Modulo 17 PDF

 

 

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA FÍSICA DE OSCILACIONES ONDAS Y ÓPTICA MÓDULO # 17: ÓPTICA FÍSICA -INTERFERENCIADiego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A. Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín

 

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Temas 

 

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Introducción Una simplificación Repaso sobre interferencia de oscilaciones armónicas Ondas de luz: condiciones de interferencia Interferencia Interfe rencia de ondas de luz: l uz: Experimento de Young Interferencia Interfe rencia de ondas de luz: Películas delgadas Interferencia Interfe rencia de ondas de luz: l uz: Colores de interferencia Resumen Taller sobre interferencia

Introducción Al arrojar dos piedras al agua, las ondas que produce cada una pueden superponerse  y formar un patrón de interferencia. interferencia. En este patrón los efectos de las ondas se pueden incrementar, reducir o neutralizar. n eutralizar. Cuando la cresta de una onda se superpone a la cresta de otra, los efectos individuales se suman. El resultado es una onda de mayor amplitud. A este fenómeno se le llama interferencia constructiva , o

Figura 1

refuerzo, en donde se dice que lasdeondas están en fase. Cuando la cresta una onda se superpone al valle de otra, los efectos individuales se reducen. A esto se le llama interferencia destructiva , o

cancelación, y se dice que las ondas están en oposición. La interferencia es un fenómeno característico de todo movimiento ondulatorio, trátese de ondas en el agua, ondas sonoras u ondas de luz. La interferencia de ondas de luz causa, por ejemplo, las irisaciones (brillo como los colores del arco iris) que se observan en las pompas de jabón, como por ejemplo la ilustrada en la Figura 1 (corresponde a la foto ganadora del concurso Art fringe Competition , realizado en el marco de Optics and Photonics 2008 , evento auspiciado por SPIE -the international society of photoelectrical engineers - y cuyo autor es Santiago Betancur, Maestro en Artes Plásticas de la Universidad Nacional de

Colombia Sede Medellín, la cual, además, sirvió como uno de los soportes para la investigación realizada por Melissa Palacio López, en su TDG para optar al grado de Ingeniera Física en la misma universidad, titulado “Análisis fenomenológico de películas delgadas en pompas de jabón” , año 2008, dirigido por el

 

  profesor, Dr rer Nat Román Castañeda Sepúlveda: es interesante anotar que superó a los grupos de investigación de los Estados Unidos y del Japón). Los colores en la pompa se presentan debido a que las ondas componentes de la luz blanca (que está compuesta por ondas de luz de distintas longitudes de onda), reflejadas en la superficie interior de la pompa interfieren con las ondas de esa misma longitud reflejadas en la superficie exterior, exterior, generándose para algunas de las longitudes de onda interfere interferencia ncia constructiva, y en otras destructiva. Como las distintas longitudes de onda de la luz corresponden a diferentes colores, la luz reflejada por la pompa de jabón aparece coloreada.  

2

Las ondas de radio interfieren entre sí cuando rebotan en los edificios de las ciudades, con lo que la señal se distorsiona. Cuando se construye una sala de conciertos hay que tener en cuenta la interferencia entre ondas de sonido, para que una interferencia destructiva no haga que en algunas zonas de la sala no puedan oírse los sonidos emitidos desde el escenario. En este módulo se estudia la interferencia de las ondas electromagnéticas. Se hará especial énfasis en el rango óptico, es decir, en la interferencia de la luz visible. Para comprender la esencia del fenómeno de interferencia y sus aplicaciones es suficiente considerar la interferencia de las ondas generadas por dos fuentes, y éste es precisamente el énfasis que se dará en éste módulo.

Una simplificación Como se explicó en el módulo # 16 sobre polarización, en la óptica la mayoría de los materiales que se emplean son de dieléctricos (vidrios, plásticos, agua,...). Para estos sólo es de interés fundamental la componente eléctrica de la luz por lo ésta, en el caso de ser una onda plana armónica monocromática, por ejemplo, vibrando en dirección Y y propagándose en dirección +Z, se representa,

 

E y = Eoysen  kz - wt + φo  j

0  

Para "evadir" por el momento la naturaleza electromagnética de la luz, se representará la ecuación [1]   en términos de "elongaciones": y = A y sen  kz - wt + φo  j

 

1  

Sin embargo se debe estar consciente que la supuesta " elongación ", ", en este caso y , realmente representa un campo eléctrico  y A y  corresponderá a la amplitud de ese campo (es decir, su máximo valor). Bajo esta representación, represe ntación, la ecuación [1] [1]  correspond correspondee a una onda electromagnética (o luz si la frecuencia corresponde corresponde a esta sección del espectro electromagnético) vibrando en el plano YZ   yy propagándose en dirección +Z:  se  se dirá que la onda está polarizada linealmente en el plano YZ.

 

Repaso sobre interferencia de oscilaciones armónicas Cuando se analizó la superposición de dos M.A.S se concluyó que para que hubiera interferencia era necesario que las oscilaciones se realizaran en la misma dirección (por ejemplo, eje Y) y que adicionalmente tuvieran la misma frecuencia:  y1 = A1 sen  wt + φ01   

 

 

y2 = A2 sen  wt + φ02   

la oscilación resultante, y , es también armónica y de igual frecuencia, y = y1 + y2 = A sen  wt + φ0     

3

cuya amplitud cumple, A2 = A12 + A22 + 2A1A2cos  Δφ

[2]  

En donde Δφ = φ02 - φ01  corresponde a la difere diferencia ncia de fase. Al término, 2A1A2cos  Δφ  se le denomina término de interferencia. La interferencia tiene dos extremos denominados: interferencia constructiva e interferencia destructiva. La interferencia constructiva corresponde a diferencias de fase iguales a números enteros de 2 , Δφ = 2mπ

con m = 0,  1,  2,...

[3]  

 y la interferencia destructiva corresponde a diferencias de fase iguales a números enteros impares de , Δφ =  2m - 1 π

con m = 0,  1,  2,...

[4]  

Ondas de luz: condiciones de interferencia El resultado obtenido obtenido para la interferencia interferencia de ondas MAS se puede extender extender a ondas armónicas planas monocromáticas de igual frecuencia que tengan el mismo estado de polarización lineal, es decir que vibren en la misma dirección, y1 = A1 sen  kr1 - wt + φ01   

y2 = A2 sen  kr2 - wt + φ02    en donde r1, r2  corresponden a los caminos geométricos seguidos por las ondas 1 y 2 respectivamente, Figura 2. La onda resultante es también armónica de igual frecuencia, igual dirección de vibració vibraciónn (o sea polarización lineal), cuya amplitud cumple la ecuación [2], A2 = A12 + A22 + 2A1A2cos  Δφ

[2]  

 

  Pero aquí la diferencia de fase va a depender también t ambién de la diferencia de los caminos seguidos por las dos ondas, Δφ = k  r2 - r1  

 φ02

- φ01   

 

4

Figura 2

Para ondas coherentes (es decir, ondas que guardan su diferencia de fase constante) se puede asumir que l as altas φ02 - φ01  es constante. Para el caso de la luz es muy complicado garantizar esto debido a las frecuencias que se manejan (del orden de 10 15 Hz): la mejor forma de lograr esto es haciendo que la luz asociada a las dos ondas provenga de una fuente común, lo cual se puede lograr realizando dos tipos de montajes denominados: denominados: 

Divisor de Amplitud



Divisor de Frente de Onda .

 

 

Adicionalmente la estabilidad en la frecuencia frecuencia se optimiza empleando luz láser. Para estos dos tipos de montajes se obtiene que φ02 - φ01  0  y por lo tanto, Δφ = k  r2 - r1 

[5]  

es decir asumiendo coherencia de la luz y empleando estos dos montajes, la diferencia de fase sólo va a dependerr de la diferencia depende diferencia de los caminos seguidos por las ondas. Debido a que la intensidad de la luz es proporcional al cuadrado de su amplitud, la ecuación [2] [2]   se puede transformar en términos de intensidad,

 

  I p = I1p + I2p + 2 I1p I2p cos  Δφ 

[6]  

en donde I1p e I 2p corresponden a las intensidades en el punto P debido respectivamente a la ondas 1 y 2 e Ip  la intensidad resultante en el mismo de punto P debido a la superposición de estas ondas. Al término interferencia.. 2 I1p I 2p cos  Δφ  se le denomina término de interferencia  

5

Cálculo de la diferencia de fase en el caso de la luz en términos del camino óptico diferencia ncia de caminos geométricos, r2 - r 1  corresponde a la difere

Δl  ,

seguidos por las dos ondas de luz,

l  = r2 - r1   Por lo tanto la ecuación [5] queda, Δφ = k  l 

 

Y como, k=

n=

2π λ 

λ o λ 

 

 

se puede escribir para la diferencia diferencia de fase, Δφ =

2   o

 n   l  

 

Quedando en función la diferencia de camino óptico,  , Δφ =

2π λ o

Δ 

[7]  

Aquí o  corresponde a la longitud de onda de la luz en el vacío. Esta será la expresión que se usará recurrentemente recurren temente en este módulo para hacer los cálculos de interfer interferencias encias constructiva y destructiva. Un comentario: El término de interferencia de la ecuación [6] [6]   se anula en caso de que se superpongan dos ondas no coherentes. Esto se debe, por ejemplo, a que en este caso Δφ  cambia aleatoriamente y muy rápidamente,

 

  por lo que el promedio de cos  Δφ  tiende a cero y la intensidad de la onda resultante, por ejemplo en un punto P, es la suma de las intensidades intensidades de las ondas que se superponen, I p = I1p + I 2p  

En definitiva para luz coherente, se mantendrá el término de interferencia. En este caso se presentará interferencia constructiva cuando se cumple la ecuación [3] y habrá interferencia destructiva   cuando se cumple la ecuación [4],

Δφ = 2mπ

con m = 0,  1,  2,...

con m = 0,  1,  2,...

Δφ =  2m - 1 π

[3]  

[4]  

Condición de interferencia interferencia constructiva en función del camino óptico: Combinando las ecuaciones [3] y [7] [7 ] se obtiene como condición para que haya interferencia constructiva, 2   o

2mπ     = 2m

 = m λo

con m = 0,  1,  2,...

co con n m = 0,  1,  2,... 2,...

 

[8]  

Es decir, si la diferencia de los l os caminos ópticos seguidos por las ondas equivale a un número entero de longitudes de onda en el vacío la interferencia es constructiva .  Condición de interferencia interferencia destructiva en función del camino óptico: Combinando las ecuaciones [4] y [7] se obtiene como condición para que haya interferencia destructiva, 2   o

    =  2m - 1 π

  =  2m - 1

λ o 2

con m = 0,  1,  2,...

con m = 0,  1,  2,...

 

[9]  

Es decir, si la diferencia de los caminos ópticos seguidos por las ondas equivale a un número entero impar de semilongitudes de onda en el vacío la interferencia es destructiva . La ecuación [9] se puede escribir de una forma más cómoda cambiando el contador,

 

6

 

 

  = m'

λ o 2

con m' =  1,  3,...

[9.1]  

Estas ecuaciones, [8] y [9], son las básicas de este mód módulo ulo para realizar los análisis de los ejemplos que se exponen.   exponen.

Interferencia de ondas de luz: Experimento de Young Se dice que dos ondas son coherentes cuando guardan su diferencia de fase constante. Para esto deben tener la misma frecuencia, lo que en el caso de la luz es muy complicado garantizarlo empleando dos fuentes independientes debido a las altas frecuencias (del orden de 10 15  Hz). Una de las formas de garantizar coherencia entre las dos fuentes es el mecanismo ilustrado en la Figura 3, en donde una placa con dos agujeros es iluminada perpendicularmente con una onda plana; los agujeros son lo suficientemente pequeñoss como para considerar pequeño c onsiderar los puntos A y B como fuentes secundarias de ondas (principio de Huygens), que además serán coherentes ya que la radiación es monocromática y proveniente de la misma fuente principal: este mecanismo se denomina " por división del frente de onda ": ": en definitiva las dos fuentes A y B "generan" ondas con el mismo estado de polarización lineal y de la misma frecuencia. Esta disposición de agujeros se conoce con el nombre de experimento de Young . Las fases iniciales de ambas ondas son iguales debido a que las fuentes secundarias A y B se tomaron de puntos del mismo frente de onda y que alcanzan las posiciones A y B simultáneamente (esto se logra por la forma como se ilumina la placa con los agujeros, Figura 3). En la fase de cada una de las ondas se ha marcado con subíndices a r  (r1  y r2) debido a que la trayectoria seguida por ambas es diferente. Sin embargo se está considerando que ambas ondas viajan por el mismo medio, por lo que les corresponde el mismo número de onda.

Figura 3

 

7

 

  Como la onda que llega a los agujeros es plana, se puede considerar que por cada agujero pasa la misma cantidad de energía, es decir, cada fuente secundaria ubicada en estos e stos agujeros, radia la misma intensidad de luz (que ya son ondas esféricas). Adicionalmente, si la distancia entre eestos stos agujeros es muy pequeñ pequeñaa comparada con la distancia a donde donde se está midiendo midiendo la intensidad de la luz (punto (punto P), se puede decir qu quee si I1p y I2p son las intensidades aportadas por las ondas emitidas por cada fuente por separado en P, estas son iguales,  

8

I1p = I2p = Io  

 y por lo tanto la expresión expresión de intensidades, intensidades, ecuación ecuación [6], se convierte convierte en, I p = Io + Io + 2 Io Io cos  Δφ I p = 2Io 1  cos  Δφ  

I p = 4Io co cos 2

 Δφ 2

[10]  

que corresponde a la distribución de intensidades sobre una pantalla en donde se ubica el punto P, Figura 3. A esta distribución de intensidades también se le denomina el patrón de intensidades del experimento de  Young, Figura 4.

Figura 4 En la Figura 4 se ilustra que la posición de los máximos corresponde a diferencias de fase iguales a números enteros de 2  tal y como lo exige la ecuación [3] o diferencias de camino óptico correspondientes a números enteros de longitudes de ondas en el vacío o como lo exige la ecuación [8].

 

  Observando este patrón de intensidades podría pensarse en un caso de violación de la conservación de la energía, ya que hay zonas que no quedan iluminadas (zonas oscuras) y zonas muy brillantes (incluso puntos donde la intensidad de la luz es el doble de lo que sumarían las intensidades de las ondas individuales). Sin embargo si se suma las energía que llega a la pantalla realmente el resultado será igual a la emitida por las ondas; esto se puede deducir del hecho que el promedio espacial de la intensidad sobre la pantalla es igual ig ual a 2I0.  

9

En el caso resultante de laltante interferencia si lalasluz, amplitudes ondas  que interfieren son iguales, la luz + luz de da las oscuridad  (¡Raro, pero cierto!). intensidad resu sería nula:destructiva en el caso de Ubicación de la posición de los l os máximos y los mínimos de interferencia interferencia sobre la pantalla de proyección en el experimento experime nto de Young Primero se encuentra una expresión para la diferencia de camino óptico entre las dos ondas de luz y que la relacione con la posición ( y ) en la pantalla, Figura 5.

Figura 5 Debido a que d

b , la diferencia de camino geométrico, l   r2 - r 1 , entre los dos rayos considerados en

la Figura 5, se puede calcular, con muy buena aproximación, bajando una perpend perpendicular icular desde A hasta BP,

l   r2 - r1  b senθ   Si el experimento se realiza en un medio cuyo índice de refracción es n, la correspondiente correspondiente diferencia en el camino óptico es,

 

 

  n b senθ senθ   Como la distancia desde P hasta O es muy pequeña comparada con d  ( d ( d y  ), Figura 5, sen senθ θ  θ  tanθ , por lo que la diferencia diferencia de camino óptico se podrá expresar de diferentes formas mediante las respectivas aproximaciones ,

 

10

senθ  n b θ  n b tanθ  n b y     n b senθ d

[11]  

La posición de los máximos sobre la pantalla corresponde a la condición de interferencia constructiva, ecuación [8], Δ = mλo

con con

m = 0, 0,± ±1, 1,±2 ±2,. ,... .. 

 y como según [11],

   nb

y d

 

se obtiene, nb

ymáx d

 ymáx =

=  m λ o  

m λod

con m=0,  1,  2,...

nb

[12]  

La posición de los mínimos sobre la pantalla corresponde a la condición de interferencia destructiva, ecuación [9.1], Δ = m' λ o 2

con

 y como según [11],

   nb

y d

 

se obtiene, nb

ymin d

= m'

λ o 2

 

m' = ±1,±3,... ±1,±3,...  

 

   ymin =

m' λo d 2nb

con m=  1,  3,...

[13]  

Fácil es demostrar que la distancia entre dos franjas brillantes consecutivas (dos máximos consecutivos) o entres dos franjas oscuras consecutivas (dos mínimos consecutivos) es,  

11

 y =

λod nb

[14]  

Simulación Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente a la INTERFERENCIA DE YOUNG. Para acceder acceder a ella ejecutar la aplicación, luego hacer clic en el botón ENTRAR, Figura 6 izquierda, luego clic en el botón Optica, Figura 6 centro izquierdo, luego clic en el botón ÓPTICA FÍSICA (LUZ COMO ONDA) , Figura 6 cetro derecha derecha y por último clic en el el botón INTERFERENCIA DE YOUNG, Figura 6 derecha. Se despliega la simulación de la Figura 7. Analizar bien la simulación.

Figura 6

 

 

 

12

Figura 7 Ejemplo 1: (a) Comparar el patrón de intensidades obtenido realizando el experimento de Young, Figura 3, en el aire con el obtenido realizando el experimento en el agua. (b) Comparar el patrón de intensidades obtenido realizando el experimento experimento de Young en el aire con luz azul con el obtenido realizando el mismo experimento con luz roja. (c) Describir el resultado si el experimento experimento se realiza con luz blanca. bl anca.

Solución: La separación entre las franjas brillantes (los máximos) o las franjas oscuras (los mínimos) del patrón de intensidades intensidad es en la pantalla de proyección en el experimento experimento de Young está dada por la ecuación [14],



λod [14]  

  y = nb

(a) Si el experimento se realiza en el agua el n = 1,33 y si se realiza en el aire n = 1,00, por lo tanto se concluye que las franjas brillantes (y las oscuras) están más pegadas en el experimento que se realiza en el agua con respecto al que se realiza en el aire.  

(b) Si el experimento se realiza (n=1,00), la ecuación [14] se transforma en,  

 y =

λo d  b

 

Si se hace con luz azul y con luz roja, se concluye de esta ecuación que las franjas brillantes azules están más pegadas que las franjas brillantes rojas ya que la longitud de onda de la luz azul es menor que la longitud de onda de la luz roja, Figura 8. 8.

 

 

 

13

Figura 8 Se deja al lector resolver el literal (c). Ejemplo 2: Luz monocromática verde, de longitud de onda 550 nm, ilumina dos rendijas angostas paralelas separadas por 7.7 µm. Calcular la desviación angular de la franja brillante de tercer orden, (i) en radianes, (ii) en grados.

Solución: En la Figra 9 se ilustra la escena física.

Figura 9

 

  Según la ecuación [8] la condición de interferencia constructiva es, Δ = mλo

con con

m = 0, 0,± ±1, 1,±2 ±2,. ,... .. 

además de la ecuación [11] para el experimento de Young, se tiene,

  nbθ

 

14

  Combinando estas dos ecuaciones, n b θ = m λ o θ=

 

m λ o nb

Reemplazando m=3 (tercera franja brillante), λo = 550×10-9 m ,  b = 7,70×10 7,70×10-6 m , n = 1,00 se obtiene, θ =0,214 rad

  θ =12,3o  

Ejemplo 3: En un experimento como el de Young, la distancia entre las rendijas es de 5.22 mm y éstas están a 1.36 m de la pantalla. Sobre ésta pueden verse dos patrones de interferencia, uno debido a luz de 480 nm de longitud de onda y el otro debido a luz de 612 nm de longitud de onda. Hallar la separación sobre la pantalla entre las franjas de interferencia de tercer orden de los dos patrones diferentes.  diferentes.  Solución: En la Figura 10 se ilustra la escena física. Según la ecuación [12] la posición de los máximos o franjas brillantes (interferencia constructiva) en el experimento experime nto de Young es,  ymáx =

m λod nb

con m=0,  1,  2,...

[12]  

Reemplazando m=3 (tercera franja brillante), λo = 480×10-9 m ,  b = 5,22×10 5,22×10-3 m , d=1,36 m, n = 1,00 se obtiene, y3,azul = 0,375 m  

 

  Reemplazando m=3 (tercera franja brillante), λo =612×10-9 m ,  b = 5,22×10 5,22×10-3 m , d=1,36 m, n = 1,00 se obtiene, y3,rojo = 0,478 m  

 

15

Figura 10 Por lo tanto,

y= 0,478 m - 0,375 m = 0,103 m   Ejemplo 4: Se usa una hoja delgada de mica (n = 1,58) para cubrir una de las rendijas en un experimento de Young. El punto central en la pantalla está ocupado por lo que era la séptima franja brillante antes de cubrir la rendija. Si la longitud de onda es 550 nm, ¿cuál es el espesor de la mica? Solución: En la Figura 11 se ilustra la escena física.

 

 

 

16

Figura 11 Para que la franja brillante que estaba en el orden 7 (m=7) se traslade al centro (m = 0), debe cumplirse para la diferencia de camino óptico que,

 = 7λ  7λ o   Ahora como la pantalla está muy lejos comparando con b,  b

 = ne +  r1 - e  - r2   

 = e  n - 1 -  r2 - r1     y en el centro, centro, r2 - r1  0  

por lo tanto,

 = e  n - 1   quedando, e

 n - 1

e  =

= 7λ o  

7λ o

 n - 1

 

Reemplazando λo = 550×10-9m , n=1,58, se obtiene,

d,

 

 

e

= 6,64 μm  

Ejemplo 5:

Espejo Lloyd: Una fuente puntual ilumina un espejo, estand estandoo situada a 1 cm por encima del plano que contiene al mismo. La pantalla de observación está situada en el borde derecho del espejo plano que tiene

 

17

una longitud de 50 cm y a una distancia de 5,50 m de la fuente. Si se ilumina el dispositivo con luz monocromática de 500 nm, calcular la interfranja y el número de franjas enteras brillantes y oscuras que se ven en la pantalla. Solución: El dispositivo se ilustra en la Figura 12. El sistema es equivalente a un dispositivo de Young, con una fuente REAL S y una fuente VIRTUAL S’ (imagen de la anterior a través del espejo). espejo).  

Figura 12: Espejo de Lloyd Según la interferencia de Young la distancia entre dos franjas brillantes o dos franjas oscuras es:  y = λ o d nb

[14]

 

  Reemplazando, n=1,00, b= 2,00x10  m, d=5,50 m, o=500x10  m, -2

-9

y = 0,138 mm   Como se puede observar el rayo que incide en el extremo izquierdo del espejo lo hace con el menor ángulo, correspondiente reflejado alcanza la parte más alta sobre la panta pantalla, lla, hmax, (con , y por lo tanto el correspondiente respecto a los demás demás rayos que inciden en el espejo). Por lo tanto el número de franjas es, 500 tan  φ  = 1  

 

  h max =

 N =

50 tan  φ    h max

0,138 mm

 7 franjas franjas    

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Este es la suma de las franjas brillantes y oscuras en la porción de tamaño h máx  sobre la pantalla. pantalla. En el espejo de Lloyd se hace división del frente de onda, como en la interferencia de Young.

Interferencia de ondas de luz: Películas delgadas Otro método para obtener dos fuentes coherentes a partir de una sola fuente y producir interferencia observable consiste en hacer reflejar un haz de luz sobre las caras de una película delgada: esta situación se puede considerar que es por división en la amplitud , ya que la onda que incide parte se refleja en la primera superficie de la película delgada y parte se refleja en la segunda (la amplitud de estas ondas reflejadas es inferior a la de la onda original, es decir a la de la incidente). Supóngase tres medios cuyos índices de refracción son respectivamente n 1, n2 y n3 separados por superficies planas y supóngase además que el medio de índice de refracción n 2 tiene espesor e (comparable con la longitud de onda de la luz), Figura 13. Para analizar la interferencia constructiva y destructiva en esta situación, es más cómodo hacerlo a través  y [9.1]. Por tanto se calculará primero  . de la diferencia de camino óptico y utilizando las ecuaciones [8]  [8] y

 = m λo   = m'

λ o 2

co con n m = 0,  1,  2,... 2,...

con m' =  1,  3,...

[8]

 

[9.1]  

La diferencia de caminos ópticos (aproximada y asumiendo incide incidencia ncia casi normal) entre los dos hace de luz reflejados en la primera y la segunda superficies hasta llegar a la pantalla de proyección en P (que podría ser la retina, o los sensores de una cámara CCD -Charge - Charge Coupled De Device-, vice-,… … ) es,

  n1 AB + n 2 BC + Λ2 + n 2 CD + n1 DP -  n1 AB + Λ1 + n1 BP   Aquí, 1  y  2  corresponden corresponden a los posibles incrementos en

λ o

en el camino óptico de la luz en las 2 reflexiones en las superficies de los dieléctricos en B y en C respectivamente. Sólo habrá este incremento cuando la luz incide desde un medio de menor índice de refracción sobre otro de mayor índice de refracción (equivale (equivale a un incremento en la fase igual a ).

 

 

 

19

Figura 13 Como BC = CD   e  y BP  DP  se obtiene,

  2n 2e   2  1 

[15]  

Ejemplo 6: Mostrar que si incide luz de longitud de onda en el vacío

λ o   en

dirección casi normal desde un medio de

índice de refracción n1  sobre una película delgada de espesor e y de índice de refracción n2  que se encuentra sobre un sustrato de índice de refracción n3, con n1 < n2  < n3, habrá para la luz reflejada interferencia interfer encia constructiva para espesores iguales a, e 

mλ o 2n 2

  con m = 1,2,3,... 1,2,3,.. .

 

e interferencia destructiva destructiva para espesores espesores iguales a, a, e 

λ o m' 4n 2

con m = 1,3,5,...  

 

  Solución: En la Figura 14 se ilustra la escena física.

 

20

Figura 14 En este caso debido a la reflexión en la primera y segunda superficie superficiess se tiene,

1 

λ o

2 

λ o

2

2

 

 

 y por lo tanto la ecuación [15] se convierte convierte en,

  2n 2  e

 

De esta forma la condición para interferencia interferencia constructiva es,

 = m λo 2n2e  mλ o

co con n m = 0,  1,  2,... 2,...

[8]

 

 

Es decir para habrá interfer interferencia encia constructiva para espesores de la película que cumplan,

 

  e 

mλ o

  con m = 1,2,3,... 1,2,3,. ..

2n 2

 

Observar que para el contador m, no se tiene en cuenta valores negativos ya que corresponderían a espesores negativos de la película delgada lo que no tiene significado físico. Tampoco se tiene en cuenta el   valor cero ya que correspondería a un espesor cero lo cual sería trivial.  

21

La condición para interferencia interferencia destructiva es, λ o

  = m'

con m' =  1,  3,...

2

2n 2e  m'

[9.1]

 

λ o 2  

Es decir para habrá interfer interferencia encia destructiva para espesores de la película que cumplan, e  m'

λ o 4n

con m = 1,3,5,...

 

2

  Tampoco se tuvo en cuenta en el contador m, los valores negativos por la misma razón dada anteriormente. Ejemplo 7: Mostrar que si incide luz de longitud de onda en el vacío

λ o   en

dirección casi normal desde un medio de

índice de refracción n1  sobre una película delgada de espesor e y de índice de refracción n2  que se encuentra sobre un sustrato de índice de refracción n3, con n1 < n2 y n2 > n3, habrá para la luz reflejada interferencia interfer encia constructiva para espesore espesoress iguales a, e 

 2m + 1

λ o

con m = 0, 1, 2, 3...

 

4n2

e interferencia destructiva destructiva para espesores espesores iguales a, a, e

λ 

  m' + 1   o

4n 2

con m = 1, 3, 5...

 

Solución: En la Figura 14 se ilustra la escena física. física. En este caso debido debido a la reflexión en la primera primera y segunda segunda superficies se tiene,

1 

λ o 2

 

 

 

2  0   Y por lo tanto la ecuación [15] se convierte en,

  2n 2e 

λ o 2  

 

22

De esta forma la condición para interferencia interferencia constructiva es,

 = m λo 2n2e 

λ o

co con n m = 0,  1,  2,... 2,...

 mλ o

2

[8]

 

 

Es decir para habrá interfer interferencia encia constructiva para espesores de la película que cumplan, e 

 2m + 1

λ o

con m = 0, 1, 2, 3...

 

4n2

La condición para interferencia interferencia destructiva es,

  = m'

2n 2e 

λ o

λo 2

con m' =  1,  3,...

2

 m'

[9.1]

 

λ o 2  

Es decir para habrá interfer interferencia encia destructiva para espesores de la película que cumplan, e

λ    m' + 1   o

4n2

con m = 1, 3, 5...

 

Ejemplo 8: Se desea recubrir una placa plana de vidrio (n = 1,50) con un material transparente (n = 1,25) de tal modo que no refleje la luz de 620 nm de longitud de onda (en el vacío) que incide normalmente. ¿Qué espesor mínimo tendría el recubrimiento? recubrimiento? Solución: La luz incide desde el aire. La película delgada es el material transparente de índice 1,25 que se depos depositará itará sobre el vidrio de índice 1,50. Por lo tanto esta es la misma situación que se analizó en el ejemplo 6. Para no reflexión la condición es de interferencia destructiva que según ese ejemplo es,

 

  e

 m'

λ o 4n 2

  con m = 1,3,5,...

 

Es decir que el mínimo espesor es, e 

λ o

4n

 

 

 

23

2

Reemplazando n2= 1,25 y o = 620 nm se obtiene, e

= 124 nm

 

Ejemplo 9:

La cuña lineal: una cuña de aire está formada por dos láminas de vidrio de índice n que hacen un ángulo muy pequeño, Figura 15. Si incide normalmente luz de longitud de onda en el vació o demostrar que las franjas brillantes están ubicadas en, λ o L x max =  2m - 1 4 h

con m =1,2,3,...  

 y las franjas oscuras oscuras en,

x min = m

λ o L 2 h

con m =0,1,2,3,...

 

Figura 15

 

 

Solución: En este caso debido a la reflexión en la primera y segunda superf superficies icies se tiene,

1  0    

24

2    λ o   2 Y por lo tanto la ecuación [15] se convierte en,

  2n 2e 

λ o 2  

El espesor e es variable y se puede expresar como, e 

hx L  

Y por lo tanto,

  2n 2

hx



L

λ o 2  

De esta forma la condición para interferencia interferencia constructiva es,

 = m λo 2n2

hx L



co con n m = 0,  1,  2,... 2,...

λ o

[8]

 

 mλ o  

2

Es decir para habrá interfer interferencia encia constructiva para los l os x que cumplan, c umplan, x max   2m - 1

λ o

L

4n2 h

con m = 1, 2, 3...

 

como n2=1,00, x max   2m - 1

λ o L 4

h

con m = 1, 2, 3...

La condición para interferencia interferencia destructiva es,

 

 

 

  = m' 2n 2

hx

λ o



L

con m' =  1,  3,...

2

λo 2

[9.1]

 

λ o

 m'

2  

Es decir para habrá interfer interferencia encia destructiva para los x que cumplan,  

25

x min   m' - 1

λ o

L

4n 2 h

con m' = 1, 3, 5...

 

como n2=1,00, x min   m' - 1

λ o L 4

h

con m' = 1, 3, 5,...

 

o lo que es lomismo, x min   2m 

x min  m

λ o L 4

λ o L 2

h

h

con m = 0, 1, 2,...

  con m = 0, 1, 2,...

 

Observar que en x=0 hay una franja oscura. Ejemplo 10:

Los anillos de Newton: El fenómeno de los anillos de Newton, es un patrón causado por la reflexión de la luz entre dos superficies, una esférica y otra plana, Figura 16. Con luz coherente monocromática de longitud de onda o se observa una serie de anillos concéntricos que alternan entre brillantes y oscuros. Estos anillos tienen su centro en el punto de contacto entre las superficies. Mostrar que el radio de los anillos brillantes cumple,

 

rmax =  m -

 con n m = 1, 1, 2 2,, 3 3... ...  λ R  co 2 

1

 

Solución: En este caso debido a la reflexión en la primera y segunda superf superficies icies se tiene,

1  0  

 

  λ o

2   

2

 

 

26

Figura 16 Y por lo tanto la ecuación [15] se convierte en,

  2n 2e 

λ o 2  

El espesor e es variable y se puede expresar expresar como, e  = R

-

R 2 - r 2

 

En donde r corresponde al radio de los anillos. Como r