Modulo Clei Vi Matematicas

INTRODUCCION Cada unidad de este modulo contiene los elementos teóricos necesarios de cada uno de los temas señalados utilizando un lenguaje sencillo, el cual pueda generar confianza hacia el estudiante, además cada capítulo contiene un número suficiente de ejercicios resueltos junto con ejercicios propuestos, actividades diagnosticas, actividades evaluativas, talleres y evaluaciones tipo SABER-ICFES. TABLA DE CONTENIDO UNIDAD 1 PENSAMIENTO NUMERICO-VARIACIONAL” ……………………………….3 Conjuntos Numéricos. Números Reales. Desigualdades e inecuaciones. Solución De Inecuaciones de Primer Grado Con Una Incógnita. Solución De Inecuaciones Cuadráticas Y Racionales. Valor Absoluto, Propiedades. Ecuaciones E Inecuaciones Con Valor Absoluto. Repaso de inecuaciones. UNIDAD 2 “PENSAMIENTO GEOMETRICO-METRICO”….…………………………….81 Sucesiones. Términos general. Representación gráfica. Clasificación. Sucesiones, acotadas, convergentes, divergentes. Límite de sucesiones. Límite de una función en un punto. Propiedades. Límites en el infinito. Ramas Infinitas. Asíntotas de una curva. Cálculo de límites. El número e. Función continua en un punto y en un intervalo. Propiedades. Teoremas relacionados con la continuidad de las funciones. Derivadas. Formula de derivación. Área bajo una curva. Concepto de Derivada de una función en un punto. Función derivada de otra función. Reglas para obtener las derivadas de algunas funciones. Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones polinómicas y racionales. primitivas. Concepto de integral de una función continúa. Propiedades de la integral. Relación de la integral con la derivada. Teorema fundamental. Aplicaciones matemáticas y Físicas de la integral. BIBLIOGRAFIA………………………………………………………………………………………………………………205 NOTA: todas las unidades cuentan con actividades, ejercicios, talleres, evaluaciones, trabajos prácticos, actividades de nivelación, talleres tipo SABERICFES, ejercicios o actividades complementarias, ejercicio resuelto, entre otras.

UNIDAD 1 PENSAMIENTO NUMÉRICO VARIACIONAL CONJUNTOS NUMERICOS

REPASANDO: NÚMEROS IRRACIONALES (I, Q') Son aquellos números decimales infinitos no periódicos. Los números = 3,141592 …, 2 = 1,414213 … son ejemplos de números irracionales. OBSERVACIÓN: La definición y algunas propiedades de las raíces cuadradas, para a y b números racionales no negativos, son:

DEFINICIÓN:

a

b

b

2

a

PROPIEDADES: 1)

a

b

ab

2)

a b

a b

3)

a b

a2b

EJEMPLOS 1. ¿Cuál de los siguientes números es irracional? A) 4 B) 9 C) 16 D) 27 E) 0,25 2. Si a = 2 y b = 8, entonces ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) número(s) irracional(es)? I) ab II) ab2 III) a b A) Sólo I B) Sólo III C) I y II D) Sólo II y III E) Sólo Ninguna de las anteriores 3. Al ordenar en forma creciente los números a = obtiene A) a, b, c B) a, c, b C) b, c, a D) c, a, b E) b, a, c

4 2

,b=

3 3

y c =2

7

, se

NÚMEROS REALES (lR) La unión del conjunto de los racionales (Q) y los irracionales (Q’) genera el conjunto de los números reales el cual se expresa como lR; Es decir, IR

Q

Q'

OPERATORIA EN lR * El resultado de una operación entre racionales es SIEMPRE otro número racional (excluyendo la división por cero). * La operación entre números irracionales NO SIEMPRE es un número irracional.

* Por otra parte, la operación entre un número racional (Q) y un irracional (Q’) da como resultado un irracional, EXCEPTUÁNDOSE la multiplicación y la división por cero. OBSERVACIÓN No son números reales las expresiones de la forma

n

a,

con a < 0 y n par.

EJEMPLOS 1. La expresión 5 x es un número real para: I) Cualquier valor de x. II) x = 5 III) x < 5 Es(son) verdadera(s) A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) Ninguna de ellas 2. Si

q

1 2

y

p

irracional(es)? I) q2 · p II) p2 · q III) p : q A) Sólo I C) Sólo I y III E) I, II y III

2 , ¿cuál(es) de las

siguientes expresiones es(son) número(s)

B) Sólo II D) Sólo II y III ACTIVIDAD 1

1. Clasifico los siguientes números como naturales, enteros, racionales irracionales o reales: -3

2,7

3

2

2

3

3

4

7

1,5

3

8

7

2

3

9

1,020020002…

3

2

2,131331333…

2. Ordeno los siguientes números reales, de menor a mayor: a)

11 20 y 5 9

10 y 3

b)

2 8 y 3 13

c)

33 10

0,34 d) 0,3444… y

e) 3,45 y

13

e) 2,05 y

5

TALLER TIPO TEST (SABER-ICFES) 1. ¿Cuál de los siguientes números es racional? A) 5 B) 5 5 C) 25 5 5 25

D) E)

0

5

2. ¿Cuál(es) de los siguientes números es(son) irracional(es)? I) 3 12 II) 2 2 2 III)

5 125

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) Sólo II y III

4. ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) siempre verdadera(s)? I) Al dividir dos números irracionales el cuociente es irracional. II) Al multiplicar un número real con un número racional, el producto es racional. III) Al sumar dos números irracionales, la suma es un número real. A) Sólo II B) Sólo III C) Sólo I y III D) Todas ellas E) Ninguna de ellas

a es irracional si: (1) a es primo. (2) a es múltiplo de 3. A) (1) por sí sola 3. Al ordenar en forma decreciente los B) (2) por sí sola números a = 3 5 , b = 4 3 y c = 5 2 , C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) se obtiene E) Se requiere información adicional A) c, b, a B) a, b, c 6. Sean r = x 2 y s = x + 2 . Los C) b, a, c números r y s son racionales si: D) c, a, b (1) x es un número irracional E) b, c, a

5.

negativo. (2) x es el inverso aditivo de 2 . A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

DESIGUALDADES E INECUACIONES Inecuaciones. Desigualdad: se llama desigualdad a toda relación entre expresiones numéricas o algebraicas unidas por uno de los cuatro signos de desigualdad , , ,  .  Inecuaciones de primer grado con dos variables: son aquellas en las que las variables que intervienen están elevadas a un exponente igual a la unidad.  Expresión general: son de la forma ax  by  c y todas sus equivalentes ax  by  c , o ax  by  c , etc. …  Representan zonas del plano, o dividen al plano en zonas.  Pueden ser de grado mayor que uno en las dos o en una sola de las variables.  y  x 2  2x  5 , o bien x 2  y2  16 .  Como mucho estudiaremos del tipo primero, las del tipo segundo requieren de un conocimiento de las cónicas del que aún no disponemos. Las del tipo primero, pese a tratarse también de cónicas, éstas ya las conocemos como función cuadrática o parábola simple, es decir, 

2

ecuaciones de la forma y  ax  bx  c . 

Método de resolución: se trata en el fondo de ecuaciones de rectas o parábolas que debemos resolver y luego analizar las zonas del plano en que se cumple la desigualdad inicial.  Para las inecuaciones de la forma ax  by  c , pasamos primero a la ecuación lineal y  mx  b , despejando de modo adecuado. Ésta no es más que la ecuación de una recta en el plano, la cual divide al mismo en dos semiplanos. Uno de esos semiplanos contiene los puntos tales que y  mx  b y el otro los puntos tales que y  mx  b . Se trata pues de determinar qué puntos son los que cumplen la desigualdad o inecuación previa. Para ello:  Dibujamos la recta, una vez dibujada tomamos un punto x del eje de abscisas cualquiera y trazamos la perpendicular por el mismo. El punto en que ésta corta a la recta es tal que y  mx  b , prolongando la perpendicular encontraremos los puntos tales que y  mx  b , y por debajo estarán los que cumplen que y  mx  b . Ejemplo_1: sea la inecuación 2x  y  4 . Pasamos a la ecuación de  la recta y  2x  4 , la cual dibujamos dando valores a x e y.





x 0 2

y 4 0

con estos dos puntos es suficiente, ya que por dos

puntos pasa una y solo una recta. Trazamos una recta vertical por un punto cualquiera del eje de abscisas. El punto en que ésta corta a la recta la ordenada y cumple la ecuación de la misma, es decir y = r, un punto por encima es mayor y uno por debajo es menor.  2x  4 , los Como la y, es ysombreado. puntosnuestra que la inecuación, cumplen sondespejada los del semiplano La recta no está incluida por ser la desigualdad estricta.



Ejemplo_2: 2x  y  4 , es similar al anterior, solo cambia el sentido de la desigualdad y el hecho de que ahora no es estricta. Pasamos a la ecuación y  2x  4 , igual que antes. Damos valores a x e y para dibujarla: 

x 0 2

y 4 0

la dibujamos y procedemos como antes. Ahora la rec-

ta está incluida en la solución.

y>r y=r yr y=r yp

y=p

y c ¿Qué significa │x│> 2? Significa que x es un número mayor que 2 unidades desde cero en la recta numérica. Esto ocurre cuando x está a la izquierda de -2 en la recta numérica, esto es, cuando x < -2. También ocurre cuando x está a la derecha de 2 en la recta numérica, esto es, cuando x > 2. Dibuja la recta numérica en le espacio provisto para que puedas visualizarlo.

De manera que la solución de │x│> 2 es x < -2 ó x > 2. Propiedad: Si a es un número real positivo y │x│> a, entonces x < -a ó x > a. Ejemplos para discusión: 1) │x│≥ 3 2) │x - 4│> 5 3) │2x - 3│> 5 4) 3 

2 3

x 5

Ejercicio: Resuelve cada una de las siguientes inecuaciones. 1) │x│> 5 2) │x + 6│> 2

3)

│-5x - 2│>13

4)

7 x  16

>-6

5)

 10x  13 ,



De rimer

3x – 2 = 1 x 1 =4 2

3x – 2 < 1

x 1 >4 2

x + y = 24

x + y  24

-2x + 1 = x – 3



-2x + 1

–

x

3

Resolver una inecuación significa hallar los valores que deben tomar las incógnitas para que se cumpla la desigualdad. Ejemplos: Resolver

a) 3 x – 2 < 1 Despejando

Aplicando propiedades

3x – 2 < 1 3x 4

2 > 4.2

x+

1>8 x + 1 + (- 1) > 8 + (- 1) x > 7

)

Representación gráfica:

c) x + y



24

Es una ecuación lineal con dos incógnitas que se verifica para infinitas parejas de números. Por ejemplo: x= 0

;

y = 24

x= 2 ; x = -3 ;

y = 23 y = 30

x=

1 2

;

y = ....

x = ....

y=

x= 1

y = 10

;

2

¿ verifican la ecuación ? d) -2 x + 1



x–3

Despejando

Aplicando propiedades -2 x + 1  x - 3 -2 x + 1 + (-x )  x - 3 + (- x )  - 3- 1 [-2 x + (-x ) ] + 1  [ x + (- x ) ] - 3  - 4 x  - 4 : (- 3) -3 x + [ 1 + (-1 ) ]  - 3 + (-1 ) 4 -3 x  - 4 x 

-2x+1 -2x-x -3x



x-3

3

- 1 . (-3) x



x



3

Solución: S = [

4 3

- 1 .(-4) 3

4 3

,+)

Representación gráfica:

Las inecuaciones permiten resolver problemas. Veamos el siguiente ejemplo. Ejemplo: Una furgoneta pesa 875 kg. La diferencia entre el peso de la furgoneta vacía y el peso de la carga que lleve no debe ser inferior que 415 kg. Si hay que cargar cuatro cajones iguales, ¿cuánto puede pesar, como máximo, cada uno de ellos para poder llevarlos en esa furgoneta?.

En primer lugar, traducimos el enunciado al lenguaje simbólico, llamamos x al peso de cada cajón y planteamos la siguiente inecuación:

Peso de la furgoneta - peso de 4 cajones

no es menor que

415 kg

875 - 4 . x



415

Una forma de resolver la inecuación es seguir los siguientes pasos:  Restamos 875 a ambos miembros de la desigualdad 415 - 875  Hacemos el cálculo en el segundo miembro - 460 

- 4.x



- 4.x



Para despejar x , multiplicamos a ambos miembros por - 1

4

(Cuidado: como multiplicamos por un número negativo, debemos cambiar el sentido de la desigualdad)

x

1

  4    460 

Hacemos el cálculo

x  115

Esto significa que el peso de cada cajón no podrá superar los 115 kg. Además, como se trata de un peso, x > 0. Entonces, la solución está formada por todos los números reales pertenecientes al intervalo (0 , 115]. Graficamos la solución en la recta real:

TALLER 1 Resolver las siguientes inecuaciones y representar el conjunto solución en la recta real: a) 2 x - 3 < 4 - 2 x b) 5 + 3 x  4 - x c) 4 - 2 t > t - 5 d) x + 8  3 x + 1 e) 2 .  x - 1  > 3 x 

2

f) a  2  a  1 4

3

g) 3 x - 12

5x- 6



4

h) 3 . ( 4 - x ) > 18 x + 5 i) x  x  5 3

j)  4x k)

-

2

-4

5x  2 3



-

x 6

5x - 1 3 6

x 8 4



l) x  x  1 - x  2

m)  2 

n) x -

7

-

3

x  - 3  

2

> 0

1

x  14 2 2

  

4 . -

-2 0 1 2

x 

7

 

4

0

TALLER 2 1. Indicar si la siguiente resolución es V o F justificando la respuesta: 3

x 3

x

1 2

< 2

x

< 2x

3

<

3 <

1

3

<

2

2

2x 2x x

PROBLEMAS: Ejercicio 1 :

¿Cuáles son los números cuyo triplo excede a su duplo en más de 20?.

Ejercicio 2 :

¿Cuál es el menor número entero múltiplo de 4, que satisface la siguiente inecuación: x + 2 < 3 x + 1 ?. Ejercicio 3 :

Si el lado de un cuadrado es mayor o igual que 7. ¿Qué se puede decir de su perímetro p ?. Ejercicio 4 :

El perímetro de un cuadrado no supera el perímetro del rectángulo de la figura. ¿Qué se puede asegurar acerca de la superficie S del cuadrado ?.

Ejercicio 5 :

Un padre y su hijo se llevan 22 años. Determinar en qué período de sus vidas, la edad del padre excede en más de 6 años al doble de la edad del hijo. Ejercicio 6 :

Un coche se desplaza por una carretera a una velocidad comprendida entre 100 Km/h y 150 Km/h. ¿Entre qué valores oscila la distancia del coche al punto de partida al cabo de 3 horas?. Ejercicio 7 :

Una fábrica paga a sus viajantes $10 por artículo vendido más una cantidad fija de $500.Otra fábrica de la competencia paga $15 por artículo y $300 fijas. ¿Cuántos artículos debe vender el viajante de la competencia para ganar más dinero que el primero?.

Ejercicio 8

Determinar

Ejercicio 9

: Sean A = { x/x  R



x+

1< 4} y

B = (-



,

3 2

]  [3 , + ) .

AB

: Determinar: {x / x  R



2 x- 4 > 0 }



{x / x  R



3-x 0}

TALLER TIPO SABER-ICFES 1. Se tiene la ecuación:

Se desea despejar A; la ecuación sería:

2. Si la variable a despejar es D, la ecuación se expresaría

3. El conjunto solución para la siguiente ecuación 2x+60 ≥30 es: a. [-15 , +oo) b. (-15, 15) c. (-oo, -15] d. (-15 , +oo) 4. El conjunto solución para la siguiente ecuación -15≤x-5