados sin profesión, 70 son hombres profesionales solteros, 20 son mujeres profesionales solteras, 20 son hombres profesionales casados y 20 son mujeres solteras sin profesión. Determine cuántos de los empleados son: a) hombres solteros sin profesión b) mujeres profesionales c) casadas profesionales 7. En una encuesta realizada a 60 familias del barrio “El Pando Reservado”, sobre uso de servicios públicos, se obtuvo entre otros los siguientes datos: 25 familias tienen servicio de Energía y Agua, 12 tienen servicio Energía y gas, pero no de Agua, 8 familias tienen los tres servicios, 4 tiene solamente servicio de Agua, 40 familias tienen servicio de Agua y 33 familias tienen servicio de Gas. Halla: a) El número de familias que tienen solamente servicio de Energía b) El número de familias que tienen servicio de agua y gas. 8. En un curso compuesto por 22 estudiantes; 12 estudian Alemán; 11 estudian inglés y 11 francés, 6 estudian alemán e inglés; 7 estudian Inglés y Francés; 5 estudian alemán y francés y 2 estudian los tres idiomas. ¿Cuántos estudiantes estudian sólo inglés? 9. En una encuesta sobre preferencias de los canales de T.V., 7, 9 y 13 se obtuvo la siguiente información: 55 Encuestados ven el canal 7, 15 Sólo ven el canal 7 y el canal 9; 33 Ven el canal 7 y el canal 13, 3 Sólo ven el canal 13, 25 Ven los tres canales, 46 Ven el canal 9, 6 No ven T.V., 2 Sólo ven el canal 13 y el canal 9. Se pregunta: a) La cantidad de personas encuestadas b) La cantidad de personas que ven sólo el Canal 9 10. Al investigar un grupo de 480 estudiantes sobre sus intereses de estudios superiores se obtuvo la siguiente información :  Todos los que querían estudiar Ingeniería Civil , también querían estudiar Ingeniería de Ejecución  Ninguno quería estudiar Ingeniería Civil y Educación Preescolar  10 estudiantes preferían estudiar otras carreras Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONJUNTO Y NÚMEROS REALES

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 60 querían estudiar Educación Preescolar e Ingeniería de Ejecución  440 quieren estudiar Ingeniería de Ejecución  180 quieren estudiar Ingeniería Civil a) ¿Cuántos alumnos desean estudiar solamente Educación de Preescolar? b) ¿Qué porcentaje se interesa por estudiar 2 de las carreras mencionadas? Aplicando las operaciones y propiedades con números reales y teniendo en cuenta los pasos de Polya en la resolución de problemas, resuelve los siguientes ejercicios: 11. Un byte consta de 8 bits y representa un carácter (letra o dígito). Si 210 bytes son un kilobyte (1kB), 210 kilobytes son un Megabyte (1MB) y 210 MB son un Gigabyte (1GB), ¿Cuántos caracteres puede almacenar una memoria de 4 GB? 12. ¿Cuántos litros hay que sacar de un barril que contiene 560 para que quede en él los 6⁄ del contenido? 7 13. En una excursión, Pepe lleva 4 bocadillos y Rafa, 2 bocadillos. Cuando van a empezar a comer llega Javier, que no tiene comida. Reparten los bocadillos entre los tres por igual. Javier, como pago de lo que comió, les da 6 €. ¿Cómo se los deben repartir? 14. Dos puntos A y B se encuentran a 81 cm de distancia. Un tercer punto C se encuentra entre A y B a 16 cm de B. Un saltamontes se desplaza desde A hasta C haciendo saltos. ¿Cuántos saltos hace si cada vez brinca 1/3 de la distancia que lo separa del punto B? 15. En una habitación hay taburetes de tres patas y sillas de cuatro patas. Cuando hay una persona sentada en cada uno de ellos, el número total de patas y piernas es 27. ¿Cuántos asientos hay? 16. Al gastar 4⁄5 de mi capital y después los 4⁄5 de lo que me quedó, tengo aún $200.000 ¿Cuál era mi capital? 17. Un galgo persigue a una liebre. La liebre da saltos de 3 m y el galgo da saltos de 4 m. Si en un momento determinado las huellas del galgo coinciden con las de la liebre, ¿cuántas veces vuelve a ocurrir lo mismo en los siguientes 200 m? 18. En un examen de 20 preguntas, por cada pregunta acertada dan 3 puntos y por cada pregunta fallada equivocada o no contestada) quitan 2. ¿Cuántas preguntas ha acertado y cuántas ha fallado un alumno que ha obtenido un resultado de 15 puntos? 19. El largo de un rectángulo equivale a 3 veces el ancho. Si el perímetro del rectángulo es de 120cm ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo? Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONJUNTO Y NÚMEROS REALES

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20. Un granjero quiere cercar un potrero que tiene forma de triángulo rectángulo. Un cateto mide 50 m y el otro 64 m. Explica por qué el no puede determinar la cantidad exacta de cerca que necesita. 21. Los proteasomas son estructuras dentro de las células que destruyen proteínas. El peso molecular de un proteasoma es aproximadamente 2.52 x 105 veces el peso atómico del oxígeno, el cual es igual a 1.599x10. Determina el peso molecular de un proteasoma. 22. Si el peso molecular de una proteína es aproximadamente 9.398x103 veces el peso atómico del carbono, el cual es 1.2011x 10 encuentra las diferencias entre los pesos moleculares de un proteasoma y una proteína. 23. Tengo $500.00, gasto los 3⁄5 y después los 3⁄4 de lo que me quedó. ¿Cuánto me queda?. 24. Una joven emplea en estudiar la cuarta parte del día, la sexta parte en hace ejercicios, la novena en divertirse y la restante en dormir ¿Qué fracción del día duerme? En los siguientes problemas escoger la respuesta y justificar. 25. Supongamos que dos cometas pasan cerca de la tierra cada 15 y 25 años respectivamente. Si los dos coincidieron en el año 2002, entonces podemos afirmar que el encuentro más próximo ocurrirá en el año: a) 2.017 b. 2.027 c. 2.077 d. 2.375 26. Gabriela el día de su cumpleaños le regalaron una caja de chocolatina. Cuando entra al colegio le regala 1/6 de las chocolatinas a Carmen, un 1/5 del resto a Adriana, a María le da 2/8 de lo que le quedo y por último a Diana le da 1/3 del resto. Si Gabriela aún le queda 8 chocolatinas. A la niña que le dio más chocolatinas es: a) Carmen b. Adriana c. Diana d. María e. Ninguna 27. Una alberca tiene una capacidad de 4.000 litros de agua, al terminar el día lunes solo tenía los 4/5 de la capacidad total y el martes se consumió los 3/8 de lo que tenía el día lunes. La cantidad de agua disponible para el día miércoles es: a) 1.200 litros. b. 2.000 litros c. 1.000 litros d. 500 litros 28. Un fabricante de zapatos puede vender todos los pares de zapatos que produce a un precio de $60 mil cada par. El fabricante tiene costos fijos mensuales de $24 millones. Si el cuero e insumos necesarios para producir cada par le cuesta $20 mil, el menor número de pares que debe producir y vender al mes para obtener utilidades es: a) 300 b. 600 c. 1200 d. 4000 Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONJUNTO Y NÚMEROS REALES

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29. Un comerciante rebaja en un 20% el precio x de cierto producto y, posteriormente, incrementa el nuevo precio en un 20%. Si r denota el monto de la rebaja y a denota el monto del aumento, entonces a. r = a b. r > a c. r < a d. r = 2a 30. Un depósito de agua cuya capacidad es de 425,43 litros se puede llenar por medio de dos llaves. La primera vierte 25,23 litros en 3 minutos y la segunda 31.3 litros en 5 minutos. ¿Cuánto tiempo tardara en llenarse si estando por la mitad se abren las dos llaves simultáneamente? A. 14,5 minutos B. 14,5 segundo C. 14,5 horas D. 14,5 días 31. En un galpón, 4/6 de los conejos tienen una enfermedad. Después de haberlos inyectado se observa que de los conejos enfermos han muerto 2/5 partes. Con base en lo anterior, El dueño decidió vender cada conejo sano a $2000 y cada conejo enfermo a $800. Si tenía 600 conejos, entonces el dinero que se recibe por la venta: a) Fue mayor de $ 600.000 b. Fue menor de $ 500.000 c. Esta entre $ 500.000 y $ 600.000 d. Fue menor de $550.000 32. Un frutero compró 120 naranjas, a $600 la docena y las vende un valor de $75 la unidad, se le dañaron treinta naranjas. Podemos afirmar que: a. Gana en el negocio b. Pierde en el negocio c. Ni gana ni pierde d. Pierde $15 por naranja. 33. Un padre deja al morir 4500 euros para repartir entre sus tres hijos. El Mayor recibe 2/9 de la herencia; el segundo 1/5 de la parte del mayor y el menor lo restante. El dinero que recibió el menor fue de: a) 1000 euros b. 3000 euros c. 200 euros d. 3300 euros. 34. Pedro tiene 65 dólares, Patricio el doble de lo que tiene Pedro menos 16 dólares y Juan tanto como los dos anteriores juntos más 18 dólares. Si entre todos gastan 124 dólares, el capital común que queda es: a) 252 dólares b. 452 dólares c. 352 dólares d. 152 dólares 2.6. BIBLIOGRAFÍA.  Aritmética, Decima Tercera Edición —1997 Dr. Aurelio Baldor  Geómetra, Decima Tercera Edición —1997 Dr. Aurelio Baldor  Ejercicios PSU Matemática, Primera Edición —2004 Danny Perich C.

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 Matemática Hoy 7_ Básico, Primera Edición —1991 Ana María Panesi P. Y Carmen Gloria Bascuñan B.  Matemática PSU, Primera Edición —2007 Marcelo Rodríguez Aguilera PSU Parte Matemática, Volúmenes 1 Y 2, Primera Edición —2006  Swokowiski Earl W. Cole Jeffery A. Álgebra Y Trigonometría Con Geometría Analítica 3 Edición. Editorial Iberoamericana 1996  Baldor, A. Álgebra. Publicaciones Culturales. Mc. Graw Hill, Madrid México. 1983.  Barnett Y Raymond A. Álgebra Y Trigonometría 3 Edición. Mac Graw Hill. México 1994.

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3 RAZÓN Y PROPORCIÓN 3.1. MAGNITUD Es la cualidad de un objeto que se puede medir  La longitud de un cuadrado  La capacidad de un recipiente  El número de trabajadores de una obra  La cantidad de dinero que se paga por un producto

3.2. RAZÓN La razón entre dos cantidades 𝑎 y 𝑏 es la comparación de ellas mediante la división, se denota a o bien a : b b , donde 𝑎 se denomina antecedente y 𝑏 consecuente Ejercicios 1. Si de los 32 estudiantes de un salón de clase 12 son mujeres y 20 varones entonces  La razón entre el número de mujeres respecto al total de estudiantes es 𝑀𝑢𝑗𝑒𝑟𝑒𝑠 12 3 = = 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 32 8 , es decir que por cada 8 estudiantes del grupo 3 son mujeres  La razón entre el número de varones respecto al total de estudiantes es 𝑣𝑎𝑟𝑜𝑛𝑒𝑠 20 5 = = 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 32 8 , es decir que por cada 8 estudiantes del grupo 5 son varones  La razón entre el número de mujeres respecto al número de varones es 𝑀𝑢𝑗𝑒𝑟𝑒𝑠 12 3 = = 𝑣𝑎𝑟𝑜𝑛𝑒𝑠 20 5 , es decir que por cada 5 varones hay 3 son mujeres 2.

En un terreno, el área construida es de 120 metros cuadrados y el área libre es de 80 metros cuadrados. ¿Cuál es la razón entre el área construida y el área del terreno total?

La diferencia entre una razón y una fracción radica que en la fracción los términos son números enteros con el denominador diferente de cero, mientras que en la razón los términos pueden ser decimales.

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3.3. PROPORCIÓN Es una igualdad entre dos razones.

𝑎 𝑐 = 𝑏 𝑑 , donde a, d son los extremos y b, d los medios 3.1.1 Propiedades de las proporciones En una proporción del producto de los medios es igual al producto de los extremos.

a.d=b.c

2 4 = 5 10 2 .10 = 5 .4 20 = 20 En una proporción o en una serie de razones iguales, la suma de los antecedentes dividida entre la suma de los consecuentes es igual a una cualquiera de las razones. 𝑎 𝑐 𝑒 𝑎+𝑐+𝑒 = = = 𝑏 𝑑 𝑓 𝑏+𝑑+𝑓 Si en una proporción cambian entre sí los medios o extremos la proporción no varía. 𝑎 𝑐 𝑑 𝑏 = entonces = 𝑏 𝑑 𝑐 𝑎

Ejercicios 1. La suma de las edades de dos personas es 80 años y están en la razón 7 : 9. ¿Cuáles son las edades? 9 2. La razón entre dos números es y su diferencia es 1.205 ¿Cuáles son los números? 4 4 3. La razón entre dos números es y la suma de sus cuadrados 369 ¿Cuáles son los 5 números? 4. La suma de dos números es 91 y están en la razón 4 : 3. Calcula el valor de cada número 5. La diferencia entre el peso de dos vehículos es 1.200Kg y están en la razón 7 : 4. Calcula el peso de cada vehículo? 6. El perímetro de un rectángulo es128 cm y la razón entre las medidas de sus lados es 5 : 3. Calcula su área Departamento de Estudios Generales e Idiomas RAZÓN Y PROPORCIÓN

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3.1.2 Cuarto proporcional Es uno cualquiera de los términos de una proporción. Para calcularlo se divide por el opuesto, el producto de los otros dos términos. 2 4 2 ×10 = entonces x= por lo que x=5 x 10 4 x 4 5 ×4 = entonces x= por lo que x=2 5 10 10 3.1.3 Medio proporcional Una proporción es continua si tiene los dos medios iguales. Para calcular el medio proporcional de una proporción continua se extrae la raíz cuadrada del producto de los extremos. 3 x = entonces 𝑥 2 =3×12=36 x 12

x=±√36 = ±6

3.1.4 Tercero proporcional En una proporción continua, se denomina tercero proporcional a cada uno de los términos desiguales. Un tercero proporcional es igual al cuadrado de los términos iguales, dividido por el término desigual. x 6 36 = entonces x = =3 6 12 12 2 Ejercicios Calcular el valor de x en las siguientes proporciones 5 𝑥 20 4.4 6.6 = = 𝑥 14 105 35 𝑥 5.4 = 9 8 25 15

2 4+7 15 +

2 5

=

2 11 3 𝑥

3.4. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando, al multiplicar o dividir una de ellas por un número cualquiera, la otra queda multiplicada o dividida por el mismo número. Se establece una relación de proporcionalidad directa entre dos magnitudes cuando:  A más corresponde más.  A menos corresponde menos. Departamento de Estudios Generales e Idiomas RAZÓN Y PROPORCIÓN Página 59 de 138

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Son magnitudes directamente proporcionales, el peso de un producto y su precio.  Si 1 kg de tomates cuesta $ 1400 , 2 kg costarán $2 800 y ½ kg costará $700. Es decir:  A más kilógramos de tomate mayor precio.  A menos kilógramos de tomate menor precio. También son directamente proporcionales:  El espacio recorrido por un automóvil y el tiempo empleado.  El volumen de un cuerpo y su peso.  La longitud de los lados de un polígono y su área.

3.5. Aplicaciones de la proporcionalidad directa 3.5.1. REGLA DE TRES SIMPLE Y DIRECTA Consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes directamente proporcionales, calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud. D 𝐴1 𝐶 𝐴2 . 𝐶 𝐴1 → 𝐶 = 𝑥= 𝐴2 → 𝑥 𝐴2 𝑥 𝐴1 La regla de tres directa la aplicaremos cuando entre las magnitudes se establecen las relaciones:  A más a más.  A menos a menos. 3.1.4.1 Problemas 1. Un automóvil recorre 240 km en 3 horas. ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido en 2 horas? Son magnitudes directamente proporcionales, ya que a menos horas recorrerá menos kilómetros. D 240 𝐾𝑚 → 3 ℎ 𝑥 𝐾𝑚 → 2 ℎ 240 𝐾𝑚 3ℎ = 𝑥 2ℎ

240 𝐾𝑚 × 2 = 3 × 𝑥

𝑥=

240 𝐾𝑚 × 2 3 = 160 𝐾𝑚

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Es decir que en dos horas el automóvil recorre 160 Km 2.

Ana compra 5 kg de papa, si 2 kg cuestan $2 160, ¿cuánto pagará Ana? Son magnitudes directamente proporcionales, ya que a más kilos, mayor valor. D 2 𝐾𝑔 → $2 160 5 𝐾𝑔 → 𝑥 2 𝐾𝑔 $2 160 = 5 𝐾𝑔 𝑥

2 × 𝑥 = 5 × $2160

𝑥=

5 × $2 160 = $5 400 2

3 Es decir que 5 Kg de papa costaran $5 400 3. Tres metros de género valen $ 800. ¿Cuánto valen ocho metros del mismo género? 4. Una moto recorre 120 metros en 4 segundos. ¿Qué distancia recorre en 52 segundos, si mantiene su rapidez constante? 5. Seis operarios cavan en 1 día una zanja de 80 metros de longitud. ¿Cuántos metros cavarán, en un día, 42 operarios trabajando las mismas condiciones? 6. Teresa trabajó 3 horas y ganó $ 8.100. A esa razón, ¿cuánto tiempo le tomará ganar $ 27.000? 7. Marcela gana $ 540.000 mensuales (considera 30 días). ¿Cuánto dinero gana en 10 días? 3.5.2. PORCENTAJE Un porcentaje es un tipo de regla de tres directa en el que una de las cantidades es 100. Porcentaje, o tanto por ciento, es la fracción de un número entero expresada en centésimas. El término se deriva del latín per centum, que significa “por ciento”, pues representa fracciones cuyo denominador es 100. Así, 20 por ciento significa 20/100. Normalmente se representa con el símbolo %. Los cálculos de porcentajes son muy utilizados para evaluar resultados. Para calcular el porcentaje de un número n a otro p (porcentaje) se divide el segundo por 100 (base) y el resultado se multiplica por el primero. Ejercicios Dado el número halla el porcentaje indicado: Departamento de Estudios Generales e Idiomas RAZÓN Y PROPORCIÓN

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30  4 x0,3  1,2 100 18 1600 el 18% : 1600 x  1600 x0,18  288 100 3.5 el 40% 840 el 25% 90 el 64% 200 el 28%

1. 4 el 30%: 4 x 2. 3. 4. 5. 6.

Ejercicios Calcula que tanto por ciento es… 1. 20 de 80 3. 16 de 360

2. 90 de 1900 4. 38 de 96

Problemas 1.

El precio del galón de gasolina corriente hoy en Colombia es de $8911.68 de dicho precio, el minorista de la bomba recibe 5% de utilidad, del restante se descuenta un 1% de "margen de continuidad" , del restante el distribuidor mayorista gana 3%, del restante los transportadores de combustible obtienen una utilidad del 4%, del restante el 27% es utilidad para el estado y de lo queda el 51% es utilidad para Ecopetrol, lo restante corresponde al costo de producción de un galón del combustible ¿Cuál es el costo de producción de un galón de gasolina corriente en Colombia?¿Cuál es el porcentaje de incremento del galón de gasolina corriente al usuario? Item % Precio de venta Vendedor 5 Margen de continuidad 1 mayorista 3 Transportador 4 Impuesto 27 Ecopetrol 51

Valor 8911.68 8466.10 8381.44 8129.99 7804.79 5697.50 2791.77

El costo de producción de un galón de gasolina corriente en Colombia es de $2791.77 Valor % 8911.68 x 2791.77 100 Departamento de Estudios Generales e Idiomas RAZÓN Y PROPORCIÓN

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𝑥=

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100% × $8911.68 891168 = % = 319.21% $2791.77 2791.77

El porcentaje de incremento de un galón de gasolina corriente en Colombia es del 319.21% 2. Una moto cuyo precio era de $5 000 000, cuesta en la actualidad $250 000 más. ¿Cuál es el porcentaje de aumento? Las magnitudes son directamente proporcionales $5 000 000 → 100% $250 000 → 𝑥 $5 000 000 100% = $250 000 𝑥

5 000 000 × 𝑥 = 250 000 × 100% El porcentaje de aumento será del 5%.

𝑥=

250 000 × 100% 5 000 000 = 5%

3. Al adquirir un vehículo cuyo precio es de $53 000 000, nos hacen un descuento del 7.5%. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo? $53 000 000 → 100% 𝑥 → 7.5% $53 000 000 𝑥 100% = 7.5%

$53 000 000 × 7.5% = 𝑥 × 100%

$53 000 000 × 7.5 100 𝑥 = $3 975 000

𝑥=

Para saber el costo del vehículo se debe restar 53 000 000 – 3 975 000 =49 025 000 Por lo tanto se debe pagar $49 0250 000 4. Si la impresora de la universidad imprime 8 hojas por minuto, a. ¿cuánto tardará en para imprimir 160 hojas tardará? b. En 1 hora cuántas hojas podría imprimir 5.

Un joven práctica diariamente 3 deportes durante 2 horas, como lo muestra el siguiente gráfico de sectores. ¿Cuánto tiempo le dedica a cada deporte?

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6.

Suponga que el precio normal de un artículo es $60 000, se le descuenta el 20% y al nuevo precio se le aumenta el 20%, determine el precio final del artículo

7.

En una granja el 35% de las aves son patos, el 40% pollos y las restantes gallinas. Si en la granja hay 300 aves, ¿Cuántas gallinas que hay?

8.

El 24% de las gallinas de una granja avícola murieron debido a una epidemia. Si el número de aves muertas fue de 28 800, ¿cuántas gallinas tenía la granja avícola?

9.

El 56% de la producción de la palma africana se utiliza para la producción de aceite. ¿Cuánto aceite se produce de 120 000 kilogramos de palma?

10. Por la compra de contado de un vestido de $ 280 000 descuentan el 8%. ¿Cuánto se debe pagar por el vestido? ¿Cuál es el valor del descuento? 11. Por el arriendo de una casa se pagan $250 000 mensuales. Si el arriendo se incrementa en el 6,2% cada año, ¿cuánto debe pagar de arriendo cada uno de los próximos 5 años? 12. El precio de un computador de $1 760 000. Si el pago es de contado se hace un descuento del 12%. Halle el precio de contado. Si se producen 800 000 barriles de petróleo diarios, se consumen 500 000 y el resto se exporta ¿qué porcentaje se exporta? 13. Si se producen 800 000 barriles de petróleo diarios, se consumen 500 000 y el resto se exporta, ¿Qué porcentaje de barriles se exporta? 14. El precio de un artículo más el impuesto del valor agregado (IVA) es de $ 145 000 si el IVA es del 16% halle el precio del producto sin IVA. 15. Si un salario se incrementa de $750 000 a $1 095 000 ¿cuál es el incremento porcentual? 16. Si a un trabajador le incrementan el salario mensual por 24 horas de trabajo semanal de $1 584 000 a $ 1 774 080 ¿cuál es el incremento porcentual del valor de la hora de trabajo? 17. El precio por la venta de un local es de 250 millones de pesos si se acuerda pagar 220 millones de pesos ¿Qué porcentaje se descontó?

3.6. Magnitudes inversamente proporcionales Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando, al multiplicar o dividir una de ellas por un número cualquiera, la otra queda dividida o multiplicada por el mismo número. Departamento de Estudios Generales e Idiomas RAZÓN Y PROPORCIÓN

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Se establece una relación de proporcionalidad inversa entre dos magnitudes cuando:  A más corresponde menos.  A menos corresponde más. Son magnitudes inversamente proporcionales, la velocidad y el tiempo:  A más velocidad corresponde menos tiempo.  A menos velocidad corresponde más tiempo. Problemas Un vehículo tarda en realizar un trayecto 6 horas si su velocidad es de 60 km/h, pero si doblamos la velocidad el tiempo disminuirá a la mitad. Es decir, si la velocidad es de 120 km/h el tiempo del trayecto será de 3 horas.

3.7. APLICACIONES DE LA PROPORCIONALIDAD INVERSA. 3.7.1. Regla de tres simple inversa Consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes inversamente proporcionales, calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud.

I

𝐴1 → 𝐶 𝐴2 → 𝑥

𝐴1 𝑥 = 𝐴2 𝐶

𝐴1 × 𝐶 = 𝑥 × 𝐴2

𝑥=

𝐴1 × 𝐶 𝐴2

La regla de tres inversa la aplicaremos cuando entre las magnitudes se establecen las relaciones: A más A menos

menos más.

Problemas 1. Un grifo que mana 18 l de agua por minuto tarda 14 horas en llenar un depósito. ¿Cuánto tardaría si su caudal fuera de 7 l por minuto? Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a menos litros por minuto tardará más en llenar el depósito. I 18𝑙/𝑚𝑖𝑛 → 14 ℎ𝑟𝑠 7 𝑙/𝑚𝑖𝑛 → 𝑥 Departamento de Estudios Generales e Idiomas RAZÓN Y PROPORCIÓN

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18 𝑙/𝑚𝑖𝑛 𝑥 14 ℎ𝑟𝑎𝑠 × 18 𝑥 = 36 ℎ𝑟𝑎𝑠 = 𝑥= 7 𝑙/𝑚𝑖𝑛 14 ℎ𝑟𝑠 7 Si el caudal fuera de 7 l/min se taradra 36 hras en llenar el deposito. 2. 3 obreros construyen un muro en 15 horas, ¿cuánto tardarán en construirlo 5 obreros? Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a más obreros tardarán menos horas. I 3 𝑂𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠 → 12 ℎ𝑟𝑠 5 𝑂𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠 → 𝑥 3 𝑂𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑥 15 ℎ𝑟𝑎𝑠 × 3 𝑥 = 9 ℎ𝑟𝑎𝑠 = 𝑥= 5 𝑂𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠 15 ℎ𝑟𝑠 5 5 obreros tardaran 9 horas en construir el muro 3. Dos ruedas están unidas por una correa transmisora. La primera tiene un radio de 25 cm y la segunda de 75 cm. Cuando la primera ha dado 300 vueltas, ¿cuántas vueltas habrá dado la segunda? Son magnitudes inversamente proporcionales: a más radio menos vuelta I 25 𝑐𝑚 → 300 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠 75 𝑐𝑚 → 𝑥 25 𝑐𝑚 𝑥 25 × 300 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠 𝑥 = 100 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠 = 𝑥= 75 𝑐𝑚 300 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠 75 𝑐𝑚 La rueda de 75 cm dará 100 vueltas 3.7.2. Regla de tres compuesta La regla de tres compuesta se emplea cuando se relacionan tres o más magnitudes, de modo que a partir de las relaciones establecidas entre las magnitudes conocidas obtenemos la desconocida. Una regla de tres compuesta se compone de varias reglas de tres simples aplicadas sucesivamente. Problemas 1. Nueve grifos abiertos durante 10 horas diarias han consumido una cantidad de agua por valor de $56000. ¿qué cuesta la cantidad de agua vertida por 15 grifos abiertos 12 horas durante los mismos días. Magnitudes Departamento de Estudios Generales e Idiomas RAZÓN Y PROPORCIÓN

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MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA N° Grifos 9 15

Tiempo (horas) 10 12

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Valor ($) 56 000

x

Planteamos la relación a partir de la magnitud en donde está la incógnita Magnitudes Valor $- N° Grifos Valor $ - Tiempo

Relación A más grifos abiertos más valor A más tiempo más valor

La relación sería

Tipo de Relación Directa Directa

$56000 9 𝐺𝑟𝑖𝑓𝑜𝑠 10 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 = = 𝑥 15 𝐺𝑟𝑖𝑓𝑜𝑠 12 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

Simplificando y despejando 𝑥=

$56000 × 15 × 12 9 × 10

𝑥 = $112 000 Mantener 15 grifos abiertos durante 12 horas cuesta $112 000 2. 5 obreros trabajando, trabajando 6 horas diarias construyen un muro en 2 días. ¿Cuánto tardarán 4 obreros trabajando 8 horas diarias? Obreros 5 4

Magnitudes Horas diarias 6 8

Días 2

x

Planteamos la relación a partir de la magnitud en donde está la incógnita Magnitudes Días - Obreros Días – Horas Diarias La relación sería

Simplificando Despejando

Relación A más obreros menos días A más horas diarias menos días

Tipo de Relación Inversa Inversa

2 𝑑í𝑎𝑠 4 𝑜𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠 8 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑎𝑠 = = 𝑥 5 𝑜𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠 6 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑎𝑠 2 𝑑í𝑎𝑠 4 4 = = 𝑥 5 3

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2 𝑑í𝑎𝑠 × 5 × 3 = 1.875 𝑑í𝑎𝑠 ≈ 2 𝑑í𝑎𝑠 4×4 4 obreros trabajando 8 horas diarias construirán el muro en aproximadamente 2 días 𝑥=

3.1.4.2

3. Si 8 obreros realizan en 9 días trabajando a razón de 6 horas por día un muro de 30 m. ¿Cuántos días necesitarán 10 obreros trabajando 8 horas diarias para realizar los 50 m de muro que faltan? Magnitudes Obreros Días Trabajando Horas diarias Longitud del muro 8 9 6 30 10 x 8 50 Planteamos la relación a partir de la magnitud en donde está la incógnita Magnitudes Días - Obreros Días – Horas Diarias Días – longitud el muro La relación sería , simplificando

Relación A más obreros menos días A más horas diarias menos días A más días mas alto el muro

Tipo de Relación Inversa Inversa Directa

9 𝑑í𝑎𝑠 10 𝑂𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠 8 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 30 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 = = = 𝑥 8 𝑂𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠 6 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 50 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 9 𝑑í𝑎𝑠 5 4 3 = = = 𝑥 4 3 5

, despejando 𝑥=

4 × 3 × 5 × 9 𝑑í𝑎𝑠 = 9 𝑑í𝑎𝑠 5×4×3

Por lo tanto 10 obreros trabajando 8 horas diarias para realizar un muro de 50 m en 9 días. 4. Una estufa de gasolina consume 10 galones en 8 días funcionando 6 horas diarias ¿cuánta gasolina se necesita para 50 días, si se enciende la estufa durante 8 horas diarias? Organizamos las magnitudes

Magnitudes Días funcionando Horas diarias 8 6 x 50 8 Planteamos la relación a partir de la magnitud en donde está la incógnita Galones 10

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MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA Magnitudes Gasolina - Días Gasolina – Horas Diarias La relación sería

𝑥=

Relación A más días más gasolina A más Horas más gasolina

Tipo de Relación Directa Directa

10 𝐺𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 8 𝑑í𝑎𝑠 6 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 = = 𝑥 50 𝑑í𝑎𝑠 8 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

, simplificando , despejando

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10 𝐺𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 4 3 = = 𝑥 25 4 25 × 4 × 10 𝐺𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 = 83.33 𝐺𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 ≈ 84 𝐺𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 4×3

Por lo tanto para 50 días, encendiendo durante 8 horas diarias se necesitarían aproximadamente 84 Galones de gasolina. 5. Un depósito de 500 litros de capacidad se llena con un grifo de 4 cm 2 de sección en un tiempo de 12 horas. Un depósito de 750 litros de capacidad se llena con un grifo de 5 cm 2 de sección, ¿cuánto tiempo tardara en llenarse? Organizamos las magnitudes Capacidad (litros) 500 750

Magnitudes Sección (cm2) 4 5

Tiempo (Horas) 12

x

Planteamos la relación a partir de la magnitud en donde está la incógnita Magnitudes Tiempo - Capacidad Tiempo - Sección

Relación A más capacidad más tiempo A más sección menos tiempo

Tipo de Relación Directa Inversa

, la relación sería

, simplificando

12 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 500 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 5 𝑐𝑚2 = = 𝑥 750 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 4 𝑐𝑚2 12 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 2 5 = = 𝑥 3 4

, despejando 𝑥=

3 × 4 × 12 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 = 14.4 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 2×5

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Un depósito de 750 litros de capacidad se llena con un grifo de 5 cm 2 de sección tardaría en llenarse aproximadamente 14.4 horas. 6. Seis personas pueden vivir en un hotel durante 12 días por 792 dólares. ¿Cuánto costará el hotel de 15 personas durante ocho días? 7. Con 12 botes conteniendo cada uno ½ kg de pintura se han pintado 90 m de verja de 80 cm de altura. Calcular cuántos botes de 2 kg de pintura serán necesarios para pintar una verja similar de 120 cm de altura y 200 metros de longitud. 8. 11 obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo y 48 de ancho en 6 días. ¿Cuántos obreros serán necesarios para labrar otro campo análogo de 300 m de largo por 56 m de ancho en cinco días? 9. Seis grifos, tardan 10 horas en llenar un depósito de 400 m³ de capacidad. ¿Cuántas horas tardarán cuatro grifos en llenar 2 depósitos de 500 m³ cada uno? 10. Si 10 máquinas fabrican 4.000 unidades de un producto en 5 días, ¿cuántas máquinas serán necesarias para triplicar la producción en 6 días, trabajando la misma cantidad de horas diariamente?

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4 INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO 4.1. OBJETIVOS:  Aplicar la proporcionalidad en la resolución de problemas sobre interés simple como regla de tres compuesta.  Elaborar un esquema general para la resolución de problemas sobre interés simple.  Aplicar la proporcionalidad en la resolución de problemas sobre interés compuesto como regla de tres compuesta.

4.2. COMPETENCIAS:  Uso la proporcionalidad en la resolución de problemas sobre interés simple como regla de tres compuesta.  Planteo un esquema general para la resolución de problemas sobre interés simple.  Valoro la importancia de la proporcionalidad en la resolución de problemas sobre interés compuesto como regla de tres compuesta.  Deduzco o verifico las propiedades de las proporciones para solucionar problemas.  Aplico la proporcionalidad en el cálculo de porcentajes.  Interpreto los porcentajes como fracciones con denominador 100 y uso este hecho para resolver problemas de contextos reales.  Hago uso de los porcentajes y de la proporcionalidad para resolver problemas financieros.

4.3. DESARROLLO TEMÁTICO: En el mundo que nos rodea existe una disposición armoniosa en su estructura, cosas que a simple vista y en un consenso común nos parecen bellas, esto debido a que la naturaleza en general es ordenada en ciertos aspectos a causa de proporciones que la rigen. Por ejemplo, el muy conocido esquema del cuerpo humano de Leonardo Da Vinci está basado en una proporción. En la presente guía retomarás los conceptos básicos de las razones, las proporciones, tanto por ciento e interés simple y compuesto de forma que puedas aprender de paso a deleitarte con la belleza, gracias a la armonía implícita en la naturaleza.

4.4. INTERÉS SIMPLE Cuando una persona solicita a una segunda dinero prestado, la segunda exige a la primera una cantidad adicional por concepto de alquiler de dicho dinero. Lo anterior obedece a que Departamento de Estudios Generales e Idiomas INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO

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el dinero con el tiempo pierde su valor (se devalúa). La cantidad de dinero que se obtiene por el concepto de alquiler de la cantidad prestada se llama interés. Consideremos la siguiente situación: El señor Vélez solicita al banco popular un crédito y obtiene la siguiente respuesta: Banco popular Estimado señor Vélez: Me es grato comunicarle que su petición de crédito por valor de $2000000 le ha sido aprobada en la reunión de la junta del banco. Además, me permito indicarle que deberá efectuar el pago de este importe en el plazo de un año, así como los intereses que corresponden a la cifra de $300000. Cordialmente, J.B.P. En la operación bancaria que hemos planteado se presta una cantidad de dinero y se recibe un beneficio en un tiempo determinado. Dinero prestado + Interés = Monto (o dinero que se devuelve). El dinero prestado o cantidad invertida por el banco se llama capital y se representa por C. El beneficio recibido por el banco o alquiler pagado por el dinero prestado se lama interés y se representa por I. El tiempo que dura el préstamo se representa por T. A la cantidad que se cobra por concepto de interés, en el periodo de tiempo elegido, por cada $100 se llama rata, tasa porcentual o tanto por ciento y se representa por R. En el ejemplo que estamos considerando: Capital: C= $2000000

Interés: I= $300000

Tiempo: T= 1 año

Rata: R= 15% (ya que $300000 es el 15% de $2000000). El tipo de interés que hemos considerado se lama interés simple, ya que los interés no se acumulan al capital sino que se consideran como un fondo aparte del capital. Observemos que la cantidad prestada es el doble de la anterior, entonces el interés a pagar será el doble, conservando la tasa porcentual y el tiempo, así: Capital

Interés

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300000 600000

Por tanto: El interés es directamente proporcional al capital. Igualmente, el interés a pagar en dos años es el doble del interés que se debe pagar por en un año, por el mismo capital y a igual tasa porcentual. Tiempo 1 año ↔ 2 años ↔

Interés $300000 $600000

Por tanto: El interés es directamente proporcional al tiempo. En general, se considera la rata anual (año de 360 días), pero en algunos casos se presta dinero a una rata mensual, semestral (6 meses) o trimestral (3 meses). Asi, 15% anual = 7.5% semestral = 3.75% mensual. Finalmente, el interés a pagar se duplica, al duplicar la tasa porcentual. Rata 15% ↔ 30% ↔

Interés $300000 $600000

El interés es directamente proporcional a la rata.

4.5. FORMULA PARA CALCULAR EL INTERÉS SIMPLE Los problemas de interés simple consisten en hallar el valor de uno de los elementos I, C, T y R, conociendo los otros tres. Para lograrlo tenemos la siguiente fórmula: I = C X T X R / 100 Ejemplos: 1) Un banco presta $100000 a una persona a una rata de 25% anual. ¿Qué cantidad debe devolver al banco después de 2 años? Departamento de Estudios Generales e Idiomas INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO

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Solución: Monto = Dinero prestado + Interés. Monto = $100000 + Interés. Debemos calcular el interés que producen $100000 en 2 años al 25% anual. Remplazamos C= $100000, T= 2 años y R= 25 en I = CxTxR/ 100, Obtenemos I= $50000 Luego, monto = $100000 + $50000 = $150000 Debe devolver $150000 al banco al finalizar los dos años de duración del préstamo. 2) Un señor recibe un préstamo de $850000 al 30% anual para pagarlo al cabo de 5 meses. ¿Qué interés cobrara el banco? Solución: De acuerdo con el enunciado: C = $850000, T = 5/ 12 año (1 año = 12 meses) y R = 30% anual. Remplazamos en I = CxTxR / 100, Obtenemos: I = $106250. En 5 meses el banco recibe un beneficio de $106250. 3) ¿Qué interés nos cobrara un banco por un préstamo de $300000 al 27% anual para devolverlo a los 50 días? Solución: De acuerdo con el enunciado: C = $300000, T = 50/ 360 año (1año = 360 días) y R = 27% anual. Remplazando en I = CxTxR/ 100, Obtenemos: I = $11250. Departamento de Estudios Generales e Idiomas INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO

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Los ejemplos 1,2 y 3 nos indican que para calcular el interés, hay que tener en cuenta la unidad en que viene expresado el tiempo.   

T en años, entonces I = CxTxR / 100 T en meses, entonces I = CxTxR / 100x12 T en días, entonces I = CxTxR / 100x360

4) ¿Qué interés nos cobrara una persona por un préstamo de $175000 al 2.5% mensual durante dos años? Solución: En este caso expresamos el tiempo en meses y aplicamos la fórmula de interés. Tenemos: C= $175000, T = 24 meses y R = 2,5% mensual. Remplazamos en I = CxTxR / 100, Obtenemos: I = $105000.

4.6. CALCULO DEL CAPITAL, TIEMPO O RATA Cuando en un problema se pide calcular el capital, el tiempo o la tasa porcentual, remplazamos en la fórmula de interés los términos dados y luego despejamos la incógnita pedida. 5) ¿Qué capital tenemos que ahorrar en un banco, al 25% anual, para que produzcan $125000 en 8 meses? Solución: Tenemos: C =? I = $125000 T = 8 meses y R = 25% anual. Remplazamos en I = CxTxR / 100x12, Obtenemos: C= $750000. Tenemos que ahorrar $750000. 6) Por un préstamo de $42000 nos han cobrado $1960 al 4% mensual. ¿Durante cuantos días hicimos el préstamo? Solución: Tenemos: C = $42000 I = $1960 R = 4% mensual T =? Remplazando en I = CxTxR / 100x30, Obtenemos: Departamento de Estudios Generales e Idiomas INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO

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T = 35 días. El dinero estuvo prestado por 35 días. 7) ¿Qué tanto por ciento anual nos han cobrado por un préstamo de $800000 si hemos pagado $64000 de intereses en 4 años? Solución: Tenemos: C = $800000

T = 4 años

I = $640000 R =?

Remplazando en I = CxTxR / 100, Obtenemos: R = 20%. Se impuso a una tasa del 20% anual.

4.7. INTERES COMPUESTO Tiempo

Capital

2% mensual

1 2 3 4 5 6

1000 1020 1040,40 1061,20 1082,42 1104,06

20 20,40 20,80 21,22 21,64 22,08

Capital al final de cada periodo 1020 1040,40 1061,20 1082,42 1104,06 1126,14

Interés compuesto es el caso especial donde el interés devengado en cada unidad de tiempo, se suma al capital impuesto para devengar nuevos intereses. Ejemplo: Hallar el interés compuesto de $1350 en 3 meses al 2,5% de interés mensual, capitalizando intereses cada mes. Solución: Primer mes: 1350 x 2,5 / 100 = $33,75

Nuevo capital: 1350 + 33,75 = $1383,75

Segundo mes: 1383,75 x 2,5 / 100 = $34,59 Nuevo capital: 1383,75 + 34,59 = $1418,34 Departamento de Estudios Generales e Idiomas INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO

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Tercer mes: 1418,34 x 2,5 / 100 = $35,45 Capital final: 1418,34 + 35,45 = $1453,79 Interés producido: $33,75 + 34,59 + 35,45 = $103,79

4.8. ACTIVIDADES Resuelve los siguientes problemas: 1. ¿Qué interés produce un capital de $64000 colocado durante un año y 8 meses al 36% anual? 2. Ana hace un préstamo de $40000 al 20% anual durante tres meses 21 días. ¿Cuánto pagara por concepto de interés? 3. Alberto presta a Carlos $80000 al 30% anual con la condición de que mensualmente le pague los intereses. ¿Cuánto dinero ha entregado Carlos a Alberto por concepto de interés después de 9 meses? 4. A un comerciante le fue aprobado un préstamo por $ 1200000 al 30% anual y con un plazo de 5 años. Si debe pagar los intereses por cuotas trimestrales, ¿Qué dinero recibe el banco por intereses trimestrales? 5. Una cantidad de dinero prestada al 2,5% mensual durante 15 meses produce $112500. ¿Cuánto dinero se prestó? 6. ¿Cuál es el capital que colocado al 18% anual produce $30000 durante 216 días? 7. Un estudiante gasta durante 10 meses de estudio $36000. ¿Qué capital colocado al 24% anual debe tener un padre de familia para poder cubrir exactamente los gastos de estudios en los 10 meses? 8. ¿Durante cuánto tiempo ha estado colocado un capital de $800000 en un banco, si produjo $200000 a una rata del 30% anual? 9. Al cabo de cuánto tiempo un capital de $144000 colocado al 20% anual produce un capital igual a las tres cuartas partes de su valor? 10. Un capital de $364000 se prestó durante 4 años y produjo $305760 de interés. ¿A qué tanto por ciento anual se prestó? 11. Una persona compra una casa en $800000 y la alquila recibiendo $96000 en 8 meses. ¿Qué tanto por ciento mensual le renta la casa? 12. Hallar el interés compuesto de $2100 en 12 meses al 2% mensual, capitalizando por trimestre. 13. Hallar el interés compuesto de $ 4350 en 18 meses al 2,5% mensual, capitalizando intereses por semestres. 14. Que es más ventajoso: colocar $8000 al 3% mensual de interés simple, o colocar los $8000 al 2,75% mensual de interés compuesto, capitalizando por bimestres (tiempo: 6 meses) 15. En cuanto tiempo un capital de $100000 duplica su valor si la tasa es del 20% anual. Departamento de Estudios Generales e Idiomas INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO

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4.9. BIBLIOGRAFIA P. y RAMÍREZ, M. (2008) “ Prueba de Selección Universitaria Matemática- Preuniversitario Popular”. Universidad de Chile.

 JARA, V, PAREDE,

 ORTIZ, L. (2003) “Inteligencia Lógico Matemática 7”, Editorial Voluntad. Colombia.  PÉREZ, B. (2007). “Módulo II: Proporcionalidad y Aplicaciones”. Universidad Tecnológica de Chile. CARABALLO A, CRUZ, T., HERNÁNDEZ.O. (1997) “ Razonamiento Matemático, Fundamentos y Aplicaciones”. International Thompson Editores.

 RODRÍGUEZ, J.,

 TORRES, J. (2008). “Matemáticas Básicas Aplicadas”, Publicaciones INFOTEP, San Andrés Isla- Colombia.

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5 CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA 5.1. OBJETIVOS 1. Reconocer los diferentes tipos de unidades de medidas. 2. Convertir mediciones de un sistema a otro 3. Aplicar los conocimientos geométricos para comprender y explicar situaciones del mundo real. 2. Interpretar, representar o crear figuras geométricas. 3. Reconocer figuras geométricas. 4. Calcular perímetros y áreas de las figuras planas: triángulos, cuadriláteros, círculos. 5. Calcular volúmenes y áreas de superficies de sólidos geométricos: rectangulares, cilindros y esferas.

5.2. COMPETENCIAS     

Capacidad para formular, plantear, transformar y resolver problemas matemáticos. Identificación de regularidades, modelos y estructuras matemáticas en procesos y situaciones problémicas. Capacidad comunicativa en lenguaje matemático. Capacidad para representar objetos matemáticos en diferentes registros o sistemas de notación para crear, expresar y representar ideas matemáticas. Capacidad para juzgar la validez de un razonamiento lógico matemático.

5.3. SISTEMAS DE MEDIDAS 5.3.1. CONCEPTOS BÁSICOS    

Una magnitud es cualquier propiedad que se puede medir numéricamente. Medir es comparar una magnitud con otra que llamamos unidad. La medida es el número de veces que la magnitud contiene a la unidad. Una unidad de medida es una cantidad estandarizada de una determinada magnitud física.

Algunas unidades de medidas De longitud (m)

De superficie (m2)

De volumen (m3)

De Capacidad (lt)

De masa (gr)

De tiempo (hora)

De velocidad (m/sg)

De temperatura (oC)

Eléctricas (Voltio)

De densidad (kg/m³)

De energía (Julio)

De fuerza (Newton)

de peso específico (N/m3)

de potencia (Vatio)

de presión (Pa)

de viscosidad (Pa·s)

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En el presente capítulo se abordaran situaciones relacionadas con unidades de longitud, área, volumen, masa y tiempo.

5.4. SISTEMAS DE UNIDADES En el pasado cada país y en algunos casos cada región usaban unidades de medidas diferentes, incluyendo partes del cuerpo para medir (la cuarta, el jeme, el pie, la braza, entre otras). Esta diversidad dificultó las relaciones comerciales entre los pueblos. Para acabar con esas dificultades se unificaron criterios a través de los sistemas de unidades Un sistema de unidades es un conjunto consistente de unidades de medida. Definen un conjunto básico de ellas a partir del cual se deriva el resto. Existen varios sistemas de unidades. A nivel internacional los más usuales son Los siguientes: 

Sistema Internacional de Unidades o SI: es la forma actual del sistema métrico decimal y establece las unidades que deben ser utilizadas internacionalmente. Fue creado por el Comité Internacional de Pesos y Medidas con sede en Francia. También es conocido como sistema MKS debido a que sus unidades básicas son metros, kilogramos y segundos



Sistema cegesimal o CGS: denominado así porque sus unidades básicas son el centímetro, el gramo y el segundo.



Sistema Ingles de Medidas o anglosajón, es el resultado de la adopción, por parte de los países de habla inglesa, en especial las más industrializadas, entre las que destacan Gran Bretaña y los Estados Unidos.



Un patrón de medidas es el hecho aislado y conocido que sirve como fundamento para crear una unidad de medida, es una representación física de una unidad de medición

5.5. EL SISTEMA MÉTRICO DECIMAL Fue propuesto en 1792 por la Academia de Ciencias de París con el objetivo de unificar criterios en las medidas. El Sistema Métrico Decimal es un sistema de unidades en el cual los múltiplos y submúltiplos de una unidad de medida están relacionadas entre sí por múltiplos o submúltiplos de 10. El Sistema Métrico Decimal lo utilizamos en la medida de las siguientes magnitudes: Longitud, Superficie, volumen, Capacidad, Masa.

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Los prefijos pertenecientes al SI los fija oficialmente la Oficina Internacional de Pesos y Medidas (Bureau International des Poids et Mesures), de acuerdo con el cuadro siguiente: Prefijo

Peta

Tera

Giga

Mega

Kilo

Hecto

Deca

Simbolo Factor Asociado

P 1015

T 1012

G 109

M 106

K 103

H 102

D 101

Unidad patron 100

deci

centi

mili

micro

nano

pico

Femto

d 10−1

c 10−2

m 10−3

µ 10−6

n 10−9

p 10−12

f 10−15

5.6. UNIDADES DE LONGITUD La unidad principal para medida longitudes es el metro, que se representa por m. Los múltiplos del metro se forman anteponiendo a la palabra metro, las palabras griegas indicadas en la tabla tales como Deca, Hecto y Kilo, entre otras que significan diez, cien y mil respectivamente, y los submúltiplos que se forman anteponiendo las palabras griegas deci, centi y mili, entre otras, que significan décima, centésima y milésima parte respectivamente. Estas medidas aumentan y disminuyen de diez en diez. Los múltiplos y submúltiplos más usuales del metro son:

Por lo tanto, el problema de convertir unas unidades en otras se reduce a multiplicar o dividir por la unidad seguida de tantos ceros como lugares haya entre ellas. Ejemplo 1: Pasar 50m a cm

Solución

Si se quiere pasar de metros a centímetros tenemos que multiplicar (porque vamos a pasar de una unidad mayor a otra menor) por la unidad seguida de dos ceros, ya que entre el metro y el centímetro hay dos lugares de separación. 50 × 100 = 5000 cm En conclusión 50m = 500cm Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA

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Ejemplo 2: Pasar 4385mm a m

Solución

Para pasar de milímetros a metros tenemos que dividir (porque vamos a pasar de una unidad menor a otra mayor) por la unidad seguida de tres ceros, ya que hay tres lugares de separación. 4385÷ 1000 = 4,385m En conclusión 4385mm = 4,385m También se pueden convertir unidades teniendo en cuenta los valores de equivalencias de los múltiplos y submúltiplos con respecto a la unidad patrón 1Km = 1000m

1Hm = 100m

1Dm =10m

1dm = 0.1 m

1cm = 0.01 m

1mm = 0.001m

Ejemplo 3: Pasar 50m a cm

Solución

La equivalencia entre cm y la unidad patrón que es el metro es: 1cm = 0,01m, se aplica entonces el factor de conversión 1𝑐𝑚 50 50𝑚 × = 𝑐𝑚 = 5000𝑐𝑚 0,01𝑚 0.01 Luego 50 m = 5000cm Ejemplo 4: Pasar 4385 mm a m

Solución

La equivalencia entre mm y la unidad patrón que es el metro es 1mm = 0,001m, aplicando el factor de conversión se tiene 0,001𝑚 4385𝑚𝑚 × 0,001𝑚 4385𝑚𝑚 × = = 4,385𝑚 1𝑚𝑚 1𝑚𝑚 Luego 4385mm = 4,385m Ejemplo 5: Convertir 23500 cm en Km

Solución

En este caso no hay una equivalencia directa entre cm y Km, pero si entre ambos y la unidad patrón que es el metro, de tal manera que 1cm = 0,01m y 1Km = 1000m, por lo tanto el factor de conversión se hace de manera simultánea 0.01𝑚 1𝐾𝑚 23500𝑐𝑚 × 0,01𝑚 × 1𝐾𝑚 235 23500𝑐𝑚 × × = = 𝐾𝑚 = 0,235 𝐾𝑚 1𝑐𝑚 1000𝑚 1𝑐𝑚 × 1000𝑚 1000 Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA

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Luego 23500cm= 0,235Km Ejemplo 6: En un reallity se ha colocado la prueba de encontrar un cofre con unas monedas enterrado en una isla, para ello a los participantes se les ha dado un mapa. El mapa establece que desde la orilla se deben recorrer 5,2Km hacia el este, luego 16,4 Dm hacia el norte y por último 2.500cm al oeste. ¿Cuantos metros deberán recorrer en total los participantes desde la orilla para llegar hasta el cofre?

Solución

Comprender el problema: se pide encontrar el número de metros recorridos desde la orilla hasta el punto donde está el cofre, a partir de tres datos recorridos expresados en diferentes unidades de longitud Configurar un plan: Como se dan los recorridos en diferentes unidades de medidas se deberá efectuar las respectivas conversiones con respecto a la unidad pedida es decir a metros, luego de esto deberán sumarse los tres recorridos para hallar el número total de metros a recorrer Ejecutar el plan: Primer recorrido 5,2𝐾𝑚 × Segundo recorrido

1000𝑚 5,2𝐾𝑚 × 1000𝑚 = = 520𝑚 1𝐾𝑚 1𝐾𝑚

16,4𝐷𝑚 ×

10𝑚 16,4𝐷𝑚 × 10𝑚 = = 164𝑚 1𝐷𝑚 1𝐷𝑚

Tercer recorrido

0,01𝑚 2500𝑐𝑚 × 0,01𝑚 = = 25𝑚 1𝑐𝑚 1𝑐𝑚 El recorrido total es la suma de los tres recorridos Recorrido total = 520m + 164m + 25m =709m 2500𝑐𝑚 ×

Mirar hacia atrás: se verifica que la solución corresponde al recorrido total desde la orilla hasta el cofre

5.7. UNIDADES DE LONGITUD DEL SISTEMA INGLES Tabla de Equivalencias Unidad Línea Pulgada Pie Yarda Milla Terrestre

Símbolo l ´ 12 l ft 12´ 3 ft Mll 1700 yd

Equivalencia 0.21 cm 2.54 cm 30.48 cm 91.44 cm 1600 m

5.8. PERÍMETRO DE FIGURAS Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA

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El perímetro de una figura geométrica de lados rectos es la suma de la medida la longitud de los lados de una figura geométrica (Su contorno). Se denotará como P. Observe los siguientes ejemplos

NOTA: El teorema de Pitágoras es útil en los cálculos de perímetros de figuras, este teorema establece que “en todo triangulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de la longitud de los catetos” Se puede escribir como ℎ2 = 𝑎2 + 𝑏 2 𝑎2 = ℎ 2 − 𝑏 2 𝑏 = ℎ2 − 𝑎2

Por ejemplo: Calcular el perímetro del triángulo de la figura. Solución Como no se conoce el valor de un lado (hipotenusa), este se calcula utilizando el teorema de Pitágoras ℎ2 = 𝑎2 + 𝑏 2 ℎ2 = (8𝑐𝑚)2 + (6𝑐𝑚)2 = 64𝑐𝑚2 + 36𝑐𝑚2 = 100𝑐𝑚2 Extrayendo raíz cuadrada Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA

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h= 10m EL perímetro del triángulo será P = 8m + 6m + 10m = 24 m

5.9. PERÍMETRO DE LA CIRCUNFERENCIA La circunferencia es una Línea curva cerrada cuyos puntos equidistan de otro situado en el mismo plano que se llama centro. Elementos de la circunferencia Centro: Punto interior que equidista de cualquier punto de la circunferencia. Radio: Distancia del centro a un punto de la circunferencia. Cuerda: Segmento que une dos puntos de la circunferencia. Diámetro: Cuerda que pasa por el centro. El perímetro de la circunferencia se calcula por la ecuación 𝒑 = 𝟐𝝅𝒓 Donde p = perímetro, r = radio y 𝝅 es una constante que equivale aproximadamente a 3,14 Ejemplo: Se desea cercar un lote de forma rectangular que mide 300m de largo 200m con 70 cm de ancho. Se requiere para esto un cercado con cuatro hileras de alambre de púas cuyo precio por metro lineal es de $700. ¿Cuántos metros de alambre se requieren y cuánto dinero se requiere para comprar dicho alambre?

Solución

Entender el problema: Se conocen las dimensiones del lote: largo 300m, ancho 200m y 70cm. Se pide calcular el perímetro de lote que tiene forma de un rectángulo (los lados paralelos entre si tienen la misma medida), cada metro de alambre púa cuesta $700 y se requieren 4 hileras de alambre por cada lado del lote. Configurar un plan: Se realiza un dibujo de la figura que representa el lote, luego se procede a calcular su perímetro, teniendo en cuenta que las unidades de medidas sean las mismas, en caso de no serlo se realiza la conversión; con esto se determina la cantidad de metros lineales que se necesitan para el cercado de una hilera. Una vez conocido el perímetro se procede encontrar el valor a pagar por el alambre multiplicando el número de metros por el precio.

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Ejecutar el plan: Se realiza el dibujo Se observa que uno de los lados está medido en dos unidades diferentes: 200metros y 70 centímetros, por lo tanto se convierten los cm en m 70 70𝑐𝑚 = 𝑚 = 0,7𝑚 100 Las dimensiones serían: largo 300m y ancho 200,7 m, por lo tanto el perímetro del lote será P = 300m + 200,7m + 300m +200,7 m P = 1001,4m El perímetro calculado representa la cantidad de metros requeridos para colocar una hilera de cercado pero como se requieren 4 hileras el número total de metros requeridos será: N° total de metros = 4×1001,4 m = 4005,6m El valor a pagar por estos metros de alambre sería Valor a pagar = 4005,6 ×$700 = $2803920. Mirar hacia atrás: Con esta respuesta se satisface lo pedido en el problema ACTIVIDAD N° 1 1. a. b. c. d. e.

Realiza las siguientes conversiones 50km en m 35″ en ft 8ft en cm 0, 325 km en Hm, en m y en dm 34m en mm, en cm y 𝜇m

2. Resuelve cada operación y expresa el resultado en metros a. 27,46Dm +436,9dm b. 0,092Km +3,06Dm +300mm 3. 8ft +12” -1 yarda 4. La distancia de la casa de Julia al colegio es de 0,55km. a. ¿Cuántos metros ida vuelta de la casa al colegio recorre Julia? b. Si cada paso de Julia mide unos 65 centímetros, ¿cuántos pasos deberá dar para ir de casa al colegio? 5. La distancia entre Santa marta y barranquilla es de 91Km ¿Cuántas millas hay entre santa marta y Barranquilla? 6. Un salón de clases tiene forma rectangular. Su largo es 6,4m y su ancho de 5m a. Calcula el perímetro del salón Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA

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b. Si las piedras tipo zócalos que se colocan en el salón son de 30cm de longitud ¿Cuántas piedras tipo zócalos se requieren para el salón? 7. EL rio Magdalena es nuestra fuente fluvial más importante. Atraviesa al país de sur a norte en un recorrido aproximado de 1.550km ¿A cuántas millas terrestre equivale la longitud del rio Magdalena?

5.10. UNIDADES DE SUPERFICIE Y ÁREA Son unidades de medida que permiten medir la extensión o área de un territorio. En el sistema internacional de unidades la principal unidad de superficie es el metro cuadrado, que se representa como m2. Cada unidad de superficie es 100 veces mayor que la unidad inmediata inferior y 100 veces menor que la unidad inmediata superior.

El problema de convertir unas unidades en otras se reduce a multiplicar o dividir por la unidad seguida de tantas parejas de ceros como lugares haya entre ellas. Ejemplo 6: convertir 1.5 Hm2 en m2

Solución Tenemos que multiplicar, porque el Hm 2 es mayor que el m2; por la unidad seguida de cuatro ceros, ya que hay dos lugares entre ambos (cada lugar son dos ceros). 1.5 × 10000 = 15000 m2, Es decir que 1.5 Hm2 =150000 m2 Ejemplo 7: Convertir 15000 mm2 en m2

Solución Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA

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Tenemos que dividir, porque el mm2 es menor que el m2, por la unidad seguida de seis ceros, ya que hay tres lugares entre ambos. 15.000 ÷ 1000000 = 0.015 m2 Es decir que 15000 mm2 = 0,015m2 Los valores de equivalencias entre los múltiplos y los submúltiplos más usados con respecto a la unidad patrón m2 son 1Km2 = 1000000m2 1dm2 = 0,01m2

1Hm2 = 10000m2 1cm2 =0,0001m2

1Dm2 = 100m2 1mm2 = 0,000001m2

Ejemplo 7: Utilizando los valores de equivalencia, convertir 15000 mm2 en m2

Solución

La equivalencia entre mm2 y m2, es 1mm2 = 0,000001m2 Aplicando factor de conversión se tiene: 0,000001𝑚2 15000𝑚𝑚2 × 0,000001𝑚2 15000𝑚𝑚2 × = = 0,015𝑚2 1𝑚𝑚2 1𝑚𝑚2 En conclusión 15000 mm2=0,015m2

5.11. UNIDADES AGRARIAS Para medir superficies en el campo, se suelen utilizar unas unidades especiales, llamadas agrarias. Con ellas se expresa lo que mide, por ejemplo, la superficie de un campo de trigo, de un terreno, o la que ocupa un bosque. Estas unidades son: Unidad Centiárea Área Hectárea   

Símbolo Ca A ha

Equivalencia 1 ca = 1 m2 1 a = 1 Dm2 1 ha = 1 Hm2

La superficie de un campo es habitual expresarla en hectáreas. Hectárea es el hectómetro cuadrado, es decir un campo en forma de cuadrado de 100 m de largo por 100 m de ancho. Área es el decámetro cuadrado, es decir un campo cuadrado de 10 metros de largo por 10 metros de ancho. Centiárea es el metro cuadrado.

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5.12. AREA DE FIGURAS El área de una figura es la medida de su superficie, es decir su región interior. El cálculo del área de una figura varía según la de cada una. 5.12.1.

forma

ÁREA DE UN TRIANGULO El triángulo es un polígono formado por tres lados y tres ángulos. La suma de sus tres ángulos es igual a180 grados. La expresión matemática para calcular el área de un triángulo es 𝑏𝑎𝑠𝑒 × 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 Á𝑟𝑒𝑎 = 2 bh Sintetizada A  2

5.12.2. ÁREA DE UN CUADRADO El cuadrado es un polígono que tiene los cuatro lados y los cuatro ángulos iguales. Los cuatro ángulos son rectos. La suma de los cuatro ángulos es 360 grados. La expresión matemática que permite hallar el área del cuadrado es: Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 = 𝑙𝑎𝑑𝑜 × 𝑙𝑎𝑑𝑜 Sintetizada A  l  l  l 2 5.12.3.

ÁREA DE UN RECTÁNGULO El rectángulo es un polígono de 4 lados cuyos lados paralelos son iguales entre si. Los ángulos de un rectángulo son todos iguales y rectos, suman en total 360 grados. La expresión matemática que permite hallar su área es: Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 × 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 A  la

5.12.4. ÁREA DEL ROMBO El rombo es un polígono que tiene los cuatro lados iguales y los ángulos son iguales dos a dos. (Dos ángulos son agudos y los otros dos obtusos). Para hallar el área se utiliza la siguiente expresión matemática: Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA

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Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑜𝑚𝑏𝑜 =

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𝐷𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 × 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 2

A 5.12.5.

Dd 2

ÁREA DEL TRAPECIO. El trapecio es un polígono que tiene 4 lados, de ellos, dos son paralelos. Los cuatro ángulos son distintos de 90º. La suma de los 4 ángulos es 360 grados. La expresión matemática para hallar el área viene dada por

A

Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑝𝑒𝑐𝑖𝑜 (𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 + 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟) × 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 2

( B  b ) h 2

5.12.6.

ÁREA DEL PARALELOGRAMO.

El paralelogramo es un polígono que tiene 4 lados, que son iguales y paralelos, de dos en dos. Los ángulos son distintos de 90º. La suma de los 4 ángulos es de 360 grados. El área se halla con la formula siguiente: Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜 = 𝑏𝑎𝑠𝑒 × 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎

A  bh 5.12.7.

ÁREA DEL CÍRCULO. El círculo es la región delimitada por una circunferencia. La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos que equidistan del centro. Para hallar el área del círculo se utiliza la siguiente formula: A    r2 En este caso se multiplica el valor del número π que es aproximadamente 3,14 por la longitud del radio elevada al cuadrado r 2

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ÁREA DE UN POLÍGONO REGULAR

Se consideraran los polígonos regulares que tienen más de 4 lados iguales por ejemplo pentágonos (5 lados), hexágonos (6 lados), entre otros. Los ángulos también son iguales. Para calcular el área de estos polígonos se utiliza la siguiente expresión matemática 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜 =

𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 × 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑎𝑑𝑜 × 𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎 2

A

n La 2

. La apotema es el segmento que va desde el centro del polígono hasta mitad de un lado.

Ejemplo 1: calcular el área de un paralelogramo cuya base mide 10cm y la altura es de 7cm

Solución

El área del paralelogramo viene dada por 𝑏×ℎ 𝐴= 2 Se conoce la longitud de la base b= 10cm y la altura h= 7 cm, reemplazando valores 10𝑐𝑚 × 7𝑐𝑚 70𝑐𝑚2 𝐴= = = 35𝑐𝑚2 2 2 Es decir que el área del paralelogramo es de 35cm2 Problema 1: Calcula el número de baldosas cuadradas, de 10 cm, de lado que se necesitan para enlosar una superficie rectangular de 4 m de largo y 9 m de ancho.

Solución

Entender el problema: se dan las dimensiones de las baldosas de forma cuadrada que representan una superficie pequeña con el fin de conocer cuántas de ellas se necesitan para cubrir una superficie más grande de forma rectangular. Configurar el plan: Se debe calcular primero el área de cada baldosa con el fin de conocer la superficie que cubre cada una de ellas, luego se calcula el área de la superficie mayor que se va a embaldosar. Debe tenerse en cuenta que las dimensiones tanto de las baldosas como de la superficie a embaldosar deben estar expresadas en las mismas unidades de medidas. Una vez calculadas las dos áreas para conocer cuántas baldosas se necesitan se divide el área de la superficie entre el área de la baldosa Ejecutar el plan: Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA

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Las baldosas tienen formas de un cuadrado de lado l = 10cm por lo tanto área de cada baldosa es 𝐴𝑟𝑒𝑎 = 𝑙 × 𝑙 𝐴 = 10 𝑐𝑚 × 10 𝑐𝑚 = 100 𝑐𝑚2 2 2 Se convierten los 𝑐𝑚 a 𝑚 100 100𝑐𝑚2 = 𝑚2 = 0.01 𝑚2 10000 La superficie que se va a embaldosar tiene forma de un rectángulo, por lo tanto su área viene dada por 𝐴 = 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 × 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 𝐴= 𝐿×𝑎 Donde 𝐿 = 4 𝑚 y 𝑎 = 9 𝑚, remplazando valores se tiene 𝐴 = 4 𝑚 × 9 𝑚 = 36 𝑚2 Ahora se divide el área de la superficie por el área de la baldosa 36 𝑚2 = 3600 0.01 𝑚2 Por lo tanto se necesitan 3600 baldosas para enlosar la superficie. Mirar atrás: para comprobar el resultado se podría estimar cuantas baldosas caben a lo largo y a lo ancho de la superficie. Se tendrá en cuenta que cada baldosa tiene 0,1m de lado, lo que significa en los 4m caben 40 baldosas y en los 9 m caben 90 baldosas. Por lo tanto 90×40 = 3600 baldosas Problema 2: En las instalaciones la Universidad del Magdalena se desea construir un jardín como el que está representado en la siguiente figura. En la zona sombreada se va sembrar grama y el resto corales rojos. ¿Cuál es el área del jardín, qué área queda cubierta con corales y qué área queda cubierta con grama?.

Solución

Comprender el problema: Se presenta un hexágono de apotema a =8m, inscrito en una circunferencia de radio r =9m , se pide hallar el área del jardín que equivale al área del círculo, el área sembrada por corales que corresponde al área del hexágono y el área sembrada con grama que corresponde la diferencia entre estas dos áreas. Configurar el plan: Primero se encuentra el área de la circunferencia conociendo el radio r = 9m, luego se calcula el área del hexágono cuya apotema mide 8 m, como no se conoce el valor de los lados del hexágono se utiliza el teorema de Pitágoras para hallarlo y por último se Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA

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calcula el área sombreada que se obtiene de la diferencia entre el área del círculo y el área del hexágono. Ejecutar el plan:  Se calcula el área del jardín que corresponde al área del círculo que viene dada por 𝐴 = 𝜋. 𝑟 2 Reemplazando valores 𝐴 = 3,14 × (9𝑚)2 = 3,14 × 81𝑚2 = 254,46𝑚2 El área del jardín será de 254,46 m2  Se calcula el área sembrada con corales que corresponde al área del hexágono Como no se conoce la longitud del lado del hexágono, aplicando el teorema de Pitágoras se puede calcular la mitad de la longitud del lado según se observa en la figura. 𝐿 2

( ) = 𝑟 2 − 𝑎2 Reemplazando valores 2 𝐿 2

(2) = (9𝑚)2 − (8𝑚)2 = 81𝑚2 − 64𝑚2 = 17𝑚2 Extrayendo raíz cuadrada 𝐿

=4,12m despejando L se tiene L= 4,12m×2=8,24m 2

Se calcula el perímetro del hexágono 𝑃 = 6𝐿 = 6 × 8,24𝑚 = 49,44𝑚 El área del hexágono viene dada por 𝑃×𝑎 𝐴= 2 49,44𝑚 × 8𝑚 395,52𝑚2 𝐴= = = 197,76𝑚2 2 2 El área de la plantación de corales es de 197,76m2 

El área sembrada con grama se calcula restando el área del círculo menos la del hexágono A = 254,46m2 – 197,76m2 = 56,7 m2

Luego el área sembrada con grama es de 56,7 m2 Mirar atrás: comprobar los cálculos ACTIVIDAD N° 2 1. Realiza las conversiones según se indique 2. Convertir a metros cuadrados las siguientes unidades de superficie. a. 32 Dm2 b. 30000 cm2 c. 1,16 Hm2 = 2 2 d. 520000 dm e. 0,008 km f. 2 000 000 mm 3. Convierta a la unidad indicada a. 82.5 m2 a dm2 b. 0.78 Km2 a Hm2 c. 38.7 Dm2 a m2 Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA Página 93 de 138

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d. 7.77 Km2 a Dm2 e. 8000 cm2 a m2 f. 0.025 m2 a cm2 4. Una alfombra rectangular tiene 95cm de ancho y 175cm de largo. ¿Cuántos metros cuadrados se pueden cubrir con la alfombra? 5. Un terreno rústico de 5 hectáreas está valorado en $133.350.000.000 y se desea vender por metros cuadrados. ¿Cuál es el precio del metro cuadrado? 6. La superficie de una mes a está formada por una parte centr al cuadrada de 1.5m de lado y dos semicírculos adosados en l os lados opuestos, como muestr a la figura. Hállese el área de la mesa en m2 y en cm2

5.13. UNIDADES DE VOLUMEN. La unidad de estas medidas es el metro cúbico, que es un cubo que tiene de arista un metro lineal y se representa por m 3 . Estas medidas aumentan y disminuyen de mil en mil. Los múltiplos y submúltiplos del m 3 son:

Observamos que desde los submúltiplos, en la parte inferior, hasta los múltiplos, en la parte superior, cada unidad vale 1000 más que la anterior. Por lo tanto, el problema de convertir unas unidades en otras se reduce a multiplicar o dividir por la unidad seguida de tantos tríos de ceros como lugares haya entre ellas. Ejemplo: convertir 1.36 hm 3

m3

Solución

Tenemos que multiplicar, porque el Hm3 es mayor que el m 3 ; por la unidad seguida de seis ceros, ya que hay dos lugares entre ambos. 1.36 × 1000000 = 1.360.000 m 3 Ejemplo: convertir 15 000 mm 3

cm 3

Solución Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA

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Tenemos que dividir, porque el mm 3 es menor que el cm 3 , por la unidad seguida de tres ceros, ya que hay un lugar entre ambos. 15 000 ÷ 1000 = 15 cm 3

5.14. VOLUMEN DE CUERPOS El volumen es la medida del espacio que ocupan los cuerpos

5.14.1.

VOLUMEN DEL CUBO

El cubo es un cuerpo formado por seis caras. Su superficie está constituida por 6 cuadrados, 8 vértices y 12 aristas. Llamaremos a la longitud del lado de cada cuadrado a El área total es A T  6  a2 Su volumen es V  a3

5.14.2.

VOLUMEN DE UN ORTOEDRO

Cuando la medida de los lados no es igual, al cuerpo se le conoce como ortoedro El área total se calcula a partir de A T  2(a  b)  (a  c)  (b  c) Y el volumen puede calcularse utilizando la expresión matemática V  L  a  c Ejemplo: calcular el volumen de un ortoedro de 4cm de largo, 2cm de ancho y 5cm de alto

Solución

40cm3

L=4cm, a=2cm h=5cm El volumen es V = 4cm × 2cm × 5cm =

5.14.3.

VOLUMEN DE UNA PIRÁMIDE

Una pirámide es un Poliedro cuya base es un polígono cualquiera y cuyas caras laterales son triángulos con un vértice común, que es el vértice de la pirámide. Elementos de una pirámide 

La altura de la pirámide es el segmento perpendicular a la base, que une la base con el vértice.

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 La apotema de la pirámide es la altura de cualquiera de sus caras laterales. Las aristas de la base se llaman aristas básicas y las aristas que concurren en el vértice, aristas laterales. El área total es Á𝑟𝑒𝑎𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐴𝐿𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 + Á𝑟𝑒𝑎𝐵𝑎𝑠𝑒 El área lateral puede calcularse a partir de 𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝐵𝑎𝑠𝑒 × ℎ𝑐 Á𝑟𝑒𝑎𝐿𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 2 Para calcular el volumen se utiliza la expresión matemática V 

AB  h 3

Ejemplo: Calcular el volumen de una pirámide de base rectangular de ancho 3m y de largo 5m, cuya altura es de 8m

Solución

Área de la base AB  a  b , por ser un rectángulo AB  3m  5m  15m2 , luego el volumen es V 

5.14.4.

A B  h 15m 2  8m 120m 3    40m3 3 3 3

VOLUMEN DE UN CILINDRO

Es el cuerpo engendrado por un rectángulo que gira alrededor de uno de sus lados. Elementos del cilindro Eje: Es El lado fijo alrededor del cual gira el rectángulo. Generatriz (g): Es el lado opuesto al eje, y es el lado que engendra el cilindro. Bases: Son los círculos que engendran los lados perpendiculares al eje. Altura (h): Es la distancia entre las dos bases, esta distancia es igual a la generatriz. El área total es: A T  2    r  ( h  r ) Su volumen es: V    r 2  h Ejemplo: calcular el área de un cilindro, si sabemos que el radio de la base mide 0,2 m y su altura 6m

Solución

r = 2 m, h = 6m El volumen es V    r 2  h  3,14  ( 2m) 2  6 m  3,14  4m2  6 m  75 ,36 m3 Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA

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5.14.5.

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VOLUMEN DE UN CONO

Es el cuerpo de revolución obtenido al hacer girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Elementos del cono Eje: Es el cateto fijo alrededor del cual gira el triángulo. Base: Es el círculo que forma el otro cateto. Generatriz (g): Es la hipotenusa del triángulo rectángulo. Altura (h): Es la distancia del vértice a la base. El área total es: A T    r  (g  r) Donde g es la generatriz g2 = r2 + h2 El volumen es V 

  r2  h 3

Ejemplo: Calcular el volumen de un cono cuya base es un círculo de 7cm de radio y cuya altura mide 12 cm

Solución

r = 7cm, V 

5.14.6.

h = 12 cm. 2

 r  h 3



3 ,14  (7 cm) 2  12cm 3 ,14  49cm 2  12cm 1846 ,3 cm 3    615 ,4 cm 3 3 3 3

VOLUMEN DE UNA ESFERA Elementos de la esfera Centro: Punto interior que equidista de cualquier punto de la esfera. Radio: Distancia del centro a un punto de la esfera. Cuerda: Segmento que une dos puntos de la superficie. Diámetro: Cuerda que pasa por el centro. Polos: Son los puntos del eje de giro que quedan sobre la superficie esférica. Su área es: A T  4    r 2

Su volumen es: V 

4 3

   r3

Ejemplo: El diámetro de una esfera mide 40 cm. calcular su volumen Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA

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Solución

D = 40cm Se conoce el diámetro de la circunferencia, para hallar el radio se divide el diámetro entre 2, ya que el radio es la mitad del diámetro, es decir r  volumen V 

4 3

   r3 

4 3

 3 ,14  ( 20cm) 3 

D 40cm   20 cm , ahora se calcula el 2 2

12 ,56  8000cm 3 100480   33493 ,3cm 3 3 3

Problema1: En un almacén de dimensiones 5m de largo, 3m de ancho y 2m de alto queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo, 6 dm de ancho y 4 dm de alto. ¿Cuántas cajas podremos almacenar? Entender el problema: Se dan las dimensiones de una caja que representa un cuerpo pequeño y las dimensiones del almacén que representa un cuerpo más grande, se pide encontrar cuantas cajas se pueden colocar dentro del almacén conociendo primero los respectivos volúmenes. Diseñar un plan: Se calcula el volumen de cada caja para conocer el espacio que ocuparía cada una de ellas, luego se calcula el volumen del almacén y para conocer el número de cajas que pueden almacenarse se divide el volumen del almacén entre el volumen de cada caja Ejecutar el plan: Inicialmente hallamos el volumen de cada caja 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛𝐶𝑎𝑗𝑎 = 10 𝑑𝑚 × 6 𝑑𝑚 × 4 𝑑𝑚 = 240 𝑑𝑚3 El valor obtenido lo pasamos a m3 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛𝐶𝑎𝑗𝑎 = 240 𝑑𝑚3 ×

1 𝑚3 = 0.24 𝑚3 1 000 𝑑𝑚3

Ahora hallamos espacio total del almacén 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛𝐴𝑙𝑚𝑎𝑐𝑒𝑛 = 5 𝑚 × 3 𝑚 × 2 𝑚 = 30 𝑚3 Dividimos el volumen del almacén por el de cada caja 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛𝐴𝑙𝑚𝑎𝑐𝑒𝑛 30 𝑚3 = = 125 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛𝐶𝑎𝑗𝑎 0.24 𝑚3 Entonces en el almacén se pueden depositar 125 cajas de las dimensiones dadas Mirar hacia atrás: se comprueban los resultados

5.15. UNIDADES DE CAPACIDAD. Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA

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 

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La unidad de estas medidas es el litro. Estas medidas aumentan y disminuyen de diez en diez.

Los múltiplos y submúltiplos del litro son: Si queremos pasar de una unidad a otra tenemos que multiplicar (si es de una unidad mayor a otro menor) o dividir (si es de una unidad menor a otra mayor) por la unidad seguida de tantos ceros como lugares haya entre ellas. Ejemplo: Expresar 50 Hl

Solución

cl

50 × 10 000 = 500 000 cl Ejemplo: Expresar 2587 cl

Solución

l

2587 ÷ 100 = 25.87 l ACTIVIDAD N° 3 1. Realiza las conversiones que se indican en la tabla Convierta en metros Cúbicos a. b. c. d. e.

0,014 km3 5. 600. 000 cm3 1,16 Hm3 137. 500.000 dm3 3.500.000.000 mm3

Convierta en centímetro cúbicos a. b. c. d. e.

3,5 m3 3,600 mm3 0,000 125 Hm3 35,64 dm3 0,0750 Dm3

Convierta en milímetros Cúbicos a. 3,635 cm3 b. 0,625 m3 c. 0,05525 dm3 d. 1,004 Dm3 e. 400ml

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2. una piscina tiene la forma y las dimensiones que se indican en la siguiente figura. a. ¿Cuál es el volumen de la piscina? b. Cuantos litros de agua se requieren para llenar la piscina completamente c. Si el metro cuadrado de la piscina se pinta a razón de $9.000 ¿Cuánto cuesta pintarla interiormente?

3.

En un almacén de dimensiones 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de alto queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo, 6 dm de ancho y 4 dm de alto. ¿Cuántas cajas podremos almacenar?

4.

Una pared debe tener 7,5 m de largo, 5,6 m de alto y un grosor de 30 cm. ¿Cuántos ladrillos de 15 cm por 10 cm por 6 cm serán necesarios si en su construcción el cemento ocupa un 1,89m3 del volumen?

5.

Para una fiesta se han diseñado 40 gorros con la forma y las dimensiones que indican en la en la siguiente figura. Determinar el espacio que ocupa cada gorro ¿Qué cantidad de cartón se habrá utilizado en los 40 gorros?

a. b.

5.16. UNIDADES DE MASA La principal unidad de masa del Sistema Internacional (SI) es el kilogramo (kg). Cada unidad métrica de masa es 10 veces mayor que la unidad inmediata inferior y 10 veces menor que la unidad inmediata superior. Tonelada T

Quintal q

Kilogramo kg

Hectogramo Hg

Decagramo Dg

gramo g

decigramo dg

centigramo cg

miligramo mg

Otras unidades de peso de uso común en el comercio de los productos agrícolas son:     

1 libra (1 lb) = 453.59 g 1 arroba (1 @) = 25 lb 1 onza (oz)= 28.35 g 1 US ton (ton)= 0.907 toneladas métricas 1 UK ton (ton) = 1.016 toneladas métricas

Ejemplo: Expresar 50 kg

dg

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Tenemos que multiplicar, porque el kilogramo es mayor que el decigramo; por la unidad seguida de cuatro ceros, ya que hay cuatro lugares entre ambos. 50 kg × 10 000= 500 000 dg Ejemplo: Expresar 408 mg

dg

Solución

Tenemos que dividir, porque el miligramo es menor que el decigramo, por la unidad seguida de dos ceros, ya que hay dos lugares entre ambos. 408 ÷ 100 = 4.08 dg ACTIVIDAD N° 4 1. Expresa en kg las cantidades que se indican en la siguiente tabla a. 14 t e. 16 @

b. 213 q f. 17256 lb

c. 2157 g d. 15 000 mg g. 658 oz h. 0.25 US ton

2. En una finca se recolectó durante la cosecha de café 1207 @ y 9 lb. Si se vendió a $3.200 el kilogramo ¿cuánto dinero se recibió? 3. Un barco inglés lleva 15.700 T de carbón. Si se pagan 3.5 dólares por tonelada norteamericana (US ton). ¿Cuál es valor de la cantidad de carbón que transporta el barco? 4. Un camión con capacidad para 70 toneladas es cargado para transportar el producto desde Armenia hasta Bogotá. Si Cada bulto de café tiene una masa de 70kg. a. ¿cuántos bultos de café se pueden transportar al tiempo en el camión? b. Si al regresar de Bogotá a Armenia el camión es cargado con papa, cuyo bulto tiene una masa de 132,288 libras ¿cuantos bultos de papa puede transportar el camion a su máxima capacidad? 5. En un envase de bebida, aparece la siguiente información nutricional: Por 100 mL

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Proteínas Azúcares Grasas Fibra Sodio Calcio Vitaminas

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3,3 g 2,8 g 1,9 g 0,6 g 50 mg 120 mg 0,25 mg

a) Indica la cantidad de cada nutriente que hay en un vaso de 250 mililitros y en una botella de un litro de esta bebida. b) La cantidad diaria recomendada de calcio es de 0,8g. Si se quiere cubrir la cuarta parte de dicha cantidad consumiendo esta bebida, ¿cuántos ml se deberá beber al día?

5.17. UNIDADES DE TIEMPO Segundo (s) Día Año Siglo

Minuto (min) Semana Lustro Milenio

Hora (h) Mes Década

Equivalencias entre unidades de tiempo: 1 minuto = 60 segundos 1 hora= 60 minutos = 3.600 segundos 1 día = 24 horas 1 semana = 7 días 1 mes = 30 días (hay de 28 y de 31, pero para los problemas se consideran de 30 días) 1 año = 365 días = 52 semanas 1 lustro = 5 años 1 década = 10 años 1 siglo = 100 años 1 milenio = 1.000 años Ejemplo: ¿A cuántas horas y minutos equivalen 12537 segundos?

Solución

Para saber cuántos minutos hay en 12537 segundos, dividimos entre 60 12537 ÷ 60 = 208min + 57 seg. Dividimos entre 60 para hallar las horas que hay en 208 minutos Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA

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208 ÷ 60 = 3horas + 28 min. Por lo tanto en 12537 segundos hay 3horas, 28 minutos y 57 segundos ACTIVIDAD N° 5 1. Expresar en horas y minutos: a. b. c. d.

1 12 413 segundos 2 8 179 segundos 3 7 950 segundos 4 7520 segundos

2. Expresa en segundos: a. 1 3 h 26 min 53 s b. 3 2 h 48 min 30 s c. 4 3 h 36 min 42 s 3. Indica la diferencia de tiempo entre cada par de relojes

4. Resuelve la operación 6 h 13 min 24 s − 2 h 24 min 36 s Transformación de unas unidades a otras: * De menores a mayores: Dividir Transforma 38.520 segundos a horas, minutos y segundos. (38.520 s h, min y s) a) Dividimos 38.520 s entre 60 y obtenemos 642 minutos y sobran 3 segundos. b) dividimos los 642 minutos entre 60 y obtenemos 10 horas y sobran 42 minutos. El resultado final es: 10 horas, 42 minutos y 3 segundos. Con estas operaciones hemos transformado una expresión incompleja a otra compleja. * De mayores a menores: Multiplicar Transforma 3 horas, 25 minutos y 13 segundos a segundos (3 h 25 min 13 s s) Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA

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a) Las horas las multiplicamos por 60 obteniendo los minutos y el resultado por 60 para calcular los segundos. b) Los minutos los multiplicamos por 60 para obtener los segundos. c) Finalmente sumamos todos los segundos obtenidos. Con estas operaciones hemos transformado una expresión compleja a otra incompleja.

5.18. TALLER GENERAL DEL CAPITULO

1. La carretera Troncal del Caribe se extiende desde Turbo hasta Paraguachón. Se divide en 10 sectores para facilitar la ubicación de poblaciones y puntos de obras según se indica en al siguiente tabla. TRAMO INICIO FINAL RECORRIDO (km) 1 Turbo Necoclí 45 2 Necoclì Puerto Rey 82 3 Puerto Rey Lorica 57 4 Lorica San Onofre 104 5 San Onofre Cartagena 99 6 Cartagena Barranquilla 120 7 Barranquilla Santa Marta 91 8 Santa Marta Palomino 72 9 Palomino Riohacha 90 10 Riohacha Praguachòn 88 a. ¿A cuántos metros equivale el recorrido completo por la troncal del caribe? . expresa esta distancia en millas y en pies b. ¿A cuántos cm equivale la distancia entre Santa Marta Y Cartagena? c. La ruta Santa Marta – Ciénaga cubre 28,03km. ¿Cuántos metros separan a ciénaga de Barranquilla? 2. Un terreno rectangular de 40m de largo por 25 metros de ancho requiere ser encerrado con tres hilos rectos de alambre de púas. ¿Cuántos metros de alambre se requieren para el encerramiento del terreno? 3. Una cancha futbol es un rectángulo que para partidos internacionales de acuerdo con el reglamento de la FIFA, sus dimensiones máximas son 45m de ancho por 100m de la largo y las dimensiones mínimas son de 40m de ancho por 90 metros de largo. Determina a. La diferencia del perimetro entre una cancha con la dimensiones maximas y otra con las dimensiones minimas. Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA

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b. La zona de recorrido de un juez de linea se situa entre la linea central y el banderin de esquina. ¿en cuntos km se diferencia el recorrido en su zona de un juez de linea que hace 10 veces ida y vuelta su recorrido en una cancha con las dimensiones maximas y otro que hace 15 veces el recorrido ida y vuelta en una cancha con dimensiones mìnimas? 4. El área de un triángulo es 196 unidades cuadradas. Si su altura mide 14 unidades ¿Cuál es la longitud de la base? 5. Si la razón de las áreas de dos triángulos es 3/2 y la base y la altura de uno de los dos triángulos miden 5cm y 8 cm, respectivamente ¿Cuál es el área del otro triangulo? 6. Si la diagonal de un cuadrado es 15cm ¿Cuál es su área? 7. Calcula el área sombreada en cada caso.

8. La altura de un prisma pentagonal recto es 10cm y las longitudes de las aristas de la base, en cm son 4, 5, 7,8 y 8. Determinar el área lateral de la superficie y volumen que ocupa el cuerpo.

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9. Los lingotes de oro tienen forma de prisma recto cuya base es un trapecio. Si ciertos lingotes tienen la medida indicada en la 17 ilustración y por centímetro cubico hay 2 Gramos ¿Cuántos kg de oro hay en un lingote como el de la siguiente figura?

10. Se quiere construir una caja cilíndrica que tenga 50cm3 de volumen. Si el círculo tiene 5cm de diámetro ¿Cuál debe ser la medida de la altura del cilindro? ¿Cuánto material se necesita?

11. De un tronco de madera que tiene forma de prisma recto y cuyas dimensiones son 4m, 4cm y 10cm. se quiere sacar una columna cilíndrica del mayor volumen posible ¿Cuánta madera se desperdiciará?

12. El prisma recto y la pirámide de la siguiente figura tienen la misma base y la atura de la pirámide es la mitad de altura del prisma. a. ¿Cuál es el volumen del sistema? b. Si se extrae la pirámide y el espacio dejado por ella se rellena de agua ¿Cuántos ml de agua se pueden introducir? 13. La cúpula de una catedral tiene forma semiesférica, de radio 50 m. Si restaurarla tiene un coste de 300 € el m2, ¿A cuánto ascenderá el presupuesto de la restauración? Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA

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14. ¿Cuántas losetas cuadradas de 20 cm de lado se necesitan para recubrir las caras de una piscina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de profundidad? 15. Un recipiente cilíndrico de 10 cm de radio y 5 cm de altura se llena de agua. Si la masa del recipiente lleno es de 2 kg, ¿cuál es la masa del recipiente vacío? 16. Un cubo de 20 cm de arista está lleno de agua. ¿Cabría esta agua en una esfera de 20 cm de radio? 17. Un recipiente que tiene la forma que se indica en la siguiente figura (medidas en cm) se llena completamente de agua, en él se introduce una esfera cuyo diámetro es 10cm y luego se saca ¿Qué volumen de agua queda en el recipiente? 18. Las medidas internas de un tanque elevado son: diámetro superior de 76cm, diámetro inferior de 60cm y altura de 1,432m. a. ¿Cuántos litros de agua se pueden almacenar en este tanque? b. ¿Cuál es el área total del tanque? c. Si el espesor de las paredes del tanque es 20mm ¿Cuántos m 3 de material se requieren para elaborar el tanque? 19. Una persona se encuentra frente a una fuente con dos cántaros, uno de los cuales tiene capacidad para medir 7 litros y otro para medir 5 litros ¿De qué manera la persona puede medir 5 litros? 20. Un comerciante vende arroz empacado en bolsas de 1kg, 2kg, 5kg y 10kg. ¿De cuántas formas distintas en número de bolsas puede un cliente llevarse 15 kg de arroz? 21. ¿Una persona da un paseo en bicicleta y recorre 4,2 km. Cuántos m ha recorrido? 22. ¿Cuántas varillas de 28 cm de longitud se pueden sacar de una varilla hierro de 5 m y 6 dm? 23. Andrea tiene una cinta azul y una cinta blanca. La cinta azul mide 1 m, 2 dm y 5 cm, la cinta blanca mide 6 dm, 8 cm y 5 mm. a) Calcula la longitud en centímetros de cada cinta. b) La cinta azul, la ha cortado en 5 trozos iguales. ¿Cuál es la longitud en milímetros de cada trozo? c) Andrea necesita 1,3 metro de cinta blanca. ¿Cuántos centímetros más de cinta blanca tiene que comprar? 24. Los mayores murciélagos se llaman zorros voladores. Con sus alas extendidas pueden alcanzar 1,5 metros de longitud." a. ¿Qué significan las 5 décimas de metro? Explica. b. ¿Cuantos decímetros mide el murciélago? Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA

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25. Una niña de 4 años mide, aproximadamente, 95cm. Resulta increíble que a las 6 y media semanas de gestación sólo medía 5mm de longitud y en la edad adulta pueda alcanzar la estatura de 1 metro y 65 centímetros. "Para establecer una comparación entre las diferentes estaturas que puede alcanzar una mujer y compararlas, escribe cada medida tomando como unidad el metro. Comparte y escribe las respuestas con tus compañeros y compañeras y discute cuándo es conveniente expresar las longitudes en metros y en otras unidades. 26. ¿Cuál es el precio de un terreno de 8.7 Hm2 a razón de $600 000 m2? 27. Una finca A tiene una superficie de 2ha, 15 a y 35ca; una finca B tiene una superficie de 5 Hm2, 13a y 12 m2, y una finca C tiene una superficie de 8 ha, 3 Dm2 y 18ca. a. Calcula la superficie en metros cuadrados de cada finca. b. La finca A está dividida en 5 parcelas iguales; la finca B está dividida en 16 parcelas iguales, y la finca C está dividida en 2 parcelas iguales. ¿Cuál es la superficie en áreas de cada parcela de la finca A, de la finca B y de la finca C? 28. El distrito de Santa Marta compró un terreno de 20 Ha y 10a para un parque temático y un terreno de 20 Dm2 y 50a para una piscina olímpica. Calcula: a. El precio del terreno para el parque si se vende a $50.000 el m2. b. El precio del terreno para la piscina si se vende a $500.000 el m2 29. La isla mayor de la Tierra es Groenlandia y mide 2.180.000 km2 y una de las más pequeñas es Cabrera, con 2000 ha. ¿Cuántas veces cabe Cabrera en Groenlandia? 30. El vendedor de un terreno nos dice que ocupa una superficie de 55000 m2 ¿Cuántas hectáreas tiene el terreno? 31. La alcaldía de un municipio compró un terreno de 20 ha para un parque. Calcula el precio del terreno si se vende a $500000 el m2. 32. ¿Cuántas hectáreas tiene un solar de 20000 m2? 33. Una finca de 30,225 ha se vende a $1200 el área ¿Cuál es el precio total? 34. El Gobierno Colombiano devolverá 312.000 hectáreas a las víctimas del desplazamiento forzado, fruto del conflicto armado que se vive en el país. El programa, según indicó el Ministerio de Agricultura, beneficiará a 130.487 familias. ¿Cuántos metros cuadrados le corresponderá a cada familia? 35. Los trozos cúbicos de jabón de 5cm de arista se envían en cajas cúbicas de 60cm de arista. ¿Cuántos trozos puede contener la caja? 36. En una caja de 0,696 Dm3, ¿cuántos cubos de 12 m3 caben? 37. Un barco transporta 75 Dm3 de vino y se quiere envasar en cubos de 1,2 m3. ¿Cuántos cubos se necesitarán? 38. Un caramelo tiene un volumen de 1,3 cm3. ¿Cuántos caramelos caben en una caja de 0,4498 dm3? 39. Una alberca mide 3,5 m por cada lado. ¿Cuántos litros de agua caben? 40. Una piscina se llena con 40 m3 de agua ¿cuál es la capacidad, en litros, de la piscina? 41. ¿Cuántos litros de gasolina caben en un depósito de 90dm de largo, 300cm de ancho y 0.55Dm de altura? Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA

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42. Una pared debe tener 7,5m × 5,6m y un grosor de 30 cm. ¿Cuántos ladrillos de 15cm × 10 cm × 6 cm serán necesarios si en su construcción el cemento ocupa un 15% del volumen? 43. Un sótano cuya superficie es de 208 m2 se ha inundado. El agua llega a 1,65 m de altura. Se extrae el agua con una bomba que saca 6hl por minuto. ¿Cuánto tiempo tardará en vaciarlo? 44. Un barco inglés lleva 15. 700 toneladas métricas de carbón. Si se pagan 3.5 dólares por tonelada norteamericana (US ton). ¿Cuál es valor del embarque? 45. ¿Cuánto dinero recibe un agricultor por la venta de 18 @ de yuca si en el mercado le pagan a $800 el Kg?

5.19. BIBLIOGRAFIA  Aritmética, Decima Tercera Edición —1997 Dr. Aurelio Baldor  Geómetra, Decima Tercera Edición —1997 Dr. Aurelio Baldor  Ejercicios PSU Matemática, Primera Edición —2004 Danny Perich C.  Matemática Hoy 7_ Básico, Primera Edición —1991 Ana María Panesi P. Y Carmen Gloria Bascuñan B.  Matemática PSU, Primera Edición —2007 Marcelo Rodríguez Aguilera PSU Parte Matemática, Volúmenes 1 Y 2, Primera Edición —2006  Swokowiski Earl W. Cole Jeffery A. Álgebra Y Trigonometría Con Geometría Analítica 3 Edición. Editorial Iberoamericana 1996  Baldor, A. Álgebra. Publicaciones Culturales. Mc. Graw Hill, Madrid México. 1983. Barnett Y Raymond A. Álgebra Y Trigonometría 3 Edición. Mac Graw Hill. México 1994

5.20. WEBGRAFÍA: http://www.clarionweb.es/5_curso/matematicas/tema512.pdf http://www.ciencia-ahora.cl/Revista15/03MagnitudesFisicas.pdf

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6 FUNCIONES 6.1. Objetivos 1. Comprender el concepto de función y relacionarlo con situaciones de la vida real 2. Determinar el dominio de una función 3. Interpretar gráficas relacionadas con situaciones reales mostrando los aspectos más relevantes 4. Hallar la función inversa de una función 5. Identificar una función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva 6. Determinar los puntos máximos y mínimos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una curva 7. Identificar las características y gráficas de las funciones lineal y cuadrática

6.2. Competencias      

Capacidad para formular, plantear, transformar y resolver problemas matemáticos. Identificación de regularidades, modelos y estructuras matemáticas en procesos y situaciones problémicas. Capacidad comunicativa en lenguaje matemático. Capacidad para representar objetos matemáticos en diferentes registros o sistemas de notación para crear, expresar y representar ideas matemáticas. Capacidad para juzgar la validez de un razonamiento lógico matemático. Habilidad para usar calculadoras y software matemáticos en la solución de problemas matemáticos.

6.3. BASE CONCEPTUAL 6.3.1. INTRODUCCIÓN. Uno de los conceptos más importantes en matemática es el de función. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x. En 1694 el matemático alemán G. W. Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. La noción de función que más se utiliza en la actualidad fue dada en el año 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (18051859). En la vida diaria las funciones constituyen una poderosa herramienta para describir fenómenos. Son usados por físicos, ingenieros, economistas, entre otros, para establecer por ejemplo la variación del precio de un producto a través de los años; el crecimiento de la población en un periodo de tiempo; la resistencia de un material a distintas temperaturas, en fin, su uso es inevitable. Departamento de Estudios Generales e Idiomas FUNCIONES

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Por ejemplo, en un árbol que crece 25 cm cada año, su altura podría estar relacionada con la edad mediante la función: a(edad)=edadx25 Con lo que si la edad es 10 años, su altura es a(10)=250 cm. CONCEPTOS BÁSICOS 6.3.2. Pareja Ordenada Conjunto de números de la forma (a, b) con a, b ϵ R; donde a se denomina primera componente y b segunda componente. Dos parejas ordenadas (a, b) y (c, d) son iguales si y solamente si a = c y b = d.

6.3.3. Intervalos Subconjunto de los números reales y se clasifican en finitos e infinitos.

FINITOS  Abierto Subconjunto de todos los números x comprendidos entre a y b, excluyendo a y b, simbólicamente (a, b) = {x 𝜖 𝑅/ a < x a} [a,∞) = {x 𝜖 𝑅/ x ≥ a} (-∞, a) = {x 𝜖 𝑅/ x < a} (-∞, a] = {x 𝜖 𝑅 / x ≤ a}

∞

a

∞

a

∞

∞

a

a

6.3.4. Función Definición. Sean A y B dos conjuntos, una función de un conjunto A en un conjunto B es una regla que hace corresponder a cada elemento x perteneciente al conjunto A, uno y solo un elemento y del conjunto B, que se denota y= f (x). En símbolos, se expresa f: A → B, siendo el conjunto A el dominio de f (conjunto de partida), y el conjunto B el codominio (conjunto de llegada-Cf).

Al conjunto formado por todos los posibles valores de x, se le llama domino de la función, se denota por Df y al conjunto formado por todos los posibles valores de y, que son imágenes de x a través de f se le denomina rango o recorrido de la función, se denota por Rf. La notación y = f (x) señala que y es una función de x. La variable x es la variable independiente, y el valor y se llama variable dependiente, y f es el nombre de la función. Puede haber algunos elementos del codominio que no sean imagen de un elemento del dominio, pero debe cumplirse que cada elemento del dominio sea preimagen de al menos un elemento del codominio. Ejemplo: En la figura se puede apreciar una función f : X  Y , con D f  X  1,2,3,4 C f  Y  a, b, c, d  R f  b, c, d   Y

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6.3.4. Representación de una Función Una función se pueden representar de forma oracional, de tabla, como diagramas de Venn, como graficas cartesianas y por formulas. De forma oracional Incluye hasta las manifestaciones de nuestros sentimientos o pensamientos; pero hacemos énfasis particularmente en las reglas o consignas. Ejemplos: “ser la madre de”, “ser la cuarta parte de”, “ser el siguiente de”, “ser el doble de…, más 3 unidades”, etc. En forma de Tablas de valores en las que aparecen explícitamente los pares de valores [variable independiente – variable dependiente] que expresan la correspondencia que define determinada función. Ejemplos: 1. Los datos de la tabla muestran el número de familias vinculadas a un proyecto apícola en la Sierra Nevada de Santa Marta desde el año 1999 hasta 2007 Año

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

Nº de familias

128

253

378

503

628

753

878

1003

1128

7 0.43

8 0.38

2. Fracción de artefactos que funcionan después de t años de uso Años de uso Fracción de artefactos que funcionan

1 0.88

2 3 0.78 0.69

4 0.61

5 0.54

6 0.48

9 0.33

En forma de Diagramas de Venn son diagramas se muestran los conjuntos de partida y de llegada con sus respectivos elementos y las correspondencias establecidas entre éstos, representadas por flechas de unión. Esta representación sólo es útil en el caso de que los conjuntos de partida y de llegada contengan pocos elementos. Ejemplo de función

Ejemplo de no función

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En forma de Gráficas cartesianas: Son gráficas que se construyen a partir de dos ejes de referencia –llamados ejes de coordenadas–, uno horizontal (eje de abscisas) y otro vertical (eje de ordenadas). Habitualmente, en el primero se colocan los valores de la variable independiente como si se tratara de una recta real, ordenados y crecientes de izquierda a derecha; y en el eje vertical se colocan los valores de la variable dependiente, también como si se tratara de una recta real, ordenados y crecientes de abajo hacia arriba. Los valores de ambas variables deben ser, pues, numéricos. Ejemplo: La siguiente gráfica representa la variación de la temperatura de un enfermo de un hospital a lo largo de un día. A partir de ella es fácil determinar la relación entre la temperatura y las horas. Por ejemplo, la temperatura mínima se ha alcanzado a las dos de la tarde (14:00 horas) y la máxima a las ocho de la tarde (20:00 horas).

La gráfica nos da una visión intuitiva de la relación entre dos magnitudes y el comportamiento de una magnitud en función de la otra. Nuevamente, la temperatura del enfermo (variable dependiente) depende de la hora del día (variable independiente). Una función se caracteriza geométricamente por el hecho de que toda recta vertical que corta su grafica lo hace exactamente en un solo punto. Si una recta toca más de un punto de la gráfica, esta no representa a una función a esto se le conoce con el nombre de criterio de la recta vertical. y

y

y

x

x

x

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No es función

Es función

y

y

y

x x

x

Es función

No es función

Es función

Otra forma de representar una función es a través de Fórmulas que son expresiones algebraicas (pueden incluir números y símbolos literales) que expresan la relación existente entre las variables independientes y la variable dependiente. Según las fórmulas las funciones se clasifican en polinómicas o algebraicas y trascendentes, Las polinómicas son las que se pueden representar mediante expresiones algebraicas y pueden ser lineales, cuadráticas, cubicas, polinómiales, racionales, irracionales y por trozos (por sección o por partes). Las trascendentes, se llaman así para distinguirlas de las algebraicas, y son las logarítmicas, exponenciales y las trigonométricas. Ejemplo: Lineales Cuadráticas Polinómicas

Polinómicas Las trascendentes

Polinómiales

𝑓 (𝑥 ) = 2𝑥 − 1 𝑓 (𝑥 ) = 3𝑥 2 + 5𝑥 − 2 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 3 + 𝑥 2 − 4𝑥 − 4 2𝑥 − 5 − 5𝑥 + 6

Racionales

𝑓 (𝑥 ) =

Irracionales

𝑓 (𝑥 ) = √𝑥 + 2 2𝑥 − 3 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 5 𝑓 (𝑥 ) = 6 − 3𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 5 𝑓 (𝑥 ) = log 2 𝑥 𝑓 (𝑥 ) = (1200)20.25𝑥 𝑓 (𝑥 ) = cos(𝑥)

Por trozos, (por sección o por partes ) logarítmicas Exponenciales Trigonométricas

𝑥2

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6.3.5. CLASIFICACION DE LAS FUNCIONES Función Inyectiva: Una función es inyectiva si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente un único elemento del dominio. En otras palabras, de todos los pares (x, y) pertenecientes a la función, las y no se repiten. Ejemplo 1:

Para determinar si una función es inyectiva, graficamos la función por medio de una tabla de pares ordenados. Luego trazamos líneas horizontales para determinar si las y (las ordenadas) se repiten o no. En caso de que se repitan la función no es inyectiva, esto se conoce como el criterio de la recta horizontal. y

y

y

x

x

x

Inyectiva

Sobreyectiva

Inyectiva

Ejemplo 2: Sean los conjuntos A= {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3}, y la función f: A → B definida así f = {(1, 2), (2, 1), (3, 3)}, se puede observar que cada elemento del conjunto B es imagen de un solo elemento del conjunto A, por tanto la función es inyectiva o uno a uno. Función Sobreyectiva: Sea f una función de A en B, f es una función sobreyectiva, si y sólo si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A, bajo f. Ejemplo 1: Departamento de Estudios Generales e Idiomas FUNCIONES

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Ejemplo 2: Sean los conjuntos A = { a , e , i , o , u }, B = { 1 , 3 , 5 , 7 }, y la función f: A → B definida así f = { ( a , 1 ) , ( e , 7 ) , ( i , 3 ) , ( o , 5 ) , ( u , 7 ) }; luego se puede observar que f es sobreyectiva porque no existen elementos del codominio que no sea imagen de algún elemento del dominio. Función Biyectiva: Sea f una función de A en B, f es una función biyectiva, si y sólo si f es sobreyectiva e inyectiva a la vez. Si cada elemento de B es imagen de un solo elemento de A, diremos que la función es Inyectiva. En cambio, la función es sobreyectiva cuando todo elemento de B es imagen de, al menos, un elemento de A. Cuando se cumplen simultáneamente las dos condiciones tenemos una función BIYECTIVA. Ejemplo 1:

Ejemplo 2: Sean los conjuntos A = { a , e , i , o , u } y B = { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 }, y la función f: A → B definida así f = { ( a , 5 ) , ( e , 1 ) , ( i , 9 ) , ( o , 3 ) , ( u , 7 ) }; luego se puede observar que f es Biyectiva por ser inyectiva y sobreyectiva a la vez. 6.3.6. ESTUDIO DEL DOMINIO DE ALGUNAS FUNCIONES REALES Función real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de números reales, llamado dominio, otro número real.

f:D Departamento de Estudios Generales e Idiomas FUNCIONES

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f( x) = y

x 

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Dominio de la función polinómica

El dominio es R, cualquier número real tiene imagen. f (x)= x 2 - 5x + 6 D=R  Dominio de la función racional El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador. 3x  4 Ejemplo: Sea f ( x)  el dominio de f serán todos los números reales menos el 1. x 1 Es decir: D (f)=R-{1} 

Dominio de una función con radical El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical. El dominio de una función irracional de índice impar es R. El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero. Como el radicando de una raíz de índice par debe ser positivo, debemos

exigir: Tengo que exigir de nuevo:

Función Inversa Dada la función y=f(x) su inversa f -1(x) se obtiene expresando la función x=g(y). Gráficamente:

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Pasos a seguir para determinar la función inversa de una dada: 1. Se despeja la variable independiente x. 2. Se intercambian la x por la y, y la y por la x. 3. La ecuación obtenida es la inversa de la función dada. 4. Expresar la ecuación anterior con notación de función inversa, es decir f -1.

NOTA: No todas las funciones tienen inversa. Ejemplos: 1. y=4x + 1 𝑦−1 Despejando: 𝑥 = 4

2.

Intercambiando variables: y  Función inversa: f 1 ( x) 

x 1 4

x 1 4

y=x2+1 Despejando: 𝑥 = ±√𝑦 − 1 Intercambiando variables: y   x  1 Función inversa: f 1 ( x)  x  1 Gráficas

Gráficas

y

y=x^2+1 y

y=4x+1

x=(y-1)^(1/2) x

x=(y-1)/4

x

3.

𝑥+3

4. 𝑦 = √𝑥 − 1 Despejando 𝑥 = 𝑦 2 + 1

𝑦 = 𝑥−2

f: A

B

Función Directa

f: A

B

Función Inversa

A

B

B

A

x

f(x)

f(x)

x

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Despejando: 𝑥 =

3+2𝑦 𝑦−1

3  2x y 1 3  2x Función inversa: f 1 ( x)  y 1 Gráficas Intercambiando variables: y 

y

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Intercambiando variables: y  x 2  1 Función inversa: f 1 ( x)  x 2  1 Gráficas y

x=y^2+1

y=(x+3)/(x-2)

y=(x-1)^(1/2) x

x

x=(3+2y)/(y-1)

Raíces e Interceptos Las raíces o ceros son los puntos para los cuales f(x)=y=0, gráficamente son los puntos donde la gráfica corta al eje de la abscisa (x). No todas las funciones tienen raíces, puesto que puede haber curvas que no corten al eje "x".

y 

Raices

 

x 









  y = x^3-4x 



Los interceptos son los puntos para los cuales x=0, es decir los puntos donde la curva corta al eje de la ordenada (y)

y

    

Intercepto

  



x

 y = x^3-6x+3 





 

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Ejemplos: Halle las raíces y los interceptos de cada función, si existen. 1. f(x) = x2-2x-3 Gráfica Para hallar las raíces hacemos f(x)=0

y 

entonces x2-2x-3=0 Factorizando (x-3)(x+1)=0, entonces x - 3=0 por lo que x1 = 3 y x + 1=0 por lo que x2=-1

 

x

Por lo tanto la función tiene dos raíces que son x1 = 3 y x2 = -1. Para los interceptos hacemos x=0, remplazando en la función obtenemos











In te rce p tos

  

Por lo tanto la función tiene un intercepto en y= -3

Para hallar las raíces hacemos f(x)=0

 

f(0)=-3

2. f(x)=x(x3-1)

Ra ice s





Gráfica y

entonces x(x3-1)=0 Tenemos x1=0, x3-1=0 despejando x3=1, de donde x2=1 Por lo que las raíces son x1=0 y x2=1 Para los interceptos hacemos x=0, remplazando en la función obtenemos f(0)=-1 por lo tanto la función tiene un intercepto en y=-1



x 



Intercep tos



Raiz 



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6.3.7. Función Creciente, Decreciente y Constante Una función es creciente en un intervalo si para cualesquiera x1 y x2 dentro del intervalo, tal que x1 < x2 se cumple f(x1) < f(x2). Es decir una función es creciente en un punto si al incrementar los valores de la abscisa (x) (movernos hacia la derecha) aumenta el valor de la ordenada (y). Una función es decreciente en un intervalo si para cualesquiera x1 y x2 dentro del intervalo, tal que x1 < x2 se cumple f(x1) > f(x2). Es decir una función es decreciente en un punto si al incrementar los valores de la abscisa (x) (movernos hacia la derecha) disminuye el valor de la ordenada (y). Una función es constante cuando al aumentar los valores de la abscisa (x) (movernos hacia la derecha) el valor de la ordenada (y) no varía.

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No obstante, una función puede presentar varios máximos y mínimos. Para distinguirlos utilizaremos los siguientes conceptos: Ejemplo: A partir de la siguiente gráfica (muestra el perfil de una etapa de la Vuelta Ciclista a España) estudia el crecimiento y decrecimiento de la función y los máximos y mínimos.

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Los máximos relativos los alcanza en los puntos x = 50 y x = 150. Los mínimos relativos los alcanza en los puntos x = 0, x = 175 y x = 225.

6.4. ESTUDIO DE ALGUNAS FUNCIONES PARTICULARES 6.4.1. FUNCIÓN LINEAL Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado de la forma de la forma Ax + By + C = 0 con A ≠ 0 y B ≠ 0 (A, B y C son constantes), la cual corresponde a la ecuación general de la línea recta y su gráfica es una línea recta. En particular f(x) =ax + b es una función de primer grado o función lineal. Cuando se expresa como ecuación de la forma y = mx + b se le llama ecuación pendiente-ordenada al origen, donde m representa a la pendiente y b el valor donde la recta corta al eje de las ordenadas (y). La pendiente se puede calcular si se conocen dos puntos por donde pasa la recta P 1(x1,y1) y P2(x2, y2) entonces:

y 2  y1 x 2  x1 Conociendo la pendiente y un punto se puede encontrar la ecuación de la línea recta con la ecuación punto pendiente: y  y1  m( x  x1 ) m

Se pueden presentar las siguientes situaciones:  m > 0: La función es creciente.  m < 0: La función es decreciente  m = 0: La función es constante.  Si m es indeterminada no existe función . Ejemplo 1: En una factura de gas natural de la empresa Metro gas se lee:

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Se puede observar que el primer renglón nos indica que siempre hay un cargo fijo de 7,74 dólares, aunque no usemos el gas. El segundo renglón dice que esa casa consumió, en el período facturado, 111 m3, y que se cobran aproximadamente 0,15 dólares por m 3 consumido. Al construir una tabla que muestre el costo aproximado en dólares en función del consumo de gas se tiene:

Es importante tener en cuenta que la empresa de gas sólo factura aproximando a m 3 enteros. Si tomáramos la situación real de consumo, veríamos que la tabla sólo nos informaría sobre algunas cantidades, pero en este caso no sobre todas las cantidades posibles, que son infinitas, recordemos que el conjunto de los números reales es un conjunto denso, es decir que entre dos números reales, por más cercanos que estén, siempre hay infinitos. Por ejemplo, entre 0.1 y 0.2 están 0.13, 0.167, 0.16725, etc. En cambio al definir un modelo matemático para esta situación está nos permitirá calcular el costo real para cualquier valor de gas consumido. Recuerde que no es lo que factura la empresa. La vendría expresada como: C ( x)  0.15g  7.74

Donde C(x) es el costo en dólares y g es el consumo de gas en m3. Ejemplo 2: La demanda de un producto tiene un comportamiento lineal, si se sabe que a un precio de $ 5000 la unidad se demanda 4000 unidades y por cada $1000 que se rebaje en el precio, la demanda crece en 500 unidades. a. Halle la pendiente ¿qué significa? Como el precio depende de la demanda, las parejas ordenadas tendrían la forma: (Precio, demanda) , es decir, x representa el precio y, y las unidades demandadas, por datos podemos considerar una primera pareja (5000, 4000) donde x1=5000 y y1=4000 y una segunda pareja (4000, 4500) donde x2=4000 y y2=4500. Como sabemos que la pendiente es: 𝑚=

𝑦2 − 𝑦1 4500 − 4000 500 1 = = =− 𝑥2 − 𝑥1 4000 − 5000 −1000 2

Significa que por cada 1000 que se incremente el precio la demanda disminuye la mitad. Departamento de Estudios Generales e Idiomas FUNCIONES

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b. Halle la ecuación de la demanda Como se conoce la pendiente y un punto utilizamos la ecuación

y  y1  m( x  x1 ) Remplazando 1 ( x  5000) 2 1 y  4000   x  2500 2 1 y   x  2500  4000 2 1 y   x  6500 2

y  4000 

c. Grafique la función Ubicamos los puntos (5000, 4000) y (4000, 4500) y trazamos la recta que corte los dos ejes coordenados 

y Unidades Dem andadas

             P recio 



























x 



d. ¿Cuál es el valor de la ordenada en el origen y qué significa? Por ecuación y gráfica la ordenada en el origen (b) es de 6500, es decir a $0 se demandan 6500 unidades. e. ¿Qué precio máximo estaría dispuesto a pagar? Por gráfica $13000, para un precio superior a este las unidades demandas serían negativas Departamento de Estudios Generales e Idiomas FUNCIONES

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Analíticamente tendríamos que hacer y=0 y remplazar en la ecuación, así: 0=-1/2 x+6500 Despejando

-6500=-1/2 x (-6500)*(-2)=x 13000=x x=13000

f. Para un precio de $ 4500, ¿cuál sería la demanda? Aquí x=4500 remplazando en la ecuación se tiene 1 y   (4500)  6500  2250  6500  4250 2 Lo cual quiere decir que a $4500 se demandarían 4250 unidades g. Para una demanda de 5240 unidades, ¿cuál debe ser el precio unitario? Aquí y=5240 remplazando en la ecuación se tiene

1 5240 = − 𝑥 + 6500 2

Despejando 1 5240 − 6500 = − 𝑥 2 1 −1260 = − 𝑥 2 (−1260) ∗ (−2) = 𝑥 x  2520 Es decir, para demandar 5240 unidades el precio unitario tiene que ser de $2520. 6.4.2. FUNCIÓN CUADRÁTICA Las funciones cuya fórmula es del tipo: y = a.x2 + bx + c, con a, b, c números fijos y a≠0 para cada función, se llaman funciones cuadráticas. La gráfica de la función cuadrática tiene una forma distintiva llamada parábola. Si a > 0, la parábola abre hacia arriba y si a < 0, abre hacia abajo.

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y = x^2+2x-1

y = -x^2+2x+1 y

y

Máximo Relativo

V(-b/2a, f(-b/2a)) f(-b/2a) Valor óptimo

Eje de Simetría

x=-b/2a x

a0

x=-b/2a Eje de Simetría

x

V(-b/2a, f(-b/2a))

f(-b/2a)

Valor óptimo

Mínimo Relativo

La línea vertical que pasa por el vértice de una parábola recibe el nombre de eje de simetría porque una mitad de la gráfica es un reflejo de la otra mitad a través de esta línea. La ecuación del eje de simetría es b x 2a El valor óptimo (ya sea máximo o mínimo) de la función se alcanza en el vértice, que es el punto donde la parábola da la vuelta. El punto es mínimo si a > 0 y el punto es máximo si a < 0. La función cuadrática tiene su vértice en   b   b  V   , f    2 a  2a   Los interceptos de x de la gráfica de una función y = f(x) son los valores de x para los cuales f(x) = 0 llamados los ceros de la función. Los ceros de la función cuadrática son las soluciones de la ecuación cuadrática que se pueden obtener a través de la fórmula general:  b  b 2  4ac x 2a Para la gráfica de la función, se puede presentar dos situaciones: 1. Si la función tiene dos interceptos, se unen estos con el vértice 2. Para aquellos casos en que la función tenga un o ningún intercepto es necesario tabular la información y se recomienda tomar mínimo tres valores a la izquierda y tres valores a la derecha del eje de simetría.

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Ejemplo 1: Si filmáramos el movimiento de una pelota, y se registrará las distintas alturas que fue alcanzando la pelota en función del tiempo transcurrido desde que se la arrojó al aire, se tendría una tabla como la siguiente:

Al trazar la gráfica aproximada de esta función, se puede observar que el dominio es el intervalo de tiempo transcurrido desde que se arrojó la pelota hasta que llegó al suelo, apenas pasados los 3 segundos de arrojada, es decir, todos los valores comprendidos entre 0 y aproximadamente 3,1.

La expresión que da origen al movimiento de la pelota, viene dada por h(t )  5t 2  15t  1

Donde h(t) es la altura que va alcanzando la pelota (en metros) y t es el tiempo transcurrido (en segundos). Ejemplo 2: María ha diseñado unos pendientes que se han de hacer con una lámina de oro. El diseño básico consiste en una forma triangular que tiene 5 mm más de altura que el ancho de la base. No tiene más dinero disponible que el que le permite comprar 2 250 mm 2 de lámina de oro para hacer dos de estos pendientes. Ahora necesita trabajar en las dimensiones de cada triángulo. Departamento de Estudios Generales e Idiomas FUNCIONES

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Solución: 1. Comprender el problema: Interpretación: María desea hacer unos pendientes en forma triangular, cuenta con el dinero suficiente para comprar 2250 mm2 de lámina de oro. En su diseño la altura es 5 mm más que el ancho de la base. ¿Cuáles son las dimensiones de los triángulos? Datos conocidos: Área de la lámina de oro: 2250 mm2 Dimensión de la altura: 5 mm más que el ancho de la base Diseño de los pendientes: triángulos Datos desconocidos: Dimensiones del ancho y la altura 2. Desarrollar un plan: Estrategias: hacer una figura, resolver una ecuación Descripción: Como el diseño de los pendientes es de forma triangular, haremos una representación gráfica ubicando la altura y la base. Se sabe que la superficie mide 2250 mm2 lo cual representa el área del triángulo, así que aplicaremos la fórmula del área de un triángulo, obteniendo una ecuación cuadrática donde su solución nos conducirá a hallar las medidas de las dimensiones de los pendientes. 3. Ejecutar el plan: bh , el área de cada triángulo es 2 x  ( x  h) A 2 Como son dos los triángulos que necesitamos para fabricar los pendientes, el área de los dos es: A

2

x  ( x  h) 2

Por tanto el área resultante es: x( x  5)  2250

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x 2  5 x  2250 x 2  5 x  2250  0  5  5 2  4  1  (2250)  5  25  9000  5  9025   2 1 2 2  5  95 x1   45 2

x

 5  95  50 2 De las dos soluciones obtenidas sólo nos sirve la primera (una medida no puede ser un número negativo). x2 

Se trata pues de unos pendientes triangulares cuya base es de 45 mm o, lo que es lo mismo, de 4,5 cm y la altura tiene 50 mm o sea 5 cm. 4. Comprobar: 45  50 2250   1125 mm2, los dos pendientes será: 2*(1125 2 2 mm2) = 2250 mm2 que corresponde a la cantidad de superficie disponible.

El área de un pendiente es: A 

EJERCICIOS 1. Dado los siguientes enunciados: La función f asigna a cada número natural el resultado de sumarle 3 y elevar la suma al cuadrado. La función g asocia a cada número natural el resultado de elevarlo al cuadrado y sumarle 3. a) Halla las imágenes de 2, 5 y 0 según la función f. f(2)=

f(5)=

f(0)=

b) Halla las imágenes de 2, 5 y 0 según la función g. g(2) =

g(5) =

g(0) =

c) Escribe en tu cuaderno las expresiones o fórmulas de f y de g. f(x) =

g(x) =

2. Dado los siguientes diagramas sagitales, cuáles cumple con ser función, función: inyectiva, sobreyectiva o biyectiva. Departamento de Estudios Generales e Idiomas FUNCIONES

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a)

b)

c)

d)

e)

f)

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3. Determinar si las siguientes funciones son o no inyectivas. a) b) c) d) e)

f(x) = 4x – 2 f(x) = x3 – x f(x) = √x f(x) = 2 f(x) = 1 – x2 – x

4. Calcula el dominio de las siguientes funciones:

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5. Determina si las siguientes funciones tienen inversa. Si la inversa existe, determínala y establece su dominio. Si la función no tiene inversa, apoya gráficamente este hecho verificando que una recta horizontal interseca a la gráfica en más de un punto. a) f ( x)  (4  x) 3

b) f ( x)  9  x 2

c) f ( x) 

x3 x 1

d) f ( x) 

2x  3 x 1

6.5. PROBLEMAS 1. En una ciudad tienen implantada la Ordenanza de Regulación del Aparcamiento (O.R.A.). La norma indica que se debe pagar cierta cantidad por cada minuto y que no hay un mínimo. Juan pone 1,20€ y el parquímetro indica que dispone de 30 minutos. Sara con 1€ tiene 25 minutos. Halla la ecuación que relaciona el precio con el tiempo y dibújala. ¿Cuánto hay que pagar por un estacionamiento de 50 minutos? Si pago 0,84€ ¿de cuánto tiempo dispongo? 2. En un comercio aplican el 15% de descuento a todos sus productos. Halla la ecuación que relaciona el precio rebajado con el original y dibújala. ¿Cuánto cuesta una camisa que antes costaba 75€? He pagado por unos pantalones 42,50€ ¿cuánto costaban antes? 3. En un banco nos ofrecen un plazo fijo al 4% anual con una comisión de mantenimiento de 15€ anuales, sea cual sea la inversión realizada. Halla la ecuación que relaciona el interés producido con el capital invertido. ¿Cuánto producirán 3000€ en un año? ¿Cuánto se ha invertido si se han recibido 185€? 4. Quiero comprarme un teléfono móvil y he visitado varias compañías. La compañía A me ofrece una cuota fija de 9€ al mes más 6 céntimos por minuto. La compañía B me ofrece pagar sólo por el consumo a 0,20€/min. La compañía C me ofrece un coste de 0,10€/min con un consumo mínimo de 10€. ¿Qué compañía me interesa más? 5. Final de etapa. En una etapa con final en alto un escapado está a 6 Km de la meta y circula a 9 Km/h. El grupo perseguidor se encuentra a 10 Km del final corriendo a 12 Km/h. ¿Alcanzarán al escapado si mantienen las velocidades? En caso afirmativo ¿cuánto tardarán y a qué distancia de la meta? 6. Dos excursionistas proyectan una caminata hasta un refugio de montaña, que se encuentra a 18 km de la ciudad. Para orientarse, cuentan con un perfil del trayecto y un gráfico distancia –tiempo confeccionado por un grupo que realizó la caminata el mes anterior. Observando el gráfico, responder: a. ¿Cuántos kilómetros recorrieron aproximadamente hasta llegar al primer descanso? ¿Cuánto tiempo se detuvieron? b. ¿Cuántos kilómetros recorrieron desde Departamento de Estudios Generales e Idiomas FUNCIONES

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ese lugar hasta alcanzar la primera cima y cuánto tiempo tardaron en subirla? c. ¿Cuántos kilómetros hicieron en bajada? ¿Les llevó menos tiempo?

7. Asociar cada gráfica a las situaciones dadas.

a. b. c. d.

Recorrido realizado por un micro urbano. Paseo en bicicleta parando una vez a beber agua. Distancia recorrida por un auto de carrera en un tramo del circuito. Un cartero repartiendo el correo.

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8. La siguiente gráfica nuestra el crecimiento de una persona cada 5 años:

a. b. c. d. e.

¿Cuánto midió al nacer? ¿A qué edad alcanza su altura máxima? ¿En qué período crece más rápidamente? ¿Qué intervalo de números pueden tomar la edad y la altura? ¿Por qué se pueden unir los puntos?

9. Dado los siguientes gráficos, escribir los intervalos de crecimiento y decrecimiento. a.

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b.

c.

10. Dada la siguiente gráfica que representa el movimiento de un tren: El tren sale de la estación y va ganando velocidad. En su recorrido para en varias estaciones para recoger viajeros. Después de hacer su trayecto, el tren regresa a las cocheras sin hacer parada alguna.

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a. ¿En cuántas estaciones se detiene para recoger viajeros? b. ¿Cuánto tarda de una estación a otra? c. ¿Qué distancia hay entre la primera y la última estación? d. Indicar los intervalos de crecimiento, decrecimiento o constantes. e. ¿Cuánto tarda en llegar a las cocheras, después de dejar a los pasajeros en la última estación? 11. En el año 1896 un científico sueco fue el primero en hablar del “efecto invernadero”, como resultado de las emisiones de dióxido de carbono en el aire. La quema de combustibles fósiles produce 5,4 millones de toneladas de carbono al año, aproximadamente. Estas emisiones son absorbidas por la atmósfera y por los océanos. En la tabla siguiente, se muestra el aumento de la temperatura global que se pronostica para la tierra, considerada a partir de 1980 en Celsius. Año

Aumento de Temperatura (°C)

1980 2000 2020 2040 2060 2080

0 0,42 0,84 1,26 1,68 2,1

A partir de esta información: a. Representar gráficamente los datos de la tabla en un sistema de ejes cartesianos. b. Determinar la expresión algebraica (función lineal) que modeliza estos datos. c. Realizar el gráfico de la función lineal obtenida. d. Interpretar la pendiente y la ordenada al origen en el contexto del problema. e. Predecir la temperatura estimada para los años 2014, 2030 y 2110. 12. La compañía eléctrica que suministra electricidad a las residencias familiares de un barrio, fija un costo bimestral de $ 15,80 por residencia, si el consumo de energía no supera Departamento de Estudios Generales e Idiomas FUNCIONES

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los 40 kwh. Si el consumo de energía supera esa cantidad, el costo de energía suministrada puede representarse por la siguiente función lineal: C(x) = 0,60 + (x – 40)0,093 Donde x representa los kwh consumidos. Si una residencia abonó $318, ¿cuál fue el consumo de energía? 13. Si en un cuadrado aumentamos en 6 unidades dos lados paralelos obtenemos un rectángulo. Calcula el área del rectángulo en función del lado x del cuadrado. 14. Una mujer tiene un estanque rectangular de 5x3 metros. Quiere hacer un camino alrededor del estanque como muestra el siguiente dibujo:

La anchura del camino ha de ser constante en todo el contorno. 15. El director de un teatro estima que si cobra 30 € por localidad, podría contar con 500 espectadores y que cada bajada de 1 € le supondría 100 personas más. Calcula las ganancias obtenidas en función del número de bajadas del precio.

6.6. WEBGRAFÍA http://canek.uam.mx/Calculo1/Teoria/Funciones/FTFuncionReal.pdf

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