Modulación Métrica: de sus posibilidades proporcionales a sus características percetuales

1

Conservatorio Conservatorio de Las Rosas A. C.

Tesina que presenta Leonardo Miguel Solorio Reyes en el área de Composición

Modulación Métrica: de sus posibilidades proporcionales proporcionales a sus características perceptuales perceptuales

Asesor

Juan Sebastián Lach Lau

Morelia, Michoacán, Junio, 2016

1

Introducción

Capítulo I. Concepto de Modulación Métrica

1.1.

Concepto

3

1.2.

Orígenes

3

1.3.

Elementos Esenciales

6

1.3.A. 1.4.

Cálculo Alternativo de MM

Elementos secundarios, dos consideraciones sobre la MM

1.4.A.

Ecuación del tempo

1.4.B.

Sobre las indicaciones italianas de tempo

8 9 9 13

Capítulo II. La Modulación en la Partitura, Recuento Recu ento Histórico y Análisis

1.1.

Recuento Histórico

15

1.2.

Análisis

20

1.2.A.

Primer Cuarteto de Cuerdas de Elliott Carter

1.2.A.a. 1.2.B.

Sobre la Estructura de la Obra

Segundo Cuarteto de Cuerdas de Elliott Carter

20 27 38

1.2.C.  Reliquary, Movimiento I de Dum Transisset  de  de Brian Ferneyhough

31

1.2.D.

34

Estudio II de Estudios sobre la Modulación Métrica, de José Manuel López López

1.2.E.

Silbury Air de Harrison Birtwistle

41

Capítulo III. Coincidencias y Disidencias

MM y Modulación Tonal

47

Capítulo IV. Modulación Métrica, Constitución y Expansión

1.1.

Constitución

53

1.2.

Expansión, Redes de Tempo

58

1.3.

Los Márgenes Perceptuales de la Modulación Métrica

66

1.3.A.

Elementos a Explorar

67

1.3.B.

Terminología

68

1.3.C.

La Naturaleza del Problema

70

1.3.D.

Intervalo de Indiferencia

71

1.3.E.

Subjective Rhythmization

73

1.3.F.

Las Regiones

75

1.3.G.

El Presente Sicológico

76

1.3.H.

Percepción de Modulación de Tempo

79

4. Sobre una obra personal con MM, Post Sicut (2016)

83

Conclusiones

85

Bibliografía

87

Introducción

1

El drum and bass  y sus ritmos rápidos e irregulares que mediante secuenciadores crean texturas de complejidad superior a la realizable por cualquier intérprete humano, crearon en mí el deseo de componer una obra para percusiones acústicas que incorporara esta estética. El primer acercamiento primer acercamiento  para hacerlo vino a través tra vés de la psicoacústica, ps icoacústica, en especial de un estudio1 sobre la ilusión auditiva de un tempo que parece acelerar infinitamente. El estudio me introdujo a un extenso abanico de artículos y obras enfocadas al aspecto temporal de la música, es decir al aspecto que relaciona los eventos sonoros con el tiempo cronométrico, aquel que resulta de retirar el timbre, el espacio, la dinámica y las alturas de la música. Respecto a este elemento elemento de la música, la primera mitad mitad del siglo XX fue fue particularmente interesante. El ritmicón de Henry Cowell o los estudios de la percepción del sonido y su relación con el tiempo de Paul Fraisse son ejemplos de una multitud de eventos que revolucionaron la teoría y la práctica musical. En los años cincuenta, Elliott Elliott Carter encontró una noción musical que entramaba e ntramaba los cambios de pulso, de compás y de subdivisión, consecuentemente el tempo fue entendido como una parte activa de la música y por consiguiente del compás y su contenido. Esta nueva perspectiva abandonó la concepción unidimensional del ritmo y se adentró en un sinfín de tempi de relaciones proporcionales. Ensayos como "… How time passes…"   de Karlheinz Stockhausen abrieron un campo de experimentación temporal que apuntaba hacia la emancipación del ritmo. Estas nuevas investigaciones sugerían que los umbrales perceptuales del continuo de frecuencias sonoras por debajo de 20 Hz contenían universos musicales únicos y poco explorados. Sin embargo, como otros aspectos musicales que el siglo XX nos legó inconclusos, la temporalidad musical no es la excepción; aún tenemos preguntas que no han sido resueltas: ¿cómo puede encontrar la música una capacidad de expresión cuando se prescinde de las alturas? ¿Cómo puede hacer conceptos no lineales de temporalidad cuando la escucha está siempre supeditada a la secuencia lineal del tiempo? En este trabajo exploro sistemáticamente un aspecto particular del tempo: la modulación métrica. En su nivel fundamental, la modulación métrica entrelaza dos planos temporales para trascender la  barrera unidimensional del tempo en la exploración de un área de tempi teóricamente ilimitada. Esta variedad ilimitada de posibilidades de tempo es una materia prima sin reglas de uso, por eso en este trabajo estudio sus cualidades en las diversas regiones de la percepción para extender y construir sobre 1

Madison, Guy, “An Auditory Illusion of infinite Tempo Change Based on Multiple Temporal Levels”,  PLos ONE, vol. 4,

núm. 12, 2009, http://www.plo http://www.plosone.org/article/ sone.org/article/info%3Adoi%2F10.1371%2F info%3Adoi%2F10.1371%2Fjournal.pone.0008151 journal.pone.0008151..

2

éstas una sensibilidad musical informada. El punto de partida es la composición influenciada por las teorías perceptuales del tempo, con el objetivo de crear y manipular elementos musicales. El objetivo principal de este trabajo es enriquecer mis composiciones a través del entendimiento integral de la modulación métrica, y promover activamente una herramienta musical que proponga retos a la práctica compositiva general y provea de recursos para una nueva valoración del tempo y su rol activo en la música. Teniendo en cuenta estas consideraciones, el presente trabajo está estructurado en cuatro capítulos: el  primero discierne las diferencias semánticas y prácticas de todo lo que ha h a sido nombrado “modulación “modu lación métrica”; en este mismo capítulo se demuestra el funcionar básico de la misma. El segundo compila y

clasifica un vasto número de obras con modulación métrica y posteriormente analiza cinco obras que  presentan un u n alto a lto número nú mero de modulaciones métricas. m étricas. El tercero tercer o propone pr opone un análisis comparativo c omparativo entre modulación tonal y modulación métrica que muestra los conceptos comunes que ambas comparten y las direcciones individuales en las que cada una se desarrolla. El último capítulo plantea una técnica que proporciona un cúmulo de tempi  proporcionales al que cualquier tempo puede acceder y describe d escribe las particularidades psicoacústicas del ámbito de frecuencias sonoras pertinentes a la modulación métrica.

3

Capítulo I Modulación Métrica

1. Concepto

La corta existencia temporal de la modulación métrica (de aquí en adelante referida como MM) permite entenderla como un término que aún evoluciona. Ha generado una multiplicidad de definiciones sin haber logrado todavía un consenso final. De la musicología al death metal  se   se ha nombrado MM a una variedad de conceptos diferentes. En este trabajo entenderemos a la MM como el cambio proporcional de tempo a través de una duración común. Las siguientes páginas explicarán con detalle lo que en este momento puede parecer como una formulación enigmática. 2. Orígenes

El término ‘modulación métrica’ fue inventado en 1951, en el análisis que Richard Franko Goldman2

realizó de Cello Sonata de Elliott Carter. Es el nombre que le dio al cambio de tempo y de compás.

 Ejemplo 1: Cello Sonata, III, c. 6 y 7

Es una denominación derivada de un solo evento auditivo: el cambio de velocidad o del paso,3 que era la principal preocupación de Carter.4  Sin embargo la independencia de compás y tempo llevó a la  práctica musical a explorar nociones rítmicas como cambio de compás,5  cambio de tempo sin transición, hemiola,6 conjunción de cambio de compás con cambio de tempo, cambios en la subdivisión

2

Goldman, Richard F., “The music of Elliott Carter”, The Musical Quarterly, vol. 43, núm. 2, Oxford University Press,

Londres, 1957, pp. 151-170. 3

“[E]l tempo sicológico que llamaremos “paso” depende de cómo es llenado el tiempo d e cuántos patrones aparecen en un espacio de tiempo dado”. Cooper, Grosvenor y Meyer, Leonard ,The Leonard  ,The Rhythmic Structure of Music , University of Chicago, Rítmica de la Música, Idea Books, Barcelona, 2000) p.12. Chicago, 1960, (tr. castellana de T. Paul Silles;  Estructura Rítmica 2000)  p.12. 4 Strizich, Strizich, Robert “Notation in Elliott Carter’s Double Concerto”  Ex Tempore, Vol. I/1: enero 1981, vol. I/2: octubre 1981,

vol. II/1: enero 1982.West Springfield, Massachusetts . 5 Bouchard, Jean-Luc,  La Modulation Agogique: Définition, Définition, Typologie et Analogie avec la la Modulation Tonal, Tonal, tesis de maestría, Université Laval, Québec, 2008, p.28. 6 Cooper, Grosvenor y Meyer, Me yer, Leonard B., op. cit. p.13.

4

de un pulso,7 cambios en la agrupación de acentos8 y agruparlas bajo el mismo nombre. Es posible que varios conceptos rítmicos hayan sido nombrados como MM porque comparten un modo de operación rítmica no tradicional; son ajenos a la acentuación habitual del compás o ajenos a la periodicidad  permanente del pulso. En un artículo publicado en 1989 François Nicolas cuenta una anécdota: (...)hace ya cierto tiempo, Ellliott Carter fue interrogado en la radio sobre el significado del término “modulación métrica” frecuentemente utilizado en relación a su música. Fue

cuestionado en ese punto por un crítico musical -dotado de la competencia musical requerida- en  presencia de un joven compositor del conservatorio -formado -f ormado por algunos maestros eruditos de esa institución-. Ninguno de los tres protagonistas supo (o quiso) proponer ese día una formulación simple del término, cada uno de ellos dio su opinión que se trataba de un fenómeno muy complejo para ser definido en pocas palabras(...). 9

El estado teórico de donde surgió la MM carecía de la fortaleza académica de otros campos musicales contemporáneos como el espectralismo, serialismo o la indeterminación. Los primeros intentos concisos de formular una definición clara se darían hasta principios del siglo XXI. Fernando Benadon, compositor y catedrático de la Universidad de Berkeley dice: Ya que todo TM ( tempo modulation ) puede ser notado utilizando dos formatos, no es sorprendente que los términos "modulación de tempo" y "modulación métrica" hayan sido utilizados indiferentemente. El primero es utilizado aquí por la razón de que mientras una modulación puede ser expresión de un cambio métrico es siempre un cambio de tempo. 10

7

Kampela, Arthur, “Micro-Metric Rhythms and Noises: Emanations from the Stochastic Cloud” , Current Musicology, C olumbia University, Nueva York, 2002, p.7. Composers Issue, vol. 67 y 68, Columbia 8 Cooper, Grosvenor y Meyer, Leonard B., op. cit. p.13. 9 (...)Elliott Carter, il y a quelque temps, était interrogé à la radio sur la signification du terme "modulation "modulation métrique"  souvent utilisé à l'égard l'égard de sa musique. musique. Il était questionné sur ce point par un critique musical musical -doté de la compétence compétence musicale requise- en présence d'un jeune compositeur du conservatoire -formé par quelques maîtres érudits de cette institution-. institution-. Or aucun des trois protagonistes ne sut (ou ne voulut) ce jour-là proposer une formulation simple du terme, chacun d'eux se rangeant à l'opinion qu'il s'agissait là de phénomènes trop complexes pour être cernables en quelques mots(...) Mi traducción. Nicolas, François, “Le feuillete du tempo: Essai sur les modulation modulation métriques”  Entretemps núm. 9,

París, 1990, pp. 51-77. 10  "Since any TM (tempo modulation) can be notated using two formats f ormats it is not surprising that the terms "tempo modulation" modulation" and "metric modulation" modulation" have been used us ed interchangeably. The former term is employed here for the reason that while a modulation can be expression of a metric shift, it is always alwa ys a tempo shift" Mi traducción. Benadon, Fernando, “Towards a Theory of Tempo Modulation” , Modulation” , Manuscritos del octavo ICMPC, 2004, p. 563, http://www.icmpc8.umn.edu/proceed http://www.icmpc8.umn.edu/proceedings/ICMPC8/PDF/AUTHOR/MP040228.PDF ings/ICMPC8/PDF/AUTHOR/MP040228.PDF

5

Los siguientes ejemplos muestran la equivalencia entre cambio de compás y modulación de tempo, en términos de Benadon. El ejemplo 2a muestra una MM, el 2b un cambio de compás. Ambos ejemplos son auditivamente idénticos y sólo se distinguen en el papel.

 Ejemplo 2b. Cambio de compás  Ejemplo 2a. Modulación Métrica

Después de la publicación del análisis de Cello Sonata  de Franko Goldman, dijo que Carter "ha  preferido el término modulación de tempo ya que es el tempo el que cambia, no la métrica".11 El argumento que Carter y Benadon comparten es claro e irrefutable: la modulación de tempo indica que el tempo cambia, la MM se refiere al cambio de métrica (o sea la distribución jerárquica de pulsos). A pesar de ello en el presente trabajo nos referiremos a la MM como el cambio proporcional de tempo a través de una unidad constante de duración, por tres razones: “tempo modulation”  ha sido apropiado por la psicoacústica para referirse a todas las • El término “tempo

fluctuaciones de tempo, sean continuas, como ritardandos y accelerandos; o discontinuas como variaciones en la estabilidad del pulso en el contexto de la expresividad,12 por lo que puede prestarse a más confusión. • En la actualidad se ha alcanzado cierto consenso respecto al concepto “MM” el cual coincide con el

término de nuestro propósito.13

11

“Carter has come to prefer the term tempo modulation since it is the tempo that changes, not the meter” Mi propia traducción. Schiff, David, The music of Elliot Carter, Eulenburg Books, Londres, Londres, Reino Unido, 1983, (2.ª ed., Cornell Cornell

University Press, Nueva York, 1998) p. 97. 12  Royal, Matthew Stratton, The Perception of Rhythm and Tempo Modulation in Music, tesis de doctorado, Facultad de Música, University of Western Ontario ,1995, p.7. 13 Delaere, Mark, “Rhythms - durations- rhythmic cells - groups. gr oups. Concepts of microlevel time-organisation time-organisation in serial s erial music and their consequences on shaping time on higher structural levels”, Unfolding Time, Studies in Temporality in TwentiethCentury Music, Leuven University Press, Bélgica, 2009, p. 20.

6

• La tercera razón la otorga Jonathan Bernard al publicar en 1988, “sin embargo porque el término se ha vuelto común y porque Carter mismo lo utiliza, aquí sigo la práctica general”14  haciendo referencia al término “metric “metric modulation”. modulation”. Esta publicación es posterior a la de Schiff quien afirma que Carter prefería el término “Tempo “Tempo Modulation”. Modulation”.

Pienso que estos problemas terminológicos validan preguntarse por los papeles que el tempo y el tiempo juegan juegan en la práctica musical actual. Las conexiones entre el estado de la la teoría rítmica y la MM apuntan a una tendencia estética que oculta al tiempo detrás de otros aspectos sónicos. El énfasis de este interés es en ver al ritmo no solamente como lo que constituye la coordinación musical, sino que también es posible imaginarlo como poseedor de una estructura propia. Estudiar el ritmo es estudiar toda la música. El ritmo organiza y es a su vez organizado por todos los elementos que crean y dan forma a los procesos musicales. 15

Wallace Berry en 1987 decía: Todos los procesos-elemento son rítmicos. En un sentido importante, el estudio del ritmo es por lo tanto el estudio de todos los elementos musicales, las acciones de esos elementos produciendo los efectos de “paso”, patrón y agrupamiento a grupamiento que const ituyen ritmo . 16

3. Elementos Esenciales

Dos preguntas guían a la MM: ¿a qué tempi puede acceder una subdivisión especifica?,- ¿qué subdivisión me permite llegar a un tempo especifico? Ambas preguntas comprenden la misma respuesta: la totalidad de MM posibles (que serán revisadas en el capítulo IV). Su diferencia es que una va de la subdivisión al tempo y la otra del tempo a la subdivisión. La proporcionalidad referida a la MM puede ser formulada de la siguiente manera:

14

“However, because the term has stuck, and because Carter himself uses it, i

follow the general practice here”. Mi  propia traducción. traducción. Bernard, Jonathan Jonathan W., “The Evolution of Elliott Elliott Carter Carter Rhythmic Practice”, Perspectives Practice”,  Perspectives of of New Music,

vol. 26, núm. 2, verano, Seattle, Washington, 1988, pp. 164-203. 164 -203. 15  ,T op. cit. p. 9.  Cooper, Grosvenor y Meyer, Leonard  ,T op. 16 “All element -processes are rhythmic. In an important sense, the study of rhythm is thus the study stud y of all musical elements, the actions of those elements producing the effects of pace, pattern, and gr ouping which constitute rhythm”. Mi propia traducción. Berry, Wallace, Structural Functions in Music, Englewoods Cliffs, New Jersey, 1976, (2.ª ed. Dover, Nueva N ueva

York, 1987) p. 301.

7

 Ejemplo 3. Figuras y su proporción a

 partir de una redonda

La primera pregunta puede ser entendida con el siguiente mecanismo:

Antes de modular tenemos un tempo y una figura rítmica que tendrá el papel de pivote. El tempo final dependerá de la proporción en que cambiamos dicho pivote, que puede ser cualquier valor de nota.

 Ejemplo 4.

MM que convierte al tresillo

en sietillo

Después de modular necesitamos responder a qué tempo modulamos. Si elegimos al tresillo de corchea (1/12) como pivote y decidimos que su valor sea 1/14 (sietillo) en el nuevo tempo. Como en una regla de tres, tres datos proporcionan el cuarto, que en este caso es 61.71.

8

Este primer enfoque avisora el segundo enfoque, que transita mas fácilmente por la totalidad de tempi que la MM permite. Esta formula de calcular o pensar la MM será útil para explorar con mas facilidad el ir del tempo a la figura, que será explorado en el capítulo IV. Mientras, este procedimiento es suficiente para comprender el funcionamiento de la MM. 3.A Cálculo alternativo de MM

Weisberg, ávido intérprete y director de la obra de Carter, sugiere dos maneras sencillas y efectivas  para deducir las modulaciones:17 

Un ejemplo de modulación, mediante el large way,  es que a través de una negra de tresillo encontremos un valor más largo a través de la siguiente pregunta: ¿cuál es la figura a la que se sujeta un tresillo de negra? El tresillo de negra se sujeta a una blanca (es decir que caben tres negras de tresillo en una blanca o en un medio). Si el tempo es 100 bpm18 el cuarto, la blanca tiene un valor metronómico dos veces más lento que el cuarto, o sea 50 bpm. Si hay tres valores en esa blanca, sólo es necesario multiplicar por tres el valor metronómico de la blanca:



Con el mismo problema pero a través del  small way es necesario encontrar un valor más corto con la pregunta siguiente: ¿qué valor de tresillo cabe en una negra de tresillo? Dos corcheas de tresillo. El valor de cada corchea de tresillo puede ser obtenido multiplicando por tres el valor

17 Weisberg, Arthur,  Performing Twentieth-Century Music : A Handbook f or Conductors and

University Press, New Haven, Connecticut, 1993, p. 52. 18 beats per minute o pulsos por minuto

Instrumentalists, Instrumentalists, Yale

9

metronómico de la negra (100 x 3 = 300) ya que hay tres corcheas de tresillo dentro de una negra. Si una corchea de tresillo es igual a 300 bpm, entonces una negra de tresillo que es dos veces más lenta es igual a 150 bpm.

Mediante el large way se busca que el valor dado (en este caso negra de tresillo) sea una subdivisón de un valor más grande, en el caso del  small way  se buscan las subdivisiones del valor dado. Ambos métodos son igualmente efectivos; su uso dependerá de su contexto.

4. Elementos secundarios, dos consideraciones sobre la MM Ecuación del tempo

La MM sustenta su existencia en la equivalencia de pulso musical y duración física: La nota musical de la indicación de tempo (negra o cuarto en este caso) representa la duración; es generalmente la unidad musical que determina el pulso;19, 20 y no es una observación musicalmente irrelevante, ya que ésta unidad musical puede sugerir cierto carácter a la obra. Por ejemplo, el primer cambio de tempo en el ‘Aprendiz de Brujo’ de Paul Dukas, muestra la importancia de la definición

aparentemente arbitraria de la unidad musical a la corchea, cuando parece que era más simple elegir una unidad más larga, como la negra(e = 90-103 a e = 168).

19 Delaere, Mark, 20

op. cit. p.20. Subjective Rhythmization o ritmización subjetiva.

10

 Ejemplo 6 . El aprendiz de brujo, parte de flauta, compases 12-15.

Sin embargo, la aceleración del tempo de 90 a 168 engendra un carácter musical de tiempo más denso dentro de un tiempo dilatado; la notación contribuye a hacer más claro este cambio de velocidad temporal. El número del lado derecho de la indicación de tempo enuncia la frecuencia del pulso elegido. Es el tiempo estriado21  o discontinuo22  que indica una sucesión periódica de instantes distribuidos equidistantemente en un minuto. Como compositor es pertinente tener en cuenta que la repartición periódica de estos pulsos es solamente periódica en términos musicales pero irregular en términos físicos absolutos, en especial cuando el compás o la métrica entran en la interpretación, 23 ya que ha sido demostrado 24 que cuando interpretamos el primer tiempo de cada compás tendemos no sólo a acentuarlo sino también a  prolongar su duración, tocando el resto de los pulsos con una duración sutilmente más breve. Este fenómeno perceptivo indica que la relevancia métrica también se demuestra con la duración de los  pulsos, es decir, a pulsos más largos puntos punt os métricos más relevantes.25 Al parecer no somos conscientes de que la jerarquización de pulsos métricos26 funcione así debido a que la percepción del pulso tiene un promedio de tolerancia de 6%, es decir que cuando escuchamos

21

Pierre Boulez nombra a la división del tiempo cronómetrico ‘tiempo estriado’ en contraposición al ‘tiempo liso’, que es

tiempo musical que no presenta divisiones de ningún orden. Véase: Boulez, Pierre,  Points de repère, Christian Bourgois, París, 1981, (3.ª ed., “Tiempo, notación y código”, Puntos código”, Puntos de Referencia , Editorial Gedisa, Barcelona, 2001) p. 79. 22

Julio Estrada llama ‘discontinuas’ a las frecuencias de ‘orden rítmico‘ en contraposición a las ‘continuas’ que son de ‘orden sonoro’. Estrada señala a los 16 Hz como el punto medio entre ‘continuo’ y ‘discontinuo’. Véase: Estrada, Julio, St rasbourg II, Estrasburgo, 1994, Théorie de la Composition: Discontinuum Discontinuum - Continuum, tesis de doctorado, Université de Strasbourg

 p. 89. 23 Royal, Matthew Stratton, op. cit. p.6. 24 organization of sound, , MIT Press, Cambridge,  Bregman, Albert S.,  Auditory Scene Analysis: the perceptual organization Massachusetts, 1990, p. 4. 25 Barlow, Clarence, On Musiquantics, Bereich Miusikinfomatik, Musikwissenschaftliches Musikwissenschaftliches Institut Johannes GutenbergUniversität Mainz, Mainz, 2012, p. 22. 26 Fraisse, Paul, “Rhythm and Tempo”, en (editora) Deutsch, Diana, The Psychology of Music, Academic Press, Nueva York, 1982, pp. 149-180.

11

un pulso a 72 bpm resulta indiscernible (para el oído no entrenado27) de 73 bpm hasta 76.2 aproximadamente.28 François Nicolas, hace una aclaración muy precisa precisa al respecto: (…) no conviene confun dir métrica y compás.

La métrica, tiempo ha, es el objeto de comentarios

en el campo de la poética contemporánea... contemporánea... propongo simplificar las cosas así: el compás, co mpás, primer nivel de agrupamiento de los pulsos, discierne entidades articuladas articuladas que no se hacen perceptibles como aquellas perceptibles en una métrica, ese nivel más vasto de agrupamiento que a la vez establece un periodo (envolviendo más compases) y al mismo tiempo articula ar ticula interiormente cada uno de los compases (diferenciando sus pulsos de acuerdo a la polaridad fuerte/débil). Así la métrica subsume al compás de suerte que éste se convierte a la vez en elemento (uno de compases) y parte (conjunto de pulsos) de métrica. En esta disposición groseramente simplificada, parece entonces que el compás puede permanecer como una unidad eminente del  pensamiento musical contemporáneo cuando el de la métrica parece devenir más problemático en particular porque sugiere regularidad (debido a la jerarquización interna de tiempos fuertes y débiles) y de la repetición: el caso del compás, paradigma de toda métrica si creemos en la teoría del ritmo y de la métrica según H. Riemann- ser el modelo de eso que ha devenido definitivamente impracticable impracticable para el pensamiento musical contemporáneo 29

Estos tres caracteres (figura musical, signo de igual y valor bpm) en su función de indicadores de tempo han sido fundamentales en la historia de la MM, de manera tal que si dentro de una obra la figura musical cambia y el valor bpm permanece en el valor original se habrá dado una MM (ejemplo

27

 Henry Cowell menciona en  New Musical Resources, Cambridge University Press, Cambridge, Reino Unido, 1996, p. 64 que las aptitudes rítmicas pueden dominar los tuples anidados. 28

Boltz, Marilyn G., “Tempo discrimation of musical patterns: Effects due to pitch and rhythmic structure”  Perception &  Psychophysics, vol. 60, núm. 8 , Haverford College, Haverford, Pennsylvania, 1998, p. 1357. 29 Dernière précision: il ne convient pas de de confondre mètre et mesure. Le Le mètre a depuis depuis longtemps fait l'objet de commentaires dans le champ de la poétique contemporaine: la poésie moderne a procédé en effet à une dislocation des mètres de la versification traditionnelle (dont le paradigme est l'alexandrin) sans que ceci la dépouille pour autant de toute unité métrique (_). Dans l'espace circonscrit de cet ar ticle, je proposerai de simplifier (_) les choses ainsi: la mesure,  premier niveau de regroupement regroupement des battues, battues, découpe des entités entités articulées articulées qui ne deviennent perceptibles comme telles telles que prises dans un mètre, ce niveau plus vaste de regroupement qui à la f ois établit une période (enveloppant plusieurs mesures) et en même temps articule intérieurement chacune des mesures (en différenciant leurs battues selon la polarité temps fort/faible) (_). Ainsi le mètre subsume-t-il la mesure en sorte que celle-ci devient à la fois élément (une des mesures) et partie (sous-ensemble de plusieurs battues) du mètre (_). En cette disposition grossièrement simplifiée, il apparaîtrait alors que la mesure puisse rester une unité éminente de la pensée musicale contemporaine (_) quand celui de mètre  paraîtrait devenir plus plus problématique en particulier pour pour ce qu'il suggère de régularité régularité (quant à la hiérarchisation interne interne des temps forts et faibles) et de répétition: le cas de la carrure -paradigme de tout mètre si l'on en croit la théorie du rythme et du mètre selon H.Riemann- serait ainsi le modèle de ce qui est devenu définitivement impraticable impraticable pour la pensée musicale contemporaine. Mi traducción. Nicolas, François, “Le feuillete du tempo: Essai sur les modulation modulation métriques”  Entretemps núm. 9, París, 1990, pp. 51-77.

12

6a). De igual forma si la indicación de bpm cambia y la figura musical permanece tendremos también una modulación (ejemplo 6b).

 Ejemplo 6a. MM que afecta a la

figura musical

 Ejemplo 6b. MM que afecta al

tiempo físico

En los ejemplos 6a y 6b, la modulación reduce el tempo original a la mitad -al doble de lento- lo cual es realizable por el intérprete. Sin embargo si deseamos ejecutar una modulación hacia un tempo que no sea el doble o la mitad del original es necesario introducir una MM en forma, de manera que los caracteres indiquen una relación proporcional distinta de 2/1 entre dos figuras:

Ampliando la definición, podemos hablar de “MM brusca” cuando el cambio de tempo se realiza sin

una figura de transición o duración común, que operaría de la misma forma que las modulaciones tonales sin transición como hacía Scriabin, por ejemplo. Podemos concluir que cualquier modificación en la indicación de tempo a lo largo de una obra es indicativa de una MM, ya sea brusca o con transición. Al respecto de las “modulaciones bruscas” es pertinente ser consciente de su natura leza no

 proporcional, ya que sin un marco temporal de referencia las posibilidades de llevar a cabo con  precisión una modulación de este tipo t ipo dependen de la exigua ex igua cantidad de d e intérpretes capaces de tempo absoluto, carencia que puede ser remediable gracias al click-track y la memorización de las relaciones de velocidad. Concluimos entonces que el elemento que distingue los dos tipos de modulación es la duración común, si existe es modulación con transición, si no, es brusca.

13

Sobre las indicaciones italianas de tempo

A pesar de que las unidades de bpm son notadas en la gran mayoría de las MM, en realidad son  prescindibles para indicar un cambio de tempo. Probablemente el primer ejemplo histórico de MM (realizada sin notación de bpm) sea Sub Arturo  plebs. Compuesta por John Aleyn en 1358, este motete de disminución isorrítmica, 30  permuta la

duración de una línea melódica de 9 a 6 y finalmente a 4 unidades rítmicas.31 Esta música anterior a la tonalidad contiene también compases simultáneos de 3/4, 6/8 y 2/4 y ninguna indicación de tempo. Al prescindir de la estructura tonal, esta música modal encontró en el tempus  perfectum e imperfectum32 y en la notación mensurada en general, un alto nivel de organización de eventos sonoros

; característica inherente a la música europea. Entre el renacimiento y el siglo XX el “ritmo es solamente significativo en la medida en que subyace a

cada sub-estructura inter-dimensional”.33 La mayor parte de la práctica musical de estos siglos entendía al ritmo como un elemento musical estable y pasivo, sobre el cual erigir la armonía y el timbre. Sub  Arturo plebs de la misma manera que muchas obras de los siglos XIV y XV enfatiza la importancia del

ritmo y lo concibe como un elemento esencial a la estructura de la obra. Históricamente la tonalidad y el serialismo son predominantes cuando la música centrada en el ritmo se encuentra en segundo plano y viceversa. Posiblemente el ‘espectralismo’ y la escuela de la ‘nueva complejidad’ hayan sido los

 primeros en equiparar altura, timbre y ritmo. Con el ejemplo de John Aleyn y su obra con MM y ausencia de notación sobre el tempo, tempo, es más claro ver que el rol del bpm, es solamente un punto de referencia para el intérprete,

que en ocasiones puede llegar a ser un punto de referencia intimidante, en especial si el interprete no está familiarizado con la MM y se enfrenta con bpm con números decimales:34 30

  Bent, Margaret, Two 14th-Century Motets in Praise of Music , Antico Edition, Norwich, Reino Unido, 1977, p.30. Günther, Ursula, en Günther, Ursula y Finscher, Ludwig (editores) "Aspects of Music in Church, Chur ch, Court, and Town from the 13th to the 15th C entury",  Musica Disciplina Middleton , Wisconsin, 1984, p. 127. 127. Disciplina vol. 38 , Middleton 32 Perfectum es la denominación denominación latina de una nota dividida en tres partes, imperfectum, dividida en dos. Para una explicación a fondo véase: Apel, Willi, “The Notation of Polyphonic Music 900  –1600 “ The Medieval Academy of  America, 38. Cambridge, Massachusetts, 1961, p. 32. 33 “[R]hythm is only meaningful only insofar as it subsum[es] every dimensional and inter -dimensional -dimensional substructu re” Mi traducción. Boretz, Boretz, Benjamin, “In Qu est of the Rhythmic Genius”, Perspective Genius”, Perspectivess of New Music Music, vol. 9, núm. 2 y vol. 10, núm. 1, pp. 149-155. 34 Véase Gruppen de Karlheinz Stockhausen. 31

14

La principal intención de este trabajo es crear un enfoque práctico de la expansión de la MM "tradicional", consecuentemente cambiar la "interpretación aproximada"35  que va de la mano de la estética ‘nueva complejidad’ para reducir lo aproximativo de la interpretación de ritmos complejos. Por

lo tanto notar una MM sin bpm podría ser información insuficiente en el mismo caso. Un punto medio es la MM con las indicaciones clásicas de tempo.

i ndicacioness clásicas  Ejemplo 11. MM con indicacione de tempo

35

The extent to which the performer per former is technically and spiritually able to recognize and embody the demands of fidelity

“

(not exactitude!)”. exactitude!)”. “En la m edida en a que el intérprete es capaz técnica y espiritualmente de reconocer e incorporar las demandas de fidelidad (¡no exactitud!)”. Mi traducción. “Duration and Rhythm as Compositional Resources” en Boros, James y Toop, Richard,  Brian Ferneyhough: Collected Writings, Writings, Routledge, Nueva York, 1995. p. 12.

15

Capítulo II La Modulación en la Partitura Recuento Histórico y Análisis

1. Recuento Histórico La MM a lo largo de los siglos XX y XXI ha tenido una existencia tímida. Sus pocas apariciones en el repertorio contemporáneo tienen una importancia menor en la estructura general de casi cualquier obra. En la mayoría de sus apariciones transforma un tempo ternario en uno binario o viceversa. Después de cumplida su función, desaparece. Sin embargo existen excepciones notables a esta tendencia, donde la modulación toma un papel central generando una vasta riqueza de planos temporales, en su mayoría aún inexplorada. En el siguiente apartado listo algunas de las obras que hacen uso de MM. Este listado no pretende ser exhaustivo; es incluso muy probable que desconozca un alto número de obras con modulaciones métricas interesantes, sin embargo, embargo, en él incluí todas las las obras a las que tengo tengo acceso que utilizan utilizan a la MM en cualquier medida. Al lado derecho del título de cada obra introduje un número que puede ser 1, 2 ó 3 para indicar la relevancia de la MM en la obra citada; 1 es una relevancia mínima y tres una relevancia máxima. Para facilitar su consulta, indico la página o páginas en donde las modulaciones se encuentran y en algunos casos donde la página no se encontró, el número de compás y el año en que fueron compuestas. • Adams, John

Phrygian Gates (1977-78), p. 45.



Shaker Loops Part III, Loops and Verses (1978)  A flowering tree (2005-06), p. 251.  • Ades, Thomas

Trace Overheard (1995-96), pp. 16, 19.  Asyla(1997), p. 22.  • André, Mark

Contrapunctus p. 7.  • Andriessen, Louis

Triplum (1962)  • Aperghis, Georges

16

Alter Face (2004)  • Benjamin, George

Antara (1985-7), p. 72.  Fantasy on Iambic Rhythm (1985), compás 101.  Into the Little Hill (2006), comp ás 618-619.  Sudden Time (1989-93), pp. 19, 26, 42, 55, 64, 69.  • Berg, Alban

Lulu (1929-35) pp. 144, 162, 285, 328.  • Berio Luciano

Chemins II su sequenza VI (1967), pp. 17, 27, 28.   Notturno (1993), p. 2  • Birtwistle, Harrison

Crowd (2005) Silbury Air (1977, rev. 2003). Clarinet Quintet (1981), p. 18.  Cortege (2007), p. 15.  Exody (1997), p. 48, 52.  Gawain´s Journey (1991), p. 31.  Clocks (1998), p. 14.  Secret Theatre (1984), pp. 3,107.  Theseus Game (2002), p. 4.  • Boulez, Pierre

Marteau sans Maître (1952), p. 20.  Sur Incises (1996-8), pp. 88, 144.  Pli selon pli (1957), p. 10.  • Brawaeys, Luc

Jocasta (2003) String Quartet III (2002), p. 26.  • Britten, Benjamin

A midsummer ´s night dream (1960), pp. 183, 198, 200, 361, 481.  Albert Herring (1947), p. 15, 46, 192, 247, 248, 249, 250, 251, 404, 479, 496. 

17

Lachrymae (1976), p. 12.  Suite for cello solo (1964)  Winter Words, 3. Wagtail and Baby (1953).  Gloriana, 5. first Lute Song (1977), pg. 85, 86, 87.  The turn of the screw (1957), p. 36, 39.  • Cassidy, Aaron

The Relief of Construction (1997), p. 41.  • Crumb, George

Echoes of time and the River (1967), p. 11.  • Davies, Peter M.

Piano Sonata (1981), pg. 6.  • Dutilleux, Henri

Ainsi la Nuit (1976), p. 11.  • Fedele, Ivan

Corrente, p. 2  Modus (1988), p. 5.  Arcipielago Mö bius (2004), p. 8.  • Ferneyhough, Brian

Carcere d´Invenzione I (1982), compases 61-62, 149-150.  Carcere d´Invenzione III (1986), compases 11-12, 13-14, 15-16, 16-17, 32-33, 52-53, 83-84.  Chronos- Aion (2008), p. 6.  Drum-Transisset I (2006).  Shadowtime (1990-2004), p. 168, act III, p. 2.  String Quartet 5 (2006), c. 159.  The doctrine of similarity (2001) Dust to Dusk  • Gervasoni,

Irrene Stime (2006), pp. 11, 12.  • Halfter, Cristóbal

Epitafio (2008), p. 24.  • Harvey, Jonathan

Cello Concerto (1990), p. 19, 20, 21, 27. 

18

Body Mandale (2006), p. 46.  Concerto Percussion (1997), p. 60. • Hurtado, José Luis

L´Arditto (2006), pp. 8, 10.  • Ives, Charles

Sonata 2 para piano (1915), p. 12.  Study 23 (1907-1912), pp. 5, 6, 9.  The Celestial Road (1924), pp. 4, 15.  • Jarrell, Michel

Assonance para clarinete en sib (1983), pp. 1, 3.  Modifications (1989), pp. 8, 19, 25, 27.  • Johnston, Ben

String Quartet No. 4  • Kúrtag, György

Messages of the Late, pp. 49, 50.  Quasi una fantasia (1988), p. 21.  • Lach, Juan Sebastián

Chamba de um acorde (2011)  • Lachenmann, Helmut

Concertini (2004) , pp. 80, 90, 91, 98.  Streichquartett II (1989), p. 68.  Tanzsuite mit Deutschlandlied (1979-80), pp. 1, 2, 20, 26, 42, 45, 68, 114.  • Levy, Fabien

Durch (1998), p. 8.  • Ligeti, György

Konzert f ür Violine und Orchester (1990-92), pp. 9, 22.  • Lindberg, Magnus

Feria (1997), pp. 33, 60.  Graffiti (2009), pp. 2, 3, 4, 9, 13, 16, 21.  Gran Dúo (2005), pp. 3, 4, 9, 13, 14.  Piano Trio (2005), pp. 11, 13, 14, 17. 

19

Seht die Sonne (2007), pp. 4, 11, 15, 18, 27.  • López López, Juan Manuel

Cuarteto de Cuerdas nº I (2007), pp. 5, 14, 18, 22, 24, 30, 32, 41, 42, 45, 61.  Un instante anterior al tiempo (2006), pp. 3, 4, 5.  Estudio II sobre la Modulación Métrica (2006).  • Macmillan, James

Veni Veni Emmanuel (1992), pp. 44, 122.  World´s Ransoming (1997), pp. 14, 39, 52.  • Martinu, Bohuslav

Symphony 4 (1945), pp. 54, 83.  Symphony 5 (1946), pp. 85, 104.  • Murail, Tristan

Ethers (1978), p. 18.  Erosion (1976), pp. 40, 62.  La Barque Mystique (1993), p. 93.  • Pärt, Arvo

La Sindone (2005). p. 41.  • Pesson, Gerárd

Recreations Françaises (2001), pp. 23, 46.  • Rautavaara, Einojuhani

Sonata for Basson and Piano, op. 26 (1970), p. 13.  • Saariaho, Kaija

Cendres (1998), pp. 13, 15.  Du Cristal (1989-90), pp. 3, 42.  Io (1986-87), pp. 20, 22, 24, 27, 35, 37, 42, 43.  L´Amour de Loin (2000).  Orion (2002)  • Scelsi, Giacinto

Cinque Incantesimi , p. 18  Concerto for Piano, p. 10.  • Sotelo, Mauricio

20

Wall of Black Light (2006), p. 22.  • Spahlinger, Mathias

Gegen unedlich (1995), compás 247 y 267.   Nah, getrennt (1992)  Furioso (1991-92), pp. 19, 23, 25, 33.  • Staud, Johannes Maria

Violent Incidents (2005), p. 19.  Fur Balint Andras Vargas (2007), pp. 5, 8.  Apeiron (2004-05), pp, 10, 22.  Portugal (2006), p. 4.  • Stroppa, Marco

Tangata Manu (1995), compás 37.  • Takemitsu, Toru

Litany (1990), p. 8.  2. Análisis Dentro del reducido repertorio de obras con uso de MM, hice una selección de las más interesantes para ser analizadas. El criterio para elegirlas fue el siguiente: si presenta más de siete modulaciones que no sean relaciones de 2 a 3 o viceversa, es analizada. En el caso de Elliott Carter analizo dos obras representativas o particularmente interesantes. Cada obra de las cinco siguientes hace un uso particular y muy diferenciado del tempo y la MM. En ocasiones, el cambio de velocidades metronómicas estará ligado a las alturas, en otras prescindirá de ellas. A veces la selección de tempi  parecerá un evento fortuito y en otras claramente planeado. La variedad de aproximaciones impide establecer un sistema analítico absoluto por lo que adecuo la estrategia de análisis para cada caso específico. 2.A. Primer Cuarteto de Cuerdas de Elliot Carter

El Primer Cuarteto de Cuerdas de Elliott Carter fue compuesto a lo largo de 1950 en uno de los episodios más ricos y novedosos en términos musicales de la vida de Carter. A través de una beca Guggenheim y una subvención del National Institute of Arts and Letters hizo un hiato de un año de su labor catedrática en la Universidad de Columbia para Columbia para dedicarse por p or completo a la composición c omposición de estos magníficos 35 minutos de cuarteto, vanguardistas por la plétora de usos del ritmo.

21

A lo largo de este cuarteto podemos ver un uso muy recurrente de la MM en las obras Carter, en especial en dotaciones de más de un instrumento, que es el cambio simultáneo de subdivisión, ritmo, compás y tempo, para establecer un reino de posibilidades de duración tremendamente vasto que a la vez es claro de entender y fácil de llevar a cabo. Sobre este cuarteto, Carter dijo: “Decidí de una vez por todas  escribir una obra muy interesante para mi, y así decir ‘al demonio’ con el público y también con los intérpretes. Quería escribir una obra que

se encargara completamente de las varias ideas que tenía en ese entonces sobre la forma de la música, sobre la textura y la armonía”.36 Citado por el NY Times dice: “había esperado u na oportunidad así para dar forma a un número de ideas

noveles que había tenido a lo largo de los años anteriores y para trabajar en una composición extensa, el carácter, expresión y lógica que estas ideas parecían demandar. Sentí que constantemente estaba empujando hacia un reino musical inexplorado”,37 siendo el papel estructural que el ritmo organizado

toma una de las más radicales y novedosas. El análisis que aquí muestro hace un recuento de todas las modulaciones hechas en el primer movimiento,  Fantasia. Uno de los rasgos más característicos de este movimiento es que las modulaciones se hacen a través de un conjunto de movimientos rítmicos que implican cambios de compás sumados a cambios de tempo que no son necesariamente dependientes de los otros instrumentos. La modulación numerada 7 en la tabla (compases 49-50) es un claro ejemplo de ello. En el compás 49 el violín I está en un compás de 6/4 agrupado binariamente (como dos grupos de 6/8) y la MM que la viola y el cello realizan entre los compases 49 y 50 ya fue hecha entre los compases 48 y 49, en donde el nuevo pulso es blanca con puntillo 60. Desde el compás 46 el violín II había estado tocando en blanca 60 en 2/2 para facilitar su ejecución de quintillos de corchea. Todas estas agrupaciones de subdivisiones son coadyuvantes para la modulación que se lleva a cabo entre el compás 49 y el 50. La claridad con la que se nota una modulación para cada instrumento es excepcional y ajena a cualquier precedente, sin embargo es tremendamente conveniente. Una vez llegado el compás 50 existen dos tipos de compás y dos tempi distintos.

36

“I decided for once to write a work very interesting to myself, so sa y to hell with the public and with the performers too”.

Mi traducción. Edwards, Allen,  Flawed Words and Stubborn Sounds: A conversation with Elliott Carter, W. W. Norton & Co. Inc., Nueva York, 1971, p. 84. 37 “I had been waiting for just such an opportunity to give form to a number of novel ideas I had had  over the previous years, and to work out in an extended composition the character, expression and logic these ideas seemed to demand. I felt that I was constantly pushing into an unexplored musical realm.” Mi traducción. traducción. Elliot Carter en Kozinn, Allan, “E lliot Carter, Composer Who Decisively Snapped Tradition, Dies at 103” The New York Times, 5 deNoviembre 2012, http://www.nytimes.com/2012/11/ http://www.ny times.com/2012/11/06/arts/music/ell 06/arts/music/elliott-carter-av iott-carter-avant-garde-composerant-garde-composer-dies-at-103.htm dies-at-103.html?pagewanted=all l?pagewanted=all última fecha de consulta, 21 de octubre 2014.

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 Ejemplo 1. Cuarteto de cuerdas No. 1, I, relación de MM

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“Digamos que una parte en tresillos entrará en contra de otra parte en quintillos y los quintillos se desvanecen en el fondo y los tresillos establecen una nueva velocidad...”38 Podemos ya entender que

cada nuevo tempo conduce a nuevos tempi; las decisiones sobre el tempo en este primer movimiento dan muestra de un uso consciente y presente del pulso y todas sus implicaciones. A pesar de los los estudios que pretenden probar la imperceptibilidad de las modulaciones de Carter,39 me  parece que cada cambio de tempo en esta obra obra de Carter se presenta claro al escucha, ya que q ue se  puede distinguir su independencia del pulso general. genera l. Imagino que los estudios en el mismo espíritu que el recién citado deben su existencia a lo extraño y sutil que la MM pueda ser en la música en general. En mi opinión asumen implícitamente a las modulaciones métricas en Carter como mecanismos que atañen a un fenómeno imperceptible, que se aleja de las cualidades sonoras que constituyen a la música, como un mero diseño estructural sin relación con el sonido. Incurren en el error de pasar por alto que la la MM se sostiene en tres sistemas temporales (pulso, subdivisión y compás) simultáneos e independientes, que imbrican una estratificación temporal con amplia riqueza auditiva, compleja a la vez que digerible. 40  Para ejemplificar esta riqueza me permito hacer un recorrido por la totalidad de las modulaciones métricas contenidas en el primer movimiento de la obra que nos atañe que resulta pertinente pero insuficiente  para a discernir sus niveles temporales. Es decir, es cierto que qu e el tempo de 72 es uno u no de los más usados, u sados, que incluso podemos oírla como “tónica” temporal, pero muchas veces es sólo el puente para negra a

90 u otros tempi. En ocasiones el tempo es 72, pero su subdivisión es en quintilos, y dado el contexto de inestabilidad temporal podríamos indicar que es una sección con otro tempo determinante. El diagrama de las modulaciones de este primer movimiento es:

38

“Say , one part in triplets will enter against another part in quintuplets and the quintuplets fade into a back ground ground and the triplets establish a new speed...” Mi traducción. Carter, Elliot, “Shoptalk “Shoptalk by an a n American Composer” Musical Composer”  Musical Quarterly,

vol. 46, núm. 2, Oxford Journals, Londres, 1960, p. 193. 39 Raz, Carmel, the Cart(er) before the the Horse: Hearing Hearing and Perceiving Perceiving Carter´s Metric Metric Modulations, Modulations, conferencia C armel, Putting the  presentada en en Stony Brook Graduate Music Symposium en New Ne w York State University, Stony Brook, Nueva York, 2001, https://www.academia.edu/1701077  _Putting_the_Cart_er_before_the  _Putting_the _Cart_er_before_the_Horse_Hearing_and_Perce _Horse_Hearing_and_Perceiving_Carter_s_Metr iving_Carter_s_Metric_Modulations._  ic_Modulations._ .. Consultado 11 de noviembre de 2014. 40 Término de Clarence Barlow en Lach, Juan S.,  Harmonic duality : from interval ratios ratios and pitch distance distance to spectra and  sensory dissonance, tesis de doctorado, Leiden University, Países Bajos, 2012, p. 29.

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 Ejemplo 2.

Tempi del mov. I, Cuarteto de cuerdas I

2. A. a. Sobre la Estructura de la Obra

Uno de los usos más interesantes de la MM es el nivel estructural que juega en la obra. A partir de  Le Sange d´un poète de Cocteau, Carter adapta las idea de capas de tiempo. Sobre Le Sange d´un poète: “[E]n donde todo el acto onírico está enmarcado por una toma interrumpida en  slow-motion de una

chimenea alta en un lote vacío que está siendo dinamitada. Justo cuando la chimenea empieza a deshacerse, la toma es cortada y la película entera continúa, después de la cual la toma de la chimenea se reanuda en el punto en el que se quedó, mostrando su desintegración en medio del aire, y terminando la película con su colapso en la tierra. Una continuidad interrumpida similar es empleada en el  principio de este cuarteto, empezando con una cadenza  para cello, solo que es continuada por el violín  primero al final. En un u n nivel, interpreto la idea de Cocteau C octeau (y la mía) como estableciendo es tableciendo la diferencia d iferencia entre tiempo externo (medido por la caída de la chimenea, o la cadenza) y tiempo interno onírico (el cuerpo principal de la obra)- el sueño que dura sólo un momento de tiempo externo, pero desde la el  punto de vista del que sueña, un largo trecho.”41 41

“[I]n which the entire dreamlike action is framed by an interrupted slow -motion shot of a tall brick chimney in an empty lot being dynamited. Just as the chimney begins to t o fall apart, the shot is broken off and the entire movie follows, after a fter which the shot of the chimney is resumed at the point it left off, showing its disintegration disintegration in mid-air, and closing the film with its collapse on the ground. A similar interrupted continuity is employed in this quartet's starting with a cadenza for cello alone that is continued by the first violin alone at the very end. On one level, I interpret Cocteau's idea (and my own) as establishing the difference between between external time (measured by the falling chimney, or the cadenza) and internal dream time (the main body of the work) — the the dream time lasting but a moment of external time, but from the dreamer's point of view, a

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La obra está dividida en tres secciones: I  Fantasia, II y III Variations. Sin embargo los movimientos son  attaca y la separación entre ellos es estructuralmente inexistente. Existe un estrato de tempo que une a los tres movimientos, señalado con indicaciones de tempo. Cerca del final de la  Fantasia, se encuentra el  Allegro Scorrevole Scorrevo le que lo une con el segundo movimiento, en donde se genera el adagio que es lo da que inicio al tercer movimiento, Variations, que está generado temáticamente por el final del segundo movimiento. I. Fantasia q = 72

II. Allegro Scorrevole q = 135

Métricamente fluido

III. Variations Adagio

Métricamente estable

Primer motivo asociado a q = 135

q = 120

q = 72

Métricamente fluido

Motivo de q = 135

 Ejemplo 3. Estructura del Cuarteto de cuerdas I

2. B. Segundo Cuarteto de Cuerdas de Elliott Carter

A diferencia del primer cuarteto de cuerdas de Elliott Carter, en el segundo, las MM están organizadas en un marco de tempi recurrentes. Cada instrumento tiene un comportamiento musical particular que mediante intervalos y patrones rítmicos permiten distinguir cuatro lenguajes musicales sobrepuestos. El cello tiene cierta libertad rítmica; la línea punteada en el compás 1 y 5 indica que la frase debe de ser interpretada como un accelerando o ritardando continuo. Los ritmos notados no exigen precisión; sirven sólo como guías para indicar la velocidad relativa de la figura. Estas frases a veces son largas a lo largo de varios compases, otras como en estos ejemplos son bastante cortas. Este dispositivo provee al cello con su propio marco de referencia, liberándolo de cualquier apego a una métrica o pulso. También da a la obra un grado agregado de flexibilidad, en contra de la fluida textura creada por el uso de la MM y del lenguaje rítmico estratificado. Cada uno de los cuatro movimientos está protagonizado por un instrumento. La introducción reparte  papeles de manera equitativa. El primer movimiento  Allegro fantastico, Cadenza for Viola  está  protagonizado por el violín I. El segundo movimiento m ovimiento Presto scherzando, Cadenza for Cello el violín II

long stretch”. Mi traducción. Elliot Carter en Bernard, Jonathan W., “String Quartets Nos. 1, 1951, and 2, 1959", Collected  Essays and Lectures, Lectures, 1937-1995, University of Rochester Press, Rochester, Nueva York, 2006, p. 76.

29

es el protagonista. El tercer movimiento  Andante espressivo, Cadenza for Violin I , está centrado en la viola y el cuarto movimiento Allegro, es del Cello. Cada uno de los instrumentos es enfatizado en uno de los movimientos y en una cadenza a excepción del violín II, que no tiene una cadenza, pero es ampliamente usado en la coda. Las relaciones creadas a  partir de las jerarquías instrumentales de cada movimiento crean un interés dramático. No hay pausas entre los movimientos y las distinciones entre ellos son muchas veces diluidas, manteniendo una fluidez entre una idea y otra. En los primeros tres movimientos, los tres instrumentos subordinados imitan (siempre dentro de los limites establecidos por Carter para cada instrumento) el movimiento del instrumento principal, complementando sus ideas. Carter utiliza un número limitado de tempi en la obra, creando reinos distintos de tempo que pueden ser claramente delimitados. Por lo tanto estos reinos pueden ser inferidos de la misma forma en la en que uno se puede referir a tonalidades cuando se trata de melodías. La secuencia de eventos que se desarrolla en la introducción del cuarteto demuestra el proceder de Carter. El tempo para los primeros diez compases es 105, a pesar de que nunca se articula claramente una negra en estos compases. En el cuarto compás, el violín II toca un patrón estricto de corcheas con  puntillo. Estas figuras en un tempo de negra 105 que representa un pulso de 140. El segundo violín continúa tocando esta figura a lo largo de los compases 6 y 7. En los compases 8 y 9 toca si-4 junto con re-5 por seis tiempos, que son exactamente ocho tiempos de corchea con puntillo. En los compases 9 y 10 en los otros tres instrumentos el pulso de 105 se vuelve claro por primera vez, para ser inmediatamente desvanecido por la reaparición de las figuras del violín II. En el compás 10, los pulsos de 140 se vuelven la nueva negra para hacer una modulación 3:4. El segundo violín se mantiene imperturbable y ahora toca las nuevas negras. Obviamente el nuevo tempo de 140 ha sido anticipado y  preparado por el violín II. Con la llegada del de l nuevo tempo (140) ( 140) el violín II toca por dos compases y  para. En este punto pu nto la viola comienza c omienza a presentar el pulso de una u na negra ligada a una semicorchea, sin que llegue a ninguna consecuencia, pero reaparece en el compás 19 en la parte del cello. En 140 el  pulso de un u n cuarto ligado a una semicorchea sem icorchea es 112, que es el e l tempo al a l que se llegara en el compás c ompás 29. En el compás 17 la viola y en el 21 el violín II tocarán el pulso original de 105. En este punto se encuentra un tempo utilizado anteriormente (105) y un tempo que será utilizado posteriormente. En el compás 24 el violín I presenta el pulso de 46.7, casi la mitad de 93.3 que será el pulso de la viola y el cello en la cadenza. A lo largo de los compases ya expuestos se presentan relaciones basadas en la memoria, así como conexiones en el nivel de presente sicológico. Los pulsos de 105 (210) 112, 140(70 y 280) y 93.3 con la adición posterior de 84 y 175 forman los únicos pulsos recurrentes en la obra(60 y 163.3 son

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empleados muy brevemente). A diferencia del Primer Cuarteto los tempi  son explorados  profundamente. Carter limita el número de pulsos empleados, posiblemente para enfatizar su recurrencia y hacer las relaciones más perceptibles. Es un uso increíblemente consistente y coherente de la manipulación del tempo y una parte integral de la obra. Aún más sorprendente es el rol del violín II dentro de la construcción como una especie de metrónomo. En la introducción el violín II entra con un pulso de 140 y continua en el a lo largo de toda la obra (o un  pulso a la mitad, 70 o al a l doble 280). Por ejemplo cuando el pulso pu lso común c omún es e s 93.3 el segundo segu ndo violín se mueve en tresillos de negra, que en este contexto tiene una velocidad de 140. De la misma manera que las corcheas con puntillo al principio de la obra. Cuando el pulso común es 175, el segundo violín se mueve en unidades de una negra ligada a una semicorchea, (5/16), que es de nuevo 140. Esta relación es explotada en el segundo movimiento que es el que protagoniza el violín II. El movimiento comienza con un pulso de negra 175. El violín II se mueve con la figura de negra ligada a semicorchea. Debajo de su parte se alterna la notación rítmica, encuadrando al violín II en 4/4 conduciéndose a través de negras y corcheas, indicando que es el tempo  base. El violín II procede a transformar el pulso común a negra 140 pero pronto el tempo regresa a 17. Este ir y venir domina el movimiento e ilustra la relación básica del violín II con el resto de los instrumentos, manteniendo un tempo único y estricto, sin importar si los otros toman parte en ello o no.  No solamente funciona como un moderador en un nivel local, también sirve en el nivel más amplio como la representación y definición de un tempo externo sobre el cual otros tempi pueden circundar y relacionarse. En el tercer movimiento, las distinciones entre instrumentos se empiezan a resquebrajar, ilustrado por el intercambio de los intervalos característicos entre la viola y el cello al principio del movimiento. El violín II empieza a ser tratado de manera más libre en este movimiento, un reflejo de la influencia de la expresividad característica de la viola que domina el movimiento. Significativamente el movimiento entero tiene 70 como tempo principal. así que el violín II permanece en su tempo característico, aunque no tratado de forma tan estricta como anteriormente. Es sólo hasta el cuarto movimiento que abandona totalmente se reino temporal y su rol como metrónomo para unirse a los otros instrumentos. En la coda el violín II regresa a su pulso constante de 140. Esta sección, como el principio de la introducción tiene un tempo de 105. El violín II usualmente en pizzicato retiene el elemento de cooperación, cuando sus motivos iniciales y finales son tocados por otros instrumentos. Cuando esto es tocado se hace en el tempo de 105. El pulso de 140 en el violín II es constante en la coda. Igual que en la introducción, el violín II se mueve mueve típicamente en corcheas con puntillo, tocando tocando un pulso de 140 contra el básico de

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105. Al final de la obra el violín II y el pulso de 140 tienen la última participación, ya que el pulso  permanece en 105 hasta el final. Esta ligera ambigüedad ambigüe dad de tempi es representativa de la obra entera. 2. C. Reliquary, movimiento I de Dum Transisset  de  de Brian Ferneyhough

 Dum Transisset  es   es un cuarteto de cuerdas compuesto en 2006. Este análisis se ocupa únicamente del

 primer movimiento de este cuarteto por ser el que se enfoca en la MM.  Reliquary  busca el tránsito entre tempi  sutilmente distintos, conducidos con la idea de hacer casi

imperceptible el tempo y su cambio, rodeándolo de figuras irregulares y tuples anidados. Su uso de la modulación es semejante al que hace Carter en las obras aquí analizadas, respecto a que la MM se encuentra perceptualmente en un plano secundario, detrás de la armonía, el timbre, etcétera. A la vez tiene un rol muy presente en cuanto torna al ritmo y a la fluctuación de eventos sonoros en algo activo. Cada tempo se convierte en una distancia, en un plano apenas distinguible del anterior, donde la dificultad para discernir el cambio entre tempo y subdivisión o para precisar el momento o duración de la modulación es increíblemente alta. Aún así, la sensación del tempo como un organismo vivo, está  presente a lo largo de todo el movimiento; más claramente en los últimos nueve compases. Respecto a la MM este primer movimiento de  Dum Transisset   puede ser divido en dos partes; una constituida por un ir y venir entre veinte tempi  delimitados por 49 y 84 bpm , sin que se le preste atención especial a un tempo específico; y la otra donde a partir de 60 bpm usa proporciones emparentadas al sistema tonal hasta alcanzar el pulso más rápido de la obra (120 bpm)para  posteriormente desacelerar proporcionalmente proporciona lmente en una relación de 6 a 5.

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 Ejemplo 4. Dum Transisset, I, tempi

El particular grupo de tempi que Ferneyhough utiliza está organizado con el fin de lograr una compacta densidad de velocidades métricas, en especial las que van del compás 1 hasta el 50, siendo 49 bpm la más lenta y 90 la más rápida. Allí, dibuja una escala de 21 tempi sumamente cercanos que denotan una clara decisión compositiva. Estos no son tempi dejados al azar. La elección particular del orden en que estos tempi son utilizados no tiene una lógica muy clara, aparte del vaivén más o menos periódico entre rápido y lento como la gráfica anterior muestra.

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Los números contenidos en la siguiente lista son los tempi ordenados y sin repeticiones. El denso entramado de estas velocidades muestra un ámbito temporal muy específico. 1. 49 2. 50 3. 51 4. 53 5. 54 6. 55 7. 57 8. 59 9. 60 10. 61 11. 62 12. 64

13. 67 14. 68 15. 70 16. 71 17. 72 18. 75 19. 84 20. 85 21. 88 22. 90 23. 103 24. 120

 Ejemplo 5. Dum Transisset, I, tempi reordenados

Para modular, Ferneyhough hace uso de una subdivisión tocada por al menos un intérprete y es utilizada como pivote hacia el nuevo tempo. Si bien el cálculo de la modulación resulta complejo, no es imposible ya que siempre lo hará a través de una figura ya interpretada en el compás precedente al cambio de tempo. Un detalle que ejemplifica una decisión del compositor sobre el cambio de tempo ocurre en la modulación entre los compases 10 y 11. Como la relación indica, 5/4 del tempo 51 llevan al tempo 62. Sin embargo 51 x 5/4 es igual a 63.75 y Ferneyhough redondea la cifra hacia abajo de manera notable. En casi todas las modulaciones de este movimiento los puntos decimales de las modulaciones se redondean al entero más cercano, sin embargo este ejemplo se sale de la norma. Parece que este tempo es más relevante que el resto ya que ocurre en tres ocasiones distintas y se sitúa casi en el centro de la tabla de velocidades. Sin embargo no podemos afirmar que sea estructuralmente más importante que cualquiera de los otros tempi ya que no tiene ningún parámetro que identifique su relevancia. Esta partitura contiene algunas erratas que si bien son irrelevantes en el esquema general, parecen indicios de lo novedoso o inusual que resulta la MM para editores (Peters Editions en este caso) y compositores. Por ejemplo, en la modulación del compás 5 al 6,

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donde dice que una corchea de sietillo mas una semicorchea de la misma subdivisión serán iguales a la nueva corchea de 84(ejemplo 6). 60 a 84 es una relación de 5 a 7, por lo que hubiera necesitado notar una fusa de sietillo sumada a la corchea de sietillo para llegar al tempo indicado. Encontramos ejemplos semejantes en las modulaciones entre los compases 9-10, 25-26, 26-27 y 30-31, a veces errores de dedo, otras errores de cálculo. D. Estudio II de Estudios sobre la Modulación Métrica, de José Manuel López López

Desde el concepto de hacer un estudio de la MM, a las astutas herramientas que esconden costuras entre modulaciones, es una obra sin precedentes que se desenvuelve en una positiva tensión entre técnica y poética. La obra podría ser escuchada como tres momentos distintos(sección de modulaciones, c. 1-147, sección de trémolos, 148-174 y sección de acelerandos y desacelerandos, 175-292).

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   i   p   m   e    t   e    d   n    ó    i   c   a    l   e   r  ,    I    I   o    i    d   u    t   s    E  .

   7   o    l   p   m   e    j    E

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Sin embargo, la partitura ofrece una lectura alternativa, donde las modulaciones métricas son el eje de la primera sección y los cambios de tempo graduales el centro de la segunda. El interés de elegir un enfoque sobre otro está relacionado con la sutilidad que López López logra al casar líneas rítmicas con modulaciones. Habrá secciones claramente distinguibles para el oído, que no lo son para el ojo y viceversa. En este caso elegí tomar a las modulaciones métricas como elemento estructural y así la obra se divide entre cambios de tempo (cc. 1-142) y cambios de pulso de las partes individuales bajo el mismo tempo (c. 143 hasta el final). Sección 1, compases 1 a 142 13 modulaciones conforman esta sección, un total de 14 tempi, de los cuales 11 se repiten. En una perspectiva schenkeriana que jerarquiza el papel de cada acorde de acuerdo a la dirección de la melodía y a su papel estructural podemos ver los ver los tempi esenciales son seis que se repiten en espejo, los tempi secundarios son dos y no tienen reflejo(ejemplo 8).

 Ejemplo 8. Estudio II, espejo de tempi

Sin embargo, después de este discernimiento sobre la estructura de la obra, el criterio para la elección de tempi no es evidente. En ocasiones parece que estas modulaciones son derivadas de proporciones tonales como el intervalo de quinta (3/2) y de cuarta (4/3), pero no se sostienen a lo largo de toda la obra, ni siquiera nos encontramos en un contexto tonal transpuesto al ámbito rítmico. Otras posibles explicaciones subyacen, sin que ninguna sea totalmente pertinente. Para obtener un análisis más completo conjugo tres perspectivas: proporción/distancia, dirección y percepción, basado en el criterio de que existe un claro contrapunto entre ellos.

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La dirección es el tempo que transita de 75 a 118 y de regreso a 75. Modulación por modulación, el pulso se aleja de su centro hasta llegar al punto proporcional más lejano en la estructura y regresar al tempo inicial por un camino más directo. 13 modulaciones y en la novena encontramos el centro del espejo de velocidades métricas, antecedido por 8 modulaciones y sucedido por 5, que en términos clásicos puede entenderse como el punto climático de un desarrollo. Aquí la dirección es clara, sin embargo no podemos explicar a los tempi como meros pasos obligatorios  para ir del principio pr incipio al clímax, c límax, ya que no se sigue una línea directa de 75 a 118 (que puede ser lograda en tres operaciones), sino que se rodea por un camino mucho más interesante. La perspectiva de las relaciones proporcionales entre los tempi  esclarece un poco más la explicación anterior, ya que la elección de 118 como tempo estructuralmente relevante tiene mayor sentido si se entiende como la proporción más lejana de 75, 63/40, cumpliendo la función de un segundo criterio. También explica de mejor manera la existencia de tempi como 70.3125 (notado en la partitura como 70) ya que en relación a 75 es 15/16, que es la misma misma relación que existe entre sensible y tónica. Es claro que no nos encontramos en un contexto tonal, pero la obvia relación entre proporciones tonales y las que López López utiliza deben de ser conscientes. ¿Cuál es el propósito de usar proporciones tonales sin un contexto tonal? Es posible que la la proporción 15/16 en esta esta obra haya sido fortuita, resultado de un buen sentido musical, pero también puede ser explicado en la perspectiva perceptual, ya que como se verá en el capítulo IV cualquier cambio de tempo mayor a 6% es claramente discernible. Este cambio (75 a 70.3125) es ligeramente mayor al 6% y posiblemente juegue un papel de un impostor del tempo inicial, un tempo que trata de engañarnos haciendose pasar por uno muy cercano a 75 pero discerniblemente distinto. Esta conjunción de perspectivas permite comprender mejor las razones detrás de los tempi. Es así que podemos ver a 70.3125 como una transmutación de 75 (percepción), como un paso intermedio hacia 105, o la mitad de 140.625 (dirección), que es a la vez la "sensible" de 150, el doble del tempo inicial o la octava de la tónica (proporción) si se quiere ver así. Otro tempo notable bajo esta triple perspectiva es el de corchea igual a 157.5 entre los compases 75 y 76. Después de la modulación, en el compás 80, el pulso cambia de octavo a cuarto, y el tempo escuchado de 157.5 a 78.75. Esta región del tempo tempo (70-80 bpm) como se verá en el capítulo IV, es señalada en términos perceptuales como la más "natural" para el humano, con cualidades como mayor discernimiento de sus contenidos y memorización de sus partes, y es aquí donde el compositor decide realizar el primer unísono de las cuatro voces tocando el "tema" principal, que es un grupo de tres dieciseisavos, creando un énfasis a través de la percepción sobre un gesto rítmico. Esta sección de 157.5 es también la más larga antes de la sección regida por tempo 100 (que es estructuralmente relevante por su tempo y su contenido) y la inmediata anterior a la de tempo 118, resaltando su

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importancia estructural sobre la dirección. Las explicaciones para cada tempo y modulación habitan recurrentemente este ámbito de triple criterio y en ocasiones, como la citada, responden satisfactoriamente a los tres. A pesar de la gran coherencia que la obra sostiene de principio a fin, existe un número de "temas" o comportamientos rítmicos rítmicos únicos e independientes de su entorno. Todos los "temas" comparten características esenciales; son fundamentalmente grupos de pulsos regulares, que tienen más similitud con notas tenidas que con melodías. Un ejemplo de ello es un grupo de seisillos, que toca cada uno de los pulsos de su figura, sin añadir subdivisión ni tuple anidado. Partiendo de estos elementos comunes que todos los "temas" poseen, esta primera sección contiene 7 distintos, articulados con modulaciones a veces discretas y otras claras y presentes.

Compás

Gesto Rítmico

1

Aceleración rítmica

2-14

Ritardando escrito

15-19

Modulación ajena al “tema” anterior y posterior  posterior 

20-26

Establece el compás escuchado de 4/4 y acentúa las semicorcheas en un  patrón acelerado de 6 hasta 3. Este pulso de tres semicorcheas semicorcheas acentuadas será visto a lo largo de toda la obra.

Sección

A

C

27-35

Introduce un pulso de quintillos que no conduce a modular, un posible señuelo de cambio de tempo

36-41

Subdivisiones Subdivisiones distintas cada negra

D

42-58

Grupos de subdivisiones distintas distintas

E

59-61

Modulación

62-75

Subdivisiones Subdivisiones distintas simultáneas

G

76-104

Presenta el mismo tema que introdujo i ntrodujo en C (tres semicorcheas) e introduce i ntroduce otro hecho de fusas que van desde 1 fusa hasta 9.

H

105-111

Vuelve a establecer el compás de 4/4.

112-123

Modulación con “tema” de desarrollo

124-142

Se encamina a modular a 100 bpm

143-147

Establece 4/4

I

Ñ

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Compás

Gesto Rítmico

148-174

Sección de pulsos separados por un compás seguido de trémolos

175-194

Grupo de ataques rápidos, provenientes del grupo de trémolos anterior

195-210

 Accelerandi mesurados

211-217

 Accelerandi no mesurados

218-238

Juego de unísonos rítmicos en tresillos con voces con partes divergentes divergentes

239-247

El pulso anterior de tresillos se convierte en un accelerando ac celerando mesurado hasta generar un nuevo pulso.

248-253

Juego de unísonos rítmicos en semicorcheas con voces con partes divergentes

254-256

Preparación de la modulación modulación y modulación generada por el tema anterior

257-259

escrit o y modulación  Ritardando escrito

260- 274

Grupo de 6 modulaciones modulaciones para alcanzar el pulso más rápido

276 al final

Compás escuchado de 4/4, “ tema”, cuatro subdivisiones simultáneas, ritardandi  escritos y ataques finales.

Sección

O

P Q, R, S, T, U V

 Ejemplo 9. Estudio II, relación de temas con compases

Uno de los usos más creativos e intrínsecos de la MM que López López hace es la disolución de límites entre modulaciones métricas y ritmos. Por ejemplo, cuando llegamos al compás 42 han habido cuatro modulaciones métricas a través de subdivisiones no binarias, como tresillos o quintillos. En ese momento inicia una secuencia de ritmos rápidos en subdivisiones de cinco, seis, siete y ocho. El autor  juega con la expectativa de la modulación al introducir seisillos, quintillos, sietillos y fusas, acumulando la tensión de la posibilidad de cambio de tempo con cada nueva subdivisión, ya que nos había anunciado que cuando las subdivisiones no binarias llegan, la modulación está cerca. Es hasta el compás 58 que permuta el tempo de cuatro a tres, sustituyendo la blanca por negra con puntillo, desacelerando el pulso escrito pero preservando el escuchado. Los 16 compases anteriores camuflaron la modulación, que sólo es percibida como tal hasta el compás 61 cuando las fusas son agrupadas de forma binaria, después de haber sido agrupadas ternariamente en el compás 57, 59 y 60. Despliega las cuatro subdivisiones de un tempo (2, 3, 5 y 7) y sus múltiplos (4, 6, 9 y 10) y en el momento adecuado toma una de estas subdivisiones como su nuevo centro. Adoptará esta manera de modular como método  principal a lo largo del estudio.

40

Sección 2, compases 143 a 292 La característica fundamental del cambio de sección es la inclusión del ritmo no mesurado. A partir de este momento los tempi  y sus modulaciones ya no estarán ligados a un "tema", como en la sección  primera, sino que la exploración de juegos rítmicos que se deslizan entre lo mesurado y lo libre será lo que determine su dirección. A diferencia de la precedente, esta sección no puede ser delimitada en  partes de manera precisa, ya que un u n "tema" o comportamiento rítmico se funde en el siguiente s iguiente y así por los 149 compases restantes. Sin embargo dentro de esta coherencia, hay estadios claramente discernibles (Ejemplo 9). En el compás 142 se modula a tempo 100 y este tempo permanece por 52 compases hasta modular a tempo 94 en el compás 195. Este sutil cambio de tempo (100 a 94) puede ser interpretado como una conjunción de dirección y percepción. Al momento de la modulación el comportamiento rítmico de las partes individuales dibuja un accelerando, que mediante la ligera aceleración del tempo resulta más dramático. Esta MM responde también al criterio de la percepción  porque un cambio de tempo del 6% (100 a 94) es la diferencia diferenc ia mínima perceptible para el humano. Aquí López López parece retar a quien lo escucha a alcanzar su límite perceptual con la MM más estrecha de toda la obra. Los últimos cinco tempi (94, 141, 176, 88 y 132) mantienen la misma relación  proporcional que los primeros cinco y son similares temáticamente al compás 20 que contiene la  primera aparición del tema central de la obra.

 Ejemplo 10. Primero cinco y últimos cinco  tempi

unidos por las mismas proporciones en Estudio II.

Después de esto la obra concluye con un rallentando que diluye la presencia del tempo hasta el silencio. Esta obra es un ejemplo de forma y contenido, que mediante criterios musicales posiblemente fundados en la percepción, estructura temas rítmicos de forma orgánica con el esquema general de la obra. Los cambios de tempo no sólo producen una sensación visceral al escapar a la expectativa musical, también poseen una lógica estructural clara. En esta relación de lógica estructural y sensación visceral la MM funciona como la tensión fundamental entre tempo estable y cambio.

41

2. E. Silbury Air de Harrison Birtwistle B irtwistle

Silbury Air   para ensamble de cámara, fue escrita en 1977 y revisada en 2003, en cumplimiento a la

comisión hecha por la  London Sinfonietta. En esta obra el tempo y su modulación tienen una importancia central. Ejemplo de ello es  Pulse Labyrinth, hoja preliminar a la partitura que muestra cuatro tablas con quince tempi  cada una.42  Como nota complementaria a la partitura, Birtwistle menciona que “El laberinto de pulsos( pulse  pulse labyrinth) [...] no está destinado a ser una ayuda al director.

Mas bien, da una indicación de la lógica composicional detrás de las relaciones de tempi  en esta obra”.43  Birtwistle concibió este mecanismo composicional como un sistema que permite regular el

flujo de la música a través del tempo y su MM. El  Pulse Labyrinth es un laberinto auditivo que de la misma forma que uno físico, la forma completa elude al entendimiento de quien lo camina o escucha. Sin embargo el análisis a vista de pájaro esclarece su forma y muestra las decisiones composicionales que la construyen. Las relaciones proporcionales entre cada tempo y cada tabla contenidos en  Pulse Labyrinth, tienen  paralelismo con la proporciones tonales. Por ejemplo entre la columna A y B de las cuatro tablas (ejemplo 10) la relación de 4/5 es la misma que la de tercera mayor, entre B y C de 3/4 (cuarta justa), entre C y D de 4/5 y entre D y E de 3/4. 3/4. Las relaciones entre las filas a y b son de 3/4 y entre b y c de 4/5.

 Ejemplo 11. Silbry Air, relación de tempi

42 Ver apéndice 1. 43

The Pulse Labyrinth [...] is not intended as a conducting aid. Rather, it gives an indication of the compositional logic behind the interrelationships of tempi used in the piece. Mi traducción. Nota de programa de Silbury Air. Birtwistle, Harrison. Silbury Air. 2003, Universal Edition, Londres, Reino Unido.

42

Las relaciones proporcionales entre las tablas es:

 Ejemplo 12. Silbury Air, Relación de tablas

Las proporciones entre las cuatro tablas son las mismas que existen entre tónica, supertónica, dominante y sensible. Si aceptamos el paralelismo con la tonalidad, podemos entender a la tabla I como tónica y al resto de las tablas como las tres notas que forman el acorde de dominante. Las MM en esta obra están agrupadas de acuerdo a las tablas. Por ejemplo, la primera modulación se encuentra en la tabla III, ya que sólo esta tabla contiene un cuarto = 90 y un cuarto = 120. A través de 120, el tempo transita a la tabla I ya que las cuatro modulaciones siguientes solo se satisfacen allí. El resto de las modulaciones se da de igual manera. No. de modulación

No. de Tabla

Paralelismo Tonal

No. de ensayo

1

III

Dominante

1

2-5

I

Tónica

2-4

6-20

II

Sensible

5-13

21-28

III

Dominante

14-23

29-30

IV

Supertónica

24-25

31-33

II

Sensible

26

34-38

I

Tónica

27-39

 Ejemplo 13. Tabla de relación de tempi y funciones tonales

43

Esta organización parece señalar una estructura tonal de gran magnitud, y aún siendo imperceptible, subyace a la obra entera. En el recuento de los tempi  que conforman al laberinto de pulsos se encuentran algunos presentes en las cuatro tablas y otros sólo presentes en una. Es a través de estos tempi comunes que Birwistle permuta de tabla o región temporal. Una de las cualidades para que estas

regiones temporales pasen desapercibidas por el escucha, es la similitud entre ellas. Si las tablas del laberinto de pulsos mostraran relaciones de tritono(11/8), quinta(3/2) y séptima mayor (15/8),  posiblemente resultaran más distinguibles. Estos paralelismos con la tonalidad sólo describen el orden de grupos de pulsos y no de MM individuales. La estructura interna de la obra se compone de por lo menos cinco temas básicos que  permutan el orden de aparición y modifican sus características musicales, variando la orquestación, la disposición de sus eventos internos o fusionando varios temas simultáneamente. Cada tema tiene una identidad propia derivada de una orquestación, tempo, altura y ritmo específicos. El primero y principal es:

 Ejemplo 14. Tema

principal de  Silbury Air 

Con tempo q=90 este tema se presenta tres veces en su forma original y al menos menos otras seis en una forma variada. En su primera aparición (c. 1-19) permanece en tempo 90 hasta llegar a una sección de transición entre el primer y segundo tema. Esta sección delimita su principio y fin con MMs que llevan el tempo original de 90 a 120 para terminar en 96 y presentar al segundo tema:

 Ejemplo 15.Segundo tema

44

Cada uno de los seis temas mencionados (Primero: c.1-19, segundo: c. 28-31, tercero: 32-45, cuarto: 55-59, quinto: 205-240, sexto: 275-300) delimita su principio y final con n cambio cambio de tempo sin un  patrón aparente.

 Ejemplo 16a. Tercer

tema

 Ejemplo 16d. Sexto tema

 Ejemplo 16b. Cuarto

tema

 Ejemplo 16c. Quinto tema

A excepción del primer tema, cada uno de los cinco restantes están determinados por un set de alturas cromáticas adyacentes, que como Michael Hall explica se distribuyen simétricamente a partir de la nota mi unísono del primer tema. A partir del número de ensayo 1, la nota mi unísono se transforma en dos sets de alturas, uno para alientos y el otro para las cuerdas.

 Ejemplo 17 . Dos sets de alturas

Después de un par de compases, mediante un largo acorde, re natural y fa sostenido se convierten en el centro de la simetría para crear dos nuevos sets simétricos:

 Ejemplo 18. Dos sets simétricos de alturas

Los temas continúan desarrollando este patrón de alturas hasta que el tema central aparece de nuevo  para reanudar el ciclo. 44 En la siguiente gráfica podemos observar la relación que cada tempi tiene con cada tabla, haciendo de los 60 tempi iniciales, 20 tempi con relaciones comunes. 44 Moriarty,

Construction and Proliferation Proliferation of material material in relation to Pitch Pitch in Harrison Birtwistle’ Birtwistle’ss James,  Analysis of the Construction Silbury Air, en http://jamesmoriarty.net/SilburyAir.pdf . Consultado en diciembre del 2014.

45

Los números romanos son las tablas del laberinto de pulsos y los números arábigos los tempi. En esas relaciones podemos observar que 72 y 120 están presentes en las cuatro tablas, mientras que 401/2 y 322/3 sólo están contenidos el la tabla IV.

 Ejemplo 19. Silbury Air , conexiones de tempi

46

Capítulo III Coincidencias y Disidencias

MM y Modulación Tonal “Es debatib le

el poco interés que hay en retener estructuras rítmicas regulares iterativas en un

contexto estilístico estilístico vacío de patrones armónicos tonales. Muy seguido la presencia de tales patrones es una característica negativa y falla en satisfacer niveles elevados de funciones referenciales.(...) Algunos compositores han intentado sobreponerse a estos problemas recurriendo a especies de relaciones proporcionales más o menos complejas, y no hay duda que se puede hacer mucho para extender esta forma de perspectiva a áreas aún más desarrolladas” 45

Como ya ha sido escrito, el término MM está inapropiadamente nombrado. Lo inexacto radica en decir métrica, cuando se quiere decir tempo. Progresivamente el desarrollo de las ideas aquí propuestas me sugirió que este misnomer  incluía  incluía ambas palabras del término. La palabra “modulación” describe correctamente el uso de la MM en sus orígenes, pero sus

 posibilidades se s e circunscriben c ircunscriben en un reino mucho más amplio y permisivo que si bien es semejante al tonal, es original en sus principios y alcances. El entendimiento de la MM como procedente de la modulación tonal nos indica la dirección adecuada  para comprender nociones de la primera, sin embargo si se desea comprenderla cabalmente es necesario concebirla como una herramienta independiente. Comparativamente, los procedimientos y elementos constitutivos de ambas modulaciones son semejantes ya que los aspectos tonales tienen potencialmente la capacidad de ser transpuestos y adaptados los tonales a los aspectos métricos. Sus orígenes históricos son radicalmente distintos, incluso podríamos decir que la MM nació en el deceso de era tonal, lo cual permitió a la primera no supeditarse a un sistema, como la modulación tonal hizo. Las modulaciones métricas requieren de procedimientos para acceder a distintos tempi, y 45

“There is arguably little point in retaining regular iterative rhythmic structures in a stylistic context devoid of tonal [...]

harmonic patterns. Very often the presence of such patterns is a negative feature [...], and fails to fulfill higher-level referential referential functions. Parallel to this, we confirm that metric structuring structuring has been largely forced to cede its agogic orientation orientation role and, in consequence, has been downgraded to a “time- keeping” function. Some composers have attempted to overcome these problems by recourse to more or less complex species of proportional relationship, and there is no d oubt that much can be done to t o extend this form of mise en perspective into still further- developed areas” Mi traducción. Ferneyhough, Brian, “Duration and Rhythm as Compositional Compositional Resources” en Boros, James y Toop, Richard, Brian Richard,  Brian  Ferneyhough: Collected Writings, Writings, Routledge, Nueva York, 1995, p. 51.

47

una vez que estos procedimientos (encontrar duraciones comunes e incorporarlas a la partitura) son efectuados, es posible expandir su alcance hasta puntos que la modulación tonal no alcanzó. Es decir, que las cualidades de la modulación tonal pueden ser transpuestas a la MM pero las de la MM no  pueden ser transpuestas a la tonal. eintro tabla Modulación Tonal

Modulación Métrica

Tonalidad inicial

Tempo inicial

Tonalidad final

Tempo final

Pivote

Duración común

Alteración

Cambio de denominador

Tonalidad vecina

Tempo vecino

Enarmonicidad

Re-interpretación Re-interpretación Métrica

Tonización

Micro-modulación

 Ejemplo 1. Relación entre MM y modulación tonal

El tempo inicial y el tempo final son el mismo objeto que tonalidad inicial y tonalidad final ya que establecen las regiones de estabilidad que preceden y suceden a la modulación. Son los puntos de referencia al cambio de velocidad. Sin embargo, como se verá más adelante, no son absolutamente necesarios para la MM ya que pueden formar parte de una modulación más compleja que hace apoyo en tempi intermedios para acceder a tempi proporcionalmente lejanos al tempo inicial. Las duraciones comunes o pivotes en la MM funcionan como puentes entre dos tempi distintos. Una duración tendrá entonces dos funciones; una en el tempo inicial y otra en el tempo final. Una sola duración común puede ser suficiente para realizar una MM, pero también es posible realizarla con un conjunto de pulsos comunes entre tempi diferentes entre sí. El cambio de denominador en la indicación de compás, de la misma manera que las alteraciones en el sistema tonal, modifican la región del espectro en donde transcurrirá la música. Un fa sostenido en do mayor anuncia un cambio a sol mayor; un denominador que cambia de 4 a 6 en la indicación de compás anuncia un cambio a tresillos de una subdivisión binaria.46 46 Henry Cowell, en  New

Musical Resources, Resources,  Cambridge University Press, Cambridge, Reino Unido, 1996, p. 56, escribió: “Our system of notation is incapable of representing any except the most primary divisions of the whole note. It b ecomes

evident that (...) new ways of writing w riting must be divised (...) we are a re dealing, of course, not with three-fourth metre, five-four metre, etc., but with a whole note divided into three or five equal parts”. Brian Ferneyhough también usa lo que él llamó

48

 Ejemplo 2. Cambio de compás

De la misma forma que las relaciones de proximidad se dan en la tonalidad, existen factores de   vecinos. En el caso de las velocidades metronómicas, las distancia entre tempi que llamaremos tempi  vecinos.

relaciones más cercanas son los múltiplos de tres como 3/2 o 2/3 que serían el paralelo de dos regiones tonales con notas comunes. Las más lejanas o indirectas serían aquellas que no compartieran  proporciones simples, como 1/2 a 11/10 por ejemplo. La re-interpretación métrica  es el paralelo de la enarmonicidad. Son dos pulsos con la misma duración que dependiendo del tempo en el que se encuentren tienen una subdivisión diferente.

La micro-modulación es un término utilizado por Arthur Kampela 47y Graziela Boretz 48 para describir las subdivisiones

dentro de las las subdivisiones. subdivisiones. No se debe de confundir con un cambio en la la

subdivisión(cambios momentáneos de subdivisión con un pulso nuevo pero que permanecen en el mismo tempo).49

“irrational “irrational time signatures” que están basados en el mismo principio d e Cowell; la subdivisión de una redonda. Dice: “2/10, signifies a bar composed of two beats each of which is equal to one tenth of a s emibreve” (notas para la interpretación de Third String Quartet, Edition Peters, Leipzig, 1992  ). 47  Kampela, Arthur  , op. cit. 7. 48 Bortz, Graziela, “Modulação micrométrica micrométrica na música de Arthur Kampela”, Per Kampela”,  Per Musi, Belo Horizonte, núm.13, 2006,

 p.85-99. 49 Theisen, Alan,  A Multifaceted Multifaceted Approach to Analyzing Analyzing Form Form in Elliott Carter´s Boston Boston Concerto, tesis de doctorado College of Music, Florida State University, Florida, 2010, p. 75.

49

Para ilustrar:

 Ejemplo 4. Parte de trompeta de “...B...” . c. 12. Kampela.

El ejemplo anterior muestra cómo las duraciones son equivalentes entre distintos tipos de subdivisión, teniendo la misma duración y velocidad bajo dos tipos distintos de subdivisión. Comprobación matemática:

De la misma forma que las subdivisiones irregulares simples, las micro-modulaciones permanecen bajo la misma velocidad metronómica, a pesar de ser regidas pasajeramente por un pulso diferente al del  bpm. La micromodulación métrica en conjunción a la MM suma tanto la dificultad interpretativa como la  posibilidad de modulación de ambas amb as herramientas, creando c reando una especie espec ie de matrushka temporal; tempora l; niveles de subdivisión contenidos, subdivisiones que se subdividen para que este segundo nivel de subdivisión funcione como el pivote hacia un tempo que puede ser irracional en relación con el primero.

50

Como se verá en el capítulo IV, subdividir las subdivisiones (nested tuplets50 o tuples anidados) para transitar con éstas de un tempo a otro, abre un número de posibilidades increíblemente alto. También es necesario ser consciente del alto nivel de dificultad que implica para el intérprete. Si suponemos el caso de tener una duración y después inscribir en ella una subdivisión irracional, en el cual se inscribe otra irracional; seguir a ésta con otra duración diferente a la primera, en la cual se nota una subdivisión irracional (de subdivisión distinta de la anterior) en el cual, una vez más se nota otra subdivisión irracional (de subdivisión distinta de la del precedente). Este ejemplo implica una dificultad extrema; sólo la aproximación es posible, pues es necesario pensar en tres planos de tiempo. A mi  parecer no es posible pensar en más de dos, por lo tanto la tercera debe de realizarse de un modo  puramente mecánico o aproximativo. Para interpretarlo es necesario pensar en la duración original, luego calcular la segunda duración en relación con la primera y calcular en seguida la segunda en relación con la tercera. De manera instantánea se pueden realizar las dos primeras operaciones pues la  primera duración se considera como un subdivisión de la segunda. Pero la segunda no puede transformarse sin que condene a la primera a desaparecer. Además, cuando se cambia de valores, es necesario reconsiderar la duración primera y la proporción que ésta mantiene con la segunda, y en seguida recomenzar todas las operaciones precedentes. Se ve entonces que esto, confrontado con las estructuras mentales, es difícil de llevar a cabo. Boulez dice: (...) es suficiente con tomar la relación de la duración de base en su tiempo con el primer irracional, lo que me da cada vez un tempo diferente; en este tempo y siguiendo sus coordenadas unitarias, calculo lo irracional; tengo entonces una sucesión s ucesión de tempi -de estados- subyacentes al cálculo de la segunda pulsación que debo de inscribir allí. (...) en este caso he reducido la operación mental a una sola, a saber, la coordinación de estados sucesivos de tiempos estriados(...)51

Sin embargo, Cowell tenía la creencia de que cualquier subdivisión de tres niveles puede ser tocada con  precisión si un intérprete simplemente dedica quince minutos por día, por cinco meses, a su estudio. 52 Vistos de manera comparativa, la modulación tonal y la MM pueden ser interpretadas como una sola herramienta aplicada a rangos distintos de la percepción.53 En el desarrollo de este trabajo ha resultado 50

Feller, Ross, “Resistant Strains of Postmodernism: The Music of Helmut Lachenmann and Brian Ferneyhough” en Music/Postmodern Thought, Routledge, Nueva York, 2002, p. 259. Lochhead, Judy y Auner Joseph,  Postmodern Music/Postmodern 51 Boulez, Pierre, op. cit.,  p. 73. 52 Cowell, Henry, op. cit.,  p. 64.

51

claro que a pesar de las semejanzas y paralelismos entre la modulación tonal tonal y MM existen diferencias fundamentales entre ellas. Después de analizar Silbury Air , me quedó claro que la MM no implica, ni ocupa una jerarquización de los tempi  ni de las relaciones entre ellos, es decir, no existe un tempo fundamental ni un tempo dominante de la misma forma que existe en el sistema tonal (al mismo tiempo es posible hacer una traslación de funciones tonales a funciones temporales; I a IV o 1/1 a 4/3 54 como vimos en el análisis de Silbury Air ), ), idea que no he encontrado escrita en ningún otro documento. Una diferencia sustancial es que la tonalidad puede cambiar de acorde violando las reglas (do mayor a re mayor sin transición) y aún obtener dos acordes perfectamente afinados. En la MM, se deben de respetar las transiciones y los pivotes a riesgo de obtener un tempo impreciso, indeseado por el compositor o el intérprete. La MM no es una convención; es una herramienta con el propósito de obtener transiciones precisas de tempi específicos y no como un sistema de reglas arbitrarias donde se  puede hacer una transición de una medida de metrónomo arbitraria arb itraria a cualquier otra. La MM es entonces la denominación que se le dio a la técnica compositiva que no estaba intrínsecamente relacionada con la métrica y que con el desarrollo que tuvo a lo largo de seis décadas se vio que tampoco guardaba una relación esencial con la modulación tonal. Estas aclaraciones tienen el propósito de exponer que el término es sólo una convención y como veremos más adelante su nombre no delimita su campo de acción.

53

Stockhausen, Stockhausen, Karlheinz, “...How time passes...” en el vol. 3 d e 1959 de la edición en inglés de Die de  Die Reihe de 1957 , Universal Edition, Viena, pp. 10-40. 54 “[A] given tempo, say M. M. 24, is taken as a base, a tempo of M. M. 48 represents represents the octave, octave, and M. M. 96 the octave higher. The interval of fifth is represented in tempo tempo ratio M. M. 72 [...] the interval of a third by a120 against 96 e tc.” Cowell, Henry, op. cit. p. 91.

52

Capítulo IV Modulación Métrica, Constitución y Expansión

1. Constitución

“La música es un arte de proporciones” 55

“Es como un cuerpo que tiene tie ne vibraciones muy diferentes, la

respiración, el corazón, el cerebro y después el riñón. Todos los ritmos son diferentes. La música ha llegado hoy a la complejidad de ser orgánica” 56 “La música es un ejerc icio

aritmético oculto del espíritu

inconsciente de la enumeración” 57

En las siguientes páginas exploraremos las posibilidades de la modulación empleando conceptos como redes de tempo, micromodulación métrica y procesos iterativos del concepto básico de modulación. Antes de sumergirnos en la materia es pertinente señalar que estos procesos matemático/musicales están plagados de aparentes incongruencias debido a la yuxtaposición de estas dos disciplinas, ya que muchos de los resultados matemáticos resultan innecesarios o superfluos cuando son utilizados en música y viceversa. Así veremos en las tablas siguientes ejemplos de fracciones redundantes como 6:6 y 7:7, que son equivalentes cuando se simplifican. Sin embargo, esta aparente redundancia matemática tiene sentido musical, ya que igualar un seisillo a otro seisillo es completamente distinto a igualar sietillos. Los dos ejemplos siguientes contienen todas las modulaciones posibles empleando un tempo (60 bpm en este caso) y las siguientes figuras:

55

“Music is an art of proportions” proportions” Mi traducción. Andriessen, Louis, en Trochimczyk, Maja, The music of Louis  Andriessen, Routledge, Nueva York, 2002, p. 149. 56 “Sa c´est comme un corps que à des vibrations très different, le souffle, le coeur, le  cerebraux, et puis la rein. r ein. Tous sont rhythmes differents. La musique a arrivé auj ourd´hui a la complexité complexité d´etre d ´etre organique” Mi traducción. Stockhausen,

Karlheinz, en https://www.youtube.com/watch?v=WMZQOI_xPIM 57

“Musica est exercitium arithmeticae occultum nescientis se numerare animi” Leibniz, Gottfried W. en Korthold, Christian, Epistolae ad diversos, Leipzig, Leipzig, 1734.

53

 Negra, corchea con punto, corchea, semicorchea, tresillos, quintillos, seisillos, sietillos, fusas y nonillos.

60bpm

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

1:1 60bpm

2: 1 30

3: 1 20

4: 1 15

5: 1 12

6: 1 10

7: 1 8.6

8: 1 7.5

9: 1 6.6

B

1: 2 120

2:2 60

3: 2 40

4:2 30

5: 2 24

6:2 20

7: 2 17.14

8:2 15

9: 2 13.2

C

1: 3 180

2: 3 90

3:3 60

4: 3 45

5: 3 36

6:3 30

7: 3 25.71

8: 3 22.5

9:3 20

D

1: 4 240

2:4 120

3: 4 80

4:4 60

5: 4 48

6:4 40

7: 4 34.28

8:4 30

9: 4 26.66

E

1: 5 300

2: 5 150

3: 5 100

4: 5 75

5:5 60

6: 5 50

7: 5 42.85

8: 5 37.5

9: 5 33.6

F

1: 6 360

2:6 180

3:6 120

4:6 90

5: 6 72

6:6 60

7: 6 51.42

8:6 45

9:6 40

G

1: 7 420

2: 7 210

3: 7 140

4: 7 105

5: 7 84

6: 7 70

7:7 60

8: 7 52.5

9: 7 46.2

H

1: 8 480

2:8 240

3: 8 160

4:8 120

5: 8 96

6:8 80

7: 8 68.57

8: 8 60

9: 8 52.8

I

1: 9 540

2:9 270

3:9 180

4: 9 135

5: 9 108

6:9 90

7: 9 77.14

8: 9 67.5

9:9 60

 Ejemplo 1. Relación de tempi y proporciones

54

La siguiente tabla muestra las modulaciones que la tabla anterior contiene, mediante las figuras señaladas estas figuras permiten.

 Ejemplo 2. Equivalencias rítmicas de

proporciones proporciones

55

 Ejemplo 3a. MM 3/5

 Ejemplo 3b. MM 4/7

 Ejemplo 3c. MM 8/9

El total de de tempi distintos generados en la tabla es el siguiente: 1. 6.6 bpm 2. 7.5 3. 8.6 4. 10 5. 12 6. 13.2 7. 15 8. 17.14 9. 20 10. 22.5 11. 24 12. 25.71 13. 26.4 14. 30 15. 33.28

16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27.

33.6 36 37.5 40 41.85 45 46.2 48 50 51.42 52.5 52.8 27.5 60

28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42.

67.5 68.57 70 72 75 77.14 80 84 90 96 100 105 108 120 135

43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54.

140 150 160 180 210 240 270 300 360 420 480 540

Resulta obvio que algunos tempi  en estas listas listas son imposibles de interpretar por humanos, sin embargo, es un ejemplo del amplio campo de acción que se obtiene con la relación de dos tempi y nueve figuras musicales.

56

En el ejemplo 1 se muestran modulaciones que son prácticamente iguales, como 4:5 y 7:9 que en el tempo ejemplificado de 60 tienen un bpm de 75 y 77.14 respectivamente, lo cual representa una variación del tempo tempo de 2.8%, que como se verá más adelante, resultan perceptualmente indistinguibles. Sin embargo, existirán razones para elegir un tempo sobre otro, aún con con diferencias tan sutiles. El contexto puede ayudar a determinar la fracción adecuada, dependiendo del tipo de subdivisión de la que se parta y a

bpm

la que se llegue. Otra razón para elegir un cambio de tempo sobre otro con características semejantes podrá ser el efecto acumulativo que ejerzan a lo largo de 10 compases, por ejemplo si se modula a través de 7:9 en compás de 4/4 a partir de negra 60, después de diez compases habrán transcurrido 12 segundos y 14 segundos en 4:5; variación que sin ser especialmente significativa en términos musicales, tiene la capacidad de seguir acumulándose para crear accelerandos mesurados con velocidades distintas. Como ya hemos visto, la duración común entre dos tempi es un factor fundamental para la MM. Cada tempo ofrece un vasto abanico de duraciones, desde las más comunes como negras y corcheas hasta subdivisiones irregulares dentro de irregulares. El uso de nueve subdivisiones  produce 54 tempi  proporcionales al tempo original. En teoría cada uno de los 54 nuevos tempi  conducen a 54 tempi alternativos, con un total de 54² tempi. Si iteramos

el proceso, cada nuevo tempo brinda 54 tempi, que resulta en 54³. Una secuencia de modulaciones como estas, tiene una pauta de crecimiento exponencial, segmentado por el número de iteraciones del proceso. Todos los valores musicales son susceptibles de reordenarse en un tempo nuevo, operando como una  proporción distinta a la original, reorganizando la

Distribución  Ejemplo 4. Distribución  proporcional de de los tempi

57

estructura rítmica de la obra. Tal situación puede ser presentada así: q = 75 (800 ms.) y q = 90 (666.667 ms.) comparten al menos un pulso común, que es un tresillo de dieciseisavo en 75 bpm y un quintillo de dieciseisavo en 90 bpm. La imagen contiene cinco figuras musicales las cuales determinan el número de tempi posibles para modular. Mediante tuples anidados el número de subdivisiones es teóricamente ilimitado, al igual que tempi posibles a modular. Para el escucha la modulación sólo será reconocible una vez que la duración común entre ambos tempi funja bajo una subdivisión distinta a la original, o su agrupación sea diferente a la del compás anterior. Hasta el momento hemos revisado las modulaciones que se dan de un tempo a otro a través de todo el rango de

 Ejemplo 5. Subdivisiones de dos tempi

subdivisiones simples, (corcheas, semicorcheas, tresillos, quintilos, sietillos, fusas y nonillos) por lo tanto, las fracciones que expresan la relación entre tempi  se pueden representar con fracciones con numeradores y denominadores que transitan todas las posibilidades del 1 al 9 como 1:9, 3:4, 6:7, 9:1 (ver tabla tal y tal otra). Estas relaciones pueden trascender a una infinidad de nuevos tempi con relaciones proporcionales más complejas, pensadas en el siguiente concepto.

2. Expansión, Redes de Tempo

Como recién vimos un tempo contiene un amplio número de subdivisiones. Sin embargo la cantidad de tempi a donde se puede transitar es limitada, un rejilla discontinua.58

Es posible expandir el campo de duraciones accesibles a través de una idea propuesta por Fernando Benadon,59  que es en la concatenación de dos modulaciones métricas para permitir el acceso a un número exponencial de posibles duraciones que él llama Tempo Networks. En su breve pero tremendamente conciso artículo describe a los Tempo Networks  como una herramienta capaz de extenderse a áreas de tempo inaccesibles a una modulación simple. Por ejemplo, como vimos en los ejemplos 1 y 2 las regiones más cercanas al tempo inicial (dadas las subdivisiones elegidas) son 8/9 58 Estrada, Julio, 59

op. cit.  p.12. Benadon, Fernando, op. cit . p 564.

58

(0.88) y 9/8 (1.125). Utilizando las mismas subdivisiones es imposible acceder a tempi como 0.9 o 1.1 del tempo inicial. La concatenación de modulaciones permite internarse en áreas temporales inaccesibles para la modulación simple, que llegan a ofrecer hasta 25 gradaciones en donde la otra ofrecía 2, por lo que el tempo original puede acceder a puntos como 1.01 de su velocidad inicial. Los Tempo Networks pueden ser utilizados de dos d os maneras: • Como dos modulaciones métricas sucesivas • Como una modulación compuesta de dos modulaciones simultáneas.

Ambas maneras tienen el mismo fin, su uso dependerá del contexto. Un ejemplo de estas redes de tempo: Dos modulaciones sucesivas:

 Ejemplo 6 

Dos modulaciones simultáneas:

 Ejemplo 7 .

Benadon infiere que el uso natural de Tempo Networks es la consecución de dos o más modulaciones. En realidad las redes de modulaciones se pueden concatenar ocultando las costuras, es decir, sin establecer puntos de estabilidad que permitan al escucha reconocer la modulación, como el ejemplo siguiente:

59

 Ejemplo 8.

En el segundo compás el pulso se mantiene en la subdivisión generada en el primer compás. Hasta ese  punto es posible pensar pe nsar que el tempo ha permanecido perma necido inalterado (desde el punto pu nto de vista del escucha). Sin embargo la nueva subdivisión a tresillos de negra indica un tuple anidado o una modulación, que es el pivote de una segunda modulación, que en este caso particular da pie a una tercera. La atípica agrupación de 5 corcheas en el compás de 10/8 tiene por fin no alterar la distribución métrica(métrica en el sentido de jerarquía de pulsos), que bien podría ser notada de manera tradicional y remediar la acentuación con ligaduras de fraseo. Como se vio en el ejemplo 1, nueve figuras musicales distintas permiten 54 modulaciones  – 72 72 si contamos las fracciones no simplificadas que musicalmente tienen sentido, como 2:4 con 1:2 – . A través de las redes de tempo, con el mismo número de figuras podemos acceder a cerca de 6300 modulaciones (contando todas las modulaciones, incluyendo fracciones no simplificadas). El total de tempi a los que se puede modular bajo este concepto, utilizando las nueve figuras ya utilizadas es de 483 que permiten teóricamente crear pulsos desde 12 ms. (5000 bpm) hasta 81 s. (0.74 bpm) a partir de un pulso de 1 s ó 60 bpm. Para proceder de manera sistemática en la exploración de esta herramienta, es necesario entender a las modulaciones como fracciones. Entre más saturado sea el campo de tempi, sus fracciones son más complejas, dejando atrás relaciones como 3/4, para aproximarse a ejemplos como 63 /64. /64. La contenidas en el ejemplo 1 son el producto de la multiplicación de dos fracciones, cada una sustituyendo a un tempo, el inicial y el final. Su rango comprende desde (1/1 x 1/1) hasta (9/9 x 9/9), pasando por todas las variables como (4/5 x 7/3), es decir, incluyendo todas las posibilidades que estos números permiten. Este pensamiento de las relaciones temporales como multiplicaciones de fracciones puede ser explicado así:

60

Representado de forma musical la expresión (1/1 x 2/1):

 Ejemplo 9

La negra es el valor 1 y a partir de él se derivan los valores de las demás figuras. Del lado izquierdo de la ecuación hay una negra, entonces hay 1 unidad (numerador) con valor de 1(denominador). Del lado derecho de la ecuación tenemos una corchea, de la cual caben dos en una negra. Por lo tanto tendremos una unidad (denominador) con valor de 2 (numerador), que podemos representar de la siguiente manera:

Temp o Inicial

Temp o Fina Fina l

 Nú m e ro d e unidades

Valor de la un ida d

Valor de la un ida d

 Nú m e ro d e unidades

1

1

2

1

1

1 1/1

2/1  Ejemplo 10. Figuras rítmicas y su representación numérica

Traducido a fracciones es (1/1 x 2/1) y su resultado es 2/1 ó 2. El número de unidades del tempo original es el numerador de la primera fracción, el valor de la unidad, su denominador. La segunda fracción obtiene su numerador con el valor de la unidad del tempo al que se llega y su denominador es el número de unidades. Con esta información podremos deducir que 4/21 es el resultado de cualquiera de las cuatro multiplicaciones siguientes: A(2/3 x 2/7), B(2/7 x 2/3), C(4/7 x 1/3) y D(4/3 x 1/7) que respectivamente son:

61

Tempo Inicial nicial

A

 Nú m e ro d e unidades

Valor d e la unidad

Valor d e la unidad

 Nú m e ro d e unidades

2

3

2

7

2

2 B

7

2

4

3 3

7

1

4

4

D

7

2

4 C

Tempo Fina Fina l

3 3

3

1

7 7

Ejemplo 11. Casos específicos de MM

62

Las cuatro multiplicaciones tienen un sólo producto, 4/21, lo que significa que podemos transitar a este tempo de cuatro formas musicales distintas. En aras de la claridad a continuación expongo todas las relaciones de tempo que las nueve figuras utilizadas contienen, excluyendo productos redundantes. Las figuras precisas y modulaciones que estos  productos representan pueden ser deducidos dedu cidos a través del método mostrado. 81/1 (81)

81/7 (11.571)

54/35 (1.5428)

16/27 (0.59)

72/1 (72)

45/4 (11.25)

49/32 (1.53125)

7/12 (0.5833)

64/1 (64)

56/5 (11.2)

32/21 (1.5238)

9/16 (0.5625)

63/1 (63)

54/5 (10.8)

40/27 (1.4814)

14/25 (0.56)

56/1 (56)

32/3 (10.66667)

72/49 (1.46938)

27/49 (0.5510)

54/1 (54)

21/2 (10.5)

35/24 (1.4583)

35/64 (0.5468)

49/1 (49)

72/7 (10.2857)

81/56 (1.446)

15/28 (0.5357)

48/1 (48)

81/8 (10.125)

36/25 (1.44)

8/15 (0.533)

45/1 (45)

10/1 (10)

10/7 (1.428)

21/40 (0.525)

42/1 (42)

49/5 (9.8)

64/45 (1.4222)

25/48 (0.5208)

81/2 (40.5)

48/5 (9.6)

45/32 (1.40625)

14/27 (0.518)

40/1 (40)

28/3 (9.33)

7/5 (1.4)

18/35 (0.514)

36/1 (36)

64/7 (9.142)

48/35 (1.37142)

25/49 (0.5102)

35/1 (35)

9/1 (9)

49/36 (1.3611)

32/63 (0.5079)

32/1 (32)

35/4 (8.75)

27/20 (1.35)

40/81 (0.493)

63/2 (31.5)

42/5 (8.4)

21/16 (1.3125)

24/49 (0.489)

30/1 (30)

25/3 (8.333)

64/49 (1.306)

35/72 (0.4861)

28/1 (28)

49/6 (8.1667)

35/27 (1.2962)

27/56 (0.4821)

27/1 (27)

81/10 (8.1)

9/7 (1.285)

12/25 (0.48)

25/1 (25)

8/1 (8)

32/25 (1.28)

10/21 (0.476)

49/2 (24.5)

63/8 (7.875)

81/64 (1.2656)

15/32 (0.46875)

24/1 (24)

54/7 (7.71428)

56/45 (1.244)

7/15 (0.466)

45/2 (22.5)

15/2 (7.5)

49/40 (1.225)

25/54 (0.4629)

64/3 (21.33)

36/5 (7.2)

6/5 (1.2)

16/35 (0.4571)

21/1 (21)

64/9 (7.111)

25/21 (1.1904)

9/20 (0.45)

81/4 (20.25)

7/1 (7)

25/18 (1.388)

25/56 (0.4464)

63 20/1 (20)

48/7 (6.857)

32/27 (1.1851)

35/81 (0.432)

56/3 (18.666)

27/4 (6.75)

7/6 (1.1667)

7/16 (0.4375)

18/1 (18)

20/3 (6.667)

8/7 (1.14)

27/64 (0.4218)

35/8 (4.375)

45/7 (6.4285)

9/8 (1.125)

20/49 (0.4081)

30/7 (4.2857)

32/5 (6.4)

28/25 (1.12)

25/63 (0.3968)

64/15 (4.26667)

63/10 (6.3)

10/9 (1.111)

32/81 (0.395)

21/5 (4.2)

25/4 (6.25)

54/49 (1.1020)

25/64 (0.3906)

25/6 (4.1667)

56/9 (6.22)

35/32 (1.093)

7/18 (0.3888)

49/12 (4.08333)

49/8 (6.125)

49/45 (1.08889)

8/21 (0.3809)

81/20 (4.05)

6/1 (6)

27/25 (1.08)

10/27 (03703)

63/16 (3.9375)

35/6 (5.833)

15/14 (1.07)

18/49 (0.3673)

35/9 (3.8889)

81/14 (5.7857)

16/15 (1.066)

9/25 (0.36)

27/7 (3.85714)

40/7 (5.7142)

21/20 (1.05)

16/45 (0.3555)

15/4 (3.75)

45/8 (5.628)

25/24 (1.0416)

7/20 (0.35)

56/15 (3.7333)

28/5 (5.6)

28/27 (1.03)

25/72 (0.3472)

18/5 (3.6)

49/9 (5.444)

49/48 (1.020833)

28/81 (0.3456)

25/7 (3.5714)

27/5 (5.4)

36/35 (1.02)

12/35 (0.34)

32/9 (3.5556)

16/3 (5.333)

64/63 (1.01587)

21/64 (0.328125)

7/2 (3.5)

21/4 (5.25)

63/64 (0.9843)

16/49 (0.3265)

24/7 (3.428571)

36/7 (5.142)

48/49 (0.979591)

9/28 (0.3214)

27/8 (3.375)

81/16 (5.0625)

35/36 (0.972)

8/25 (0.32)

10/3 (3.33)

49/10 (4.9)

24/25 (0.96)

20/63 (0.317)

49/15 (3.2667)

24/5 (4.8)

27/28 (0.9642)

14/45 (0.311)

81/25 (3.24)

14/3 (4.6667)

20/21 (0.952)

25/81 (0.3086)

45/14 (3.2142)

32/7 (4.571)

15/16 (0.9375)

15/49 (0.306)

16/5 (3.2)

9/2 (4.5)

14/15 (0.933)

8/27 (0.296)

63/20 (3.15)

40/9 (4.44)

25/27 (0.925)

7/24 (0.2916)

25/8 (3.125)

81/35 (2.31428)

45/49 (0.9183)

9/32 (0.28125)

28/9 (3.111)

16/7 (2.28)

32/35 (0.914)

7/25 (0.28)

49/16 (3.0625)

9/4 (2.25)

49/54 (0.9074)

15/56 (0.2678)

64/21 (3.047)

56/25 (2.24)

9/10 (0.9)

7/27 (0.2592)

35/12 (2.916)

20/9 (2.222)

25/28 (0.892)

9/35 (0.2571)

64 81/28 (2.89285)

35/16 (2.1875)

8/9 (0.88)

16/63 (0.2539)

72/25 (2.88)

54/25 (2.16)

7/8 (0.875)

20/81 (0.2469)

20/7 (2.857)

15/7 (2.1428)

6/7 (0.857)

12/49 (0.2448)

45/16 (2.8125)

32/15 (2.133)

27/32 (0.84375)

6/25 (0.24)

14/5 (2.8)

21/10 (2.1)

21/25 (0.84)

15/64 (0.2343)

25/9 (2.77778)

25/12 (2.0833)

40/49 (0.816)

7/30 (0.233)

49/18 (2.722)

56/27 (2.074)

45/56 (0.80357)

9/40 (0.225)

27/10 (2.7)

72/35 (2.05714)

64/81 (0.7901)

8/35 (0.22)

8/3 (2.66)

49/24 (2.041)

25/32 (0.78125)

7/32 (0.218)

21/8 (2.625)

81/40 (2.025)

7/9 (0.777)

10/49 (0.2049)

18/7 (2.571)

63/32 (1.96875)

27/35 (0.7714)

16/81 (0.1975)

64/25 (2.56)

49/25 (1.96)

49/64 (0.7656)

7/36 (0.1944)

81/32 (2.53125)

35/18 (1.944)

20/27 (0.7407)

9/49 (0.1836)

63/25 (2.52)

27/14 (1.928)

36/49 (0.7346)

8/45 (0.177)

49/20 (2.45)

48/25 (1.92)

35/48 (0.7291)

7/40 (0.175)

12/5 (2.4)

40/21 (1.904)

18/25 (0.72)

14/81 (0.172)

64/27 (2.3703)

15/8 (1.875)

32/45 (0.711)

6/35 (0.17)

7/3 (2.33)

28/15 (1.866)

45/64 (0.703125)

8/49 (0.1632)

35/2 (17.5)

64/35 (1.8285)

7/10 (0.7)

9/56 (0.1607)

49/3 (16.333)

49/27 (1.81481)

25/36 (0.6944)

10/63 (0.1587)

81/5 (16.2)

9/5 (1.8)

56/81 (0.6913)

7/45 (0.155)

16/1 (16)

25/14 (1.7857)

24/35 (0.685)

7/48 (0.1458)

63/4 (15.75)

16/9 (1.7778)

49/72 (0.68055)

9/64 (0.1406)

15/1 (15)

7/4 (1.75)

27/40 (0.675)

7/54 (0.1296)

72/5 (14.4)

12/7 (1.714)

32/49 (0.653)

8/63 (0.1269)

14/1 (14)

27/16 (1.6875)

21/32 (0.65625)

10/81 (0.1234)

27/2 (13.5)

42/25 (1.68)

35/54 (0.6481)

6/49 (0.122)

40/3 (13.33)

81/49 (1.65306)

9/14 (0.642)

7/64 (0.1093)

64/5 (12.8)

49/30 (1.633)

16/25 (0.64)

8/81 (0.0987)

63/5 (12.6)

45/28 (1.6071)

40/63 (0.6349)

7/72 (0.09722)

25/2 (12.5)

8/5 (1.6)

28/45 (0.6222)

7/81 (0.0864)

49/4 (12.25)

63/40 (1.575)

30/49 (0.6122)

65 12/1 (12)

25/16 (1.5625)

49/81 (0.6049)

35/3 (11.667)

14/9 (1.556)

25/42 (0.5952)

El total de tempi  en esta red específica es de 483, a través de cerca de 6300 maneras distintas de hacerlo. Hemos utilizado un rango de 9 subdivisiones distintas; si utilizáramos 13 subdivisiones, tendríamos acceso a un aproximado 28,561 maneras de modular. Hasta el momento hemos revisado el alcance de una red de tempi de dos niveles. Benadon expone la  posibilidad de expandir este concepto c oncepto a través de la repetición y suma del proceso. Una U na red de tempi de tres niveles, con las mismas nueve subdivisiones que hemos utilizado permite 531, 441 posibilidades de modulación, por lo que plantear rítmicamente intervalos como el ragisma (4375:4374) (4375:4374)60 es posible con una modulación de cuatro niveles. Desde la práctica musical el alcance de esta herramienta es ilimitado; abre la puerta a un reino en el cual se puede transitar a cualquier tempo de forma precisa.

3. Los Márgenes Perceptuales de la Modulación Métrica

“La música es tanto un arte como una ciencia porque

encontramos constantemente nuevas condiciones de la escucha, de la acústica, de eso q ue es posible percibir” 61

“(..)Aquel que no entiende nada mas que la química, ni siquiera la entiende a ésta”

62

Este capítulo capítulo busca responder preguntas generadas en los capítulos anteriores sobre la existencia de elementos perceptuales que permitan organizar el tiempo dentro de una obra, para encontrar un posible criterio sobre el tempo y su discernimiento. Vimos el amplio (teóricamente ilimitado) ámbito en que la MM reside, sin establecer un límite claro sobre su alcance. ¿Existe alguna razón real para transitar de 60

 Haluska, Jan, The Mathematical Theory of Tone Systems, Marcel Dekker, Nueva York, 2004, p. xxviii.

61

“La musique est aussi bien un science qu ´une art parce que nous decouvrons decouvrons constantement de nouveaux condition de l´ecoute, de la acoustique, de ce qui est p ossible a percevoir”, mi traducción. Stockhausen, Karlheinz, 62 “He who understands nothing but chemistry chemistry,, doesn’t really understand even it”. George Christoph Lichtenberg citado en Roederer, Juan G., The Physics and Psychophysics of Music , Springer, Nueva York, 2008, p. 1.

66

88 bpm a 89 bpm? ¿Existe una similaridad cognitiva entre proporciones de tempo y proporciones de altura? ¿Qué “propiedades de los objetos matemáticos se derivan en cualidades sensoriales” 63?

Lo que mejor ha respondido a estas preguntas son las ciencias cognitivas y perceptivas, que por más de un siglo han generado un alud de información útil para la presente investigación. La selección y discusión de estudios al respecto no pretende negar el complejo fenómeno (en todo caso confirma lo lejos que las ciencias se encuentran de dar una explicación completa respecto a temas elementales en música) de la percepción del tempo, sino discutir con elementos empíricos empíricos (si bien no ideales) ideales) todas las características que el tempo expresa en quien lo escucha, produce e imagina. Al principio de esta investigación, yo mismo mantenía mis reticencias respecto a incorporar esta clase de información a mi  proceso compositivo; muchos muc hos estudios ricos en datos y muestras apenas rasgan la superficie su perficie de temas que como músicos comprendemos o creemos comprender intuitivamente. Me parecía el intento de algunos científicos por entender algo que para nosotros parece instintivo. Sin embargo, tomados como un cúmulo de información, que en ocasiones puede ser contradictorio, toma un cariz mucho más útil y atractivo de lo originalmente pensado. Estas investigaciones son particularmente importantes para las teorías de tempo musical. Sugieren de manera imponente que hay limites perceptivos y cognitivos sobre el rango de tempo aplicado a la música y, más importantemente, que existen diferencias entre nuestro entendimiento e interpretación de ciertos ritmos dentro de esos rangos. Aspectos de la escucha, que como músico y compositor jamás había pensado, han sido descubiertos y confirmados por decenas de estudios, logrando establecer  puntos de referencia en aspectos generales genera les de la escucha humana. A mi parecer, estos conocimientos, corroborados por decenios de investigaciones, tienen el potencial de ser inmediatamente asimilables en la composición, específicamente en la composición con elementos de MM (aquí entendida como la definimos en el primer capítulo). La intención de anexar estos estudios sobre la percepción a un manual de la MM tiene el claro  propósito de transformar el conocimiento sensible, que todos los músicos contemporáneos tenemos, respecto al cambio de tempo, en un conocimiento informado y racional. La vasta mayoría de estos estudios son artículos concisos y objetivos; la manera pertinente de publicar resultados científicos. Sin embargo, el lenguaje técnico y los esquemas comparativos, hacen de su lectura algo difícil de disfrutar. Espero que la presente redacción haya ayudado si bien no a eliminar, al menos a menguar esa parquedad, ya que es mi esperanza que estos datos puedan ser una guía de  búsquedas musicales. 63

“... properties of mathematical objects arise in s ensory qualities”. Mi traducocin. Lach, Juan S., Proportion, Proportion, Perceptio,

Speculation: Relationship Relationship between Numbers and Music in the Construction of a Contemporary C ontemporary Pythagoreanism, Pythagoreanism, p. 3.

67

3. A. Elementos a Explorar

En estos estudios el tempo tiene el mismo sentido que el tempo musical, sin embargo, el concepto de modulación de tempo responde a cualquier modificación de tempo, sea continua (accelerandos, ritardandos) o discontinua. La principal búsqueda de éste compendio de estudios es conocer los aspectos relacionados con el tempo y su percepción así como conocer la manera en que el contexto afecta la percepción del cambio de tempo. Este espectro de búsqueda implica fenómenos como: • Tempi preferidos, los tempi caracterizados como los más cómodos, sean producidos o escuchados. • El rango en el que somos más propensos a escuchar un pulso o la “ritmización subjetiva”64

decir el periodo que tendemos a juzgar como ni largo ni corto. • El intervalo de indiferencia, es decir el •  Nuestra sensibilidad a los cambios de tempo, en distintos tempi iniciales y en distintos contextos.

dura ción. •  Nuestra sensibilidad a las diferencias de duración. • El concepto y limites del presente sicológico.

Vistos de manera conjunta, los estudios aquí citados sugieren que las variables como, tempo inicial, relación del cambio de tempo con conjuntos melódicos, altura en la que se expresa un tempo, y otras variables son un factor determinante en los resultados, y obtener una conclusión clara de toda esta información parecerá extremadamente difícil. Como músico, en especial como compositor abordando las modulaciones métricas, puedo ver que lo que se conoce sensiblemente está muy por encima de lo que científicamente se sabe, al menos en apariencia. Sin embargo, el conjunto de los los estudios citados determina que en efecto existen existen constantes de la percepción musical que posiblemente tengan efectos determinantes en cómo se constituye la música, ya sea en la interpretación o en la misma composición. Ahondar en los subterfugios 64 Este concepto es explicado en la

página siguiente.

68

 perceptuales es un arma de dos filos. Por un lado nos provee con la maravillosa evidencia de fenómenos insospechados por la intuición más fina y por el otro terminamos con un cúmulo de información que parece imposible de emplear con éxito.

3. B. Terminología

Antes de adentrarnos en estos estudios y sus posibles conclusiones es necesario entender a que se refiere su terminología. • Un  Event Onset   marca el punto en el tiempo en el que un solo evento sonoro (un sonido)

comienza. Usualmente, en estos estudios, la longitud de las duraciones es pequeña por lo que generalmente resulta práctico medirlas en milisegundos (ms). •  Inter-Onset Interval (abreviado como IOI) se refiere al intervalo que ocurre entre los Onsets de

dos eventos auditivos sucesivos. • Subjective Rhythmization, es la tendencia que tenemos a agrupar dos o más eventos sonoros en un

solo pulso. Usualmente se realiza en pruebas que exponen a los sujetos del estudio a ritmos métricamente ambiguos, y se les pide encontrar el pulso que mejor perciban. •  jnd,  just noticeable difference  o diferencia apenas discernible, es el factor que determina la

capacidad para discernir la diferencia mínima entre un evento original original y su modificación. modificación. •  Psychological Present o presente sicológico es el intervalo de tiempo en el que la información

sensorial y el procesamiento interno están integrados en el mismo periodo de atención. •  Isochronous Rhythms presentan un IOI constante. La proporción de IOI en un ritmo isocrónico es

1:1. • Uneven Rhythms son ritmos que contienen al menos dos IOI de valores distintos.

69

  (primer Onset anómalo) es definido como el primer onset • El FAO es el First Anomalous Onset  (primer que ocurre más temprano o más tarde de lo que es esperado de un patrón de pulsos establecido  previamente. • Tempo aquí es definido como la tasa a la que pulsos sucesivos ocurren. Aquí la medida

usualmente es bpm. Una herramienta que resultará práctica en las siguientes páginas es la relación entre milisegundos y  bpm. Si conocemos la velocidad de un pulso en milisegundos es posible calcular su bpm de la siguiente manera. 60,000 / x ms. = bpm De la misma forma, si conocemos el bpm de un pulso y necesitamos saber su valor en milisegundos es  posible realizarlo a través de dividir 60,000 (cantidad de milisegundos m ilisegundos en un minuto) entre el bpm 60,000/ x bpm = ms. • Tempo modulation en estos estudios es definido como un cambio en la velocidad del beat. Tempo modulation  se manifiesta como una disminución en el tempo (ralentando  a alargamiento del

IOI) o un aumento en el tempo (accelerando o acortamiento de IOI) o una combinación secuencial de ambos. Es posible también que la velocidad de cambio de las modulaciones de tempo pueda variar. Cambios en la velocidad del tempo pueden ocurrir instantáneamente (cuando por ejemplo, la velocidad se triplica entre dos notas adyacentes) o el cambio puede evolucionar gradualmente sobre un número de  beats. 3. C. La Naturaleza del Problema

La modulación de tempo en los estudios siguientes es una variación del concepto de Tempo Change. La  percepción de la modulación modu lación de tempo involucra una u na detección de un cambio de los IOI previamente establecidos, que en términos musicales es usualmente el pulso establecido. En el caso de estos

70

estudios el Tempo Change  es entendido como cualquier tipo de cambio en el tempo, sea gradual (accelerandos, ritardandos) o con cambios bruscos relacionados a la expresividad o estilo.65 Antes de proceder es necesario mencionar que a través de estos estudios puede ser imposible llegar a una conclusión clara y firme respecto a nuestro entendimiento perceptivo de las modulaciones de tempo. Podría pensarse que estos estudios carecen de una validez absoluta en el mundo real de la música, debido a la gran cantidad de variables contextuales que ocurren en una situación musical real. Sólo se circunscriben a tener una validez parcial. Sin embargo su estudio y conocimiento es pertinente y en él, a pesar de no siempre llevarnos a donde deseamos, existe información necesaria para la  práctica como compositor c ompositor que me fue inesperada. Por nombrar un caso, cas o, hay estudios estud ios66 que enfatizan el fenómeno de la percepción de acentos y duraciones y cómo se entrelazan para modificar la sensación de altura. Idea que para nosotros como músicos resulta irreal y hasta risible. Hemos aprendido a discernir alturas sin importar su dinámica o duración. Sin embargo esto no invalida la investigación; más bien, devela un nuevo conocimiento que puede ser integrado a la composición y en general a la música. Es razonable asumir que estos fenómenos, a veces insospechados, dirigen nuestra escucha, afectando de manera subjetiva la percepción del movimiento que la música realiza. Dicho de forma más concreta; estos estudios dirigen nuestra atención a factores fisiológicos y sicológicos que como escuchas todos  poseemos. A sabiendas de que la percepción y cognición no son ciencias que tradicionalmente asociemos a la formación de un compositor de conservatorio, resultan herramientas esenciales al momento de enfrentarse con problemas compositivos como la MM, ya que se adopta una visión de la estructura a partir de la percepción. 3. D. Intervalo de Indiferencia

A partir de estudios realizados a principios del siglo XX67  se propagó la idea del intervalo de indiferencia que consiste en el pulso que como especie calificamos de natural. Desde entonces las investigaciones al respecto han sido abundantes. Las primeras investigaciones nombraban al término como “Intervalo de Indiferencia” al intervalo, “(...)que hace a esos eventos no sonar ni muy rápido ni muy lento”.68 La vasta mayoría de estudios al

65

Friberg, Anders y Sundberg, Johan, “ Time discrimination discrimination in a monotonic, isochronous sequence” Journal sequence” Journal Acoustical Society of America, vol. 98, núm. 5, parte 1, AIP Publishing, College Park, Maryland, 1995, pp. 2524- 2531. 66 Hirsh, Ira J., Monahan, Caroline B., Grant, Ken W., y Singh, Punita G., “Studies in auditory timing: 1. Simple patterns”  Perception & Psychophysics Psychophysics , vol. 47, núm. 3, Psychonomic Journals, Austin, Texas, 1990, pp. 215-266. 67 London, Just in, “Cognitive Constraints on Metric Systems: Some Observations and Hypotesis”, Music Hypotesis”, Music Perception, vol.19 , núm. 4, University of California Press, Oakland, California, 2002, pp. 529-550.

71

respecto concurren en que el área circundante a 700 ms es un umbral importante de la percepción y en él se encuentra el promedio del tempo preferido, también llamado “Tempo Espontáneo˝ o “Ritmo  Natural” por p or no ser un tempo planeado, como encontró Fraisse F raisse69 que investigó este mismo fenómeno

 pidiendo a los sujetos de su estudio estud io marcar un pulso a una u na velocidad cómoda, un método común c omún para la exploración de la percepción relacionada con el tempo, con resultados similares. A pesar de que la mayoría de la evidencia al respecto es concordante en términos generales y que es  posible decir que esa región reg ión de la percepción es real, rea l, los intervalos de indiferencia son únicos para cada  persona y cambiantes dependiendo de la situación y el e l contexto. Ya en 1979 Brown70  publica un estudio en el que señala que las muestras individuales de tempo  preferido pueden llegar a ser tan cortas como 100 ms. Sin embargo agrega una idea muy valiosa asociada con la música: “el área de 750 ms. en la sicología del tempo y del movimiento no puede ser

evadido. En adición su correspondiente MM es 80(bpm)... que por mucho tiempo ha sido considerado como un tempo “justo” o “normal”. “ normal”.71

Este tempo que Brown asocia con el Tempo Giusto también guarda relación con el pulso del corazón, que varía entre 60 bpm y 100 bpm dependiendo de la edad y condición cardíaca. A pesar de la aparente correspondencia entre el intervalo de indiferencia y pulso del corazón, no encontré ningún artículo que anclara estas dos ideas. Como compositor puedo reconocer que los conceptos de naturalidad de los pulsos fisiológicos y la música tiene precedentes de relación, como Cardiphonie  para oboe, de Heinz Holliger, donde la velocidad de la interpretación aumenta en proporción a la excitación de la fisiología del intérprete como resultado directo de tocar; o el uso de pulsos generados por órganos internos humanos para la interacción de patrones musicales como los usados en  Hoch Zeiten, la quinta escena del domingo de  de Stockhausen.72  Licht  de Al mismo tiempo que conozco estos factores sobre la escucha pongo en duda si son aplicables a una obra. Si esta información puede determinar si cierto pasaje fluye de manera natural o antinatural o si este espectro del tempo (600-700 ms.) puede ser útil como un punto de estabilidad. Al menos incita a 68

“(...)that makes those events sound neither too slow or to fast”. Mi  traducción. Royal, Matthew S., The Perception Of W estern Ontario, London,  Rhythm And And Tempo Modulation Modulation In Music tesis de doctorado, Facultad de Música, University of Western

Ontario, 1995. 69

Fraisse, Paul, “Perception and Estimation of Time” Annual Time”  Annual Review of Psychology Psychology 1984, vol. 35, Annual Review of

Psychology, Palo Alto, California,1984, California,1984, pp.1-36. 70

Brown, Peter, “An enquiry into the origins and nature of tempo behaviour”, Psychology behaviour”, Psychology of Music, vol. 7, núm. 1, Sage Publications, Publications, Thousand Oaks, California , 1979, pp. 1979, pp. 19-35. 71 Idem. 72

https://www.youtube.com/watch?v=WMZQOI_xPIM

72

crear una visión dual: si escribo una estructura de tempi  a partir de ideas musicales o a partir de la fisiología. Cada una de estas estructuras provee de un marco específico de referencia pero es posible que no difieran mucho entre ellas, ya que estos datos sobre la percepción proveen de detalles sutiles que pueden ser asimilados por la música. El ciclo Scardanelli  del mismo Holliger, contiene un movimiento en el cual cada cantante debe de cantar con un tempo independiente del resto a partir de su propio pulso, tomado de su muñeca por ellas mismas. Desconozco las consideraciones consideraciones de Holliger sobre el pulso de este movimiento pero es claro que entendía al tempo como parte activa y presente en su obra, que es uno de los objetivos de esta investigación. También ha sido probado que estados de ánimo, funciones corporales conscientes o inconscientes tienen efecto sobre la percepción y ejecución temporal, específicamente sobre la producción y escucha de pulsos; fenómeno que las distintas grabaciones de la obra mencionada de Holliger corroboran. En un estudio relacionado al Intervalo de Indiferencia, Brown solicitó a los participantes (estudiantes universitarios) tocar fragmentos de obras ya conocidas por ellos mismos en distintas condiciones;73 a distintas horas del día, bajo distintos estados de ánimo, etc. Sus resultados confirmaron que los individuos se supeditan a circundar un tempo sin importar las condiciones (72 bpm en la mañana 66  bpm en la noche) pero los factores como c omo el instrumento en el que se realiza rea liza la prueba, la hora del de l día y el humor de los participantes influía de manera directa en la variación del tempo que tocaban. Un estudio en el mismo espíritu74 buscó la consistencia que el escucha tiene respecto a su preferencia de tempo, en vez del intérprete. Este estudio encontró que los gustos musicales no afectan significativamente la preferencia sobre el tempo, en cambio el tempo inicial si tiene un efecto directo sobre su elección. En este estudio se tocaron una serie de pulsos a los sujetos. El primer pulso que se tocaba resultó ser el  pulso preferido. Una vez que el segundo tempo era presentado, mostraban una preferencia por el  primero, como si fueran renuentes a cambiar de tempo. Estos datos son especialmente pertinentes a nuestra investigación ya que de ser correctos pronostican la desazón del escucha ante la MM [demasiado pronto no tanto en gral]. Implican también que el establecimiento de un pulso genera la expectativa de su repetición, sentando las bases para la exploración de las duraciones proporcionales de ese mismo tempo. Una vez que el tempo se establece se puede proceder a considerar las relaciones que 73

Brown, Peter, “An enquiry into the origins and nature of tempo behaviour. Part II: Experimenta Experimenta work”,  Psychology of  Music, vol. 9, núm 2, Sage Publications, Thousand Oaks, California, 1981, pp. 32-43. 74 Lapidaki, Eleni y Webster, Peter R., “Consistency of t empo judgments when listening to musi c of different st yles”, Ps ychological al Association, Washington D.C., 1991, pp.19-30.  Psychomusicology,  Psychomusicology, vol. 10, núm. 1, American Psychologic

73

los ritmos y pulsos tienen a partir de este nuevo tempo. ¿Son corcheas de este tempo o tresillos del anterior? Establecer un punto de referencia permite juzgar las relaciones temporales. Sin embargo es posible que existan subterfugios en la interpretación compositiva de estos datos, ya que a partir de la renuencia que los sujetos expresaban a cambiar de tempo podemos deducir que existe una capacidad para precisar planos temporales discernibles entre ellos.Aquí es necesario enfatizar la importante diferencia que existe entre establecer un tempo en la partitura y establecerlo en quien lo escucha. 3. E. Subjective Rhythmization

Dos estudios presentados por Handel75 relacionados con la percepción del tempo dieron más evidencia coincidente con el hecho de tener un tempo preferido entre 500 y 600 ms. En estos estudios los sujetos fueron instruidos a marcar el tempo de una serie de poliritmos en la manera en que más cómodos se sintieran. Los poliritmos consistían en dos o tres pulsos sobrepuestos (2 contra 5 ó 2 contra 3 contra 7). La elección(subjetiva) de un pulso es Subjective Rhythmization; la elección de un pulso dentro de un conglomerado de sonidos neutros métricamente. Un estudio de 1988 buscaba el tempo preferido de estudiantes universitarios. Para cada canción (que estaban hechas en MIDI) presentada, los estudiantes tenían que ajustar el tempo de la canción hasta que obtuvieran un tempo óptimo. En la segunda parte de este estudio se les pidió que imaginaran una música y ajustaran el metrónomo al tempo que imaginaban. El tempo preferido tuvo una media de 99.2  bpm (604 ms.) y la media de tempo imaginado 97.6 bpm (614 ms.). Sin embargo este estudio hace muestra de un problema común en la percepción y su relación con la música. A pesar de que la media se expresó en 99.2 para las canciones que fueron ajustadas al tempo óptimo, las muestras de los sujetos tuvieron un rango de variación de 65 bpm a 164 bpm. Sobre Subjective Rhythmization, London dice, En su estudio pionero, Bolton (1894) trabajó el problema de los límites de las frecuencias en las cuales la Ritmización Subjetiva puede aparecer. Dio como el límite más bajo un intervalo de 115 ms. y como el límite superior, 1580 ms. Estos límites deben de dirigir nuestra atención, ya que son aproximadamente esos de las duraciones en las que todas nuestras percepciones de ritmo están basadas. 76

75

Handel, Stephen y Lawson, Gregory R.,” The contextual nature of rhythmic interpretation”,  Perception & Psychophysics,

vol. 34, núm. 2, Psychonomic Journals, Austin, Texas, 1983, pp. 103-120. 76 London, Justin, op. cit.

74

Como fue el caso del Intervalo de Indiferencia, la Ritmización Subjetiva también tiene una larga historia de estudios que corroboran y especifican de manera detallada los pormenores de este fenómeno. Un estudio realizado en 1990 por Monahan y Hirsch encontró que podemos discernir discernir un intervalo con mucha precisión en zonas periodos tan cortos como 100 ms.77  También notaron que tiempos más cortos a 100 ms. tienen un conjunto de reglas de percepción distintas. En términos biológicos esto puede estar fundado en la naturaleza sonora del lenguaje, ya que ha sido señalado que la articulación más rápida de sílabas circunda a los 120 ms.78 Hirsh encontró en 1959 (es notable haberlo hecho sin la ayuda de computadoras) que el área entre 20 y 100 ms. es donde los patrones rítmicos emergen, ya que entre 1 y 20 ms sólo se percibe el tipo de fase y no patrones rítmicos. En sus estudios encontró que el rango de pulsos a partir de 100 ms. posee la característica de proporcionar eventos auditivos separados, como puede ser la ritmización subjetiva.

3. F. Las Regiones

A partir de los descubrimientos del Intervalo de Indiferencia se dedujo la posibilidad de que otras regiones temporales poseyeran características específicas sobre la percepción. En 1974 Hirsh,79 identificó tres regiones de tiempo. El rango de tiempo corto o short temporal range ra nge (dentro de la zona de fusión temporal) , , engloba eventos de 20 ms. o más cortos, en donde -como dijimos antes- sólo es posible reconocer cambios en la cualidad del sonido así como sensaciones  primarias del tono como altura, amplitud y timbre; si existen dos eventos en este rango se vuelven indiscernibles uno del otro. La segunda región comienza a partir de los eventos de 100 ms. y más largos, ya que a partir de esta velocidad podemos discernir los eventos sensoriales como claros y distintos, que para Hirsh es una capacidad biológica desarrollada a partir del sonido del lenguaje; de ahí la capacidad para entender sílabas y medias sílabas (que no son necesariamente letras) o distintos sonidos musicales. Ambos estímulos, musicales o del lenguaje son procesados en el corteza, porque tienen ya atributos cognitivos. Las áreas de tempo tan pequeñas como 1 a 100 ms. difícilmente tienen una aplicación real a la música, en especial si es acústica. Alrededor del área a 250 ms. ms. se ha encontrado un umbral umbral con características  particulares. En 1995 Friberg y Sundberg encontraron que a 240 ms. se establece un umbral en el 77

Monahan, Caroline B. y Hirsch, Ira J., “Studies in auditory timing: 2. Rhythm patterns”, Perception patterns”,  Perception & Psychophysics,

vol. 47, núm. 3, Psychonomic Journals, Austin, Texas, 1990, pp. 227-242. 78 Lehiste, Ilse,  Suprasegmentals, MIT Press, Cambridge, 1970 p.30. 79

Hirsh, Ira J., “Temporal order and auditory perception” en Moskowitz, Howard R., Scharf, Bertram y Stevens, Joseph C., Sensation and Measurement: Papers in Honor of S. S. Stevens, D. Reidel Publishing Company, Dordrecht, Países Bajos, 1974, pp. 251 – 258. 258.

75

discernimiento de tempo sobre  just noticeable difference.  Sus resultados cuentan que sin importar la formación musical es posible discriminar diferencias en el tempo de hasta 2.5% cuando las muestras son iguales a 240 ms. o más grandes. Cuando son menores el grado de imprecisión es mucho más amplio. Las gradaciones en el discontinuo perceptivo en el resto de esta región del tempo (1 ms. a 3-5 s.), no son tan claras como las tres regiones ya mencionadas. Hay quienes obtuvieron datos de que 300 ms. es el límite inferior del presente psicológico80  pero sin que existan más estudios corroborando o contradiciendo esta información. Un artículo expone que el área de 800 ms. es la que menos errores  presenta cuando se le pide a un sujeto sincronizar el e l tamborileo de sus dedos a un u n pulso81y que el límite más lento para este tipo de sincronización está cerca de 1500 ms,82 ya que pulsos más lentos que éste se vuelven altamente imprecisos, sin embargo no se ha establecido un consenso sobre estos parámetros como en el caso de los 100, 250 y 600-700 ms. Las particularidades que cada tempo tiene sobre la escucha implican una topología auditiva que como compositores podemos aprovechar. El rango de tempi no es un continuo en términos perceptivos, sino que está dividido en categorías con umbrales específicos. Si esto es cierto, la discriminación o capacidad de reconocimiento de dos tempi distintos es más precisa cuando se encuentra en la frontera entre dos tipos distintos de tempo, tempo, como el límite entre la zona de 100 ms. y 250 ms. El próximo estado de la percepción que ha sido más claramente delimitado es el del presente sicológico. 3. G. El Presente Sicológico

Este fenómeno de la escucha es el equivalente perceptivo en el terreno del ritmo de la memoria a corto  plazo. En él se habla de unidad perceptiva, que es el límite de tiempo en e n el que podemos entender un evento sonoro, que no debe de ser confundido con el concepto Gestalt temporal y sus niveles  jerárquicos83 El origen de este concepto se dio en 1903 cuando MacDougall84 pidió a sus sujetos que 80

Crowder, Robert G., “Auditory “Auditor y memory” en McAdams, Stephen y Bigand, Emmanuel, Thinking Emmanuel,  Thinking in Sound: The Cognitive  Psychology of Human Human Audition, Oxford Science Publications, Londres, 1993, pp. 113-145. 81 Woodrow, Herbert, “The effect of rate of sequence upon the accuracy of synchronization” Journal synchronization”  Journal of Experimental  Psychology, vol. 15, núm. 4, American Psycholog Ps ychological ical Association, Washington D. C., 1932, pp. 357-379. 82 Fraisse, Paul, “Rhythm and tempo”, en (editora) Deutsch, Diana, The Psychology of Music , Academic Press, Nueva York, Y ork, 1982, pp. 149 – 180. 180. 83 Tenney, James y Polansky, Larry, “Temporal Gestalt Perception in Music”, Journal Music”, Journal of Music Theory, Theory, vol. 24, núm. 2 ,

Duke University, New Haven, Connecticut, 1980, pp. 205-241. 84

MacDougall, Robert, “The Structure of Simple Rhythm Forms” The Psychological Review, Macmillan Company, Nueva

York, 1903, pp. 309-412.

76

tocaran 4 notas seguidas al tempo de su elección. En promedio fueron tocadas 1.8 veces más rápido que el grupo de 2 notas. El grupo de 6 notas fue tocado 2.2 veces más rápido que el de 2, lo que sugirió que los sujetos estaban intentando unificar el grupo de notas cuando el número de elementos aumentaba. A través de estudios posteriores se ha encontrado que existe una interacción entre el número de elementos y su velocidad para que sea posible agruparlos dentro de una unidad de percepción. El agrupamiento de las notas depende del número de elementos que contenga y su velocidad. Es lo que nos hace clasificarlos como elemento, clang o secuencia en la terminología de Tenney.[unidad gestalt  primaria] Hasta la fecha el umbral del presente sicológico es debatido, Entre escritores es evidente cierto consenso concerniente a los estimados del típico periodo de tiempo de esta integración. Fraisse (1984) dice que el periodo parece tener un limite superior de cerca de 5 segundos, pero está usualmente más cerca de 2-3 segundos en el periodo de tiempo. Michon (1978) concuerda en que el valor promedio de 2-3 segundo pero da un limite superior de 7-8 segundos. Pöppel (1972) ha estimado similarmente que la duración máxima del presente sicológico reside entre 4 y 7 segundos.85

El presente sicológico sólo existe en el marco de tiempo que mencionamos (de 2 a 7-8 segundos), cualquier procesamiento de información o comparación de nueva información con información ya  percibida se realiza en dos aparatos cognitivamente cog nitivamente distintos, que en términos de Royal son, Cambios temporales que ocurren repentinamente, es decir, dentro del marco del presente sicológico, son detectados en la percepción; cambios temporales que ocurren gradualmente, es decir, afuera del marco del presente sicológico, son detectados comparando una memoria con la percepción. 86

Me parece que Ferneyhough está en lo correcto cuando dice, Si el potencial percibido para sustancia¿? de información es alto, el margen requerido para la eficiente recepción y absorción de esa información es usualmente más expansivo, de manera que si el margen de 85

 Some agreement is evident among writers concerning estimates of the typical time span of this integration. Fraisse (1984) states that it seems too have an upper limit of about 5 seconds, but is more typycally nearer 2-3 seconds in the time span. Michon (1978) agrees with the average value of 2 -3 seconds but places the upper limit at 7-8 seconds. Pöppel (1972) has similarly estimated estimated the maximum duration of the psychological ps ychological present present to lie between 4 and 7 seconds. Mi traducción. 86 Royal, Matthew S, op. cit.

77

tiempo es deliberadamente comprimido emerge una sensación de presión, de “ muy poco tiempo” tiempo” como

un factor importante que condiciona la recepción - algo que indica al escucha al categorizar la música como “rápida” .87

Que es el mismo concepto que Cooper y Meyer anuncian, Es importante advertir que el tempo es tanto un hecho psicológico como un hecho físico. Así, las corcheas pueden moverse a la misma velocidad absoluta en dos piezas musicales distintas y, sin embargo, dar mayor impresión de celeridad en una pieza que en la otra. Esto es posible porque el tempo psicológico, que llamaremos “paso” depende de cómo es llenado el tiempo

-de cuantos patrones

aparecen en un espacio de tiempo dado. 88 La palabra “patrones” en la definición de Cooper y Meyer es la precisa para describir esta sensación

musical, ya que si entendemos que Fraisse anuncia que la cantidad de información puede ser comprimida en el espacio del presente sicológico (incluso presenta resultados para agrupar un una unidad de percepción 25 sonidos distintos) y aún ser procesada como un sólo evento musical, parece estar en directa discrepancia con la experiencia de uno de los más logrados compositores nuestra generación, citado anteriormente. Sin embargo, como ya hemos señalado, las condiciones de laboratorio en la que los estudios estudios han sido realizados realizados no permite una respuesta clara y objetiva, pero sienta unas bases firmes. Un estudio realizado en 197689 señala que el primer patrón que es escuchado tiende a imponer su estructura en los patrones subsecuentes. Para la creación de Mnemosyne90 Ferneyhough busca la creación de objetos musicales con un grado tal de coherencia interna que sugieran una discrepancia entre el fluir cronométrico de los objetos y su organización temporal [que pone en relieve la memoria]. El establecimiento de identidades musicales distintivas (que sean difíciles de aprehender o contrastantes con su contexto) es uno de las maneras en la que el tiempo lineal puede ser evadido exitosamente. Posiblemente la explicación de este fenómeno  pueda ser un indicio para este tipo de estructuras musicales. mus icales. 87

1988)”,  Perspectives of of New Music, vol. vol. 31, núm. 1,  Ferneyhough, Brian, “The Tactility of Time (Darmstadt Lecture 1988)”, Perspectives Seattle, Washington, 1993, pp. 20- 30. “If the perceived potential for informational substance substance is rather high, the time frame required for the efficient reception and absorption of that information is usually more expansive, so that if the time frame is deliberately compressed compressed a sense of pressure, of "too little time" emerges as a major factor conditioning reception-something which leads the listener to categorize the musical flow as "fast." Mi traducción. 88  Copper, Grosvenor y Meyer, Leonard B. op. cit. 89

Preusser, David, Garner, Wendell R., Gottwald, Richard L., “The effect of starting pattern on descriptions of perceived temporal patterns”, Psychonomic patterns”,  Psychonomic Science, Science, vol. 21, Psychonomic Society, Madison, Wisconsin, 1970, pp. 219-220. 90 Ferneyhough, Brian,”Duration Brian,”Duration and Rh ythm as Compositional Resources”, en Boros, James y Toop, Richard, Brian Richard, Brian  Ferneyhough: Collected Writings, Writings, Routledge, Nueva York, 1995, p. 51.

78

El fenómeno del presente sicológico fue explorado en 1956 cuando Fraisse busca establecer los límites de este concepto a través de una serie de experimentos91 y encuentra que 5 o 6 s son el límite máximo  para que comprendamos un evento musical como unidad. Gracias a sus resultados logra descartar las  principales teorías existentes que sustentaban que la cohesión de un grupo de notas residía en la semejanza cenestésica; es decir en su semejanza cualitativa, como timbre, ritmo, alturas, etc. Miner, resumiendo la teoría descartada dice: “Sentir a los grupos como unidades es una ilusión que se debe a

la presencia de movimiento o a unir a las sensaciones con las sensaciones ya agrupadas”92. Si bien es cierto que podemos identificar a ciertos sonidos como pertenecientes al mismo grupo dependiendo de su timbre o altura, el concepto de presente sicológico establece que los elementos musicales están unidos por su cercanía en el tiempo y establecen las bases para el siguiente umbral temporal, el de la secuencia, donde entra en juego la memoria. Los experimentos de Fraisse93 también contienen respuestas sobre cuáles son los factores que enmarcan un evento musical, dando una larga y minuciosa explicación sobre el papel preponderante de cómo los acentos y las duraciones implican  jerarquías perceptivas, que son la base de la métrica musical y poética, dando también una posible explicación al uso de los compases dentro de la música. 3. H. Percepción de Modulación de Tempo

Muchos experimentos sobre la modulación de tempo han tratado de establecer cuáles son los estímulos que afectan a las variables en la percepción de la modulación de tempo. Algunos de los factores más estudiados son la dirección de la modulación (aceleración, desaceleración); tempo inicial; el grado y velocidad de la modulación; y la presencia de factores rítmicos como subdivisión, agrupamiento y métrica. Kuhn94 puso a músicos profesionales a escuchar pulsos de metrónomo que gradualmente cambiaban de tempo desde una velocidad o bpm predeterminada. Los sujetos debía de indicar el momento en el que el tempo cambiaba y de qué manera (aumento o disminución de la velocidad). Las medidas que extraían de este experimento eran el tiempo de reacción ante la modulación y lo acertado de sus respuestas. Cuatro tempi iniciales fueron presentados 60, 90, 91 Fraisse, Paul,

op. cit. “In feeling the groups to be units is an illusion due to the presence of m ovement or strain sensations along with the sensations that are grouped”. Mi traducción. Woodworth, Robert S., Archives S., Archives of Psychology, Psychology, vol. 17-19, Harvard 92

University, Cambridge, Massachusetts, 1911, p. 272. 93 Fraisse, Paul, op. cit.. 94

Kunh, Terry L. “Discrimination of modulated beat tempo by professional musicians” Journal musicians”  Journal of Research Research in Music California,1974, pp. 270-277.  Education, vol. 22, núm. 4, Sage Publications, Thousand Oaks, California,1974,

79

120 y 150 bpm (1000 ms., 666.667 ms., 500 ms., 400 ms. respectivamente). Kuhn encontró que aunque no había una diferencia significativa entre los números de respuestas correctas para el incremento o decremento de tempo, los decrementos de tempo fueron percibidos mucho más rápido que los incrementos. El tempo inicial no tuvo ninguna incidencia en estos resultados, ya que la detección de cambio de tempo tuvo los mismos valores en los cuatro tempi preestablecidos. En un estudio llevado a cabo por Madsen95 los sujetos escucharon pulsos tocados por metrónomos en tempi iniciales que variaban entre 40 y 200 bpm (1500 a 300 ms.). Estos tempi iniciales incrementaban

su velocidad en 10 bpm cada 10 segundos, la disminuían en la misma proporción o permanecían constantes. Los sujetos se dividían entre músicos y no músicos y ambos tenían que identificar la manera en que el tempo cambiaba. También se les pedía estimar el tempo final en bpm. Ambos grupos (músicos y no músicos) identificaron las disminuciones de tempo con mucha más precisión que los aumentos de tempo. En la segunda muestra de cambios de tempo los músicos obtuvieron respuestas más precisas que los no músicos, mostrando que hay una diferencia para poder aprender a discernir cambios de tempo más rápidamente. Sin embargo todos los sujetos tendieron a subestimar el el tempo final, aunque los músicos tuvieron más precisión. Wang96 en un estudio hecho con una versión versión sintetizada del opus opus 101 de Dvorák, encontró encontró que la modulación de tempo era mas rápidamente percibida cuando la velocidad disminuía que cuando aumentaba; que escuchar la modulación con figuras constantes ayuda a percibir más rápido y con más  precisión la modulación que con figuras con puntillo [largo-corto]. [largo -corto]. Los estudios arriba citados hacen parecer que la modulación de tempo es mejor percibida cuando el tempo disminuye que cuando aumenta, sin embargo otros estudios sugieren precisamente lo contrario. Con resultados contrarios al de Kuhn, un estudio conducido por Dourhout97 encontró que la mejor zona  para percibir un cambio en el tempo reside alrededor de 60 bpm. Es pertinente mencionar que su estudio utilizó como sujetos a niños de 8 a 15 años. En un estudio con búsquedas similares Ellis, determinó los umbrales de percepción de la modulación de tempo a lo largo de un rango de tempi. Ellis hizo escuchar a sus sujetos una melodía monotónica que  podía acelerar o desacelerar en el tempo y que empezaba en uno de seis tiempos preestablecidos entre 95

Madsen, Christi K., Duke, R. A. y Geringer, John. M., “Pitch and tempo discrimination in recorded band music among am ong wind and percussion musicians”, Journal musicians”, Journal of Band Research, Research, vol. 20 , American Bandmasters Assocciation, Troy, Alabama,

1984, pp. 20-29. 96

Wang, Cecilia C. y Salzberg, Rita S. “Discrimination “Discrimination of modulated music temp o by string students”, Journal students”,  Journal of Research in Music Education vol.32, núm. 2, Sage Publications, Thousand Oaks, California, 1984, pp.123-131. 97 Dorhout, Albert J.,  An investigation investigation into the nature nature of tempo perception, tesis de doctorado, Northwestern N orthwestern University,

Evanston, Illinois, 1979, p. 40.

80

48 y 228 bpm. Sus resultados muestran que en 48 bpm y 84 bpm las desaceleraciones eran más facilmente detectables que los aumentos. En los tempi 120 a 156 bpm los aumentos y disminuciones de velocidad eran igualmente detectables. En los tempi 192 y 228 bpm los aumentos de velocidad fueron mucho mejor detectados que las disminuciones. Un estudio realizado por Brittin y citado por Royal “sugiere que los sujetos son más capaces de

detectar desaceleraciones en velocidades lentas y aceleraciones en velocidades rápidas”.98 Si bien las investigaciones respecto a la modulación de tempo no han sido tan extensas como las relacionadas al ritmo, podemos entender que existen puntos claros de referencia perceptiva. Al hablar de los mecanismos que subyacen en la MM, Guy Madison, del departamento de Sicología de la Universidad Umea de Suecia dice “el alcance de esta flexibilidad permanece ampliamente desconocida

y los mecanismos que la subyacen son materia de especulación”.99 Sin embargo Madison utiliza una ilusión auditiva para explorar la relación entre las señales externas de pulso y el proceso interno de  predicción de este es te mismo pulso. Adaptando la ilusión ilus ión generada por p or Roger Shepard100 y modificada por Jean Claude Risset101  que generaba la ilusión de un  glissando infinito, Madison encuentra el punto  preciso en el que somos s omos tendientes a cambiar de agrupación agr upación dependiendo del tempo, que es el tema que a nosotros nos concierne. Esta misma ilusión fue utilizada por James Tenney en 1969 -cinco años después de que fue publicado el artículo de Shepard- para la creación de For Ann (Rising) y se basaba en la misma ilusión, que es la concatenación de dos patrones para dar el efecto de una escalera de Escher auditiva; la ilusión de bajar o subir de altura infinitamente sin hacerlo realmente. Este fenómeno auditivo relacionado con la modulación continua de tempo fue explorado a través de la MM por Elliott Carter en sus Variaciones para Orquesta (1954-1955) específicamente en el inicio de la sexta variación, donde escribió accelerandi  continuos que repiten el mismo patrón uno tras otro, transformando en tresillos las negras, que luego son transformadas en tresillos para ser agrupadas por otras negras que son modificadas de la misma manera.

98 Royal, Matthew S.,

op. cit. “the scope of this flexibility remains largely uncharted, and the underlaying mechanisms are a matter of speculation” . Mi traducción. Madison, Guy, “An Auditory Illusion of infinite Tempo Change Based on Multiple Temporal Levels”,  PLos ONE, vol. 4, núm. 12, 2009, http://www.plosone.o http://www.plosone.org/article/i rg/article/info%3Adoi%2F10.1371%2Fjour nfo%3Adoi%2F10.1371%2Fjournal.pone.0008151 nal.pone.0008151 . 100 Shepard, Roger N., "Circularity in Judgements of Relative Pitch", Journal of the Acoustical Society of America America  vol. 36, núm. 12, AIP Publishing, College Park, Maryland, diciembre de 1964, pp. 2346 – 2353. 2353. 99

101 Risset, Jean-Claude, "Pitch and rhythm paradoxes: comments on

"Auditory paradox based on fractal waveform"", 962.  Journal of the Acoustical Acoustical Society of of America vol. 80, núm. 3, AIP Publishing, College Park, Maryland, 1986, pp. 961 – 962.

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 Ejemplo 13. Variations for Orchestra, VI, cc. 289-306

Creó el mismo patrón de aceleración con efectos similares en la escucha a través de un accelerando cíclico que une un tempo proporcional al primer tempo para reanudar el patrón. Hemos explorado la región temporal de la música que corresponde al ritmo. Encontramos que cada área está conformada por una orografía específica e independiente de sus áreas vecinas. Las cuatro regiones principales (1-100 ms., 250 ms., 600-700 ms. y 5 s.) poseen propiedades características con el  potencial de ser llevadas a la música. La JND muestra que el 6% es el cambio mínimo perceptible respecto al tempo. Resuelven preguntas como cuáles son los factores que aglutinan aglutinan un grupo de notas, cuáles son los elementos con los que podemos contar para crear una composición puramente rítmica y establecer puntos de estabilidad y caos, cuáles son los factores que acentúan el contraste en el ritmo, límite entre presente y memoria, etc. El análisis y la integración de esta información puede un papel importante en la composición, que deja la exclusividad de la partitura y se alimenta de la percepción,

82

cambiando su orientación hacia zonas de la escucha que si bien no han llegado a un consenso final, sí descubren características naturales que como escuchas o intérpretes todos (o casi todos) poseemos.

4. Sobre una obra personal con MM, Post Sicut (2016)

Esta obra para cuarteto de percusionistas busca traducir la secuencia de tensión y distensión de las obras tonales en una obra sin alturas. El camino más directo fue llevar al ámbito rítmico las  proporciones tonales y a partir de la sensación que ellas crearan, estructurar una especie de mosaico rítmico con un arco dramático en el que la tensión escala antes de una sección de resolución. La obra se estructura en tres partes principales. La primera y la última permanecen en un solo tempo. La parte media es donde residen las MM que siempre mantienen una proporción de 3/2 para crear un contraste claro entre cada MM. Las primeras pruebas consistieron en crear una serie de 'acordes rítmicos' que yuxtapusieran cuatro  pulsos distintos y analizar empíricamente si una secuencia de dos acordes creaban una relación de tensión y distensión. Un resultado satisfactorio para mí fue encontrar que los 'acordes rítmicos' más complejos como 11: 8: 5: 3 producen una aspereza auditiva más alta que una relación de 2: 1. Inmediatamente surgieron nuevas interrogantes. La yuxtaposición de pulsos también tiene una duración ¿qué hacer con ella? ¿Incorporarla a la composición como un elemento activo o dejarla de lado y enfocarme en la consecución de 'acordes rítmicos'? Si la incorporo ¿hago que las duraciones sean  proporcionales a los acordes o que sean arbitrarias? arb itrarias? Decidí hacer duraciones fijas en la primera parte y duraciones proporcionales a los acordes en la segunda parte para que el contraste entre tempo fijo de la  primera parte y las MM de la segunda parte fuera claramente c laramente discernible. Cada uno de los percusionistas tiene un ámbito de pulsos único. La velocidad de los pulsos tocados por el primer percusionista es generalmente tres veces más rápida que la del cuarto percusionista y el registro que media entre el primer y el cuarto percusionista está distribuido entre el segundo y el tercero.

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 Ejemplo 14. Post Sicut, c. 108

La tercera parte de la obra regresa al tempo primo en una especie de coda con 'acordes rítmicos' consonantes como 4:3:2 que duplican su duración original.

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Conclusiones

Pienso que esta tesina contribuye a la composición en cuatro puntos principales: • Esclarece la discusión semántica sobre la MM. • Compila obras que usan MM y de éstas, analiza cinco que se fundamentan en la MM. • Expande sistemáticamente las posibilidades de la MM planteadas por la música de Elliott Carter. • Integra las investigaciones psicoacústicas entorno al tempo como una herramienta compositiva (y las

vincula con las posibilidades abiertas por la MM). • Propone a la MM como un punto de partida para la creación de nueva música.

La ampliación del trabajo de Elliott Carter respecto a la MM es una de las principales contribuciones de este trabajo, ya que elabora un mapa con las modulaciones proporcionales que un tempo contiene. Esto manifiesta la idoneidad de la MM para explorar al tempo como un elemento musical activo. Simultáneamente este trabajo usa a la psicoacústica con el fin de crear una descripción de las características de la MM en distintas regiones de la perecepción, correspondientes al continuo de frecuencias menores a 20 Hz. Uno de los indicios más claros que los estudios psicoacústicos muestran es que la escucha de las ya mencionadas frecuencias, comprende tres regiones con propiedades  particulares cada una, aptas para la composición, quizás a título de gusto personal decir que lo más interesante se refiere a cruzar las fronteras. En segundo término el análisis de composiciones con MM puede servir como referencia para futuras obras centradas en el tempo o que hagan del pulso un recurso activo. La comparación entre modulación tonal y MM mostró diferencias claras que desechan la idea de que ambas modulaciones son una misma herramienta transferida a otra región del continuo de frecuencias sonoras. Sin embargo lo que se extrae de esta información no es automáticamente un procedimiento a seguir, muchas de las perspectivas están abiertas para que el lector las desarrolle. Mi propósito fue mostrar la información tan imparcialmente como me fue posible, exponer un proceso “descriptivo, no  prescriptivo”102.

102

“it should be d escriptive not prescriptive”. Mi traducción. Tenney, James, “Darmstadt Lecture (1990)”, From (1990)”, From Scratch: Writings in Music Theory, University of Illinois Press, Illinois, 2015, p. 353.

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Evidentemente la mayoría de las ideas aquí contenidas existían antes de este trabajo. Sin embargo el aislamiento habitual de sus disciplinas (matemática, sicoacústica, composición) hacía su relación inviable. Mi intención fue acercarlas lo más posible y unirlas en la composición musical. El objetivo fue crear estrategias interdisciplinarias para navegar las modulaciones métricas. La música basada en medios exclusivamente temporales y su teoría se encuentran en un período elemental. Las investigaciones investigaciones estéticas estéticas y técnicas al respecto son cuantitativamente

menores en

comparación a las investigaciones armónicas. También hay un número menor de investigaciones de mm que las del timbre desde el siglo XX al día de hoy. Es obvio que aún hay espacio para la investigación sobre el ritmo y el tempo, tanto de manera técnica como estética. Es mi esperanza que este trabajo ayude a renovar la discusión sobre el el tempo y a través de la modulación métrica, dar unos pasos a una teoría más completa de la temporalidad musical.

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