Modulo 3 - Tensão e Deformação - Lei de Hooke

Mecânica dos Sólidos MÓDULO 3

TENSÃO E DEFORMAÇÃO EM ELEMENTOS LINEARES; LEI DE HOOKE Thiago Bomjardim Porto

1ª Edição

EDITORA 

Belo Horizonte 2014

Copyright © 2014 by Thiago Bomjardim Porto 

É proibida, de qualquer forma ou por qualquer meio eletrônico e mecânico, a reprodução total ou parcial deste livro sem a permissão expressa do autor. Os direitos de propriedade desta edição estão reservados ao autor.

 Revisão Técnica: Prof. Antônio Pires Azevedo Júnior Departamento de Engenharia Civil Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais - PUC MINAS

 Notas explicativas: 1. Foram feitos esforços para identificar os detentores dos direitos das obras. Caso ocorra alguma omissão involuntária de dados, a editora buscará a correção na primeira oportunidade. 2. Apesar dos melhores esforços do autor, do editor e dos revisores, é possível que surjam inexatidões ao longo do texto. Assim, são bem-vindas as comunicações de usuários sobre correções ou sugestões referentes ao conteúdo ou ao nível pedagógico que auxiliem o aprimoramento de edições futuras. Os comentários dos leitores podem ser encaminhados ao professor Thiago Bomjardim Porto pelo email [email protected]

FICHA CA CAT TALOGRÁFICA Elaborada pela Biblioteca da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais

P853m

Porto, Thiago Bomjardim Mecânica dos sólidos: módulo 3: Tensão e deformação em elementos lineares; Lei de Hooke / Thiago Bomjardim Port Porto. o. Belo Horizonte: FUMARC, 2014. 150p. : il. ISBN: 978-85-8124-056-5 1. Sólidos elásticos. 2. Análise estrutural (Engenharia). 3. Deformações e tensões. 4. Resistência de materiais. I. Título. CDU: 620.17

 DEDICATÓRIA

 Aos mestres e amigos amigos Antônio Carlos Nogueira Rabelo,  Armando Cesar Campos Lavall, Estevão Bicalho Pinto Pinto  Rodrigues, José Márcio Fonseca Fonseca Calixto e  Pedro  P edro Vianna Vianna Pessoa Pessoa de Mendonça, eméritos conhecedores da Engenharia de Estruturas, aos quais devo parte de meu saber;  Aos meus Pais, Pais, Alberto Bomjardim Por Porto to e  Maria Margarida Bomjardim Porto,  pelo legado e carinhoso afeto;  Aos meus irmãos, Luiz Alberto Alberto Bomjardim Porto Porto e Paulo Roberto Bomjardim Porto, pela amizade verdadeira de tantos anos.  À minha noiva, Amália Amália Tanos Tanos Jorge Maldonado,  presente em momentos difíceis difíceis de minha vida;  Enfim, dedico esta obra a todos os colegas que se iniciam nesta desafiadora e cativante especialidade e que tem o forte desejo de vencer. vencer.

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 AGRADECIMENTOS  À Deus, presente em todos os momentos de minha vida.  Agradeço aos colegas do departamento de Engenharia Civil da  PUC MINAS pela confiança e pelo apoio mantidos durante todo o desenvolvimento do projeto “Livro Texto Mecânica dos Sólidos”. Gostaria de agradecer à Diretoria do Instituto Politécnico da  Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, IPUC-PUC MINAS, em particular, ao professor Jánes Landre  Júnior pelo apoio irrestrito a este trabalho.  Agradeço também, a todos os alunos do curso de Engenharia Civil da  PUC MINAS e UFMG que ajudaram, diretamente e indiretamente, na produção deste livro, em particular: Alice Laura de Oliveira  Alves, André Luis de Castro Silva, Felipe Dutra Galuppo, Felipe Magleau,

Igor Prado da Silveira, Jonas Paulo Costa Silveira, Juliana Rodrigues  Alves, Mila Carvalho de Almeida e Weberson Gonçalves Alves. Gostaria de agradecer, também à CONSMARA ENGENHARIA LTDA

 pelo apoio integral para viabilização deste livro texto.  Este projeto está concluído, mas o livro didático de  Mecânica dos Sólidos não se encerra nesta primeira edição.  Espero que o mesmo possa ser aperfeiçoado em edições futuras,  por meio do envio de críticas e sugestões por parte dos leitores (professores, estudantes e engenheiros). Aqueles que assim as fizerem recebam, também, desde já, os meus sinceros agradecimentos. O Autor, Thiago B. Porto

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PREFÁCIO Trabalhar com engenharia é uma tarefa complexa, porém prazerosa, que ao ser complementado com o ensinar fecha um ciclo de realização para o profissional que nela atua. Esta publicação que hora se apresenta, é fruto de uma grande dedicação do engenheiro e professor Thiago, que com uma linguagem clara e objetiva passa aos seus leitores os conceitos básicos e necessários aos que se iniciam na área do cálculo estrutural, ser vindo também como um rico material de consulta no dia a dia do cálculo e no uso de ferramentas que atualmente fazem parte do dia a dia de um engenheiro.  Aproveito, então, para parabenizar o engenheiro e professor Thiago pelo trabalho desenvolvido e desejo sucesso para esta e para as próximas que virão.

 Jánes Landre Júnior  Professor da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais  Diretor do Instituto Politécnico da PUC MINAS - IPUC

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APRESENTAÇÃO Este livro procura fornecer explicações claras, com profundidade adequada, dos princípios fundamentais da Mecânica dos Sólidos. O entendimento destes princípios é considerado uma base sobre a qual se deve construir a experiência prática futura na Engenharia de Estruturas.  Admite-se que o leitor não possui conhecimento prévio sobre o assunto, mas possui bom entendimento da Mecânica Newtoniana. Não se pretendeu elaborar um manual, nem um trabalho puramente científico, mas um livro texto, um guia de aula, rico em exemplos brasileiros. Outra preocupação foi que aspectos polêmicos não fossem considerados, mas que, ao contrário, fossem abordadas as técnicas e os métodos reconhecidos e aceitos em nosso meio técnico. O livro tornará a “temida” Mecânica dos Sólidos mais acessível a todos, permitindo que o leitor envolva-se com a fantástica e singular capacidade da Engenharia de Estruturas de transferir conhecimentos e informações sobre materiais, concepção estrutural, dimensionamento e detalhamento de peças, antecipando comportamentos e proporcionando economia e segurança às estruturas civis.  O livro foi feito para estudantes e profissionais juniores e, tanto quanto possível, embasado numa linguagem simples e direta, evitando o jargão científico. Permitirá, entretanto, que profissionais experientes, porém não familiarizados com determinada área de atuação da Engenharia de Estruturas, nele, encontrem os conhecimentos essenciais e, por meio da bibliografia recomendada de cada módulo, elementos suficientes para se aprofundarem no assunto. Este livro não tem a pretensão de esgotar o vasto e complexo campo da Mecânica dos Sólidos, nem constituir um estado da arte sobre assunto tão amplo. Ao escrevê-lo, fui movido por duas metas básicas: propiciar uma objetiva literatura técnica brasileira sobre a mecânica dos sólidos aos alunos e colegas de trabalho Engenheiros e Arquitetos e orientar os profissionais de cálculo estrutural na melhor forma de aplicar os conhecimentos de Engenharia de Estruturas em prol de projetos de Engenharia mais seguros e econômicos. Dessa forma, o livro representa uma modesta contribuição brasileira no sentido de aprimorar cada vez mais os conceitos relacionados à Mecânica dos Sólidos e suas aplicações em análise e concepção estrutural. 9

Desejo bom proveito a todos os leitores, professores, estudantes e profissionais, pois são vocês, em última análise, aqueles que farão, com certeza, a melhor avaliação do resultado alcançado. Por se tratar de uma livro texto introdutório à Mecânica dos Sólidos, utilizei a seguinte sistemática: cada módulo inicia-se com um resumo dos conceitos teóricos básicos fundamentais para o entendimento do assunto e, na sequência, um conjunto de exercícios resolvidos com a aplicação da teoria apresentada. Em seguida, são apresentados  vários exercícios propostos com o objetivo do leitor consolidar os conhecimentos aprendidos. Enfim, a melhor satisfação para quem traça plano, é ver seus projetos realizados. Este livro é a realização de um antigo projeto que se concretiza. O autor coloca-se à total disposição para a solução de problemas particulares de Mecânica dos Sólidos, disponibilizando sua experiência como Engenheiro Calculista, adquirida em mais de uma centena de projetos de Engenharia em todo o Brasil e América Latina.

O Autor, Thiago B. Porto

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Coleção

NAPRÁTICA

Mecânica dos Sólidos Mód. 1

PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DA SEÇÃO TRANSVERSAL DE FIGURAS PLANAS

Mód. 2

INTRODUÇÃO À ANÁLISE ESTRUTURAL

Mód. 3

TENSÃO E DEFORMAÇÃO EM ELEMENTOS LINEARES; LEI DE HOOKE

Mód. 4

TORÇÃO

Mód. 5

FLEXÃO E PROJETO DE VIGAS

Mód. 6

CISALHAMENTO EM ELEMENTOS LINEARES

Mód. 7

TRANSFORMAÇÕES DE TENSÃO E SUAS APLICAÇÕES

Mód. 8

DEFLEXÃO EM VIGAS

Mód. 9

FLAMBAGEM EM ELEMENTOS LINEARES E PROJETO DE PILARES

Mód. 10 MÉTODOS DE ENERGIA  Mód. 11 PROVAS DE CONCURSO PÚBLICO E ENADE (MEC) RESOLVIDAS E COMENTADAS

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ÍNDICE  PREFÁCIO....................................................................................................................................... 7  APRESENTAÇÃO........................................................................................................................... 9 1. TENSÃO ..................................................................................................................................... 15 1.1. Introdução ........................................................................................................ 15 1.2. Tensões em Elementos de uma Estrutura .......................................................... 15 1.3. Análise e Projeto de Engenharia ........................................................................ 17 1.4. Tensões Normais ............................................................................................... 17 1.5. Tensões de Cisalhamento .................................................................................. 19 1.6. Tensões em Soldas ............................................................................................ 20 1.7. Tensões de Esmagamento .................................................................................. 22 1.8. Tensões em um Plano Oblíquo .......................................................................... 49 1.9. Estado de Tensão............................................................................................... 59 1.10. Considerações de Projeto ................................................................................ 60 1.10.1. Limite de Resistência de um material ..................................................................60 1.10.2. Tensão admissível e coeficiente de segurança.......................................................62

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2. TENSÃO E DEFORMAÇÃO - CARREGAMENTO AXIAL ..........................................73 2.1. Introdução ........................................................................................................ 73 2.2. Deformação específica normal .......................................................................... 74 2.3. Diagrama tensão-deformação ............................................................................ 75 2.4. Lei de Hooke .................................................................................................... 76 2.5. Carregamentos repetidos - Fadiga ..................................................................... 77 2.6. Deformações sob carregamento axial ................................................................ 78 2.7. Indeterminação estática .................................................................................. 109 2.8. Tensão térmica ................................................................................................ 111 2.9. Coeficiente de Poisson .................................................................................... 119 2.10. Lei de Hooke generalizada ............................................................................ 120 2.11. Dilatação: Módulo de compressibilidade Volumétrica ................................... 121 2.12. Deformação de cisalhamento ........................................................................ 122 2.13. Relação entre E, ν e G .................................................................................. 131 2.14. Princípio de Saint-Venant .............................................................................. 134 REFERÊNCIAS ........................................................................................................................... 143  ANEXOS....................................................................................................................................... 145  Anexo A.1 - Centróides de Áreas Usuais na Engenharia..........................................................145  Anexo A.2 - Momentos de Inércia de Seções Usuais na Engenharia ......................................146  Anexo A.3 - Prefixos do Sistema Internacional.........................................................................147  Anexo A.4 - Propriedade dos Materiais.....................................................................................148  Anexo A.5 - Conversão de Unidades Usuais em Escritórios de Cálculo.................................149  Anexo A.6 - Alfabeto Grego ......................................................................................................150

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Biografia ADHÉMAR JEAN-CLAUDE BARRÉ DE SAINT-VENANT

 Engenheiro e professor Francês, nasceu em 1797 e faleceu em 1886; atuava principalmente na hidráulica, no entanto,  fez diversas contribuições para a Resistência dos Materiais. Uma de suas principais contribuições para a disciplina foi o  princípio de Saint-Venant, que afirma que os esforços internos normais em um elemento estrutural resultante de um esforço externo concentrado pode ser considerado uniformemente distribuído, desde que, seja considerado em regiões distantes do  ponto de aplicação da carga. Maiores detalhes do princípio de Saint Venant será visto ao longo deste módulo.

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1.  TENSÃO 1.1. INTRODUÇÃO Este capítulo aborda o conceito de tensão, que é simplificadamente a distribuição da força por unidade de área. Tal conhecimento será de fundamental importância ao logo da disciplina, do curso e da carreira profissional de um engenheiro.  A seções 1.2 e 1.3 explicam o que é tensão e qual a utilidade desse tipo de conhecimento para a Engenharia.  As seções 1.4, 1.5, 1.6 e 1.7 demonstram os tipos de tensões que serão estudadas ao longo da disciplina. As tensões que serão analisadas no decorrer do capítulo são: tensão normal, tensão de cisalhamento, tensões em solda e tensão de esmagamento.  A seção 1.8 aborda os casos onde considera-se um plano inclinado para a análise de tensões.  A seção 1.9 define estado de tensão e demonstra qual a aplicação do mesmo no estudo de tensões. Esta seção demostra, também, quais os tipos de estado de tensão e qual será a convenção de sinais adota ao longo do livro. E por último, a seção 1.10 informa quais as considerações devem ser observadas em um projeto para a análise de tensões.

1.2. TENSÕES EM ELEMENTOS DE UMA ESTRUTURA Segundo Porto (2011), ao analisar uma estrutura, três parâmetros devem ser observados: A força aplicada, a área onde a força está sendo aplicada e o material que a estrutura é confeccionada. Isso se deve ao fato de que a força encontrada é uma resultante de forças aplicadas sobre elementos infinitesimais de área. A intensidade média dessas forças distribuídas é conhecida como tensão, representada pela letra grega σ   (sigma) e é dada pela expressão:

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σ  =

 P 

(1.1)

 A

Em que: P → Força aplicada;  A → Área de aplicação da força. FIGURA 1 - Tensão

 Fonte: Elaborada pelo autor 

Utilizado as unidades do Sistema Internacional, SI, tem-se P em Newtons (N) e A em metros quadrados (m²), logo a unidade de σ é

 N  m²

. Esta unidade é conhecida como

Pascal, porém, utiliza-se mais os múltiplos quilopascal (kPa), Megapascal (MPa) e Gigapascal (GPa).

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1.3. ANÁLISE E PROJETO DE ENGENHARIA Outro parâmetro a ser observado é o material do qual a estrutura é confeccionada, pois cada material comporta-se de maneira diferente quando solicitado. Alguns materiais como o aço, possuem as mesmas propriedades na direção x, y e z, portanto, são isotrópicos. Outros no entanto, como a madeira, possuem comportamento mecânico na direção longitudinal das fibras, diferente na direção perpendicular as fibras. Este tipo de material é chamado de anisotrópico. Para encontrar a tensão admissível de um material torna-se necessário se utilizar um coeficiente de segurança (CS) sobre a tensão de ruptura de um dado material. Esse coeficiente de segurança leva em conta as incertezas do carregamento, as propriedades mecânicas e a qualidade do material. Maiores detalhes sobre esse tema serão abordados no item 1.10 deste capítulo.

1.4. TENSÕES NORMAIS  A tensão normal é definida como a intensidade da força que é aplicada, perpendicularmente, à uma unidade de área.  A equação (1.1) representa a tensão normal média e não uma tensão em um ponto específico da seção transversal.

FIGURA 2 - Tensão Normal

 Fonte: Elaborada pelo autor 

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Para calcular a tensão em um ponto específico Q da seção transversal (fig. 2), dividiuse ∆ F   por ∆ A  fazendo com que ∆ A  tenda a zero.

σ  =

lim ∆ A→0

∆ F 

(1.2)

∆ A

Em termos gerais, o valor de tensão encontrado em um ponto específico é diferente da tensão média. A figura 3 mostra como se dá a distribuição de tensões ao longo de uma barra.

FIGURA 3 - Distribuição de Tensão

 Fonte: Elaborada pelo autor 

Como pode-se notar, a variação de tensão em um plano distante da aplicação da carga é pequena, porém, em planos próximos ao da aplicação da carga essa variação é significativa. Em geral, para dimensionamento de peças, utiliza-se a tensão média, exceto nos pontos próximos da aplicação da carga. Utiliza-se como convenção a tensão normal de compressão tendo o sinal negativo enquanto a tensão normal de tração terá o sinal positivo.

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1.5. TENSÕES DE CISALHAMENTO  A tensão de cisalhamento é definida como a intensidade da força que é aplicada, tangencialmente à uma unidade de área.  A figura abaixo mostra uma barra submetida a cisalhamento e seu respectivo diagrama de corpo livre.

FIGURA 4 - Cisalhamento

 Fonte: Elaborada pelo autor 

Como a barra está em equilíbrio existe uma força resultante P de mesma intensidade que P’ e sentido oposto a este, que é a força cortante da seção. Ao dividir a cortante P pela área da seção transversal A, obtém-se a tensão de cisalhamento média, que é representada pela letra grega τ (tau). τ med 

=

(1.3)

 P   A

 Assim como no cálculo da tensão normal, o valor obtido na equação (1.3) é um valor médio. Diferentemente da tensão normal, a tensão de cisalhamento não pode ser considerada uniforme ao longo da seção uma vez que ela varia de zero, na superfície da seção, até um valor máximo que pode ser muito maior que o valor médio. No caso da figura 4, a barra encontra-se em cisalhamento simples. Porém, no caso da figura abaixo, o parafuso está em cisalhamento duplo, uma vez que o mesmo está submetido a dois planos de corte (KK’ e LL’).

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FIGURA 5 - Cisalhamento Duplo

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Ao traçar o diagrama de corpo livre do parafuso e analisar o equilíbrio, encontra-se a cortante P = F/2. Com isso, a tensão de cisalhamento média é definida por:  P  τ med 

=

2

 A

=

 P 

 

(1.4)

2 A

1.6. TENSÕES EM SOLDAS Considerando uma seção qualquer da solda em duas barras, submetidas às forças F e F’, conforme a figura 6 e 7, conclui-se que para manter o equilíbrio, têm-se uma força interna P de sentido oposto a F.

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FIGURA 6 - Chapas Soldadas

 Fonte: Elaborada pelo autor 

FIGURA 7 - Diagrama de Forças

 Fonte: Elaborada pelo autor 

Essa força P irá atuar, tangencialmente, sobre qualquer plano longitudinal da solda, caracterizando que a o carregamento aplicado sobre a barra provoca uma tensão de cisalhamento ao longo da solda. Como a força P será constante ao longo da solda, a tensão de cisalhamento terá seu  valor máximo no plano de menor área. A área considerada será o produto entre o perímetro da solda e uma distância d (ilustrada na figura a seguir).

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FIGURA 8 - Corte A-A

 Fonte: Elaborada pelo autor 

Uma vez que a tensão alcançará seu valor máximo no plano de menor área e o perímetro da solda permanecerá constante, conclui-se que a tensão alcançará o valor crítico no plano cujo a distância d tenha o menor valor, ou seja, em um plano inclinado 45º. Com isso:

d = t . sen 45º

(1.5)

O perímetro (p) da solda será dado, neste caso, por:

 p = 2 . a + b 

(1.6)

E a tensão de cisalhamento máxima será: τ max

=

 P 

(1.7)

d  ⋅  p

1.7. TENSÕES DE ESMAGAMENTO  A tensão de esmagamento é definida como a tensão criada por parafusos, pino e rebites sobre os componentes aos quais estão conectados. Considera-se, por exemplo, a figura 9.

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FIGURA 9 - Tensão de Esmagamento

 Fonte: Elaborada pelo autor 

O parafuso exerce uma força P de mesmo módulo e sentido oposto a F. A tensão de esmagamento ( σ e ) é dada por meio da força P dividida pelo retângulo da projeção do parafuso sobre a placa. Como a área é igual a t ⋅ d  , em que t é a espessura da barra e d o diâmetro do parafuso, a tensão de esmagamento é dada por:

σ e

=

 P  t ⋅ d 

 

(1.8)

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

   S    O    D    I    V    L    O    S    E

   R    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

1.1.

Duas barras cilíndricas AB e BC são soldadas uma à outra em B e submetidas a um carregamento conforme a figura. Sabendo que d1 = 100 mm, d2 = 50 mm,  F 1 = 80 kN e F 2 = 50 kN, calcule as tensões normais médias nas barras AB e BC.

   E

FIGURA 10 - Exercício Resolvido 1.1

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Resolução:

Na barra AB, atuam os esforços  F 1 e  F 2, por isso, para o cálculo da tensão em AB deve-se considerar:

 A área da seção transversal da barra AB é dada por:

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Posteriormente deve-se aplicar os dados obtidos na equação (1.1), lembrando que serão utilizadas as unidades N e mm.

   S    O    D    I    V    L    O    S    E

   R

Na barra BC, o cálculo será de forma análoga ao da barra AB, porém, somente o esforço F 2 atua na mesma. Desta forma:

 F = F 2 = 50kN  A área da seção transversal da barra BC é dado por:

Logo, a tensão média atuante na barra BC será:

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   S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

   S    O    D    I    V    L    O    S    E

1.2.

   R    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

Duas barras cilíndricas AB e BC são soldadas uma à outra em B e submetidas a um carregamento conforme a figura. Sabendo que,  F 1 = 80 kN,  F 2 = 50 kN e que a tensão normal média não pode exceder 140 MPa, determine os menores  valores admissíveis para d 1 e d 2 .

FIGURA 11 - Exercício Resolvido 1.2

   E

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Resolução:

Como a tensão admissível foi dada, assim como os esforços atuantes, é possível determinar, por meio da equação (1.1), a área da seção transversal: σ  =

 F   A

Logo:  A =

 F  σ 

Desta forma a área da seção transversal da barra AB é dada por:

26

, a unidade encontrada para a área será mm2.

Como

   S    O    D    I    V    L    O    S    E

   R

 A = 928,57 mm2 Com o valor da área, é possível determinar o diâmetro da barra AB através da equação:

   S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

 A =

π  d 2 4

Logo o diâmetro é dado por: d  =

4 ⋅  A

π 

Desta forma, o diâmetro mínimo da barra AB será:

O cálculo para o diâmetro da barra BC é de forma semelhante ao anterior, sendo:

27

   S    O    D    I    V    L    O    S    E

1.3.

   R    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

Duas barras cilíndricas AB e BC são soldadas uma à outra em B e submetidas a um carregamento conforme a figura. Sabendo que d1 = 50 mm, d2 = 30 mm,  F 1 = 100 kN e  F 2 = 75 kN, calcule as tensões normais médias nas barras AB e BC. FIGURA 12 - Exercício Resolvido 1.3

   E

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Resolução:

Na barra AB:

 F = –F 1 = –100 kN  A área da seção transversal da barra AB é dado por:

Posteriormente deve-se aplicar os dados obtidos na equação (1.1), lembrando que serão utilizadas as unidades N e mm.

 A tensão negativa indica que a barra está submetida a uma tensão de compressão. Na barra BC:

 A área da seção transversal da barra BC é dado por:

Logo, a tensão média atuante na barra BC será:

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1.4.

Considerando a figura da questão 1.3, determine o valor de  F  , para que a tensão de compressão na barra AB tenha a mesma intensidade da tensão de tração da barra BC. O valor de  F  , d   e d   continuam os mesmos da questão anterior. 1

2

1

2

   S    O    D    I    V    L    O    S    E

   R    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

 Resolução:

   E

Uma vez que a intensidade da tensão normal média na barra AB é igual a da tensão normal média em BC temos:

Como foi visto no problema anterior, a intensidade da tensão na barra AB é dada por:

E a intensidade da tensão na barra BC é:

Igualando as equações, obtêm-se:

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   S    O    D    I    V    L    O    S    E

1.5.

Quando a força F alcançou 5 kN, a peça de madeira mostrada na figura falhou sob cisalhamento ao longo da superfície C indicada pela linha tracejada. Determine a tensão média ao longo da seção C no momento da ruptura.

   R    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

FIGURA 13 - Exercício Resolvido 1.5

   E

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Resolução:

Para o cálculo da tensão de cisalhamento média na seção utiliza-se a equação (1.3):

 Sendo:

Logo:

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1.6.

Uma carga axial de 50 kN é aplicada a uma coluna curta de madeira, de dimensões 100 mm x 100 mm, suportada por uma base quadrada de concreto sobre um solo estável. Determine a tensão normal média na coluna de madeira e as dimensões da base de concreto para que a tensão de contato média entre o concreto não ultrapasse 200 kPa. Despreze os pesos da coluna de madeira e da base de concreto.

   S    O    D    I    V    L    O    S    E

   R    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

FIGURA 14 - Exercício Resolvido 1.6

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Resolução:

 A tensão normal média na coluna de madeira é encontrada através da equação (1.1), em que:

O cálculo das dimensões da base de concreto é realizado por meio da mesma equação acima, porém a área é que será determinada, pois a tensão admissível é conhecida.

Como a base de concreto é quadrada, as dimensões da mesma são dadas por:

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   S    O    D    I    V    L    O    S    E

1.7.

   R    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

Uma carga axial P é suportada por uma coluna curta W200 x 15,0 com seção transversal de área A = 1940 mm² e distribuída a uma fundação de concreto por uma placa quadrada. Sabendo que a tensão normal média na coluna não pode exceder 200 MPa e que a tensão de esmagamento na fundação de concreto não pode exceder 20 MPa, determine as dimensões da chapa que proporcionará o projeto mais seguro e econômico.

   E

FIGURA 15 - Exercício Resolvido 1.7

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Resolução:

Para este problema calcula-se a maior força que pode ser aplicada e que atenda a tensão admissível da coluna e posteriormente calculam-se as dimensões da placa por meio da força P encontrada. O cálculo da força P será por meio da equação (1.1).

Utilizando, novamente a equação (1.1), encontra-se a área mínima da placa respeitando a tensão de esmagamento admissível.

Logo, as dimensões da placa quadrada são dadas por:

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1.8.

Duas peças de aço são soldadas e submetidas a um carregamento F = 250 kN como mostra a figura abaixo. Sabendo que a tensão de cisalhamento admissível da solda é 100 MPa, determine o menor valor possível de a. Desconsidere o atrito entre as peças.

FIGURA 16 - Exercício Resolvido 1.8

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Resolução:

Para o cálculo das dimensões de (a), calcula-se primeiro a área do plano longitudinal da solda onde ocorre o maior valor para a tensão de cisalhamento máxima. Utilizando as equações (1.5) e (1.6) encontra-se:

Utilizando a equação (1.7) é possível determinar o valor de (a).

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   S    O    D    I    V    L    O    S    E

   R    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

   S    O    D    I    V    L    O    S    E

1.9.

Para o carregamento mostrado, em que P é igual a 10 kN, determine a tensão normal média na barra AB. A área da seção transversal AB é igual a 200 mm².

   R    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

FIGURA 17 (a) - Exercício Resolvido 1.9

   E

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Resolução:

Para este exercício, o primeiro passo é determinar a força atuante na barra AB. Para isso, é necessário analisar o nó B. FIGURA 17 (b) - Equilíbrio nó B

 Fonte: Elaborada pelo autor 

Por meio do somatório de forças, sabe-se que a componente vertical de F AB  deve anular a força P.

Com isso, é possível determinar a intensidade de F AB: 34

   S    O    D    I    V    L    O    S    E

   R

Uma vez calculada a intensidade de F AB, é possível encontrar a tensão normal média atuante na barra:

   S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

1.10.

Para a figura abaixo, determine a tensão de cisalhamento média no pino. Considere P=14,14 kN e diâmetro do pino igual a 8 mm. FIGURA 18 - Exercício Resolvido 1.10

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Resolução:

 A tensão de cisalhamento média é dada por meio da equação (1.4):

35

   S    O    D    I    V    L    O    S    E

1.11.

Os diâmetros das hastes AB e BC são 8 mm e 6mm, respectivamente. Se a carga vertical de 10 kN for aplicada ao anel em B, determine a tensão normal média em cada haste.

   R    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

FIGURA 19 (a) - Exercício Resolvido 1.11

   E

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Resolução:

Para a resolução deste exercício, é preciso fazer o somatório de forças em B.

FIGURA 19 (b) - Equilíbrio B

 Fonte: Elaborada pelo autor 

Como o sistema está equilíbrio, pode-se dizer que a componente y da haste F AB somada com a componente y da haste F BC é igual a P. 36

Logo,

∑ F  y

   S    O    D    I

=

   V    L    O    S    E

 0

   R

 Além da afirmação acima, pode-se concluir que a componente x de F AB  deve ser igual a componente x de F BC.  Assim,

∑ F  y

=

 0

 Analisando a equação acima, pode-se afirmar que:

Substituindo a equação acima na primeira equação do exercício, encontra-se:

Resolvendo a equação:

Uma vez encontrado o valor de F BC é possível encontrar o valor de F AB substituindo o BC por 5,18 kN na terceira equação do exercício:

Com os esforços atuantes nas barras definidos, basta dividi-los por suas respectivas áreas para determinar as tensões normais médias atuantes.

37

   S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

   S    O    T    S    O    P    O    R

   P    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

1.1.

 A força axial na coluna mostrada na figura é P = 75 kN. Determine o menor comprimento L admissível para a chapa, quadrada, para que a tensão de contato na madeira não exceda 5 MPa.

   E

FIGURA 20 - Exercício Proposto 1.1

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Espaço Reservado para a Resolução do Exercício

38

1.2.

Cada uma das barras da treliça tem área de seção transversal de 800 mm 2. Determine a tensão normal média em cada elemento resultante da aplicação da carga P = 50 kN. Indique se a tensão é de tração ou de compressão.

   S    O    T    S    O    P    O    R

   P

FIGURA 21 - Exercício Proposto 1.2

   S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Espaço Reservado para a Resolução do Exercício

39

   S    O    T    S    O    P    O    R

1.3.

Considere a figura do exercício anterior. Se a tensão normal média máxima em qualquer barra não pode ultrapassar 160 MPa, determine o valor máximo de P que pode ser aplicado.

   P    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

 Espaço Reservado para a Resolução do Exercício

   E

40

1.4.

O conjunto de pendural a seguir é usado para suportar um carregamento distribuído igual a 15 kN/m. Determine a tensão normal média na haste AC, de diâmetro igual a 30 mm, e a tensão de cisalhamento média nos parafusos em A e C. O diâmetro dos parafusos é igual a 12 mm.

FIGURA 22 - Exercício Proposto 1.4

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Espaço Reservado para a Resolução do Exercício

41

   S    O    T    S    O    P    O    R

   P    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

   S    O    T    S    O    P    O    R

   P    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

1.5.

Se a tensão normal admissível para o material da base sob os apoios em A e B for igual a 3 MPa, determine a carga máxima P que pode ser aplicada à viga. As seções transversais quadradas das chapas de apoio A’ e B’ são 50 mm x 50 mm e 75 mm x 75 mm, respectivamente.

FIGURA 23 - Exercício Proposto 1.5

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Espaço Reservado para a Resolução do Exercício

42

1.6.

Considere a figura do exercício anterior. Se a tensão normal admissível para o material da base sob os apoios em A e B for igual a 3 MPa, determine as dimensões das chapas, de seções quadradas, sob os apoios. Considere P = 8 kN.

   S    O    T    S    O    P    O    R

   P

 Espaço Reservado para a Resolução do Exercício

   S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

43

   S    O    T    S    O    P    O    R

1.7.

O bloco de concreto de 40 kN está suspenso por quatro cabos, de 40 mm de diâmetro, conforme a figura abaixo. Se o diâmetro dos cabo forem 12 mm, determine a tensão normal média em cada cabo.

   P    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

FIGURA 24 - Exercício Proposto 1.7

   E

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Espaço Reservado para a Resolução do Exercício

44

1.8.

O acoplamento de gancho e haste a seguir está sujeito a uma força de 8 kN. Sabendo que os diâmetros das hastes são de 40 mm e o diâmetro do pino é 20 mm, determine a tensão normal média das hastes e a tensão de cisalhamento média do pino.

FIGURA 25 - Exercício Proposto 1.8

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Espaço Reservado para a Resolução do Exercício

45

   S    O    T    S    O    P    O    R

   P    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

   S    O    T    S    O    P    O    R

   P    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

1.9.

Duas peças de aço são soldadas e submetidas a um carregamento F, como mostra a figura abaixo. Sabendo que a tensão de cisalhamento admissível da solda é 150 MPa e que a é igual 4 mm, determine o maior valor possível de F. Desconsidere o atrito entre as peças.

FIGURA 26 - Exercício Proposto 1.9

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Espaço Reservado para a Resolução do Exercício

46

1.10.

 A carga P de 5 kN é suportada por dois elementos de madeira (A e B) de seção transversal uniforme, unidos pela emenda colada mostrada na figura. Determine a tensão de cisalhamento na emenda.

   S    O    T    S    O    P    O    R

   P

FIGURA 27 - Exercício Proposto 1.10

   S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Espaço Reservado para a Resolução do Exercício

47

   S    O    T    S    O    P    O    R

1.11.

Resolva o problema anterior considerando que os elementos de madeira A e B estão separados 4mm.

   P    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

 Espaço Reservado para a Resolução do Exercício

   E

48

1.8. TENSÕES EM UM PLANO OBLÍQUO  A seção 1.4 demonstra que uma carga axial aplicada em um elemento provoca uma tensão normal no mesmo, enquanto que na seção 1.5 é demonstrado que uma carga tangencial provoca uma tensão de cisalhamento. Isto se deve ao fato de que, até o presente momento, foram considerados os planos perpendiculares ao eixo da barra ou parafuso. Ao utilizar um plano oblíquo, observa-se que uma carga axial provoca tensões normais e de cisalhamento no elemento, assim como uma carga tangencial. Considere uma barra submetida a um carregamento P (fig. 28) e um plano inclinado θ  graus.

FIGURA 28 - Tensão em plano inclinado

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Ao decompor a força P nas suas componentes F (normal) e V (tangencial), tem-se:

 F  =  P  ⋅ cos θ 

V  =  P ⋅ senθ   

(1.9)

Para o cálculo das tensões é preciso utilizar a área inclinada (  A θ ) que é dada por  Aθ 

=

 A cos θ 

 

(1.10)

Em que A é a área de um plano perpendicular ao eixo da barra. 49

 Ao substituir as equações 1.9 e 1.10 nas equações 1.3 e 1.1 tem-se:

σ  =

 P ⋅ cos θ   A

τ med 

=

 P ⋅ senθ   A  

(1.11)

cosθ 

cos θ 

ou

σ  =

 P ⋅ cos 2 θ   A

τ med 

=

 P ⋅ cosθ  ⋅ senθ     A

(1.12)

 Verifica-se que o maior valor para σ  é encontrado quando θ  = 0   enquanto que o maior valor para τ med  é dado quando θ  = 45º.

50

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

   S    O    D    I    V    L    O    S    E

1.12.

Considere dois elementos de madeira de seção transversal retangular uniforme unidos por uma emenda colada, como mostra a figura. Sabendo que P = 8 kN e que os elementos tem seções transversais com área igual a 625mm², determine as tensões de cisalhamento e normal na emenda colada.

FIGURA 29 - Exercício Resolvido 1.12

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Resolução:

Para o cálculo das tensões utiliza-se as equações 1.12:

Com isso ao substituir os valores encontra-se:

Observe que o ângulo utilizado foi 30° e não 60°. Isso se deve ao fato de que o ângulo considerado para a definição da formula é o formado entre o plano da seção transversal e o plano inclinado. 51

   R    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

   S    O    D    I    V    L    O    S    E

1.13.

   R    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

Considere dois elementos de madeira de seção transversal retangular uniforme unidos por uma emenda colada, como mostra a figura 29. Sabendo que a tensão de cisalhamento admissível é 600 kPa, determine a maior força P que pode ser aplicada.

 Resolução:

   E

Este cálculo será análogo ao anterior, porém a força P que será a incógnita. Ao substituir os valores na equação 1.12:

52

Uma carga P de 1x10 6 N é aplicada ao bloco quadrado, de lado igual a 150 mm, de granito mostrado na figura. Determine a tensão normal média no bloco e a tensão de cisalhamento média resultante de maior valor.

1.14.

   S    O    D    I    V    L    O    S    E

   R

FIGURA 30 - Exercício Resolvido 1.14

   S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Resolução:

Para o cálculo da normal média utiliza-se a equação 1.1 σ  =

 P   A

Substituindo os valores encontra-se:

Para o cálculo da tensão de cisalhamento média, utiliza-se a equação 1.12, com θ   igual a 45°, encontrando-se o maior valor para a tensão de cisalhamento média. τ med 

=

 P ⋅ senθ  ⋅ cos θ   A

Logo

53

   S    O    D    I

1.15.

   V    L    O    S    E

   R    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

O elemento na figura abaixo está submetido a um carregamento P = 4 kN. Determine a tensão normal média e a tensão de cisalhamento média ao longo do plano inclinado. Considere o elemento com seção transversal quadrada com lado igual a 30 mm.

FIGURA 31 - Exercício Resolvido 1.15

   E

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Resolução:

Para o cálculo das tensões utiliza-se as equações 1.12:

σ  =

 P ⋅ cos 2 θ   A

τ med 

=

 P ⋅ cosθ  ⋅ senθ   A

Com isso ao substituir os valores encontra-se:

Observe que o ângulo utilizado foi 30° e não 60°. Isso se deve ao fato de que o ângulo considerado para a definição da formula é o formado entre o plano da seção transversal e o plano inclinado.

54

1.16.

Um corpo de prova sob tração com seção transversal de medidas 100 mm x 20 mm é submetido a uma força axial P igual a 200 kN. Determine a tensão de cisalhamento média máxima no corpo de prova.

   S    O    D    I    V    L    O    S    E

   R

FIGURA 32 - Exercício Resolvido 1.16

   S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Resolução:

Para o cálculo da tensão de cisalhamento média utiliza-se a equação 1.12, com θ igual a 45°, onde encontra-se o maior valor para a tensão de cisalhamento média. τ med 

=

 P ⋅ senθ  ⋅ cos θ   A

Logo

55

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

   S    O    T    S    O    P    O    R

   P    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

1.12.

 A carga P de 5 kN é suportada por dois elementos de madeira de seção trans versal uniforme unidos pela emenda colada. Determine as tensões normal e de cisalhamento na emenda colada sabendo que os elementos tem seção transversal igual a 100 mm x 75 mm. FIGURA 33 - Exercício Proposto 1.12

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Espaço Reservado para a Resolução do Exercício

56

1.13.

 A estrutura de dois elementos está sujeita a um carregamento mostrado. Determine a tensão normal média e a tensão de cisalhamento média que age na seção a-a. A seção transversal quadrada do elemento AB tem 35 mm de lado. Considere P = 10 kN. FIGURA 34 - Exercício Proposto 1.13

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Espaço Reservado para a Resolução do Exercício

57

   S    O    T    S    O    P    O    R

   P    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

   S    O    T    S    O    P    O    R

   P

1.14.

Resolva o exercício anterior considerando a seção b-b, sendo que a seção trans versal quadrada do elemento CB tem 35 mm de lado.

 Espaço Reservado para a Resolução do Exercício

   S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

1.15.

Considere a figura do exercício 1.13. Determine a maior intensidade P da carga que pode ser aplicada à estrutura sem que a tensão normal média na seção b-b ultrapasse 15 MPa. O elemento tem seção transversal de área igual a 900 mm 2.

 Espaço Reservado para a Resolução do Exercício

58

1.9. ESTADO DE TENSÃO Todo material pode estar submetido a esforços aplicados em um ou mais planos. No caso de aplicação de esforços em um único plano, afirma-se que o material está submetido a um estado plano de tensões ou também, estado duplo de tensões. Neste caso, o material será submetido apenas a tensões no plano x-y por exemplo.

FIGURA 35 - Estado plano de tensão

 Fonte: Elaborada pelo autor 

Neste caso, são consideradas somente as tensões σ x , σ y e τ xz e a convenção de sinais utilizadas para tensões positivas será conforme a figura 35.  Além do estado plano de tensões, um material pode ser analisado no estado triplo de tensões, ou estado triaxial. Neste estado, serão considerados os esforços aplicados nos planos x-y, x-z e y-z, tornando este método mais complexo. No estado triaxial as tensões consideradas serão σ x , σ x , σz , τ xy , τ xz e τ yz . E a convenção de sinais para tensões positivas será conforme a figura a seguir.

59

FIGURA 36 - Tensão em plano inclinado

 Fonte: Elaborada pelo autor 

1.10. CONSIDERAÇÕES DE PROJETO 1.10.1. Limite de Resistência de um material Este parâmetro informa à carga última, ou de ruptura do material. É obtido por meio de ensaios de laboratório, em que uma amostra submetida a esforços de tração ou compressão recebe acréscimos de carga até que a peça rompa ou que comece a suportar menos carga (Perda de resistência). Essa força máxima é conhecida como carga limite,  Pu, e, ao dividi-la pela área de aplicação da carga, obtém-se a tensão normal limite do material. σ u

=

 P u

(1.13)

 A

Para o cálculo da tensão de cisalhamento limite, existem vários métodos existentes. No entanto, o mais comum é por meio do ensaio de torção. Outro método é a aplicação de uma força cisalhante na amostra até o rompimento, porém, este método não é usual. 60

1.10.2. Tensão admissível e coeficiente de segurança Por questões de segurança, não são utilizadas as tensões limites, também conhecidas como tensões de ruptura, no projeto. Utiliza-se uma fração da tensão limite conhecida como tensão admissível ( σ adm ). A relação entre as tensões limite e admissível é conhecido como coeficiente de segurança (fator de segurança), expressão pela equação. C .S . =

Tensão  Limite Tensão  Admissível 

 

(1.14)

Obviamente, a tensão admissível deverá sempre ser menor que a tensão limite. Para a definição de um correto C.S. diversos fatores devem ser observados, uma vez que a escolha de um valor muito pequeno aumenta o risco de falha do material, enquanto um muito elevado torna o projeto, economicamente inviável. Para a escolha do C.S. ,o engenheiro deve considerar: • • • • • • • • •

Incerteza nas propriedades do material Incerteza de cargas Incerteza das análises Número de ciclos de carga Tipos de falha Requisitos de manutenção e os efeitos de deterioração Importância da barra para a integridade de toda estrutura Risco à vida e à propriedade Influência sobre a função da máquina

Geralmente os coeficientes de segurança são definidos por normas técnicas ou por especificações de projeto. No Brasil, as principais normas regulamentadoras são: • Estruturas de Concreto Armado – NBR 6118/2014 • Estruturas de Aço – NBR 8800/2008 • Estruturas de Madeira – NBR 7190/1997

61

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

   S    O    D    I    V    L    O    S    E

   R    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

1.17.

Os componentes AB e BC da treliça mostrada abaixo, são feitos do mesmo material. Sabe-se que a tensão de ruptura para esse material é 300 MPa, que o diâmetro dos componentes da treliça são iguais a 50 mm e que o coeficiente de segurança adotado é 2,8. Determine a tensão normal média para os componentes AB e BC quando submetidos a um carregamento P igual a 100 kN e informe se para esse carregamento o projeto é aprovado, ou seja, a tensão atuante é menor ou igual a tensão admissível. FIGURA 37 (a) - Exercício Resolvido 1.17

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Resolução:

Para a resolução deste exercício deve-se primeiro calcular os esforços atuantes em cada componente da treliça. Neste caso isso é possível analisando apenas o nó B, ao fazer o somatório de forças em y, é possível perceber que a componente de força vertical da barra AB deve anular a força P. FIGURA 37 (b) - Equilíbrio nó B

Desta forma:

O valor do ângulo θ pode ser encontrado por meio da seguinte equação:

 Fonte: Elaborada pelo autor 

62

Substituindo os valores na equação acima, encontra-se:

   V    L    O    S    E

 F  AB . sen 26,565º = 100 kN  F  AB = 223,61 kN

   R    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

Logo:

   E

 Ao fazer o somatório de forças em x percebe-se que a componente horizontal de AB deve anular a força atuante em BC.

Substituindo os valores encontrados anteriormente, encontra-se encontra-se o valor de BC.

 F  BC = 223,61 . cos 26,565 = 200 kN Posteriormente deve-se calcular a tensão normal média atuante em cada barra da treliça, utilizando a equação (1.1). σ  =

 P   A

Substituindo os valores encontrados:

 Após o cálculo cálculo das tensões deve-se calcular a tensão tensão admissível e verificar verificar se as as tensões tensões são menores ou igual a tensão admissível. O cálculo da tensão admissível é dado pela equação 1.14. σ adm

=

   S    O    D    I

σ rup C .S .

Substituindo os valores encontra-se encontra-se::

Com isso, o projeto não é aprovado pois 63

   S    O    D    I

Considerando a treliça e o carregamento do exercício anterior e sabendo que a tensão de cisalhamento admissível dos pinos é 80 MPa, determine o menor diâmetro para o pino em A.

1.18.

   V    L    O    S    E

   R    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

FIGURA 38 - Exercício Resolvido 1.18

   E

 Fonte:  Fo nte: Elaborada Elaborada pelo autor  autor 

 Resolução:

Como calculado no exercício resolvido 1.17, a força atuante na barra AB é igual a 223,6 kN. Com isso, deve-se substituir os valores na equação (1.3). τ med 

=

 F   A

Substituindo os valores, é possível encontrar a área admissível à aplicação da força.

Uma vez encontrada a área, é possível determinar o diâmetro.

64

1.19.

Quatro parafusos de aço devem ser usados para fixar a chapa de aço em uma viga de madeira, conforme mostrado na figura 39. Sabendo que a chapa suportará uma carga P de 180 kN, que o limite da tensão de cisalhamento do aço utilizado é 360 MPa e que é desejado um coeficiente de segurança de 3,3, determine os diâmetro dos parafusos. FIGURA 39 - Exercício Resolvido 1.19

 Fonte:  Fo nte: Elaborada Elaborada pelo pelo autor  autor 

 Resolução:

Primeiramente deve-se calcular a força em cada parafuso:

Utilizando-se da equação 1.4 para acharmos a força de ruptura temos:

Com o valor da força de ruptura, podemos calcular o diâmetro:

65

   S    O    D    I    V    L    O    S    E

   R    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

   S    O    D    I

1.20.

   V    L    O    S    E

   R    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

Quatro parafusos de aço com 25 mm de diâmetro devem ser usados para fixar a chapa como mostra a figura do exercício anterior. Sabendo que a chapa suportará uma carga de 100 kN e que a tensão de cisalhament cisalhamentoo limite do aço utilizado é 360 MPa, determine o coeficiente de segurança para o projeto.

 Resolução:

   E

Primeiramente, deve ser calculado a tensão de cisalhamento média atuante nos pinos, por meio da equação 1.3.

Uma vez determinada a tensão atuante determina-se o coeficiente de segurança atra vés da equação equação 3.14 σ adm

=

σ rup C .S .

Logo

66

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1.16.

 A junta está presa por dois parafusos. Determine o diâmetro exigido para os parafusos se a tensão de ruptura por cisalhamento para os parafusos for τrup = 300 MPa e P = 50 kN. Use um coeficiente de segurança igual 3,2.

   S    O    T    S    O    P    O    R

   P    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

FIGURA 40 - Exercício Proposto 1.16

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Espaço Reservado para a Resolução do Exercício

67

   S    O    T    S    O    P    O    R

1.17.

Considerando a figura do exercício anterior, pede-se: Determine o C.S. do sistema sabendo que, τrup = 300 MPa, τatuante = 40 kN e o diâmetro do parafuso é 10 mm.

   P    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

 Espaço Reservado para a Resolução do Exercício

   E

68

1.18.

 As hastes AB e CD são feitas de aço cuja tensão de ruptura à tração é τrup = 450  MPa. Usando um coeficiente de segurança igual a 2, determine o menor diâmetro das hastes de modo que elas possam suportar a carga mostrada.

   S    O    T    S    O    P    O    R

   P

FIGURA 41 - Exercício Proposto 1.18

   S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Espaço Reservado para a Resolução do Exercício

69

   S    O    T    S    O    P    O    R

   P    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

1.19.

Na estrutura de aço é usado um pino de 8 mm de diâmetro em A e um de 10 mm de diâmetro em B e C. O limite da tensão de cisalhamento é 140 MPa em todas as conexões e o limite da tensão normal é 400 MPa na barra BC. Sabendo que se deseja um coeficiente de segurança igual a 3,2, determine o maior valor da carga P que pode ser aplicada em B. FIGURA 42 - Exercício Proposto 1.19

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Espaço Reservado para a Resolução do Exercício

70

1.20.

Resolva o problema anterior considerando que foram utilizados pinos de 12 mm em toda as conexões.

   S    O    T    S    O    P    O    R

   P

 Espaço Reservado para a Resolução do Exercício

   S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

71

Biografia ROBERT HOOKE

Cientista experimental que nasceu na Inglaterra em 1635 e faleceu em 1703. Hooke, assim como Newton, foi um dos cientistas mais renomados do século XVII. Foi membro da Sociedade Real de Londres (The Royal Society of London for the Improvement of Natural Knowledge), instituição esta destinada ao desenvolvimento do conhecimento científico. Sua  principal contribuição para a Resistência dos Materiais foi a descoberta da Lei de Hooke, que relaciona a tensão e deformação em um corpo no regime elástico linear.

2. TENSÃO E DEFORMAÇÃO CARREGAMENTO AXIAL

2.1. INTRODUÇÃO O capítulo 2 aborda as tensões e deformações causadas por um carregamento axial. O capítulo conceitua deformação e analisa o conhecimento básico sobre o tema que é de elevada importância para a Engenharia.  A seção 2.2 define deformação específica normal, que é a base para o entendimento do capítulo.  As seções 2.3 e 2.4 relacionam a deformação específica normal com a tensão aplicada sobre o material. Na seção 2.4, será apresentada a Lei de Hooke de fundamental importância para a análise de tensão e deformação.  A seção 2.5 verifica o comportamento dos materiais submetidos a carregamentos repetidos. Este fenômeno é conhecido como fadiga.  A seção 2.6 relaciona a lei de Hooke com a variação do comprimento inicial de um material submetido a carregamento axial.  A seção 2.7 demonstra como resolver problemas estaticamente indeterminados utilizando o método aprendido na seção anterior.  A seção 2.8 aborda as tensões e deformações causadas pela variação de temperatura analisando o comportamento do material quando submetido a esta situação. Nas seções 2.9 e 2.10, serão consideradas as deformações sofridas nos eixos x, y e z adaptando a Lei de Hooke para o estado geral.  A seção 2.11 analisa as alterações no volume de um corpo após sofrer deformações. Essa alteração é conhecida como dilatação. Esta seção define também o módulo de compressibilidade volumétrica.  A seção 2.12 define a deformação causada por uma tensão cisalhante e demonstra o procedimento para o cálculo da mesma. 73

 A seção 2.13 relaciona relaciona o módulo de elasticidade, o coeficiente coeficiente de Poisson Poisson e o módulo de rigidez. Esta relação será importante no caso de se conhecer somente duas das três constantes. Por último, a seção 2.14 apresenta o Princípio de d e Saint-V Saint-Venant que será se rá utilizado para a análise de tensões cujo carregamento carregamen to não seja aplicado de forma distribuída no material.

2.2. DEFORMAÇÃO ESPECÍFIC ESPECÍFICAA NORMAL  Ao aplicar aplicar uma uma carga axial P, de compressão ou tração, tração, em uma barra barra a mesma tende tende a mudar de tamanho e forma, conforme mostra na figura 43.

FIGURA 43 - Deformação específica normal

 Fonte:  Fo nte: Elaborada Elaborada pelo autor  autor 

Define-se deformação deformação normal média ( ε  ) como a relação entre a variação de comprimento ( δ  ) e o comprimento inicial de uma barra (L i) submetida a um carregamento axial (P), ou seja: ε  =

δ 

 

(2.1)

 Li

O valor de δ   é obtido pela diferença: δ  =  L f   − Li  

(2.1) 74

Em que  L f    é o comprimento final da barra e  Li  o comprimento inicial. Como δ   e L possuem unidades de comprimento, percebe-se que a deformação ( ε  ) é adimensional. Para um valor de ε  positivo, tem-se um aumento no comprimento da barra. Se o valor for negativo, o comprimento foi diminuído.

2.3. DIAGRA DIAGRAMA MA TENSÃO-DEFO T ENSÃO-DEFORMAÇ RMAÇÃO ÃO Com dados obtidos em ensaios de tração ou compressão, obtém-se os valores de tensões e suas respectivas deformações no corpo de prova. O gráfico construído constr uído com esses  valores é conhecido como diagrama de tensão-defor tensão-deformação, mação, conforme figura 44, em que ε   é a abscissa e σ   é a ordenada.

FIGURA 44 - Diagrama Tensão-Deformação Genérico

 Legenda:  Legend a: 1

- Comportamento elástico

2

- Comport Comportamento amento plástico ou parcialmente plástico

 A

- Região Reg ião elástica elás tica

B

- Escoament Escoamentoo do material para uma tensão constante

C

- Endurecimento por deformação

D

- Estricção

σlp

- Limite de proporcionalidade

σE

- Limite Li mite de elasticidade/Limite de escoamento

σrup

- Tensão de ruptura

σr

- Limite Lim ite de resistência

σ’rup

 Fonte:  Fo nte: Elaborada Elaborada pelo pelo autor  autor 

75

- Tensão de ruptura real

Por meio do diagrama, é possível concluir algumas informações importantes sobre o material, por exemplo: tensão de escoamento e ruptura; região elástica; definir se o material é dúctil (suporta grandes deformações antes de romper) ou frágil (possuem pouco ou nenhum escoamento), etc. Caso a tensão aplicada seja menor ou igual à tensão limite de proporcionalidade, ao retirar a tensão aplicada, a deformação irá retroceder a zero. Caso a tensão seja maior, haverá uma deformação permanente, sendo encontrada ao traçar uma reta paralela á reta do regime elástico, do ponto com as coordenadas encontradas no momento da aplicação da carga até o eixo das deformações. Caso o material não possua um limite de proporcionalidade bem definido, pode-se usar a tensão de escoamento como a tensão limite de proporcionalidade, pois acarretará em um erro muito pequeno, uma vez que são valores, extremamente próximos.  É importante ressaltar que na prática é muito difícil diferenciar a Tensão de  Escoamento Limite e o limite de proporcionalidade. proporcionalidade. Assim, é muito comum considerar esses dois pontos sendo apenas um, ou seja, o limite elástico, σ E.  Vale lembrar que existem dois diagramas de tensão-defor  Vale tensão-deformação, mação, o teórico e o real. O primeiro, utiliza a seção transversal do corpo de prova constante ao longo de todo ensaio, ou seja, não considera o decréscimo de área das seções do material, causado pela estricção. No diagrama genérico apresentado, a área para o cálculo das tensões é constante. O segundo diagrama utiliza as tensões reais, considerando o decréscimo da área. Mesmo que o primeiro diagrama seja menos preciso que o segundo, ele é utilizado na Engenharia pois apresenta resultados aceitáveis.

2.4. 2. 4. LE LEII DE HOOKE  A maioria dos materiais de Engenharia possui uma proporciona proporcionalidade lidade entre tensão e deformação no regime elástico. Este fato foi descoberto por Robert Hooke, em 1676 e, por isso, é conhecido como Lei de Hooke. σ  =  E  ⋅ ε   

(2.3)

Em que E é o módulo de elasticidade (também conhecido como Módulo de Young), obtido pela inclinação da reta na fase elástica do diagrama de tensão-deformação. O módulo de elasticidade é dado pela divisão da tensão do limite de proporcionalidade pela respectiva deformação.

76

(2.4)  Vale lembrar que a lei de Hooke só é valida para materiais com comportamento linear elástico e com tensões menores ou iguais à tensão limite de proporcionalidade.

2.5. CARREGAMENTOS REPETIDOS - FADIGA Quando uma tensão é aplicada milhares ou até milhões de vezes ao material, este tende a romper mesmo que a tensão aplicada seja muito menor que a tensão de ruptura. Este fenômeno é conhecido como fadiga. Quando um material rompe por fadiga, a falha será de natureza frágil, não apresentando grandes deformações, mesmo em materiais dúcteis. Para definir o número de ciclos de carregamentos que levam à ruptura do material, realizam-se ensaios em que uma tensão é aplicada repetidamente. O mesmo ensaio é repetido para vários valores de σ   e, posteriormente constrói-se a curva σ  − n , em que n é o número de ciclos necessários para a ruptura do material.

FIGURA 45 - Fadiga

 Fonte: Elaborada pelo autor 

O conceito de fadiga é muito utilizado na Engenharia Mecânica, principalmente na indústria Automobilística e Aeroespacial. 77

2.6. DEFORMAÇÕES SOB CARREGAMENTO AXIAL Considerando uma barra homogênea de comprimento L e seção transversal uniforme de área A, submetida a uma carga axial P, cujo a tensão P/A não ultrapasse o limite de proporcionalidade, pode-se escrever a lei de Hooke como:  P   A

=

(2.5)

 E  ⋅ ε 

Ou, ainda: ε  =

 P 

(2.6)

 A ⋅ E 

 Ao igualar a equação (2.6) com a equação (2.1), tem-se: δ   L

=

 P 

(2.7)

 A ⋅ E 

Logo: δ  =

 P ⋅ L

(2.8)

 A ⋅ E 

Essa equação só pode ser usada se o módulo de elasticidade E, for constante, se a seção transversal for uniforme e se a força for aplicada em suas extremidades. Caso contrário, a barra deve ser dividida de forma que satisfaça estas condições. Com isso, a variação de comprimento será dada por meio do somatório das variações das partes da barra. δ  = ∑ n

 P n ⋅ Ln

(2.9)

 An ⋅ E n

 Aplicando-se a soma de Riemann para todas as barras, pode-se integrar a equação anterior para obtermos a variação total. (2.10)

78

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

   S    O    D    I    V    L    O    S    E

2.1.

Uma barra de aço com comprimento igual a 2 m aumenta 1 mm no comprimento quando lhe é aplicada uma força de tração igual a 15 kN. Sabendo que E=200 GPa, determine o diâmetro da barra na situação deformada e a tensão normal média correspondente. Desconsiderar a estricção da peça (regime elástico linear). FIGURA 46 - Exercício Resolvido 2.1

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Resolução:

Como foi fornecido o comprimento inicial e a variação desse comprimento, é possível determinar a deformação da barra:

Uma vez conhecida a deformação na barra, calcula-se a tensão atuante na mesma.

Com o valor da tensão e da força atuantes, encontra-se a área:

Por meio do valor da área encontra-se o valor do diâmetro da barra

79

   R    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

   S    O    D    I    V    L    O    S    E

2.2.

   R    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

Deseja-se usar um fio de aço de 10 m de comprimento e 8 mm de diâmetro para sustentar uma força P de tração. Sabe-se que o fio se alonga 10 mm quando é aplicada esta força. Sabendo que E = 200 GPa, determine a intensidade da força P. FIGURA 47 - Exercício Resolvido 2.2

   E

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Resolução:

O primeiro passo é calcular a deformação resultante do alongamento do fio

 Após o cálculo da deformação, calcula-se a tensão atuante no fio:

Com a tensão atuante e o diâmetro do fio, é possível determinar a intensidade da força P:

80

2.3.  A

barra de alumínio ABC (E = 70 GPa), que consiste de duas partes cilíndricas  AB e BC, deve ser substituída por uma barra de aço cilíndrica DE (E = 200 GPa) do mesmo comprimento total. Determine o diâmetro mínimo necessário para a barra de aço para que sua variação de comprimento vertical não exceda à da barra de alumínio sob a mesma força de 150kN.

   S    O    D    I    V    L    O    S    E

   R    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

FIGURA 48 - Exercício Resolvido 2.3

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Resolução:

Primeiro, deve-se calcular a deformação da barra de alumínio.  Analisando a parte BC:  A tensão atuante é:

Com o valor da tensão atuante, encontra-se a deformação no trecho BC

Com o valor da deformação no trecho, calcula-se a variação de comprimento

81

O mesmo procedimento deve ser feito para o trecho AB:  A tensão atuante é:

   S    O    D    I    V    L    O    S    E

   R    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

Com o valor da tensão atuante encontra-se a deformação no trecho AB

Com o valor da deformação no trecho, calcula-se a variação de comprimento

Posteriormente somam-se as variações dos comprimentos AB e BC, pois esse será o  valor da variação de comprimento da barra de aço.

Uma vez encontrada a variação do comprimento da barra de aço determina-se a deformação da mesma:

Com os valores da deformação e do módulo de elasticidade, encontra-se o valor da tensão atuante na barra:

Como foi definida a intensidade da força aplicada, é possível calcular a área da barra e posteriormente, o diâmetro da mesma.

Logo

82

2.4.

Duas barras cilíndricas sólidas são unidas em B e carregadas conforme a figura.  A barra BC é feita de aço ( E = 200 GPa) e a barra AB de latão (E = 100 GPa). Determine o deslocamento do ponto A.

   S    O    D    I    V    L    O    S    E

   R

FIGURA 49 - Exercício Resolvido 2.4

   S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Resolução:

Para o cálculo do deslocamento do ponto A, é necessário o cálculo da variação do comprimento dos dois trechos, pois o deslocamento do ponto A será a soma das duas  variações.  Analisando o trecho AB:  A tensão atuante, neste trecho é dada por:

Uma vez calculada a tensão atuante, encontra-se a deformação na barra AB.

Logo, a variação do comprimento do trecho AB é dado por:

83

 Analisando o trecho BC: Neste trecho, pelo método das seções, a resultante de forças que atua na barra é igual a 150 kN, sendo um esforço de compressão.

   S    O    D    I    V    L    O    S    E

   R    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

Uma vez calculada a tensão atuante, encontra-se a deformação na barra AB.

Logo a variação do comprimento do trecho AB é dada por:

Portanto, o deslocamento do ponto A é dado por:

84

2.5.

Um cilindro vazado de poliestireno ( E = 3,1 GPa), com parede igual a 1 mm de espessura, diâmetro igual a 10 mm e 30 mm de comprimento, e uma placa rígida circular são usados para suportar uma barra de aço AB (E = 200 GPa) de 250 mm de comprimento e 5 mm de diâmetro. Se uma carga P de 4,5 kN for aplicada em B, determine a deformação da barra AB e o deslocamento do ponto B.

   S    O    D    I    V    L    O    S    E

   R    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

FIGURA 50 - Exercício Resolvido 2.5

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Resolução:

Deformação da barra AB: Para o cálculo da deformação da barra AB, é necessário o cálculo da tensão atuante na barra, que é dado por:

85

   S    O    D    I    V    L    O    S    E

Uma vez calculada a tensão atuante, encontra-se a deformação resultante na barra por meio do seguinte cálculo:

   R    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

Deslocamento ponto B: Para a determinação do deslocamento do ponto B, é preciso considerar a deformação sofrida pela barra e, também a deformação sofrida pelo cilindro de poliestireno. O deslocamento do ponto B será a soma da variação dos comprimentos da barra e do cilindro.

Para o cálculo da deformação do cilindro, é necessário o cálculo da tensão atuante nele, que é dado por:

Uma vez calculada a tensão atuante, encontra-se a deformação resultante na barra por meio do seguinte cálculo:

 Após o cálculo da deformação encontra-se a variação no comprimento do cilindro

Logo o deslocamento do ponto B é dado por:

86

2.6.

Para a treliça de aço (E = 200 GPa) e o carregamento P igual a 100 KN, determine as deformações dos componentes AB e AD, sabendo que suas áreas de seção transversal são, respectivamente 2500mm² e 2000mm².

   S    O    D    I    V    L    O    S    E

   R

FIGURA 51 (a) - Exercício Resolvido 2.6

   S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Resolução:

Para o cálculo da deformação das barras, é necessário a determinação das tensões atuantes e, para isso é necessário descobrir os esforços que atuam em cada barra. FIGURA 51 (b) - Diagrama de corpo livre

 Fonte: Elaborada pelo autor 

Como a treliça é simétrica, sabe-se que as reações verticais de apoio serão:

87

   S    O    D    I    V    L    O    S    E

Com isso, fazendo o equilíbrio do nó A utilizando do somatório de forças em y encontra-se que a componente vertical de F AB deve ser igual a reação de apoio em A:

   R

FIGURA 51 (c) - Equilíbrio do nó A

   S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

 Fonte: Elaborada pelo autor 

O ângulo θ   é formado pela barra F AB e F AD e é dado por:

Dessa forma, encontra-se que F AB  é:

 Ao fazer o somatório de forças em x encontra-se que F AD é:

Uma vez determinada as forças atuantes em cada barra calculam-se as respectivas tensões:

 Após o cálculo das tensões determinam-se as deformações resultantes.

88

2.7.

O quadro de aço (E = 200 GPa) mostrado na figura tem uma travessa diagonal BD com uma área de 2000 mm². Determine a maior força P admissível para que a variação no comprimento do elemento BD não exceda 2 mm.

   S    O    D    I    V    L    O    S    E

   R

FIGURA 52 (a) - Exercício Resolvido 2.7

   S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Resolução:

Para a resolução deste problema deve-se, primeiramente, calcular a deformação da barra BD:

Uma vez calculada a deformação, calcula-se a máxima tensão que pode atuar na barra.

Com o valor da tensão, é possível determinar a força resultante na barra BD:

Com o equilíbrio no nó C pode-se analisar que a intensidade de F BC é igual a P.

89

FIGURA 52 (b) - Equilíbrio nó C

   S    O    D    I    V    L    O    S    E

   R    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Assim ao analisar o nó B, conclui-se que a componente horizontal de BD deve ser igual a intensidade de BC que é igual a P. FIGURA 52 (c) - Equilíbrio nó B

 Fonte: Elaborada pelo autor 

Logo:  P = 282,84 ⋅ cos 45

o

=

200 kN 

90

2.8.

Uma força axial de intensidade P = 500 kN é aplicada ao bloco composto, mostrado na figura, por meio de uma placa rígida na extremidade. Sabendo que h = 15 mm, determine a tensão normal no núcleo de latão e nas placas de alumínio.  Ealumínio = 70 GPa e Elatão = 100 GPa.

FIGURA 53 (a) - Exercício Resolvido 2.8

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Resolução:

Para esta questão, sabe-se que a força atuante no núcleo de latão somada à força atuante nas placas de alumínio é igual a força P de 500 kN. Como as variações de comprimento do alumínio e do latão têm que ser iguais, pode-se chegar à seguinte relação: δ  LATAO

=

δ  ALUMINIO

(Equação de compatibilidade dos deslocamentos)

δ  =

 P ⋅ L  A ⋅ E  91

   S    O    D    I    V    L    O    S    E

   R    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

   S    O    D    I

 P  LATÁO ⋅ L  A ⋅ E  LATÁO    R  LATÁO    V    L    O    S    E

   S    O    I    C     Í    C    R    E    X

 P  LATÁO

   E

=

=

 P  ALUNÍNIO ⋅ L  A ALUMÍNIO ⋅ E  ALUMÍNIO

 P  ALUNÍNIO ⋅ L  A LATÁO ⋅ E  LATÁO ⋅ E   P   A ⇒  P  LATÁO =  ALUNÍNIO  LATÁO  LATÁO  A ALUMÍNIO ⋅ E  ALUMÍNIO  L  A ALUMÍNIO ⋅ E  ALUMÍNIO FIGURA 53 (b) - Diagrama de corpo livre

 Fonte: Elaborada pelo autor

Como,

 P =  P  ALUMÍNIO

+

P  LATÃO

Logo,  P =  P  ALUNÍNIO

+

 P  ALUNÍNIO  A LATÁO ⋅ E  LATÁO  A ALUMÍNIO ⋅ E  ALUMÍNIO

 P =

 P  ALUNÍNIO  A ALUMÍNIO ⋅ E  ALUMÍNIO + P  ALUNÍNIO  A LATÁO ⋅ E  LATÁO  A ALUMÍNIO ⋅ E  ALUMÍNIO

 P =

 P  ALUNÍNIO ( A ALUMÍNIO ⋅ E  ALUMÍNIO +  A LATÁO ⋅ E  LATÁO )  A ALUMÍNIO ⋅ E  ALUMÍNIO

92

   S    O    D    I    V    L    O    S    E

   R

Pode-se utilizar do mesmo roteiro de cálculo para encontrar o P LATÃO, obtendo a seguinte equação:

   S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

 P  LATÃO

=

 P ⋅ A LATÃO ⋅ E  LATÃO  A LATÃO ⋅ E  LATÃO + A ALUMÍNIO ⋅ E  ALUMÍNIO

Substituindo os valores, encontra-se:

Como já foi dito a força atuante no latão somada a força atuante no alumínio deve ser igual a força P de 500 kN. Logo:

Posteriormente basta dividir os valores encontrados por suas respectivas áreas para encontrar as tensões:

93

   S    O    D    I    V    L    O    S    E

2.9.

Para o bloco composto mostrado no problema anterior e sabendo que o valor de h é 20 mm determine a força total se a parte sustentada pelo núcleo de latão for de 80 MPa.

   R    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

 Resolução:

   E

Com a tensão de 80 MPa, que foi dada, é possível calcular a deformação no núcleo do latão. Com esse valor de deformação será possível determinar a força atuante no núcleo do latão, como também, a variação do comprimento nas placas de alumínio.

Esse valor de deformação será o mesmo para as placas de alumínio, porém a tensão será:

Posteriormente, encontra-se a força atuante no núcleo de latão:

 A força atuante nas placas de alumínio será:

Com isso, o valor da força P será a soma das forças atuantes no núcleo de latão e nas placas de alumínio.

94

2.10.

Um pilar de concreto de 2 m de altura é reforçado com 4 barras de aço, cada uma com 28 mm de diâmetro. Sabendo que  E AÇO = 200 GPa e  ECONC = 25 GPa, determine as tensões normais no aço e no concreto quando uma força P, centrada axial de 1500 kN, é aplicada ao pilar. FIGURA 54 - Exercício Resolvido 2.10

   S    O    D    I    V    L    O    S    E

   R    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Resolução: Para a resolução deste problema, deve-se primeiramente, calcular a área de concreto e a área de aço.

 Após o cálculo das áreas, pode-se utilizar a equação de compatibilidade dos deslocamentos para calcular a força atuante no concreto: δCONCRETO = δ AÇO

Com isso, a força atuante nas barras de aço é dado por:

 As tensões atuantes serão, então:

95

   S    O    D    I    V    L    O    S    E

2.11.

   R    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

Três barras de aço (E = 200 GPa) suportam uma carga P de 50 kN. Cada uma das barras AB e CD tem uma área de seção transversal de 200mm² e a barra EF tem um área de seção transversal de 625mm². Determine a deformação da barra EF. Considere a barra BD rígida.

   E

FIGURA 55 (a) - Exercício Resolvido 2.11

 Fonte: Elaborada pelo autor

 Resolução:

O primeiro passo para a resolução deste problema é fazer o somatório de forças em y. FIGURA 55 (b) - Diagrama de Corpo Livre

 Fonte: Elaborada pelo autor 

96

   S    O    D    I

Por simetria, pode-se afirmar que a força atuante em AB é igual à atuante em CD. Com isso a equação acima passa a ser:

Neste caso sabe-se que a variação de comprimento entre os cabos será igual para todos. Com isso é possível fazer a seguinte relação:

Simplificando a equação, obtém-se:

Dessa forma, ao substituir a equação acima na equação encontrada no somatório de forças encontra-se o valor de EF.

Logo:

 Após o cálculo da força atuante em EF deve-se encontrar a tensão no cabo:

Posteriormente calcula-se a deformação da barra EF:

97

   V    L    O    S    E

   R    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

   S    O    D    I    V    L    O    S    E

2.12.

   R

 Ambas as partes da barra ABC são feitas de um aço para o qual E = 200 GPa. Sabendo que a intensidade de P é 5 kN, determine o valor de Q de modo que o deslocamento em A seja zero.

   S    O    I    C     Í    C    R    E    X

FIGURA 56 - Exercício Resolvido 2.12

   E

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Resolução:

Para que o deslocamento de A seja zero, é necessário que a variação do comprimento do trecho AB seja igual ao do trecho BC. Por isso, primeiramente, calcula-se a variação do comprimento de AB. Para isso, é necessário calcular a tensão atuante no trecho:

Uma vez calculada a tensão atuante, encontra-se a deformação na barra AB.

Logo, a variação do comprimento do trecho AB é dado por:

98

Como essa variação é a mesma para ambos os trechos, calcula-se a deformação de BC:

   S    O    D    I    V    L    O    S    E

   R

Posteriormente, encontra-se a tensão atuante no trecho BC:

   S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

Com o valor da tensão atuante, encontra-se o valor da força aplicada. Vale lembrar que a força encontrada será uma resultante e não o valor de Q, pois no trecho BC atuam as cargas P e Q. A força resultante é:

Como já foi dito o valor de F é uma resultante de forças. O valor de Q é dado por:

99

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

   S    O    T    S    O    P    O    R

   P    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

2.1.

Determine a intensidade w da carga distribuída máxima que pode ser suportada pelo conjunto de pendural de modo a não ultrapassar uma tensão de cisalhamento admissível τadm= 95 MPa nos parafusos de 11 mm de diâmetro em A e B e uma tensão admissível de σadm=102 MPa na haste AB de 14 mm de diâmetro.

FIGURA 57 - Exercício Proposto 2.1

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Espaço Reservado para a Resolução do Exercício

100

2.2.

Os dados obtidos em um ensaio de tensão-deformação para um material cerâmico são dados na tabela. A curva é linear entre a origem e o primeiro ponto. Represente o diagrama de tensão-deformação e determine o módulo de elasticidade do material. QUADRO 1 - Exercício Proposto 2.2

σ (MPa) 0 232,1 318,3 346,2 360,5 373,0

ε (mm/mm) 0,0000 0,0006 0,0010 0,0014 0,0018 0,0022

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Espaço Reservado para a Resolução do Exercício

101

   S    O    T    S    O    P    O    R

   P    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

   S    O    T    S    O    P    O    R

   P    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

2.3.  A

barra rígida, mostrada na figura 55, é sustentada por um pino em A e pelos cabos BD e CE. Se a carga P aplicada à viga provocar um deslocamento de 8 mm para baixo na extremidade C, determine a deformação normal desenvolvida nos cabos CE e BD. FIGURA 58 - Exercício Proposto 2.3

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Espaço Reservado para a Resolução do Exercício

102

2.4.

Considerando os dados do problema anterior e sabendo que o diâmetro dos cabos CE e BD são 12mm e 10 mm, respectivamente, determine a intensidade da força P. Considere E = 150 GPa.

   S    O    T    S    O    P    O    R

   P

 Espaço Reservado para a Resolução do Exercício

   S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

103

   S    O    T    S    O    P    O    R

   P    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

2.5.  A

viga rígida é sustentada por um pino em A e pelos cabos BD e CE (figura do exercício anterior). Se a deformação normal admissível máxima em cada cabo for 0,002 mm/mm, determine o deslocamento vertical máximo do ponto onde é aplicado a carga P.

 Espaço Reservado para a Resolução do Exercício

104

2.6.

Os cabos de aço AB e AC, mostrados na figura 59, sustentam a massa de 250 kg. Se a tensão axial admissível para os cabos for 150 MPa, determine o diâmetro exigido para cada cabo e o comprimento final do cabo AB. Considere que o comprimento inicial do cabo AB seja 800 mm. Sendo E = 200 GPa. FIGURA 59 - Exercício Proposto 2.6

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Espaço Reservado para a Resolução do Exercício

105

   S    O    T    S    O    P    O    R

   P    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

   S    O    T    S    O    P    O    R

2.7.

Uma única força axial de intensidade P = 58 kN é aplicada à extremidade C da barra de latão ABC. Sabendo que E = 105 GPa, determine o diâmetro d da parte BC para o qual o deslocamento do ponto C será 2,5 mm.

   P    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

FIGURA 60 - Exercício Proposto 2.7

   E

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Espaço Reservado para a Resolução do Exercício

106

2.8.

O comprimento do conjunto, mostrado na figura 61, diminui em 0,2 mm quando uma força axial P é aplicada por meio de placas rígidas nas extremidades do mesmo. Determine a intensidade da força aplicada P e a tensão correspondente no núcleo de aço. FIGURA 61 - Exercício Proposto 2.8

   S    O    T    S    O    P    O    R

   P    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Espaço Reservado para a Resolução do Exercício

107

   S    O    T    S    O    P    O    R

2.9.  A

barra ABC é feita de alumínio para o qual E = 70 GPa. Sabendo que P = 5 kN e Q = 10 kN, determine o deslocamento do ponto A e do ponto B. Considere o diâmetro de AB e BC igual a 30 e 60 mm, respectivamente.

   P    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

FIGURA 62 - Exercício Proposto 2.9

   E

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Espaço Reservado para a Resolução do Exercício

108

2.7. INDETERMINAÇÃO ESTÁTICA  Até o momento, conseguia-se determinar as forças internas por meio dos diagramas de corpo livre e das equações de equilíbrio. Porém, existem situações em que não é possível determinar as forças internas, apenas com a estática elementar, aplicada para estruturas isostáticas. Estas situações são chamadas de estaticamente indeterminadas.

Considere, por exemplo, a barra AB (fig. 63), ligada a dois suportes fixos com uma força P aplicada no ponto C. Deve-se calcular as reações de apoio e as tensões normais médias nas seções AC e BC. FIGURA 63 - Indeterminação estática

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Após fazer o somatório de forças no eixo y, chega-se a seguinte equação de equilibrio

 R A + RB = P  

(2.11)

Como essa é a única equação de equilibrio não é possível determinar estaticamente as reações de apoio. Como a barra esta apoiada em A e B, não haverá variação no comprimento da barra. Utilizando-se a equação de compatibilização dos deslocamentos, tem-se: δ  = δ 1 + δ 2

=

0 

(2.12)

Em que: δ1 = δ AC δ2 = δCB 109

Ou, também: δ  =

 P 1 ⋅ L1  P 2 ⋅ L2 +  A ⋅ E   A ⋅ E 

=

(2.13)

0

Em que:  L1 = L AC  L2 = LCB Por meio do diagrama de corpo livre, encontra-se  P 1 =  R A  e  P 2 equação (2.13) fica: δ  =  R A ⋅ L1 − R B ⋅ L2

=

0

 

=

− R B

. Com isso, a (2.14)

Resolvendo as equações (2.14) e (2.11) :

 Após o cálculo das reações de apoio, divide-se os valores encotrados pela área de seção transversal, encontrando assim, as tensões correspondentes a cada trecho. (2.15) (2.16) 110

2.8. TENSÃO TÉRMICA Esta seção analisa como um componente estrutural se comporta sob uma variação de temperatura ( ∆T ). Considere uma barra homogênea AB, mostrada na figura 64, que se apoia, livremente sobre a superfície horizontal lisa e sem atrito. Ao haver uma variação de temperatura, o comprimento da barra irá variar, proporcionalmente à ∆T  e ao comprimento inicial da barra (L).

FIGURA 64 - Tensão Térmica I

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 A variação no comprimento inicial da barra é dado pela expressão: δ T 

=

α  ⋅ ∆T . L

(2.17)

Sendo α   uma constante característica do material chamada de coeficiente de dilatação térmica cuja unidade é C  1 . o

−

 Ao comparar as equações (2.1) e (2.17) obtêm-se: ε T 

α  ⋅ L Em que ε T   é a deformação específica térmica. =

(2.18)

Considere agora uma barra AB, apoiada em suportes fixos, conforme é mostrado na figura 65(a). Ao haver uma variação de temperatura, não existirá variação de comprimento, porém os apoios irão exercer forçar iguais e opostas P e P’ para impedir a barra de deformar. Com isso, haverá um estado de tensão imposto na barra. 111

FIGURA 65 (a) - Tensão Térmica II

FIGURA 65 (b) - Deformação

 Fonte: Elaborada pelo autor

 Fonte: Elaborada pelo autor 

Seguindo esse raciocinio, pode-se afirmar que a deformação causada pela variação de temperatura ( δ T  ) será anulada pela deformação causada pelos esforços nos apoios ( δ P  ). (2.19)

δ  = δ T  + δ  P  = 0

 Ao substituir as equações (2.8) e (2.17) em (2.19) tem-se: δ  = α  ⋅ ∆T ⋅ L +

 P ⋅ L = 0  A ⋅ E 

(2.20)

Logo  P  = − A ⋅ E ⋅ α  ⋅ ∆T    σ  =

 P   A

=

(2.21) (2.22)

− E ⋅ α  ⋅ ∆T 

Essa é a tensão interna gerada pela variação de temperatura.

112

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

   S    O    D    I    V    L    O    S    E

2.13.

Os trilhos de uma ferrovia ( ) foram instalados a uma temperatura de –2º C. Determine a tensão normal nos trilhos quando a temperatura atinge 50º C, suponha que os trilhos são fixados nos dormentes a cada 10 m. FIGURA 66 - Exercício Resolvido 2.13

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Resolução:

Como os trilhos estão soldados, a variação do comprimento será zero. Com isso a variação do comprimento causado pela temperatura, somada a variação de comprimento causado por esforços, será zero: δ  P  + δ T 

=

0

Definindo δ  P   como:

E δ T   como:

Igualando as duas equações, encontra-se:

113

   R    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

   S    O    D    I    V    L    O    S    E

2.14.

Considerando o problema anterior, determine a tensão normal nos trilhos quando a temperatura atinge 50º C, supondo que os trilhos têm comprimento de 10 m com espaçamento de 6,4 mm entre eles.

   R    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

 Resolução:

   E

Como os trilhos estão separados, a variação do comprimento total será de 6,4 mm. Com isso, a deformação causada pela temperatura somada a deformação causada por esforços será igual a variação do comprimento total, desta forma tem-se:

Cálculo de δ T   :

Definindo δ  P   como:

Igualando as duas equações, encontra-se:

114

2.15.

Uma barra formada por duas partes cilíndricas AB e BC está impedida de se deformar em ambas as extremidades. A parte AB é feita de aço ( ) e a parte BC é feita de latão ( ). Sabendo que a barra inicialmente está livre de tensões, determine as tensões normais nas partes AB e BC provocadas por um aumento de temperatura de 40º C.

   S    O    D    I    V    L    O    S    E

   R    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

FIGURA 67 (a) - Exercício Resolvido 2.15

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Resolução:

FIGURA 67 (b) - Diagrama de corpo livre

 Fonte: Elaborada pelo autor 

115

   S    O    D    I

Cálculo das áreas:

   V    L    O    S    E

   R    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

Cálculo da deformação térmica:

Cálculo da deformação causada pela carga:

Para que a barra não se deforme, tem-se:

Desta forma, tem-se:

116

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

2.10.

Determine o valor da tensão na barra de aço, mostrada na figura 64, quando a temperatura passa de 20º C para –2º C. Sendo .

   S    O    T    S    O    P    O    R

   P    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

FIGURA 68 - Exercício Proposto 2.10

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Espaço Reservado para a Resolução do Exercício

117

   S    O    T    S    O    P    O    R

   P    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

2.11. Uma barra cilíndrica, de diâmetro igual a 25 mm e comprimento igual a 300 mm,

está impedida de se deformar em ambas as extremidades. A barra é feita de latão ( ). Sabendo que a barra está inicialmente livre de tensões, determine a tensão normal provocadas por um aumento de 40º C na temperatura.

   E

FIGURA 69 - Exercício Proposto 2.11

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Espaço Reservado para a Resolução do Exercício

118

2.9. COEFICIENTE DE POISSON Todos os materiais de Engenharia ao se deformarem na direção do eixo x, por exemplo, irão sofrer deformações, também, na direção do eixo y e z, mesmo sem aplicação de carga nessas direções. Caso haja uma tensão de tração no eixo x, haverá uma contração nos eixos y e z (figura 70).

FIGURA 70 - Coeficiente de Poisson

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 As deformações no eixos y e z ( ε Y   e ε  Z   respectivamente), causadas por uma tensão aplicada no eixo x, são chamados de deformações específicas laterais e possuem mesmo módulo, ou seja: (2.23)

ε Y   = ε  Z 

O coeficiente de Poisson, representado pela letra grega v   (Ni) é um parâmetro importante dos materiais e é dado por: (2.24) Ou, em outras palavras: (2.25)  Ao analisar as equações (2.3) e (2.23) conclui-se que: (2.26) 119

2.10. LEI DE HOOKE GENERALIZADA Considere agora um elemento unitário em um estado triaxial de tensões composto por material isotrópico. Após a aplicação das cargas, o elemento sofrerá deformações nos três eixos. FIGURA 71 - Lei de Hooke Generalizada

 Fonte: Elaborada pelo autor 

O elemento unitário terá agora, as seguintes dimensões:

,

1 + ε  x 1 + ε  y

 e 1 + ε  z  .

O cálculo da deformação deverá considerar a deformação específica longitudinal, causada pela tensão atuante no eixo e, também, as deformações específicas laterais causadas pelas outras duas tensões.  Ao considerar a deformação em x, ε  x , deve-se somar a deformação causada pela tensão em x, σ  x , e, também as tensões específicas laterais causadas pelas tensões em y e z, σ  y  e σ  z  , respectivamente. Com isso, pode-se chegar as seguintes relações: σ  x

ε  x

=

ε  y

=

−v ⋅

ε  z

=

−v ⋅

 E 

−v⋅

σ  x

σ  y

 E  +

−v⋅

σ  y

 E   E  σ  x

 E 

−v⋅

σ  z

 E 

−v⋅

σ  y

+

σ  z

(2.27)

 E  σ  z

 E   E 

Observe que as deformações nos eixos que não possuem cargas aplicadas são calculadas com o auxílio do coeficiente de Poisson. Essas relações são conhecidas como Lei de Hooke generalizada para o estado triaxial.  A Lei de Hooke generalizada só é válida para materiais isotrópicos, tensões que não excedam os limites de proporcionalidade e pequenas deformações. 120

2.11. DILATAÇÃO: MÓDULO DE COMPRESSIBILIDADE VOLUMÉTRICA Considere o elemento unitário em estado triaxial de tensão, cujas dimensões passam a ser 1 + ε  x , 1 + ε  y  e 1 + ε  z  . Logo, o volume do elemento passa a ser: V  = (1 + ε  x ) ⋅ 1 + ε  y ⋅ (1 + ε  z )

(2.28)

Como o produto entre as deformações serão valores muito pequenos, pode-se desconsiderá-los. Então a equação (2.28) escreve-se: V  = 1 + ε  x + ε  y + ε  z

 

(2.29)

Como o elemento era unitário, seu volume inicial era 1. Dessa forma, a variação de  volume (e) é dada por e = V  − 1 = ε  x + ε  y + ε  z

 

(2.30)

Essa variação de volume é conhecida como dilatação volumétrica específica do material e ao substituir as equações (2.27) em (2.30) obtém-se: e= e=

σ  x

+

σ  y

+

 E  (1 − 2 ⋅ v )  E 

σ  z 

(

⋅ σ  x

2 ⋅ v ⋅ σ  x

− +

+

σ  y

+

σ  z 

 E 

σ  y

+

(2.31)

σ  z  )

Um caso especial é o de um elemento sujeito a pressão hidrostática uniforme -p. Com isso, a equação (2.30) escreve-se e=−

3 ⋅ (1 − 2 ⋅ v )

 E 

⋅ p

(2.32)

Considerando k  =

 E 

(2.33)

3 ⋅ (1 − 2 ⋅ v )

Em que k é o módulo de compressibilidade volumétrica do material, cuja unidade é Pascal.  A dilatação volumétrica de um elemento sujeito a pressão hidrostática pode ser dada por e=−

 p

(2.34)

k 

121

2.12. DEFORMAÇÃO DE CISALHAMENTO Um elemento infinitesimal unitário ao ser submetido à uma tensão de cisalhamento tende a se deformar conforme um losango (fig. 72 e 73). Após sofrer a deformação, as faces do elemento continuarão com o mesmo tamanho. Porém, os ângulos formados entre as mesmas sofreram alteração.  A deformação de cisalhamento é representada pelo ângulo γ xy (em radianos). A hipótese básica da Resistência dos Materiais é que existem apenas pequenas deformações e deslocamentos nas estruturas submetidas à determinado carregamento. Assim, podese fazer a seguinte simplificação: tg γ = γ. FIGURA 72 - Deformação de cisalhamento - Situação 1

 Fonte: Elaborada pelo autor 

FIGURA 73 - Deformação de cisalhamento - Situação 2

 Fonte: Elaborada pelo autor 

122

 Assim como nas deformações causadas por tensões normais, é possível construir um diagrama de tensão- deformação de cisalhamento.

FIGURA 74 - Diagrama tensão-deformação de cisalhamento

 Fonte: Elaborada pelo autor 

Este diagrama, também, possui um regime de proporcionalidade, em que, dentro deste limite, é possível fazer a seguinte relação: (2.35) Em que G é o módulo de rigidez ou módulo de elasticidade transversal do material e, é também, a inclinação da reta do diagrama de tensão-deformação de cisalhamento e, é expresso em Pascal (Pa), ou um de seus múltiplos. Essa relação é conhecida como a Lei de Hooke para tensão e deformação de cisalhamento. Caso seja analisado um elemento submetido também a tensões τ xz e τ yz, que não ultrapassem o limite de proporcionalidade, pode-se aplicar a Lei de Hooke de modo análogo ao anterior. (2.36)

123

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

   S    O    D    I    V    L    O    S    E

   R    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

2.18.

Para a placa metálica ABCD apresentada abaixo, presas em AB, pede-se: a) Deformação cisalhante média. b) A tensão de cisalhamento média atuante. Considere G=20 GPa.

   E

FIGURA 75 - Exercício Resolvido 2.18

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Resolução:

a) O cálculo da deformação de cisalhamento média será por meio da seguinte equação: γ  = arctg 

5 300 − 3

γ  = 0,016833 rad 

b) Aplicando-se a Lei de Hooke para o cisalhamento, tem-se: τ=γ.G

Logo: τ = 0,016833 . 20 . 103 MPa = 336,67 MPa

124

2.19.

Um bloco de liga de titânio possui as dimensões conforme a figura 76 (a). Ele é testado em torção e a figura 76 (b), mostra o diagrama tensão e deformação de cisalhamento. Sabendo destas informações determine:

   S    O    D    I    V    L    O    S    E

   R

a) O módulo de cisalhamento G. b) O deslocamento horizontal x da parte superior do bloco, considerando que ele está submetido a uma força V de cisalhamento. c) Qual o valor de V necessário para causar o deslocamento x.

FIGURA 76 (a)- Exercício Resolvido 2.19

 Fonte: Elaborada pelo autor 

FIGURA 76 (b)- Exercício Resolvido 2.19

 Fonte: Elaborada pelo autor 

125

   S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

 Resolução:

   S    O    D    I    V    L    O    S    E

a) Conforme definido anteriormente, o módulo de elasticidade transversal ao cisalhamento é a inclinação da reta no diagrama tensão-deformação, desta forma têm-se:    R    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

b) A máxima deformação elástica de cisalhamento é igual a 0,008 rad, desta forma calcula-se a distância x:

c) A tensão de cisalhamento média é igual a 360 MPa, desta forma calcula-se a cortante V:

126

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

2.12.

Uma chapa é deformada conforme a figura abaixo. Se nessa forma deformada as retas horizontais na chapa permanecerem horizontais e seus comprimentos não mudarem, determine a deformação normal ao longo do lado AB e a deformação por cisalhamento média da chapa em relação aos eixos x e y. FIGURA 77 - Exercício Proposto 2.12

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Espaço Reservado para a Resolução do Exercício

127

   S    O    T    S    O    P    O    R

   P    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

   S    O    T    S    O    P    O    R

2.13.

O bloco é deformado conforme a figura 71, determine a tensão de cisalhamento média.

   P    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

FIGURA 78 - Exercício Proposto 2.13

   E

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Espaço Reservado para a Resolução do Exercício

128

2.14.

Um apoio de elastômero (G = 0,9 MPa) é usado para suportar uma viga mestra de uma ponte, como mostra a figura, para proporcionar flexibilidade durante terremotos. A viga não pode sofrer deslocamento horizontal maior que 10 mm quando é aplicada uma força lateral P de 20kN. Sabendo que a tensão de cisalhamento máxima admissível é 450kPa, determine a menor dimensão b admissível e a menor espessura a necessária.

   S    O    T    S    O    P    O    R

   P    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

FIGURA 79 - Exercício Proposto 2.14

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Espaço Reservado para a Resolução do Exercício

129

   S    O    T    S    O    P    O    R

2.15.

Para o problema anterior, considere b = 200 mm e a = 30 mm, determine G e τ para uma força lateral P = 20 kN e um deslocamento horizontal máximo de 10 mm.

   P    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

 Espaço Reservado para a Resolução do Exercício

   E

130

2.13. RELAÇÃO ENTRE E, ν e G  Ao observar uma barra AB, submetida a um esforço de tração, sabe-se que o elemento, orientado sobre um plano inclinado, estará sujeito a uma tensão normal e, também, a uma tensão de cisalhamento. Lembrando que este cisalhamento será máximo quando o elemento estiver orientado em plano inclinado 45º. FIGURA 80 - Análise de β

 Fonte: Elaborada pelo autor 

Como existe tensão de cisalhamento, haverá deformação de cisalhamento.  Ao analisar o elemento obtido por meio de um corte orientado a 45°(fig 74) verifica-se que β é a metade de

. FIGURA 81 - Análise de β

 Fonte: Elaborada pelo autor 

(2.37) Utilizando a fórmula da tangente da diferença entre dois ângulos:

(2.38)

131

Como

é um ângulo muito pequeno, pode-se fazer uma aproximação de forma que

a equação (2.38) possa ser reescrita como:

(2.39) Porém ao analisar a figura 74 observa-se que: (2.40) Com isso ao igualar as equações (2.39) e (2.40), obtêm-se a seguinte função: (2.41) Como ε x  é muito pequeno, pode-se fazer uma nova aproximação, considerando o numerador igual a 1. (2.42) Lembrando da Lei de Hooke a equação (2.42) é equivalente a: (2.43) Ou, então: (2.44) Sabe-se que, para este caso em que analisou-se o elemento inclinado 45º, σ  x =  P  e  A . Desta forma, chega-se à seguinte relação, em que é possível relacionar E, G e v.  E  2G

=

(1 + v )  

(2.45)

Ou ainda,

132

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

   S    O    D    I    V    L    O    S    E

2.20.

Em um ensaio de tração, uma barra de 20 mm de diâmetro e 1000 mm de comprimento está submetida a uma força de tração P = 20 kN. Sabendo que houve um alongamento de 3mm de comprimento e uma diminuição de 0,05 mm no diâmetro, determine E, G e ν.

 Resolução:

Neste exercício o valor de E pode ser encontrado por meio da seguinte equação:

O valor do coeficiente de Poisson é dado por:

Desta forma, é possível determinar o valor de G por meio de:

133

   R    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

2.14. PRINCÍPIO DE SAINT-VENANT O princípio de Saint-Venant, nome dado em homenagem ao Engenheiro e Matemático Adhémar Barré de Saint-Venant (1797-1886), define que toda distribuição de tensão pode ser considerada uniforme, exceto nas regiões próximas a da aplicação da carga, desde de que o carregamento real e o usado para calcular as tensões sejam estaticamente equivalentes. Para um maior aprofundamento do assunto sugere-se a leitura das seguintes literaturas: Amaral (2003), Craig (2003), Gere (2010) e Sussekind (1984).

FIGURA 82 - Princípio de Saint Venant

 Fonte: Elaborada pelo autor 

134

O princípio de Saint-Venant afirma, por exemplo, que para o cálculo de tensões em uma barra, com um carregamento concentrado, pode-se considerar que esta carga está, uniformemente, distribuída nas regiões distantes da aplicação da carga, conforme mostrado na figura 83.

FIGURA 83 - Princípio de Saint Venant

 Fonte: Elaborada pelo autor 

135

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

   S    O    T    S    O    P    O    R

   P    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

2.16.

O material da barra da figura abaixo possui a lei constitutiva expressa no diagrama (σ x ε) abaixo,linearizado por trechos. Por simplificação, adotou-se também um único valor de tensão para o limite de proporcionalidade ( σp), o limite elástico e a tensão de escoamento.

FIGURA 84 - Exercício Proposto 2.16

 Fonte: Elaborada pelo autor 

Pede-se com relação ao material: a) Indicar os valores das tensões de proporcionalidade ( σp) e ruptura (σrup). b) Calcular o módulo de Elasticidade (E) do material. c) O material tem um comportamento dúctil ou frágil? Porque?

Pede-se com relação à barra: d) Calcular a deformação específica total e alongamento para o carregamento estático aplicado. e) Calcular a deformação residual (plástica ou permanente) e alongamento residual, após a descarga total da barra. f) Calcular a deformação elástica e o alongamento elástico, no momento em que a barra está carregada. 136

 Espaço Reservado para a Resolução do Exercício

   S    O    T    S    O    P    O    R

   P    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

137

   S    O    T    S    O    P    O    R

2.17.

Para a treliça da figura abaixo, determine:

a) O esforço atuante nas barras. As deformações longitudinais e transversais nas barras.    Pb) c) Os deslocamentos (alongamentos ou encurtamentos nas barras). Considere os sentidos transversais e longitudinais na análise.    E d) Reações de Apoio nas treliças. e) Considerando uma tensão de ruptura de 25 MPa (tração e compressão) para as barras informe se haverá falha em alguma delas. Adote um coeficiente de segurança (CS) de 1,5. f) Para não haver ruptura em nenhuma barra, informe o diâmetro mínimo das mesmas. Considere CS=1,5.    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

FIGURA 85 - Exercício Proposto 2.17

 Fonte: Elaborada pelo autor 

D = 1,26 mm P = 8 kN σR  = 25 MPa (Tensão de Ruptura)

CS = 1,5 (Coeficiente de Segurança) 1 N/mm2 = 1 MPa = 1000 kN/m 2

138

 Espaço Reservado para a Resolução do Exercício

   S    O    T    S    O    P    O    R

   P    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

139

   S    O    T    S    O    P    O    R

2.18.

 A coluna de concreto é reforçada com quatro barras de aço, cada uma com diâmetro de 15 mm. Determinar a tensão média do concreto e do aço se a coluna é submetida a uma carga axial de 500 kN. E aço = 200 GPa e E c = 25 GPa.

   P    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

FIGURA 86 - Exercício Proposto 2.18

   E

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Espaço Reservado para a Resolução do Exercício

140

2.19.

 A haste plástica é feita de Kevlar 49 e tem diâmetro de 12 mm. Supondo que seja aplicada uma carga axial de 70 kN, determinar as mudanças em seu comprimento e em seu diâmetro.

   S    O    T    S    O    P    O    R

   P

FIGURA 87 - Exercício Proposto 2.19

   S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Espaço Reservado para a Resolução do Exercício

141

   S    O    T    S    O    P    O    R

   P    S    O    I    C     Í    C    R    E    X

   E

2.20.

Em um ensaio de tração, uma barra de 15 mm de diâmetro e 800 mm de comprimento está submetida a uma força de tração P = 35 kN. Sabendo que houve um alongamento de 4 mm de comprimento e uma diminuição de 0,06 mm no diâmetro, determine E, G e ν.

FIGURA 88 - Exercício Proposto 2.20

 Fonte: Elaborada pelo autor 

 Espaço Reservado para a Resolução do Exercício

142

REFERÊNCIAS  AMARAL, Otávio Campos. Resi  AMARAL, Resistência stência dos Materiais. 5ª Ed. Belo Horizonte: Escola de Engenharia da UFMG, 2003. CRAIG, Roy. Mecânica dos materiais. Tradução de Calado Verônica et al. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2003. GERE, J. M. Mecânica dos Materiais, 7ª ed. Editora Thomson Learning, São Paulo, 2010. PORTO, Thiago Bomjardim. Notas de aula da disciplina: Resistência dos Materiais. Belo Horizonte: Pontifícia Universidade Universi dade Católica de Minas Gerais, PUC-Minas, IPUC, Departamento Departam ento de Engenharia Civil, 2011. SUSSEKIND, José Carlos. Curso de análise estrutural. São Paulo: Globo, 1984.

143

ANEXOS

ANEXO A.1 Centróides de Áreas Usuais na Engenharia Formato

 x

ÁREA SEMICIRCULAR

r 

y

4.  3

 Área

. 

2

2

ÁREA DE UM QUARTO DE CÍRCULO

4. 

4. 

3. 

3. 

4

ÁREA TRIANGULAR

b 3



. 

3

2

SETOR CIRCULAR

2. . 

0





145

. 

2



ANEXO A.2 Momentos de Inércia de Seções Usuais na Engenharia

TRIÂNGULO

     36       36      12      12

 .  I    x'  = 

RETÂNGULO

3

 I   x =

12

  I    y'  = 

3

.

 I  y =

12

 . (  J   C    = 

2

 . 3 3

 3 . 3

+ 2 )

12

 I  x´  I  =  x =  =   I 

. . ³

 x

ELIPSE

4

. 3 .   I   I   y´= =  y ==  4

 J  C A =

. . . (2 +  2 ) 4

 I   I  y =  x =  CÍRCULO

 J  A =  C

.  4 4

.  4 2

146

ANEXO A.3 Prefixos do Sistema Internacional

Fator de multiplicação

Prefixo

Símbolo

1.000.000.000.000=1012

Tera

T

1.000.000.000=109

Giga

G

1.000.000=106

Mega

M

1.000=103

Quilo

k

100=102

Hecto

h

10=101

Deca

da

0,1=10-1

Deci

d

0,01=10-2

Centi

c

0,001=10-3

Mili

m

0,000 001=10-6

Micro

µ

0,000 000 001=10-9

Nano

n

0.000 000 000 001=10-12

Pico

p

Femto

f 

 Atto

a

0,000 000 000 000 001=10-15 0, 000 000 000 000 000 001=10 -18

147

ANEXO A.4 Propriedade dos Materiais   o   )   e   ã    t      α   n   ç   (    °   e   t   a   a   C    i    /   c   l   c   6   a   i    i      f    i    0   e   d   m   r    1   o   e   é    (    t    C   d   e   n    t   n   o   e   s   s   )    i   c   i      ν    i   o   (    f   e   P   o   e    C   d   a    i   c   n    ê    t   s    i   s   )   a   e   r    P   e    d   M    (   e    t    i   m    i    L

        3        4         2        2

        2        7        2         1        1        1

        1        1         1        1

        8        7         1        1

        6         2

        2        2         1        1

        4   ,         9

        5        5         3        3   ,   ,         0        0

        2        7        2         3        2        3   ,   ,   ,         0        0        0

        5        5         1   ,         1   ,

        5        4         3        3   ,   ,         0        0

        0         3   ,         0

        8        8         2        2   ,   ,         0        0

        6         3   ,         0

        4        4         3        3   ,   ,         0        0

   -

        3   ,            0         2

        0         0         0         1

        7        0         1         7        9

    o     t     n     e     m     a       h       l     a     s      i      C

        0        6         9        8         2        1

    o      ã     ç     a     r      T

        9        0         6        9         4        2

  o     o    t     t   n     n   e     e   m     m   a     a   o       h    )       l   c   a     a   s   P     s   e      i   e   M    d   (      C   o     o    ã      ã   s     ç   n     a     r   e      T    T   e   e   l   a    d   d   a   s   r    )   )   o    d   a   e    P    l    i   c   v   u   i   s   G    d   t   n   (   G    (    ó   s   a   a    l   r    t    M    E   e   e    d   d   a    )   o   d    )   a    l    i   c   E   P   u   i    (   G    d   t    (    ó   s   a    l    M    E   e    d   )   a   ³   m    d    i   s   /   n   g   e   M    D   (

   l   a    i   r   e    t   a    M

        2        1         7        3         1        1

   -

-

-

        0        7        0         0        1        0         4        5        8

   -

-

-

        0        0

   -

-

   -

-

        2        8         1        3

   -

-

        1        5         4        5         2        6

   -

-

   -

        6         7         2

   -

-

        9        6         7        7         1        2

   -

-

   -

   -

-

   -

   -

-

   -

-

        4         2         9

   -

-

   -

-

        4        5         1        5         4        2

        0        7        3         5        0        0         2        2        7

   -

-

        5         0         4         7         3

        2         5         1

        7        6         2        2

        5        5        5         7        7        7

   -

-

        7        8         3        3

        8         1

        7        8         2        6

        4         4

        9         1   ,   ,         3        8         7        6

        0        3        0         0        9        0         2        1        2

        0         1   ,   ,         2        9         2        2

        1        3         0        0         1        1

        7   ,         4         4

        0        2   ,         7        7         6        1

        0         2         1

        1        4   ,         3        2         1        7

        9        1         7         7   ,   ,

        5        6        6         8        8        1   ,   ,   ,         7        7        8

        8        8         3        3   ,   ,         2        2

        4        3         7   ,         8   ,         8        8

        3         8   ,         1

        9        8         2         1   ,   ,         7        7

        3         4   ,         4

        5        5         4        4   ,   ,         1        1

  a   a    i   c    i   n   c   n   o    ê    ê    t    t    t   s   e   s   r    i    i   c   s   e   s   e   n   R   o    R    C  a   a   x    l    t    i   a    B   A

   0    0     4    3   0    8   0    C   1   o   6   e    8   r    h     b    l    C   e   o   e    C  m   r   z   e   n    V   o   r   o   B    ã    t   a    L

        2        2

  o   6   6    i   n   T    í     -    T     4   m   1   1    6   u   0   0     l    A   2   6

   6    4   2    3    L   -    0    3   a    A     l   e    t   o    l   a   v   n   e   r   ç    á   u    A   t    d    i   m   u   r   x   a   r   o   r    t   e   s    I   n   F    E

148

   1    7    6    T    2   9    1         4   o    A    M    0     d    i    T    0     d    1   n   S   M   u   A   T    M    F   o   S    A    A   o   t   n    l   o   r   e   e    i   r   v   s   e   z    á    é    F   n    i   e   n     l   g    C   a   a    M    M

  o    i   n    â    t    i    T

  o     d   a   ç   r    9   %   o    4   0     f    3   e   r   a   o    R     l   v   r   o   e    d    i   c    i    K   V    t   s    á     l    P

ANEXO A.5 Conversão de Unidades Usuais em Escritórios de Cálculo

Grandeza

Força

Tensão Massa Especifica/ Densidade

Sistema Usual (Escritórios de Cálculo)

Sistema Internacional

1 tf

10 kN

1 tf

10.000 N

10 t/m²

1 kgf/cm²

0,1 MPa

1 kgf/cm²

1 t/m³

10-5 kN/cm³

149

ANEXO A.6  Alfabeto Grego Pronúncia

Maiúscula

Minúscula

 Alfa

Α

α

Beta

Β

β

Gama

Γ

γ

Delta

Δ

δ

Épsilon

Ε

ε

Dzeta

Ζ

ζ

Eta

Η

η

Teta

Θ

θ

Iota

Ι

ι 

Capa

Κ

κ 

Lâmbda

Λ

λ 

Mi

Μ

μ

Ni

Ν

ν

Ksi

Ξ

ξ

Omicron

Ο

ο

Pi

Π

π

Rho

Ρ

ρ

Sigma

Σ

σ

Tau

Τ

τ

Upsilon

Υ

υ

Phi

Φ

φ

Khi

Χ

χ

Psi

Ψ

ψ

Ômega

Ω

ω

150