modulo bulk y E

ECUACIONES CONSTITUTIVAS ELÁSTICAS EN TÉRMINOS DEL MÓDULO BULK Y DEL MÓDULO DE YOUNG PARA CONDICIÓN PLANA DE DEFORMACIONES ENUNCIADO: Para condiciones planas de deformaciones, escribir las ecuaciones constitutivas elásticas en términos únicamente del módulo Bulk (B K) y del módulo de Young (E).

METODOLOGÍA: Se partió de las ecuaciones constitutivas elásticas para condiciones tridimensionales y de ahí brevemente (debido a que el procedimiento exhaustivo se mostró en una tarea anterior de la asignatura) se indicó el procedimiento a seguir para encontrar las ecuaciones constitutivas para condiciones planas de deformaciones. Luego de esto simplemente se utilizó la expresión del módulo Bulk y de ahí se despejó e l módulo de Poisson para luego reemplazarlo en e sas. Dado esto, se encontró las expresiones requeridas en términos de dicho módulo Bulk y del módulo de Young.

DESARROLLO: Partiendo de las ecuaciones constitutivas para condiciones tridimensionales escrita de forma matricial, debido a que se conoce de antemano que la deformación en un sentido de uno de los ejes coordenados es cero, se tendría que (suponiendo que es cero en el sentido “y”) :

         {} {   

               } {}

Donde claramente se tiene que a pesar de que una deformación cortante nula implica un esfuerzo cortante nulo correspondiente, una deformación normal nula NO implica un esfuerzo normal nulo correspondiente. Desarrollando Desarrollando la ecuación constitutiva para una deformación en “y” de cero se concluye que:

  (  ) 

Al reemplazar la ecuación (2) en (1) y luego de reordenar y tratar algebráicamente la ecuación teniendo en cuenta la expresión del módulo de corte (G) en términos del módulo de Young (E) y del módulo de Poisson (v) (demostración del procedimiento realizado en la entrega anterior de la materia), se encuentra:

                      {  }

Si de la ecuación (3) se despejan los incrementos de esfuerzos y se dejan únicamente en términos de las deformaciones tangentes y normales, implicaría hallar la inversa de la matriz compresibilidad de (3), luego:

                           } {           

Ahora, la expresión que representa el módulo Bulk (BK) está definida como:

Si ahora de la ecuación (5) se despeja el módulo de Poisson (v), se hallaría que:

Si finalmente se reemplaza la ecuación (6) en cada uno de los lugares donde esté el módulo de Poisson (v) en las ecuaciones (3) y (4), será posible encontrar expresiones constitutivas que relacionen incrementos de esfuerzos con deformaciones en términos exclusivamente del módulo de Young (E) y del módulo Bulk (B K). Así, la ecuación (3) quedaría:

                                      {  }

De igual manera, la ecuación (4) que relaciona los esfuerzos en términos de las deformaciones quedaría:

                           {  }

CONCLUSIONES: 

Las ecuaciones constitutivas pueden ser representadas de muchas maneras para relacionar los esfuerzos y las deformaciones presentes en un elemento de suelo, sus expresiones pueden variar dependiendo de la clase del problema a solucionar. Para este caso es necesario manejar las expresiones en términos del módulo Bulk, y del módulo de Young para procedimientos donde estos parámetros sean los dominantes en el proceso.