Modula Metodos Cuantitativos

MBA. David Johny Oseda Tello

Métodos Cuantitativos para los Negocios

Título :

Métodos cuantitativos para los negocios

Autor: MBA. David Johny Oseda Tello Diseño interior: Jacob Alex Condori Ito Diseño de tapa: Jacob Alex Condori Ito Responsables: David Palacios Pinedo, Christian Vallejos Angulo, Lizardo Vásquez Villanueva, Anita Acuña Huamán. Primera edición, marzo 2013 El contenido de esta publicación (texto, imágenes y diseño), no podrá reproducirse total ni parcialmente por ningún medio mecánico, fotográfico, electrónico (escáner y/o fotocopia) sin la autorización escrita del autor. Universidad Peruana Unión - Facultad de Ciencias Empresariales Centro de Producción de Materiales Académicos CEPMA-PROESAD Sede Central - UPeU Carretera Central km 19 Ñaña-Lima / Tel. (01) 618-6336 / 618-6300 / Anexo: 3084 www.upeu.edu.pe e-mail: [email protected] http://proesad.upeu.edu.pe Este libro se terminó de imprimir en los talleres gráficos del Centro de Aplicación Editorial Imprenta Unión de la Universidad Peruana Unión, Km 19 Carretera Central, Ñaña, Lima-Perú Tel.: 618-6301, Telefax: 618-6339 JOB 16136-13 UNIÓN® E-mail: [email protected] Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú Nº 2013-09810 IMPRESO EN EL PERÚ PRINTED IN PERU

Presentación El presente material constituye una herramienta fundamental de estudio que el estudiante deberá usar, durante el desarrollo de la asignatura de Métodos Cuantitativos para los Negocios. Este material se usará como material de consulta y apoyo. La estructura de cada tutoría está diseñada, primero, en forma conceptual y, posteriormente, con ejercicios resueltos y ejercicios propuestos. Con los ejercicios resueltos dará más claridad al tema o tutoría, los propuestos darán entrenamiento y análisis a los diferentes problemas reales. Los métodos cuantitativos son modelos matemáticos que son empleados en problemas cotidianos como la producción, punto óptimo, pronósticos, transporte, etc. De tal manera que el estudiante usará, en forma práctica, conceptual y analíticamente, creando un acercamiento a las actividades reales relacionadas a la optimización de recursos. De esta manera, deseamos que el estudiante pueda investigar este material y otros materiales adicionales para dar cumplimiento al objetivo de esta materia.

íNDICE Unidad I:

LOS MÉTODOS CUANTITATIVOS E INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL

Sesión 1 GENERALIDADES..................................................................................................... 15 1.1 ORIGEN DE LOS MÉTODOS CUANTITATIVOS................................................................. 15 1.2 ETAPAS BÁSICAS EN LOS MÉTODOS CUANTITATIVOS................................................... 16 1.3 PRINCIPALES MÉTODOS EMPLEADOS........................................................................... 16 1.4 SOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y TOMA DE DECISIONES.................................................... 17

Sesión 2 MODELOS................................................................................................................ 19 2.1 DEFINICIÓN................................................................................................................... 19 2.2 TIPOS DE MODELOS...................................................................................................... 19 2.3 MODELOS MATEMÁTICOS............................................................................................. 19 2.4 PROCESO DE MODELADO.............................................................................................. 20 2.5 MODELADO DE SIMULACIÓN........................................................................................ 21 2.6 ETAPAS DEL MODELADO.............................................................................................. 21

Sesión 3 CONCEPTOS BÁSICOS DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL........................................... 23 3.1 ORIGEN Y FINALIDAD DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL................................................. 23 3.2 ESTRUCTURA DE LOS PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL.................................. 23

Sesión 4 LA SOLUCIÓN DE LOS PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL.......................... 27 4.1 MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL................... 27 4.2. MÉTODO GRÁFICO....................................................................................................... 27 4.2.1. DEFINICIÓN.............................................................................................................. 27 4.2.2. TEOREMA.................................................................................................................. 28 4.2.3. PASOS PARA OBTENER LA SOLUCIÓN GRÁFICA....................................................... 28 4.3. MÉTODO PUNTO DE ESQUINA..................................................................................... 29 4.3.1. TEOREMA.................................................................................................................. 29 4.3.2. PASOS PARA OBTENER LA SOLUCIÓN POR EL MÉTODO PUNTO DE ESQUINA.......... 29 4.4. MÉTODO DEL SIMPLEX................................................................................................. 30 4.4.1. INTRODUCCIÓN........................................................................................................ 30 4.4.2. DEFINICIONES........................................................................................................... 30 4.4.3. PASOS DEL ALGORITMO DEL SIMPLEX...................................................................... 31 4.5 MÉTODO COMPUTACIONAL......................................................................................... 40 EJERCICIOS PROPUESTOS............................................................................................. 40

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Unidad II:

PROBLEMAS, MODELOS Y SOLUCIÓN EN PROGRAMACIÓN LINEAL:

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Sesión 5 EL PROBLEMA DE TRANSPORTE Y TRANSBORDO................................................... 47 5.1. GENERALIDADES.......................................................................................................... 47 5.2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA............................................................................... 47 5.3. CÁLCULO DE LA SOLUCIÓN DE UN PROBLEMA DE TRANSPORTE................................ 48 5.3.1. DETERMINACIÓN DE UNA SOLUCIÓN INICIAL........................................................... 48 5.3.1.1. MÉTODO DE LA ESQUINA DE N.O......................................................................... 49 5.3.1.2. MÉTODO DE MÍNIMO DE FILAS............................................................................. 50 5.3.1.3. MÉTODO DE MÍNIMO DE COLUMNAS.................................................................... 51 5.3.1.4. MÉTODO DE FLUJOS MUTUAMENTE CONVENIENTES............................................. 52 5.3.1.5. MÉTODO DE PENALIZACIONES ............................................................................. 54 5.3.2. PRUEBA DE OPTIMALIDAD....................................................................................... 57 5.4. EL PROBLEMA DE TRANSBORDO................................................................................. 63

Sesión 6 EL PROBLEMA DE ASIGNACIÓN.............................................................................. 67 6.1. GENERALIDADES.......................................................................................................... 67 6.2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA............................................................................... 67 6.3. ETAPAS PARA OBTENER LA SOLUCIÓN ÓPTIMA POR EL MÉTODO HÚNGARO............. 68 EJERCICIOS PROPUESTOS............................................................................................. 73

Sesión 7 LA TÉCNICA PERT.................................................................................................... 75 7.1. GENERALIDADES.......................................................................................................... 75 7.2. ESTRUCTURA DEL PROBLEMA...................................................................................... 75 7.3. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA.................................................................................. 76

Sesión 8 EL MÉTODO CPM..................................................................................................... 83 8.1. GENERALIDADES.......................................................................................................... 83 8.2. ESTRUCTURA DEL PROBLEMA...................................................................................... 83 8.3. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA.................................................................................. 84 8.3.1. MEDIANTE PROGRAMACIÓN LINEAL........................................................................ 84 8.3.2. ALGORITMO DE ACKOFF- SASIENI........................................................................... 85 EJERCICIOS PROPUESTOS........................................................................................... 89

Unidad III PRONÓSTICOS Sesión 9 INTRODUCCIÓN A LOS PRONÓSTICOS..................................................................... 95 9.1 GENERALIDADES........................................................................................................... 95 9.2 DATOS HISTÓRICOS...................................................................................................... 95 9.3 TIPOS DE PRONÓSTICOS............................................................................................... 96

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9.3.1. PRONÓSTICOS BASADOS EN OPINIONES SUBJETIVAS.............................................. 96 9.3.2. PRONÓSTICOS BASADOS EN UN ÍNDICE................................................................... 96 9.3.3. PRONÓSTICOS BASADOS EN PROMEDIOS................................................................ 96 9.3.4. PRONÓSTICO ESTADÍSTICO....................................................................................... 97 9.3.5. MÉTODOS COMBINADOS.......................................................................................... 97

Sesión 10 MODELOS DE PRONÓSTICOS CUANTITATIVOS...................................................... 99 10.1 INTRODUCCIÓN.......................................................................................................... 99 10.2 MODELOS DE PRONÓSTICOS POR SERIES DE TIEMPO................................................. 99 10.2.1 COMPONENTES DE UNA SERIE DE TIEMPO.............................................................. 99 10.2.1.1. MOVIMIENTOS SECULARES O DE TENDENCIA SECULAR....................................... 99 10.2.1.2. MOVIMIENTOS CÍCLICOS O VARIACIONES CÍCLICAS............................................. 99 10.2.1.3. MOVIMIENTOS ESTACIONALES O VARIACIONES ESTACIONALES........................ 100 10.2.1.4. MOVIMIENTOS IRREGULARES, AL AZAR O ALEATORIOS.................................... 100 10.2.2 MÉTODOS DE PRONÓSTICO................................................................................... 100 10.2.2.1. PRONÓSTICO BASADO EN LA MEDIA ARITMÉTICA............................................ 100 10.2.2.1.1. CÁLCULO ESTIMATIVO DEL ERROR EN EL PRONÓSTICO.................................. 101 10.2.2.2. PROMEDIO MÓVIL............................................................................................. 103 10.2.2.3. SUAVIZACIÓN EXPONENCIAL............................................................................. 104 10.2.2.4. REGRESIÓN........................................................................................................ 105 EJERCICIOS PROPUESTOS................................................................................................... 110

BIBLIOGRAFÍA..................................................................................................................... 113

SUMILLA El curso pertenece al área de formación profesional, es de naturaleza teórico-práctico y tiene como finalidad orientar al estudiante en la formulación de diversas estructuras de análisis cuantitativo y en el diseño de modelos matemáticos que brindan sustento y fortaleza al momento de realizar el proceso de la toma de decisiones, que se presenta a niveles operativos, tácticos e incluso estratégicos en las organizaciones. Comprende el estudio de:1) Introducción a los métodos cuantitativos, 2) El método Simplex y el problema Dual 3) El modelo de transporte y asignación 4) Gestión y administración de proyectos 5) Modelos de inventarios y 6) Análisis de decisiones.

ORIEnTACIOnES METODOlÓGICAS CÓMO ESTUDIAR LOS MÓDULOS DIDÁCTICOS O TEXTOS AUTOINSTRUCTIVOS MéTODO A2D El método A2D para autodidactas, de Raúl Paredes Morales, es un método de fácil aplicación para la mayoría de los estudiantes, inclusive para los no autodidactas. Si el estudiante aplica este método, su trabajo intelectual será más rápido y eficaz. A2D responde a las letras iniciales de los 3 pasos que se propone para la lectura de un módulo didáctico o cualquier otro texto.

Antes de la lectura

A2D

Durante la lectura Después de la lectura

AnTES DE lA lECTURA Consiste en la exploración preliminar y se debe: ÂÂEchar un vistazo general empezando por el índice, reconociendo unidades y lecciones que se van explicando en el módulo didáctico. ÂÂAnotar tus dudas que van surgiendo durante el vistazo general, para esclarecerlas durante la lectura o después de ella. ÂÂAdoptar una actitud psicológica positiva.

DURAnTE lA lECTURA Esta es la fase más importante del método, el ritmo de lectura lo pone cada lector. Debes tener presente los siguientes aspectos: ÂÂMantén una actitud psicológica positiva. ÂÂParticipa activamente en la lectura: Tomando apuntes, subrayando, resumiendo y esquematizando. ÂÂSi no entiendes lo que lees o encuentras una palabra desconocida, consulta con tu profesor, tutor o un diccionario.

DESpUéS DE lA lECTURA Esta fase va a afianzar tu lectura, mejorando tu comprensión lectora. Para ello debes tener en cuenta lo siguiente: ÂÂRepasa los apuntes tomados durante la lectura. ÂÂOrganiza el trabajo y planifica el horario de estudio. Trata de que sea siempre a la misma hora. ÂÂRealiza los trabajos diariamente. No dejes que se te acumulen las tareas. ÂÂProcura ampliar las lecciones con lecturas complementarias. ÂÂAl final de cada capítulo, haz un cuadro sinóptico o mapa conceptual. ÂÂElabora tu propio resumen.

Enriquece tu vocabulario para entender mejor las próximas lecturas.

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UNIDAD I Los Métodos Cuantitativos e Introducción a la Programación Lineal SESIÓN 1 Generalidades SESIÓN 2 Modelos SESIÓN 3 Conceptos Básicos de

Programación Lineal

SESIÓN 4 La solución de los problemas de Programación Lineal

Competencias CONCEPTUAL

PROCEDIMENTAL

ACTITUDINAL

• Asimila los conceptos de modelos matemáticos, comprende la función de los Métodos Cuantitativos, Programación Lineal. Entiende la lógica de la programación lineal en el sistema productivo para poder aplicar.

• Estudia los ejercicios resueltos en programación lineal, resuelva y analiza los ejercicios propuestos, con el fin de comprender la manera más adecuada la programación lineal.

• Aplica los conceptos en temas de reales según la actividad que emprendas.

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Unidad I

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Sesión

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Generalidades

1.1 ORIGEN DE LOS MÉTODOS CUANTITATIVOS ¿PARA QUÉ SIRVEN LOS MÉTODOS CUANTITATIVOS? Los métodos cuantitativos tuvieron su origen en el inicio formal de la Investigación Operativa o Investigación de Operaciones, que tuvo lugar en Inglaterra a fines de 1939, en el período de la Segunda Guerra Mundial, cuando la estación de investigación de Bawdsey, bajo la dirección del Dr. A. Rowe, fue encargada del desarrollo de políticas óptimas para el nuevo sistema de detección militar llamado RADAR. En agosto de 1940, el Dr. P.M.S. Blackett, físico de la Universidad de Manchester, fue encargado de formar un grupo de trabajo para estudiar el sistema de defensa antiaérea gobernado por RADAR. Este grupo estaba constituido por tres psicólogos, dos físicos matemáticos, un astrofísico, un oficial del ejército, un topógrafo, un físico y dos matemáticos. Admitía que en él se daban todas las características de los grupos que trabajan en Investigación Operativa: yy Grupo de trabajo interdisciplinario yy Empleo de modelos matemáticos yy Punto de vista de análisis de sistemas Este grupo fue encargado del estudio del ataque aéreo a los submarinos enemigos. Las bombas estaban programadas para estallar a una profundidad de unos treinta metros, pues se argumentaba que el submarino se sumergiría al divisar al bombardero; y dado que desde el instante en que fuera localizado el bombardero hasta el lanzamiento de la bomba, transcurrirían aproximadamente dos minutos, unos treinta metros era, aproximadamente, la profundidad alcanzada por el submarino en su precipitada inmersión. Pero, aunque el razonamiento era válido, los resultados obtenidos con esta táctica eran muy limitados. Cuando el grupo del Dr. Blackett se hizo cargo del estudio, su primera decisión consistió en la observación directa de la situación, acompañando a los bombarderos en sus misiones de ataque a submarinos. Tras un elevado número de observaciones, llegaron a la conclusión con el análisis de los datos de los ataques: Métodos Cuantitativos para los Negocios

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a) Debido a la falta de precisión del bombardeo, muy pocas de las bombas explotaban cerca de su objetivo, a treinta metros de profundidad. b) La precisión aumentaba cuando el submarino no había tenido tiempo de sumergirse, pero en ese caso las bombas estallaban a demasiada profundidad, casi sin causar daños. Por tanto, la profundidad de treinta metros era adecuada cuando el submarino divisaba con antelación al bombardero, pero la falta de precisión impedía obtener resultados. Y cuando la precisión era buena, la profundidad a que estaba programada la explosión era inadecuada, pues esto solo ocurría cuando el submarino se mantenía cercano a la superficie. A la vista de los datos estadísticos sobre la precisión del bombardeo y la inmersión de los submarinos, se llegó a la conclusión de que la alternativa más adecuada era optar por causar daños, cuando el submarino estuviera en la superficie. De este modo, los resultados mejoraron espectacularmente. En este trabajo ya estaban incluidos los aspectos que caracterizan a los estudios de Investigación Operativa: 1. Toma directa de datos. 2. Empleo de modelos matemáticos para el análisis de la situación que, en este caso, era simplemente estadístico. 3. Obtención de las políticas óptimas que corresponden al modelo. 4. Modificación de dichas políticas, de acuerdo con factores reales no considerados en el modelo: en este caso se emplearon espoletas que explotaban a diez metros de profundidad. Sus postulados iniciales han evolucionando sucesivamente y han desarrollado un importante número de modelos matemáticos y métodos cuantitativos, con el apoyo de los computadores. El desarrollo de la investigación operativa, según muchos autores, ha representado uno de los avances científicos más importantes desde mediados del siglo XX. Actualmente es una herramienta utilizada en muchos campos de la administración, de la economía y de la ingeniería. La investigación operativa tiene como base el método científico para investigar y ayudar a tomar decisiones sobre los problemas complejos de las organizaciones de hoy en día.

1.2 ETAPAS BÁSICAS EN LOS MÉTODOS CUANTITATIVOS Básicamente la investigación operativa sigue los pasos siguientes: Observación y formulación del problema. Modelizar matemáticamente el sistema. Extraer una solución del modelo. Experimentación del modelo y de la solución. Realizar controles sobre la solución alcanzada. Implementar la solución.

1.3 PRINCIPALES MÉTODOS EMPLEADOS yy yy yy

Entre los principales y más usados tenemos: Pronósticos Administración de inventarios

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yy yy yy yy yy yy yy yy yy yy yy

Programación lineal Programación lineal entera Programación dinámica Programación de metas Programación no lineal Programación cuadrática Optimización de redes Programación de proyectos: PERT/CPM Modelos de colas o líneas de espera Análisis de decisiones Simulación

Cada uno de esos métodos ha sido diseñado para tomar en cuenta las propiedades matemáticas especiales del modelo, siendo la más exitosa de estas técnicas la de programación lineal, la cual desarrollaremos más adelante. Todas las técnicas dan por resultado algoritmos computacionales de naturaleza iterativa. Donde cada nueva iteración lleva más cerca de la solución óptima, en muchos casos se requiere cálculos voluminosos y tediosos. Luego es imperativo que estos algoritmos se ejecuten en una computadora. Algunos modelos matemáticos son tan complejos que es imposible resolverlos mediante cualquiera de los algoritmos de optimización disponible. En estos casos se abandona la búsqueda de la solución óptima y se optaría por una buena solución utilizando la heurística. La ventaja de una heurística sobre un algoritmo de optimización exacta es que, en general, su ejecución es más rápida.

1.4 SOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y TOMA DE DECISIONES La solución de problemas se puede definir como el proceso de identificar la diferencia entre el estado real y el estado deseado de las cosas y, seguidamente, tomar las acciones correspondientes para resolver dicha diferencia. Para problemas importantes y complejos, el proceso de resolución de problemas involucra los siguientes pasos: 1. Identificar y definir el problema. 2. Determinar el conjunto de soluciones alternativas. 3. Determinar los criterios que se utilizarán para evaluar dichas alternativas. 4. Evaluar las alternativas. 5. Elegir una alternativa. 6. Implementar la alternativa seleccionada (la decisión), es decir, ponerla en práctica. 7. Evaluar los resultados y determinar si se ha llegado a una solución satisfactoria. La toma de decisiones, generalmente, comprende los cinco primeros pasos del proceso de solución de problemas, por lo que el primer paso de la toma de decisiones es identificar y definir el problema. Esta termina al seleccionar o elegir una alternativa, que es el acto de tomar una decisión.

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El siguiente diagrama de bloques muestra este proceso:

Definir el Problema

Identificar Alternativas

Determinar Los Criterios

Resolución de problemas

Toma de decisiones

Evaluar Alternativas

Elegir una Alternativa

Implementar

la alternativa

Evaluar los resultados

En la toma de decisiones, se requiere identificar tres componentes principales: ¿Cuáles son las alternativas de la decisión? ¿Bajo qué restricciones se toma la decisión? ¿Qué es un criterio objetivo para la evaluación de las alternativas? Por lo general, las alternativas del problema de decisión pueden tener la forma de variables desconocidas. Después estas variables se utilizan para construir las restricciones y el criterio objetivo como funciones matemáticas apropiadas. El resultado final es un modelo matemático que relaciona las variables, las restricciones y la función objetivo. La solución del modelo produce, entonces, los valores de las variables de la decisión que optimizan (maximizan o minimizan) el valor de la función objetivo, al mismo tiempo que satisfacen todas las restricciones.

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Modelos 2.1 DEFINICIÓN Un modelo es la representación aproximada de un objeto, de un proceso o de una situación real. También se puede decir que es una abstracción cuidadosamente seleccionada de la realidad.

2.2 TIPOS DE MODELOS Generalmente, se consideran tres tipos de modelo: - Modelos físicos o icónicos, que son las representaciones a escala de los objetos reales, por ejemplo: los modelos en miniatura de un avión, barco, una casa o de un conjunto urbanístico. - Modelos analógicos, empleados con mucha frecuencia pero que pocos los pueden reconocer, por ejemplo: un mapa topográfico que nos representa las variaciones de altitud de zona geográfica, el velocímetro de un vehículo que nos representa la velocidad a que se encuentra dicho vehículo mediante el desplazamiento de la aguja indicadora sobre un panel, con escala graduada, et. - Modelos simbólicos o abstractos, los cuales emplean símbolos y relaciones o expresiones matemáticas para representar los conceptos mediante variables definidas cuantitativamente. Por ejemplo: Si definimos como I al ingreso por ventas, como P al precio de venta de un bien y como Q a la cantidad vendida de dicho bien, entonces el ingreso por ventas estará dado por: I = P x Q. Esta expresión representa ya, de por sí, un modelo matemático, claro está, muy simple.

2.3 MODELOS MATEMÁTICOS Los modelos que nos interesan para efectos del curso son los modelos simbólicos o abstractos, dentro de los cuales se encuentran los modelos matemáticos, con los que se puede representar un problema mediante símbolos y relaciones o expresiones matemáticas, para tratar datos cuantificables, es decir que puedan ser expresadas en forma numérica. No está demás recalcar que los datos numéricos son un factor crítico en cualquier procedimiento cuantitativo para la toma de decisiones.

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2.4 PROCESO DE MODELADO En el siguiente diagrama de bloques se puede apreciar el proceso de modelado bastante simplificado, pero concreto: Análisis Modelo

Resultados

Interpretación

Mundo Real

Abstracción

Mundo Simbólico Juicio Administrativo

Situación Administrativa

Decisiones Intuición

Fig. 1: Proceso de Construcción de un Modelo Antes de la aplicación de los métodos cuantitativos, los administradores dependían solo de su intuición por completo, como instrumento para tomar decisiones. Con la complejidad de los problemas actuales en los diversas áreas de la administración eso ya no es suficiente, por cual se requiere de herramientas más sofisticadas y científicas para su resolución. Lo anterior requiere salir del mundo real, abstraerse y entrar al mundo simbólico, tal como lo muestra la figura 1. En esto consiste el proceso de modelación, en la representación en el mundo simbólico de un problema o situación del mundo real. Este proceso es adicional al uso de la intuición, no para sustituirla. Implica, como ya lo dijimos antes, abstraer los aspectos problemáticos de la situación en un modelo cuantitativo que represente lo más esencial de la situación. En tal sentido, el juicio administrativo debe estar presente en todos los aspectos del proceso. El paso crucial en la formulación de un modelo de decisión es la identificación de sus principales componentes conceptuales. Estos son: - Las entradas del modelo. - Las salidas del modelo (o resultados del modelo). En esta etapa el modelo se considera como una “caja negra”, pues no se sabe aún cuáles serán las relaciones lógicas que colocaremos dentro de ella. Se podrá representar como se muestra en el siguiente diagrama de bloques de la fig. 2:

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MODELO Medidas de Rendimiento

DECISIONES (Controlables) Variables Exógenas

Variables Endógenas

Caja Negra Parámetros (Incontrolables)

Variables de Consecuencia

Fig. 2: Modelo como Caja Negra

2.5 MODELADO DE SIMULACIÓN En vista a que aún existen muchas situaciones reales que todavía no se pueden representar como sistemas matemáticos por la rigidez de la representación matemática, se da entonces un enfoque alternativo para modelar un sistema complejo que es la simulación. El modelado por simulación es la segunda mejor opción para observar un sistema real. Difiere del modelado matemático en que no es necesario exponer, de manera explícita, la relación la entrada y salida. En vez de ello, desglosa el sistema real en (pequeños) módulos y después imita el comportamiento real del sistema, utilizando relaciones lógicas para unir los módulos. Empezando con el módulo de entrada, los cálculos de la simulación avanzan entre los módulos apropiados hasta que se obtiene el resultado deseado. Los cálculos por simulación se requiere efectuarlos en un computador, por la cantidad de los mismos que se efectúan. Un modelo de simulación por lo regular es costoso, tanto en término de tiempo como de recursos. Además, la ejecución de algunos modelos de simulación, incluso en las computadoras más rápidas, puede ser lenta.

2.6 ETAPAS DEL MODELADO Las etapas principales son: 1. Definición del problema, establecer el alcance del problema que se está investigando. En esta etapa se debe identificar tres elementos principales de decisión del problema, a saber: (1) la descripción de las alternativas de decisión, (2) la determinación del objetivo del estudio y (3) la especificación de las limitaciones bajo las cuales opera el sistema que se modela. 2. Construcción del modelo, implica traducir la definición del problema a relaciones matemáticas (por ejemplo, programación lineal). Si las relaciones matemáticas son demasiado complejas para encontrar una solución óptima, se puede simplificar el modelo y emplear un enfoque heurístico, o bien considerar el empleo de la simulación, si es apropiado. En algunos casos una combinación de modelos matemático, de simulación y heurístico puede ser apropiada para resolver el problema de decisiones.

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3. La solución del modelo, la más sencilla de todas las etapas, implica el empleo de algoritmos de optimización bien definidos. Un punto importante en esta etapa es el análisis de sensibilidad. Este análisis es particularmente necesario cuando no es posible calcular con precisión los parámetros del modelo. 4. La validación del modelo verifica si el modelo propuesto hace lo que se supone que debe hacer, es decir, ¿el modelo proporciona una predicción razonable del comportamiento del sistema que se está estudiando? Por lo general, no hay seguridad de que el desempeño futuro seguirá duplicando el comportamiento conocido. Además, debido a que por lo común el modelo se basa en un examen cuidadoso de los datos pasados, la comparación propuesta debe ser favorable. Si el modelo representa un nuevo sistema (inexistente), no habrá datos históricos disponibles para hacer la comparación. En tales casos, podemos recurrir al empleo de la simulación como un instrumento independiente para verificar el resultado del modelo matemático. 5. La puesta en práctica, de la solución de un modelo validado implica la traducción de los resultados del modelo a instrucciones de operación, impartidas en una forma que sea comprensible para los individuos que administrarán el sistema recomendado.

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Sesión

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Conceptos Básicos de la Programación Lineal 3.1 ORIGEN Y FINALIDAD DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL

Inicialmente conocida como “Programación en Estructura Lineal”, fue creada en 1947 por George B. Dantzig, en el siglo XX. En 1948, Tjalling Keopmans sugirió a Dantzig que, como el nombre era muy largo, quedaría mejor como “Programación Lineal”, lo cual fue aceptado por Dantzig, tal como se conoce actualmente a este popular método. Podemos decir, en forma bastante concreta, que la finalidad de la programación lineal es determinar la forma más eficaz de utilizar los recursos disponibles para conseguir un determinado objetivo. En general, estos recursos disponibles presentan dos características fundamentales: yy Son limitados yy Son susceptibles de usos alternativos Esta doble característica de limitación de recursos y de la posibilidad de ser utilizados de diferentes maneras, hace rentable la investigación de las posibles alternativas de aplicación, con el fin de conseguir la máxima utilidad entre ellos. El planteamiento completo de un problema de programación lineal incluye un conjunto de ecuaciones lineales que representan las condiciones del problema, y una función lineal que expresa el objetivo del mismo, denominada comúnmente función económica. En cuanto a la palabra lineal, significa solamente lo que representa; los problemas pueden adaptarse al modelo si las relaciones algebraicas entre las variables son lineales, o pueden aproximarse con precisión por medio de ecuaciones de primer orden. Si esta condición no se cumple, deben utilizarse otras técnicas.

3.2 ESTRUCTURA DE LOS PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL La programación lineal se usa en la resolución de gran diversidad de problemas, entre los cuales tenemos: - El problema de la planificación de la producción o también conocido como de la mezcla óptima de producción. Métodos Cuantitativos para los Negocios

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- El problema del transporte. - El problema del trasbordo. - El problema de la dieta. - El problema del flujo en una red. - El problema de la cartera de valores. - El problema del despacho económico, etc. En general, los problemas de programación lineal tienen la siguiente estructura: 1. Existe un cierto objetivo a alcanzar, tal como un beneficio máximo, costo mínimo o mínimo período de tiempo del sistema que se estudia. 2. Hay un gran número de variables que deben manejarse simultáneamente. Estas variables pueden ser productos, horas-máquinas, horas-hombre, dinero, superficie, u otros factores según sea el problema. 3. Existe muchas interacciones entre las variables. Un problema típico es determinar la mejor proporción de productos para un período de producción. Aquí se trata de determinar qué productos se han de fabricar a partir de una lista de productos potenciales, junto con las cantidades óptimas de cada uno para hacer máximo el beneficio total que se obtiene de todos los productos, durante un período de producción establecido. 4. Muchos problemas de programación lineal se ven caracterizados por la presencia de restricciones, que son contradictorias con el objetivo principal del problema. En el caso de varios productos, por ejemplo, el fabricante puede especificar que al menos se obtenga una cierta cuantía de uno de los productos, aún sin tener en cuenta el beneficio. De esta forma, la programación lineal tiende a asociarse con situaciones complejas, muchas variables que se interaccionan y objetivos competitivos, junto con la optimización de algún criterio de efectividad del sistema. Las interacciones de las variables y la rivalidad de objetivos son características de muchas situaciones industriales. Cabe destacar que la programación lineal tiene una relación matemática con ecuaciones lineales de primer grado, de esa manera un sistema de ecuaciones da las aristas para graficarlo en unas coordenadas. De esta manera, el planteamiento matemático general del problema de programación lineal es el siguiente: Encontrar el vector solución de: (1)

a11x1 + …………….. + a1nxn b1 ..…………………………………. am1x1 + ……………. + amnxn bm

Que haga máximo a: (2)

Z = c1x1 + ……………. + cnxn

Y de tal manera que las variables xj estén sujetas a la condición de no negatividad: (3)

xj

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Ejemplo Una pequeña carpintería dispone de dos máquinas A y B para la fabricación de sillas y mesas. Cada silla produce un beneficio de $ 10 y cada mesa $ 30. Cada silla requiere cuatro horas en A y ocho en B, mientras que cada mesa precisa seis horas en A y cuatro en B. Durante la siguiente semana las máquinas A y B tienen 12 y 16 horas disponibles, como máximo respectivamente para estos trabajos. Suponiendo que existe demanda para ambos productos, Plantear la solución, a fin de determinar cuántas sillas y/o mesas deben fabricarse para conseguir un beneficio máximo. Solución Para plantear la solución a este problema, debemos considerar los siguientes pasos: a. Las siguientes alternativas están disponibles - Fabricar solo sillas - Fabricar solo mesas - Fabricar sillas y mesas Luego nuestras variables a considerar serían: X1 = N.º de sillas X2 = N.º de mesas b. Las restricciones estarían dadas por la disponibilidad de horas de fabricación de las máquinas A y B: 4X1 + 6 X2 8X1 + 4 X2

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c. Determinamos la función objetivo. En este caso se trata de optimizar la utilidad por la venta de las sillas y mesas. Luego la función económica sería: Z = 10X1 + 30X2 d. Se tendría que considerar la condición de no negatividad: X1 X2

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La Solución de los Problemas de Programación Lineal 4.1 MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Para la resolución de problemas de Programación Lineal (PL), existen tres métodos clásicos que permiten resolver los problemas de este tipo, tales como: 1. Método gráfico 2. Método del punto de esquina 3. Método del Simplex Asimismo, debido al gran desarrollo computacional actualmente existe el método de resolución por computadora, el cual emplea software o programas computacionales especialmente elaborados para resolver los problemas de PL. Dicho sea de paso, mediante este método la resolución de un problema de PL ha pasado a ser bastante simple, evitando así las laboriosas operaciones matemáticas que conlleva su resolución manual. Por otro lado, es necesario poner en relieve que el método gráfico no resulta muy práctico dado que solo puede utilizarse en dos dimensiones, es decir en plano cartesiano XY, y existe la imposibilidad de dibujo en dimensiones superiores a tres. Asimismo, el método del punto de esquina resulta, poco útil como consecuencia del gran número de sistemas de ecuaciones a resolver.

4.2 MÉTODO GRÁFICO 4.2.1. Definición Conjunto convexo en R2 Un subconjunto S de R2 es convexo si todo punto del segmento de la recta que une dos puntos cualesquiera de S es un punto de S.

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4.2.2. Teorema El conjunto solución de un sistema de desigualdades es un conjunto convexo.

4.2.3. Pasos para obtener la solución gráfica 1. Dibujar el conjunto de desigualdades. 2. Dibujar la función económica. 3. Desplazar la función económica paralelamente a la dirección de optimización sin abandonar el conjunto de restricción. 4. Leer las coordenadas del punto antes de que la recta que representa la función económica abandone la región restringida. Ejercicio 4.1 Resolver gráficamente el problema de programación lineal: 3300 20X1 + 50X2 4X1 + 3X2 380 X 1 , X2 0 Max Z = 3X1 + 6X2 Solución 4.1 Trasladando la recta 3x1 + 6x2 = 0 paralelamente a ella misma, el último punto antes de abandonar la región convexa es el (65,40), punto en donde la función económica alcanza su máximo.

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4.3 MÉTODO PUNTO DE ESQUINA 4.3.1. Teorema Una función lineal Z = c1x1 + ……………. + cnxn definida sobre un conjunto convexo acotado alcanza sus valores máximo y mínimo en los puntos extremos (o vértices).

4.3.2. Pasos para obtener la solución por el método Punto de Esquina Determinar todos los puntos esquina del conjunto restricción. Determinar los puntos esquina que satisfacen todas las desigualdades. Evaluar el valor de la función económica en cada esquina y determinar los puntos en donde se alcanza el máximo. Ejercicio 4.2 Dadas las rectas a y b que cortan a los ejes x1 y x2 en los puntos indicados en el gráfico, se pide: 1. Escribir las inecuaciones correspondientes a los polígonos convexos (1), (2) y (3). 2. Determinar la solución óptima, utilizando las restricciones correspondientes al polígono convexo (1), y la función a maximizar siguiente: Z = 9x1 + 5x2

Solución 4.2 1. Polígono (1): a) 8x1 + 5x2 = 40 b) 5x1 + 9x2 = 45

restricciones

8x1 + 5x2 40 5x1 + 9x2 45 x1 , x2 0

restricciones

8x1 + 5x2 40 5x1 + 9x2 45 x1 , x2 0

Polígono (2):

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Polígono (3): restricciones

8x1 + 5x2 40 5x1 + 9x2 45 x1 , x2 0

2. Solución óptima para restricciones Polígono (1): Punto de corte de las rectas: a) 8x1 + 5x2 = 40 b) 5x1 + 9x2 = 45

x1 = 2.87 x2 = 3.41

Los vértices de la región convexa son: (0,0); (0,5); (5,0); (2.87, 3.41) El valor óptimo de la función se alcanza en el punto extremo (5,0) y resulta ser: x1 = 5 x2 = 0 ya que sustituyendo estas coordenadas en la función económica se obtiene el máximo valor: Z = 9x5 + 5x0 = 45

4.4 MÉTODO DEL SIMPLEX 4.4.1. Introducción En esencia, el algoritmo del Simplex precisa para su utilización disponer de una solución inicial posible que permita iniciar los cálculos, por ello, según el caso que se presente será necesario introducir variables de holgura y variables artificiales.

4.4.2. Definiciones 1. Variable de holgura: Variable que permite convertir una desigualdad en igualdad. 1. Variable artificial: Variable que permite iniciar el cómputo, caso de no disponer de una solución inicial posible básica. Mediante las variables de holgura, el problema general de Programación consiste en encontrar un vector (x1, x2,……,xn) que optimice una función objetivo: (a)

Z = c1x1 + c1x2 +…………. + cnxn

Sujeta a las restricciones (b)

a11x1 + a12x2 + …………. + a1nxn = b1 …………………………………........ m < n am1x1 + am2x2 +…………. + amnxn = bm

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Que haga máximo a: (c)

xi

0 para una i cualquiera

1. Solución posible: Es un vector (x1, x2,……,xn) que satisface las condiciones (a) y (b) 2. Solución básica: Solución obtenida al hacer (n-m) variables igual a cero, siempre que el determinante de los coeficientes de estas «m» variables no sea cero. 3. Solución posible básica: Es una solución básica que satisface (c). 4. Solución posible básica no degenerada: Es una solución posible básica con exactamente «m» xi positivas.

4.4.3. Pasos del algoritmo del Simplex Notación: Pj = Vector de coeficientes de la variable j. cj = Contribución de la variable j a la solución. (Rendimientos directos) Coeficientes en la función objetivo de las variables ci = en solución. zj = Costo de introducir la variable j en solución:

bi = Exigencias o vector solución. cj - zj = Rendimientos marginales. Øi = bi / aij Suponiendo que ya se ha encontrado una solución básica posible a un problema de máximo, en el momento que se inician las iteraciones del algoritmo, los pasos son los siguientes: 1º Calculamos cj - zj para cada variable que no está presente en la solución: 1. Si para el menos un «j» cj - zj es positivo y si al menos un «aij» para este «j» es positivo, existe un mejor programa posible. 2. Si para un «j» cj - zj es positivo, pero los «aij» para este «j» son no positivos, la función objetivo no está acotada. 3. Si cj - zj es no positivo para todo j, el programa (solución) óptimo se ha encontrado. 2º Si nos encontramos en el caso 1.1., identificamos la variable que da mayor cj - zj (supongamos que es xk) y el elemento que da menor Øi = bi / aij , sea el ark , este elemento se denomina pivote. 3º Se divide la r-ésima fila por «ark» para obtener el correspondiente elemento en la tabla siguiente. Se efectúan las operaciones fila que reducirán a cero todos los otros elementos. 4º Repetimos los pasos 1,2 y 3 hasta que en alguna tabla se cumpla la condición 1.3. Entonces se ha obtenido la solución óptima.

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Cuando se realiza el algoritmo de un problema que contiene variables artificiales, existen tres casos posibles: 1. Antes de obtener la tabla en la cual todos los cj - zj < 0, las variables artificiales han sido reemplazadas por otras variables. Tenemos entonces una solución básica posible y podemos continuar las iteraciones hasta determinar el programa óptimo posible. 2. En la tabla final en la cual todos los cj - zj < 0 alguna variable artificial permanece en la solución pero con valor 0. La solución del problema es óptima y posible. 3. Se obtiene una tabla en la cual todos los cj - zj < 0, pero alguna variable artificial permanece en la solución con valor positivo. En este caso no hay solución posible, es decir, Z no puede optimizarse en función de los términos no negativos. Desde el punto de vista práctico esto significa que se está tratando de hacer algo imposible con los recursos disponibles. 4. A continuación vamos a desarrollar el método de solución simplex básico mediante un ejercicio sencillo. Ejercicio 4.3 Un fabricante tiene dos productos, I y II, ambos elaborados en dos pasos por las máquinas A y B. Los tiempos de proceso por centenar de unidades de los dos productos en las dos máquinas son los siguientes (los tiempos de preparación son insignificantes): Producto

Máquina A

Máquina B

I

4 horas

5 horas

II

5 horas

2 horas

Para el periodo siguiente, la máquina A tiene disponibles 100 horas y la máquina B tiene disponibles 80 horas. La contribución del producto I es $10 por 100 unidades, y la del producto II es $5 por 100 unidades. El fabricante se encuentra en un mercado en auge y puede vender todo lo que le sea posible producir de ambos productos en el periodo próximo. Se quiere determinar las cantidades del producto I y del producto II que debe producir para maximizar su contribución. Solución 4.3 Se adopta un sistema de notación. Se designa con xI la cantidad en centenares de unidades del producto I y con xII la cantidad en centenares de unidades del producto II que se producirán. Sólo existen como limitaciones las horas disponibles en la máquina A y en la máquina B; se sabe que la suma de los tiempos que se invierten en la fabricación de los dos productos en las dos máquinas no pueden exceder de 100 horas en la máquina A y 80 horas en la máquina B. Se puede expresar esto simbólicamente así: Máquina A Máquina B

4xI + 5xII 5xI + 2xII

100 80

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Dado que las contribuciones totales, que se desea hacer lo más grande posible, dependen solo de las cantidades de los dos productos que se fabriquen, se puede definir nuestra función objetivo así: Max Z = 10xI + 5xII Se quiere encontrar la combinación de valores de xI y xII que se ajuste a las restricciones impuestas por los tiempos de manufactura de los dos productos y por el tiempo total disponible y que además maximice la contribución total. Se debe reconocer que puede haber tiempo ocioso en la máquina A y en la máquina B. Si WA es el tiempo ocioso de la máquina A y WB es el tiempo ocioso de la máquina B, las inecuaciones antes planteadas quedarían así: Máquina A Máquina B

4xI + 5xII + WA = 100 5xI + 2xII + WB = 80

Se tiene dos ecuaciones y cuatro incógnitas. Luego la clave para determinar una solución inicial que luego se irá mejorando, es que dos de estas variables como máximo pueden tener valores positivos y por lo menos dos de ellas deben ser cero. Si se parte del supuesto de que tanto xI como xII son cero, es fácil ver que WA debe ser 100 y WB debe ser 80. Desde luego, esta solución es muy mala porque afirma que todo el tiempo disponible las máquinas están ociosas, pero se ajusta a las ecuaciones del problema y permite principiar. Se coloca esta solución inicial o trivial en el arreglo de la matriz que se muestra a continuación: xI

xII

WA

WB

100

4

5

1

0

80

5

2

0

1

Luego se va colocando los coeficientes de la función objetivo por encima del arreglo, como se ve en la tabla siguiente. El talón identifica, las variables de la solución e indica sus valores. En la columna de la izquierda del talón aparecen las contribuciones de las variables de la función objetivo.

 

Ni WA ni WB se encuentran en la función objetivo, de modo que se colocan ceros en esta columna: hay una razón para hacerlo así: si las dos máquinas están completamente ociosas, la contribución es cero. El valor de la función objetivo en este punto es 10(0) + 5(0) + (0)WA + (0)WB = 0 Antes de seguir, se designarán las diversas partes de la matriz. En la figura que sigue, aparece la nomenclatura de tales partes de la matriz. El talón de solución siempre contendrá tres columnas. El cuerpo y la identidad variarán en tamaño, según el problema de que se trate. Métodos Cuantitativos para los Negocios

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Para mejorar la solución inicial se debe tener una medida del mejoramiento potencial que se lograría en la función objetivo al introducir en las soluciones algunas de las variables que ahora valen cero en vez de algunas de las variables que se encuentran en la solución. Se desarrollará una hilera de índice que se colocará justo debajo de la matriz inicial que ahora se tiene. Estos números índices aparecerán debajo de la columna constante, el cuerpo y la identidad. Se calculan con base en la fórmula:

Para nuestro ejercicio, las cifras de la hilera de índice son: yy Número índice para la columna constante = (100 x 0 + 80 x 0) – 0 = 0 yy Número índice para la primera columna del cuerpo = (4 x 0 + 5 x 0) – 10 = -10 yy Número índice para la segunda columna del cuerpo = (5 x 0 + 2 x 0) – 5 = -5 yy Número índice para la primera columna de la identidad = (1 x 0 + 0 x 0) – 0 = 0 yy Número índice para la segunda columna de la identidad = (0 x 0 + 1 x 0) – 0 = 0 Ahora se colocan los números índices en la matriz simplex inicial

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–– Vemos que la hilera de índice es simplemente la hilera objetivo precedida de signos negativos. Esto solo ocurre cuando la columna objetivo contiene puros ceros. Mientras mayor sea el número negativo, mayor será el mejoramiento potencial por unidad de la nueva variable que haya de introducirse. Si todas las cifras por debajo del cuerpo y la identidad de la hilera de índice fuesen cero o positivos, no se podría ya obtener ninguna mejora, lo que indicaría que la solución presentada en el talón es una solución óptima. –– En la tabla anterior, la columna encabezada por la variable xI tiene la mayor posibilidad de mejorar, de modo que se le selecciona como columna clave. Esta selección significa que la variable xI se introducirá en la solución en vez de WA o a WB. –– Para determinar si xI reemplazará a WA o a WB se debe seleccionar una hilera clave. Para ello se divide cada cifra de la columna constante por la correspondiente cifra positiva de la columna clave. Los cocientes resultantes se comparan y se selecciona como hilera clave la que genere el cociente no negativo más pequeño. Para nuestro problema, los cocientes son: Primera hilera Segunda hilera

100/4 = 25 80/5 = 16 (hilera clave)

El cociente no negativo más pequeño es 16, que se calcula en la segunda hilera, la cual se convierte en la hilera clave. El número común a la columna clave y a la hilera clave se designa como número clave (ver en matriz siguiente).

Se sabe que xI se introducirá en la solución y se desea saber cuál será su valor máximo compatible con ambas ecuaciones del problema, suponiendo que ninguna de las variables pueda asumir valores negativos. En la primera ecuación, xI alcanzaría su valor máximo cuando xII y WA fuesen cero; es decir: o sea

4xI + 2xII + WA = 100 xI = 100/4 = 25

En la segunda ecuación, xI alcanzaría su valor máximo cuando xII y WB fueran cero, es decir: o sea

5xI + 2xII + WB = 80 xI = 80/5 = 16

–– Así pues, la segunda ecuación es la que limita a xI, que no puede exceder de 16, y este hecho determina la selección de la segunda hilera como hilera clave. –– Una vez seleccionada la columna clave y la hilera clave, se puede preparar una nueva tabla que represente una solución mejor. El primer paso de la elaboración de la nueva tabla consiste en el cálculo de los coeficientes de la hilera principal. Esta hilera principal aparece en la Métodos Cuantitativos para los Negocios

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nueva tabla en la misma posición relativa que la hilera clave en la tabla anterior. Se calcula dividiendo los coeficientes de la hilera clave por el número clave. En la tabla que sigue aparece este desarrollo.

–– La variable y su número objetivo tomado del encabezado de la columna clave, xI y 10, se colocan en el talón de la hilera principal en lugar de WB y 0 de la tabla anterior. El resto de la columna de variables y de la columna objetivo del talón se copia de la tabla anterior; la nueva tabla es desarrollada hasta este punto

–– Ahora se pueden calcular todos los coeficientes faltantes de la nueva tabla, incluyendo la columna constante, el cuerpo, la identidad y la hilera de índice, para completar la tabla mediante la fórmula siguiente:

1) Primera hilera, columna constante Número nuevo = 100 −

(80 x 4) = 36   5

2) Primera hilera, primera columna del cuerpo Número nuevo =

 

3) Hilera de índice, columna constante Número nuevo =

 

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–– Los coeficientes restantes se pueden calcular en la misma forma y la solución mejorada aparece en la tabla siguiente. Donde: xI = 16 xII = 0 WA = 36 WB = 0 –– Como se puede apreciar en los valores de la columna constante del talón; xII y WB son cero porque no aparecen en el talón. En esta solución el valor de la función objetivo (contribución) es de $160, como se aprecia en la columna constante, hilera de índice.

 

–– Sin embargo la tabla anterior, indica que la solución puede mejorar todavía, puesto que un (-1) aparece en la hilera de índice bajo la variable xII. Dado que este es el único número negativo de la hilera de índice, se selecciona como columna clave para la iteración siguiente. La hilera clave se selecciona en la misma forma que antes. Los dos cocientes son: Primera hilera

Segunda hilera

 

–– La primera hilera tiene el cociente no negativo más pequeño, así que se selecciona como hilera clave. Se calcula una nueva hilera principal como antes, dividiendo los coeficientes de la hilera principal por el número clave. La variable nueva xII y su número objetivo, se introducen al talón, y los nuevos números del cuerpo, la identidad y la hilera de índice se calculan como antes. La variable restante y su número objetivo se copian de la tabla de iteración precedente; en la tabla siguiente aparece la nueva solución:

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–– La nueva solución es óptima porque la hilera de índice no señala ningún otro mejoramiento. Los valores de las variables en la solución óptima son: xI = 200/17 xII = 180/17 WA = 0 WB = 0 –– Si se insertan estos valores en las ecuaciones iniciales, se ve que ajustan perfectamente. La solución indica que los productos I y II se deben fabricar en las cantidades señaladas por xI y xII (en cientos) para generar una contribución máxima de: C = 2900/17 = $ 170.59 Para cada iteración se muestra el valor de la función objetivo en la columna constante y la hilera índice. En la segunda solución ascendió a $160 y en la óptima a $170.59. La solución es única, o sea que ninguna otra combinación de xI y xII generará una contribución tan elevada como esta. Ejercicio 4.4 Una empresa cuenta con 1000 tm del mineral b1, 2000 tm del mineral b2 y 500 tm del b3. A partir de dichos minerales pueden extraerse y fundirse los productos x1, x2 y x3. La empresa desea determinar la cantidad de cada producto que debe fabricar, a partir de los minerales aprovechables, para obtener el máximo provecho de la operación. El producto x1 precisa 5 tm de b1, 10 de b2 y 10 de b3. El producto x2 precisa 5 tm de b1, 8 de b2 y 5 de b3. El producto x3 precisa 10 tm de b1, 5 de b2 y ninguna de b3 para cada tm. El fabricante obtendrá 100$ de beneficio por tm del producto x1, 200$ por tm de x2 y 50$ por tm de x3 . Se desea conocer las cantidades a fabricar de cada uno de los productos x1, x2 y x3, así como el beneficio que se obtendría. Solución 4.4 Formulación del problema: Designando por xi cantidad a fabricar del producto i: 5x1 + 5x2 + 10x3 10x1 + 8x2 + 5x3 10x1 + 5x2 x1 , x2 , x3 0

1000 2000 500

Max Z = 100x1 + 200x2 + 50x3 Convirtiendo las desigualdades en igualdades tenemos que: 5x1 + 5x2 + 10x3 + x4 10x1 + 8x2 + 5x3 + x5 10x1 + 5x2

+ x6

= 1000 = 2000 = 500

Puede observarse, que ha sido preciso introducir tres variables de holgura. El significado físico

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de tales variables puede ilustrarse razonando sobre una de ellas, x4 representa la cantidad de mineral b1 que no es necesaria en el proceso de fabricación. Si en la última iteración resultase ser cero, sería debido a que el programa de fabricación utiliza todo el mineral b1 para fabricar todos los productos del mismo.

Solución inicial posible y básica:



x4 = 1000

x5 = 2000 x6 = 500

y utilizando el algoritmo del simplex:

Cj

 

 

0

0

0

100

200

50

 

Ci

Solución

b

P4

P5

P6

P1

P2

P3

b/aij

0

X4

1000

1

0

0

5

5

10

200

0

X5

2000

0

1

0

10

8

5

250

0

X6

500

0

0

1

10

5

0

100

 

 

 

Zj

0

0

0

0

0

0

0

 

 

Cj - Zj

 

0

0

0

100

200

50

 

0

X4

500

1

0

-1

-5

0

10

50

0

X5

1200

0

1

-1.6

-6

0

5

210

200

X2

100

0

0

0.2

2

1

0

 

 

 

 

Zj

20000

0

0

40

400

200

0

 

 

Cj - Zj

 

0

0

-40

-300

0

50

 

0

X3

50

0.1

0

-0.1

-0.5

0

1

 

0

X5

950

-0.5

1

-1.1

-3.5

0

0

 

200

X2

100

0

0

0.2

2

1

0

 

 

 

 

Zj

22500

5

0

35

375

200

50

 

 

Cj - Zj

 

-5

0

-35

-275

0

0

 

Nº

=

Pivotes

Debe de observarse en la última tabla, que la matriz inversa de: 10

0

5

5

1

8

0

0

5

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Formada por los coeficientes que tienen las incógnitas x3, x5 y x2 en el sistema, puede leerse bajo P4, P5 y P6, vectores que contenían la matriz identidad en la primera tabla. La solución óptima puede leerse directamente en la tabla final: –– –– –– –– –– –– ––

No fabricar nada de x1 Fabricar 100 tm de x2 Fabricar 50 tm de x3 Se consume todo el mineral útil de b1 950 tm del mineral b2 no son necesarias Se consume todo el mineral útil de b3 El beneficio imputable a la solución óptima es de $ 22500

4.5 MÉTODO COMPUTACIONAL Para la resolución de los problemas de PL, mediante este método se emplea software especializado, tales como: - Para la resolución gráfica generalmente se emplea el programa Stanford Graphic PL Optimizer, más conocido como GLP. Mediante este software se realizará la optimización gráfica de PL. - Para la resolución analítica de los problemas de PL, de dos o más variables, se emplean los programas siguientes: - Lindo y/o Lingo. - WinQSB Existen muchos otros programas para resolución de problemas de PL, pero estos son los más conocidos o comerciales, además de ser fácilmente manejables. Se recomienda que el empleo de estos programas se realice en el Laboratorio de Cómputo, con una PC por alumno, a fin de que se aprenda haciendo.

EJERCICIOS PROPUESTOS Ejercicio 1.1 Dibujar la región convexa limitada por las inecuaciones 1) 2x1 + x2 2) x1 + 3x2 3) 3x1 + 2x2 4) (2/3)x1 + x2

4 1 10 1

y determinar las inecuaciones redundantes en caso de que existan. Ejercicio 1.2 Resolver el siguiente ejercicio de programación lineal x1 + 2x2 -

x3

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2x1 - x2 + 2x3 = 2 -x1 + 2x2 + 2x3 1 x1 , x2 , x3 0 Min Z = 2x1 +4x2 + x3 Ejercicio 1.3 Calcular la solución del problema x1 + x2 -2x1 + x2 4x1 + x2 x1, x2

3 3 9 0

Max Z = 3x1 + x2 Ejercicio 1.4 Interpretar geométricamente y resolver el problema de programación lineal: x1 + x2 x1 - x2 -x1 + x2 x1, x2

100 50 25 0

Max Z = 4x1 + 2x2 Ejercicio 1.5 Resolver el siguiente ejercicio de programación lineal x1 - 4x2 -3x1 + 2x2 x1, x2 0

1 2 Max Z = x1 + 2x2

Ejercicio 1.6 Supongamos un fabricante que tiene dos recursos primarios de fabricación. Tiempo-máquina y horas de trabajo. Durante cierto período de producción, dispone de 200 horas-máquina y 300 horas de trabajo para dedicarlas a tres productos x1, x2, x3. El producto x1 necesita 15 horas-máquina y 10 horas de trabajo por unidad. El producto x2 requiere 10 horas-máquina y 25 horas-trabajo por unidad. Finalmente, el producto x3 necesita 10 horas-máquina y 20 horas-trabajo por unidad. El fabricante desea determinar el conjunto de productos que harán máximo su beneficio, sin que se exceda del total de horas-máquina disponibles. Desea también obtener un completo empleo de sus obreros y por tanto requiere que todas las horas-hombre de que dispone sean utilizadas. Los beneficios del fabricante serán de $5 por unidad de producto x1, $10 por unidad de x2 y $12 por unidad de x3.

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Ejercicio 1.7 Encontrar la solución al problema: 15 3x1 + 5x2 5x1 + 2x2 10 x1, x2 0 Max Z = 10x1 + 4x2 y en caso de existir óptimos alternativos encontrar éstos. Ejercicio 1.8 Para la fiesta de su hijo un ama de casa desea hacer unos pastelillos. Sus conocimientos culinarios le permiten hacerlos de tres tipos A, B, y C en todos los cuales intervienen como ingredientes mantequilla, leche y harina de los que respectivamente posee 232, 300 y 720 gramos. Un pastelillo del tipo A precisa 5g de mantequilla, 8 de leche y 9 de harina. Uno de tipo B, 6,5 y 8 respectivamente y uno de tipo C 4 de mantequilla, 6 de leche y 12 de harina. La madre sospecha que le resultará preferible optimizar la cantidad de pastelillos a hacer antes que cualquier otra consideración. En consecuencia, ¿Cuál es el número óptimo de pastelillos a fabricar? Ejercicio 1.9 Un pequeño taller de mecánica general, comprende esencialmente un torno T y dos fresadoras F1 y F2. El programa de trabajo del taller se establece al principio de cada trimestre, y comprende un programa principal y un programa de opción. El programa principal tiene un carácter imperativo y permanente; se establece de una vez por todas y no presenta ningún problema. Su ejecución deja sobre cada máquina horas disponibles que se evalúan en: 200h para T, 84h para F1, 100h para F2. El programa de opción trata de utilizar al máximo las horas disponibles dejadas por el programa principal; y es en este programa en donde se plantean problemas. Tres clientes llamados A, B y C se dirigen al taller para la ejecución de sus piezas que denominaremos igualmente A, B y C. El jefe de la empresa estudia las ofertas de trabajo que le han sido hechas por los clientes A, B y C y ha podido determinar que para la ejecución de sus piezas son necesarias dos operaciones: una sobre torno y otra sobre una de las dos fresadoras F1 ó F2. Los tiempos de ejecución para estas operaciones son:

Para A 2h en T, 6h en F1 ó 5h en F2 Para B 1h en T, 5h en F1 ó 5h en F2 Para C 5h en T, 3h en F1 ó 4h en F2

El beneficio de la fabricación de cada una de las piezas A, B y C es de 60, 40 y 35 $ respectivamente. Determinar el número de piezas a fabricar para obtener un beneficio máximo.

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EVALUACIÓN CONCEPTUAL 1. ¿Cuál fue el origen de los métodos cuantitativos como disciplina? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 2. ¿Para qué sirven los métodos cuantitativos? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 3. ¿Qué son modelos y cuántos tipos de modelos hay? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 4. ¿Cuál es la finalidad de programación lineal? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 5. ¿Cuáles son los métodos para la resolución en programación lineal? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ Métodos Cuantitativos para los Negocios

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Universidad Peruana Unión

________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 6. ¿Qué necesita el método Simplex para su resolución? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ PROCEDIMENTAL 7. ¿Bajo los modelos de métodos simplex, que es el PIVOTE, cuándo y hasta cuántas veces tengo que iterar, para poder encontrar el conjunto solución? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ACTITUDINAL 8. En una pastelería se hacen dos tipos de tartas: Vienesa y Real. Cada tarta Vienesa necesita un cuarto de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce un beneficio de 250 Pts, mientras que una tarta Real necesita medio Kg. de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce 400 Ptas. de beneficio. En la pastelería se pueden hacer diariamente hasta 150 Kg. de bizcocho y 50 Kg. de relleno, aunque por problemas de maquinaria no pueden hacer más de 125 tartas de cada tipo. ¿Cuántas tartas Vienesas y cuantas Reales deben vender al día para que sea máximo el beneficio? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________

Unidad I

44

Facultad de Ciencias Empresariales

UNIDAD II Problemas, modelos y solución en Programación Lineal SESIÓN 5 El problema del transporte y transbordo SESIÓN 6 El problema de asignación SESIÓN 7 La técnica PERT SESIÓN 8 El método CPM

Competencias CONCEPTUAL

PROCEDIMENTAL

ACTITUDINAL

Comprende los conceptos de transporte y transbordo, entiende los problemas de asignaciones, análisis y planteamiento de los problemas y las soluciones adecuadas mediante los modelos PERT y CPM.

Practica los problemas resueltos en método Simplex, PERT, CPM y problema de asignación; desarrolla los problemas propuestos, analizando cada paso.

Aplica los métodos en los diferentes casos de la vida real, utilizando criterios y normas de los modelos.

Métodos Cuantitativos para los Negocios

45

Universidad Peruana Unión

Unidad II

46

Sesión

5

Facultad de Ciencias Empresariales

El problema de transporte y transbordo 5.1. GENERALIDADES Uno de los casos particulares de la programación lineal es el problema de Hitckcok, o del transporte. El problema general de transporte se refiere a la distribución de un determinado bien, desde cualquier grupo de centros de abastecimiento, llamados orígenes, a cualquier grupo de centros de recepción, llamados destinos, de tal manera que se minimicen los gastos totales de distribución. Tal vez, el tipo especial más importante de problemas de programación lineal, sea el de transporte, si bien debido a su estructura especial, permite utilizar versiones simplificadas del método Simplex que logran enormes ahorros de cálculo. Entre las ventajas de utilizar el método simplex del transporte pueden señalarse: –– No es necesario utilizar variables artificiales. –– La fila cj – zj del algoritmo de simplex puede calcularse directamente. –– La variable básica saliente se identifica de forma sencilla sin utilizar los coeficientes de la variable básica entrante. En consecuencia, puede eliminarse casi toda la tabla de Simplex.

5.2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA El planteamiento del problema es el siguiente: Existen m orígenes y se supone que en cada origen hay ai unidades almacenadas de un determinado producto, siendo i = 1,2,…,m. Existen también n destinos; y cada uno necesita un embarque de bj unidades de ese producto, siendo j = 1,2,…,n. Las cantidades ai se denominan exigencias fila y las bj exigencias columnas.

Métodos Cuantitativos para los Negocios

47

Universidad Peruana Unión  

 

Destino

 

 

 

1

2

3

…j…

n

Disponibilidad

 

1

c11

c12

c13

c1j

c1n

a1

Origen

2

c21

c22

c23

c2j

c2n

a2

 

I

ci1

ci2

ci3

cij

cin

ai

 

M

cm1

cm2

cm3

cmj 

cmn

am

b1

b2

b3

bj

bn

 

Demandas

Todas las exigencias por fila son positivas, así como las exigencias por columna, puesto que los valores nulos o negativos no tendrían significado físico. La suma de las exigencias por fila es igual a la suma de las exigencias por columna. El costo del transporte de una unidad de producto desde el origen i hasta el destino j viene representado por cij. Los cij se denominan coeficientes de costo, y aunque los costos de transporte negativos no tienen significado real, no hay necesidad de obligarlos a ser no negativos. La solución del problema de transporte puede escribirse como una matriz solución:

X =

n s j=1

x11 x21 xm1

x12 x22 xm2

x1n x2n xmn

m s xij = bj i=1

xij = ai

min Z = c11 x11+ c12 x12 + … cmn xmn

Una solución posible básica será no degenerada si contiene m+n–1 variables solución (positivas), y una solución posible básica degenerada aquella que contiene m+n-1 variables en solución.

5.3. CÁLCULO DE LA SOLUCIÓN DE UN PROBLEMA DE TRANSPORTE Las etapas que permiten el cálculo a un problema de transporte son: –– Determinación de una solución inicial. –– Prueba de optimalidad. 5.3.1. Determinación de una solución inicial Su objetivo es obtener una solución inicial seleccionando, una por una, las m+n-1 variables básicas. Los métodos más habituales para ello son: –– Esquina de N.O. –– Mínimo de filas. –– Mínimo de columnas.

Unidad II

48

Facultad de Ciencias Empresariales

–– Flujos mutuamente convenientes (Houthakker). –– Método de penalizaciones (Vogel).

5.3.1.1. Método de la esquina de N.O. –– Paso 1º.- Hacer el elemento de la esquina superior izquierda igual a la menor de la primera exigencia por fila y de la primera exigencia por columna, y restaremos a ambas exigencias este valor. Completar la primera fila o columna hasta saturar la disponibilidad. –– Paso 2º.- Ahora tanto la primera exigencia fila como la primera exigencia columna serán iguales a cero. Se repite el paso 1º. Utilizando el elemento de la esquina superior izquierda de la matriz obtenida eliminando la fila o columna ya satisfechas mediante la anterior consideración. –– Paso 3º.- Repetir el paso 1º, hasta que la solución sea completa. Ejercicio 5.1 Una fábrica dispone de tres centros de distribución A,B y C cuyas disponibilidades de materia prima son 100, 120 y 120 tm respectivamente. Dicha materia prima debe de ser entregada a cinco almacenes I, II, III, IV y V, los cuales deben de recibir respectivamente 40, 50, 70, 90 y 90 tm. Determinar una solución inicial por el método de la esquina del N.O.

Orígenes   A B C

MATRIZ DE COSTOS Destinos I II III IV 10 20 8 9 2 10 8 30 1 20 7 10

V 10 5 4

Solución 5.1   Orígenes

I

II

A B C Demandas

10 2 1 40

20 10 20 50

  Orígenes

I

II

40

50     50

Destinos III IV 5 8 7 70

9 30 10 90

V

  Disponibilidad

10 5 4 90

100 120 120  

V

  Disponibilidad

Solución Inicial:

A B C Demandas

40

Destinos III IV 10 60

  60 30 90

70

  90 90

100 120 120  

En la esquina de N.O. se pone la menor de las exigencias min(40,100) = 40. Se completa la primera fila hasta saturar esta disponibilidad, y esto conduce a tomar: x11 = 40,

x12 = 50,

x13 = 10,

x14 = x15 = 0

Obsérvese que en este momento la demanda en la tercera columna es de 60 unidades. Métodos Cuantitativos para los Negocios

49

Universidad Peruana Unión

Saturamos la demanda en la tercera columna min(60,120) = 60, después la disponibilidad en la segunda fila, lo que dará: x21 = x22 = 0,

x23 = 60,

x24 = 60,

x25 = 0

Obsérvese que la disponibilidad en la cuarta columna es 30.

Saturamos la demanda en la cuarta columna min(30,120) = 30, después la disponibilidad de la tercera fila. x31 = x32 = x33 = 0,

x34 = 30,

x35 = 90

El costo de la solución obtenida será: Z = 40 . 4+50 . 1+10 . 2+60 . 3+60 . 5+30 . 4+90 . 8 = 1550 5.3.1.2. Método de mínimo de filas Sea el menor costo en la primera fila. Hacer x1k igual a la menor de la exigencia fila o columna. En el primer caso, hemos transportado todas las unidades y pasamos a la segunda fila después de restar dicha cantidad a la exigencia de la columna k. Seguidamente se busca el elemento mínimo en la segunda fila y de repite el proceso. En el segundo caso, se cambia la exigencia fila y se busca el costo más pequeño en la primera fila repitiendo el proceso. Ejercicio 5.2 Dado el siguiente esquema de transporte, determinar una solución inicial por el método de Mínimo de filas. Destinos

Orígenes

Disponibilidad

 

E

F

G

H

I

 

A

3

2

1

2

3

1

B

5

4

3

-1

1

5

C

0

2

3

4

5

7

Demandas

3

3

3

2

2

 

Solución 5.2 Destinos

Orígenes

Disponibilidad

 

E

F

G

H

I

 

A

3

2

1

2

3

1

B

5

4

3

-1

1

5

C

0

2

3

4

5

7

Demandas

3

3

3

2

2

 

El menor costo en la primera fila es c13 = 1, luego hacemos x13 igual al min(1,3) = 1. x13 = y la primera fila queda saturada. En la segunda fila el menor costo es c24 = -1, luego hacemos x24 igual al min(2,5) = 2. x24 = 5 y la cuarta columna queda saturada. Unidad II

50

Facultad de Ciencias Empresariales

Como no se ha saturado la segunda fila (quedan 3 unidades), continuamos las asignaciones en la segunda fila. El costo menor es c25 = 1 luego hacemos x15 igual al min(2,3) = 2. x25 = 2 y la quinta columna queda saturada. Como todavía no se ha saturado la segunda fila (queda 1 unidad), continuamos las asignaciones en la segunda fila. El costo menor es c23 = 3 luego hacemos x23 igual al min(1,3) = 1. x23 = 1 y la segunda fila queda saturada. En la tercera fila l menor costo es c31 = 0, luego hacemos x31 igual min(3,7) = 3. x31 = 3 y la primera columna queda saturada. Como no se ha saturado la tercera fila (quedan 4 unidades), continuamos las asignaciones en la tercera fila. El costo menor es c32 = 2 luego hacemos x32 igual al min(3,4) = 3. x32 = 3 y la segunda columna queda saturada. Como todavía no se ha saturado la tercera fila (queda 1 unidad), continuamos las asignaciones en la tercera fila. El costo menor es c33 = 3 luego hacemos x33 igual al min(1,1) = 1 x23 = 1 y la tercera fila y columna quedan saturadas. La solución inicial es: Destinos

Orígenes  

E

F

G

A

Disponibilidad H

 

I

1

B

1

C

3

3

1

Demandas

3

3

3

1 2

2

5 7

2

2

 

5.3.1.3. Método de mínimo de columnas Se procede de una forma similar al procedimiento anterior, excepto en que se comienza por la primera columna. Ejercicio 5.3 Encontrar una solución inicial para el ejercicio N.º 4.1 por el método de Mínimo de columnas. Solución 5.3 Destinos

 

 

Orígenes

I

II

III

IV

V

Disponibilidad

A

10

20

5

9

10

100

B

2

10

8

30

5

120

C

1

20

7

10

4

120

Demandas

40

50

70

90

90

 

Métodos Cuantitativos para los Negocios

51

Universidad Peruana Unión

Localizamos el menor costo en la primera columna c31 = 1, luego: X31 = 40, primera columna saturada. En la segunda columna el menor costo es c22 = 10, luego: X22 = 50, segunda columna saturada. En la tercera columna el menor costo es c13 = 5, luego: X13 = 70, tercera columna saturada. Continuando el proceso con las columnas cuarta y quinta se obtiene: Destinos

  Orígenes

I

II

A

III 70

B

50

C

40

Demandas

40

50

70

  V

Disponibilidad

60

10

120

80

120

90

90

 

IV 30

100

5.3.1.4. Método de flujos mutuamente convenientes En este método, una asignación xij de un origen i a un destino j es mutuamente preferible si j es el destino menos costoso para i y si i es el origen menos costoso para el destino j. Estas asignaciones, mutuamente preferibles, están caracterizadas por el hecho de que el costo unitario debe ser el más bajo de su fila y de su columna. Ejercicio 5.4 Una fábrica dispone de tres centros de distribución A, B y C cuyas disponibilidades de materia prima son 90, 40 y 80 tm respectivamente. Dicha materia prima debe ser entregada a cinco almacenes I, II, III, IV y V los cuales deben de recibir respectivamente 30, 50, 40, 60 y 30 tm. Determinar una solución inicial por el método de flujos mutuamente convenientes. MATRIZ DE COSTOS Destinos

Orígenes  

I

II

III

A

10

20

B

2

10

C

1

20

IV

V

5

9

10

8

30

5

7

10

4

IV

V

Solución 5.4 Destinos

 

 

Orígenes

I

A

10

20

5

9

10

90

B

2

10

8

30

5

40 80

II

III

C

1

20

7

10

4

Demandas

30

50

40

60

30

Unidad II

52

Disponibilidad

Facultad de Ciencias Empresariales

Se buscan las asignaciones mutuamente preferibles. En la matriz de costos anterior los costos que son menores de su fila y columna son: c31 = 1 c13 = 5 Por lo tanto, situaremos la mayor asignación posible en la casilla correspondiente, lo que da: x31 = 30,

x11 = 0, x21 = 0 x13 = 40, x23 = 0,

x33 = 0

De la matriz de costos se eliminan las columnas primera y tercera, por estar satisfechas sus exigencias, obteniendo: Destinos

Orígenes  

II

A B

Disponibilidad

IV

V

 

20

9

10

50

10

30

6

40

C

20

10

4

50

Demandas

50

60

30

 

Los costos menores de su fila y columna son: c14 = 9 c35 = 4 y en consecuencia: x14 = 50,

x12 = x15 = 0 x35 = 30,

x25 = 0

La matriz obtenida en este momento es:

Destinos

  Orígenes

I

II

A

 

III

IV

40

50

Disponibilidad

V

90

B

40

C

30

Demandas

30

30 50

40

60

80

30

Falta por completar cuatro casillas cuya matriz de costos es: Orígenes

Destinos

Disponibilidad

 

II

IV

 

B

10

30

40

C

20

10

20

Demandas

50

10

 

Métodos Cuantitativos para los Negocios

53

Universidad Peruana Unión

Los menores costos por fila y columna son: c22 = 10 c34 = 10 y en consecuencia: x22 = 40,

x24 = 0 x34 = 10,

x32 = 10

quedando como solución: Destinos

  Orígenes

I

II

A B

 

III

IV

40

50

V

Disponibilidad 90

40

C

30

10

Demandas

30

50

40 40

10

30

60

30

80

5.3.1.5. Método de penalizaciones –– Paso 1º.- Determinar la penalización para cada fila y cada columna al o colocar en la solución inicial la variable que tenga el menor costo en esta fila o columna. Para la fila i, esto significa restar el costo más pequeño de esta fila del siguiente costo más pequeño de la misma fila en la matriz de costos. Si dos elementos de esta son ambos el más pequeño, la penalización es cero. La penalización de la columna j se calcula de forma similar –– Paso 2º.- Cuando se han calculado todas las penalizaciones, localícese la mayor, ya sea una penalización de fila o de columna. Colocar en la solución la variable que tiene el menor costo en la fila o columna que tiene la penalización mayor. La variable se iguala a la exigencia de fila o a la exigencia de columna que sea más pequeña, de la fila y columna que contiene esta variable. La fila o columna satisfechas al asignar este valor a la variable se omiten en el resto del proceso, y la exigencia de la otra (fila o columna) se disminuye en este valor asignado a la variable. –– Paso 3º.- Si una fila ha sido satisfecha, volver a calcular las penalizaciones de columna, sin considerar ahora en el cálculo de las penalizaciones de columna los elementos de la matriz de costos de la fila eliminada. Si se ha satisfecho una columna, se deberán volver a calcular las penalizaciones de las filas. –– Paso 4º.- Repítanse ahora las iteraciones de los pasos 2.º y 3.º hasta que la solución sea completa. Ejercicio 5.5 La Acme Machina Company dispone de cinco puntos de venta A, B, C, D, y E, y de cuatro fábricas X, Y, Z y T. Los pedidos mensualmente de los puntos de venta expresados en miles de unidades son: A

B

C

D

E

Total

75

20

15

25

40

175

Unidad II

54

Facultad de Ciencias Empresariales

La producción mensual en miles de unidades es: X

Y

Z

T

Total

60

75

80

35

250

La matriz de costos unitarios de y transporte viene dada por:  

A

B

C

D

E

X

0.8

2.7

1.7

1.4

0.9

Y

0.9

0.5

1

0.2

1.3

Z

0.7

2.1

1.8

1.4

1.1

T

2.3

0.9

1.1

1.8

2.5

Solución 5.5 Se determinan las penalizaciones fila y columna:  

A

B

C

D

E

Fict.

Disp.

1º pF

X

0.8

2.7

1.7

1.4

0.9

0

60

0.8

Y

0.9

0.5

1

0.2

1.3

0

75

0.2

Z

0.7

2.1

1.8

1.4

1.1

0

80

0.7

T

2.3

0.9

1.1

1.8

2.5

0

35

0.9

Demanda

75

20

15

25

40

75

 

 

1º pC

0.1

0.4

0.1

1.2

0.2

0

 

 

La mayor de las penalizaciones es 0.9, que corresponde a una penalización fila y el menor costo de esa fila es 0 (c46). En consecuencia x46 = min(75,35) = 35, quedando satisfecha la exigencia fila, se prescinde de dicha fila y se determinan nuevamente las penalizaciones columna. La exigencia de la 6a columna será de 75 – 35 = 40.  

A

B

C

D

E

X

0.8

2.7

1.7

1.4

0.9

Y

0.9

0.5

1

0.2

1.3

Z

0.7

2.1

1.8

1.4

T

2.3

0.9

1.1

1.8

Fict.

Disp.

1º pF

0

60

0.8

0

75

0.2

1.1

0

80

0.7

2.5

0

35

 

Demanda

75

20

15

25

40

75

 

 

1º pC

0.1

0.4

0.1

1.2

0.2

0

 

 

2º pC

0.1

1.6

0.7

1.2

0.2

0

 

 

La mayor de las penalizaciones es 1.6 que corresponde a una penalización columna y el menor costo de esa columna es 0.5 (c22). En consecuencia x22 = min820,75) = 20, quedando satisfecha la exigencia columna, se prescinde de dicha columna y se determinan nuevamente las penalizaciones fila.

Métodos Cuantitativos para los Negocios

55

Universidad Peruana Unión

La exigencia de la 2ª fila será de 75 – 20 = 55.  

A

B

C

D

E

X

Fict.

Disp.

1º pF

2º pF

0.8

2.7

1.7

1.4

0.9

Y

0.9

0.5

1

0.2

1.3

0

60

0.8

0.8

0

75

0.2

Z

0.2

0.7

2.1

1.8

1.4

T

2.3

0.9

1.1

1.8

1.1

0

80

0.7

0.7

2.5

0

35

 

 

Demanda

75

20

15

25

40

75

 

 

 

1º pC

0.1

0.4

0.1

1.2

0.2

0

 

 

 

2º pC

0.1

 

0.7

1.2

0.2

0

 

 

 

La mayor de las penalizaciones es 1.2 que corresponde a una penalización columna y el menor costo de esa columna es 0.2 (c24). En consecuencia x24 = min(55,25) = 25, quedando satisfecha la exigencia columna, se prescinde de dicha columna y se determinan nuevamente las penalizaciones fila. La exigencia de la 2.ª fila será de 55 – 25 0 30.  

A

B

C

D

E

Fict.

Disp.

1º pF

2º pF

3º pF

X

0.8

2.7

1.7

1.4

0.9

0

60

0.8

0.8

0.8

Y

0.9

0.5

1

0.2

1.3

0

75

0.2

0.2

0.9

Z

0.7

2.1

1.8

1.4

1.1

0

80

0.7

0.7

0.7

T

2.3

0.9

1.1

1.8

2.5

0

35

 

 

 

Demanda

75

20

15

25

40

75

 

 

 

 

1º pC

0.1

0.4

0.1

1.2

0.2

0

 

 

 

 

2º pC

0.1

 

0.7

 

0.2

0

 

 

 

 

La mayor de las penalizaciones es 0.9 que corresponde a una penalización fila y el menor costo de esa fila es 0 (c26). En consecuencia x26 = min840,30) = 30, quedando satisfecha la exigencia fila, se prescinde de dicha columna y se determinan nuevamente las penalizaciones columna. La exigencia de la 6.ª columna será de 40 – 30 = 10.  

A

B

C

D

E

Fict.

Disp.

1º pF

2º pF

3º pF

X

0.8

2.7

1.7

1.4

0.9

0

60

0.8

0.8

0.8

Y

0.9

0.5

1

0.2

1.3

0

75

0.2

0.2

 

Z

0.7

2.1

1.8

1.4

1.1

0

80

0.7

0.7

0.7

T

2.3

0.9

1.1

1.8

2.5

0

35

0.9

 

 

Demanda

15

25

40

75

 

 

 

 

75

20

1º pC

0.1

0.4

0.1

1.2

0.2

0

 

 

 

 

2º pC

0.1

 

0.7

 

0.2

0

 

 

 

 

3º pC

0.1

 

0.1

 

0.2

0

 

 

 

 

La mayor de las penalizaciones es 0.8 que corresponde a una penalización fila y el menor costo de esa fila es 0 (c16).

Unidad II

56

Facultad de Ciencias Empresariales

En consecuencia x16 = min(10,60) = 10, quedando satisfecha la exigencia columna, se prescinde de dicha columna y se determinan nuevamente las penalizaciones fila. La exigencia de la 1.ª fila será de 60 – 40 = 20. Continuando el proceso, se determina la solución inicial:   X

A

B

C

D

E

Fict.

Disp.

0

60

0.8 2.7 1.7 1.4 0.9

1º pF

2º pF

3º pF

4º pF

5º pF

0.8 0.8 0.8 0.1 0.8

Y

0.9 0.5

0.2 1.3

0

75

0.2 0.2

Z

0.7 2.1 1.8 1.4 1.1

0

80

0.7 0.7 0.7 0.4 0.7

T

2.3 0.9 1.1 1.8 2.5

0

35

0.9

 

 

 

 

75

75

 

 

 

 

 

 

Demanda

20

1

15

25

40

 

0.2

 

1º pC

0.1 0.4 0.1 1.2 0.2

0

 

 

 

 

 

 

2º pC

0.1 1.6 0.7 1.2 0.2

 

 

 

 

 

 

 

3º pC

0.1

 

 

 

 

 

 

 

 

0.1

 

0.2

Solución inicial  

A

B

C

D

E

Fict.

Disp.

X

40

10

60

 

30

75

 

 

80

 

35

35

40

75

 

 

 

10

 

Y

 

20

 

25

Z

75

 

5

T

 

 

 

Demanda

75

20

15

25

que tiene un costo de Z = 129.5 5.3.2. Prueba de optimalidad Su objetivo es verificar si una solución obtenida es óptima o no. Empezando con alguna solución posible básica inicial (quizá la solución de la esquina N.O.) se calcula la matriz (Zij = ui + vj). Si todos los cij – zij son mayores o iguales a cero, la solución es óptima. Si uno o más cij – zij es menor que cero, es posible una solución mejor. Proceso iterativo. En el caso de no haber alcanzado la solución óptima en el paso anterior, el objetivo de este es el encontrar la mejor solución. De las variables que tienen un costo de entrada (reducido) negativo, se determina la que lo tenga más pequeño (más negativo). Pasando a la matriz solución, se traza la trayectoria ± que empieza en esta variable. Se iguala a Ø la variable solución más pequeña de las que están en las casillas que tienen signos menos. Se añade Ø a la solución según la trayectoria ± y de este modo formamos una nueva solución. Se repite la prueba de optimalidad y el proceso iterativo, hasta que alguna iteración demuestre que la solución es óptima. Si en la matriz final cij – zij hay un costo de entrada (reducido) nulo para una variable que no está en la solución normal, el problema tiene una solución óptima alternativa, porque esta variable puede ser introducida ahora en la solución, sin cambiar su costo.

Métodos Cuantitativos para los Negocios

57

Universidad Peruana Unión

En el caso de existir degeneración, una forma de corregirla consiste en colocar una variable adicional en solución de valor cero. Al hacer esto, debe elegirse una variable que permita completar la determinación de u(i) y v(j). Ejercicio 5.6 Una empresa cuenta con tres plantas para fabricar un cierto producto. La primera tiene almacenadas 10 unidades del producto, la segunda 20 y la tercera 22. El producto se vende a partir de dos almacenes de distribución que requieren respectivamente 25 y 27 unidades cada uno, para satisfacer las ventas normales. El costo de transportar una unidad desde la planta N.º 1 al almacén N.º es de $20, etc., el resto de costos se indican en la tabla adjunta. Determinar una solución inicial por el método de la esquina del N.O. Determinar el esquema de transporte de menor costo. Destinos

Existencias

 

I

II

en planta

P1

20

10

10

P2

5

8

20

Orígenes

P3

6

19

22

Exigencias de

 

 

 

cada almacén

25

27

 

Solución 5.6 Matriz de costos

cij =

20

10

5

8

6

19

10

 

15

5

 

22

10

z12

u1

15

5

u2

z31

22

u3

V1

V2

Solución inicial Esquina N.O.: (m + n – 1 variables en solución)

cij =

Cálculo de la matriz zij :

cij =

Unidad II

58

Facultad de Ciencias Empresariales

u1 = 0 u1 + v1 = c11 = 20 u2 + v1 = c21 = 5 u2 + v2 = c22 = 8 u3 + v2 = c32 = 19

v1 = 20 u2 = -15 v2 = 23 u3 = -4

z12 = u1 + v2 = 23 z31 = u3 + v1 = 16

zij

20

23

5

8

16

19

=

Matriz de costos reducidos: 20

10

5

8

6

19

cij - zij =

20

23

5

8

16

19

-

=

0

-13

0

0

-10

0

Como puede observarse, la matriz de costos reducidos tiene ceros en los elementos correspondientes a las variables que están en solución, y la presencia de elementos negativos indica que no se ha conseguido la solución óptima. Cálculo de la nueva solución: xij =

10-ß

+ß

15+ß

5-ß

 

22

(ß= mayor valor que no se hace ninguna asignación negativa = 5)

xij =

5

5

20

 

 

22

Los cálculos pueden hacerse de una forma más compacta, usando la tabla simplex de transporte denominada cuadro MODI (Modified Distribution), que combina las matrices solución y costo de la manera siguiente: Cuadro MODI Almacenes

Plantas 1   2   3   Vj Exig.

c11   c21   c31  

1  

c12 x11     c22 x21     c32 c31-z31  

v1 b1

2       v2 b2

ui / Exist. u1 c12-z12   u2 x22   u3 x32      

  a1   a2   a3    

Métodos Cuantitativos para los Negocios

59

Universidad Peruana Unión

Información adicional que se agrega en cada celda: –– Si xij es una variable básica cij

 

 

xij

Si xij es una variable no básica cij

 

 

Cij-zij

Tabla inicial Almacenes

Plantas

Existencias

 

1

2

 

1

20

10

10

2

5

8

20

3

6

19

22

Exig.

25

27

 

1ª Iteración (cj - zj) Almacenes

Plantas  

1

1

ui / Exist.

20

10

 

-13

5

5

  3

-

6

19 22

20

23

Exig.

25

27

20 5 8 19

v1 u2 v2 u3

= = = =

20 -15 23 -4

c13 + z13 = 10 – (u1 + v2) = -13 c31 + z31 = 6 – (u3 + v1) = -10

Unidad II

60

20 -4

-10

Vj

u1 = 0 u1 + v1 = u2 + v1 = u2 + v2 = u3 + v2 =

10 -15

15

 

  0

10

2

 

2

22

Facultad de Ciencias Empresariales

Solución inicial N.O. Almacenes

Plantas   1  

1 10

 

-

 

 

   

  +

15

2

 

2

   

ui / Exist.

10

5 +

 

  -

20

22

3  

 

 

Exig.

22

25

   

27

   

Z = 10 . 20 + 15 . 5 + 5 . 8 + 22 . 19 = 733 2ª Iteración (cj - zj) Almacenes

Plantas   1

1 10

5

5

10

8

-15

20 6

13

20

19

 

  0

5

  3

 

2

20

  2

ui / Exist.

9

-23

22

22

Vj

20

10

Exig.

25

27

Plantas  

1

2

5-

5+

10

22 -

22

Nueva solución Almacenes  

ui / Exist.  

1   2   3   Exig.

20

+ 25

27

Z = 5 . 20 + 5 . 10 + 20 . 5 + 22 . 19 = 668 Métodos Cuantitativos para los Negocios

61

Universidad Peruana Unión

3ª Iteración (cj - zj) Almacenes

Plantas   1

1 10

  2

0

23 5

10

10

8

  3

 

2

20

8

20 6

-10

20

19

 

ui / Exist.  

9

5

17

Vj

-3

10

Exig.

25

27

Plantas  

1

2

5 -

10

22

Nueva solución Almacenes  

ui / Exist.  

1  

10

2  

20 -

+

20

3  

5 +

17 -

25

27

22

j

Exig.

Z = 10 . 20 + 20 . 5 + 5 . 6 + 17 . 19 = 553 4ª Iteración (cj - zj) Almacenes

Plantas   1

1 10

5

10 8 17 19

 

10 -2

3 6

  0

23

  3

 

2

20

  2

ui / Exist.

-1

22

10

Vj

7

10

Exig.

25

27

Unidad II

62

20 22

Facultad de Ciencias Empresariales

Nueva solución Almacenes

Plantas  

ui / Exist.

1

2

 

 

1  

10

10

17

20

2  

3

3  

22

22

j

Exig.

25

27

Z = 10 . 10 + 3 . 5 + 17 . 8 + 22 . 6 = 383 Luego el esquema de transporte será: –– –– –– ––

Enviar de la planta 1 diez unidades al almacén 2. Enviar de la planta 2 tres unidades al almacén 1, y diecisiete al almacén 2. Enviar veintidós unidades al almacén 1. El costo más económico del transporte será de z = 383.

5.4. EL PROBLEMA DE TRANSBORDO El problema de transbordo se puede describir en términos generales, como aquel que se ocupa de asignar y encontrar la ruta para las unidades desde los centros de suministro hacia los centros de recepción, pasando por los puntos de transbordo. Uno de los requisitos del problema de transporte es el que se conozca de antemano la forma en que se van a distribuir las unidades de cada origen a cada destino, para poder determinar cuál es el costo por unidad. En ocasiones, no resulta evidente cuál es el mejor medio de distribución, pues existe la posibilidad de transbordo en el que los embarques pasarían por puntos de transferencias intermedios. Por ejemplo, en lugar de mandar un embarque del punto 1 directo al punto 3, puede ser más barato incluirlo en los embarques del punto 1 al punto 2 y, de ahí, mandarlo al punto 3. Existe la posibilidad de investigar la ruta más económica de cada origen a cada destino, sin embargo, si existen muchos puntos de transferencia intermedios, esta tarea puede ser complicado y laboriosa. Por lo tanto, es preciso reformular este problema de trasbordo como problema de transporte. La idea básica consiste en interpretar los viajes individuales, como si tratara del transporte de un origen a un destino, y así pensar que todos los puntos intermedios son tantos orígenes como destinos potenciales. Ejercicio 5.7 Tres plantas de fabricación A, B y C producen diariamente 50, 40 y 60 unidades respectivamente, y en los puntos de destino D, E y F se precisan 20, 95 y 35 unidades. La matriz de costos unitarios de transporte es:

Métodos Cuantitativos para los Negocios

63

Universidad Peruana Unión Almacenes

Plantas  

D

E

F

A

6

4

1

B

3

8

7

C

4

4

2

A su vez, se dispone de los datos adicionales: A planta

De planta  

A

B

C

A

0

3

2

B

3

0

4

C

2

4

0

A almacén

De Almacén

D

E

F

D

0

2

5

E

2

0

2

F

5

1

0

Determinar el esquema de transporte de costo mínimo. Solución 5.7 Reformulación del problema.  

A

B

C

D

E

F

Exist.

A

0

3

2

6

4

1

200

B

3

0

4

3

8

7

190

C

2

4

0

4

4

2

210

D

6

3

4

0

2

5

150

E

4

8

4

2

0

1

150

F

1

7

2

5

1

0

150

Demanda

150

150

150

170

245

185

 

En donde se ha sumado, tanto a las existencias como a la demanda, la cantidad de 150 que es el total de la demanda necesaria. Solución inicial por penalizaciones  

A A   B   C   D

150            

 

 

B

C

D

E

F

        150 +              

                  150        

          20               150

             

             

             

 

 

 

 

 

   

 

 

Unidad II

64

 

50   20   60    

Exist.   +        

200   190   210   150

 

 

Facultad de Ciencias Empresariales E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  150

   

 

 

 

   

 

 

  95

55

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dem.

150

150

150

170

  150

 

 

 

 

185

 

 

245

150

Prueba de optimalidad A A

B

0

 

 

 

B

3  

3

150  

 

 

C

2  

0

-3

C  

2

D  

6

 

E

F

4  

1  

9

 

3

 

9

 

 

4  

3

 

8  

 

20

 

4

 

4  

 

150

 

4

 

0  

-1

 

 

1

 

9

 

D

6  

3

 

4  

150

2

 

 

6

 

 

2  

 

20

2  

1

 

60

5  

 

200

6

 

 

190

1

 

 

210

3

 

 

3

 

6

 

2

 

1

 

150

4  

8

 

4  

2

 

0  

1  

-2

 

 

 

6

 

16

 

7

 

7

 

150

 

 

150

 

1

F

 

2

 

14

 

4

 

9

 

95

 

-1  

-3

 

2  

Vj

0  

Dem.

 

-6

150  

  150  

5

 

 

 

2

-3

0

E

7

150  

50

7  

0

0

Exist.

1

150  

2

0

170  

55

1  

245  

-1

 

 

150

 

185

 

   

Tabla óptima  

A A

B

130  

C

D

E

F

Exist.

 

 

 

 

 

 

 

  70

 

200

-

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

20

 

150

 

 

 

20

 

 

   

 

190

 

+

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

C

 

 

 

  150

 

 

 

 

  60

 

210

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

D

 

 

 

 

 

  150

 

 

   

 

150

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

  150

   

 

150

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

B  

 

 

 

 

  95

55

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dem.

150

150

150

170

245

  185

150  

 

 

   

Métodos Cuantitativos para los Negocios

65

Universidad Peruana Unión

Prueba de optimalidad  

A A

0

B  

3

C  

2

D  

6

E  

F

4  

1  

Exist. 0

 

 

 

130  

6

 

3  

6

 

2

 

70

 

200

B

3

 

0

 

4

 

3

 

8  

7

 

6

 

 

 

20  

150

 

2  

20

 

C

2

 

0

 

 

4

4

3

 

3

 

190

 

4  

2

 

1

 

 

 

1  

6

 

150  

3

 

1

 

60

 

210

D

6

 

3

 

4

 

0

 

2  

5

 

0

 

 

 

6  

6

 

5  

150

 

0

 

4

 

150

E

4

 

8

 

4

 

2

 

0  

1

 

-2

 

 

 

6  

13

 

7  

4

 

150  

-2

 

150

2

5

11

 

4  

6

 

 

-1

 

2  

 

1

7

F

 

2  

Vj

0

Dem.  

 

-3

150  

150  

 

1

0

150  

170  

0 95

 

-1

 

 

150

 

 

55

1

 

245  

185

 

La solución puede apreciarse fácilmente en el gráfico:

50 A

20

40

60

B

C 70

20 D

E

20

95

Unidad II

66

60

95

F 35

 

Sesión

6

Facultad de Ciencias Empresariales

El problema de asignación 6.1. GENERALIDADES Los problemas de asignación son un caso particular de los problemas de transporte y, de hecho, constituyen la clase más sencilla de los problemas lineales. Supongamos que nos dan n exigencias que se deben satisfacer y n métodos para satisfacerlas, y que cada exigencia debe ser satisfecha por uno de los métodos, y que un método no se puede utilizar para satisfacer más de una exigencia. Disponemos también de una matriz de costos n.n, siendo cada elemento (cij) el costo de satisfacer la exigencia j por el método i. El problema de asignación consiste en hallar aquella combinación de métodos y exigencias que minimizan el costo total. Frecuentemente se ha indicado que el método Simplex de transporte es poco eficaz para resolver un problema de asignación. Esta afirmación es discutible, ya que dicho método resulta moderadamente eficiente, con tal que la solución inicial se forme con un método tal como el VAM. Ahora bien, para este tipo de problemas existe un método de solución más eficiente denominado método húngaro, debido al matemático húngaro König. El principio fundamental del método húngaro es que si un problema de asignación se modifica, sumando o restando una constante a todos los elementos de una fila o columna de la matriz de costo, la solución óptima del problema modificado es la misma que la solución óptima del problema original.

6.2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Si se especifica que xij = 1, entonces se utiliza el método i para satisfacer la exigencia j; si xij = 0, el método i no se utiliza para satisfacer la exigencia j. A partir del hecho de que cada método está asociado con una y solo una exigencia, y que cada exigencia está asociada con un y solo un método la forma matemática del problema debe ser hallar la matriz X que satisface Métodos Cuantitativos para los Negocios

67

Universidad Peruana Unión

y,

Que minimiza

6.3. ETAPAS PARA OBTENER LA SOLUCIÓN ÓPTIMA POR EL MÉTODO HÚNGARO - Primer paso: Localizar el costo más pequeño en cada una de las filas de la matriz de costos. Se supone que inicialmente son no negativos todos los costos (en caso de maximizar, que requiere un cambio de signo a todos los elementos de la matriz, restar el costo más pequeño de todos los elementos de la matriz).

Localizado este elemento se resta de cada elemento de la fila.



Dibujar el mínimo conjunto de líneas, pasando por los ceros obtenidos. Si menos de "n" líneas cubren todos los ceros, todavía no se ha localizado la solución óptima.

- Segundo paso: Si no se ha obtenido la solución óptima en el paso anterior, repetir el mismo proceso con las columnas. Algunas de estas ya tendrán ceros y no requerirán cálculos. Otras no tendrán inicialmente ningún cero y el paso producirá, al menos, uno en cada uno de ellas. Dibujemos ahora otra vez el mínimo conjunto de líneas que cubren todos los ceros. Si el conjunto mínimo de líneas es menor "n" debe recurrirse al tercer paso. - Tercer paso: A partir de la matriz del segundo paso, encontrar el elemento mínimo de todos los elementos no cubiertos por líneas, restar este elemento de todos los no cubiertos (incluido el mismo) y añadirlo a elementos cubiertos que se encuentran en la intersección de dos líneas (si existen tales intersecciones). Dibujar nuevamente el mínimo conjunto de líneas que pasan por todos los ceros de la matriz. Si este número iguala a n, el proceso ha terminado. De nuevo, si el mínimo número de líneas iguala a n, se ha terminado, sino, se debe continuar. - Cuarto paso: Repetir el tercero hasta que el conjunto mínimo de líneas iguale a n. - Quinto paso: Si el mínimo número de líneas que cubren todos los ceros es n, ha aparecido la solución óptima. Para determinarla, se procede al marcado de ceros. Marcar los ceros que son únicos en una línea determinada, eliminar las filas y columnas que contienen el cero y continuar, hasta que todos los ceros independientes estén marcados.

Unidad II

68

Facultad de Ciencias Empresariales

Notas Algunos elementos de la matriz de costos pueden ser inicialmente negativos. Esta condición puede presentarse si se ha de maximizar la función objetivo, pues esto quiere cambiar de signo a todos elementos de la matriz de costo. En este caso, convertimos la matriz en una con elementos no negativos, por la simple maniobra de restar el más pequeño (más negativo) elemento de costo de todos elementos de costo. Esto originará (uno o más) elementos cero y hará positivos los restantes. Un proceso alternativo, aplicado a cada fila con uno o más elementos de costo negativos, consiste en añadir el valor absoluto del mínimo elemento en esta fila a todos los elementos de la misma. Se pueden presentar problemas en los que hay más exigencias que métodos para satisfacerlas o viceversa. En este caso, añadiremos filas o columnas ficticias para conseguir que la matriz de costo sea cuadrada. Todos los elementos de costo, en las filas o columnas ficticias, se igualan a cero. Ejercicio 6.1 Supongamos que una empresa dispone de cinco máquinas I, II, III, IV y V, así como de otros tantos operarios A, B, C, D y E para asignarlos a las mismas. Siendo la matriz de costos: Máquinas

Operarios  

I

II

III

IV

V

A

40

30

80

80

60

B

80

70

40

30

0

C

85

75

50

60

25

D

45

60

80

70

90

E

50

70

40

55

55

1. Se desea establecer la asignación de costo mínimo. 2. Resolver el mismo ejemplo, suponiendo que la matriz dada corresponde a la utilidad de asignar a cada operario una máquina determinada. Solución 6.1 1. Obtención de un cero por fila. El menor número de líneas (señaladas con *) es 4. Obtención de un cero por columna Operarios

Máquinas I

II

III

IV

V

Lin

A

10

0

50

50

30

 

B

80

70

40

30

0

 

C

60

50

25

35

0

 

D

0

15

35

25

45

 

E

10

30

0

15

15

 

Lin

*

*

*

 

*

 

Métodos Cuantitativos para los Negocios

69

Universidad Peruana Unión

Operarios

Máquinas I

II

III

IV

V

Lin

A

10

0

50

50

30

*

B

80

70

40

30

0

 

C

60

50

25

20

0

 

D

0

15

35

10

45

 

E

10

30

0

0

15

*

Lin

*

 

 

 

*

 

El menor número de líneas es 4. Restando 10 (mínimo de los elementos no cubiertos) a los elementos no cubiertos y sumando el mismo número a los elementos de las intersecciones. El menor número de líneas es 4. Restando 5 (mínimo de los elementos no cubiertos) a los elementos no cubiertos, y sumando el mismo número a los elementos de las intersecciones. Operarios

Máquinas I

II

III

IV

V

Lin

A

20

0

50

35

45

*

B

75

60

25

0

0

 

C

55

35

10

5

0

 

D

0

5

25

0

50

 

E

20

30

0

0

30

 

Lin

 

 

*

*

*

*

Con el menor número de líneas es 5, se procede al marcado de ceros. Operarios

Máquinas I

II

III

IV

V

A

20

(0)

50

35

45

B

75

60

25

(0)

0

C

55

35

10

5

(0)

D

(0)

5

25

0

50

E

20

30

(0)

0

30

Asignación óptima Operario

Máquina

A

II

B

IV

C

V

D

I

E

III

Valor de la función objetivo: Z = 30 + 30 + 25 + 45 +40 = 170

Unidad II

70

Facultad de Ciencias Empresariales

2. Máquinas

Operarios  

I

II

III

IV

V

A

40

30

80

80

60

B

80

70

40

30

0

C

85

75

50

60

25

D

45

60

80

70

90

E

50

70

40

55

55

Transformación a un problema de mínimo. Cambiando de signo a todos los elementos de la matriz de datos, y sumando a cada columna 85, 75, 80, 80 y 90 (elemento más negativo de cada columna), respectivamente. Máquinas

Operarios  

I

II

III

IV

V

Lin

A

45

45

0

0

30

*

B

5

5

40

50

90

 

C

0

0

30

20

65

*

D

40

15

0

10

0

*

E

35

5

40

25

35

 

Lin

 

 

 

 

 

 

Como se dispone de al menos un cero por columna, obtenemos un cero por fila. Máquinas

Operarios  

I

II

A

45

45

B

0

0

III

IV

V

Lin

0

0

30

*

35

45

85

 

C

0

0

30

20

65

 

D

40

15

0

10

0

*

E

30

0

35

20

30

 

Lin

*

*

 

 

 

 

El menor número de líneas es 4. Restando 20 a los elementos no cubiertos, y sumando igual cantidad a los elementos de las intersecciones. Máquinas

Operarios  

I

II

III

IV

V

Lin

A

65

65

(0)

0

30

 

B

(0)

0

15

25

65

 

C

0

0

10

(0)

45

 

D

60

35

0

10

(0)

*

E

30

(0)

15

0

10

 

Lin

*

*

*

*

 

 

Métodos Cuantitativos para los Negocios

71

Universidad Peruana Unión

Asignación óptima Operario

Máquina

A

III

B

I

C

IV

D

V

E

III

Z = 80 + 80 + 60 + 90 + 70 = 380 Debe observarse la existencia de asignaciones alternativas Operario

Máquina

Máquina

A

III

III

B

I

II

C

II

I

D

V

V

E

IV

IV

Unidad II

72

Facultad de Ciencias Empresariales

EJERCICIOS PROPUESTOS Ejercicio 6.1 Una empresa desea formar entre sus empleados 4 equipos de dos personas, un técnico y un obrero especializado que serán designados para diversos trabajos. Con el cuidado de tener presente las afinidades entre personas, se solicita a cada obrero que califique con una "nota" de 0 a 5 (mejor nota) a cada técnico. Técnicos

Obreros  

I

II

III

IV

A

1

4

1

4

B

4

2

2

1

C

5

3

5

1

D

1

2

3

1

¿Cómo deben formarse los equipos para que la suma de las notas sea máxima? Ejercicio 6.2 Una estación terminal tiene capacidad para acomodar seis camiones simultáneamente. El situar a cada camión en uno de los seis lugares implica un costo (de distribución y transferencia de cargas) que se refleja en la tabla adjunta. Los lugares de carga son A, B, C, D, E y F. Lugares de carga

Camión  

A

B

C

D

E

F

1 2 3 4

5 7 6 2

5 2 4 3

6 4 3 7

3 8 5 8

7 1 4 4

3 6 2 6

Cierto día hay que situar los camiones 1, 2, 3 y 4 en la estación terminal. Determinar el estacionamiento óptimo. Ejercicio 6.3 El director de un departamento de personal debe asignar 6 personas a 5 departamentos de la empresa, de manera que cada departamento debe quedar asignada, al menos, a una persona, y teniendo en cuenta que todas las personas han de quedar asignadas en algún departamento (esto es, un departamento le correspondería a dos personas y a las restantes cuatro, una). Determinar la asignación óptima si lo que se pretende es obtener la máxima utilidad total y si la utilidad de cada persona, en cada departamento, viene dada por: Departamentos

Personas  

1

2

3

4

5

1

12

6

10

3

20

2

10

8

15

4

25

3

15

6

14

5

22

4

20

8

10

3

21

5

16

7

12

2

24

6

18

7

13

2

23

Métodos Cuantitativos para los Negocios

73

Universidad Peruana Unión

Unidad II

74

Sesión

7

Facultad de Ciencias Empresariales

La Técnica PERT 7.1. GENERALIDADES Aunque, originalmente, la técnica PERT se aplicó para evaluar la programación de proyectos de investigación y desarrollo, también se utiliza actualmente para controlar el avance de otros proyectos como: –– –– –– –– –– ––

Programas de construcción. Programación de ordenadores. Preparación de presupuestos. Producción de películas. Campañas políticas. Lanzamiento de nuevos productos.

Los objetivos de la técnica PERT son: –– –– –– –– –– ––

Ayudar a la planeación y control de un proyecto. Determinar la probabilidad de cumplir con fechas de entrega específicas. Identificar aquellas actividades que es más probable que se conviertan en cuellos de botella. Calificación de actividades y análisis de tiempos. Evaluar el efecto de los cambios en el proyecto. Evaluación del efecto al desviarse de lo programado.

7.2. ESTRUCTURA DEL PROBLEMA La red PERT es un grafo orientado en el que cada arco representa una actividad y cada nudo un suceso definido, como el instante en que finalizan todas las actividades que llegan a ese nudo. Dispone de un nudo inicial, otro final y carece de bucles. Una regla muy común, para construir este tipo de redes, es que dos nudos no pueden estar conectados por más de un arco. Las actividades ficticias pueden utilizarse para evitar violar esta regla.

Métodos Cuantitativos para los Negocios

75

Universidad Peruana Unión

La confección de una red PERT precisa de: –– Una tabla de precedencias. –– Realizar una numeración ordenada de los nudos.

7.3. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA Una vez desarrollada la red del proyecto, de acuerdo con las relaciones de precedencia de las actividades, será preciso determinar el tiempo que se requiere para realizar cada actividad y su variancia, toda vez que esta técnica considera las duraciones de las actividades una variable aleatoria. Para una determinada actividad será:

te (A) =

a + 4m + b 6

te = tiempo esperado de la actividad a = estimación optimista m = estimación más probable b = estimación pesimista Var(A) = variancia de la actividad A 2 Var(A) = (b − a )   36

Determinado el tiempo esperado de todas las actividades, es posible realizar el cálculo de las tres cantidades básicas para cada suceso: –– Tiempo más temprano de un suceso (Te).- Es el tiempo estimado en que ocurrirá el suceso, si las actividades que lo preceden comienzan lo más pronto posible.

–– Tiempo más tardío de un suceso (Tl).- Es el último momento (estimado) en el que puede ocurrir un suceso sin retrasar la terminación del proyecto, más allá de su tiempo más temprano.

Unidad II

76

Facultad de Ciencias Empresariales

–– Holgura o Fluctuación de un suceso (Tf).- Es la diferencia entre el tiempo más tardío y temprano de cada suceso. Se denominan sucesos críticos aquellos que tienen holgura cero. Una vez determinados los tiempos más tempranos y tardíos de cada suceso, la duración del proyecto vendrá determinada por la diferencia entre los tiempos más tempranos (o tardíos) de los sucesos finales e inicial. Asimismo, estos tiempos permiten, con facilidad, el cálculo de las diferentes holguras de cada actividad (i,j): Ht (i,j) = Tl (j) – Te (i) – te (i,j) - Holgura total (Ht): - Holgura libre (Hl): Hl (i,j) = Te (j) – Te (i) – te (i,j) - Holgura independiente (Hi): Hi (i,j) = Te (j) – Tl (i) – te (i,j) Te (j) = tiempo más temprano del suceso j Tl (i) = tiempo más tardío del suceso i te (i,j) = duración esperada de actividad (i,j) La holgura total (Ht), permitirá analizar las actividades críticas y determinar el(los) camino/s crítico/s; definido como la ruta de comienzo a final del proyecto, formada por actividades cuyas holguras totales coinciden con la holgura del suceso final. La holgura libre (Hl) de una actividad, es la parte de holgura total que puede utilizarse sin afectar al tiempo más temprano en comenzar y a la holgura de las actividades sucesivas. La holgura independiente (Hi) de una actividad, es tiempo que puede ser utilizado sin afectar a los sucesos inicial y final de dicha actividad.

Métodos Cuantitativos para los Negocios

77

Universidad Peruana Unión

Similarmente a los tiempos definidos para cada suceso, puede para cada actividad (i,j,) definirse los tiempos más tempranos y tardíos de comienzo y finalización de la misma: ES (i,j) = tiempo más temprano en el cual puede comenzar a ejecutarse la actividad (i,j) EF (i,j) = tiempo más temprano en el puede completarse la (i,j) EF (i,j) = ES (i,j) + te (i,j). Ls (i,j) = tiempo más tardío en el cual debe comenzarse a ejecutar la actividad (i,j) LS (i,j) = LF (i,j) - te (i,j). LF (i,j) = tiempo más tardío en cual debe terminar la actividad (i,j). Habitualmente, todos los tiempos se representan sobre las redes, de acuerdo con el siguiente criterio:

Para un determinado proyecto, la duración total del mismo, suponiendo que las actividades 1, 2, 3, …, k son críticas (componen el camino crítico) Unidad II

78

Facultad de Ciencias Empresariales

te (T) = te (1) + te (2) + te (3) + … + te (k) y la variancia del mismo camino crítico Var(T) = var(1) +var(2) + …+ var(k) La distribución del tiempo de finalización del proyecto, de acuerdo con el teorema central de límite será:

Debe observarse que, en el caso que existiesen dos o más caminos críticos, deberá utilizarse en la distribución de los tiempos de finalización, el de mayor variancia. Ejercicio 1.1 Una cadena de restaurantes fase-food desea adquirir un nuevo ordenador que la permita llevar su contabilidad y realizar el control de inventarios. Una empresa de ordenadores presenta, al director de Marketing, la siguiente información junto con el correspondiente grafo del proyecto: Tiempos (días) Actividad

Optimista

Probable

Pesimista

(a)

(m)

(b)

(A) Selección de modelo

4

6

8

(B) Sistema entrada/salida

5

7

15

(C) Diseño del sistema

4

8

12

(D) Montaje

15

20

25

(E) Programas

10

18

26

(F) Rutinas entrada/salida

8

9

16

(G) Bases de datos

4

8

12

(H) Instalación

1

2

3

(I) Test

6

7

8

Red del proyecto:

3

1

2

5

6

7

8

4

Métodos Cuantitativos para los Negocios

79

Universidad Peruana Unión

Se desea determinar: –– Camino crítico y duración esperada del proyecto. –– La probabilidad de finalizar el proyecto en 55 días. Solución 1.1 Determinamos los tiempos esperados de cada actividad y su variancia. Así, para la actividad A, tendremos:

Te (A) =

Var (A) =

4 + 4x 6 + 8 36 = = 6   6 6 (8 − 4)2 16 4   = = 36 9 36

Continuando el proceso con todas las actividades se obtiene: Tiempos Actividad

Optimista

Probable

Pesimista

Esperado

Variancia (var)

Holgura Ht 0

(a)

(m)

(b)

(te)

(A)

4

6

8

6

4/9

(B)

5

7

15

8

25/9

0

(C)

4

8

12

8

16/9

14

(D)

15

20

25

20

25/9

4

(E)

10

18

26

18

64/9

0

(F)

8

9

16

10

16/9

14

(G)

4

8

12

8

16/9

0

(H)

1

2

3

2

1/9

4

(I)

6

7

8

7

1/9

0

Se determina los tiempos más tempranos y tardíos de cada suceso, así como la holgura total de cada actividad. Tiempos más tempranos Partiendo del nudo inicial y considerando para este nudo el origen de tiempos. Te(1) = 0 Te(2) = Te(1) + te(A) = 0 + 6 = 6 Te(3) = Te(2) + te(B) = 6 + 8 = 14 Te(4) = Te(2) + te(C) = 6 + 8 = 14 Te(5) = Te(3) + te(E) = 14 + 18 = 32 Te(6) = max[Te(3)+te(D) , Te(4)+te(F)] = max [14+20 , 14+18] = max [34, 32] = 34 Te(7) = max[Te(5)+te(G) , Te(6) + te(H)] = max [32+8 , 34+2] = max [40, 36] = 40 Te(8) = Te(7) + te(I) = 40 + 7 = 47

Unidad II

80

Facultad de Ciencias Empresariales

Tiempos más tardíos Partiendo del nudo final, y haciendo coincidir en este nudo el tiempo más tardío con el más temprano. T1(8) T1(7) T1(6) T1(5) T1(4) T1(3) T1(2) T1(1)

= 47 = T1(8) - te(I) = 47 - 7 = 40 = T1(7) - te(H) = 40 - 2 = 38 = T1(7) - te(G) = 40 - 8 = 32 = T1(6) - te(F) = 38 – 10 = 38 = min [T1(5)-te(E), T1(6)-te(D)] = min]32-18, 38-20] = min [14, 18] = 14 = min [T1(3)-te(B), T1(4)-te(C)] = min[14-8, 28-8] = min [6, 20] = 6 = T1(2) - te(A) = 0 - 6 = 0

Las holguras totales de cada actividad serán: Ht(A) = T1(2) – Te(1) – te(A) = 6 – 0 – 6 = 0 Ht(B) = T1(3) – Te(2) – te(B) = 14 – 6 – 8 = 0 Ht(C) = T1(4) – Te(2) – te(C) = 28 – 6 – 8 = 14 Ht(D) = T1(6) – Te(3) – te(D) = 38 – 14 – 20 = 4 Ht(E) = T1(5) – Te(3) – te(E) = 32 – 14 – 18 = 0 Ht(F) = T1(6) – Te(4) – te(F) = 38 – 14 – 10 = 14 Ht(G) = T1(7) – Te(5) – te(G) = 40 – 32 – 8 = 0 Ht(H) = T1(7) – Te(6) – te(H) = 40 – 34 – 2 = 4 Ht(I) = T1(8) – Te(7) – te(I) = 47 – 40 – 7 = 0

3 14 14

B A

1 0 0

2 6 6

C

E D

5 32 32

6 34 38

H

G 7 40 40

I

8 47 47

F

4 14 28

El camino crítico es el 1-2-3-5-7-8, formado por las actividades A, B, E, G e I con holgura total cero. La longitud de este camino suma de las duraciones esperadas de todas las actividades que lo componen es:

Te (T) = 6 + 8+18 +8 + 7 = 47 días

Su variancia

Var (T) = 4 + 25 + 54 + 16 + 1 = 110   9

9

9

9

9

9

y su distribución N(47 ; 3.496).

La probabilidad de terminar en 55 días o menos será: P(E

55) = 0.98894

Métodos Cuantitativos para los Negocios

81

Universidad Peruana Unión

95 % 90 % 85 %

*

75 %

*

65 %

*

50 % 35 %

*

*

*

95 % 90 % 85 % 75 % 65 % 50 % 35 %

*

25 % * 15 % * 10 % * 5% * 43.37 45.65 48.35 50.63 52.75 44.64 47.00 49.36 51.48 41.25 42.52 0

Unidad II

82

25 % 15 % 10 % 5%

Sesión

8

Facultad de Ciencias Empresariales

El Método CPM 8.1. GENERALIDADES

La realización de cualquier proyecto trae consigo la aparición de dos tipos de costos: los directos que proviene de factores directamente imputables a cada tarea (materias primas, horas-maquina, costo del equipo horas-hombre, etc.), y los indirectos que son imputables mediante claves de distribución (gastos generales, supervisión, multas, etc.). Las versiones originales de los métodos PERT y CPM difieren en dos aspectos importantes: –– En primer lugar, el método CPM supone que los tiempos de ejecución de las actividades son determinísticos (no probabilísticas como el método PERT). –– En segundo lugar, el método CPM asigna la misma importancia al tiempo y al costo.

8.2. ESTRUCTURA DEL PROBLEMA El objetivo fundamental de la técnica CPM es determinar el cambio entre tiempo y costo que debe emplearse en cada actividad, para cumplir con el tiempo de terminación del proyecto que se programó a un costo mínimo. Los costos directos de una actividad suelen estar relacionados inversamente con su duración. Cuando se reduce la duración de una actividad (i,j) a partir de un punto (Dij , CDij), llega un momento en el que resulta imposible disminuirla por debajo de un cierto valor dij, denominado récord.

Métodos Cuantitativos para los Negocios

83

Universidad Peruana Unión

El punto determinado por (dij , Cdij) proporciona el tiempo y el costo necesario cuando se realiza la actividad en forma intensiva, esto es, se acelera completamente sin reparar en costos. Asimismo, si aumentamos la duración llega un momento (Dij) en que los costos dejan de disminuir, esta duración se denomina normal. El punto determinado por (Dij, CDij) proporciona el costo y tiempos necesarios cuando la actividad se realiza de forma normal, sin incurrir en costos adicionales como horas extras, materiales especiales, etc., para acelerar la actividad. Las variables de decisión del problema son xij , en donde: xij = tiempo de duración de la actividad i, j Es obvio que, cuando es necesario acortar la duración de un proyecto, se desea hacerlo con el mínimo costo posible. Para ello es preciso calcular las pendientes de costo de todas las actividades. Las pendientes de costo representan el incremento del costo directo, producido al reducir la duración de la tarea en una unidad de tiempo.

p(ij ) = CDij = Cdij = Dij = Dij =

C dj − C Dij Dij − d ij

 

costo (directo) normal para la actividad i,j. costo (directo récord para la actividad i,j. tiempo normal para la actividad i,j. tiempo récord para la actividad i,j.

8.3. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA 8.3.1. Mediante programación lineal Dado un tiempo T (máximo) de finalización del proyecto, deben determinarse las duraciones xij que minimizan el costo total. Para tener en cuenta la finalización de proyecto, es necesaria una variable para cada suceso. yi = tiempo más temprano (desconocido) del suceso i Si designamos por Kij la ordenada en el origen de la actividad (i,j) (ver figura anterior), el costo directo total del proyecto será:

(

CD (T ) = ∑ K ij − p(ij ) x ij ij

)

Luego el problema queda reducido a:

Max Z = ∑ −p(ij ) x ij   ij

Unidad II

84

Facultad de Ciencias Empresariales

Sujeto a: xij xij yi+ xij – yj yn

dij Dij 0 T

Y a las condiciones de no negatividad: xij

0 yi

0

Una vez obtenida la solución para diversos valores de T, será preciso combinar los resultados obtenidos con los costos indirectos totales, para determinar el valor óptimo de T.

8.3.2. Algoritmo de Ackoff-Sasieni –– Primer paso: Construir una matriz cuyas filas representen los diferentes caminos existentes de comienzo a final del proyecto, y por columnas las diferentes actividades que componen el proyecto. Cada elemento (i,j) de la matriz representará la pendiente de costo de la actividad que ocupa la columna j, siempre y cuando pertenezca al camino de la fila i; en caso contrario, debe dejarse en blanco. Es preciso que cada actividad tenga tantas columnas como pendientes de costo posea. –– Segundo paso: Se amplía la matriz obtenida con una columna cuyos elementos representen las duraciones de los respectivos caminos, y una fila cuyos elementos indiquen la diferencia entre las duraciones normal y récord de cada actividad (acortamiento posible). –– Tercer paso: Se selecciona la actividad de menor pendiente en cada uno de los caminos críticos del proyecto (caso de existir varios), y se determina el tiempo de acortamiento. Para ello, se calcula el mínimo de las cantidades: yy Acortamiento máximo de las actividades sin que cambie su pendiente. yy Diferencia entre la duración del camino crítico y del primer subcrítico. –– Cuarto paso: Una vez calculado el tiempo de acortamiento, se determina el incremento en el costo directo y el costo indirecto para la duración resultante. Se calcula el costo total y se amplía la matriz con una nueva columna, que represente las nuevas duraciones de los caminos y una fila para mostrar los nuevos acortamientos posibles de las actividades. Se continúa el proceso hasta encontrar un camino crítico irreducible. Ejercicio 1.2 El proceso de construcción de un nuevo ordenador se compone de las siguientes actividades:

Métodos Cuantitativos para los Negocios

85

Universidad Peruana Unión

Actividad

Duraciones Normal Récord

1-2 1-3 1-4 2-6 2-6 3-4 3-5 4-6 5-6

17 15 20 18 16 5 13 20 10

13 10 15 16 15 3 8 19 8

Pendientes de Costo 6 3 2 4 5 2 6 6 5

El costo directo del proyecto en duración normal es de 360 millones de u.m. y el costo indirecto Ci viene determinado por la expresión Ci = 5 Dp + 167 (millones u.m) Dp = duración del proyecto. Determinar la duración más interesante del proyecto, desde el punto de vista económico. Determinar el costo a que daría lugar la realización del proyecto, en la mínima duración posible. Solución 1.2 Gráfico del proyecto:

Notación CDij , Cdij / p(ij) Algoritmo de Ackoff-Sasieni Construimos una matriz que tiene por filas los distintos caminos existentes entre el nudo inicial y final del proyecto, y por columnas las diferentes actividades que lo componen. Resulta conveniente que cada actividad aparezca tantas veces como pendientes de costo tenga. Los caminos de este proyecto son: 1-2-6 1-3-4-6 1-3-5-6 1-4-6

Unidad II

86

Facultad de Ciencias Empresariales MATRIZ INICIAL Actividades

  Caminos

1-2

1-3

1-4

2-6

2-6

3-7

3-5

4-6

5-6

1-2-6

6

 

 

4

5

 

 

 

 

1-3-4-6

3

 

2

1-3-5-6

3

 

 

6

 

5

 

 

6

 

1-4-6

 

 

2

 

 

6

Cada elemento de la matriz es la pendiente de costo de las diferentes actividades que componen el proyecto, siempre y cuando pertenezcan al camino correspondiente. En el primer paso, se amplía esta matriz con una columna que contiene las duraciones de los caminos y una fila que contiene, para cada actividad, la diferencia entre sus duraciones normales y récord. Caminos 1-2-6

Actividades 1-2 6

1-3 1-4 2-6 2-6 3-4 3-5 4-6 5-6  

 

4

5

 

 

 

 

6

A 35

1-3-4-6

3

 

2

40

1-3-5-6

3

 

 

6

 

5

38

1-4-6

 

 

2

 

 

 

 

6

 

40

A´

4

5

5

2

1

2

5

1

2

 

El costo directo del proyecto en duración normal (40 días) es de 360 u.m. y el costo indirecto se determina de acuerdo con la función dada. Ci = 5 . Dp + 167 = 5 . 40 + 167 = 367 u.m. el costo total resulta Ct = Cd + Ci = 360 + 367 = 727 En las sucesivas reducciones de la duración del proyecto, será preciso seguir ampliando esta matriz con nuevas columnas y filas. En este instante, el proyecto presenta dos caminos críticos que será preciso reducir simultáneamente. Para ello se selecciona, en cada uno de los caminos críticos, la actividad de menor pendiente de costo que pueda ser reducida su duración (cantidad no nula en la fila A´). Las actividades seleccionadas son 3-4 y 1-4. Para determinar el tiempo máximo de acortamiento, es preciso calcular el mínimo de las cantidades siguientes: –– Máximo acortamiento de 3-4 sin que cambie su pendiente de costo 2 días. –– Máximo acortamiento de 1-4 sin que cambie su pendiente de costo 5 días. –– Diferencia entre la duración del camino crítico y del primer subcrítico 40 – 38 = 2 Dicho mínimo es de 2 días, que será el acortamiento a realizar simultáneamente en los dos caminos críticos.

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87

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El incremento en el costo directo del proyecto será: Actividad 3-4 1-4  

Pendiente 2 2  

Nº días 2 2 Total

Costo 4 4 8

El costo directo será Cd = 360 + 8 = 368 el indirecto Ci = 5 . 38 + 167 = 357 y el total Ct = 368 + 357 = 725 De esta forma se determina la fila B´ y columna B. Actividades

Caminos

A

1-2 1-3 1-4 2-6 2-6 3-4 3-5 4-6 5-6

1-2-6

6

 

1-3-4-6

 

4

3

1-3-5-6

5

 

3

 

 

2

 

 

 

6

B

35

35

40

38

 

6

 

5

38

38

1-4-6

 

 

2

 

 

 

 

6

 

40

38

A´

4

5

5

2

1

2

5

1

2

 

 

B

4

5

3

2

1

0

5

1

2

 

 

Se procede de forma análoga, hasta que alguno de los caminos críticos no sea posible acortarlo, obteniendo la matriz siguiente: Caminos

Actividades 1-2

1-3

1-4

2-6

2-6

4

5

3-4

3-5

4-6

5-6

A

B

C

D

D1

35 40 38 40

35 38 38 38

35 35 35 35

34 33 34 34

34 34 34 34

1-2-6 1-3-4-6 1-3-5-6 1-4-6

6

A´

4

5

5

2

1

2

5

1

2

CD=360; Cl=367; CT=727

B´

4

5

3

2

1

0

5

1

2

CD=360+8; Cl=357; CT=725

C´

4

2

0

2

1

0

5

1

2

CD=368+15; Cl=342; CT=725

D´

4

1

0

1

1

0

5

0

2

CD=383+13; Cl=337; CT=733

D1´

4

1

0

1

1

1

5

0

2

CD=396-2; Cl=337; CT=731

3 3

2

6 6

2

5 6

Duración normal y costo d= 40; C= 727 Costo mínimo y duración d= 36.5; C= 725 Duración récord y costo d= 34; C= 731 Debe observarse que: Una vez que se ha obtenido la fila D´ y columna D, el camino 1-3-4-6 tiene una duración de 33 días y la duración del proyecto es 34 días. En consecuencia, resulta innecesario mantenerlo con la duración de 33 días, dado que la actividad 3-4 puede alargarse 1 día, con el consiguiente ahorro en el costo directo del proyecto. Por ello, ha sido necesario construir la fila D1´ y columna D1.

Unidad II

88

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El proceso ha finalizado, ya que el camino 1-4-6 tiene todas sus actividades en tiempo récord y no puede reducirse su duración. Finalmente se obtiene resultados: Tiempo (días)

40

38

35

34

Costo directo

360

368

383

394

Costo indirecto

367

357

342

337

Costo total

727

725

725

731

El costo total mínimo es de 725 u.m., y su duración, cualquiera comprendida en el intervalo 3835, ambos inclusive. El costo en duración récord es de 731 u.m. y su duración 34 días. EJERCICIOS PROPUESTOS Ejercicio 1.1 La red de un proyecto complejo consta de un conjunto de actividades elementales cuya duración, al no ser conocida con exactitud, se ha estimado obteniendo los siguientes resultados: Act

tp

tn

t0

Orden de prelación

A

12

10

8

 

B

24

20

16

A

precede a D

C

9

8

7

B

precede a C,E

D

5

5

5

D

precede a F, G, H

E

21

17

13

E

precede a J, K

F

16

13

10

C, H

precede a I

G

15

14

13

F, G, I, J precede a L,M

H

12

8

4

 

I

12

12

12

 

J

5

4

3

 

K

30

25

20

 

L

12

11

10

 

M

11

9

7

 

Nota: los tiempos viene expresados en días Se desea conocer: 1. 2. 3. 4.

La red el proyecto. Determinar el camino crítico y su duración. Determinar la probabilidad de que el proyecto termine antes de 60 días. ¿Cuál será la duración máxima del proyecto con una probabilidad del 90%?.

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Ejercicio 1.2 Los tiempos esperados para la realización de las actividades de un determinado proyecto son: Act

Nudos

Tiempos esperados

A

1-2

2

B

1-3

7

C

1-4

8

D

2-5

3

E

3-5

6

F

3-6

10

G

3-7

4

H

4-6

6

I

5-7

2

J

6-8

5

K

7-8

6

Se desea conocer: 1. 2. 3. 4. 5.

Diagrama de la red del proyecto. Tiempos más tempranos y tardíos de comienzo y finalización de cada actividad. Tiempos más tempranos y tardíos de cada suceso. Fluctuación de cada suceso. Holgura total, libre e independiente de cada actividad.

Ejercicio 1.3 Considérese el proyecto compuesto por las actividades cuyas duraciones optimista, normal y pesimista son las que se reflejan en la tabla adjunta. Actividad

Duraciones (días) (a)

(m)

(b)

1-2

5

6

13

1-3

2

7

12

2-4

1.5

2

2.5

2-5

1

3

5

3-5

4

5

6

3-6

1

1

1

4-7

2

3

10

5-7

4

5

6

6-7

3

5

7

Determinar: 1. 2. 3. 4.

Camino crítico, duración y parámetros de su distribución. Actividad con estimación más precisa. Tiempos más tempranos, tardíos y holgura de cada suceso. Si resulta interesante pagar 12500 u.m. para reducir la actividad 3-5 en tres días, sabiendo que cada día que el proyecto pueda ser acortado vale 5000 um.

Unidad II

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EVALUACIÓN CONCEPTUAL 1. ¿Qué es un problema de transporte? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ _______________________________________ 2. ¿Qué en un método Simplex? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ _______________________________________ 3. ¿Cuál es el uso fundamental de modelo CPM? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ _______________________________________ 4. ¿Para qué se usa indispensablemente la Técnica PERT? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ Métodos Cuantitativos para los Negocios

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________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ _______________________________________ PROCEDIMENTAL 5. ¿Cuáles son los pasos para poder solucionar el método Esquina y qué problemas reales se solucionan con ese método? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ _______________________________________ ACTITUDINAL Con base en la siguiente lista de actividades construya una red y conteste las preguntas que vienen a continuación: Actividad sucesora A B C D E F G H I J K

Actividad predecesora A A B,C B C E G,D,F F I H

Duración actividad 3 3 2 4 7 2 1 5 8 3 6

a. Construya la red de este problema e indique cuál sería la duración de proyecto. b. ¿Ud. Diría que esta es la duración de proyecto o si en promedio sería lo que se demoraría en terminarse dicho proyecto? ¿Por qué? c. ¿Qué método de evaluación uso? ¿Bajo qué supuesto conceptual decidió que este era el método adecuado? d. ¿Cuál es el valor de la varianza y la desviación estándar en este proyecto? e. ¿Qué pasa en estos proyectos cuando se da una varianza negativa y cuánto sería el valor de su desviación estándar? f. ¿Cuál es la probabilidad de terminar el proyecto en el tiempo establecido por la red? g. ¿Qué tiempo diría Ud. que se demoraría el proyecto si la probabilidad fuera del 50 %?

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UNIDAD III Pronósticos SESIÓN 9

Introducción a los Pronósticos

SESIÓN 10

Modelo de Pronósticos Cuantitativos

Competencias CONCEPTUAL

PROCEDIMENTAL

ACTITUDINAL

Entiende con claridad los conceptos de pronósticos, modelos de pronósticos, el uso de los pronósticos en ambiente de producción y las funciones que cumplen.

Repasa los ejercicios resueltos, y resuelve los ejercicios prácticos, repasa la bibliografía, busca ejercicios y resuelve los ejercicios de la bibliografía.

Aplica los ejercicios a la vida práctica, analiza los ejercicios poniéndolo en el escenario real.

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Unidad III

94

Sesión

9

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Introducción a los Pronósticos 9.1 GENERALIDADES Un pronóstico es un cálculo de la actividad futura. El hecho de pronosticar puede considerarse como la ciencia y arte de predecir eventos futuros. Puede ser una predicción sobre la aceptación de un nuevo producto, de los cambios en la demanda, la variación del tipo de cambio del sol con respecto al dólar, la tasa de la inflación del próximo año u otras condiciones que influyan directamente en la planeación de la producción. La exactitud del pronóstico proporciona la pauta para valorar su mérito. Cuando existe una relación directa de causa y efecto, es lógico esperar una gran precisión. La reacción de un compuesto químico o el esfuerzo máximo de un nuevo diseño pueden predecirse con precisión; pero cuando nos alejamos de las ciencias físicas y entramos al dominio de la economía, la reciprocidad entre ambas se desvanece. El ejecutivo debe percatarse de que, con las técnicas actualmente disponibles, los pronósticos comerciales precisos son casi imposibles, y quien hace el pronóstico debe reconocer que sus esfuerzos ofrecen solo indicaciones, y no la palabra final sobre las condiciones futuras. Con esto no se intenta desmerecer la importancia de las proyecciones futuras, solo establecer la seriedad con la que se lleve a cabo un pronóstico, y que este sea representativo de lo que ocurra en el futuro, ya que en mercados altamente competitivos, el éxito o el fracaso pueden depender del posible grado de control, por medio de buenos pronósticos.

9.2 DATOS HISTÓRICOS Basar las estimaciones de la actividad futura en la demanda que, con anterioridad tuvo un producto, es uno de los métodos de pronóstico más utilizados y veraces de que se dispone. Tiene la ventaja de ser cuantificable y objetivo. Empero, no es perfecto. Las fallas resultan cuando las condiciones económicas que prevalecieron en el pasado ya no son operantes. El juicio permanece como un componente necesario para cualquier método de pronóstico.

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9.3 TIPOS DE PRONÓSTICOS 9.3.1. Pronósticos basados en opiniones subjetivas Son aquellos en los que algunas o todas las personas, cuya actividad son las ventas o la mercadotecnia, expresan cuál es su parecer respecto a las ventas que se espera en el futuro. Este tipo de pronóstico tiene la ventaja de que las personas que intervienen directamente en las ventas son quienes asumen la responsabilidad por el mismo, tienen experiencia en vender el producto en distintas circunstancias de mercado. Sin embargo, este procedimiento, para establecer el pronóstico, presenta algunos inconvenientes. En primer lugar, los vendedores pueden ser muy optimistas o exageradamente pesimistas. Es decir, el pronóstico va a depender mucho de la experiencia habida en las ventas del pasado inmediato. En segundo lugar, en el establecimiento del pronóstico pueden intervenir algunas personas dominantes, y el resultado puede no ser expresión de una opinión reflexiva de todas las personas afectadas. Si estas personas dominantes están tanto o más en lo cierto que todo el grupo, no se deriva de ello daño alguno; por otra parte, si sus opiniones están influenciadas de algún prejuicio, este aparecerá forzosamente reflejado en el pronóstico. El pronóstico basado en la opinión subjetiva puede ser bueno o malo.

9.3.2. Pronósticos basados en un índice Los pronósticos basados en algún índice son tan buenos o tan malos como lo sea el índice que les sirve de base, y según cuál sea el grado de correlación entre la demanda real y el pronóstico basado en el índice. La relación entre el índice y el pronóstico viene a ser aproximadamente el cuadrado del coeficiente de correlación. Por lo tanto, un coeficiente de correlación de 0.80 indica que al sistema de causas que dio origen al índice no se le atribuye más que un 64% aproximadamente del volumen de las ventas. De lo anterior se infiere que se necesita un coeficiente de correlación de casi 0.95, antes de que pueda considerarse que el pronóstico derivado de un índice tiene el grado necesario de exactitud.

9.3.3. Pronósticos basados en promedios El pronóstico que se basa en el promedio de los datos de ventas pretéritas representa el supuesto implícito de que la demanda anterior indica la demanda futura. La validez de esta presunción puede ponerse a prueba mediante el empleo de gráficas de control. Para promediar existe cierta variedad de métodos y variantes, todos los cuales pueden utilizarse para pronosticar. El promedio aritmético o media aritmética es una de estas posibilidades. Es un promedio de todos los datos de las ventas pretéritas. Cuando se utilizan los datos tomados solamente en períodos de ventas más recientes, tenemos un promedio móvil. El número de clases de datos que se emplean para el promedio móvil determina la forma en que el mismo reacciona respecto a cualquier sistema, dado sus causas. Tenderá a retrasar las tendencias, a estar “fuera de fase” a rebajar las cumbres y a subir los valles de toda curva de demanda cíclica. El punto hasta donde habrá de ser válido el retraso, el estado de fuera de fase y el suavizar la curva de la gráfica estará en función del número de períodos de la demanda que se utilicen en el promedio móvil. Con la debida aplicación y mediante ciertos ajustes, la determinación del promedio de los datos de la demanda pretérita puede dar un cálculo estimativo satisfactorio del volumen futuro de ventas, siempre que no cambie el sistema de las causas. Sin embargo, existen y pueden utiliUnidad III

96

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zarse técnicas estadísticas mejores y en las que se puede tener más confianza. Cuando no se emplean más que promedios, no hay una estimación del error del valor del pronóstico. Y para el planeamiento efectivo de las existencias, se hace necesario un cálculo estimativo de tal error.

9.3.4. Pronóstico estadístico El pronóstico basado en un análisis estadístico de la demanda pretérita brinda la posibilidad de ser un procedimiento más exacto, siempre que exista una relación entre el pasado y el futuro. En realidad, el pasado brinda la mejor base para las decisiones referentes a la acción futura. Sin embargo, las predicciones basadas en datos pretéritos tienen que modificarse si se sabe que, en el futuro, habrán de suceder o probablemente sucedan ciertos acontecimientos (ampliación de las zonas atendidas de ventas, la desaparición de un competidor, ampliación de capacidad productiva, el ingreso de nuevos competidores o que el producto se vuelva anticuado, etc.). Son muchos los métodos estadísticos que pueden utilizarse. Su aplicación debe hacerla alguien que esté razonablemente bien versado en los métodos del análisis estadístico y en la interpolación de estos análisis.

9.3.5. Métodos combinados Es posible, y quizá sea deseable, combinar algunos o todos los tipos de pronósticos arriba mencionados, y hasta quizá añadirles otros métodos. La seguridad de que se alcanza el grado necesario de exactitud puede conocerse por la estrecha coincidencia de los pronósticos logrados, siguiendo varios métodos.

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Sesión

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Modelos de Pronósticos Cuantitativos 10.1 INTRODUCCIÓN

Las técnicas de pronósticos cuantitativos son variadas y existe mucha información al respecto; asimismo, es necesario contar con conocimientos matemáticos, principalmente estadísticos, para su mejor comprensión. Básicamente se pueden clasificar en dos grandes categorías: - Modelos de pronósticos por series de tiempo. - Modelos de pronósticos causales.

10.2 MODELOS DE PRONÓSTICOS POR SERIES DE TIEMPO Mediante estos modelos, pueden realizarse pronósticos mediante la extrapolación del comportamiento histórico de los valores de una sola variable particular de interés. Para esto se utiliza una técnica para extrapolar el comportamiento histórico hacia el futuro, para lo cual se emplean los datos pasados o históricos, en orden cronológico, de una variable llamada serie de tiempo. De esto se desprende que la variable independiente será el tiempo y la variable dependiente será la de interés que deseamos extrapolar o pronosticar.

10.2.1 Componentes de una serie de tiempo Los movimientos característicos de una serie de tiempo, involucrados en su análisis, pueden clasificarse en cuatro tiempos principales, llamados a menudo componentes de una serie de tiempo.

10.2.1.1. Movimientos seculares o de tendencia secular Se refieren a la dirección general a la que el gráfico de una serie parece dirigirse en un intervalo grande de tiempo. Este movimiento secular o variación secular o tendencia secular, como se llama a veces, se indica por una curva de tendencia de largo plazo. En algunas series puede ser apropiada una recta de tendencia.

10.2.1.2. Movimientos cíclicos o variaciones cíclicas Se refieren a las oscilaciones de larga duración alrededor de la recta o curva de tendencia. Estos ciclos, como se llaman a veces, pueden ser o no periódicos, es decir, pueden seguir o no exac-

Métodos Cuantitativos para los Negocios

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tamente caminos análogos, después de intervalos de tiempo iguales. En negocios y actividades económicas, los movimientos se consideran cíclicos solamente si su período tiene un intervalo de tiempo superior al año.

10.2.1.3. Movimientos estacionales o variaciones estacionales Se refieren a las idénticas, o casi idénticas, normas que una serie de tiempo parece seguir durante los correspondientes meses de los sucesivos años. Tales movimientos se deben a sucesos recurrentes que se repiten anualmente, como por ejemplo, los repentinos incrementos de ventas de un departamento antes de las navidades. Aunque los movimientos estacionales se refieren, en general, a una periodicidad anual en negocios o teoría económica, las ideas envueltas pueden extenderse hasta incluir una periodicidad de cualquier intervalo de tiempo, tales como diaria, horaria, semanal, etc. dependiendo del tipo de datos que se utilizan.

10.2.1.4. Movimientos irregulares, al azar o aleatorios Se refieren a movimientos esporádicos de las series de tiempo debido a sucesos ocasionales, tales como inundaciones, huelgas, elecciones, etc. Aunque normalmente se supone que tales sucesos producen variaciones que solamente duran un corto intervalo de tiempo, se concibe que puedan ser tan intensos que originen un nuevo ciclo u otros movimientos.

10.2.2 Métodos de pronóstico A continuación presentaremos algunas técnicas para pronosticar cambios futuros en el nivel de una variable deseada, como función del tiempo.

10.2.2.1. Pronóstico basado en la media aritmética El promedio o media aritmética se define como:

La precisión con que la media aritmética de una muestra habrá de predecir la media verdadera, está en función de la recíproca de la raíz cuadrada de la magnitud de la muestra. Para disminuir el error posible entre la media verdadera y el cálculo hecho de esta misma media (la media aritmética) en un factor de se necesita emplear cuatro veces más de datos que los empleados para calcular la media aritmética de la muestra. Un aumento así de la magnitud de la muestra puede no merecer la pena, debido a que pueden suceder muchas cosas que cambian el sistema de causas que sirven de fundamento. Estos cambios pueden descubrirse prontamente con el empleo de gráficas de control.

Unidad III

100

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Ejercicio 10.1 Según los datos tabulados, calcular el pronóstico utilizando la media aritmética. Período

Mes

Demanda

Período

Mes

Demanda

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Setiembre Octubre Noviembre Diciembre

109 118 108 145 110 126 117 132 125 128 143 110

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Setiembre Octubre Noviembre Diciembre

131 134 147 125 130 128 127 109 135 130 120 110

Solución 10.1 La media aritmética de los datos de la tabla es: =

109 + 118 + 108 +  + 120 + 110 = 125 24 

Así, el pronóstico correspondiente a enero del año próximo (período 25) sería de 125 unidades. En realidad, mientras la demanda siga estando engendrada por el mismo sistema de causas, el pronóstico correspondiente a todos y cada uno de los meses futuros sería de 125 unidades. Partiendo de este conocimiento y si así lo deseamos, podemos llegar a un pronóstico para el año próximo de 1500 unidades. 10. 2.2.1.1 Cálculo estimativo del error en el pronóstico El mejor cálculo estimativo del error probable, en el pronóstico, es el de la desviación estándar. Se define como: la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las desviaciones de cada uno de los valores respecto a la media aritmética, dividida por el número de los valores utilizados menos uno. Se expresa así:

Ejercicio 10.2 Calcular la desviación estándar para el ejercicio 6.1. Solución 10.2 Aplicando la fórmula, tenemos:

Resulta: 12 unidades. Métodos Cuantitativos para los Negocios

101

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Ahora bien, ya calculado el error del pronóstico, la forma de utilizarlo es: Supongamos que queremos ser capaces que en 95 de los 100 meses la demanda real caerá dentro de cierto par de límites. En este caso, los límites serán dados por las expresiones siguientes: Límite superior Límite inferior

De donde resulta que nuestro límite superior de la demanda es 125+12(2) o sea 149, y nuestro límite inferior es 125-2 (12) o sea 101. Si queremos establecer límites para la demanda esperada que sean correctos en más de 95 meses de entre 100, tenemos que emplear múltiples de Sx, más grandes, lo que significará límites más amplios. Por ejemplo: los límites que deberán incluir la demanda real de 997 de entre 1000 períodos son: Límite superior

Límite inferior

Ejercicio 10.3 Se quiere conocer las probabilidades de que la demanda del ejercicio 6.1 caiga dentro de los límites de 100 y 140 unidades. Solución 10.3 Restamos a 140 y 110 la media de 125, y los resultados lo dividimos por la desviación estándar, es decir, 12. Siendo los resultados los siguientes (desviaciones normales):

Las probabilidades son 0.79. La demanda no deberá ser menos de 110 ni más de 140 en más de 21 de entre 100 períodos. Téngase presente que en la interpolación de estos resultados estadísticos, hay algunas presunciones que deben interpretarse. En primer lugar, hemos dado por supuesto que la muestra es verdaderamente representativa de la demanda del producto. En segundo lugar, al emplear la desviación estándar y el promedio, hemos dado por supuesto que el sistema de causas, que en el pasado nos dio determinadas demandas, será el que siga engendrando la demanda del futuro.

Unidad III

102

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10.2.2.2. Promedio móvil La suposición fundamental, para esta técnica de pronóstico, es que la serie de tiempo es estable, en el sentido de que sus datos se generan mediante el siguiente proceso constante:

yt = b + Et

Donde: yt = valor real (u observado) de la variable aleatoria en el período t. Et = componente aleatorio (o ruido) en el período t. b = es un parámetro constante desconocido, estimado a partir de los datos históricos. Se supone que el error aleatorio Et tiene un valor esperado cero y una varianza constante. Además, los datos para los diferentes períodos no están correlacionados. La técnica del promedio móvil supone que la n observaciones más recientes es igualmente importante en la estimación del parámetro b. Así, en un período actual t, si los datos para los n períodos más recientes son yt-n+1, yt-n+2,…, e yt. Entonces el valor estimado para el período t+1 se calcula como:

y t*+1 =

y t −n+1 + y t −n+2 ++ y t   n

No hay una regla exacta para seleccionar la base del promedio móvil, n. Si las variables en la variable permanecen razonablemente constantes en el tiempo, se recomienda una n grande. De otra forma, se aconseja un valor de n pequeño si la variable muestra patrones cambiantes. En la práctica, el valor de n fluctúa entre 2 y 10. Ejercicio 10.4 La demanda (en número de unidades) de un artículo de inventario durante los pasados 24 meses se resume en la tabla siguiente. Utilice la técnica del promedio móvil para pronosticar la demanda del siguiente mes (t= 25).

Mes, t

Demanda, yt

Mes, t

Demanda, yt

1

46

13

54

2

56

14

42

3

54

15

64

4

43

16

60

5

57

17

70

6

56

18

66

7

67

19

57

8

62

20

55

9

50

21

52

10

56

22

62

11

47

23

70

12

56

24

72

Métodos Cuantitativos para los Negocios

103

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Solución 10.4 Si graficamos la tendencia de los datos, vemos que presentan una tendencia ascendente con el tiempo. Generalmente esta tendencia significa que el promedio móvil no sería un buen estimado de la demanda futura. En particular, en este caso no es aconsejable el uso de una base grande, n, para el promedio móvil ya que suprimiría la tendencia de los datos. A la inversa, si usamos una n pequeña, estaremos en una mejor posición de captar la tendencia de los datos. Si utilizamos n=3, la demanda estimada para el siguiente mes (t=25) será igual al promedio de las demandas para los meses 22 al 24, es decir:

* y 25 =

62 + 70 + 72 3

La demanda estimada de 68 unidades para t=25 también se usa como una estimación para t=26, es decir,

* y 26 =

70 + 72 + 68   3

Cuando se conozca la demanda real para t=25, debemos usarla para volver estimar la demanda para t=26 como el promedio para los períodos 23, 24 y 25.

10.2.2.3. SUAVIZACIÓN EXPONENCIAL La técnica de suavización exponencial supone que el proceso es constante, la misma suposición utilizada en el desarrollo y método del promedio móvil. Sin embargo, está diseñada para atenuar una desventaja del método del promedio móvil, donde se usa el mismo peso sobre todos los datos para calcular el promedio. Específicamente, la suavización exponencial coloca un peso más grande en las observaciones más recientes. Defina ß (0 < ß < 1) como la constante de suavización y suponga que los puntos de la serie de tiempo para los períodos pasados t son y1, y2,…, yt. Entonces, el estimado para el tiempo t+1 se calcula como:

y t*+1 = β y t + (1− β ) y t* La selección de la constante de suavización ß es crucial en la estimación de pronósticos futuros. Un valor grande de ß implica que las observaciones recientes llevan pesos mayores. En la práctica, el valor de ß está entre 0.01 y 0.30. Ejercicio 10.5 Aplique la técnica de la suavización exponencial a los datos del ejercicio 6.4. Elija ß=1 Solución 10.5

La tabla siguiente resume los resultados. Los cálculos se inician saltando y*1 asumiendo que y*2 = yt = 46 unidades. Unidad III

104

Facultad de Ciencias Empresariales

I

yi

y*i

1

46

-

2

56

46

3

54

0.1(56)+ 0.9(46)

= 47

4

43

0.1(54)+ 0.9(47)

= 47.7

5

57

0.1(43)+ 0.9(47.7) = 47.23

6

56

0.1(57)+ 0.9(47.23) = 48.21

7

67

0.1(56)+ 0.9(48.21) = 48.98

8

62

0.1(67)+ 0.9(48.98) = 50.79

9

50

0.1(62)+ 0.9(50.79) = 51.91

10

56

0.1(50)+ 0.9(51.91) = 51.72

11

47

0.1(56)+ 0.9(51.72) = 52.15

12

56

0.1(47)+ 0.9(52.15) = 51.63

13

54

0.1(56)+ 0.9(51.63) = 52.07

14

42

0.1(54)+ 0.9(52.07) = 52.26

15

64

0.1(42)+ 0.9(52.26) = 51.23

16

60

0.1(64)+ 0.9(51.23) = 52.50

17

70

0.1(60)+ 0.9(52.50) = 53.26

18

66

0.1(70)+ 0.9(53.26) = 54.93

19

57

0.1(66)+ 0.9(54.93) = 56.04

20

55

0.1(57)+ 0.9(56.04) = 56.14

21

52

0.1(55)+ 0.9(56.14) = 56.02

22

62

0.1(52)+ 0.9(56.02) = 55.62

23

70

0.1(62)+ 0.9(55.62) = 56.26

24

72

0.1(70)+ 0.9(56.26) = 57.63

De los cálculos dados, la estimación para t=25 se calcula como: Y* 25 = ßy24 + (1 – ß) y*24 Esta estimación es considerablemente diferente de la obtenida del promedio móvil igual a 68 unidades. Un valor más grande de ß producirá una estimación más cercana para t=25. 10.2.2.4. REGRESIÓN El análisis de regresión determina la relación entre una variable dependiente (por ejemplo, demanda de un artículo) y una variable independiente (para este caso, el tiempo). La fórmula general de regresión entre la variable dependiente x y la variable independiente y está dada como:

y = b0 + b1x + b2x2 + … bnxn + E

donde b0 , b1 , … , bn son parámetros desconocidos. El error aleatorio E tiene una media cero y

Métodos Cuantitativos para los Negocios

105

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una desviación estándar constante. La forma más simple del modelo de regresión supone que la variable dependiente varía linealmente con el tiempo, es decir, y* = a + bx Las constantes a y b se determinan de los datos de la serie de tiempo, con base en el criterio de mínimo cuadrados que busca minimizar la suma del cuadrado de las diferencias entre los valores observados y los estimados. Si (yi, xi) representa el iésimo punto de los datos originales que representan la serie de tiempo, i= 1, 2,…, n, y se define

Los valores de b y a se obtiene de las siguientes expresiones:

Donde,

Las estimaciones de a y b son válidas para cualquier distribución probabilística de yi. Sin embargo, si yi se distribuye normalmente con una desviación estándar constante, se establece un intervalo de confianza sobre el valor medio del estimador en x = x0 (es decir, y0 = a + bx0) como

La expresión (yi – y*i) representa la desviación entre los iésimos valores observados y estimados de la variable dependiente.

Unidad III

106

Facultad de Ciencias Empresariales

Para valores futuros de la variable dependiente y, estamos interesados en determinar su intervalo de predicción (más que el intervalo de confianza de su valor medio). Como es de esperarse, el intervalo de confianza sobre el valor medio. Realmente, la fórmula para el intervalo de predicción es la misma que la del intervalo de confianza, excepto que el término 1/n bajo la segunda raíz cuadrada se reemplaza con (n+1)/n Podemos probar lo bien que se ajusta el estimador lineal y* = a + bx a los datos originales calculando el coeficiente de correlación r, con el uso de la fórmula:

Donde -1

r

1.

Si r = ± 1, entonces ocurre un ajuste lineal perfecto entre x e y, y pueden ser independientes. En general, entre más cercano sea el valor de | r | a 1, mejor será el ajuste lineal. Si r = 0, entonces x e y pueden ser independientes. Realmente, r = 0 es solo una condición necesaria pero no suficiente para la independencia, ya que es posible que dos variables dependientes den r = 0. Ejercicio 10.6 Aplique el modelo de regresión lineal a los datos del ejercicio 6.4. Solución 10.6 En la tabla se muestra los datos iniciales: Mes, t

Demanda, yt

Mes, t

Demanda, yt

1

46

13

54

2

56

14

42

3

54

15

64

4

43

16

60

5

57

17

70

6

56

18

66

7

67

19

57

8

62

20

55

9

50

21

52

10

56

22

62

11

47

23

70

12

56

24

72

Métodos Cuantitativos para los Negocios

107

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De los datos de la tabla obtenemos:

De aquí,

b=

17842 − 24 x 57.25 x 12.5 = 0.58 4900 − 24 x 12.52

a = 57.25 – 0.58 + 12.5 = 50 Así, la demanda estimada está dada como y* = 50 + 0.58x Por ejemplo, en x= 25, y* = 50 + 58(s5) = 64.5 unidades El coeficiente de correlación se calcula como r=

17842 − 24 x 57.25 x 12.5 (4900 − 24 x 12.52 ) (80254 − 24 x 57.252 )

= 0.493  

El valor relativamente bajo de r muestra que y* = 50 + 0.58x quizá no sea un buen ajuste lineal para los datos originales. Normalmente, un ajuste razonable requiere 0.75 ≤ | r | ≤1 Supongamos que se desea calcular el intervalo de confianza del 95% para el estimador lineal dado. Primero, necesitamos calcular la suma de los cuadrados de las desviaciones alrededor de la línea ajustada. La tabla que sigue resume esta información.

Unidad III

108

Facultad de Ciencias Empresariales i

yi

y*i

(y - y*)2

1

46

50.58

20.98

2

56

51.16

23.43

3

54

51.74

5.11

4

43

54.32

86.86

5

57

52.9

16.81

6

56

53.48

6.35

7

67

54.06

152.77

8

62

54.64

54.17

9

50

55.22

27.25

10

56

55.80

0.04

11

47

56.38

87.98

12

56

56.96

0.92

13

54

57.54

12.53

14

42

58.12

259.85

15

64

58.7

28.09

16

60

59.28

0.52

17

70

59.86

102.82

18

66

60.44

30.91

19

57

61.02

16.16

20

55

61.6

43.56

21

52

62.18

103.63

22

62

62.76

0.58

23

70

63.34

44.53

24

72

63.92

65.29

t0.025, 22 = 2.074 Así, el intervalo de confianza que se desea, se calcula como:

Esto se puede simplificar a:

Para ilustrar el cálculo del intervalo de predicción, supongamos que estamos interesados en establecer un intervalo de predicción sobre la demanda estimada para el siguiente mes (x0 = 25). En este caso, el coeficiente 0.042 debe reemplazarse con 1.042 y el intervalo de predicción resultante se calcula como (64.5 ± 15.82) o (46.68, 80.32). Decimos así que hay un 95% de posibilidad que la demanda en x= 25 caiga entre 46.68 unidades y 80.32 unidades.

Métodos Cuantitativos para los Negocios

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EJERCICIOS PROPUESTOS Ejercicio 1.1 La demanda de energía eléctrica en N.Y. Edison a lo largo del período 1998-2004 es la mostrada en la tabla (en megavatios). Se pide, ajustar una recta a estos valores y proveer la demanda del 2005. Demanda de Energía eléctrica Año

Demanda E.E.

Año

Demanda E.E.

1998

74

2002

105

1999

79

2003

142

2000

80

2004

122

2001

90

 

 

Ejercicio 1.2 Un importante fabricante de Miami utiliza el alisado exponencial para prever la demanda de equipos DVD. Se detecta una tendencia al alza en la demanda. Los datos históricos de las ventas se muestran en la tabla siguiente: Demanda (en cientos de DVD) Mes

Demanda

Mes

Demanda

1

12

6

26

2

17

7

31

3

20

8

32

4

19

9

36

5

24

 

 

Se pide, la proyección de la demanda utilizando el método de alisado exponencial, con ajuste de tendencia. Ejercicio 1.3 La constructora Tongren rehabilita casas antiguas en Orono, Maine. Con el paso del tiempo, la compañía ha descubierto que su volumen de trabajos de rehabilitación depende de los salarios del área de Orono. La siguiente tabla es un listado de los ingresos de la constructora Tongren y del total de dinero pagado en nóminas en Orono, durante los años 1999 y 2004. Ventas de Tongren y Nómina Local Ventas (000,000$) Y 2 3 2.5

Nómina Local (000,000,000$) X 1 3 4

Ventas (000,000$) Y 2 2 3.5

Nómina Local (000,000,000$) X 2 1 7

La dirección de Tongren quiere establecer una relación matemática que les ayude a predecir las ventas.

Unidad III

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EVALUACIÓN CONCEPTUAL 1. ¿Qué son pronósticos? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 2. ¿Cuántos tipos de pronósticos existen? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 3. ¿Qué modelos se usan para solucionar pronósticos? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 4. ¿En qué situación real se utiliza pronósticos? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 5. ¿Qué son modelos de serie de tiempo y para qué se utiliza? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ Métodos Cuantitativos para los Negocios

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________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ PROCEDIMENTAL 6. ¿Cuáles son los criterios que hay que tomar para proceder con los pronósticos de serie de tiempo? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ACTITUDINAL 7. Una empresa que fabrica calculadoras financieras en el interior del país nos da las cifras de ventas de los últimos 10 meses del año 2009, las cuales son: MES | VENTAS 2009 | 1 | 10 | 2 | 25 | 3 | 8 | 4 | 35 | 5 | 10 | 6 | 6 | 7 | 30 | 8 | 10 | 9 | 40 | 10 | 35 | Con base a esta información usted debe: a) Proyectar las ventas con la técnica más apropiada para los siguientes 3 meses. b) Preparar los planes de producción que debería seguir la empresa, la cual labora de lunes a sábado, no labora dominicales ni festivo.

Unidad III

112

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BIBLIOGRAFÍA 1. Introducción a la investigación de operaciones. Frederick S. Hillier. Editorial: Mac Graw Hill. 2. Administración de operaciones. Joseph G. Monks. Editorial: Mac Graw Hill. 3. Programación lineal. R. W. Llewellyn. Editorial: Marcombo. 4. Análisis combinatorio. K. Ribnikov. Editorial: Mir Moscu. 5. Programación lineal. Saul I. Gass. Editorial: Cecsa. 6. Aplicaciones de álgebra lineal. Grossman. Editorial: Mac Graw Hill.

Métodos Cuantitativos para los Negocios

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Notas: ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ 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Unidad III

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Notas: ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................ 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Unidad III

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