MODUL PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT.pdf

x1 + x 2 = 

b a

maka titik potong dg sumbu X-nya adalah (x1 , 0 ) dan

2

1. Bentuk umum fungsi kuadrat : f ( x )=ax + bx + c, a ≠ 0

( x2 , 0 )

2. Grafik fungsi kuadrat berupa parabola

 Untuk menentukan persamaan sumbu simetri :

3. Grafik fungsi kuadrat ditinjau dari tanda ( nilai ) a dan D 2

( dengan D = b – 4.a.c )

Gunakan rumus x =



 Untuk a > 0/ a positif ( grafik selalu terbuka ke atas ) ada 3 jenis :`

x=

a>0 D=0

X

x1  x 2 2

 Untuk menentukan titik potong dengan sumbu Y :

a>0

D>0

b atau 2a

a>0 D0 membuat grafik terbuka ke atas, dan D menentukan keadaan grafik memotong atau menyinggung atau tidak sama sekali terhadap sumbu X

2

Jika y = -2 x +3x – 4; maka titik potong dengan sumbu Y-nya adalah ( 0, -4 )  Titik puncak/ titik balik

x1  x 2 2

xb  

b 2a

yb  

D atau subtitusikan xb ke persamaan, sehingga 4a

menjadi  Untuk a < 0 ( grafik terbuka ke bawah )

atau dapat di cari dengan xb =

yb  axb2  bxb  c

Dan ingat

4. Unsur – unsur grafik fungsi kuadrat :

 xb , y b 

D  b2  4ac ( diskriminan )

http://matematrick.blogspot.com

Y

X

Titik puncak / titik balik ( pada grafik di samping berupa titik balik maksimum )

1. Koordinat titik ekstrem kurva dengan persamaan 2

y = x – 4x +9 adalah…. Titik potong dg Sumbu X, di titik tersebut y = 0

a. ( -2 , 21) b. ( -2 , 9 ) c. ( 0 , 9)

Titik potong dengan sumbu Y, di titik tersebut x = 0

Garis / Sumbu simetri( di tengah antara dua titik potong dg sumbu X )

d. ( 2 , 9 ) e. ( 2 , 5 ) Penyelesaian : Jelas a = 1, b= -4, c = 9

Menentukan unsur – unsur grafik fungsi kuadrat jika diketahui

Titik ekstrim = titik balik = titik puncak

2

persamaan grafiknya ( y = a x + b x + c ) atau diketahui gambarnya:  Untuk menentukan titik potong dengan sumbu X : Cari saja dua bilangan x1 dan x2 yang memenuhi

xb  

b (4) 4   2 2a 2.1 2

yb  xb2  4 xb  9  2 2  4.2  9  4  8  9  5

( jadi untuk mencari yb dengan cara menggantikan x dengan xb pada persamaan yang diketahui )

a.

2

2. Koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat y = 3x + 7x – 6 dengan sumbu X adalah ....

2   ,0  dan  3,0 3 

d.

 3,0 dan   3 ,0 

b.

2   ,0  dan 3,0 3 

e.

 3  0,  dan 0,3  2

 2



3  c.  ,0  dan  3,0 2  Penyelesaian :

( ii ). Kemudian cari dua bilangan di posisi x yang jumlahnya =

b 7 =  , maka jawabannya ( A ) sebab a 3

2 29 7  (3)   3 3 3

1. Koordinat titik balik dari grafik fungsi kuadrat yang persamaannya y = (x – 6)(x + 2) adalah ....( UN 2010 )

(–1, –7)

c.

(1, –15)

d.

(2, –16)

e.

(3, –24) 2

http://matematrick.blogspot.com

7 2

d.

5 2

e.

1 2

a.

(-1,0),  2 ,0  , dan (0,2) 3 

b.

 2  , (1,0), dan (0, -2)   ,0   3 

c.

2  2  , (1,0), dan   0,    ,0  3   3 

d.

 2  , (-1,0), dan (0, -1)   ,0   3 

e.

 3  , (1,0), dan (0, 3)  ,0  2 

6. Persamaan sumbu simetri grafik fungsi kuadrat

harus 0, jadi pilihan E jelas salah.

b.

c.

y  3x 2  x  2 dengan sumbu X dan sumbu Y adalah … .(

( i ). Titik potong dengan sumbu X, jelas y-nya / yang dibelakang

(–2, 0)

9 2

UN 2010 )

a.

a.

b.

5. Koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat

Jadi titik ekstrimnya : ( 2, 5 ) ( E )



11 2

2. Koordinat titik potong kurva y = x – 2x – 8 dengan sumbu X adalah …. a. (-4 , 0) dan ( -2 , 0) b. (-4 , 0) dan ( 2 , 0) c. (-2 , 0) dan (4 , 0) d. (2 , 0) dan ( 4 , 0) e. (2 , 0) dan (8 , 0)

2

3. Koordinat titik puncak dari grafik y = x – 6x + 5 adalah .... a.

(6, 5)

d. ( – 3,32)

b.

(3, – 4)

e. ( – 6,5)

c.

(3, – 14) 2

4. Nilai minimum fungsi kuadrat f( x ) = 2x – 2x + 6 adalah ....

2

y = 5x -20x + 1 adalah ....( UN 2011 ) a.

x=4

b.

x=2

c.

x = -2

d.

x = -3

e.

x = -4

Menyusun Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat

2

y = 3. (x – 3 x + 2) 2

y = 3x – 9 x + 6 ( jawaban D ). 1. Jika diketahui titik – titk potong dengan sumbu X ( ( x1 , 0 )

(–1, 4) dan melalui titik (0, 3) adalah ....( UN 2010 )

dan ( x2 , 0 ) diketahui ) Persamaannya :

y  a( x  x1 ).( x  x2 ) 2

Cara singkatnya : y = x – ( x1 + x2 ) x + x1 .x2 , kemudian disesuaikan ( lihat contoh ) 2.

2. Persamaan grafik fungsi kuadrat mempunyai titik ekstrim

Jika diketahui koordinat titik puncak / titik balik (( xb , yb ) diketahui )

2

a.

y = –x + 2x – 3

b.

y = –x + 2x + 3

c.

y = –x – 2x + 3

d.

y = –x – 2x – 5

e.

y = –x – 2x + 5

2 2 2 2

Penyelesaian :

Persamaannya :

y  a ( x  xb )  y b 2

Jelas xb = -1, yb = 4, dan grafik melalui titik ( 0,3 ) Cara Biasa

y  ax  (1)  4 2

1. Persamaan grafik fungsi di bawah ini adalah ….

y  ax  1  4 2

Y

a. y = x2 – 3x + 2 c. y = 3x2 + 9x + 6

Grafik melalui ( 0,3 ) berarti untuk x = 0, y = 3 , maka : 2 =2 -3x + 9x + 6 3 = a ( 0 +1 ) + 4

d. y = 3x2 – 9x + 6

3 = a .1 + 4

b. y = x2 + 3x + 2

6

2

e. y = -3x + 9x + 6 Ini artinya titik potong dg sumbu Y; yaitu ( 0,6 )

3=a+4 2

Maka a = -1, sehingga persamaannya : y = -1.(x+1) +4 2

Y = -1.(x +2x+1)+4

y =f(x)

2

1

Y = -x -2x-1+4

X

2

2

Y = -x -2x +3 ( C ) Cara singkat : Jelas bahwa grafik melalui titik ( 0,3 ) ini tidak lain titik potong

Penyelesaian :

dengan sumbu Y, berarti c=3, sehingga pilihan yang mungkin

Jelas x1 = 1 dan x2 = 2 dan memotong sumbu Y di titik ( 0, 6 )

adalah B dan C.

Cara Biasa : Jelas xb = -1, padahal xb =

Y=a(x–1).(x–2) 2

Y = a ( x -3x + 2 )

 x1 + x2 = 2 xb = 2.(-1)=-2

Grafik memotong sumbu Y di titk ( 0, 6 ), 2

Artinya untuk x = 0, y = 6, maka : 6 = a ( 0 – 3.0 + 2 ) 6 = a.2

http://matematrick.blogspot.com

x1  x2 , 2

dan kita punya bahwa x1 + x2 =  b , maka antara pilihan B dan a

C pilih saja yang nilai  b = -2. a

2a = 6 a=3 Jadi Persamann fungsinya adalah :

Jadi jawabannya C. Kesimpulan dari cara singkat adalah : pilih saja pilihan yang

2

Y = 3. ( x -3x + 2 )

memenuhi

2

Y = 3 x -9x + 6 ( pilihan D )

Cara singkat :



b = 2xb. a

1. Persamaan grafik fungsi kuadrat dibawah ini adalah .... 2

susun saja bentuk y = x – ( x1 + x2 ) x + x1 .x2 2

y = x – 3 x + 2 ( berarti a=1, b=-3, c=2 ) kemudian lihat bahwa grafik memotong sumbu y di ( 0,6 ), maka c harus 6, padahal : 2

pada y = x – 3 x + 2, c = 2 sehingga agar 2 jadi 6 kalikan saja dengan 3. maka hasilnya :

3 a. y = –2x2 + 4x + 3 b. y = –2x2 + 2x + 3 c. y = –x2 – 2x + 3 d. y = –x2 + 2x – 3 e. y = –x2 + 2x + 3

-1

3

2. Persamaan grafik fungsi di bawah ini adalah ….

y

x

o

a. b. c. d. e.

y = x2 +3 y = x2 -3 y = -x2 +3 y = x2 - 2x -3 y = -x2 + 2x -3

b.

y  x 2  4 x  21

c.

y  x2  4x  5

d.

y  2 x 2  8x  6

e.

y  2 x 2  4 x  10 ( UN 2011 )

Akar-Akar Persamaan Kuadrat

1. Bentuk umum Persamaan kuadrat :

(1,-2)

ax 2  bx  c  0, a  0, a, b, c  R

(0,-3)

2. Menentukan akar akar persamaan kuadrat Cara Biasa : - Faktorisasi

3. Persamaan grafik di bawah ini adalah ….

1 (ax  m).(ax  n)  0 a

a. y = -x2 + 4x + 5

Y

b. y = -x2 - 4x + 5

9 Y = f(x)

- Melengkapkan kuadrat sempurna

c. y = -2x2 + x + 5

5

- Rumus abc

d. y = -2x2 - x + 5 e. y  

1 2 + x +5 x 2

x1, 2 

X

2

dengan m + n = b; dan m.n = a.c

ax 2  bx  c  0

 b  b 2  4ac 2a

Cara Singkat : ( jika memungkinkan ) Pakai saja rumus jumlah dan hasil kali akar – akar

4. Persamaan grafik fungsi di bawah ini adalah …

–2

4

persamaan kuadrat

a. y = –x2 + 2x – 8 b. y = –x2 + 2x + 8 c. y = –x2 – 2x + 8 d. y = –x2 – 2x – 8 e. y = –x2 + x + 8



x1  x 2  

b a



x1  x 2 

c a

Dengan maksud : cari saja dua bilangan (

x1 dan x 2 )

yang memenuhi rumus jumlah dan hasil kali tersebut. Catatan : biasanya cukup dicari/ dipilih saja dua bilangan

-8

(

b x1 dan x 2 ) yang memenuhi x1  x 2   . a

http://matematrick.blogspot.com

3. Jumlah dan hasil kali akar – akar persamaan kuadrat 5. Persamaan grafik fungsi pada gambar di bawah ini adalah Y .... 1 a. y  x 2  2 x  2

Jika

x1 dan x 2 akar – akar persamaan kuadrat

ax 2  bx  c  0, maka berlaku :

2

b. 2

c.

2

X

d. e.

1 y  x 2  2x  2 2 1 2 y  x  2x  2 2 1 y   x 2  2x  2 2 1 2 y   x  2x  2 2

x1  x 2   x1  x 2 

b a

c a

4. Persamaan yang sering digunakan terkait jumlah dan hasil kali akar – akar persamaan kuadrat :

( petunjuk : grafik menyinggung sumbu X, berarti x1 = x2 =2 atau pakai titik puncak )



x12  x22  x1  x2   2.x1 x2 2

2

6. Persamaan grafik fungsi kuadarat yang memotong sumbu X di titik (1,0) dan (3,0) serta melalui titik ( -1,-16)adalah … . a.

y  2 x 2  8x  6

c  b      2. a  a



b2 c  2. 2 a a

b 1 1 x2  x1 x1  x2 b      a  c x1 x2 x1 .x2 x1 .x2 c a

( + masuk jadi - )



( iv ). Untuk menyusun PK baru yang akar- akarnya   k dan   k , Caranya :

2 2 2  x1  x2  x1 .x1  x2 .x2  x1  x2  ( x1  x2 )  2.x1 .x2 x2 x1 x1 .x2 x1 .x2 x1 .x2

Ganti saja x pada ax + bx + c =0 dengan x  k , 2

sehingga diperoleh PK baru :

Catatan : akar persamaan kuadrat tidak selalu dinyatakan

2

a(x + k) + b.(x + k) + c = 0, dan seterusnya ...

x1 dan x 2 , kadang dinyatakan dalam α dan β, p dan

dalam q, dsb.

( - masuk jadi + ) Catatan : cara ini dipakai untuk kasus PK baru yang

5. Menyusun Persamaan Kuadrat ( PK )

bentuk akar- akarnya simetris ( x1 dan x2 serupa ),dan

Kasus 1 :

tidak berlaku untuk akar – akar yang bentuknya tidak

Jika diketahui akar – akarnya ( x1 dan x2 ) Maka Cara penyelesaiannya : Cara I : pakai pola Cara II : pakai pola

( x  x1 ).( x  x2 )  0

simetris ( misalkan akan disusun PK baru yang akar – akarnya  dan   k ) k

x 2  ( x1  x2 ) x  x1 .x2  0 2

1. Akar – akar persamaan kuadrat 5x – 6x - 8 = 0 adalah ....

Kasus 2 : Jika akar – akar persamaan kuadrat yang akan disusun

a.

berhubungan dengan akar – akar persamaan kuadrat yang

b.

 54 dan -2 4 5

4 5

c.

dan 2

d. - 54 dan 2

dan -2

lain e.

Maka Cara penyelesaiannya :

 15 dan 2

Dengan mengubah bentuk dari akar – akar tersebut agar

Penyelesaian :

dapat disubtitusi ke persamaan kuadrat yang lain

Cara Singkat :

Secara lengkapnya perhatikan uraian berikut :

Jelas : Nilai  b   (6)  6 , maka pilih saja pada pilihan a 5 5

2

Jika Diketahui persamaan kuadrat ax + bx + c =0, memiliki akar – akar α dan β, maka : ( i ). Untuk menyusun persamaan kuadrat baru yang memiliki akar – akar k dan k ,Caranya :

tersebut yang jika dijumlahkan nilainya 6 . 5

Sehingga jawabannya D, karena - 54 + 2 =  4  10  6 5

5

2

Ganti saja x pada ax + bx + c =0 dengan x , sehingga k 2

diperoleh PK baru :

http://matematrick.blogspot.com

a( kx ) 2  b.( kx )  c  0 dan seterusnya... ( kali masuk jadi bagi ) ( ii ). Untuk menyusun PK baru yang akar – akarnya  dan k

 , Caranya :

2. Persamaan kuadrat 4x + 3x + 6 = 0 mempunyai akar – akar  dan . Nilai  +  = .... 2

2

1 4

a.  5 3

d. 2

b.  2 7 16

e. 3 3 4

4

c.  2 5 16 Penyelesaian :

k

Jelas  +  = ( α + β ) – 2.αβ 2

2

Ganti saja x pada ax + bx + c =0 dengan kx , sehingga

2

2 2

diperoleh PK baru : 2

a( kx ) +b.kx + c = 0 , dan seterusnya ... ( bagi masuk jadi kali ) ( iii ). Untuk menyusun PK baru yang akar- akarnya   k dan   k , Caranya :

Ganti saja x pada ax + bx + c =0 dengan x  k , 2

sehingga diperoleh PK baru : 2

a(x – k) + b.(x - k) + c = 0, dan seterusnya ...

=   3   2. 6 4  4 = 9 3 16 = 9  48   39  2 7 ( jawaban : B ) 16 16 16 2

3. Akar – akar persamaan kuadrat x – 3x + 1 = 0 adalah α dan β . Persamaan kuadrat baru yang akar – akarnya 3α dan 3β adalah ....

2

a.

x + 3x + 3 =0

b.

x - 3x + 3 =0

c.

x + 3x - 3 =0

2

2

5. Diketahui akar- akar persamaan kuadrat 2x – 7x – 6 = 0

2

d.

x - 9x + 3 =0

e.

x - 9x + 9 =0

2

a. -3

Penyelesaian : 2

Ganti saja x pada persamaan x – 3x + 1 = 0 dengan

x , maka 3

2

x  x    3.  1  0 3 3

x2  x 1  0 ( x 9 ) 9



c.

3 14

d.

4 7

e.

6 7 2

6. Persamaan kuadrat 3x – x + 2 = 0 mempunyai akar – akar  dan . Nilai (  +  ) + 2 = .... 2

x 2  9x  9  0 ( E )

a.

1 3

d.

b.

5 9

e. 2

c.

7 9

2

1. Akar – akar persamaan kuadrat 2x – 9x + 7 = 0 adalah ....

1 c. 1 dan 3 2

1 dan 7 2

b.

7 6

b.

Persamaan kuadratnya adalah :

a. 1 dan 7

d. -1 dan - 3

2

1 2

akar  dan . Nilai  +  = .... 2

2

2. Akar-akar persamaan kuadrat x –3x + 2 = 0 adalah A dan B,

a.

5

3 4

b.

3

3 4

c.

2

3 4

d.

3

1 4

e.

3

3 4

dengan A > B. Nilai A + 2B adalah .... a. –5

d. 4

b. –4

e. 5

c. –1 2

http://matematrick.blogspot.com

3. Akar-akar dari 2x – 3x – 9 = 0 adalah x1 dan x2. 2

Nilai dari x1 + x2 = ....

1 4

d.

6

6

3 4

e.

 11

2

1 4

a.

11

b. c.

2

3 4

1 4

4. Akar – akar persamaan kuadrat 3 x – 4 x + 2 = 0 adalah α 2

dan β. Nilai dari ( α + β ) - 2αβ = ....

10 a. 9

1 d. 3

b. 1

e. 0

c.

4 9

13 9

7. Persamaan kuadrat 2x + 3x + 6 = 0 mempunyai akar –

e. -1 dan -7

2

1 1 adalah ….( UN 2010 )  x1 x 2

adalah x1 dan x2. Nilai

2

2

8. Akar-akar persamaan kuadrat dan . Nilai dari a.

–4

b.

–2

c.

–1

d.

4

e.

5

2





2



x 2  4 x  2  0 adalah 

=….

2

9. Persamaan kuadrat x - 3x – 2 = 0 mempunyai akar-akar x1 2

2

dan x2. Nilai dari x1 x2+ x1.x2 = .... a.

7 5

d. 21 4

b.

11 4

c.

3

a. -12,5 e. 6.

b. -7,5 c. 12,5 2

10.

Akar – akar persamaan kuadrat x – 3x + 1 = 0adalah x1dan x2 . Persamaan kuadrat baru yang akar – akarnya 2x1 dan 2x2 adalah .... 2

a.

x + 3x + 3 =0

b.

x - 3x + 3 =0

c.

x + 3x - 3 =0

d.

x + 6x + 4 =0

e.

x - 6x + 4 =0

2 2 2 2

Akar – akar persamaan kuadrat 2x + x + 6 = 0 adalah  2

11.

dan . Persamaan kuadrat baru yang akar – akarnya

 3

dan

 adalah ....

a.

6x + x + 2 =0

b.

6x + x + 3 =0

c.

18x - 3x + 6 =0

d.

18x + 2x - 6 =0

e.

18x + 2x + 6 =0

3 2 2

2 2 2

2

12.

Akar – akar persamaan kuadrat x – 3x + 1 = 0 adalah x1dan x2 . Persamaan kuadrat baru yang akar – akarnya 3x1 dan 3x2 adalah .... 2

a.

x + 3x + 3 =0

b.

x - 3x + 3 =0

c.

x + 3x - 3 =0

d.

x - 9x + 3 =0

e.

x - 9x + 9 =0

2 2 2 2

2

13.

Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan 3x - x + 9 = 0,

http://matematrick.blogspot.com

maka nilai

a.



53 27

b.



3 27

c.

1 27

d.

3 27

e.

54 27

x1 x2  = ….( UN 2011 ) x2 x1

2

14. Akar-akar persamaan kuadrat 2x - 13x – 7 = 0 adalah x1 dan x2. Jika x2 > x1, maka nilai 2x1 + 3x2 = ….( UN 2011 )

d. 20 e. 22