Modul i Teori Antrian

PRAKTIKUM STOKASTIK  MODUL TEORI ANTRIAN

1.1. 1.1. Tu Tuju juan an Prak Prakti tiku kum m

Dari kegiatan praktikum ini, praktikan diharapkan : 1. Dapat memaham memahamii definisi dan manfaat manfaat dari mempelajari mempelajari teori teori antrian. 2. Dapat membuat membuat system system simulasi simulasi sederhana dengan dengan permasalaha permasalahan n system antrrian yang terjadi dalam studi kasus industry. 3. Dapat Dapat memaha memahami mi konsep konsep dasar teori antrian antrian sederhan sederhanaa khususn khususnya ya pada  permasalahan  permasalahan layanan layanan fasilitas fasilitas tunggal. tunggal.

1.2. 1.2. Land Landas asan an Te Teor orii 1.2. 1.2.1 1

Peng Penger erti tian an Te Teor orii Ant Antri rian an

Teori antrian diciptakan pada tahun 1909 oleh ahli matematika dan insinyur   berkebangsaan  berkebangsaan Denmark Denmark yang bernama bernama A.K Erlang. Erlang. Menurut Menurut P. Siagian Siagian (1987), (1987), suatu antrian adalah suatu garis tunggu dari nasabah (satuan) yang memerlukan layanan dari satu atau lebih pelayanan (fasilitas layanan). Studi matematikal dari kejadian atau gejala garis tunggu ini disebut teori antrian. Kejadian garis tunggu timbul disebabkan oleh kebutuhan akan layanan melebihi kemampuan (kapasitas)  pelayanan  pelayanan atau fasilitas layanan, sehingga sehingga nasabah yang tiba tidak bisa segera mendapat layanan disebabkan kesibukan pelayanan. Dalam Dalam banyak banyak hal, hal, tambah tambahan an fasilitas fasilitas pelayan pelayanan an dapat dapat diberik diberikan an untuk  untuk  mengurangi antrian atau untuk mencegah timbulnya antrian. Akan tetapi, biaya kare karena na memb member erika ikan n pelay pelayan anan an tamba tambaha han, n, akan akan meni menimb mbul ulka kan n pengu penguran ranga gan n keuntungan mungkin sampai di bawah tingkat yang dapat diterima. Sebaliknya, sering timbulnya antrian yang panjang akan mengakibatkan hilangnya langganan atau nasabah.

I–1

I-2

1.2.2

Konsep-konsep Dasar Teori Antrian

Menurut Pangestu, dkk (1989), tujuan dasar model-model antrian adalah untuk meminimumkan total dua biaya, yaitu biaya langsung penyediaan fasilitas  pelayanan dan biaya tidak langsung yang timbul karena para individu harus menunggu untuk dilayani. Sistem antrian sederhana ini mempunyai 2 bagian dasar, yaitu suatu antrian tunggal dan sebuah fasilitas pelayanan tunggal, yang juga disebut sebagai  single channel . Berikut ini merupakan antrian dengan model singgle channel : Sumber Masukan Populasi

Sistem Antrian

Individuindividu

Antri

Fasilitas Pelayanan

Keluar  Individu yang telah dilayani

Gambar 1. Antrian Model Singgle Channel 

Sistem antrian yang memiliki banyak model, secara umum memiliki 6 elemen elemen pokok, yaitu (Pangestu, dkk., 1989) : a. Sumber masukan ( Input ) Sumber masukan dari suatu sistem antrian dapat terdiri atas suatu populasi orang, barang, komponen atau kertas kerja yang datang pada sistem untuk  dilayani.  b. Pola kedatangan Cara individu-individu dari populasi memasuki sistem disebut pola kedatangan (arrival pattern). Individu-individu mungkin datang dengan tingkat kedatangan (arrival rate) yang konstan ataupun acak/random (yaitu beberapa  banyak kedatangan individu-individu per periode waktu). Distribusi probabilitas Poisson adalah salah satu dari pola-pola kedatangan yang paling sering (umum) bila kedatangan-kedatangan didistribusikan secara random. Hal ini terjadi karena distribusi Poisson menggambarkan jumlah kedatangan per unit waktu bila sejumlah besar variabel-variabel random mempengaruhi tingkat kedatangan. Bila pola kedatangan individu-individu mengikuti suatu distribusi Poisson, maka waktu antar kedatangan atau

I-3

interarrival time

(yaitu waktu antara kedatangan setiap individu) adalah

random dan mengikuti suatu distribusi eksponensial (exponential distribution). c. Disiplin antrian/disiplin pelayanan Disiplin antrian menunjukkan pedoman keputusan yang digunakan untuk  menyeleksi individu-individu yang memasuki antrian utnuk dilayani terlebih dahulu (prioritas). Disiplin antrian yang paling umum adalah pedoman  first  come first served  (FCFS), yang pertama kali datang pertama kali dilayani. Tetapi bagaimanapun juga ada beberapa tipe disiplin antrian lainnya yang dapat termasuk dalam model-model matematis antrian. Menurut Siagian (1987), ada 4 bentuk disiplin pelayanan yang biasa digunakan dalam praktek, yaitu: 1.  First come first served (FCFS) atau  first in first out (FIFO), artinya lebih dahulu datang (sampai) lebih dahulu dilayani. Misalnya antri membeli tiket  bioskop. 2.  Last come first served (LCFS) atau last in first out (LIFO), artinya yang tiba terakhir yang lebih dahulu keluar. Misalnya, sistem antrian dalam elevator  (lift ) untuk lantai yang sama. 3. Service in random order (SIRO), artinya panggilan didasarkan pada peluang secara random, tidak soal siapa yang lebih dahulu tiba. 4.  Priority service (PS), artinya prioritas pelayanan diberikan kepada yang mempunyai prioritas lebih tinggi dibandingkan dengan yang mempunyai  prioritas lebih rendah, meskipun yang terakhir ini kemungkinan sudah lebih dahulu tiba dalam garis tunggu. Kejadian seperti ini kemungkinan disebabkan oleh beberapa hal, misalnya seseorang dengan keadaan penyakit lebih berat dibanding dengan orang lain dalam suatu tempat praktek dokter. Mungkin juga, karena kedudukan atau jabatan seseorang menyebabkan dilayani terlebih dahulu atau diberi prioritas lebih tinggi, tidak soal siapa yang terlebih dahulu masuk garis tunggu.

d. Kepanjangan antrian

I-4

Banyak sistem antrian dapat menampung jumlah individu-individu yang relatif besar, tetapi ada beberapa sistem yang mempunyai kapasitas terbatas. Bila kapasitas antrian menjadi faktor pembatas besarnya jumlah individu yang dapat dilayani dalam sistem secara nyata, berarti sistem mempunyai kepanjangan antrian yang terbatas ( finite). e. Tingkat pelayanan Waktu yang digunakan untuk melayani individu-individu dalam suatu sistem disebut waktu pelayanan ( service time). Waktu ini mungkin konstan, tetapi juga sering acak (random). Jika waktu pelayanan konstan, maka waktu yang diperlukan untuk melayani setiap pelanggan sama. Walaupun distribusi Poisson dan distrubusi eksponensial adalah distribusi yang paling sering digunakan untuk menggambarkan tingkat kedatangan dan waktu pelayanan, tidak semua kedatangan dan pelayanan dapat secara tepat digambarkan oleh distribusi tersebut. f.

Keluar (exit ) Sesudah seseorang (individu) telah selesai dilayani, dia keluar (exit  ) dari II-14 sistem.

1.2.3

Model Antrian Dasar

Ada 4 model struktur antrian dasar yang umum terjadi dalam seluruh sistem antrian, (Pangestu, dkk, 1989): 1.

Single channel-single phase Sistem ini adalah yang paling sederhana. Single channel   berarti bahwa

hanya ada satu jalur untuk memasuki sistem pelayanan atau ada satu fasilitas  pelayanan. Single phase menunjukkan bahwa hanya ada satu stasiun pelayanan atau sekumpulan tunggal operasi yang dilaksanakan. Rumus-rumus yang digunakan yaitu: Ls =

λ   µ  − λ 

λ 2 Lq =  µ ( µ  − λ )

Ws =

1

 µ  − λ 

λ  Wq =  µ ( µ  − λ )

P=

λ   µ 

Po = 1 n

Pn =

  λ    λ    1 −     µ       µ        

λ   µ 

I-5

Keterangan : λ

= Rata-rata tingkat kedatangan/jam

µ

= Rata-rata tingkat Pelayanan/jam

Lq

= Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam antrian (unit)

Ls

= Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam sistem (unit)

Wq = Waktu menunggu rata-rata yang diharapkan dalam antrian (Jam) Ws = Waktu menunggu rata-rata yang diharapkan dalam sistem (Jam) P

= Tingkat intensitas fasilitas pelayanan

Pn

= Probabilitas kepastian n pelanggan dalam sistem

Po

= Probabilitas tidak ada pelanggan dalam sistem

Secara umum sistem Single channel-single phase dimodelkan sebagai berikut:

Gambar 2. Struktur Antrian Single Channel-Single Phase

Keterangan : M = Antrian ; 2.

S = Fasilitas Pelayanan ( server )

Single channel-multiphase Istilah multiphase menunjukkan ada dua atau lebih pelayanan yang

dilaksanakan secara berurutan (dalam  phase- phase). Sebagai contoh : lini  produksi massa, pencucian mobil, tukang cat mobil, dan sebagainya. Rumusrumus yang digunakan yaitu: Q −1 2           λ  λ      + (Q − 1)   2 1 − Q        µ     µ      λ         Lq =         µ       λ     λ   Q    1 −  µ     1 −  µ                  

I-6

Q Q +1           λ  λ  1 − (Q + 1)   + Q     µ     µ      λ              L =      Q +1   µ      λ     λ       1 −  µ     1 −  µ                  

  λ     n  1 −       λ       µ         P=    Q +1    µ          λ  1 −        µ      

Keterangan : Q

= Jumlah server 

Berikut ini merupakan gambaran secara umum dari sistem Single channelmultiphase:

Gambar 3. Struktur Antrian Single Channel Multiphase

3.

Multichannel-single phase Sistem Multichannel-single phase terjadi ketika ada dua atau lebih fasilitas

 pelayanan dialiri oleh antrian tunggal, seperti yang ditunjukkan oleh gambar 3. Sebagai contoh model ini adalah pembelian tiket yang dilayani oleh lebih dari satu loket, pelayanan potong rambut oleh beberapa tukang rambut, dan sebagainya. Rumus-rumus yang digunakan yaitu: P=

λ  S  µ 

L =  Lq + 2

Lq =

 λ    λµ        µ     Po ( S  − 1)!( S  µ  − λ ) 2

λ   µ 

W = Wq +

1

 µ   s

 λ         Pw =   µ   

 Po

   λ     −  S  µ          

S ! 1

I-7

1

 λ        S  2   µ     λ        Wq =    µ S ( S !) 1 −     µ  S        Po

Po =

S    λ   n   λ                S =1   µ        +   µ    ∑  n!  λ    n =0   S !  1 −         S  µ   

Berikut ini merupakan gambaran secara umum dari sistem Multichannel-single  phase:

Gambar 3. Struktur Antrian Multichannel-Single Phase

4.

Multichannel-multiphase Sistem  Multichannel-multiphase ditunjukkan oleh gambar 4. Sebagai

contoh, registrasi para mahasiswa di universitas, pelayanan kepada pasien di rumah sakit mulai dari pendaftaran, diagnosa, penyembuhan sampai dengan  pembayaran. Pada umunya, jaringan antrian ini terlalu kompleks untuk dianalisa dengan teori antrian, mungkin simulasi lebih sering digunakan untuk  menganalisa sistem ini.

Gambar 4. Struktur Antrian Multichannel-Multiphase

Selain empat model struktur antrian di atas sering terjadi struktur campuran (mixed arrangements) yang merupakan campuran dari dua atau lebih struktur 

I-8

antrian di atas. Misal, ditoko-toko dengan beberapa pelayan (multichannel ), namun  pembayaran hanya pada seorang kasir ( single channel ).

1.3

Studi Kasus

Pada praktikum kali ini akan dibahas mengenai permasalahan pada system antrian sederhana single channel-single phase. Suatu perusahaan manufaktur yang bergerak dalam bidang produksi air  mineral ingin melakukan evaluasi terhadap system produksi yang dilakukan selama sebulan terakhir. Salah satu bahan evaluasi yang dijadikan prioritas utama adalah terjadinya system antrian dalam salah satu proses produksi yaitu pengisian air ke dalam botol produk. Proses produksi yang dilakukan mempunyai informasi rata-rata kedatangan botol pada mesin  filling  sebesar 140 unit/jam. Mesin  filling  tersebut mempunyai rata-rata tingkat pelayanan adalah 4,75 menit . Berdasarkan  permasalahan tersebut, perusahaan ingin mengetahui jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam antrian (unit) dan sistem (unit), waktu menunggu rata-rata yang diharapkan dalam antrian dan sistem, tingkat intensitas pelayanan, dan peluang tidak adanya pelanggan dalam sistem.

1.3.1

Penyelesaian

Berikut ini merupakan penyelesaian pada permasalahan tersebut. Dalam hal ini 4,75 menit adalah 285 detik. a.

Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam antrian.

λ 2 Lq =  µ ( µ  − λ )  b.

285( 285 − 140)

=

19600 41325

= 0.47 ≈ 1 unit

Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam sistem. Ls =

c.

=

140 2

λ   µ  − λ 

=

140 285 − 140

= 0.96 ≈ 1 unit

Waktu menunggu rata-rata yang diharapkan dalam antrian Wq =

λ   µ ( µ  − λ )

=

140 285( 285 − 140)

= 0.000338  jam ≈ 12,196 detik 

I-9

d.

Waktu menunggu rata-rata yang diharapkan dalam system. Ws =

e.

1 ( µ  − λ )

=

1 ( 285 − 140)

= 0,000689  jam ≈ 24,83 detik 

Tingkat Intensitas Fasilitas Pelayanan P=

λ  140 =  µ  285

= 0,49

Sehingga tingkat intensitas fasilitas pelayanan adalah 49%. f.

Probabilitas tidak terdapat pelanggan dalam system Po = 1 -

λ  140 =1 µ  285

= 0,51 atau 51%

Berikut ini merupakan penyelesaian menggunakan  software Win QSB. Pertama, membuka program Queuing Analysis pada WinQSB. Kemudian memilih  perintah new problem dan melakukan input data seperti pada gambar di bawah ini.

Langkah selanjutnya adalah mengisi data entry seperti pada gambar di  bawah ini sesuai dengan studi kasus.

I - 10

Langkah terakhir adalah melakukan penyelesaian akhir dengan memilih  perintah solve and analyse dilanjutkan dengan solve the performance. Sehingga akan diperoleh output sebagai berikut.

I - 11

1.3.2

Penyelesaian Software QM 

Selain menggunakan software WinQSB, permasalahan sederhana tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan software lainnya adalah QM (Quantitative  Method ) Membuka software QM dengan seperti gambar di bawah ini. Selanjutnya lakukan input huruf sesuai permasalahan yang akan diselesaikan, dalam hal ini pilih Queueing Theory dengan input variable L.

Tampilan selanjutnya meminta user untuk memilih metode antrian yang digunakan, sesuai dengan permasalahannya maka dipilih Standar Single Server.

Proses selanjutnya adalah melakukan input terhadap permasalahan yang diketahui seperti rata-rata kedatangan, dan rata-rata waktu pelayanan.

I - 12

Setelah data diinput, selanjutnya dilakukan proses untuk menghasilkan output   software dengan memilih  Esc dilanjutkan dengan  Run program sehingga akan dihasilkan output software sebagai berikut.

a.

Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam antrian sebesar 0,47

 b.

Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam system sebesar 0,96

c.

Waktu menunggu rata-rata yang diharapkan dalam antrian sebesar 0,003

d.

Waktu menunggu rata-rata yang diharapkan dalam system sebesar 0,006

e.

Tingkat Intensitas Fasilitas Pelayanan sebesar 0,49. Sehingga tingkat intensitas fasilitas pelayanan adalah 49%.

f.

Probabilitas tidak terdapat pelanggan dalam system sebesar 0,51 atau 51%