Modulo 30156 2 Diseño Experimental

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA PROGRAMA DE INGENIERIA DE ALIMENTOS

30156 – DISEÑO EXPERIMENTAL CAMPO ELIAS RIAÑO LUNA (Director Nacional)

FREDY JARAMILLO Acreditador

BOGOTÁ Diciembre de 2011

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ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y VERSIONAMIENTO

Aspectos de Propiedad intelectual El contenido didáctico del curso académico ``Diseño Experimental``, fue diseñado inicialmente en el año 2004 por el Ing. Químico. MSc. Campo Elías Riaño Luna, docente de la UNAD, ubicado en la sede José Celestino Mutis. Profesional que se ha desempeñado como docente y tutor de la UNAD a partir del 2003, anteriormente trabajo como investigador científico II en CENICAFE. De allí que el módulo trae ejemplos de trabajos de investigación realizados por estudiantes, docentes y el autor. Esta es la segunda actualización del módulo, el cual se ofrece con carácter estrictamente educativo. Razón por la cual se ha recurrido a los conocimientos y experiencias de varios autores de textos regulares sobre las temáticas expuestas para tratar los temas más relevantes en este primer contacto con la investigación programada. Se seleccionaron las temáticas que se consideraron importantes (amplio uso) para adelantar trabajos de investigación en ciencias agrarias, básicas e ingeniería y les sirvan de punto de partida para tu aprendizaje autónomo y profundizar en las temáticas. La versión del contenido didáctico que actualmente se presenta tiene como características: 1) Reorganización de los contenidos relacionados con las dos unidades y las lecciones. 2) Repaso y verificación de los conceptos teóricos tratados. Las temáticas pueden ser actualizadas acorde con el desarrollo del curso. De acontecer esto se informara oportunamente.

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INTRODUCCIÓN En la UNAD se viene adelantando a través del rediseño curricular un plan estratégico para la formación y capacitación en investigación disciplinar y formativa, con el fin de continuar con el refuerzo de los procesos de acreditación de los programas. Condición que exige entre otras la formación integral de talento humano en ciencia y tecnología, capaz de investigar y transformar su entorno regional haciendo uso racional de los recursos disponibles, mediante la modalidad de educación abierta y a distancia. Con este objeto se propone como curso obligatorio el diseño experimental cuyo contenido induce a los estudiantes a la aplicación de los principios estadísticos en la investigación. Curso complementario a los dos (2) primeros módulos sobre cultura investigativa que se ofrecen en la UNAD, para todos los programas.; el contenido de este dará los lineamientos para una de las etapas importantes en todo proceso de investigación como es la planificación de la experimentación y la comprobación de hipótesis. El material ha sido organizado de forma que el estudiante repase los conceptos y procedimientos estadísticos vistos en semestres anteriores y los aplique a la resolución de problemas específicos de cada profesión-con una planificación previa. La forma de resolver los diseños experimentales de más amplio uso, se presentan en los apéndices con ejemplos atinentes a la unidad 1 y 2. Estos apéndices se irán incrementando acorde con el desarrollo del curso. Igualmente estudiantes y tutores deben consultar las OVAS presentadas para cada unidad en la página principal del curso. Pero siempre teniendo en cuenta que: El enfoque-objetivo del diseño de experimentos es determinar cuáles variables están influenciando la respuesta de interés. Una vez que dichas variables son identificadas, se obtiene un estimado aproximado de la superficie de respuesta por medio de modelos factoriales especiales. Además en los trabajos colaborativos se incentiva a los estudiantes y docentes sobre la forma y la importancia de obtener información rápida, de utilidad, con ventajas económicas para el desarrollo de los trabajos de grado y proyectos de investigación en la UNAD.

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Para la solución numérica con software (es) estadísticos se ha programado el plan de trabajo siguiente. Plan de trabajos prácticos con el paquete estadístico Stat Graphics y/o SPSS

Laboratorio práctico 1.- Manejo de datos: organización, almacenamiento y tratamiento. Laboratorio práctico 2.- Estadística descriptiva Laboratorio práctico 3.- ANOVA. De una sola vía, -diseño en bloque aleatorizado, diseño de dos factores-diseño de tres factores- (cuadrados latinos) Laboratorio práctico 4. Diseños factoriales 2k y 3 k Laboratorio práctico 5. Análisis de Regresión. Key Word: ANOVA con Stat Graphics 1- http://e-stadistica.bio.ucm.es/disexp/guia_rapida_statgraphics.html

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INDICE DE CONTENIDO

El contenido programático para el curso de diseño experimental está en la tabla 1. Tabla 1. Contenidos temáticos para el curso de diseño de experimental UNIDADES DIDÁCTICAS CAPITULOS UNIDAD UNO: UTILIZACIÓN CAPÍTULO 1. DE LOS MÉTODOS Introducción Al Diseño ESTADÍSTICOS DE De Experimentos CONTRASTE EN LA EXPERIMENTACIÓN.

CAPÍTULO 2. Contraste de hipótesis comparaciones simples

CAPÍTULO 3. Tipos de diseño experimentales

UNIDAD DOS: DISEÑOS Capítulo 4. Diseños FACTORIALES y 2K Factoriales Generales

LECCIONES Lección 1: Conceptos básicos del diseño experimental Lección 2: Tipos de tratamientos y errores experimentales Lección 3: Principios básicos en el diseño de experimentos Lección 4: Las técnicas utilizadas en el diseño de experimentos Lección 5: Control local, aleatorización y procedimiento para el diseño experimental Lección 1: Comprobación de hipótesis Lección 2: Prueba de t Lección 3: Análisis de varianzaANDEVA Lección 4: Prueba de diferencia significativa mínima (DSM) de Fisher Lección 5: Modelo estadístico Lección 1: El uso de las computadoras y software especializado Lección 2: Diseños unifactoriales Lección 3: Diseños de bloques completos al azar Lección 4: Diseño de cuadro latino Lección 5: Diseño de cuadro Greco Latino Lección 1: Definiciones básicas diseño factorial. Lección 2: Experimento factorial o mover un factor a la vez Lección 3: Diseño factorial con dos 5

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factores A X B Lección 4: Ventajas y desventajas de los Experimentos Factoriales Lección 5: Ejemplo de un diseño factorial solucionado con Stat Graphics Capítulo 2. Diseños Lección 1: Codificación de variables Factoriales 2k Lección 2: Diseño Factorial 2k Lección 3: Diseños factoriales 23 Lección 4. Solución de un diseño factorial 23 con Stat Graphics Lección 5: Otros diseños experimentales. Capítulo 3. Regresión Lección 1: Introducción y el lineal y superficies de significado de la regresión y suposiciones básicas respuesta Lección 2: Coeficientes de correlación. Lección 3: Transformación de datos Lección 4: Correlación múltiple y ANCOVA Lección 5: Superficies de respuesta

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Listado de figuras y tablas Figura 1. Ronald Fisher Figura 2. Mapa conceptual del diseño experimental Figura 3. El proceso del diseño experimental Figura 4. Portada del programa Statgraphics Figura 5.Representaciòn de un experimento factorial Figura 6.Un experimento factorial Tabla 1. Contenidos temáticos para el curso de diseño de experimental Tabla 2. Ejemplo de un reporte del análisis de varianza Tabla 3. Tratamientos de experimento sobre fertilización Tabla 4. Procedimiento estadístico para la comprobación de hipótesis Tabla 5. Análisis de varianza para los tratamientos con un solo factor, en un diseño totalmente aleatorizado o completamente al azar. Tabla 6. Recopilación y presentación de los resultados de los tratamientos, en un diseño totalmente aleatorizado o completamente al azar. Tabla 7. Recopilación y presentación de los resultados de los tratamientos, en un diseño de bloques completos al azar. Tabla 8. Recopilación y presentación de los resultados de los tratamientos, en cuadro latino. Tabla 9. Arreglo de los resultados de los tratamientos, en cuadro latino. Tabla 10. Arreglo de los resultados de los tratamientos, en cuadro Greco-Latino. Tabla 11. ANOVA para el diseño de cuadro greco latino* Tabla 12. ANOVA para el diseño factorial a x b Tabla 13. Resultados del ensayo NOVA para el diseño factorial a x b Tabla 14. ANOVA para el ejemplo de diseño factorial a x b Tabla 15. Signos algebraicos para calcular los efectos en un diseño 22 Tabla 16. ANOVA para un diseño factorial 22 Tabla 17. Respuestas para el ejemplo de diseño factorial 22 Tabla 18. Matriz para el ejemplo de diseño factorial 22 Tabla 19. Análisis de varianza para el ejemplo de diseño factorial 22 Tabla 20. Combinación de los tratamientos para un diseño 23 Tabla 21. Signos algebraicos para calcular los efectos en un diseño 23 Tabla 22. Calculo del Análisis de varianza para un diseño factorial 23 Tabla 23. Datos de la viscosidad de la bebida desarrollada. Tabla 24. Promedio y factores calculados para el ejemplo de la viscosidad Tabla 25. Análisis de la varianza para la viscosidad de la bebida desarrollada. Tabla 26. Resultados estimados para los datos de viscosidad con la ecuación de regresión encontrada para el ejemplo anterior, utilizando el programa Stat Graphics. Tabla 27. Ecuaciones para el estimativo de una regresión lineal simple Tabla 28. Grado de asociación de los coeficientes de correlación para un conjunto de datos. Tabla 29. Modelos de regresión lineal simple Tabla 30. Transformaciones usadas para datos

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El proceso del diseño experimental El Diseño de Experimentos tuvo su inicio teórico a partir de 1935 por Sir Ronald A. Fisher, quién sentó la base de la teoría del Diseño Experimental y que a la fecha se encuentra bastante desarrollada y ampliada. Actualmente las aplicaciones son múltiples, especialmente en la investigación de las ciencias naturales, ingeniería, laboratorios y casi todas las ramas de las ciencias sociales. La experimentación proporciona los datos experimentales, en contraste con los datos de la observación; los datos de la observación se representan como su nombre indica por observaciones de las unidades elementales de una población o de una muestra, y no deben ser cambiados ni modificados por ningún intento de parte de un investigador en el curso de la observación.

Figura 1. Ronald Fisher

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Red Semántica-Diseño Experimental

Figura 2. Mapa conceptual del diseño experimental

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Contenidos Unidad 1 Nombre de la Unidad

UTILIZACIÓN DE LOS MÉTODOS ESTADÍSTICOS DE CONTRASTE EN LA EXPERIMENTACIÓN

Introducción

La experimentación juega un papel fundamental en todos los campos de la investigación y el desarrollo. El objetivo de la experimentación es obtener información de calidad y confiable. Información que debe permitir el desarrollo de nuevos productos y procesos, comprender mejor un sistema y tomar decisiones sobre como optimizarlo además el de comprobar hipótesis científicas, etc. Obviamente la experimentación se debe planificar (diseñar) cuidadosamente para que proporcione la información buscada. Dicha planificación debe considerar dos aspectos importantes relacionados con toda experimentación. El diseño de un experimento es la secuencia completa de los pasos que se deben tomar de antemano, para planear y asegurar la obtención de toda la información relevante y adecuada al problema bajo investigación, la cual será analizada estadísticamente para obtener conclusiones válidas y objetivas con respecto a los objetivos planteados. Un Diseño Experimental es una prueba o serie de pruebas en las cuales existen cambios deliberados en las variables de entrada de un proceso o sistema, de tal manera que sea posible observar e identificar las causas de los cambios que se producen en la respuesta de salida. Para responder al reto que le plantea su proyecto académico, la Universidad, desde la perspectiva de ser abierta y a distancia, se ha propuesto crear las condiciones que le permitan consolidar científicamente los currículos, con este propósito se ofrece el modulo de diseño experimental de aplicación a todas los programas de la UNAD, con el fin de aprender a planificar de una manera razonable los trabajos de grado y las diferentes investigaciones que se propongan, reconfirmando las técnicas necesarias para realizar con éxito dicha labor y sustentar objetivamente los resultados a través de la investigación planificada. Se pretende con este modulo y guía proporcionar y suministrar los elementos, los conceptos y la información necesaria para el desarrollo de las actividades a tener presentes para la planificación y el desarrollo de un proyecto de investigación, con el fin de inducir a los docentes y estudiantes en la aplicación de estrategias que conduzcan al correcto planteamiento, desarrollo y formulación de actividades propias de la investigación con racionalización de los recursos asignados.

Justificación

Intencionalidades Formativas

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CAPITULO 1: LA INVESTIGACIÓN Y EL DISEÑO EXPERIMENTAL La experimentación juega un papel fundamental en todos los campos de la investigación y el desarrollo. El objetivo de la experimentación es obtener información de calidad y confiable. Información que debe permitir el desarrollo de nuevos productos y procesos, comprender mejor un sistema y tomar decisiones sobre como optimizarlo además el de comprobar hipótesis científicas, etc. Obviamente la experimentación se debe planificar (diseñar) cuidadosamente para que proporcione la información buscada. Dicha planificación debe considerar dos aspectos importantes relacionados con toda experimentación. El diseño de un experimento es la secuencia completa de los pasos que se deben tomar de antemano, para planear y asegurar la obtención de toda la información relevante y adecuada al problema bajo investigación, la cual será analizada estadísticamente para obtener conclusiones válidas y objetivas con respecto a los objetivos planteados. Un Diseño Experimental es una prueba o serie de pruebas en las cuales existen cambios deliberados en las variables de entrada de un proceso o sistema, de tal manera que sea posible observar e identificar las causas de los cambios que se producen en la respuesta de salida. Esquema de un proceso o sistema experimental:

Figura 3. El proceso del diseño experimental

Revisemos el enlace: La estadística, instrumento de investigación científica. Tomado de Tomado de: portalsej.jalisco.gob.mx/unidadesupn.../antonio_ramirez_ramirez.pdf. Con fines netamente educativos.

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Lecciones-C_1-U_1 Lección 1: Conceptos básicos del diseño experimental Los siguientes conceptos que se definen a continuación se utilizarán en el desarrollo de las unidades posteriores; los cuales fueron retomados de Montgomery (1991) y de Kuehl (2001). Definiciones Diseño: Consiste en planificar la forma de hacer el experimento, materiales y métodos a usar, etc. Experimento. Conjunto de reglas usadas para obtener una muestra de la población y al concluir el ensayo obtener información acerca de la población. Un experimento es un procedimiento mediante el cual se trata de comprobar (confirmar o verificar) una o varias hipótesis relacionadas con un determinado fenómeno, mediante la observación y medición de las variables que influyen en el mismo. Por ejemplo todas las pruebas de laboratorio y las pruebas de campo que realices para desarrollar tu trabajo de grado. Es un cambio en las condiciones de operación de un sistema o proceso para obtener una muestra de la población y al concluir el ensayo obtener información acerca de la población o del producto obtenido. Por ejemplo variar las condiciones de operación (temperatura, presión, velocidad de agitación de un proceso, las raciones para semovientes, dosis de agroquímicos). O la utilización de diferentes proporciones de materias primas y aditivos para mejorar la condición de un producto de consumo masivo. La experimentación constituye uno de los pasos del método científico. Ejemplos de sistemas experimentales son: - Una reacción química y/o bioquímica, cuyo rendimiento (Y) puede ser función, entre otros, del tiempo de reacción (t1), la temperatura de la reacción (T2) y el tipo de microorganismo (Mo1) utilizado. Otras variables que pueden influir son, por ejemplo, la presentación de los sustratos, la velocidad de agitación,....

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Experimento aleatorio. Actividad que tiene como resultado o que produce un evento. Prueba donde existen dos o más resultados posibles, y no se pude anticipar cuál de ellos va a ocurrir. Tratamiento: Es un conjunto particular de condiciones experimentales definidas por el investigador. Son el conjunto de circunstancias creadas por el experimento, en respuesta a la hipótesis de investigación y son el centro de la misma. Factor: Es un grupo específico de tratamientos. (Ejemplo, Temperatura, humedad, tipos de suelos, etc.). Niveles Del Factor: Son diversas categorías de un factor. (Por ejemplo, los niveles de temperatura son 20°C, 30°C, etc.). Un factor Cuantitativo tiene niveles asociados con puntos ordenados en alguna escala de medición, como temperatura; mientras que los niveles de un factor cualitativo representan distintas categorías o clasificaciones, como tipo de suelo, que no se puede acomodar conforme a alguna magnitud. Réplica: Son las repeticiones que se realizan del experimento básico. Unidad Experimental: Es el material experimental unitario que recibe la aplicación de un tratamiento. Es la entidad física o el sujeto expuesto al tratamiento independientemente de las otras unidades. La unidad experimental una vez expuesta al tratamiento constituye una sola réplica del tratamiento. Es el objeto o espacio al cual se aplica el tratamiento y donde se mide y analiza la variable que se investiga. Es el elemento que se está estudiando. Unidad muestral: Es una fracción de la unidad experimental que se utiliza para medir el efecto de un tratamiento. Error experimental: Es una medida de variación que existe entre dos o más unidades experimentales, que han recibido la aplicación de un mismo tratamiento de manera idéntica e independiente. Factores Controlables: Son aquellos parámetros o características del producto o proceso, para los cuales se prueban distintas variables o valores con el fin de estudiar cómo influyen sobre los resultados.

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Factores Incontrolables: Son aquellos parámetros o características del producto o proceso, que es imposible de controlar al momento de desarrollar el experimento. Variabilidad Natural: es la variación entre las unidades experimentales, que el experimentador no puede controlar ni eliminar. Variable Dependiente: es la variable que se desea examinar o estudiar en un experimento. (Variable Respuesta).

Lección 2: Tipos de tratamientos y errores experimentales Los siguientes conceptos que se definen a continuación se utilizarán en el desarrollo de las unidades posteriores; los cuales fueron retomados de Montgomery (1991), Padrón (1996) y de Kuehl (2001). A continuación se presentan ejemplos de tratamientos en algunas áreas, tales como: Experimentaciones Agrícolas, un tratamiento puede referirse a: ♦ Marca de Fertilizante. ♦ Cantidad de Fertilizante. ♦ Profundidad del Sembrado. ♦ Variedad de Semilla. ♦ Combinación de Cantidad de Fertilizante y Profundidad de Sembrado; esto es una combinación de tratamientos. ♦ etc. Experimentaciones de Nutrición Animal, un tratamiento puede referirse a: ♦ Cría de Ganado Lanar ♦ Sexo de los Animales ♦ Padre del Animal Experimental ♦ Tipo de Alimento 14

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♦ Ración Particular de Alimento de un Animal. ♦ Raza del Animal ♦ etc. Error Experimental: Es una medida de variación que existe entre dos o más unidades experimentales, que han recibido la aplicación de un mismo tratamiento de manera idéntica e independiente. Factores Controlables: Son aquellos parámetros o características del producto o proceso, para los cuales se prueban distintas variables o valores con el fin de estudiar cómo influyen sobre los resultados. Factores Incontrolables: Son aquellos parámetros o características del producto o proceso, que es imposible de controlar al momento de desarrollar el experimento. Variabilidad Natural: es la variación entre las unidades experimentales, que el experimentador no puede controlar ni eliminar. Variable Dependiente: es la variable que se desea examinar o estudiar en un experimento. (Variable Respuesta).

Lección 3: Principios básicos en el diseño de experimentos Acorde con Cochran & Cox (2001) los tres principios básicos del Diseño de un experimento son: 1. Replicación (Obtención de Réplicas). Este principio se refiere al número de veces que se aplica un tratamiento a las unidades experimentales. El cual tiene dos propiedades importantes, la primera permite al experimentador obtener la estimación del error experimental; esta estimación se convierte en la unidad básica para determinar si las diferencias observadas en los datos son estadísticamente significativas o para determinar la amplitud de un intervalo de confianza, y la segunda permite al experimentador calcular una estimación más precisa del efecto medio de cualquier factor en el experimento, si se usa la media de la muestra, como una estimación de dicho efecto. Lo que significa que la varianza de la media de la muestra se define como σ2y = σ/ n; donde σ2 es la varianza de los datos y n el número de réplicas.

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La implicación práctica de esto es que si el número de réplicas es pequeña (n=1) probablemente no se podría obtener inferencias satisfactorias con respecto al efecto del tratamiento; es decir, que la diferencia observada podría ser resultado, exclusivamente, del error experimental. El número de réplicas afecta la precisión de las estimaciones de las medias de tratamientos y la potencia de las pruebas estadísticas para detectar las diferencias entre las medias de los grupos en los tratamientos. Pero puede ser muy costosa económicamente la incorporación de una réplica en el Experimento.

Lección 4: Las técnicas utilizadas en el diseño de experimentos Igualmente Cochran & Cox (2001) describen que las técnicas que se deben utilizar en un Diseño de experimento son: El Bloqueo El bloqueo proporciona control local del ambiente para reducir la variabilidad natural. Las unidades experimentales se distribuyen en grupos de unidades similares, con base en un factor o factores que se espera o se sabe que tienen alguna relación con la variable respuesta o con la medición que se supone responde de manera diferente a los diversos tratamientos. Es decir, que consiste en la distribución de las unidades experimentales en bloques de tal manera que las unidades dentro de un bloque sean relativamente homogéneas; ya que unidades experimentales heterogéneas producen valores grandes en la varianza del error experimental, es así que la mayor parte de la variación predecible entre las unidades queda confundida con el efecto de los bloques. Los cuatro criterios que se usan con más frecuencia para llevar a cabo el bloque en las unidades experimentales son: 1) Proximidad (parcelas vecinas). 2) Características Físicas (edad o peso). 3) Tiempo (Tiempo de desarrollo). 4) Administración de tareas en el experimento. Balanceo: Es el bloqueo y la asignación de los tratamientos a las unidades experimentales de modo que resulte una configuración balanceada. La comparación precisa entre los tratamientos requiere la selección de unidades experimentales uniformes para reducir el error experimental. La naturaleza del 16

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experimento señala el equilibrio entre la variedad de las condiciones y la uniformidad de las unidades experimentales. Por ejemplo, si se trata de un experimento con vacas lecheras, la uniformidad de las unidades experimentales requiere elegir vacas de la misma cría, en la misma etapa de lactancia y con un número similar de lactancia. Agrupamiento: Es la colocación de un conjunto de unidades experimentales homogéneas en grupos, de modo que los diferentes grupos puedan sujetarse a distintos tratamientos. Estos grupos pueden constar de diferente número de unidades experimentales. En los tres principios analizados anteriormente el objetivo principal es disminuir en gran medida la Variabilidad Natural o error experimental, a continuación se presenta un ejemplo en el cual se evidencia este objetivo. Ejemplo Se hace una investigación sobre el efecto de administrar 10 mg. de vitamina B12 por libra de ración a cerdos en crecimiento, se tomaron ocho lotes de seis cerdos, cada uno tratados por pares. Los lotes se separaron por la administración de diferentes niveles de aureomicina. Se mide el aumento diario promedio del peso de tres cerdos (libras). Tratamientos Unidades experimentales Variable Respuesta

Sin B12 Con B12 Cerdos Aumento de peso

Para llevar a cabo este experimento se deben agrupar los cerdos de la misma raza, edad y sexo, de forma aleatoria; ya que estas tres situaciones afectan significativamente en el peso de los cerdos. Y es así como se obtiene una muestra lo más homogénea posible, y que en el experimento sólo intervenga la variabilidad natural, reduciendo así el error experimental.

Lección 5: Control local, aleatorizaciòn y procedimiento para el diseño experimental Bicking (s.f), Cochran & Cox (2001) describen que la aleatorización es realizada cuando las unidades se han agrupado y los tratamientos han sido asignados al azar a las unidades dentro de cada grupo. Ejemplo: Se llevó a cabo un experimento para determinar la eficacia de 6 fertilizantes de nitrógeno para una cierta variedad de maíz. Se contaba con 24 parcelas experimentales. 17

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Considerando que puede existir mucha variabilidad entre las parcelas experimentales, se decidió usar un diseño de experimento que pudiera tener la capacidad de controlar esta variabilidad. Cada uno de los seis fertilizantes fue aplicado a cuatro parcelas experimentales, siguiendo el método de aleatorización del diseño utilizado y cada parcela experimental tenía cinco surcos de plantas de maíz. Luego se obtuvo la cosecha de plantas, de cada una de las parcelas se tomaron solamente tres surcos y fueron los centrales. Las plantas cosechadas se llevaron al laboratorio para determinar el rendimiento por medio del peso de las semillas, haciendo esto separadamente para cada una de las parcelas. En el ejemplo planteado se puede observar: • Hay seis tratamientos que son los seis fertilizantes. • Hay veinticuatro unidades experimentales, que son las parcelas experimentales. • La unidad muestral no es la totalidad de la unidad experimental sino una parte de ella (las 4 parcelas). • El investigador toma la decisión de cosechar tres surcos centrales en cada unidad experimental; ya que considera que de esta manera se puede evitar cualquier efecto del fertilizante que se aplica a una parcela y que pueda influir el resultado de las parcelas vecinas. • El número de réplicas es igual a cuatro por cada tratamiento. • Existe un control local ya que el investigador habrá usado un diseño (por ejemplo: El Diseño de Bloques Aleatorios; el cual se estudiara en el detalle en la siguiente unidad programática), que controla la variabilidad entre las parcelas en el campo experimental. • La variable respuesta en este experimento es el rendimiento. Forma de aleatorizar un experimento 1) Asignar números a cada una de las parcelas experimentales de 1 a 24. 2) Elaborar cuadrados de papel con los mismos números de las parcelas (1 a 24) y luego colocarlos en un recipiente. 3) Sacar al azar una por una las tarjetas del recipiente. 4) Existen 6 tratamientos, que son los seis fertilizantes y como el número de réplicas es igual a cuatro entonces los primeros cuatro números 18

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sacados que corresponden a las primeras cuatro parcelas serán asignadas al fertilizante número uno. 5) Los segundos cuatro números sacados que corresponden a las segundas cuatro parcelas serán asignadas al fertilizante número dos. 6) Y así sucesivamente hasta obtener los últimos cuatro números que corresponden a las cuatro parcelas que serán asignadas al fertilizante número seis. En general, un experimento de este tipo puede tener simultáneamente otras variables respuestas como por ejemplo: altura de plantas, grosor de las plantas, determinación del contenido de humedad de los granos, etc. Pero en el análisis del experimento el rendimiento es la variable de interés para el investigador. A pesar de haber tomado todas las precauciones necesarias en la conducción del experimento, se podrá decir que siempre existirá el Error Experimental en cualquier experimento, no importa que tan bien sea planteado y conducido el experimento. Basta con observar y comparar los valores del rendimiento para dos ó más parcelas que han recibido la aplicación de un mismo fertilizante. Estos valores no serán iguales y por lo tanto el error experimental no es nulo y existe. Algunas de las razones por las cuales puede surgir el Error Experimental en este experimento son las siguientes: 1) Las parcelas experimentales en el campo deben tener variación en la fertilidad del suelo, textura del suelo, pH del suelo, pendiente, la cantidad de luz solar que puede recibir cada planta, etc. 2) El número total de plantas por cada parcela podría no ser igual. Esto puede ocurrir por defectos en la calidad de las semillas y el método de siembra utilizado. 3) Puede existir pérdida del material experimental cosechado que se lleva al laboratorio para determinar el peso. 4) Puede existir limitación y defectos en la máquina que se usa para determinar el peso del material que se ha cosechado. 5) Puede existir variación de criterios y técnicas que usan diferentes personas que han trabajado en la conducción del experimento. Control Local: Consiste en el uso de técnicas de bloqueo, balanceo y agrupamiento de las unidades experimentales para asegurar que el diseño usado sea eficiente; ya que los objetivos de la mayoría de los experimentos son las comparaciones claras y exactas entre los tratamientos a través de un conjunto apropiado de condiciones. Estos objetivos requieren estimaciones precisas de las 19

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medias y poderosas pruebas estadísticas, lo cual se puede obtener reduciendo la varianza del error experimental. El uso adecuado del control local describe las acciones que emplea un investigador para reducir o controlar la magnitud de la estimación del error experimental; incrementando la exactitud de las observaciones y estableciendo la base de la inferencia del estudio.

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CAPITULO 2-U_1 CONTRASTE DE HIPÓTESIS COMPARACIONES SIMPLES. Etimológicamente Hipótesis es la suposición de una verdad que debe ser verificada o rechazada. Es una explicación que al comienzo de una investigación se le da a un hecho, es una conjetura a la realidad. Y sirve para orientar al investigador en el encuentro de una verdad.(Ver modulo de trabajo de grado ciclo tecnológico y ciclo profesional del mismo compilador) Una hipótesis estadística es una afirmación sobre los valores de los parámetros de una población o proceso, que es susceptible de probarse a partir de la información contenida en una muestra representativa obtenida de una población. Por ejemplo, la afirmación "este proceso produce menos del 6% de defectuosos" se puede plantear estadísticamente, en términos de, proporción p desconocida de artículos defectuosos que genera el proceso. Ho : p =0.06 (la proporción de defectuosos es 0.06) HA: p < 0.06 (la proporción es menor a 0.06) Lecciones - C_2-U_1 Lección 1: Comprobación de hipótesis Para las siguiente lección se tomaron como referente a Bavaresco (1979), Bunge (1980) y Berenson, Levine & Krehbiel (2001). Formulación y prueba de hipótesis Una hipótesis es una afirmación acerca de algo. En estadística, puede ser una suposición acerca del valor de un parámetro desconocido. La prueba es el medio de verificación para saber si algo es verdadero o falso y hasta qué grado podemos decir que sea verdadero o falso. Pasos en la prueba de hipótesis:   

-hipótesis. 21

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  

Calcular una estadística de muestra.

Recomendación se debe hablar de "no rechazar" una hipótesis en lugar de "aceptar", ya que las pruebas no son concluyentes. Estadístico de prueba. Una vez planteada la hipótesis, se toma una muestra aleatoria (o se obtienen datos mediante un experimento planeado de acuerdo a la hipótesis de la población en estudio). El estadístico de prueba es un número calculado a partir de los datos y la hipótesis nula, cuya magnitud permite discernir si se rechaza o se acepta la hipótesis nula Ho Al conjunto de posibles valores del estadístico de prueba que llevan a rechazar Ho,se le llama región o intervalo de rechazo para la prueba, y a los posibles valores donde no se rechaza Hl les llama región o intervalo de aceptación. Por ejemplo, para las hipótesis planteadas el estadístico de prueba está dado por 0.08 Zo = vlO.08 (1- 0.08) / n' Ecuación 1 Análisis de datos. (2, 3, 7 y varios autores) El análisis depende del nivel de medición de las variables, de la manera como se hayan formulado las hipótesis, el interés del investigador en el problema que esté investigando. Podemos usar una serie de números conocidos como estadística sumaria para describir las características del conjunto de datos. Dos de estas características son de particular importancia para los responsables de tomar decisiones: la de tendencia central y la de dispersión, entre los cuales tenemos la mediana, la moda, medidas de tendencia central, desviación media, la dispersión, sesgo en curvas y graficas, curtosis, la media aritmética, la mediana, la moda, la dispersión, distribución de frecuencias, histogramas, la varianza de una población, puntuaciones Z, razones y tazas, análisis de varianza. Ppruebas de hipótesis. En general una prueba de hipótesis comienza con una teoría o aseveración relativa a cierto parámetro de una población para lo cual se definen dos hipótesis conocidas como: 

La Hipótesis nula Ho la cual es la hipótesis que se prueba siempre.

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Y la Hipótesis alternativa H1 que se establece como el opuesto a la hipótesis nula y representa la conclusión que se apoya si la hipótesis nula se rechaza.

En lo que se conoce como metodología de prueba de hipótesis clásica, se recomiendan los siguientes puntos a tener en cuenta: 

La Hipótesis nula Ho siempre se refiere a un valor especifico del parámetro de población (como ) , no al estadístico maestral ( como )

A partir de este numeral se deben consultar las tablas que se encuentran e textos de estadística como las tablas t-Student, de distribución F, comparación de medias de Duncan, etc.

Ejemplo y procedimiento a desarrollar para una prueba de hipótesis propiamente dicha. Una organización de consumidores esta interesada en determinar si existe diferencia en el peso entre diferentes marcas de cajas de 500 gramos de cereales para el desayuno, para lo cual acepta una varianza de 10 gramos. Para el efecto el estudiante (de ser posible) recopilara 25 datos, los almacenara en una tabla y los analizara; se aconseja trabajar con una significancia del 5%. Los pasos a seguir para la prueba de hipótesis son los siguientes: 1. Establezca la hipótesis nula Ho. Ésta debe expresarse en términos estadísticos. Por ejemplo: Al probar si la cantidad promedio de llenado es 500 gramos, la hipótesis nula asegura que ( ) es igual a 500gramos. 2. Establezca la hipótesis alternativa H1. También debe expresarse en términos estadísticos. Al probar si la cantidad promedio de llenado es de 500 gramos, la hipótesis alternativa asegura que ( ) es inferior a 500 gramos. 3. Elija el nivel de significancia. Éste se determina después de tomar en cuenta los riesgos especificados de cometer errores tipo I y tipo II en una situación particular. La compañía eligió = 0.05. 4. Elija el tamaño de la muestra n. Éste se determina después de tomar en cuenta los riesgos especificados de cometer errores tipo I y tipo II (es decir, los niveles 23

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seleccionados de a y de considerar las restricciones de presupuesto al realizar el estudio. En este caso se pesaron 25 cajas de cereal seleccionadas al azar. 5. Determine la técnica estadística adecuada y la estadística de prueba correspondiente que se usará. Dado que si se conoce por que la compañía especificó que eran 15 gramos, se eligió una prueba Z. 6. Establezca los valores críticos que dividen las regiones de rechazo y no rechazo. Una vez especificadas las hipótesis nula y alternativa y determinados el nivel de significancia y el tamaño de la muestra, se pueden encontrar los valores críticos para la distribución estadística adecuada, de manera que se puedan indicar las regiones de rechazo y no rechazo. Para el caso se utilizaran los valores + 1.96 Y - 1 .96 para definir las regiones porque el estadístico Z se refiere a la distribución normal estándar. 7. Recopile los datos y calcule el valor muestral del estadístico de prueba adecuado. Realice una toma de datos (determinación) y calcule la X media = ....... gramos, entonces y obtenga el valor Z = + ........... 8. Determine si el estadístico de prueba está en la región de rechazo o de no rechazo. El valor calculado del estadístico de prueba se compara con los valores críticos de la distribución muestral apropiada para determinar en qué región se encuentra. En este caso, Z= +...... está en la región de rechazo o no rechazo porque - 1.96 < Z == +.... < + 1 .96. 9. Tome una decisión estadística. Si el estadístico dé prueba está en la región de no rechazo, la hipótesis nula, Ho no se puede rechazar; si el estadístico de prueba está en la región de rechazo, la hipótesis nula se rechaza. 10. Exprese la decisión estadística en términos de una situación particular. De ser afirmativa la diferencia entre las cantidades, que acción correctiva propondrías y aplicarías? Error experimental En todo proceso experimental se presentan dos clases de variaciones: la variación inherente al material experimental, al que se aplican los tratamientos y la que proviene de la falta de uniformidad en la realización física del experimento o

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variaciones externas a la experimentación (como las ambientales, etc) que tienden a enmascarar el efecto de los tratamientos. Para expresar estas variaciones ajenas a los tratamientos los estadísticos aplican el término error experimental; término que no quiere decir equivocación, sino que incluye todo tipo de variación externa ajena al material experimental. Este error experimental es la medida de variación que existe entre las observaciones de unidades experimentales en el mismo tratamiento, es decir, la variación no proveniente de los tratamientos. Para los fines de cálculo en las ecuaciones se expresa con la letra



Errores tipo I y tipo II. (8) Cuando se contrastan o se prueban las hipótesis se pueden cometer dos tipos de errores por los siguientes motivos:  La prueba de hipótesis comienza con una suposición, llamada hipótesis, que hacemos con respecto a un parámetro de población.  Después recolectamos y clasificamos los datos, aplicamos la estadística seleccionada a las muestras y usamos esta información para decidir qué tan probable es que sea correcto nuestro parámetro de población acerca del cual hicimos la hipótesis.  Debemos establecer el valor supuesto (hipotetizado) del parámetro de población antes de comenzar a tomar la muestra.  La suposición que deseamos probar se conoce como hipótesis nula, y se simboliza por H0.  Siempre que rechazamos la hipótesis, la conclusión que sí aceptamos se llama hipótesis alternativa y se simboliza por H1. *** El rechazo de una hipótesis nula cuando es cierta se denomina error de tipo I, y su probabilidad (que es también el nivel de significancia) se simboliza como  . *** *** El hecho de aceptar una hipótesis nula cuando es falsa se denomina error de tipo II, y su probabilidad se simboliza como  . *** 

La probabilidad de cometer un tipo de error puede reducirse sólo si deseamos incrementar la probabilidad de cometer el otro tipo de error.

Con el propósito de obtener una (probabilidad)  baja, tendremos que tolerar una probabilidad  alta; sin embargo el nivel de significancia adecuado se debe decidir acorde con los costos y desventajas vinculadas con ambos tipos de errores. 25

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Las modalidades más recomendadas para disminuir el error son: En toda marcha experimental que se realice se debe a) Utilizar unidades experimentales muy uniformes, como materias primas homogéneas, procesos, densidad de muestras, etcétera. b) Tamaño adecuado de la unidad experimental. e) Eliminación de la competencia entre tratamientos. d) Distribución adecuada de los tratamientos mediante sorteos (azar). e) Usar el número adecuado de repeticiones para cada tratamiento. f) Poner todos los tratamientos en igualdad de condiciones, de manera que si alguno es superior a los demás, se pueda probar.

Lección 2: Prueba de t Para Christensen (1990), Dawson & Trapp (2002) y Cochran & Cox (2001) la prueba de t es conocida a veces como prueba de t de Student, por recibir el nombre de la persona que la estudió primero, en 1890. Student en realidad era un matemático llamado William Gosset, empleado por la Cervecería Guiness, quien se vio obligado a usar el pseudónimo de Student, debido a que por política de la compañía se tenía prohibido a los empleados publicar sus investigaciones. Gosset descubrió que cuando una observación procede de una distribución normal, las medias se distribuyen de manera normal, sólo sí se conoce la verdadera desviación estándar de la población. La prueba de t se emplea mucho en todas las áreas de la ciencia. La distribución de t, es similar a la distribución de z la cual se explicó en numeral anterior y, uno de sus mayores usos, es responder a interrogantes de investigación sobre medias y cuando se desconoce la verdadera desviación estándar.

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Ecuaciónes 2 y 3 S, es la desviación estándar Para usar una prueba t con una muestra, se supone que los datos numéricos se obtienen de una manera independiente y representan una muestra aleatoria de una población que sigue una distribución normal. En la práctica, se ha encontrado que siempre que la muestra no es muy pequeña y la población no tenga un sesgo grande, la distribución t proporciona una aproximación a la distribución muestral de la media cuando (sigma) no se conoce. Prueba de t para la diferencia entre dos medias El cálculo de la prueba de t para la diferencia entre dos medias se realiza con

Ecuaciónes 4 y 5 S2p = varianza combinada X1,2 = medias de la muestra tomadas de las poblaciones respectivamente S1,2 = varianzas de la muestra tomadas de las poblaciones respectivamente Ver ejercicio resuelto- en el apéndice 1.

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Lección 3: Análisis de varianza-ANDEVA Para Christensen (1990), Dawson & Trapp (2002) y Cochran & Cox (2001) el análisis de varianza fue ideado por Sir Ronald Fisher en 1925, de gran aplicación cuando en una investigación se tiene el propósito de corrobar por medio del análisis estadístico los efectos de uno o más factores sobre el comportamiento de una característica o variable dependiente. El ANAVA (Analysis of variance) o Anova; es una técnica estadística que sirve para analizar la variación total de los resultados experimentales de un diseño en particular, descomponiéndolo en fuentes de variación independientes atribuibles a cada uno de los efectos en que constituye el diseño experimental, compara dos o más medias. Esta técnica tiene como objetivo identificar la importancia de los diferentes factores ó tratamientos en estudio y determinar cómo interactúan entre sí. El ANOVA es una prueba semejante a la prueba t de Student, en cuanto a la práctica, pero la comparación entre grupos no es a través de la media y su desviación estándar, sino a través de la varianza de la variable numérica “y”, en cada grupo de la variable categórica “x”. Básicamente el análisis de Varianza, se utiliza para corroborar si la significación de diferencias entre medias de dos o más grupos, son o no debidas al azar. La cifra estadística obtenida con el ANOVA es la razón F. F= Estimación entre los tratamientos / Estimación dentro de los tratamientos. Suponiendo que se analizan 2 grupos, el ANAVA o el ANOVA, analiza las variaciones entre los dos grupos (inter-grupal) y la compara con la variación dentro de cada grupo (intra-grupal), para obtener mediante una suma de cuadrados el valor de F. Si las diferencias de varianza entre cada grupo son mayores que las intragrupales, seguramente existen diferencias significativas entre los grupos que no son debidas al azar. Los grupos se definen como en la prueba t eligiendo una variable categórica. La variable a analizar debe ser numérica y de distribución simétrica. Bases del análisis de la varianza. Los supuestos que validan el análisis varianza son: a. Los errores son independientes 28

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b. Los errores están normalmente distribuidos con media cero y varianza constante c. Existe homogeneidad de varianza entre los tratamientos. Supónganse k muestras aleatorias independientes, de tamaño n, extraídas de una única población normal. A partir de ellas existen dos maneras independientes de estimar la varianza de la población (S2) 1) Una varianza dentro de los grupos (ya que sólo contribuye a ella la varianza dentro de las muestras), o varianza de error, o cuadrados medios del error, y habitualmente representada por SCError (Mean Square Error) que se calcula como la media de las k varianzas muestrales (cada varianza muestral es un estimador centrado de S2 y la media de k estimadores centrados es también un estimador centrado y más eficiente que todos ellos). SCError es un cociente: al numerador se le llama suma de cuadrados del error y se representa por SCE y al denominador grados de libertad por ser los términos independientes de la suma de cuadrados. 2) Otra llamada varianza entre grupos (sólo contribuye a ella la varianza entre las distintas muestras), o varianza de los tratamientos, o cuadrados medios de los tratamientos y representada por SCtrat o MSB (Mean Square Between). Se calcula a partir de la varianza de las medias muestrales y es también un cociente; al numerador se le llama suma de cuadrados de los tratamientos (se le representa por SCtrat) y al denominador (k-1) grados de libertad. SCtrat y SCError , estiman la varianza poblacional en la hipótesis de que las k muestras provengan de la misma población. La distribución muestral del cociente de dos estimaciones independientes de la varianza de una población normal es una razón con distribución F con los grados de libertad correspondientes al numerador y denominador respectivamente, por lo tanto se puede contrastar dicha hipótesis usando esa distribución. Variación total = Variación dentro de los tratamientos+ Variación entre los tratamientos Suma de cuadrados total = Suma de cuadrados dentro+Suma de cuadrados entre Variación total = Tabla 2. Ejemplo de un reporte del análisis de varianza

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Fuente variación

de

Grados de Libertad

SC

CM

F0

Suma de cuadrados

Cuadrados medios

Razón

Entre Tratamientos

k-1

SCtratamient

SCtrat /(K-1)

SCtrat/ SCME

Dentro del Error

N-k

SCE

SCE /(N-K)

Total

N-1

SCT

SCTotal / (KN - 1)

p-valor

F P (F>F0 )

K= Numero de tratamientos o niveles o grupos del factor de interés N= Número total datos reportados n = Número total de datos por grupo Ejemplos de resolución de ANAVAS o ANOVAS se realizaran en capítulos siguientes y apéndices al final del mòdulo. Los grados de libertad son uno menos que el número de observaciones para cada fuente de variación.

Lección 4: Prueba de diferencia significativa mínima (DSM) de Fisher Diferencia mínima significativa (LSD). Es la diferencia mínima que debe haber entre dos medias muéstrales para poder considerar que dos tratamientos son diferentes. Discusión Cuando para un diseño experimental se rechaza la hipótesis de igualdad entre los tratamientos el investigador se pregunta cual(es) de ellos son diferentes entre sí. Para averiguarlo se emplean los métodos de comparación de medias, uno de estos métodos (formulas) es el LSD o (DMS) o diferencia minina significativa. Esta debe ser utilizada solo para comparar medias adyacentes en un arreglo ordenado, aunque también se puede emplear para comparar las medias con un testigo o tratamiento estándar. La DMS es una prueba de t de Student que utiliza la varianza combinada. 30

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Ecuación 6 …………..t= Ecuación 7………….Sd

r = Número de repeticiones CME = Cuadrado medio del error El valor de t se toma de la tabla de los apéndices con los grados de libertad del error. Usualmente la significancia es considerada entre 1% y 5%. Ejemplo En un experimento desarrollados por un grupo de profesionales se determino el efecto de tres tratamientos de fertilización en la altura de arboles de una especie forrajera, obteniéndose los siguientes resultados. Tabla 3. Tratamientos de experimento sobre fertilización Tratamiento

IBIOM (cm3)

Media T1 1064 a * T2 1838 a * T3 1886 a * Diferencia Mínima Significativa DMS 962 cm3

CV (%) 93 60 61

Los valores acompañados por igual letra no presentan diferencias estadísticamente significativas al 95% de confianza.

X1 X2 X3

X1 -

X2 1064 - 1838 -

X3 1064-1886 1838-1886 31

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Lección 5: Modelo estadístico La finalidad de una serie de experimentos es determinar un modelo estadístico que refleje la creencia respecto a la relación entre los tratamientos y las observaciones. Cada resultado del experimento si este se repite n veces, está determinado por la media general y el efecto del tratamiento. La identificación de este fenómeno y la comprobación de las suposiciones se hacen en el momento de proponerlo basándose en el siguiente modelo matemático:

Ecuación 8

Modelo matemático Ecuación 9 En donde i= 1,……., k numero de tratamientos j=1,…., r número de repeticiones u= promedio de todas las unidades experimentales del experimento = o según el caso.

i =

la diferencia entre el promedio (  i) y el resultado cuando se tiene la combinación de factores determinada por el tratamiento i. Como hay variaciones no controlables, la inexactitud de las mediciones, conforman un factor llamado error experimental ( ).



El modelo finalmente se expresa como:

Ecuación del Modelo estadístico 9

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Análisis de Covarianza. Lo que se busca en cada, experimento es la veracidad de una hipótesis. Cuando la hipótesis se refiere a los parámetros del fenómeno se convierte entonces en hipótesis estadística como la variabilidad del clima, de una temperatura en un proceso así se disponga de métodos de medida con bastante precisión y exactitud, sin olvidar que el resultado de todo experimento tiene un componente llamado error, generalmente debido al azar. Este efecto aleatorio obliga al investigador a recurrir a la estadística para minimizarlo y probar las hipótesis con un grado importante de certeza. El análisis de covarianza es un procedimiento muy importante en experimentación para la verificación de las hipótesis, pero lamentablemente no se usa con frecuencia. El análisis de covarianza permite realizar ajustes con las respuestas de las unidades experimentales en las que se varía un factor medible, con la respuesta que se hubiese obtenido, si todas las unidades experimentales hubiesen tenido, el valor promedio del factor variable, para eliminar así el efecto de ese factor. El análisis de covarianza entre muchas utilidades, se puede,utilizar también para ajustar las respuestas de las unidades de experimentación de promedios de dos o mas factores variables denominadas covariables. Utiliza el análisis de varianza y el de regresión para eliminar la variabilidad que existe en la variable independiente X; también ajusta medias de tratamiento y así estima mucho mejor el efecto de la variable independiente X sobre la variable dependiente Y. La variable independiente X es una observación hecha en cada unidad experimental antes de aplicar los tratamientos, e indica hasta cierto grado la respuesta final Y de la unidad experimental. Por ejemplo en una granja asistida por la UNAD se realizo un experimento con el fin estudiar la conveniencia de raciones alimenticias en la ganancia de peso de los anteriores para lo cual se les determinaron los pesos iniciales X y el consumo de alimento Y; si los investigadores utilizan diferentes raciones las diferencias fisicas y efectos que presentan los semovientes pueden ser o no ser significativas, por la calidad de las raciones. Por lo tanto se deben preguntar si: ¿Al existir variación en los pesos iniciales de los semovientes, la diferencia que se presentan en los pesos finales es debido a las propiedades de alguna de las raciones? O que en un alto porcentaje se deban a las diferencias de los pesos iniciales?

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Por medio del análisis de covarianza, se puede calcular el efecto de la bondad de las raciones, eliminando la parte correspondiente a los pesos iniciales. Recomendaciones   

Al plantear un estudio estadístico, definir claramente la población objeto de análisis. Si se trabaja con muestras, definir las condiciones que deben reunir antes de extraerlas. Especificar qué se va a medir, las unidades a usar y la forma de registro.

Ecuación de Modelo estadístico 9

Análisis de Covarianza. Lo que se busca en cada, experimento es la veracidad de una hipótesis. Cuando la hipótesis se refiere a los parámetros del fenómeno se convierte entonces en hipótesis estadística como la variabilidad del clima, de una temperatura en un proceso así se disponga de métodos de medida con bastante precisión y exactitud, sin olvidar que el resultado de todo experimento tiene un componente llamado error, generalmente debido al azar. Este efecto aleatorio obliga al investigador a recurrir a la estadística para minimizarlo y probar las hipótesis con un grado importante de certeza. El análisis de covarianza es un procedimiento muy importante en experimentación para la verificación de las hipótesis, pero lamentablemente no se usa con frecuencia. El análisis de covarianza permite realizar ajustes con las respuestas de las unidades experimentales en las que se varía un factor medible, con la respuesta que se hubiese obtenido, si todas las unidades experimentales hubiesen tenido, el valor promedio del factor variable, para eliminar así el efecto de ese factor. El análisis de covarianza entre muchas utilidades, se puede ,utilizar también para ajustar las respuestas de las unidades de experimentación de promedios de dos o mas factores variables denominadas covariables.

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Utiliza el análisis de varianza y el de regresión para eliminar la variabilidad que existe en la variable independiente X; también ajusta medias de tratamiento y así estima mucho mejor el efecto de la variable independiente X sobre la variable dependiente Y. La variable independiente X es una observación hecha en cada unidad experimental antes de aplicar los tratamientos, e indica hasta cierto grado la respuesta final Y de la unidad experimental. Por ejemplo en una granja asistida por la UNAD se realizo un experimento con el fin estudiar la conveniencia de raciones alimenticias en la ganancia de peso de los anteriores para lo cual se les determinaron los pesos iniciales X y el consumo de alimento Y; si los investigadores utilizan diferentes raciones las diferencias fisicas y efectos que presentan los semovientes pueden ser o no ser significativas, por la calidad de las raciones. Por lo tanto se deben preguntar si: ¿Al existir variación en los pesos iniciales de los semovientes, la diferencia que se presentan en los pesos finales es debido a las propiedades de alguna de las raciones? O que en un alto porcentaje se deban a las diferencias de los pesos iniciales? Por medio del análisis de covarianza, se puede calcular el efecto de la bondad de las raciones, eliminando la parte correspondiente a los pesos iniciales. Recomendaciones   

Al plantear un estudio estadístico, definir claramente la población objeto de análisis. Si se trabaja con muestras, definir las condiciones que deben reunir antes de extraerlas. Especificar qué se va a medir, las unidades a usar y la forma de registro.

CAPITULO 3-U_1 CAPITULO 3: TIPOS DE DISEÑO EXPERIMENTALES Para dar solución al gran número de situaciones y problemas teóricos prácticos que se presentan en la ingeniería y en otras actividades profesionales se han propuesto un buen numero de diseños experimentales cantidad que hacen necesario saber elegir el más adecuado para la situación que se quiere resolver, de allí que es conveniente conocer su clasificación de acuerdo a su alcance dentro del objetivo en propuesto. Definiciones Clasificación: de acuerdo con su objetivo y su utilización, sin pretender ser exhaustivo, los diseños se pueden clasificar como:

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1. Diseños para comparar dos o más tratamientos. 2. Diseños para estudiar el efecto de varios factores sobre la(s) respuesta(s). 3. Diseños para determinar el punto óptimo de operación de un proceso. 4. Diseños para la optimización de una mezcla. 5. Diseños para hacer el producto insensible a factores no controlables. Ejemplos de los anteriores son los que se van a tratar en este curso como los citados a continuación: Diseño Completo al Azar, Diseño de Bloques Completos al azar, diseño de Cuadro Latino, diseño de Cuadro Greco Latino, diseño factorial 2K, diseños factoriales 3K

LECCIONES-C_3-U_1 Lección 1: El uso de las computadoras y software especializado El uso de las computadoras y software especializado Los primeros usos del software estadístico en la enseñanza de la estadística han sido la presentación de "output" impresos a los alumnos para interpretar resultados. La simulación es un ejemplo de cómo utilizar el computador en la estadística aplicada. Existen software que simulan sistemas físicos, sociales o empresariales. Uno de las más sencillos y conocidos trata de simular la toma de decisiones en diversos escenarios y analizar sus resultados en un entorno competitivo. El alumno debe manejar varias variables en procura de maximizar las ganancias de su empresa. Las áreas de análisis multivariado fueron las más beneficiadas por el uso de la computadora. Las técnicas a utilizar no se ven limitadas a pesar de que el número de variables sea considerable, ya que los problemas de cálculo se minimizan. Tampoco los gráficos resultan un escollo. Algunos profesores, en ausencia de impedimentos de cálculos, le piden al alumno que aplique tales o cuales métodos, incentivando de esta forma la destreza en el uso del software (y el conocimiento de muchas de sus variantes). Sin embargo, no hay una enseñanza orientada a la resolución de problemas (porque no se ha planteado un problema) sino a la aplicación de técnicas estadística sin un claro objetivo.

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Paradójicamente, el uso de la computadora ha generado nuevos problemas. Uno de ellos es que se corre el riesgo de desarrollar análisis que constituyen sólo un ejercicio de uso de software, sin dedicar el suficiente tiempo a analizar la coherencia y lógica detrás de los mismos. Algunos ejemplos son: 

 

Determinar medias y desviaciones estándar de variables con escala nominal, debido a que en la tabla de datos figuran códigos numéricos de las distintas categorías. Calcular la media y el desvío estándar de los números que identifican cada formulario. Asignar un número a cada individuo según el orden que ocupa, y concluir que su distribución es simétrica.

Cuando los cálculos llevaban mucho tiempo, se debía pensar si era necesario realizar tal operación. Ahora que los cálculos no son obstáculo, muchas veces no se piensa qué es lo que se está haciendo. El momento de reflexión se realiza después de la etapa de cálculo y no antes. Ahora se dedica tiempo y esfuerzo en descartar análisis e indicadores sin sentido. Los Software estadísticos que facilitan una variedad de técnicas estadísticas descriptiva e inferencial, poco a poco, están cambiando la enseñanza de esta disciplina. Ya no es necesario concentrarse mucho en el manejo de fórmulas engorrosas. Esto puede conducir, a pretender el mismo objetivo que antes pero demorando menos o a usar la computadora para potenciar las posibilidades de la enseñanza de estadística. Nuestra opinión es que si bien las opciones anteriores no son excluyentes, se debe insistir más en el sentido de las técnicas, en su aplicación apropiada y en la buena interpretación de los resultados. Un uso de la planilla electrónica que recomendamos especialmente es su aplicación para comprender la relación entre el coeficiente de correlación lineal de Pearson y el diagrama de dispersión. La planilla electrónica permite observar en forma simultánea los efectos que provoca la modificación de algún dato en el diagrama de dispersión y en el coeficiente de correlación. La enseñanza de la práctica de la estadística debería basarse en la resolución de estudios de casos. El software adecuado podría apoyar cursos basados en el estudio de casos, para presentar problemas prácticos que requieren: 1. 2. 3. 4.

La formulación de hipótesis La recolección de datos La comprobación de hipótesis La comunicación de resultados e ideas

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Además, ayudan a cambiar el énfasis de los tradicionales "problemas de planteo" a "estudios de casos". En el desarrollo de "estudios de casos", el uso de la computadora implica dar mayor importancia a temas que antes no se priorizaban. Cuando se fomenta a los alumnos que desarrollen una investigación donde deban recolectar datos, se plantea el problema de cómo organizar luego la tabla de datos. Proponemos incluir en los cursos un capitulo dedicado a la creación de estas tablas. De los programas adecuados para el manejo, el procesamiento y análisis de datos citamos los siguientes: EXCELL, SPS, MINITAB, SAS, STATISTICAL, STATGRAPHICS, CURVE EXPERT; etc. sin embargo con la utilización de una calculadora también es posible la realización de la gran mayoría de las operaciones involucradas en el procesamiento de los datos.

Figura 4. Portada del programa Statgraphics * Se le asigna el nombre de hoja de cálculo a un hoja que esta divida en renglones y columnas, al cruce de ellos se le denomina celdas sobre las cuales se almacena información (letras o números) que podemos usar para realizar operaciones, tales como sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, cálculos financieros, estadísticos, de ingeniería, amortizaciones, etc. Revisar los enlaces de Apendices 1_Repaso a la estadistica en la  página del curso.

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Lección 2: Diseños unifactoriales De Montgomery (1991) y Cochran & Cox (2001) extractanos que: Los experimentos de una variable se realizan para averiguar cómo una variable experimental afecta una o más variables de respuesta. En este tipo de experimentos, los tratamientos son simplemente niveles seleccionados de la variable experimental. Dependiendo de la variable experimental seleccionada, los tratamientos pueden diferir ya sea cualitativa o cuantitativamente. Diseñó de experimentos sin bloquear. A estos experimentos algunos autores (Montgomery, 1991 y Cochran & Cox, 2001) los denominan diseño totalmente aleatorizado o completamente al azar, es el diseño más simple y se usa cuando las unidades experimentales son homogéneas, tienen las mismas posibilidades de recibir cualquier tratamiento y la variación entre ellas es muy pequeña. Como en los experimentos de laboratorio, de invernadero en experimentos en donde las condiciones ambientales son controladas, en algunos casos este diseño necesita solo una replica con un solo criterio de clasificación. Por lo tanto: 1. Es fácil de planear. 2. Es flexible en cuanto al número de tratamientos y repeticiones, el límite está dado por el número de unidades experimentales en general. 3. No es necesario que el número de tratamientos sea igual al número de repeticiones. 4. No se estiman unidades o muestras perdidas. 5. El número de grados de libertad para el error aumenta por no tener muchas restricciones. Las desventajas del diseño completamente al azar son:  No es eficiente con material experimental heterogéneo.  Puesto que no existen restricciones en cuanto a la aleatoriedad, el error experimental incluye la variación total entre unidades experimentales.

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

El análisis de varianza para el diseño completamente al azar se muestra en las tablas 25 y 26.

Procedimiento estadístico para la comprobación de hipótesis en un diseño al azar. El procedimiento a seguir es común y debe ser acorde con lo planteado en la siguiente tabla. Tabla 4. Procedimiento estadístico para la comprobación de hipótesis

INFORMACION RECOPILADA SOBRE RESPUESTA A LOS TRATAMIENTOS

OBSERVACIONES

A F1A1 F2A1 F3A1

Total tratamiento

por

Numero de datos n por tratamiento Media tratamiento

LA OPERACIONES ARITMETICAS A DESARROLLAR PARA EL CALCULO DEL ANAVA B C 1. = suma de cuadrados de todas F1B1 F1C1 las observaciones F2B1 F2C1 2. Suma de los datos 3. Número total de mediciones F3B1 F3C1 4. Media de los datos 5. Efecto del método = Y observada - Y media N n

por

Gran media Suma de SCT cuadrados totales Suma de SCt cuadrados de los tratamientos Y el ANAVA en la siguiente tabla Tabla 5. Análisis de varianza para los tratamientos con un solo factor, en un diseño totalmente aleatorizado o completamente al azar. Fuente de Grados de SC CM F0 p-valor variación Libertad Suma de Cuadrados Razón 40

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Tratamientos Error Total

k-1 N-k N-1

cuadrados medios SCtrat SCtrat /(k-1) SCtrat / CME SCE SCE /(N-k) SCT SCMT / (kn -1)

P (F>F0 )

k= Numero de tratamientos o niveles o grupos del factor de interés N= Número total de datos reportados n = Numero total por grupo El procedimiento consiste en calcular la suma del cuadrado de los tratamientos, la suma de los cuadrados totales y por diferencia la suma de cuadrados del error. Tabla 6. Recopilación y presentación de los resultados de los tratamientos, en un diseño totalmente aleatorizado o completamente al azar.

NIVEL A B C D E

1 F1A1 F1B1 F1C1 F1D1 F1A1

2 F2A1 F2B1 F2C1 F2D1 F2A1

3 F3A1 F3B1 F3C1 F3D1 FjeAJ

F1A1 hasta FJEAJ son los análisis o las muestras recolectadas o tomadas Para aclarar el concepto del procedimiento que se sigue revisemos el apéndice 2.

Lección 3: Diseños de bloques completos al azar El objetivo del diseño de bloques completos al azar (DBCA) es reunir las unidades experimentales a las cuales se aplicaran los tratamientos, en bloques de cierto tamaño, de tal modo que los tratamientos se efectúen dentro de cada bloque, la variabilidad entre unidades experimentales de bloques diferentes será mayor que entre unidades del mismo bloque, como consecuencia, las diferencias encontradas entre unidades se deben principalmente a la discrepancia entre tratamientos. La disparidad que no se deba tratamiento, se elimina por el diseño y forma parte del error experimental. De acuerdo con esto, es fácil observar que la variabilidad entre bloques no afecta las diferencias entre medias de tratamientos, 41

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porque en cada bloque aparece una vez por tratamiento y así los bloques y tratamientos son ortogonales. En este diseño el material experimental es dividido en grupos de unidades experimentales (UE) lo más homogéneas posible. Cada uno de los grupos es una sola prueba o repetición. El objeto en todas las etapas del experimento es de mantener el error experimental dentro de cada grupo tan pequeño como sea posible en la práctica. Los conjuntos o grupos son llamados bloques. Dentro de cada bloque las (UE) son asignadas aleatoriamente, cada tratamiento ocurre exactamente una vez en un bloque. Fuentes de variabilidad. En este diseño (DBCA) se consideran tres fuentes de variabilidad: el factor de tratamientos, el factor de bloques y el error aleatorio es decir, se tienen tres posibles responsables de la variabilidad que presenten los datos obtenidos. Se denominan completos porque en cada bloque se prueban todos los tratamientos, es decir, que los bloques están completos Ventajas Las principales ventajas de bloques al azar son las siguientes: 1. Por medio de la agrupación comúnmente se obtienen resultados más exactos que cuando se usan diseños completamente al azar. 2. Puede incluirse cualquier numero de repeticiones. El análisis estadístico es el acostumbrado. 3. Si la varianza del error experimental es mayor para algunos tratamientos que para otros aun puede obtenerse un error insesgado para probar cualquier combinación específica de las medias de los tratamientos. 4. Ningún otro diseño se usa tan frecuentemente como los bloques al azar. Aleatorización. La aleatorización es realizada cuando las unidades se han agrupado y los tratamientos han sido asignados al azar a las unidades dentro de cada grupo. El nombre de bloques completos al azar es debido a que en cada bloque (por ejemplo un operador, un semoviente, una parcela) se prueban todos los tratamientos (completo) en orden aleatorio.

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Procedimiento estadístico para la comprobación de hipótesis en un diseño de bloques completos al azar. El procedimiento a seguir es común y debe ser acorde con lo planteado en la siguiente tabla. Tabla 7. Recopilación y presentación de los resultados de los tratamientos, en un diseño de bloques completos al azar. BLOQUES Tratam B1 B2 B3 B4 Y i. r1 XT1B1 XT1B2 XT1B3 XT1B4 r2 XT2B1 XT2B2 XT2B3 XT2B4 r3 XT3B1 XT3B2 XT3B3 XT3B4 r4 XT4B1 XT4B2 XT4B3 XT4B4 Y.j B1 B2 B3 B4

ANOVA para un diseño en bloques completos al azar (DBCA) (Varios autores) La metodología de análisis a emplear es el ANOVA a dos criterios de clasificación. En este caso, el análisis de varianza particiona la variabilidad total de la información en tres componentes: una primera debida al efecto de los tratamientos (Suma de Cuadrados Entre Tratamientos), la segunda a efecto de los bloques (Suma de Cuadrados de Bloques), y finalmente el Error Experimental (Suma de Cuadrados del Error = S.C. del error). En la misma forma se particionan los grados de libertad. El rechazo o no de la hipótesis nula depende del valor del estadístico F: F = (S. C. de Tratamientos / t - 1) / (S. C. del Error / (t - 1) (r - 1)) Ecuación 10 Comparación de medias de tratamiento en el diseño de bloques completos al azar (BCA) Cuando para este diseño se rechaza la hipótesis de igualdad entre los tratamientos el investigador se pregunta cual(es) de ellos son diferentes entre sí. Para averiguarlo se emplean los métodos de comparación de medias, uno de estos métodos (formulas) es el LSD diferencia mínima significativa (Ecuación 9) en donde se sustituye el numero de replicas por el numero de bloques, y también se deben cambiar los grados de libertad del error en el caso de bloques esta dado por (b-1)(tratam-1). Para K tratamientos se tienen un total de k(k-1)/2 pares de medias. 43

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K=tratamientos b= bloques N = Total de experiencias n= numero de observaciones para cada tratamiento.

Ecuación 11 El valor de t se toma de las tablas de la distribución T de Student con N-K grados de libertad del error. Ejemplo de bloques completos al azar (BCA) (Varios autores). Revisemos el apéndice 2. Lección 4: Diseño de cuadro latino El nombre de cuadrado Latino se debe a R.A. Fisher [The Arrangement of Field Experiments, J. Ministry Agric., 33: 503-513 (1926)]. Las primeras Aplicaciones fueron en el campo agronómico, especialmente en los casos de suelos con tendencias en fertilidad en dos direcciones. Diseño que contempla el control de dos factores de bloque, además del factor de tratamientos y los tres factores tienen la misma cantidad de niveles. Considerándose cuatro fuentes de variabilidad que vienen siendo los dos factores de bloque, el tratamiento y el error aleatorizado. El primer factor de bloqueo se representa en los renglones o filas, el segundo factor de bloqueo se representa en las columnas y los tratamientos se representan por letras latinas y se distribuyen en forma tal que cada tratamiento aparece sólo una vez en cada fila y una sola vez en cada columna (Latin square design). El interés se centra en un solo factor, los tratamientos, pero se imponen dos restricciones a la aleatorización en un cuadro como el ejemplo de la tabla del siguiente numeral. Formación y tabulación de los datos experimentales en un cuadrado latino. Suponga 4 tratamientos A, B, C y D, con estos tratamientos se pueden formar 4 cuadros diferentes llamadas típicas o estandar (en la primera fila y en la primera columna se tiene la misma distribución). Tabla 8. Recopilación y presentación cuadro latino. A B C D A B C D B C D A B A D C C D A B C D B A

de los resultados de los tratamientos, en A B C

B D A

C A D

D C B

A B C

B A D

C D A

D C B 44

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D

C

A

B

D

A

B

C

D

C

B

A

D

C

B

A

De cada cuadro se obtienen 144 formas diferentes, en total se tienen 576 cuadros diferentes. Un diseño de este tipo sólo es posible cuando el número de niveles de ambas restricciones sea igual al número de niveles del tratamiento. Por ejemplo, en una granja experimental si administramos tres medicamentos (tratamientos) a tres cabras con diferentes . El orden en el que los caprinos reciben los tratamientos puede ser completamente aleatorizado (diseño por bloques) o aleatorizado bajo la condición de “equilibrio” requerida para un cuadrado latino. Designemos los tratamientos por T1 ,T2 y T 3 . Una asignación equilibrada respecto al orden de administración puede ser Arreglo de los datos en un diseño de Cuadro latino. Para facilitar el entendimiento de este diseño se debe seguir como ejemplo el recomendado por varios autores y presentado en la siguiente tabla: Tabla 9. Arreglo de los resultados de los tratamientos, en cuadro latino.

BLOQUES I

BLOQUES II 1 2 3 1 A=Yl1l B=Y221 C=Y331 B=Y212 2 C=Y313 C=Y322 D=Y432 D=Y414 D=Y423 3 A F =Y ….. 524 =Y533 4 A=Y12f F=Y634 ..... . F=Yf1f B=Y23f .

4 … D=Y4411 … E=Y442

….

J Yi.. F=YjJ1 Yi..1 A=Y1j2 B=Y2j3 Yi..2

B =Y443

…

C=Y3j4 Yi..3

A=Y544

..

…

Yi..4

C=Y34f

….

…

Yi..,,

…

J=YJjf

Yi..f

f Yj..

Y1..

Y2..

Yj..

Yj..

Ynj.. Yj..