MODUL ULANGKAJI MATEMATIK SPM 2014

MODUL ULANGKAJI DAN LATIHAN BERFOKUS

MATEMATIK SPM 2014 MENGIKUT FORMAT KERTAS SOALAN SPM SEBENAR Dialahediakan Oleh : Zuraidah Mustaffa GURU MATEMATIK, SMK AGAMA BALING

1

JOM SKOR A MATEMATIK DALAM SPM….! a +  90% = 126/140 K1 = 33/40 dan k2 =93/100 A  80% = 112/140 K1 = 30/40 dan k2 = 82/100  70% = 98/140

PETUA BIJAK BELAJAR : NABI MUHAMMAD SAW BERPESAN :

K1 = 30/40 dan k2 = 68/100

1. MENUNTUT ILMU WAJIB KE ATAS SETIAP MUSLIM, DARI BUAIAN HINGGA KE LIANG LAHAD – PASTIKAN NIAT YANG BETUL ~ NIAT BELAJAR KERANA ALLAH. 2. SAMPAIKAN DARIKU WALAUPUN SATU AYAT – PEMBELAJARAN BERKESAN – HAMPIR 80% BERKESAN. – CABAR DIRI SENDIRI UNTUK MENGAJAR RAKAN ATAU SEKURANG-KURANGNYA MENGAJAR DIRI SENDIRI – TALK KEPADA YOURSELF, TSETIAP YOURSELF. 3. BERBUAT BAIK DAN SENTIASA MENDOAKAN KESEJAHTERAAN DAN KESELAMATAN KEDUA IBU BAPA SERTA GURU-GURU. BUAT SOALAN YANG SAMA SEKURANG-KURANGNYA 3 KALI, DENGAN CARA; A. SALIN B. SALIN SEMULA DAN FAHAMKAN C. CUBA MENJAWAB SENDIRI 4. FIKIRKAN MUDAH…! MAKA MUDAHLAH JADINYA…... YAKIN BAHAWA KITA BOLEH BERJAYA! ANALISA SOALAN MENGIKUT TAJUK DAN TINGKATAN BAGI KERTAS MATEMATIK SPM TING 1, 2 DAN 3

TINGKATAN 4

POLIGONS I DAN II UNGKAPAN ALGEBRA PERSAMAAN LINEAR PERKARA RUMUS PENJELMAAN I & II STATIALAHTIK I & II

NOMBOR PIAWAI HIMPUNAN

TINGKATAN 5

KERTAS 1 – 40 SOALAN OBJEKTIF 11 – 15 SOALAN TING. 1, 2, 3 16 – 18 SOALAN TING 4. 11 SOALAN TING 5.

INDEKS

KERTAS 2 SEKSYEN A – 11

KETAKSAMAAN LINEAR PEPEJAL GEOMETRI – ISIPADU GABUNGAN

ASAS NOMBOR GRAF FUNGSI

GARIALAH LURUS

MATRIKS

KEBARANGKALIAN I BULATAN TRIGONOMETRI

UBAHAN BEARING BUMI SEBAGAI SFERA

SUDUT DONGAK DAN SUDUT TUNDUK GARIS & SATAH DLM 3 MATRA PERSAMAAN QUADRATIK

GRAF FUNGSI

2

SOALAN

BULATAN – LUAS DAN PANJANG LENGKOK PENYELESAIAN PERSAMAAN SERENTAK

TING 1, 2 & 3 – 3 SOALAN TING 4 – 6 SOALAN TING 5 – 7 SOALAN SEKSYEN B – PILIH 4 DARI 5 SOALAN

PENAAKULAN MATEMATIK

PENJELMAAN III

GARIS LURUS

MATRIKS

STATISTIK III

KECERUNAN DAN LUAS DI BAWAH GRAF KEBARANGKALIAN II BUMI SEBAGAI SFERA PELAN & DONGAKAN

GARIS & SATAH DLM 3 MATRA HIMPUNAN

NOTA PAPER 1 – MATEMATIK MENENGAH RENDAH A.

ALGEBRA

Nota : Unknown/ anu Term / sebutan

– -

Expression/ ungkapan Persamaan/ persamaan

x, y, a, b, c 2x, 3y, 4a a. like terms / sebutan setara – 2x, 3x b. unlike terms / sebutan tidak setara – 2x, 2y 2x + 3y 2x + 3y = 7

Contoh : 1. Expdaning bracket / kembangan: 2 ( k – 3 ) 2 + 3 – 2k 2 = 2 (k – 3)(k – 3) + 3 – 2k2 = 2 (k2 -3k -3k +9) + 3 – 2k2 = 2(k2 – 6k + 9) + 3 – 2k2 = 2k2 -12k + 18 +3 – 2k2 = -12k + 21 2.

Linear Persamaan / persamaan linear

a. Diberi 11 – 4 ( 3 – 2k ) = 23 , cari nilai k. 11 – 12 + 8k = 23 - 1 + 8k = 23 8k = 23 + 1 8k = 24 k=3

3

b. Diberi bahawa

5m − n = 4 , maka n = 6 5m − n = 4(6) 5m = 24 + n n = 5m −24 n = (5m −24) 2

3. Pecahan Algebra 4u − v 8 − v − sebagai pecahan tunggal dalam bentuk terendah. uv 2v 2( 4u − v) − u (8 − v) 4u − v 8 − v − = uv 2v 2uv

Ungkapkan

= =

8u − 2v − 8u + uv ) 2uv

− 2v + uv 2uv

v( −2 + u ) v (2u ) u −2 = 2u

=

TAMBAH/KEPADALAK ~ SAMAKAN PENYEBUT DARAB ~ DARAB TERUS BAHAGI ~ DARAB SONGSANG SAMA DENGAN ~ DARAB SILANG

4. Indeks a.

INGAT HUKUM PECAHAN....!

Permudahkan

(2m

4

n −1

)

3

×m −8 n3 .

= 23 m 4 ( 3) +−8 n −1( 3) +3 =8m 4

b. Diberi 4k =

INGAT HUKUM INDEKS....!

210 , cari nilai k . 16 k 4 k ×16 k = 210 2 2 k ×2 4 k = 210 2 2 k +4 k = 210

maka :

2 6 k = 210

4

6k = 10 10 6 5 k = 3 k =

5. Ketaksamaan a. Senaraikan semua integer x yang memuaskan kedua-dua ketaksamaan 2x > - 5 dan 7 – 2x > 5. x>

−5 dan 2

−2 x ≥ 5 −7 = −2 x ≥ −2 = −x ≥

−2 2

= x ≤1

maka

x = −2,−1,0,1

b. gambarajah di bawah mewakili dua persamaan serentak di atas suatu garialah nombor.

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Ketaksamaan sepunya yang mewakili nilai sepunya bagi kedua-dua ketaksamaan tersebut ialah : -1 3 + 6 + 0 = 9 540 => 5 + 4 + 0 = 9 720 => 7 + 2 + 0 = 9 900 => 9 + 0 + 0 = 9 1080 => 1 + 0 + 8 + 0 = 9 1260 => 1 + 2 + 6 + 0 = 9 1440 => 1 + 4 + 4 + 0 = 9

ii.

hasilambah sudut peluaran = 360˚

iii.

Sudut Pedalaman =

iv.

Sudut dan Garialah – sudut bertentangan – ‘X’

x n

- sudut selang seli – ‘N’ / ‘Z’

Sudut­sudut  adalah sama  saiz

- sudut sepadan – ‘F’ - jumlah sudut pedalaman bagi ‘ ц’ = 180˚ CONTOH :

8

a. Dalam rajah di bawah, LMNTUV ialah heksagon sekata. KLM dan HVL adalah garis lurus. Cari nilai bagi x + y . U PENYELESAIAN : T H X

LMNTUV – guna kod 9 Heksagon => 6 =>720 ÷ 6 = 120

y

V

N

i. Y =

ii. x = 180 – 76 – 60 = 44 iii. x + y = 30 + 44 = 74˚

76 0 K

60˚

L

180 −120 = 30 2

M

120˚ 60 LATIHAN 1.

Rajah di bawah menunjukkan heksagon RSTUVW. MVUL ialah suatu garis

lurus.

S R

T

y

70°

x W 60° M

L

U V

RAJAH 1

Hitung nilai bagi x + y. A 130° B 230° C 310° D 490° 2. Dalam rajah di bawah, PQRSTU ialah a regular heksagon. PUV dan QPW garis lurus.

9

Q

P 74

U

R S

x°

y° V

T

Nilai bagi x + y = A 69 C 76 3.

°

W

B 72 D 86

Rajah 2 menunjukkan sebuah segi empat selari KLMN . N

K

M

40°

20°

3x L

RAJAH 2

nilai bagi x ialah A 20° B 40° C 60° D 120°

10

11

C. STATISTIK / NISBAH DAN KADAR Nota : i. Mean (purata) => hasiltambah data-data bilangan data ii.

mod (mod) => most frequent data (data tertinggi)

iii.

median (penengah) - dengan syarat - Susun data secara menaik atau menurun terlebih dahulu., kemudian bilang data : - odd/ ganjil => data di tengah2 - even / genap => hasiltambah 2 data di tengah-tengah bahagi 2.

iv.

nisbah dan kadar - nilai baru x nilai sepadan nilai lama

Contoh : 1. Rajah 11 ialah carta palang yang menunjukkan skor bagi sekumpulan pelajar dalam satu ujian. y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1

2

3

x

5

4

Palang tertinggi ialah bagi skor = 3. Jadi skor mod ialah 3…

RAJAH 11 Nyatakan modal skor. A 2 B 3

C

4

2. Cari nilai bagi x, jika median ialah 4 dan mod ialah 3. 3, x, x, 3, 3, 6

A

2

B

3

C

4

D

9

Susun data : 3,3,3,x,x,6, jadi ada 6 data, maka median ialah 2 data di tengah. (x +3 )/2 = 4, jadi x=5 D

5

12

3.

Grade C = 360 – (150 + 120 + 60) = 360 – 330 = 30˚

Grade B 150 0

Grade C Grade 60 0 D Grade D

120 0 Grade A

Grade B = 150 ˚ 60 pelajar 30˚ = 30˚ 12 pelajar

RAJAH 12 Rajah 12 ialah carta pai bagi keputusan suatu ujian. Diberi bahawa bilangan pelajar yang mendapat Grede B ialah 60, cari bilangan pelajar yang mendapat gred C. A

48

B

36

C

24

D

12

LATIHAN : 1. Jadual kekerapan di bawah menunjukkan Jisim bagi ikan yang ditangkap oleh 20 orang nelayan. Jisim ikan yang ditangkap kekerapan (kg) 10 7 15 4 18 2 20 2 25 5

Hitung purata Jisim, dalam kg, bagi ikan yang ditangkap oleh nelayan A 16.1 B 16.2 C 16.5 D 16.6 2. Pikkepadagraf di bawah menunjukkan bilangan pokok buah-buahan dalam sebuah dusun. Durian Rambutan Manggis 13

mewakili 25 pokok Nisbah bagi pokok rambutan kepada pokok manggis ialah 3 : 2. Cari jumlah bagi pokok durian dan pokok manggis. A 225

B 275 C 300 D 400 PENYELESAIAN PERSAMAAN SERENTAK

NOTA : penyelesaian persamaan serentak - untuk mencari nilai 2 anu. dua kaedah penyelesaian iaitu : a). penghapusan (elimination) b). penggantian (substitution) -

kaedah penghapusan i. samakan anu yg hendak dihapuskan. SPM ii. tdana sama – kepadalak, tdana berlainan - tambah iii. dapatkan nilai salah satu anu. iv. gantikan nilai anu diketahui dlm salah satu persamaan bagi mencari nilai satu lagi anu. Contoh : 1.

Hitung nilai bagi d dan bagi e yang memuaskan persamaan-persamaan : 5d − 2e = 16 d + 4e = −10 samakan nilai anu , conkepadah , samakan pekali bagi e : 5d − 2e = 16 -------- ( 1 ) d + 4e = −10 -------- ( 2 ) (1) x 2 -------- ( 3 ) 2. ( 2 ) + ( 3 ) d + 10d + 4e + (- 4e) = - 10 + 32 3. 4.

Oleh itu,

Ganti d = 2 dalam ( 2 )

2 + 4e = -10 4e = - 10 – 2 4e = - 12 e= =-3

d = 2 dan e = - 3

Latihan : 1.

Hitung nilai bagi k dan w yang memuaskan persamaan-persamaan linear serentak berikut : 2k – 3w = 10 dan 4k +w = -1. 14

[4 marks]

2.

3.

Hitung nilai bagi x dan y yang memuaskan persamaan-persaman : x – 2y = 1 x + 3y = 6 [4 marks]

Hitung nilai bagi x dan y yang memuaskan persamaan-persaman: 5 x − 3 y = −8 1 x + y =5 2

[4 marks]

4.

5.

Hitung nilai bagi p dan q yang memuaskan persamaan-persaman: 1 p – 2q = 13 2 3p + 4q = -2

[ 4 marks]

Hitung nilai bagi m dan n yang memuaskan persamaan-persamaan : 2m - 5n = -12 dan 3m + n = -1

[ 4 marks]

15

LUAS DAN PERIMETER – bulatan II Nota : 1. 3.

Lilitan bagi bulatan = πd = 2πr χ ×2Πr Panjang lengkok = 360

2. 4.

Luas bagi bulatan = πr2 χ × Πr 2 Luas sector =

Q

Contoh :

360

R

1. Rajah 6 menunjukkan dua sektor OPQR dan OST dengan pusat O. PSO ialah satu garis lurus dan PO = 3PS T

PO = 3PS 21 = 3PS ∴ PS = = 7 cm

45o P

S

O

∴SO = 14cm RAJAH 6 PO = 21 cm dan ∠ROT = 75˚. Menggunakan π = (a) (b)

22 , hitung 7

luas, in cm2 , bagi kawasan berlorek perimeter, in cm, bagi kawasan berlorek.

[6 marks] (a) luas bagi kawasan berlorek = luas bagi sektor POR – luas bagi sektor SOT 45 + 75 22 45 22 )× × 212 − × ×14 2 ]  360 7 360 7 = 462 − 77 = [(

= 385cm 2

======

(b) perimeter bagi kawasan berlorek = PS + ST + KEPADA + OR + PQR

16

45 22 45 + 75 22 ×2 × ×14 +14 + 21 + ×2 × × 21 360 7 360 7 = 42 +11 + 44 =7+

= 97cm

====== Latihan : 1. Rajah di bawah menunjukkan dua sektor OMN dan OPQ dengan pusat O dan sukuan berpusat Q.

O P

T

60°

Q

M OM = 14 cm dan QT = 7 cm, Menggunakan (a) perimeter bagi seluruh rajah (b) luas bagi kawasan berlorek.

2.

N π

=

22 , hitung 7

[6 marks]

Dalam rajah di bawah, PQ dan RS adalah dua sektor bagi dua bulatan berbeza berpusat O. RQ = ST = 7 cm dan PO = 14 cm. Menggunakan π = a. luas, dalam cm2 , bagi kawasan berlorek, b. perimeter, dalam cm, bagi seluruh rajah.

22 , hitung : 7

[6 marks]

17

R Q P

60º ST

O

PEPEJAL GEOMETRY – ISIPADU GABUNGAN Nota :

1 1 Luas bagi trapezium = × hasiltambahsisiselari × tinggi 2

2 Curved surface luas bagisilinder = 2πrh 3 Surface luas bagisphere = 4πr2 4 Isipadu bagiright prialahm = cross sectional × length 5 Isipadu bagisilinder = πr2h 6 Isipadu bagi cone =

1 2 πr h 3

7 Isipadu bagi sphere =

4 3 πr 3

8 Isipadu bagiright pyramid = Contoh :

1 × base luas × height 3 P

Rajah 3 menunjukkan gabungan pepejal bagi piramid VPQRS dan separuh silinder Q π= dengan diameter 7 cm. VS = 8 cm, PS = QR = 6 cm. Menggunakan S

dalam cm 3 bagi pepejal tersebut. V

R RAJAH 3

22 , cari isipadu, 7

18

Isipadu = isipadu bagi a piramid + isipadu bagi separuh silinder

LATIHAN : 1

. Rajah 5 menunjukkan pepejal dibentuk dengan gabungan kon dan silinder.

diameter bagi silinder dan diameter bagi asas bagi kon 22 ialah 7 cm. isipadu bagi pepejal gabungan ialah 231 cm3 . Menggunakan π = , hitung 7 tinggi, dalam cm, bagi kon.. [4 marks] .

19

2. Rajah 6 menunjukkan silinder dengan tinggi 20 cm dan diameter 14 cm. sebuah kondengan jejari 7 cm dan tinggi 9 cm dikeluarkan dari pepejal tersebut. Hitung isipadu in cm3 22 pepejal yang tinggal (Guna π = ). `[4 7 marks]

RAJAH 6 3. Rajah 7 menunjukkan sebuah pepejal gabungan separuh silnder dan sebuah prisma tegak pada satah segiempat DEFG. DE = 14 cm, EJ = 8 cm, ∠DEJ = 90° dan tinggi bagi prisma tegak ialah 6 cm. Hitung 22 isipadu, in cm3, bagi pepejal itu. (Guna π = 7 ) 4 mark

4

Rajah 1 menunjukkan gabungan pepejal hemisfera dan sebuah silinder.

20

diameter bagi silinder ialah 14 cm dan tingginya ialah 35 cm. diameter bagi hemisfera ialah 21 cm Hitung isipadu, in cm3, bagi pepejal itu. 22 [ Use π = ] 7 [4 marks] 5.

. Rajah 3 menunjukkan gabungan pepejal terdiri dari kon dan hemisfera

diameter bagi kon dan hemisfera ial;ah masing-masing 21cm. Isipadu bagi pepejal itu ialah 4 22 042.5 cm3. Menggunakan π = , hitung tinggi bagi kon itu dalam cm. [4 marks] 7 Answer:

21

6.

Rajah 4 menunjukkan sebuah pepejal gabungan dari pyramid tegak dan kuboid.

isipadu bagi pepejal itu ialah 1 100 cm3. Hitung tinggi bagi piramid itu. [4 marks]

GRAF FUNGSI -

Paper 1

Nota : i.

Jenis graf Linear

y = ax + c

(a > 0) Positive Y

(a < 0) Negative Y x

ii.

Kuadratik

Y

y = ax + bx + c 2

Y Y

y

x iii.

x

x x

X

Kubik

y = ax + bx 2 + cx + d 3

Y

y

X x 22

iv.

salingan

a y= x

Contoh : 1.

Graf yang manakah yang berikut mewakili y = x 2 + 7 ? Y y A B 7 0 C

7 0

x

y

D

y

2. 0

x

0

x

23

3. Graf yang manakah yang berikut mewakili y = −x 3 + 27 A

B

y

y

27 O

C

3 x

3

D

O

y

x

y 27

-3

27

3 x

O

1

-27

O

x

Angka beerti / bentuk piawai – PAPER 1 SAHAJA

24

Bukan angka beerti sifar sifar di sebelah kiri bagi nombor perpuluhan sifar di sebelah kanan bagi nombor yang lebih dari satu

NOMBOR BUKAN SIFAR

ANGKA BEERTI

SIFAR DI TENGAHTENGAH

SIFAR DI SEBELAH KANAN

BENTUK PIAWAI • A X 10N • 1 < A < 10 • N IALAH INTEGER

CONTOH DAN LATIHAN : 1.

Bundarkan 73 900 betul kepada dua angka beerti.

A 74 B 740 C 73 000 D 74 000 5 2 = 3.4 3.4 000 4 = ×10x5 10 − 4.–747 ×10

73900 – next kepada 3 ialah 9, rounding off kepada 2 s.f will give answer 74000

= 3.4 ×10 ×10 4 − 4.7 ×10 4 = 34 − 4.7 ×10 4 = 29.3 ×10 4 = 2.93 ×105

25

A B C D

2.93 x 10 5 8.1 x 10 4 2.93 x 10 9 8.1 x 105 0.082 × 7000 = ( 0.2) 2

3

A 1.435 x 10 4

B 1.435 x 10 5

C 2.87 x 10 2

D 2.87 x 10 3

4 Bilangan populasi bagi dua daerah ialah 3 700 000 dan 290 000 masing-masing. Cari perbezaan populasi bagi dua daerah tersebut. A 3.41 x 10 5 C 0.341 x 10 5

B 3.41 x 10 6 D 34.1 x 10 6

5

6.

7. Ungkapkan 2.314 A B C D 7.

× 10-5 sebagai suatu nombor tunggal.

0.02314 0.002314 0.0002314 0.00002314 Bundarkan 70 699 betul kepada empat angka beerti.

A 70 600

B 70 610

C 70 620

D 70 700

26

Ungkapkan 7.564 x 10-5 sebagai suatu nombor tunggal.

8.

A 0.007564 10.

B 0.00007564

C 0.0007564

D 0.07564

0.083 = 5000000

A 1.6 x 103 C 1.6 x 10-8

B 1.6 x 104 D 1.6 x 10-9 PERSAMAAN KUADRATIK – PAPER 2 SAHAJA

NOTA : UNGKAPAN KUADRATIK

PERSAMAAN KUADRATIK

ax + bx + c

ax 2 + bx + c = 0

2

• • •

Satu anu sahaja dan kuasa tertinggi • ialah 2 Hasil dari 2 ungkapan linear. • pemfakkepadaran : •

Satu anu sahaja dan kuasa tertinggi ialah 2 Hasil dari 2 persamaan linear. Selesaikan persamaan :

ax 2 + bx + c = 0 ( x + a )( x + b) = 0 x = −a, x = −b

ax 2 + bx + c = ( x + a)( x + b)

SPM

CONTOH DAN LATIHAN : 1.

Selesaikan persamaan (3x - 2)(2x - 1) = 3x(x - 1) + 9

[4 marks]

(3 x − 2)(2 x −1) = 3x( x −1) + 9 6 x 2 − 3x − 4 x + 2 = 3 x 2 − 3x + 9 6 x 2 − 3x 2 − 7 x + 3 x + 2 − 9 = 0 3x 2 − 4 x − 7 = 0 (3 x − 7)( x +1) = 0 x=

7 , x = −1 3

2.

Selesaikan persamaan 3x2 = 2(x – 1) + 7.

3.

Selesaikan persamaan kuadratik

[4 marks]

x ( 2 x −5) =6 2

[4 marks] 27

4.

Selesaikan persamaan kuadratik 5 −

3 = 4x − 2 . 2x

[4 marks]

Latihan : Selesaikan persamaan : (a)

3x(x −1) 2

(b) (w – 1)2 – 32 = 0

=x+6

2

(c) 2a2 = 3(1 + a) + 2

(d)

2. NOTA : Symbols ξ

Φ , {} Є,Є N

Definition Set semesta – semua yang dibincangkan Empty set / set kosong Element of, not element of Bilangan

5p + 3p 1 +p

=4

SETS – PAPER 1

Conkepadah ξ= { x: x ialah nombor ganjil yang kurang dari 10} ξ= { 1,3,5,7,9} A = { nombor perdana kurang dari 2 } A = {} B = {1,3,5,7,9,11,13,15} 1 Є B, 2 Є B n(A) = 0

28

⊂ ⊂ A’

bagielements Subset , not subset

n(B) = 8 {1,3,5} ⊂ B {2,4,6} ⊂ B

Complement (bukan)

ξ={ 1,2,3,4,5} A = { 2,3,5} A’ = {1,4} A = { 1,2,3,4,5} B = { 2,3,4} A  B = {2,3,4} P = { 2,4,6,8} Q = { 1,2,3} P  Q = {1,2,3,4,6,8}

Intersection (serupa) Union ( semua)

 

CONTOH DAN LATIHAN : 1. Rajah di bawah menunjukkan gamabarajah Venn yang menunjukkan bilangan elemen bagi set H, set K dan set L. K n(H’) = n(HK) y + y + 3 = 11 L H 2y + 3 = 11 2y = 11 - 3 5 11 y 2y = 8 y= ; y=4 y+ 3 / Diberi bahawa ξ = H ∪ K ∪ L dan n ( H ) = n ( H ∩ K ) , cari nilai bagi y

A 1

B 2

C 3

D 4

2 Rajah 2 menunjukkan gambarajah Venn dengan ξ = P ∪ Q ∪ R . Di antara kawasan, A, B, C, dan D, yang manakah mewakili set P / ∩ R / ?

4

Q

A P

B

C

D

R

RAJAH 2 3.

29

4.

Diberi bahawa ξ = { x : 20 < x < 30 , x ialah integer } , set K = {x : x ialah x < 26 } dan set L = { x : x ialah nombor perdana} .Cari n( K ∩ L ) A B C D

.

1 2 3 4

30

In Rajah 14 , ξ ialah universal set.

ξ P

•a

Q

• b • d• g •f

RAJAH 14

Set Q ∩P ' ialah A B C D

{d , e , f , g , h} {d , e , f } {g , h} {k}

7. Diberi ξ= { x : x ialah integer , 16 ≤ x ≤ 28 } dan

31

T = { x : x dimana hasiltambah digit-digit ialah kurang dari 5 } . Cari n(T ′) A B C D

3 7 10 11

SETS – PAPER 2 (ALTERNATELY, 2004/06,…) CONTOH DAN LATIHAN : Rajah menunjukkan set semesta ξ, set P dan set Q. lorekkan kawasan yang mewakili set : P ∩Q ' . i. ii. P '∪( P ∩Q ) Set P = bukan Q

P

Bukan P gabung dgn (P = Q)

Q

P

Q

[3 marks] 2.

Gambarajah Venn menunjukkan set A, B dan C. lorekkan (a) set A ∩ B ' [3 marks] (b) set A ∪ B ∩ C ' A A

3.

B

C

B

Gambarajah Venn menunjukkan set A, B dan C. lorekkan a. B ∩( A ∪C ), b. ( B ∪C )'∩A.

C

[ 3 marks]

32

A

B

A B

C

C

4.

Gambarajah Venn menunjukkan set P, Q dan R. lorekkan Q, a. P '∩

Q

R

Q

B.

[ 3 marks]

( P ∪Q ' )'∩R.

R

P

P

33

TRIGONOMETRY – PAPER 1 SAHAJA Nota : 1.

Unit circle / bulatan unit – satu bulatan dengan jejari 1 unit pada satah Cartesian. melibatkan sudut dari 0 – 360 darjah. Y 90˚ Sin θ = y Cos θ = x Tan θ = 1

2.

“SINYU COSEC TANYX”

180˚ -1

Sukuan II Sin +ve 180-θ

sukuan I Semua +ve θ

180 + θ Sukuan III Tan +ve

360 - θ Sukuan IV Kos +ve

0˚ 1 x 360˚

INGAT TEOREM IBNU HAITHAM..! 3, 4, 5 5, 12, 13 6, 8, 10 7, 24, 25 8, 15, 17

-1

3. Sudut-sudut khusus 270˚

Y

Sukuan I 0 30 60

Sin

0 0.5

Cos

1 0.86 6 Tan 0 0.58

0.86 6 0.5 1.73 2

9 0 1 0

∞

Sukuan II 150 18 0 0.86 0.5 0 6 -0.5 -1 0.87 -1.73 0 0.58 120

Sukuan III 240 27 0 -0.5 -1 0.866 -0.5 0 0.87 0.58 1.73 210

∞

300

Sukuan IV 330 360

-.86 6 0.5 -1.7

-0.5

0

0.86 6 -0.58

1 0

4. Graf trigonometri y = sin θ

y = cos θ

y = tan θ

34

CONTOH DAN LATIHAN – PAPER 1 1.

Diberi bahawa tan x =

24 , cari nilai bagi sin x - kos x . 7

17 25 24 B 25 7 C 25 24 D − 25 A

Tan x = : lukialah 24 7 Guna Teorem Phythagoras, 7, 24, 25 Maka sin x = , kos x = , Jadi sin x – kos x = - , =

5 cm

Q

R

2 3

Dalam Rajah 6, PTQ ialah garis lurus. Diberi sin ∠QPR = Cari nilai bagi sin ∠ STQ . 4 A −

5

C

5 . 13 8 cm

3 5

T

S

3 cm RAJAH 6

P

35

B

5

−

3 5

D

4 5

Di antara garaf yang berikut, yang manakah mewakili y = tan x? A

B y

y

0

45º

x

90°

C

0

180º

x

D y

y

6.

90º

x 270° 0 0 90 Dalam rajah, GHEK ialah garis lurus dan GH = HE.

180º

360 °

x

F 7 cm

G

25 cm

E H J

K

13 cm

Cari nilai bagi tan x°.

36

−5 12

A

B

5.

−12 13

C

−13 12

D

−12 5

CIRCLES – PAPER 1 SAHAJA

Nota : Circles in lower forms :

sudut di pusat = 2x sudut di lilitan.

sudut yg di sudut di lilitan cangkum = 90˚ bagi semi oleh lengkok bulatan. yg sama adalah sama saiz.

Hasiltambah sudut bertentangan = 180˚.

Tangen kepada bulatan : - Berserenjang dengan jejari. - sudut antara tangen dengan perentas = dengan sudut pedalaman bertentangan CONTOH DAN LATIHAN : 1.

S

750 P

Q RAJAH 2

y

R

Dalam rajah 2, PQR ialah tangent kepada bulatan di Q. Cari nilai bagi y.

37

A 30 0

2.

B 45 0

C 55 0

D 75 0

In rajah di bawah, RST ialah a tangent kepada circle pusat O, at point S.

Q 100°

R

y°

O

55°

P

S T A

45

B

60

nilai bagiy ialah C 70

D

125

4 Dalam Rajah 3, JKL ialah a tangen kepada bulatan berpusat O, di K. MOL ialah M garis lurus. J O•

70º K

xº RAJAH 3

L

38

Jika ∠ JKM = 70º , cari nilai bagi x. A 30

B 40 C 50 D 70 SUDUT DONGAKAN DAN SUDUT TUNDUK – PAPER 1 Sudut tunduk

sudut dongak NOTA : 1. 2. 3. 4.

Cara menentukan sudut ialah dengan melihat perkataan ‘dari / dari’ dalam soalan. Dialahitulah terletak anak mata dan keluar garialah mengufuk serta arah cerapan. Sekiranya arah cerapan ke bawah, maka sudut tunduk dan sekiranya arah cerapan ke atas, maka sudut yang terbentuk ialah sudut dongak. Kemahiran ‘SOH CAH TOA’ dalam trigonometri adalah penting dalam mencari sudut yang dikehendaki.

CONTOH DAN LATIHAN : 1. Rajah 7, P, Q dan R aadalah tiga titik di atas permukaan rata. PT dan RS adalah dua tiang tegak. sudut dongakan bagi T dari Q ialah 50 0 manakala sudut tunduk bagi Q dari S ialah 43 0 . Cari jarak, dalam m , diantara dua tiang itu. A 3.4 T dari Q ialah 50 0 ,

B

6.4

C

9.8

D 11.8 S

T

Q dari S ialah 43 0 = 6.43 m

= 3.36 m

6 m 4 m P

Q

R

Maka, PQR = PQ + QR = 3.36 + 6.43 = 9.79

39

= 9.8 m

2 Rajah 8 menunjukkan dua tiang tegak, AB dan CD , di atas satah mengufuk. sudut tunduk bagi puncak C dari puncak A ialah 35 0 dan AB=2 CD. C 1.4 cm D

B RAJAH 8

Cari jarak bagi BD, dalam cm. A B C D

1.2 1.4 1.6 2.0

3.

40

4. Dalam Rajah 9, P dan Q adalah dua tiang bendera di atas tanah rata. Diberi bahawa sudut dongakan bagi puncak Q dari P ialah 35°. Q P 80 m 30 m F RAJAH 9

Cari tinggi P, dalam m. A B C D

5.

21.01 39.62 52.30 58.99

Dalam rajah, TS dan UV adalah dua tiang tegak di atas tanah mengufuk. sudut dongakan bagi V dari S ialah 42°. V S 3m

hm 10 m

Hitung nilai bagi h. A 10.4 6.

B 12.0

C 14.1

D 17.9

Dalam rajah di bawah, MN dan PQR adalah dua tiang tegak di atas satah mengufuk.

41

P M

Q

N

R

sudut dongakan bagi titik P dari M ialah A ∠MPQ B ∠PMQ C ∠PMR D ∠PNR GARIS LURUS – PAPER 1 DAN PAPER 2 NOTA : 1. KECERUNAN / KECERUNAN 2. INTERCEPT / PINTASAN 3. PERSAMAAN

i. ii.

Kecerunan (m) = tan θ, m= m bagi pintasan = pintasan-y pintasan-x

Bentuk Am bagi persamaan ialah : Membentuk persamaan garialah lurus dengan mencari nilai m (kecerunan/kecerunan) dan c (pintasan-y) a. kecerunan dan pintasan-y diberi : Conkepadah : m = 3 dan c = -7, Maka persamaannya : b. kecerunan dan satu titik diberi Conkepadah : m= -2 melalui A(2,3) cari c dengan menggunakan 3 = -2(2) + c 3+4=c c=7 ii. Maka persamaannya ialah : y = -2x + 7 c. dua titik diberi – cari nilai m dan c, dan bentukkan persamaan

42

4. Garis-garis selari KONSEP : Kecerunan bagi garis-garis selari adalah sama. m1 = m 2 CONTOH DAN LATIHAN – PAPER 1 : 1.

Rajah di bawah menunjukkan satu garis lurus PQ pada satah Cartesian . Kecerunan bagi pintasan :

y P

12

mPQ

Q 0

x

3

RAJAH 15 Kecerunan bagi PQ ialah A -4 B 2.

C

kecerunan bagi garis lurus 2x – 7y = 14 ialah A

2 7

B −

C -2 3

-3

7 2

3

D

12

Kecerunan bagi

D 7

Dalam Rajah 16, TV ialah garis lurus. y T 6

O

k

x V

RAJAH 16

43

Diberi kecerunan bagi garis lurus TV ialah −

A

4.

B

4

C

6

D

9

. 5. Cari A -3

6

3

2 . Cari nilai bagi k. 3

pintasan-y bagi 3x – 4y = 12. B -4

C 3

D 4

Dari persamaan garis lurus berikut, garis lurus manakah selari dengan paksi-x A y = −x B y=2 CONTOH DAN LATIHAN – PAPER 2

C

x=y

D x=2

44

1. Rajah 3 menunjukkan garis lurus AB dan garis lurus CD dilukis pada satah Cartesian. AB selari dengan CD . y C (0,6)•

• A(3,5)

• D(2,0)

O

• B

x

AB selari dengan CD ; i. mAB = mCD = = -3 ii. m = -3, at A(3,5) y = mx + c 5 = -3(3) + c c =5+9 c = 14 iii. persamaan bagiAB ialah

RAJAH 3 Cari (a) (b)

2.

mAB = -3,pintasan- y = 14 pintasan-x, bila y = 0

persamaan bagi garis lurus AB, pintasan-x bagi garis lurus AB.

Dalam rajah di bawah, graf yang menunjukkan PQ, QR, dan RS ialah garis lurus. P terletak di atas paksi- y. OP selari dengan QR dan PQ selari dengan RS. y R P O

Q

x S (8,-7)

Persamaan PQ ialah 2x + y = 5. (a) Nyatakan persamaan bagi garis lurus QR. (b) Cari persamaan bagi garis lurus RS dan seterusnya, nyatakan pintasan-y. [5 marks] 2.

Rajah di bawah menunjukkan garis lurus EF dan yang selari.

45

RAJAH 2 Cari (a)

persamaan bagi EF. [ 3 marks ]

(b)

Pintasan-y dan pintasan-x bagi EF. [ 2 marks ]

3. Rajah di bawah menunjukkan STUV ialah sebuah trapezium.

RAJAH 3 Diberi bahawa kecerunan bagi TU ialah -3, cari (a)

koordinat T. [2 marks ]

(b)

persamaan bagi garis lurus TU.

46

[ 1 mark ]

(c)

1 3

nilai bagi p, jika persamaan bagi garis lurus TU ialah 2 y = x + 18 [ 2 marks ]

5. Rajah di bawah menunjukkan EFGH ialah segi empat selari.

RAJAH 5 Cari (a) persamaan bagi garis lurus GH. [ 3 marks ]

(b)

Pintasan-x bagi garis lurus FG. [2 marks ] GARIS DAN SATAH DALAM 3 MATRA – PAPER 1 DAN PAPER 2 47

Nota : 1. Sudut antara garis dan satah A C

B

1. Kenalpasti garialah dan satah yang dikehendaki. Contoh : Cari sudut antara garis BG dengan satah EFGH.

F

2. Garis : BG Satah : EFGH

D E

G

H

sudutnya ialah G

3. Dari titik B, B jatuh tegak atas satah pada titik F, maka sudut dikehendaki ialah BGF 2. Sudut antara dua satah

Kenalpasti dua satah yang dikehendaki – lorek jika perlu. Contoh : Cari sudut antara satah ABCD dan BDFH. Kenalpasti garis persilangan antara 2 satah  BD. Maka sudut akan terletak pada titik B atau D. Bagi abjad yang tinggal, tengok yang dekat. Contoh : AC DAN FH  Maka sudut ABF atau CDH

CONTOH DAN LATIHAN A. PAPER 1 S

1.

R

P

Q M

Sudut antara HRK dan HKLM. 1. Kenalpasti garis persilangan  HK. 2. Dari R, dekat dengan K atau H  RK 3. RK dekat dengan ..? L atau M ? 4. Jadi sudutnya ialah RKL.

L

H

K RAJAH 6

Rajah 6 menunjukkan sebuah kuboid. Namakan sudut antara satah HRK dan HKLM. A ∠ PHQ C ∠ QKL

B D

∠ PLM ∠ RKL

48

2. Rajah 8 menunjukkan pyramid tegak dengan tapak segiempat ABCD. P dan Q adalah titik tengah bagi BC dan AD,masoing-masing. E Q

•

D

F

A •

C P

B Namakan sudut antara satah BCE dan satah BCF. A B C D

∠ EPF ∠ EPQ ∠ PEF ∠ PEQ

E Q

D

F

A

C B

P

49

3.

1. Line PM & PSTU., maka sudut di P. 2. Dari garialah PM, tinggal M, maka sudut ialah MPO (katakan titik tengah TU ialah O ). 3. Maka, = 47.97

4.

Rajah di bawah menunjukkan sebuah pyramid dengan tapak segitiga sama kaki PQR. M dan N adalah titik tengah bagi SU dan RQ masing-masing. M

S R

U

T N

Q P

Namakan sudut antara satah PQR dan satah PUS. A ∠UPT C ∠QPN

B ∠NPT D ∠MPN

50

M

J

L

K H

E

G

F

5.

Rajah di atas menunjukkan sebuah kuboid dengan EFGH sebagai tapak mengufuk. sudut antara garis LE dan satah EFGH ialah A ∠LEH B ∠MEH C ∠LEG D ∠MEL T

S P

6.

N

R Q

rajah di atas menunjukkan a pyramid with a mengufuk segi empat sama base PQRS. vertex T ialah tegakly di atas pusat bagi base N. sudut antara line TQ dan satah TPR ialah A ∠TQN B ∠QTR C ∠QTN D ∠STQ J

K

12 cm

13 cm

E

H

5 cm

7.

F

G

rajah di atas menunjukkan sebuah prisma dengan tapak mengufuk EFGH. Sudut antara satah FGK dan satah EFGH ialah A ∠KFH B ∠FKH C ∠KGH D ∠KGF

51

B. 1

PAPER 2 Rajah 2 menunjukkan suatu prisma tegak dengan tapak KLMN. Trapezium PQLK ialah keratan rentas seragam bagi prisma itu. S P R

12cm

Q

1. SLN & SRMN , garis perslgn di SN, maka sudut di titik S atau N. 2. Pada satah SLN, tinggal L, maka sudut LN ke M atau R, mana dekat? 3. Maka sudut LNM diambil.

M

N

6cm L 8cm K RAJAH 2 Kenalpasti dan hitung sudut antara satah SLN dan satah SRMN . [4 marks] 6 8 ∠LNM = 36.9° tan ∠LNM =

52

3.

Rajah 1 menunjukkan prisma tegak dengan tapak mengufuk JKLM. Trapezium JKQP ialah keratan rentas seragam bagi prisma dan satah QRLK ialah satah condong.

S 5 cm

R

P Q

8 cm

L

M 12 cm J

K RAJAH 1

Hitung sudut antara satah RSJ dan tegak satah RSML. [4 marks]

53

2.

PENAAKULAN MATEMATIK – PAPER 2 SAHAJA.

NOTA : 1.

PERNYATAAN  AYAT YANG MAKSUDNYA JELAS BENAR ATAU PALSU.

2. PENGKUANTITI  ALL / SEMUA --- UNTUK SEMUA KES  SOME --- BENAR BAGI BEBERAPA KES SAHAJA. 3. OPERASI P Benar / true Palsu / false Benar / true Palsu / false

a. Not / bukan – mengubah maksud pernyataan b. menggabung (compound) 2 pernyataan dgn : q P dan q Benar / true Benar / true Benar / true Palsu / false Palsu / false Palsu / false Palsu / false Palsu / false

P or q Benar / true Benar / true Benar / true Palsu / false

4.IMPLIKASI / IMPLICATION  “Jika P, maka Q” / “Jika p, n q” a. Satu implikasi sahaja : Antecedent / sebab: m > n Consequent / akibat : m – n > 0

Implikasi : Jika m > n, n m - n > 0. Akas : Jika m – n > 0, n m > n.

b. 2 implikasi -- “p jika dan hanya jika q” Implication 1 : Jika p, n q Implication 2 : Jika q, n p. 5. HUJAH / ARGUMENTS – TIGA BENTUK P1 : ALL A IALAH B P1 : JIKA P, N Q P1 : JIKA P, N Q P2 : C IALAH B P2 : P P2 : ~ P KESIMPULAN: C IALAH KESIMPULAN : Q KESIMPULAN : ~ Q A 6. MEMBUAT KESIMPULAN

ARUHAN / ARUHAN

DEDUKSI / DEDUKSI

Dari beberapa kes  formula Eg.

Formula  guna dalam beberapa kes

. . . . . . . . . 3n + 2, n = 1,2,3,…

Eg. luas bagi bulatan ialah . ABCD ialah bulatan dengan jejari 7 cm. luas bagi bulatan ABCD ialah =154cm

54

CONTOH DAN LATIHAN : 1

(a) Lengkapkan kotak di ruang jawapan dengan “dan” / “atau” (i) Pernyataan BENAR. 3×4=7

3+4=7

(ii) Pernyataan PALSU. 3×4=7

3+4=7

(b) (i) Lengkapkan KESIMPULAN bagi hujah berikut: Premis 1: Semua garis selari mempunyai kecerunan yang sama. Premis 2: PQ dan RS adalah garis-garis selari. KESIMPULAN:……………………………………………… (ii) buat KESIMPULAN secara aruhan bagi 5, 17, 37, 65, … yang memenuhi paten di bawah : 5 = 1 + 4(1)2 17 = 1 + 4(2)2 37 = 1 + 4(3)2 65 = 1 + 4(4)2 .………………………………………………………………….

[5 marks]

2. (a) Nyatakan sama ada ayat berikut merupakan pernyataan atau bukan pernyataan . “ 7 bukan fackepadar bagi 40 “ (b)

Tulis dua implikasi bagi pernyataan berikut. “ P ⊂ R jika dan hanya jika P ∩ R = P ”

Implikasi 1 : ............................................................................................ Implikasi 2 : ................................................................................ (c)

buat KESIMPULAN umum secara aruhan bagi senarai di bawah. 5 = 4(1) + 13 16 = 4(2) + 23 37 = 4(3) + 33 80 = 4(4) + 43 ……………… [5 marks]

KESIMPULAN : ...............................................................................................................

55

3

............................................................................................... 4 (a)

Nyatakan sama ada ayat berikut pernyataan ataupun bukan pernyataan.? x+y=2 (b)

Lengkapkan hujah berikut . Premis 1 : Semua faktor bagi 12 adalah fackepadar bagi 24. Premis 2 : 3 ialah faktor bagi 12. KESIMPULAN :________________________________________________

(c)

Buat KESIMPULAN umum secara aruhan bagi senarai nombor di bawah : 5 = 3(2) – 1 10 = 3(22) – 2 21 = 3(23) – 3 60 = 3(24) – 4 ………………

__________________________________________________________

56

5.

(a)

Nyatakan sama ada setiap yang berikut pernyataan benar atau palsu. (i) 23 = 6 or

7 = 3.5 2

(ii) ( -4 ) x ( -5 ) = 20 dan -4 > -2 (b)

Lengkapkan premis bagi hujah berikut: Premis 1 : Jika penentu bagi suatu matriks = 0, maka matriks itu tiada songsangan. Premis 2 : _______________________________________________ KESIMPULAN : Matriks A tiada songsangan.

(c)

Tulis dua implikasi berdasarkan ayat berikut . A ⊂ B jika dan hanya jika A ∩B = A’ (i)_________________________________________________________ (ii)________________________________________________________

5.

(a)

Nyatakan sama ada setiap yang berikut pernyataan benar atau palsu.

b.

Tulis dua implikasi berdasarkan ayat berikut: P3 = 8 jika dan hanya jika p = 2

...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... (c)

Lengkapkan premis bagi hujah berikut: Premis 1 :_______________________________________________ Premis 2 : x ≠3 KESIMPULAN : x ≠ 9

57

STATISTIK III PAPER 2 – SECTION B – 12 MARKS NOTA : JENIS GRAF : 1. HISTOGRAM 2. KEKERAPAN POLYGON / POLIGON KEKERAPAN 3. KEKERAPAN LONGGOKAN – OGIF SUKATAN SERAKAN Q2 - MEDIAN – SECOND QUARTILE 1 X JUMLAH KEKERAPAN 4 3 Q3 - THIRD QUARTILE  RUJUK KEPADA X JUMLAH KEKERAPAN 4

Q1 - FIRST QUARTILE --> RUJUK KEPADA

INTERQUARTILE RANGE / JULAT ANTARA KUARTIL = Q3 – Q1 GROUPED DATA / DATA TERKUMPUL – DATA DIKELASKAN DALAM JADUAL KEKERAPAN MENGIKUT KELAS TERTENTU. CONTOH : BERAT PELAJAR (KG) TINGKATAN 4 SMK AGAMA BALING KELAS 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99

KEKERAPAN 10 25 37 23 14 7 3

58

CONTOH DAN LATIHAN : 1.

Data dalam rajah di bawah menunjukkan bilangan bagi panggilan telefon oleh 40 murid dalam sebulan. 28 23 21 19 30

22 20 39 34 32

34 22 35 31 29

26 33 14 26 27

22 39 38 40 32

37 17 24 32 40

35 45 27 28 33

38 28 35 44 30

(a) Menggunakan data dalam rajah 7 dan selang kelas bagi 5 panggilan telefon, lengkapkan Jadual 3 dalam ruang jawapan. [4 marks] (b) Dengan menggunakan skala bagi 2 cm kepada 5 panggilan telefon pada paksi mengufuk dan 2 cm kepada 5 murid pada paksi menegak , lukis polygon KEKERAPAN berdasarkan Jadual 3. [4 marks] ©

Cari kelas modal dan min anggaran bagi data.

Bilangan bagi panggilan telefon

Sempadan atas

KEKERAPAN

6 – 10

10.5

0

[4 marks]

Titik tengah

11 – 15 16 – 20

59

Graf

60

2. Data dalam rajah di bawah menunjukkan derma, bagi 40 keluarga kepada badan kebajikan sekolah. 40 33 38 14

24 33 22 28

17 39 27 20

30 34 35 32

22 39 30 29

26 28 34 26

35 27 31 32

19 35 37 22

23 45 40 38

28 21 32 44

(a) Menggunakan data dalam rajah di atas, dan selang kelas bagi RM5, lengkapkan jadual berikut. [4 marks]

Derma

KEKERAPAN

Kekerapan longgokan

11 – 15 16 - 20

61

(b) Dengan Menggunakan skala 2 cm kepada RM5 pada paksi-x dan 2 cm kepada 5 Grafogif berdasarkan data. [4 marks] keluarga pada paksi-y, lukis (c) Dari ogif dalam (b), (i) cari median dan kuartil ketiga. Median = …..……………… , kuartil ketiga = …………………. (ii) Seterusnya, terangkan secara ringkas apa maksud kuartil ketiga berkenaan. ……………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………

62

3

data di bawah menunjukkan jisim dalam kg, bagi bagasi sekumpulan pelancong. . Setiap pelancong mempunyai satu bagasi. 27 29 27 29

10 18 25 19

22 22 16 33

28 13 19 25

21 20 16 23

14 21 24 24

29 24 26 26

25 27 27 31

(a) Berdasarkan data di atas, dan dengan menggunakan selang kelas 3, lengkapkan jadual di bawah. [4 marks] Selang KELAS

KEKERAPAN

Titik tengah

10 – 12 13 - 15

(b) Berdasarkan kepada jadual dalam (a), hitung min anggaran jisim bagi bagasibagasi tersebut. [3 marks]

63

Graf

(c) Dengan Menggunakan skala bagi 2 cm kepada 3 kg pada paksi-x dan 2 cm kepada 1 bagasi pada paksi-y, lukis histogram bagi data [3 marks] (d) Nyatakan satu maklumat berdasarkan kepada histoggram dalam (c). [2 marks]

64

ASAS NOMBOR – PAPER 1 SAHAJA Asas nombor adalah dari nombor indeks masing-masing. 1. Asas 2 / Base 2

29 512

28 256

27 128

26 64

25 32

52

51

50

24 16

23 8

22 4

21 2

20 1

2. Asas 5 / Base 5 54

53

625

125

25

5

1

3. Asas 8 / Base 8 83

512

82

81

64

8

80

1

4 Asas 10/ Base 10 10 6

1000000

105

100000

10 4

10000

10 3

1000

10 2

100

101

10 0

10

1

65

101012 – 10012 = A B C D

10002 10102 11002 11102

1.

TUKAR KEPADA ASAS 10: 16 8 4 2 1 8 4 2 1 1 0 1 0 12 – 1 0 0 12 16+4+1 – 8+1 = 21 - 9 = 12 TUKAR 12 KE ASAS 2 8421 1100 C

Apakah nilai bagi digit 3 dalam asas 5 bagi nombor 49 32810 ?

2.

A

1200

B C D

2020 2200 2220

NOMBOR DLM ASAS 10 - DIGIT 3 = 3 X 100 = 300 JADI , DLM ASAS 5 125 25 5 1 2 2 0 0 C = 2 X 125 + 2 X 25 JADI DIGIT 3 DLM ASAS 5 IALAH 3 X 25 = 75

3.

66

ASAS 5  ASAS 10  ASAS 8 25 + 5 + 1 = 31 = 3 X 8 + 7 = 37 D

5 Apakah nilai bagi digit 3,dalam asas sepuluh, dalam nombor 432015. A B C D

125 375 500 1900

67

GRAF

FUNGSI

x y (a)

II

−2.5

–

PAPER

2/

SECTION

−2

−1

0.5

1

−2

1

– 3.9

−5

2

Lengkapkan jadual di atas bagi persamaan y = x 3 − 4 x − 2 . (b)

(c)

(d)

B

(12

3

4

13

46

marks)

[2 marks]

Dengan Menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 5 unit pada paksi-y, lukis graf bagi y = x 3 − 4 x − 2 bagi −2⋅5 ≤ x ≤ 4. [4 marks] Dari graf, cari Plot nilai bagix (i)

nilai bagi x bila y = 5

(ii)

nilai bagi y bila x = 3.3

dan y pada graf untuk mencari nilai.

[2 marks]

Lukis satu garis lurus pada graf untuk mencari nilai positif x yang memuaskan persamaan x 3 − 10 x + 3 = 0 bagi – 2⋅5 ≤ x ≤ 4. Nyatakan nilai bagi x

nilai bagi x pada titik persilangan antara y = 6x -5 dan

[4 marks] Selesaikan persamaan : (1) (2 )

Answer : c) i x = .................................................. ii. y = ................................................. d) x = ................... x = .........................

68

Latihan :

69

(a)

Lengkapkan Jadual 2 bagi persamaan y = x 3 −11x +2 . [2 marks] (b) Dengan Menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 5 unit pada paksi-y, lukis graf bagi y = x 3 −11x +2 for – 3 ≤ x ≤ 4 . [4 marks] (c) Dari graf, cari (i) nilai bagi y bila x = 2.5 , (ii) nilai negative bagi x bila y = 7 . [2 marks] (d) Lukis satu garis lurus pada graf untuk mencari nilai-nilai x yang memuaskan persamaan x 3 −16 x = −7 for – 3 ≤ x ≤ 4 . Nyatakan nilai-nilai bagi x. [4 marks] Answer : (a) x

-3

-2

8

16

y

-1

0

1

2

2

-8

-12

3

3.5

4

4.4

22

JADUAL 2 (b) (c)

RUJUK graf (i)

y = ……………………….

(ii) x = ……………………… (d)

x = ………………………… , ……………………………

70

2.

a)

Lengkapkan Jadual 2 di ruang jawapan bagi persamaan y = x2 – 5x + 4. b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 5 unit pada paksi-y, lukis graf bagi y = x2 – 5x + 4 bagi 0 ≤ x ≤ 8.

71

Graf Dari graf, cari a. nilai bagi y bila RAJAH x = 4.5,5 b. nilai bagi x bila y = 21.75

c)

d)

Lukis satu garis lurus pada graf untuk mencari nilai-nilai x yang memuaskan persamaan x2 – 7x + 3 = 0 for 0 ≤ x ≤ 8. Nyatakan nilai-nilai bagi x.

Answer: a) X Y

0 4

1 0

2 -2

2.5

3 -2

4

5 4

6 10

7 18

8 28

Jadual 2

c)

d)

i)

y

=

ii)

x

=

x =

72

KETAKSAMAAN DALAM GRAF FUNGSI – PAPER 2 - 2009, 2007, 2005, 2003 NOTA :

73

Y ≥ - KE ATAS GARISAN, X ≥ - KE KANAN,

Y ≤ - KE BAWAH GARISAN X ≤ - KE KIRI

GARIS PUTUS-PUTUS UNTUK > ATAU 1 .

74

Y

y = 2x – 4

y=-x+6 0

2

6

x

-4

4.

Penjelmaan

Jenis Imej

PENJELMAAN Contoh 75

i. Translasi

Tiada perubahan kecuali kedudukan

6 units ke kanan A

1 unit ke bawah 6    −1

A’ Translasi   ii. Pantulan

Terbalik / songsang

P B B’ Paksi pantulan

Q

B’ ialah imej bagi B di bawah pantulan pada garis PQ iii. Putaran

berputar B

ikut arah jam A’ B’

A

C

C’ O

C’

C’

A’

B’ A’ B’ Lawan arah jam A’B’C’ ialah imej bagi segitiga ABC di bawah putaran ikut arah jam bagi 90˚,180˚ dan 270˚ pada pusat O. iv. Pembesaran

Lebih besar, lebih kecil atau sama dengan

Q

R S

P B

C D

A

T

E O PQRST ialah imej bagi ABCDE di bawah pembesaran dengan faktor skala 2 berpusat O.

76

CONTOH : 1. Rajah di bawah menunjukkan tujuh titik pada segi empat sama grid. L ialah imej bagi K di bawah satu pantulan. Paksi pantulan ialah garis lurus yang menyambungkan titik P dan ..........................................................

. . . . . . .

Paksi pantulan ialah pembahagi dua sama serenjang antara imej.

P

L

K

Q

T S

R

6. Rajah di bawah menunjukkan beberapa titik di atas satah Cartesian. Di antara titik A, B, C atau D, yang manakah imej bagi titik M di bawah putaran 270 0 arah lawan jam pada pusat y (3,-2)? 3 2 1

.

3.

.

M

Pusat putaran sentiasa sama jarak dari objek dan imej.

x -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 A -2 -3 C -4 D -5 Dalam rajah di bawah, N ialah Bimej bagi M di bawah translasi

.

.

.

h    k  . Jarak bagi MN

ialah 5 units.

77

y N M(-3,6)

O

x

h 

translasi  k   ialah − 3  A   5     4  C  3    

4.

 

 5     −3 

B 

3 

D  4    

Rajah di bawah menunjukkan dua segi empat sama, R dan S, dilukis pada grid segi empat sama.

S

A B

R

D C

S ialah imej bagi R di bawah pembesaran. Di antara titik-titik A, B, C atau D, yang manakah pusat bagi pembesaran itu?

LATIHAN :

78

1.

Rajah di bawah menunjukkan lima segitiga yang dilukis pada grid segi empat sama A H B

O D

C

Di antara empat segitiga A, B, C dan D, yang manakah imej bagi H di bawah a putaran 180 berpusat O?

y 3 2.

3.

B

A

Q

2

1 Rajah 4 menunjukkan lima segitiga yang dilukis pada grid segi empat sama. C x 1 0 2 3 −1 D

-1 RAJAH 4

79

Segitiga yang manakah di antara A, B, C atau D ialah imej bagi segitiga Q di bawah putaran 90° arah lawan jam berpusat (1,1) ? 4.

Rajah 5 menunjukkan lima polygon dilukis pada grid segi empat sama.

B A

D P

C 80

RAJAH 5

Polygon yang manakah antara A, B, C atau D ialah imej bagi P di bawah pantulan ?

4. Rajah di bawah menunjukkan dua segi empat sama, PQRS dan KLMN dilukis pada grid segi empat sama. PQRS ialah imej bagi KLMN di bawah pembesaran berpusat O. Cari faktor skala bagi pembesaran. P K S

N

O

L

Q

M

R A

1 3

B

1 2

C

2

D

3

PENJELMAAN III – PAPER 2 • •

GABUNGAN PENJELMAAN – PT BERMAKNA PENJELMAAN T DIIKUTI PENJELMAAN P. 2 LUAS BAGI IMEJ = k2 x luas objek.

1. (a) Rajah 1 menunjukkan dua titik, M dan N, pada satah Cartesian. 0y -2 2 4 -4 -2 -4

81

N x M

− 3    . Penjelmaan P ialah a pantulan in x-axialah. − 3 

Penjelmaan Y ialah a translasi  

(i) Nyatakan koordinat bagi imej bagipoint N di bawah penjelmaan Y. (ii) Nyatakan koordinat bagiimej bagipoint M di bawah berikut penjelmaan: (a) Y2 (b) YP

[3 marks]

(b) Rajah 2 menunjukkan tiga trapezium ABCD, EFGH dan PQRS di atas satah cartesian. R

6

F

S P

Q E

4

D

2

H C

A

2

O

G

B

4

6

8

10

RAJAH 2 Trapezium ABCD ialah imej bagi trapezium PQRS di bawah penjelmaan M.

82

Trapezium EFGH ialah imej bagi trapezium ABCD di bawah penjelmaan N. (i) Huraikan selengkapnya penjelmaan : (a) M (b) N

[6 marks]

(ii) Hitung luas bagi trapezium EFGH, jika luas bagi trapezium ABCD ialah 25 unit2. [3 marks]

2. (a) Rajah 3 menunjukkan titik K pada satah Cartesian. y 4

2 K

-4

-2

0

6 x

4

2

-2

-4 Penjelmaan R mewakili putaran 90 0 lawan arah jam pada titik (3, 2). Penjelmaan T 2  3 

mewakili a translasi     . Nyatakan koordinat bagi imej bagi point K di bawah penjelmaan berikut.

y

(i) R

(ii) RT 4

B

[3 marks] C

(b) Rajah 4 menunjukkan tiga segiempat EFGH, ABCD dan OFJK pada satah 2 di bawah A penjelmaan D Cartesian . EFGH ialah imej bagi ABCD U dan OFJK ialah imej bagi EFGH di bawah penjelmaan V . E

-4

-2

O -2

F

4

2

H

6 x

G

83 -4 K

J

(i) Huraikan selengkapnya penjelmaan , (a) U, (b) V.

[6 marks]

(ii) Diberi bahawa luas kawasan berlorek ialah 120 unit 2 , cari luas bagi ABCD. [3 marks]

3. (a) Rajah 5 menunjukkan titik F pada satah Cartesian. y 10

F

8 6 4 2

0

2

4

6

8

10

12

14

16 6

x

84

RAJAH 5  5    . Penjelmaan T ialah a pantulan pada garis x = 9. − 2 

Penjelmaan S ialah a translasi 

(i) Nyatakan koordinat bagi imej bagi titik F di bawah penjelmaan S. (ii) Nyatakan koordinat bagi imej bagi titik F di bawah penjelmaan TS. [3 marks] (b) Rajah y 6 menunjukkan tiga segitiga PQR, ACG dan EFG pada satah Cartesian. 1 0

F

8 6 A 4

P

G

2 R

x 1 6 Segitiga ACG ialah imej bagi segitiga PQR di bawah 6penjelmaan V. O

i.

Q 2

E

C

4

6

8

1 2

1 0

1 4

Trapezium EFG ialah imej bagi segitiga ACG di bawah penjelmaan W. Huraikan selengkapnya penjelmaan: y

(a) V (b) W

[3 marks]

10

(ii) Diberi bahawa luas bagi segitiga EFG mewakili kawasan dengan luas 72 unit2. 8 Hitung luas, dalam unit2, bagi kawasan diwakili dengan segitiga PQR. M

6 4

4. (a) Rajah 7 menunjukkan titik M pada satah Cartesian. 2

-12

-10

-8

-6

-4

-2

O

2

4

x

85

Penjelmaan P ialah pantulan pada garis x= -3. Penjelmaan R ialah putaran 90o ikut arah jam pada asalan. Nyatakan koordinat bagi imej bagi titik M di bawah penjelmaan berikut: (i) P (ii) RP

[3 marks]

(b) Rajah 8 menunjukkan tiga trapezium ABCD, RSTU dan WSYX pada satah y Cartesian. 10 R

W

S

8 6

U

B

A

T 4

X

2

Y -10

-8

-6

-4

-2

O

C

D 2

4

6

x

WSYX ialah imej bagi ABCD di bawah gabungan penjelmaan UV. (i) Huraikan selengkapnya penjelmaan: (a) U

86

(b) V

[5 marks]

(ii) Diberi bahawa luas bagi kawasan berlorek WXYTUR ialah 150 cm2. Hitung luas, in cm2, bagi kawasan diwakili oleh RSTU. [4 marks]

MATRIKS – PAPER 1 DAN PAPER 2 PAPER 1 Tambah dan tolak - tambah dan tolak bagi unsur-unsur yang sepadan sahaja. 1.

(5 A. B. C. D.

8)

–

(4 (12 (13 (15

(−4

3) +

1 (6 2

8) =

[ 5-(-4)+(6) 8 – 3 + (8) ] = [ 9 + 3 5 + 4] = [ 12 9 ]

15) 9) 5) 13)

Multiplication – darab -“mayat x batu nisan”.

2.

Diberi bahawa ( 3 A. B. C. D.

3.

5  3 

A. B. C.

9 4 -3 -6 1  − 2     = 4  4  − 6    10    

 x    = ( 18 ), cari nilai bagix. −1

x)  

3x + x(-1) = 18 3x - x = 18 2x = 18 x=9 = =

−12    28     − 10 4    − 6 16    

87

D.

4.

3 4

2  A.

6.

−2  16  

Diberi persamaan matriks 2 ( 4 A.

5.

 −10   12 

4 1  1 -   6  −1 4  10 

Diberi ( k A.

B.

0 = 1 

8.

1  0 

A.

9.

10.

C.

5  5 

( 24

5) , hitung nilai bagik

B.

5

10

3  4 

3

C.

7. Diberi matriks persamaan 3 ( 2 cari nilai bagi h – k. A.

C.

8) , cari nilai bagi h+ k

4  7 

B.

 3 − k

8

8

2 ) = (13

h) - k ( 4

B.

9

B.

5  0 

−12   6  

3 

 4 

10 

2  2 

-1

C.

D.

5  9 

D.

-12

D.

45

2  8 

C.

25

C.

(5

4  5     = −2    −3  − 7   5 

6  6 

− 4    ( y 5) =  x  1 x = - , y = -5 5 1 x= , y = -5 5 1 x = 5, y = 5

Diberi  

B.

11

3) = ( − 26 15) ,

6)

 Diberi bahawa 2  k  +    =     , hitung nilai bagi k.    − 2  3k  A. -2 B. -1 C. 1

A.

D.

0 = 4 

2  4 

5)  

h ) + k (1

 20  −1 

D.

D.

− 7    6    

2

− 20   , hitung nilai bagi x dan y. 1  

88

D.

x = 5,

y=

1 5

Paper 2 ---- CERITA DUIT DAN CUKAI • Matriks Songsang  A−1 a A = c 

b , d 

“ada duit, bayar cukai,

Jadi : songsangannya ialah : −1 1 per ada duit kepadalak bayar maka A cukai, Duit ada, kepadalak bayar Penyelesaian persamaan serentak dengan kaedah matriks kepadalak cukai ” −b  a  

 d 1  = ad − bc  − c

• •

ax + by = h cx + dy = k , maka :

 a b  x   h   c d      =      y   k  x  d 1  y  = ad − bc  − c   

− b  h      a   k 

 p = q    

∴x = p dan y = q.

latihan : 1

M ialah matriks 2 3  2 

×2

dengan keadaan :

−5 3  M =  2 −1  

−5   −1  

(a) Cari matriks M (b) Tulis persamaan berikut dalam bentuk matriks

89

3 x − 5 y =17 2 x − y =9

Seterusnya , menggunakan matriks, hitung nilai bagi x dan bagi y. [6 marks ] Answer: 1 0

0  1 

3 2

− 5  x  17    =   − 1  y   9 

(a)   (b) 

(1)

 x  1  −1   =   y  7 − 2

(1)

5 17    3  9 

(1)

x  4    =    y   − 1

x = 4, y = −1

(2)

Remarks x

 4 

 



1.   =   tidak boleh diberi markah penuh y −1 

2 . Murid mesti selesaikan dengan menggunakan kaedah matriks.

2

 2

3  p

 (a) Diberi     − 3 − 5  r

q  1  =  s  0

0  1 

Cari nilai bagi p, q, r, dan s.

(b) Seterusnya, menggunakan matriks, hitung nilai bagi x dan bagi y.  2  − 3

3  x   2    =   − 5  y   −1

[6 marks]

90

6 5

3 P ialah matriks 2 x x dan Q =  

4  . Diberi bahawa PQ = I 3 

a) Cari matriks P.

b) Tulis persamaan serentak dibawah dalam bentuk matriks. 6x + 4y = 0 5x + 3y = 1 Seterusnya menggunakan matriks, hitung nilai bagi x dan bagi y. 6 marks

3.

(a)

m 2

Diberi bahawa G =  

3 1  4   dan inverse matriks bagiG ialah  n 14  − 2

−3  , m 

cari nilai bagi m dan bagi n.

(b)

Seterusnya, menggunakan kaedah matriks, hitung nilai bagi p dan bagi q yang memuaskan persamaan berikut :

 p  1  G  =    q   − 8

91

3.

(a)

 −1 A − 3 

Diberi bahawa

2  1  =  5  0

0 , 1 

cari matriks A.

(b) Seterusnya, menggunakan kaedah matriks, cari nilai bagi r dan s yang memuaskan persamaan serentak di bawah. -r + 2s = -4 -3r + 5s = -9

4.

4 6

 Diberi matriks P = 

5 1  dan matriks PQ  =0 8 

0  1 

(a)

Cari matriks Q.

(b)

Seterusnya, dengan menggunakan kaedah matriks, hitung nilai bagi m dan n yang memuaskan persamaan : 4m + 5n = 7 6m + 8n = 10

92

4 8

5.

Diberi matriks P ialah  

−3  , −5   1  0 

0  1 

(a)

Cari matriks Q supaya PQ =

(b)

Seterusnya, hitung nilaisbagi h dan k, yang memuaskan persamaan matriks:

 4 − 3  h   − 7     =   8 − 5 k  − 1 

Kebarangkalian – PAPER 1 DAN PAPER 2 NOTA : 1. 2. 3.

Kebarangkalian satu peristiwa/ kebarangkalian of an events : P(A) = n(A) n(S) Kebarangkalian peristiwa pelengkap ; P ( A' ) = 1 − P ( A)

Kebarangkalian peristiwa bergabung : - keb. memilih A atau B => P ( A ∪ B ) = P(A) + P(B) - keb memilih A dan B => P ( A ∩ B) = P(A) X P(B)

93

LATIHAN : 1.

S = Sample Space N(S) = 25 Prob. Student does not wear spectacle = P (A) n(A) = 25 – 10 = 15

2. satu huruf dipilih secara rawak dari perkataan EASYMATHS. Senaraikan semua kesudahan yang mungkin bagi peristiwa mendapat huruf vocal. A B C D

3

{E , A, S , Y , M , T , H } {E , A, S , M , T } {E , A, M , T } {E , A}

Rajah 16 menunjukkan sebilangan kad. 6

13

14

27

35

RAJAH 16 Sekeping kad dipilih secara rawak. Nyatakan kebarangkalian bahawa kad yang dipilih ialah kad nombor genap. A B C D

2 5 2 3 2 7 1 5

94

5

Shafik mempunyai koleksi duit syiling dari Britain, Indonesia dan filipina. Dia memilih sekeping syiling secara rawak. kebarangkalian bagi memilih syiling Indonesia ialah

1 3

dan kebarangkalian bagi memilih syiling Filipina ialah

4 . 9

Shafik mempunyai 10 syiling British. Hitung JUMLAH bilangan syiling dalam simpanannya. A 70 B

45

C

35

D

30

Sebuah beg mengandungi 3 keping kad hitam, 7 keping kad merah dan 5 keping kad biru. Satu kad dipilih secara rawak dari bag. Nyatakan kebarangkalian bagi memilih sekeping kad yang bukab berwarna hitam.

6

A B C D

3 15 5 15 7 15 12 15

KEBARANGKALIAN – PAPER 2 LATIHAN : 1.

Jadual 1 menunjukkan bilangan bagi pelajar dalam KELAS 5 Maju yang memilih 2 jenis persatuan. Murid Persatuan Persatuan Matematik Sejarah Lelaki 5 2 Perempuan 3 6 (a)

JADUAL 1 Jika 2 murid dipilih secara rawak dari kumpulan lelaki., hitung kebarangkalian bahawa kedua-duanya dadalah dari persatuan yang sama.

95

(b) Jika 2 murid dipilih secara rawak dari persatuan Matematik, hitung kebarangkalian bahawa kedua-dua murid adalah sama jantina. [5 marks]

3.

Rajah di bawah menunjukkan laluan bagi sebuah van yang membawa sekumpulan pelajar yang terdiri dari 5 lelaki dan 4 perempuan yang secara rawak diturunkan di beberapa ‘check point’

permulaan

check point 3

penamat check point 1 check point 2 a) Jika dua pelajar diturunkan di check point 1, hitung kebarangkalian bahawa kedua-duanya perempuan.

b) Dua students yg berlainan jantina diturunkan di check point 1. Jika dua orang pelajar lagi diturunkan di check point 2, hitung kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya seorang dari mereka ialah perempuan.

96

3. Rajah di bawah menunjukkan 10 kad berlabel dalam dua buah kotak. A

2

B

C

D

3

E

4

F

G

Sekeping kad dipilih secara rawak dari setiap kota. dengan menyenaraikan semua kesudahan, cari kebarangkalian bahawa a) kedua-dua kad berlabel dengan nombor,

b) satu kad label dengan nombor atau satu kad berlabel dengan huruf.[ 5 marks ]

KECERUNAN DAN LUAS DI BAWAH A GRAF TENGOK KEPADA JENIS GRAF 1. GRAF JARAK /MASA 2. GRAF LAJU / MASA Jarak – RUJUK kepada paksi-y # laju – RUJUK kepada paksi-y Masa – RUJUK kepada paksi-x # Masa– RUJUK kepada paksi-x Laju = # Kadar perubahan laju = kecerunan # Jarak = Luas di bawah graf

1

Rajah 1 menunjukkan graf laju-masa bagi suatu zarah dalam jangkamasa 15 s. laju (ms-1) 23

k 5 0

6

10

15

masa (s)

97

RAJAH 1 (a) Nyatakan jarak, dalam m, zarah itu bergerak dengan laju seragam. (b) Hitung kadar perubahan laju, dalam ms-2, bagi 6 s yang pertama. (c) Hitung nilai bagi k, jika jumlah jarak yang dilalui bagi 15 s yang pertama ialah 139m. [6 marks] Answer: (a) (b)

(c)

2. Rajah 2 menunjukkan graf laju-masa bagi dua zarah, α dan β bagi jangkamasa 8s. -1 laju (ms )

N

8

4

O

J

K

3

M

L

6

8

masa (s)

RAJAH 2 Graf OKNM mewakili pergerakan zarah α dan graf JKL mewakili pergerakan zarah β . Kedua-duanya mula bergerak pada waktu yang sama. (a)

Nyatakan jangka masa , dalam s, zarah α bergerak dengan laju seragam. 98

Hitung kadar perubahan laju, dalam ms-2, bagi zarah α dalam 6 s yang pertama. Hitung perbezaan jarak, dalam m, bagi zarah α dan zarah β bagi jangka masa 8 s. [6 marks]

(b) (c) Answer: (a) (b)

(c)

3. Rajah 3 menunjukkan graf jarak-masa bagi perjalanan Ali dan Fuad. jarak (km) F 105

B

60

O 0700 0730 0800

G 0830

0900 0930

masa

RAJAH 3 Garis lurus OB mewakili perjalanan Ali dari bandar X ke Bandar Y, manakala garis lurus FG mewakili perjalanan Fuad dari Bandar Y ke bandar X. Ali dan Fuad menggunakan laluan yang sama.

99

(a) (b) (c) (d)

Nyatakan jarak, dalam km, dari bandar Y ke bandar X. Cari masa Ali dan Fuad bertemu dalam perjalanan itu. Cari jarak bila mereka bertemu dari Bandar Y. Hitung kelajuan Fuad. [6 marks]

Answer: (a) (b)

(c) (d)

laju (m s-1)

20 v

masa (s) 10 RAJAH 4 25

30

4. Rajah 4 menunjukkan graf laju-masa bagi penunggang motorsikal dalam jangkamasa 30 Saat. Diberi bahawa JUMLAH jarak yang dilalui ialah 525 m. Hitung, (a)

Kadar perubahan laju bagi 5 s yang terakhir.

(b)

Jangkamasa bagi laju seragam,

100

(c)

nilai bagi v. [6 marks]

Answer: (a)

(b)

(c)

PELAN DAN DONGAKAN

PELAN – pdanangan dari atas DONGAKAN – pdanangan dari sialahi

– depan - kiri / kanan - pepenjuru 3. Lukialahan mesti berdasarkan ukuran sebenar, abaikan label V

P

1 (a) Rajah 1(i) menunjukkan sebuah pepejal gabungan dengan tapak QRXW terletak di atas satah mengufuk . Pentagon PQRST ialah keratan rentas seragam bagi prisma itu. segiempat STUY ialah satah mengufuk manakala segiempat PTUV ialah satah condong. Manakala 8 cm sisi PQ dan SR adalah tegak.

U 3 cm

T W

Y

S

2 cm X

Q

8 cm RAJAH 1(i)

R

5 cm

101

Lukis dengan skala penuh, pelan bagi prisma tegak itu. 8 cm 2 cm

3 cm (b) Satu prisma tegak yang lain dengan keratan rentas seragam ABC digabungkan kepada prisma dalam Rajah 1(i) pada satah EFUYXW seperti dalam Rajah 1(ii). Diberi bahawa BX = 3 cm dan AB = 5 cm. V F

P

E

8 cm

U

A

T W

Y

Q S

5 cm H

X

C

4 cm

B

8 cm

G

RAJAH 1(ii)

R

102

Lukis dengan skala penuh, (i) dongakan bagi gabungan pepejal pada satah yang selari dengan XR sebagaimana dilihat dari G.

(ii) dongakan bagi gabungan pepejal pada satah yang selari dengan RQ sebagaimana dilihat dari H.

103

2. (a) Rajah 2(i) menunjukkan sebuah prisma tegak. Heksagon ABCDEF ialah keratan rentas seragam bagi prisma itu dengan tapak ALGF. Sisi BA, CD dan EF adalah tegak manakala sisi BC dan DE adalah mengufuk.

K

5 cm

B

4 cm 4 cm

C

J

L

A

D

I 4 cm

8 cm

E

H 2 cm G RAJAH 2(i)

F

104

Lukis dengan skala penuh, pelan bagi pepejal itu.

(b)

Satu pepejal dengan segitiga AFM sebagai keratan rentas seragam digabungkan dengan satah ABCDEF membentuk pepejal gabungan seperti Rajah 2(ii). Q

N 6 cm

K

B

4 cm C

J

4 cm

L D

I

A

M

4 cm E

H

Y

2 cm G

F

X

105

RAJAH 2(ii)

Lukis dengan skala penuh, (iii) dongakan bagi gabungan pepejal yang selari dengan satah GF sebagaimana dilihat dari X. (iv) dongakan bagi gabungan pepejal yang selari dengan satah AF sebagaimana dilihat dari dari Y.

3. (a) Rajah 3(i) menunjukkan sebuah prisma tegak. Trapezium ABCD ialah keratan rentas seragamnya dengan tapak ADEF. C H

7 cm G

B

D

4 cm

E 6 cm

A

4 cm

F

X

RAJAH 3(i) Lukis dengan skala penuh, dongakan bagi pepejal yang selari dengan AF sebagaimana dilihat dari X.

106

(b) Sebuah separuh silinder dengan jejari 3 cm dan tinggi 6 cm digabungkan kepada pepejal seperti Rajah 3(i) pada satah ABLKD membentuk pepejal gabungan seperti ditunjukkan dalam Rajah 3(ii). C

H K

M 6 cm

7 cm G

B

D

E 6 cm

A

4 cm

Y

F

RAJAH 3(ii) Lukis dengan skala penuh, (i) pelan bagi gabungan pepejal itu, (ii) dongakan bagi gabungan pepejal itu yang selari dengan satah EF sebagaimana dilihat dari Y.

107

4. (a) Rajah 4(i) menunjukkan sebuah prisma tegak dengan tapak dengan tapak BCDFsebagai satah mengufuk. Segitiga ABC ialah keratan rentas seragamnya. E A

10 cm

8 cm D C

F

6 cm

7 cm B X

Rajah 4(i) Lukis dengan skala penuh, dongakan bagi pepejal itu yang selari dengan BF sebagaimana dilihat dari X.

108

(b)

Suatu kuboid digabungkan kepada pepejal pada Rajah 4(i) pada satah tegak APGC membentuk gabungan pepejal seperti ditunjukkan dalam rajah 4(ii). K

6 cm N

J

E

I

A

11 cm

10 cm L D

M C

F

G 3 cm

7 cm B

Rajah 4(ii)

H Y

109

lukis dengan skala penuh, (i) pelan bagi gabungan pepejal itu, (ii) dongakan bagi gabungan pepejal yang selari dengan HM sebagaimana dilihat dari Y.

6. Rajah 11 menunjukkan sebuah pepejal yang mengandungi separa silinder dan dua kuboid pada satah mengufuk. jejari bagi separa silinder itu adalah 1 cm. Ketinggian bagi separa silinder itu adalah sama dengan ketinggian kuboid pada tapak BCDE.

Rajah 11 Lukis dalam skala penuh, (a) pelan pepejal itu. [4 markah] (b) dongakan pepejal itu pada satah mencancang yang selari dengan ABC sebagaimana dilihat dari X. [4 markah] (c) dongakan pepejal itu pada satah mencancang yang selari dengan CD sebagaimana dilihat dari Y. [4 markah] 110

NOTA : LONGITUD (GARIS BUMIBUJUR) SEBAGAI–SFERA – PAPER 1 DAN PAPER 2 (0 – 180 ° TIMUR / BARAT) LATITUD (GARIS LINTANG) – (0 – 90° UTARA / SELATAN) BEZA ANTARA SUDUT : SAMA ARAH – TOLAK ARAH BERBEZA – TAMBAH KEDUDUKAN TEMPAT / LOCATION  (° LATITUD , ° LONGITUD) 5. JARAK ANTARA 2 TEMPAT : - SEPANJANG LONGITUD /MERIDIAN/ JARAK TERPENDEK = x 60 - IALAH BEZA LATITUD - SEPANJANG LATITUD = x 60 x COS LAT - IALAH BEZA LONGITUD 6. CARA MENJAWAB SOALAN – CUBA GAMBARKAN TITIK-TITIK DI ATAS BUMI DENGAN MELUKIALAH GAMBARAJAH AVERAGE SPEED / PURATA LAJU = JUMLAH JARAK JUMLAH MASA

111

CONKEPADAH :

G (50°S, 110°W)

F (50°S, 70°E)

50°

1.

F(50ºS, 70ºE), G, H dan K adalah empat titik di atas permukaan bumi. F, G dan H berada pada latitude yang sama dengan FG sebagai diameter. Longitud bagi H ialah 45ºW. (a) Cari longitude bagi G. G (50°S, 110°W) -----longitud G ialah 1100 B (b) Sebuah kapalterbang terbang ke barat dari F kepada H. Ia kemudian terbang 4800 batu nautika ke utara kepada K. Diberi bahawa purata laju bagi keseluruhan perjalanan itu ialah 680 knot, hitung (i) latitude bagi K, jarak bagi K (along long / due north) = 4800 B.N. α x 60 = 4800 α = 4800 60 = 80° LATITUDE BAGI K = 80 – 50 = 30° U.

112

(i)

Jarak dalam batu nautika, dari F kepada H, (DUE WEST – ALONG LAT) Jarak bagi KH = α x 60 x Cos Lat = (45 + 70) x 60 x cos 50° = 4435.23 n.m. (iii) masa diambil bagi keseluruhan perjalanan. totaldis tan ce totaltime fh + hk = 680 t 4435.23 + 4800 =t 680

Average Speed =

9235.23 = 13.58 jam 680

2 Jadual 1 menunjukkan latitud dan longitud bagi empat titik P, Q, R, dan V pada permukaan bumi. Titik P

Latitud 20°S

Longitud 30°T

Q

x°U

30°T

R

20°S

m°B

V

30°U

m°B Jadual 1

(a) Y ialah titik pada permukaan bumi dengan keadaan PY ialah diameter bumi. Nyatakan kedudukan Y. [2 markah] (b) Hitungkan (i) nilai x, jika jarak P ke Q diukur di sepanjang longitude ialah 6 000 batu nautika, (ii) nilai m, jika jarak dari P arah ke barat ke R diukur di sepanjang selarian latitud sepunya ialah 4 200 batu nautika. [7 markah] (c) Sebuah kapal terbang berlepas dari P ke arah barat ke R mengikut selarian latitud sepunya dan kemudian terbang ke arah utara ke V. Jika purata laju seluruh penerbangan ialah 900 knot, hitungkan masa yang diambil untuk seluruh penerbangan itu. [2 markah]

113

3 Rajah 1 menunjukkan empat titik A, B, C, dan D permukaan bumi. C terletak pada longitud 65°B. AB ialah diameter selarian latitud 38°U. D terletak 6 530 batui nautika ke selatan C.

Rajah 1

(a) Cari kedudukan bagi A. [3 markah] (b) Hitungkan jarak terpendek, dalam batu nautika, dari B ke A diukur sepanjang permukaan bumi. ` [2 markah] (c) Cari latitud bagi D. [3 markah] (d) Sebuah kapal terbang berlepas dari C pada pukul 10.30 a.m. hari Selasa dan terbang arah ke barat ke A mengikut selarian latitud sepunya dengan purata laju 540 knot. Cari masa dan hari kapal terbang itu sampai ke A. [4 markah]

114

4 A(50°S, 35°B), B(50°S, 50°T), C, dan D ialah empat titik pada permukaan bumi. AC ialah diameter selarian latitud 50°S. (a) Nyatakan kedudukan bagi C. [1 markah] (b) Hitungkan jarak terpendek, dalam batu nautika, dari A ke C diukur di sepanjang permukaan bumi. [3 markah] (c) D terletak ke utara B dan jarak BD diukur di sepanjang permukaan bumi ialah 6 000 batu nautika. Hitungkan latitud bagi D. [3 markah] (d) Sebuah kapal terbang berlepas dari A arah ke timur ke Q dan kemudian ke arah utara ke D. Purata laju bagi seluruh penerbangan kapal terbang ialah 450 knot. Hitungkan (i) jarak, dalam batu nautika, yang dilalui oleh kapal terbang itu dari A ke B diukur sepanjang selarian latitud sepunya, (ii) jumlah masa, dalam jam, yang diperlukan bagi seluruh penerbangan itu. [5 markah]

115

UBAHAN – PAPER 1 SAHAJA Nota : UBAHAN LANGSUNG  p

αq 1 UNAHAN SONGSANG  p α q UBAHAN GABUNGAN  p

α

6 CARA MUDAH i. p q ii. p = kq iii. jika p = 2 dan q = 5, maka 2 = 5k iv. .

x q

v. p =q vi. Cari nilai p jika q = 10, P=(10) Maka p = 4

1. Jika p ∝ q2 dan q = 3 bila p = 36, nilai bagi q bila p = 64 ialah A ½ B 3 C 4 D 6 2. Jika R berubah secara langsung dengan bila S = 9. A 2 B 3 C 5 3. Diberi bahawa M ∝

S

dan R = 10 bila S = 25, cari nilai bagi R D

6

P dan M = 4 bila P = 6 dan T = 3, ungkapkan M dalam sebutan T2

P dan T.

116

A M=

6P 3P B M= 2 C 2 T T

4. Diberi bahawa E ∝

1 F G

dan E =

M = 3PT2

D

M=

PT 2 4

1 bila F = 12 dan G = 16, cari nilai bagi G bila E 3

= 4 dan F = 8. A

1 4

B

1 2

C

2

D

4

5. Diberi bahawa y berubah secara langsung dengan punca kuasa dua bagi x dan y = 6 bila x = 9. Hitung nilai bagi x bila y = 10. A 5 B 10 C 15 D 25 6. P berubah secara langsung dengan kuasa tiga bagi q dan secara songsang dengan r. Hubungan antara P, q dan r ialah 1

A P∝

q

3

r

B P∝

q3 1

C

P∝

r2

q3 r

D

P∝

q3 r2

7. Jadual 1 menunjukkan sebilangan nilai bagi pembolehubah m, n dan h di mana m berubah secara langsung dengan punca kuasa dua bagi n dan secara songsang dengan h. M N H

3 3 36 81 10 15 Jadual 1

Cari hubungan antara m, n dan h. A m=

5 n h

B m=

n h

C

m=

3 n h

D

2 m = 3n h

8. Diberi bahawa y berubah secara langsung dengan xm dan y = 8 bila x =1. Hitung nilai bagi m bila y = 72 dan x = 3. A 1 B 2 C 3 D 4 9. Jadual 2 menunjukkan hubungan antara tiga pembolehubah w, t dan h. W 2 4

t 2 m Jadual 2

H 4 9

117

Diberi bahawa w ∝ A 3

B 6

t , hitung nilai bagi m. h C 12 D

18

10. P Q

1 2 12 3 Jadual 3 Berdasarkan pada Jadual 3, jika q berubah secara songsang dengan kuasa dua bagi p. Cari hubungan antara q dan p. A q = 12p2

B q=

3 2 p 4

C

12

q = p2

D

3

q = 4 p2

BEARING - PAPER 1 SAHAJA NOTA : 1. Cari perkataan ‘Dari’ / ‘dari’ 2. Lukialah paksi utara / north pada titik ‘dari’ 3. bearing  sudut dari paksi utara ’dari titik ke laluan’ – dibaca ikut arah jam.

1Dalam Rajah 1, P dan Q ialah dua titik pada suatu satah mengufuk.

Rajah 1

Bearing P dari Q ialah A 065° B 115° C 205° D 295° 2 Dalam Rajah 2, T dan U ialah dua titik pada suatu satah mengufuk.

Rajah 2

118

Cari bearing T dari U. A 060° C 180° B 120° D 240° 3 Titik J dan titik K terletak pada suatu satah mengufuk. Bearing J dari K ialah 040°. Antara rajah yang berikut, manakah menunjukkan kedudukan bagi M dan N? A

B

C

D

4 Rajah 3 menunjukkan titik G dan titik H pada suatu satah mengufuk.

Rajah 3

Cari bearing G dari H. A 028° B 062° C 152° D 208° 119

5 Rajah 4 menunjukkan dua titik, X dan Y pada suatu satah mengufuk.

Rajah 4

Bearing X dari Y ialah 040°. Cari bearing Y dari X. A 040° B 130° C 220° D 240° 6 Dalam Rajah 5, titik G dan titik H terletak pada suatu satah mengufuk.

Rajah 5

Cari bearing H dari G. A 080° B 100° C 260° D 280°

7 Dalam Rajah 6, X, Y, dan Z ialah tiga titik pada suatu satah mengufuk.

Rajah 6

Diberi XZ = YZ, cari bearing X dari Z. A 050° B 095° C 150° D 275°

120

8 Rajah 7 menunjukkan tiga titik, X, Y, dan Z yang terletak pada suatu satah mengufuk.

Cari bearing Y dari Z. A 045° B 075° C 135° D 315° 9 P, Q, dan R ialah tiga titik pada suatu satah mengufuk di mana P berada di utara P. Bearing R dari Q ialah 150° dan bearing P dari R ialah 285°. Antara rajah yang berikut, manakah menunjukkan kedudukan bagi P, Q, dan R? A

B

C

D

121

10 Dalam Rajah 8, J, K, dan L ialah tiga titik pada suatu satah mengufuk.

Diberi bahawa L berada ke timur J. Cari bearing K dari L. A 120° B 150° C 210° D 330°

122