Modul Induksi Matematika

Ahmad Syauqi MZ, S.Si

INDUKSI MATEMATIKA

NAMA : ………………………………………….. KELAS : …………………………………..………

1

Ahmad Syauqi MZ, S.Si

Induksi Matematika adalah cara standar dalam membuktikan bahwa sebuah pernyataan tertentu berlaku untuk setiap bilangan asli. Pembuktian dengan cara ini terdiri dari dua langkah, yaitu: 1. Menunjukkan bahwa pernyataan itu berlaku untuk bilangan 1. 2. Menunjukkan bahwa jika pernyataan itu berlaku untuk bilangan n, maka pernyataan itu juga berlaku untuk  bilangan n + 1. Misalkan akan dibuktikan suatu pernyataan bahwa jumlah n bilangan asli pertama, yaitu 1+2+:::+n, adalah sama dengan

 +1. Untuk membuktikan bahwa pernyataan itu berlaku untuk setiap bilangan asli, langkah-langkah 2

yang dilakukan adalah sebagai berikut: 1. Menunjukkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = 1. Jelas sekali bahwa jumlah 1 bilangan asli pertama adalah

 . Jadi pernyataan tersebut adalah benar untuk n = 1.

1 1+1 2

2. Menunjukkan bahwa jika pernyataan tersebut benar untuk n = k, maka pernyataan tersebut juga benar untuk n = k+1. Hal ini bisa dilakukan dengan cara: - Mengasumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = k, yaitu  + 1 1 + 2 + 3 + +  = 2 - Menambahkan k + 1 pada kedua ruas, yaitu  + 1 1 + 2 + 3 + +  +  + 1  = +  + 1 2 - Dengan menggunakan manipulasi aljabar, akan dibuktikan bahwa  + 1  + 1  + 1 1 + 2 + 3 + +  +  + 1  = 2 Dari langkah ke-2 didapat bahwa  + 1 1 + 2 + 3 + +  +  + 1  = +  + 1 2

⋯    ⋯        ⋯        ⋯       

Maka

1+2+3+

 + 2 ⋯ +  +  + 1 =  +2 1 +  + 1 =  +2 1 + 2 +2 1 =  + 1 2   + 1 + 1 + 1 = 2

Terbukti bahwa pernyataan

1+ 2+ 3 +

 

Benar untuk  =  + 1.

⋯ +  +  + 1 =  + 12 + 1 + 1

Secara formal Induksi Matematika ini bisa didenisikan sebagai berikut. Denisi 1.1 Misalkan untuk setiap bilangan asli n kita mempunyai pernyataan P(n) yang bisa benar atau salah. Misalkan 1. P(1) benar. 2. Jika P(n) benar, maka P(n + 1) benar. Sehingga P(n) benar untuk setiap bilangan asli n. Langkah 1 disebut dengan Langkah Dasar, sedangkan Langkah 2 disebut dengan Langkah Induktif. Jika pada Langkah Induktif yang diasumsikan adalah pernyataan P(i) benar untuk setiap bilangan  perumusan induksi matematika seperti ini disebut Bentuk Kuat Induksi Matematika. Contoh 1.1 Gunakan induksi matematika untuk membuktikan bahwa !  2− 1 untuk setiap  = 1,2, 1. Akan ditunjukkan bahwa !  2− 1 1 −1  benar untuk n = 1. Jelas sekali bahwa 1! = 1  2 = 20 = 1. 2. Asumsikan bahwa !  2−1  adalah benar untuk n = k. yang berakibat !  2− 1 3. Akan ditunjukkan bahwa !  2− 1  juga benar untuk  =  + 1, yaitu  + 1 !  2 +1−1



≥

…

≥

≥

≥

Perhatikan !

≥

≥     ≥

 + 1! =  + 1! ≥  + 12−  ≥ 2 ∙ 2− 1

2

1

= 21+− 1  = 2 +1−1

 ≤ , maka

Ahmad Syauqi MZ, S.Si

Terbukti bahwa

 + 1! ≥ 2 − . Karena Langkah Dasar dan Langkah Induktif terbukti, maka dapat disimpulkan bahwa ! ≥ 2− untuk setiap  = 1,2, …. +1

1

1

Contoh 1.2 Gunakan induksi matematika untuk membuktikan bahwa 5 1 dapat dibagi 4 untuk setiap  = 1,2, . 1. Akan ditunjukkan bahwa 5 1 habis dibagi 4 untuk n = 1. Jelas sekali bahwa 51 1 = 4 habis dibagi 4. 2. Asumsikan bahwa 5 1 habis dibagi 4 untuk = , yaitu 5 1 habis dibagi 4. Akan ditunjukkan bahwa 5n 1 juga habis dibagi 4 untuk  = + 1, yaitu 5 +1 1 habis dibagi 4.

−

−

−

−

 



…

−   − 5 − 1 = 5. 5 − 1 = 1 + 4. 5 − 1 = 5  + 4.5 − 1 = 5 − 1 + 4.5 Berdasarkan asumsi, 5 − 1  habis dibagi 4. Sedangkan 4.5   juga habis dibagi 4. Dengan demikian 5 − 1 habis dibagi 4. Karena Langkah Dasar dan Langkah Induktif terbukti, maka dapat disimpulkan bahwa 5 − 1 dapat dibagi untuk setiap   = 1,2, …. +1

+1

Beberapa rumus penting dalam Bab ini : n

 i  1  2  3  ...... n 

n( n  1)

2

i 1

n(n  1)(2n  1)

n



i

2

 12  22  32  ...... n 2 

6

i 1

2

 n(n  1)  i  1  2  3  ...... n    2  i 1 3 2 n n(n  1)(6n  9n  n  1) 4 4 4 4 4  i  1  2  3  ...... n  n

3

3

3

3

3

30

i 1

Aturan Sederhana notasi Sigma n

n

 c  nc  ca

i

i 1

3

n

a  b    a  b i

i 1 n

n

n

 c a

i

i 1

i

i

i

i 1

i 1

i 1

n

n

n

a

i

i 1

 b    a  b i

i

i 1

i

i 1

Ahmad Syauqi MZ, S.Si

TELADAN No.

Soal

Pembahasan

 anggota bilangan asli berlaku: 1 1 + 2 + 3 + ⋯ +  =  + 1 2

1

Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk semua

2

Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk semua  anggota bilangan asli berlaku: 1 12 + 22 + 32 + + 2 =  + 1 2  + 1 6

⋯ 

3

Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk semua

4

    

 anggota bilangan asli 5   + 3 − 1 habis dibagi 9. 2

Ahmad Syauqi MZ, S.Si

No.

Soal

Pembahasan

4

Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk semua n bilangan asli

5

Dengan menggunakan induksi matematik, buktikan bahwa 13 + 23 + 33 + … + n3 > adalah benar untuk setiap bilangan asli n. 4 4 3 2 2 3 4 (Diketahui : (a + b)  = a  + 4a b + 6a b  + 4ab  + b )

6

Deret : 1+2+3+ 4+5+ merupakan deret …. A.  bilangan asli B. kuadrat  bilangan asli C. kubik  bilangan asli D.  bilangan balok pertama E.  bilangan segitiga pertama



 

7





 Nilai dari 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + . A. 5250 B. 5150 C. 5050 D. 4950 E. 4850

⋯

5

⋯+

⋯ + 100 =

4 4

 −  dapat dibagi 6. 3

Ahmad Syauqi MZ, S.Si

No.

Soal

8

 Nilai dari 2,5 + 5 + 7,5 + 10 + . A. 10675 B. 12625 C. 15865 D. 17525 E. 20475

9

Hitunglah nilai dari

⋯

⋯ + 250 =

100

3 + 1 = ⋯.

A. 12750 B. 15820 C. 16830 D. 18990 E. 20750

=41

10

 Nilai dari 72 + 82 + 92 + A. 1087 B. 1149 C. 1253 D. 1379 E. 1575

11

Hitunglah nilai dari

⋯ + 9 = ⋯. 2

10

 A. 555 B. 578 C. 592 D. 614 E. 640

12

2

+4

 =1

 − 5 = ⋯.

 Nilai dari 53 + 63 + 73 + 83 +

A. 5660 B. 5876 C. 5984 D. 6004 E. 6028

13

⋯ + 12 = ⋯.

Nilai dari 12

 − 3  = ⋯. 3

A. 3900 B. 3945 C. 3966 D. 4028 E. 4386

6

 =7

2

3

Pembahasan

Ahmad Syauqi MZ, S.Si

LATIHAN 1 NAMA KELAS

: …………………………………. : ………………………………….

No. Soal 1 Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk semua  anggota bilangan asli  berlaku: 1+3+5+7+ + 2 1  = 2



⋯  −  

2



Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk semua  anggota bilangan asli  berlaku: 1 2 13 + 23 + 33 + + 3 =  + 1 2 4

⋯ 

7

  

Ahmad Syauqi MZ, S.Si

No. Soal 3 Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk semua  anggota bilangan asli  berlaku: 1 14 + 24 + 34 + + 4 =  + 1 (6 3 + 9 2 + 1) 30



⋯ 

4

  

 −



Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk semua  anggota bilangan asli  berlaku: 1 1 2 + 3 2 + 52 + 72 + + 2 1 2= 2 1 2  + 1 3

⋯  − 

8

  −   

Ahmad Syauqi MZ, S.Si

No. Soal 5 Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk semua  anggota bilangan asli  berlaku: 1 1 1 1 1 + + +  + +  = 1  3 3  5 5  7 7 9 2 1 2  + 1 2  + 1



∙

6

∙

∙

∙

⋯   −  ∙    



Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk semua  anggota bilangan asli 5 +1 4 5  habis dibagi 16.



9

− − 

Ahmad Syauqi MZ, S.Si

No. Soal 7 Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk semua n bilangan asli dapat dibagi 6.

8

 −

Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk semua n bilangan asli  + 1 3 +  + 2 3  dapat dibagi 9.

   

10

3



3

+

Ahmad Syauqi MZ, S.Si

No. 9

Soal Diketahui c adalah konstanta real dengan c ≥ 1. Dengan induksi matematik, n  buktikan bahwa c ≥ c, untuk setiap bilangan asli n.

10

Misalkan  x ≥ – 1. Gunakan induksi matematik untuk membuktikan bahwa n (1+ x) ≥ 1 + nx, Untuk setiap bilangan asli n.

11

Ahmad Syauqi MZ, S.Si

LATIHAN 2 NAMA KELAS

: …………………………………. : ………………………………….

No. Soal 1  Nilai dari 51 + 52 + 53 + 54 + . A. 7992 B. 8728 C. 9784 D. 10050 E. 10678

⋯

⋯ + 200 =

2

 Nilai dari 3 6 + 3 7 + 3 8 + 3 9 + . A. 3465 B. 3683 C. 4028 D. 4298 E. 4850

3

 Nilai dari 2 + 4 + 6 + 8 + A. 2150 B. 2350 C. 2550 D. 3050 E. 3450

4

Hitunglah nilai dari

⋯

⋯ + 100 = ⋯.

25

  = ⋯.

A. 295 B. 305 C. 315 D. 325 E. 335

5

 =1

Hitunglah nilai dari 10

 5 = ⋯. A. 5 B. 10 C. 15 D. 45 E. 50

12

 =1

⋯ + 90 =

Pembahasan

Ahmad Syauqi MZ, S.Si

No.

6

Soal

Pembahasan

Hitunglah nilai dari 80

5 − 7 = ⋯.

 =21

A. 12890 B. 14730 C. 18650 D. 20160 E. 23950

7

Deret : 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + merupakan deret …. A.  bilangan asli B. kuadrat  bilangan asli C. kubik  bilangan asli D.  bilangan balok pertama E.  bilangan segitiga pertama



 

8





 Nilai dari 12 + 22 + 32 + 42 +

A. 395 B. 385 C. 375 D. 365 E. 355

9

 Nilai dari 152 + 162 + 172 +

A. 1695 B. 1765 C. 1855 D. 1905 E. 2175

10

⋯ + 10 = ⋯.

14

  = ⋯. 2

13

 =8

2

⋯ + 20 = ⋯.

Hitunglah nilai dari

A. 950 B. 875 C. 850 D. 755 E. 660

⋯+ 

2

2

Ahmad Syauqi MZ, S.Si

No.

11

Soal

Pembahasan

Hitunglah nilai dari 10

 A. 555 B. 578 C. 592 D. 614 E. 640

2

+4

 =1

 − 5 = ⋯.

⋯ + 8 = ⋯.

12

 Nilai dari 13 + 23 + 33 + 43 + A. 1274 B. 1278 C. 1284 D. 1286 E. 1296

13

 Nilai dari 3  13 + 3  23 + 3  33 + 3  43 + 3 53 = .

⋯

∙

∙

∙

A. 525 B. 575 C. 625 D. 675 E. 725

14

Hitunglah nilai dari 6

  = ⋯. 3

A. 433 B. 435 C. 437 D. 439 E. 441

15

 =1

Hitunglah nilai dari 10

 2 = ⋯. 3

A. 6050 B. 5978 C. 5750 D. 5700 E. 5650

14

 =4

3

∙

∙

Ahmad Syauqi MZ, S.Si

No.

16

Soal

Pembahasan

Nilai dari 12

2  =5

A. 12.308 B. 12.276 C. 12.214 D. 12.198 E. 12.046

17

2

 ⋯.

+5 =

Nilai dari 5

 +  +  + 3 = ⋯. 3

 =1

A. 350 B. 345 C. 325 D. 310 E. 300

18

2

Nilai dari 12



 − 12 = ⋯.

+4

 =7

A. 5550 B. 5604 C. 5799 D. 5870 E. 5980

19

3

Nilai dari 7

2 − 4 3

 =1

A. 1092 B. 1348 C. 1490 D. 1538 E. 1608

15

2

  ⋯.

+ 2  + 4 =

Ahmad Syauqi MZ, S.Si

No.

20

Soal  Nilai dari 10

 +  +  = ⋯. 3

A. 3465 B. 3455 C. 3445 D. 3435 E. 3425

16

 =1

2

Pembahasan

Ahmad Syauqi MZ, S.Si

Daftar Pustaka

•

Ahmad Syauqi, Bank Soal Matematika Materi Barisan dan Deret

•

Ahmad Syauqi, Bank Soal Matematika Materi Induksi Matematika

•

A.J. Sadler, 1998, Introductory Calculus, Second Edition, National Library of Australia.

•

Bahrudin dkk , 1989, Persiapan Mengahadapi Ebtanas SMA 1989/1990, Bandung : Epsilon Grup.

•

Bob Foster & Herlin,  2005, 1001 Plus Soal dan Pembahasan Matematika SPMB, Edisi 2005, Jakarta : Penerbit Erlangga.

•

Edwin J.Purcell & Dale Varberg, 1998, Kalkulus dan Geometri Analitis (Terjemahan), Edisi Kelima, Jilid 1 & 2, Jakarta : Erlangga.

•

Farida Hanum & Toni Bakhtiar, 2009, Kalkulus (Himpunan Soal Ujian 1994 - 2008), Buku I (Disusun Menurut Ujian), Departemen Matemtika IPB.

•

James Stewart, 1998, Kalkulus (Terjemahan) Jilid 1 & 2, Edisi Keempat, Jakarta : Penerbit Erlangga.

•

Louis Leithold, 1985, Kalkulus dan Ilmu Ukur analitik (Terjemahan), Jilid 1 - 3, Bina Aksara Jakarta.

•

Pesta E. S., dan Cecep Anwar H.F.S, 2008, Matematika Aplikasi Untuk SMA dan MA kelas XII Program IPA, Pusat Perbukuan DEPDIKNAS.

•

ST. Negoro & B. Harahap, 2003, Ensiklopedia Matematika, PT. Ghalia Indonesia.

•

Wilson Simangunsong, 2005, Matematika Dasar, Jakarta : Penerbit Erlangga.

•

Wilson Simangunsong, dan Frederik M. Poyk, 2010, Matematika SMA / MA Kelas XII Program IPS, Gematama

•

Wilson Simangunsong, dan Frederik M. Poyk, 2015, Matematika Wajib Kelas XII SMA / MA Kelas XII, Gematama

17