modul persamaan diferensial 2

TUGAS PERSAMAAN DIFERENSIAL II

Modul ini diajukan untuk melengkapi persyaratan tugas akhir mata kuliah Persamaan Direfensial II Disusun Oleh:

NAMA : LINDA TRI ANDAYANI NPM

: 200913500170

KELAS : 7 A

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS INDRAPRASTA PGRI Jl. Nangka No.58C Tanjung Barat Jakarta Selatan Telf./Fax.(021)7818718-78835283

Page 1

KATA PENGANTAR Segala puji bagi Allah SWT yang telah melimpahkan Rahmat dan Hidayah-Nya sehingga kami dapat menyelesaikan makalah ini dengan penuh kemudahan dan tepat waktu. Makalah ini disusun agar pembaca dapat menambah wawasan pada mata kuliah

PERSAMAAN DIFERENSIAL II, yang kami sajikan berdasarkan

pengamatan dari berbagai sumber. Dalam menyusun makalah ini kami banyak menemukan berbagai rintangan. Baik itu yang datang dari kami maupun yang datang dari luar. Namun dengan penuh kesabaran akhirnya makalah ini dapat terselesaikan. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada: •

ALLAH SWT .

•

Kedua orang tua kami yang telah membantu kami

•

Bpk Huri Suhendri selaku dosen Persamaan Direfensial II yang telah membimbing kami dalam penyusunan malakah ini sehingga makalah kami dapat terselesaikan dengan baik.

•

Teman – teman yang telah membantu kami untuk menyelesaikan modul kami.

Jakarta, 14 September 2012 Penyusun

DAFTAR ISI KATA PENGANTAR.............................................................................................i DAFTAR ISI...........................................................................................................ii A.Persamaan Diferensial Linier Orde-n dengan koefisien konstan..................1 1. P. D. L orde-n homogen dengan koefisien konstan................................2 2. P. D. L orde-n tak homogen a) Metode Wronsky............................................................................5 b) Metode inveres cara ke-1.............................................................10 c) Metode invers cara ke-2...............................................................14 d) Metode dalam bentuk sederhana................................................20

B.Persamaan Diferensial Linier Orde-n dengan koefisien variabel 1. P. D. L Cauchy..........................................................................................22 2. P. D. L Legendre.......................................................................................23 C.Sistem Persamaan Diferensial Linier Simultan.............................................29

Page 3

Daftar Pustaka......................................................................................................33

A. Persamaan Diferensial Linier Orde-n dengan koefisien konstan  Bentuk umum

 Bentuk umum dalam operator diferensial

Dan seterusnya Sehingga dapat disingkat menjadi

Keterangan : 

merupakan fungsi dari variabel x Jika merupakan konstanta disebut persamaan diferensial linier orde-n dengan koefisien konstanta

Jika orde bukan koefisien konstanta disebut persamaan diferensial liner orde-n dengan koefisien variabel Jika

maka disebut persamaan diferensial homogen orde-n

Jika orde-n

maka disebut persamaan diferensial tidak homogen Contoh: 1. 1 2.

Jawab: 1. Persamaan diferensial linier homogen orde-4 dengan variabel konstan. 2. Persamaan diferensial linier tak homogen orde -2 dengan koefisien konstan. 3. Persamaan diferensial linier tidak homogen orde-5 dengan koefisien variabel. Latihan 1.

1

P. D. L. Homogen orde-n dengan koefisien konstanta

Page 5

1. Bentuk homogennya

Atau dapat disingkat menjadi

Atau dapat dikeluarkan variabel x nya

2. Langkah-langkah penyelesaian 1. Membuat persamaan karakteristik

2. Menentukan akar-akar dari persamaan karakteristik a. Jika akar-akar rill berbeda

Solusi umumnya adalah

b. Jika akar-akar rill dan akar kembar

Solusi umumnya adalah

c. Jika akar-akar rill dan campuran

Solusi umumnya

d. Jika akar-akar bilangan kompleks

Dan

Solusi umumnya adalah

Contoh: 1.

2.

Jawab: 1.

Jadi solusi umumnya adalah

2.

Page 7

Jadi solusi umumnya adalah

3. Tinjau

Solusi umunnya adalah

Latihan 1.

I.P. D. L. Tak Homogen orde-n dengan koefisien konstan 1. Bentuk umum metode wronsky

Karena jawab umum dari

Atau (dengan subtitusi (2) dalam (1).

Tinjau :

Dimana

Pilih

akan ditentukan lebiih lanjut.

sehingga

Subtistusi : (3),(5) dan (6) dalam (*)

Page 9

Dari (2) maka

memenuhi sistempersamaan, (4) (7)

Dimana : Disebut determinan WRONSKY

Jadi

Maka solusi umumnya dari

Adalah + Contoh soal: 1. tentukan jawaban umum dari PD

Jawab : Tinjau Persamaan karakteristik

Adalah Jadi

Determinan WRONSKY :

Jadi

Jadi solusi umumnya dari PD adalah :

2.

Jawab :

Page 11

Tinjau Persamaan karakteristik

Jadi

w w w Jadi

Solusi umumnya adalah (

3.

Tinjau

Persamaan karakteristik :

Jadi

Jadi

Page 13

Maka solusi umumya adalah

Latihan: 1)

2)

2. Bentuk umum:

Po

P1

P2

...

+ Pn-1

Pny = Q dengan Q ≠ 0

Po Dny + P1 Dn-1 y + P2 Dn-2y + . . . + Pn-1 Dy + Pn y = Q Atau (Po Dn + P1 Dn-1 + P2 Dn-2 + . . . + Pn-1 D + Pn)y = Q Solusi umum:

Y = Yc +Yp

Yc= solusi komplementer (solusi dari P.D. L. Homogen) Yp= solusi partikuler

Menentukan Yp: a. Metode Invers Operator Bentuk umum P. D. L. tak homogen ditulis dalam bentuk F (D) y = Q sehingga: Yp =

atau Yp = 1. Cara pertama Berdasarkan faktor’’ riil linier dari F (D): Yp = Langkah’’ penyelesaian a. Tentukan invers operator dari f (D) yaitu

b. Tentukan faktor’’ riil linier dari

yaitu:

Yp= c. Secara berabtai tentukan Yp: Tahap 1: Misalnya: U =

Q (P.D.L Orde satu)

U = e λ1x

–λ1x

dx

Tahap 2: Misalnya: V= V= e λn-1x .

Page 15

λn-1x

. dx

Tahap terakhir: Misal: S= S= e λ1x .

–λ1x

dx

d. Yp merupakan hasil dari tahap terakhir Yp = s Contoh:

+29 Persamaan karakteristiknya: (

+ 100y = + 25 ) ( + 4 ) = 0

maka solusi : y = mencari

Misal : u u u u misal v = v v

v maka solusi umumnya adalah 1.

+2

+

=10

Jawab:

Persamaan karakteristiknya: (

+ 1 ) ( + 1 ) ( + 2 )= 0

maka solusi : y = mencari

Misal : u u u u misal v = v v v

Page 17

miasal w = w w w maka solusi umumnya adalah 2.

Jawab: Persamaan karakteristiknya: ( maka solusi : y = mencari

Misal : u u u u misal v = v

15 ) (

4)=0

v v maka solusi umumnya adalah Latihan: 1) 2)

2. Cara kedua Bentuk

dinyatakan sebagai jumlah n pecahan bagian dari

fakta’’ sehingga: Yp =

.Q=(

Langkah’’ penyelesaian a. Tentukan invers operator:

Tentukan jumlah n pecahan bagian dari

Page 19

Dengan menggunakan koefisien kedua ruas, tentukan nilai N1, N2, . . . , Nn Subtitusikan N1, N2, . . . , Nn ke Yp: Yp = (

).Q

b. Tentukan Yp: Yp = N1 . e λ1x . Contoh:

+ 4 + 3y = Jawab: Persamaan karakteristiknya:

maka : mencari

dieliminasi menjadi

-λ1x

dx + . . . + Nn . eλnx .

λnx

dx

maka solusi umumnya adalah

+ 14 + 4y = Jawab: Persamaan karakteristiknya:

maka :

Page 21

mencari

dieliminasi menjadi

maka solusi umumnya adalah

1)

+

6y =

Jawab: Persamaan karakteristiknya:

maka : mencari

Page 23

dieliminasi menjadi

maka solusi umumnya adalah Metode dalam bentuk sederhana Metode koefisien tak-tentu dapat diterapkan haya jika dan semua turunanya dapat dituliskan dalam suku-suku himpunan finit yang sama dari fungsi-fungsi yang dapat indepanden secara linier, yang kita lambangkan dengan . Metode ini diawali dengan mengansumsikan bahwa solusi tertentunya memiliki bentuk

Dimana melambangkan konstanta multiplikatif sembarang. Konstanta-kontanta sembarang ini kemudian ditentukan dengan melalui solusi yang diajukan kedalam persamaan diferensial yang ditentukan dan menyertakan koefisien-koefisien yang memiliki suku yang sama. Kasus 1. polonominal tingkat ke-n dalam x. Asumsikan solusinya membentuk

Dimana

adalah konstan yang harus ditentukan.

Kasus 2. dimana ka dan adalah konstantakonstanta yang diketahui. Asumsikan solusinya memiliki bentuk

Kasus 3. dimana adalah konstanta-konstanta yang diketahui. Asumsikan solusinya memiliki bentuk

Dimana A dan B adalah konstanta-konstanta yang harus ditentukan.

Page 25

Contoh a. selesaikan

Jawab: Persamaan karakteristik

Jadi Suatu polinominal tingkat kedua. Dengan menggunakan kasus 1.kita mengansumsikan

Jadi . Dengan memasukkan haisl-hasil ini kedalam persamaan diferensil, kita memperoleh

Atau ekuivalen dengan

Dengan menyertakan koefisisen-koefisien yang memiliki pangkat x yang sama, kita memperoleh

Jika sistem ini diselesaikan, kita memperoleh

Dan solusi umumnya adalah

b. selesaikan

Persamaan karakteristik

Jadi Suatu polinominal tingkat kedua. Dengan menggunakan kasus 2 dimana variabel independen x digantikan oleh dan . Dengan menggantikan Kita mengansumsikan

.

Jadi . Dengan memasukkan haisl-hasil ini kedalam persamaan diferensil, kita memperoleh

Atau ekuivalen dengan , maka menjadi

Dan solusi umumnya adalah c. selesaikan

Persamaan karakteristik

Page 27

, sehingga

Jadi Suatu polinominal tingkat kedua. Dengan menggunakan kasus 2 dimana variabel independen x digantikan oleh dan . Dengan menggantikan Kita mengansumsikan

.

Dengan demikian

Dan

Dengan hasil-hasil ini masukkan kedalam persamaan diferensial, kita memperoleh

Yang ekuivalen dengan

Dengan menyertaka koefisien-koefisien dari suku-suku yang sama, kita memperoleh

Maka menjadi

Dan solusi umumnya adalah

B. Persamaan Diferensial Linier Orde-n dengan koefisien variabel 1. Persamaan Diferensial Linier Cauchy Bentuk P.D:

Po xn Atau dapat ditulis dalam polonom operator (Po x2 D2 + P1 xn-1 Dn-1 + . . . + Pn-1 x D +Pn)y = Q(x) dimana Po,P1, . . . ,Pn adalah konstan. Untuk menyelesaikan P.D ini dilakukan transformasi x = e2 untuk mereduksi P. D semula menjadi P.D unier orde n dengan koefisien konstan yaitu: Tranformasi x = e2 atau In x = z kemudian jika D didefinisikan oleh D = : xDy =Dy x2D2y = D (D-1) y x3D3y = D (D-1) (D-2) y xnDny = D (D-1) (D-2) (D-3) . . . (D-n + 1)y dan P.D semula teredukdi menjadi:

Page 29

[Po D (D-1)(D-2)(D-3) . . . (D-n + 1)+P1D (D-1)(D-2) . . . (D-n +2)+ . . . +Pn-1 D +Pn]y = Q(e2) P. D baru inni diselesaikan dengan cara telah dibahas pada v langkah’’ menghitung solusi umum P.D chauchy 1. lakukanlah transformasi x = e2dan D = 2. P. D tereduksi menjadi P. D liner orde n dengan koefisien konstan didalam polinominal operator D 3. Selesaikanlah P. D baru ini dengan cara-cara pada bab v 4. gunakan transformasi Z = In x atau e2 = x untuk mendapatkan variabel semua 5. solusi umum P. D cauchy ditentukan 2. Persamaan Diferensial Linier Legendre Bentuk P. D

Po (ax + b)n

P1 (ax + b)n-1

Pn-1 (ax + b)

+ Pn y = Q(x)

dimana Po, P1, . . . ,Pn adalah konstan Untuk menyelesaikan P. D ini dilakukan

tranformasi ax+b=e2 untuk

mereduksi P. D semula menjadi P. D linier orde dengan koefisien konstan yaitu: Transformasi ax + b = e2 atau In (ax + b) = z jika D = (ax +b)Dy = aDy (ax +b)2D2y = a2D (D-1) y (ax +b)3D3y = a3 D(D-1) (D-2) y (ax +b)nDny = anD (D-1)(D-2)(D-3). . . (D-n +1)y dengan demikian P.D semula

tereduksi menjadi: [Po an D (D-1)(D-2) . . . (D-n +1) + P1 an-1D (D-1)(D-n+2) + . . . +Pn-1 Ad + Pn]y =Q[

]

P. D baru ini diselesaikan dengan cara’’ yang telah dibahas pada bab 5 Langkah’’ menghitung solusi umum P.D linier legendre: 1. Lakukanlah transformasi ax + b = e2 dan d =

2. P. D tereduksi menjadi P.D linier orde n dengan koefisien konstan didalam polinomial operator D 3. Selesaikanlah P.D baru ini dengan cara pada v 4. Gunakanlah transformasi Z = In (ax b) dan e2 = ax + b untuk

mendapatkan variabel semula 5. Solusi umum P.D legerdre ditemukan

Contoh: 1. Selesaikan Transformasi

mengubah menjadi

Penyelesaian lengkapnya

Page 31

2.

[4D(D (4 (4 (4 (2 2

Yc Tahap I: Yp Misal U: u u u 4z Misal V: v

v v Tahap II: Yp Misal U: u u

Misal V: v v v

Solusi umumnya adalah

3.

Jawab:

Page 33

Mencari Ganti Mis U: u u u u u V: V= v v v solusi umumnya adalah

4.

Jawab:

Mencari Ganti Mis U: u u u u u V:

Page 35

V= v v v solusi umumnya adalah

5.

Jawab:

Mencari Ganti Mis U:

u u u u u V: V= v v v solusi umumnya adalah

Latihan

1)

y′ ′ + 7xy′ + 9y = sin x 4 y′ ′ + 8xy′ − 15y = x

Page 37

C. Sistem Persamaan Diferensial Linier Simultan 1. Pengertian dari sistem persamaan linier simultan Sistem P.D Linier simultan adalah suatu sistem dari persamaan diferensial dengan dua atau lebih variabel tak bebas dan satu variabel bebas. Jumlah dari persamaan simultan sama dengan jumlah dari variabel tak bebasnya. Misalnya: (D-1)

x

+

(D-5)

y

=

e-t

Atau (D+3) x + y = 2

Jumlah dari persamaan simultan = 2 dan jumlah dari variabel tak bebas = 2 (yaitu x dan y). Solusi umum dari P.D simultan dapat diperoleh dengan cara menggunakan eliminasi dari variabel tak bebasnya. Jumlah konstanta sembarang yang ditampilakan dalam solusi umum derajat dalam simultan:

Didalam melakukan eliminasi variabel tak bebas determinan

ini harus

diperhatikan. Jika sistem itu adalah tak bebas sehingga sistem ini tidak akan dipikirkan disini. Langkah’’ mencari solusi umum sistem P.D Linier simultan: 1. Tulislah P.D didalam polinomial operator D untuk P. D. Linier dengan koefisien konstan, tetapi untuk P.D.L dengan koefisien variabel , tulislah P.D ini didalam polinomial D.

2. Hitunglah determinan D Dengan memperhatikan determinan tak bebasnya

ini, lakukanlah eliminasi variabel

Selesaikanlah P.D hasil eliminasi itu dengan metode yang telah dibahas pada bab sebelumnya Hitung juga untuk variabel tak bebas yang lain Solusi umum sistem merupakan kumpulan dari variabel tak bebas yang telah diperoleh melalui eliminasi tadi Contoh:

1. Selesaikan sistem : •

(D + 1)x + (D – 1)y = et

•

(D2 + D + 1)x + (D2 + D + 1)y = t2

Jawablah : (D + 1)x + (D – 1)y = et ...............................(1) (D2 + D + 1)x + (D2- D + 1)y = t2 ...............(2) Kenakanlah operator D2+ D + 1 pada pers(1) dan (D + 1) pada pers(2) dan kurangkanlah. Diperoleh : 2y = t2 + 2t – 3et

dan

y = t2 + t - et

Kenakanlah operator D2- D + 1 pada pers (1) dan D – 1 pada pers(2) dan kurangkanlah, diperoleh : 2x + t2 – 2t + et

dan

x = t2 – t + et

catatlah = 2 adalah derajat 0 pada D, dengan demikian tak ada konstanta sebarang pada penyelesaiannya

2. Selesaikan sistem :

Page 39

•

D2x – a2y = 0

•

D2y + a2x = 0

Jawab : D2x – a2y = 0 ..................(1) D2y + a2x = 0 ..................(2) Kenakan operator D2 pada pers(1) dan substitusikan D2y = -a2x dari pers (2), diperoleh : D4x – a2(-a2x) = D4x + a4x = (D4 + a4)x = 0, maka D = dan x =

(

)+

(

(1 )

substitusikan untuk x pada pers (1) dan selesaikan y=

x=

(

)+

(

)

3. Selesaikan sistem : •

Carilah persamaan khusus dimana Jawab : ..................(1) ...............................................(2) ......................................(3) Pertama, kenakanlah D pada pers(2) sehingga ...................(4) ,

!

)

selanjutnya tambahkan dua kali pers(3) pada pers(1) dan kurangkan pers(4) diperoleh (

, maka dan

Dari pers(2), Dari pers(3) ,

; maka

, karena berderajat 2 dalam D terdapatlah dua konstanta sebarang dan penyelesaian umumnya

Latihan a)

b)

c)

d)

Page 41

e)

DAFTAR PUSTAKA Arjuna,Lilik.1983.Pengantar Penyelesaian Deret Integral Lipat Persamaan Diferensial.Bandung:ARMICO. Finizio. 21 1982. Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan Modern, terjemahan oleh Widiarti Santoso. Jakarta : Erlangga Kartono. 2012. Persamaan Diferensial Biasa. Yogyakarta : Graha Ilmu Marga, M dan Ismail Bestari. 1985. Matematika Universitas. Bandung : Armico Nababan. 2005. Persamaan Diferensial Biasa. Jakarta : Universitas Terbuka Nugraha, Didit Budi. 2009. Persamaan Diferensial Biasa. Jakarta : Universitas Kristen Satya Wacana