Modul Geometri

BAB I DEFINISI – DEFINISI DAN PENGGUNAANNYA DIDALAM PEMBUKTIAN Mendifinisikan suatu kata adalah penting, sebab (1) definisi-definisi tersebut dibentuk untuk keperluan manusia dalam kaitannya dengan diskusi, dan (2) setiap definisi yang telah ditetapkan, tidak dapat diubah oleh sembarang salah satu unsurnya yang tidak memperhitungkan yang lain dalam kelompoknya. Sifat-sifat definisi yang harus ada sebagai berikut. (1) Kata yang didefinisikan harus ditempatkan dalam kelasnya; pertama-tama kelas yang menunjukkan kumpulan (koleksi) dan memiliki kesamaan sifat. (2) Perlu menunjukkannya bilamana kata yang didefinisikan tersebut berbeda dari yang lain didalam kelasnya; hal ini dapat dilakukan dengan menambahkan frase (phrase). (3) kata-kata didalam definisi harus sesederhana mungkin, daripada yang didefinisikan. (4) Suatu definisi harus dapat dibalikkan. Menurut jenisnya, definisi terbagi atas definisi demonstratif dan konotatif.. Sedangkan untuk kata yang lebih sederhana, selanjutnya tidak didefinisikan seluruhnya. Kata yang dimaksud seperti kata pertama, istilah primitif, atau unsur dasar istilah, lebih sederhana disebut istilah yang tidak didefinisikan. Pengertian Pangkal (Undefined Terms) Terdapat 5 pengertian pangkal dalam geometri sebagai dasar untuk mendefinisikan semua geometri lainnya dalam geometri Euclid, yaitu: (1) Titik (Point) (2) Garis (Line) (3) Terletak pada (Lie on); misalnya dua titik terletak pada sebuah garis (4) Diantara (Between); misalnya C diantara titik-titik A dan B (5) Kongruen (Congruent)

1

Istilah titik

tidak didefinisikan.

Meskipun kita tidak mungkin untuk

mendefinisikan, tetapi dapat dicoba untuk membuat arti atau penjelasannya. Hal ini dapat dikerjakan dengan mendaftar beberapa sifat atau ciri-cirinya dengan tanpa melakukan klasifikasi. Suatu kata yang tidak dapat didefinisikan, kata tersebut dapat dijelaskan. Perbedaan menjelaskan (deskripsi) dengan mendefinisikan, dapat diterangkan sebagai berikut. (1) Bila suatu kata tersebut didefinisikan, berarti mengklasifikasikan. (2) Bila suatu kata tersebut dijelaskan, sifat-sifat kata

itu diketahui tanpa

mengklasifikasikan. Beberapa ide tentang sifat-sifat titik yang dipilih, dicoba untuk menggambarkan titik dengan suatu ujung jarum. Hasilnya kita dapatkan bahwa: titik tidak mempunyai panjang atau lebar tetapi menunjukkan letak. Istilah garis tidak didefinisikan. Sifat-sifat garis dapat disebutkan sebagai: garis tidak mempunyai lebar tetapi dapat diperpanjang sejauh yang dikehendaki pada kedua ujungnya. Istilah himpunan (set) tidak didefinisikan. Namun jika dicoba untuk menjelaskan, artinya antara lain sebagai berikut: himpunan adalah sesuatu yang diartikan (well defied) sebagai kumpulan (collection). Penekanan kata diartikan (well defied), menerangkan sebagai berikut. (1) Jika unsur-unsur himpunan tersebut diketahui, kita dapat menerangkan bagaimana mendapatkannya. (2) Dengan diketahui unsur – unsur himpunan tersebut, dapat didaftar anggotaanggotanya. Istilah diantaranya (betweenness) tidak didefinisikan.

Hal ini dapat

digambarkan sebagai berikut.

A

B

C

Pada garis ini, B diantara A dan C. Urutan tidak menjadikan masalah; misalkan dapat diurutkan sebagai A,B,C atau C,B,A. Jika ketiga titik tersebut tidak segaris, B tidak dapat dikatakan diantara A dan C. Secara umum, jika tiga titik pada garis, maka ada satu dan hanya satu dari urutan dibawah ini benar.

2

A,B,C

A,C,B

B,A,C

Setiap struktur geometri memiliki pembatasan-pembatasan. Misalnya dalam geometri Euclid “setiap dua titik yang berbeda dapat dilukis satu dan hanya satu garis”; sehingga dalam geometri Euclid tidak bisa diterima bahwa melalui dua titik dapat dilukis dua buah garis, sebagaimana Gambar 1.1 berikut ini.

P

Q

Gambar 1.1

Empat Postulat Pertama Euclid’s Postulat Euclid-1. Untuk setiap titik P dan setiap titik Q yang tidak sama P  Q  terdapat secara unik sebuah garis yang melalui P dan Q. Secara informal postulat ini dapat dinyatakan dengan “dua buah titik menentukan secara unik sebuah garis”. Selanjutnya garis yang melalui titik-titik P dan Q dinotasikan dengan PQ . Untuk memulai postulat kedua, dapat dibuat definisi pertama Definisi 1. Diberikan dua buah titik, yaitu A dan B. Segmen AB adalah himpunan titik A, titik B, dan titik-titik yang terletak pada garis AB dan diantara A dan B (Gambar 1.2). Titik A dan titik B dikatakan titik-titik akhir (endpoints) dari segmen AB. Selanjutnya notasi AB digunakan untuk “segmen AB”. Segmen AB A

C

B

A

C

B

Garis AB

Gambar 1.2 Postulat Euclid-2. Untuk setiap segmen AB dan untuk setiap segmen CD terdapat secara unik titik E sehingga B diantara A dan E, dan segmen CD kongruen dengan segmen BE (Gambar 1.3).

3

A

C

D

B

E

Gambar 1.3 CD  BE Postulat ini kadang-kadang secara informal dapat dikatakah bahwa: “Sembarang segmen AB dapat diperluas oleh sebuah segmen BE yang kongruen dengan segmen CD yang diberikan”. Dalam postulat ini telah digunakan pengertian pangkal tentang “kongruen”. Selanjutnya notasi CD  BE digunakan untuk mengungkapkan CD kongruen dengan BE. Untuk melanjutkan ke postulat 3, diawali dulu mengenalkan definisi yang lain sebagai berikut. Definisi 2. Diberikan dua titik O dan A. Himpunan dari semua titik P sehingga segmen OP kongruen dengan segmen OA disebut lingkaran dengan O sebagai pusat, dan setiap segmen OP disebut dengan jari-jari lingkaran. Diduga bahwa pada pembicaraan sebelumnya disebutkan bahwa OA  OA , sehingga A adalah juga titik yang tepat pada lingkaran yang terdefinisi. Postulat Euclid-3. Untuk setiap titik O dan setiap titik A (O  A) , terdapat sebuah lingkaran dengan pusat O dan jari-jari OA (Gambar 1.4). P

O A

Gambar 1.4 Lingkaran dengan pusat O dan jari-jari OA

Definisi 3. Sinar AB adalah himpunan titik pada garis AB : titik-titik yang dimiliki segmen AB dan semua titik C pada garis AB sehingga B diantara A dan C. Sinar AB

4

dikatakan memancar dari titik vertek A(emanate from the vertek A) yang merupakan bagian dari garis AB (Gambar 1.5).

C B A

Gambar 1.5 Sinar AB

Definisi 4. Sinar AB dan AC bertolak belakang jika keduanya sinar berbeda, memancar dari titik A yang sama, dan keduanya bagian dari garis yang sama AB  AC (Gambar 1.6). B

A

C

Gambar 1.6 Sinar Berlawanan Definisi 4. Sebuah sudut dengan vertek A adalah sebuah titik A dengan dua sinar berbeda dan tidak berlawanan yakni AB dan AC (sisi dari sudut) yang memancar dari A (Gambar 1.7). B A

C

Gambar 1.7 Sudut dengan vertek A Untuk sudut di atas, dinotasikan dengan A, BAC, atau CAB.

5

Definisi 5. Jika BAD dan CAD memiliki sisi bersama yakni sinar AD dan sisi-sisi lainnya AB dan AC merupakan dua sinar berlawanan, maka sudut yang satu suplemen dari sudut lainnya, atau dua sudut yang saling bersuplemen (Gambar 1.8).

D B

C

A

Gambar 1.8 Sudut saling bersuplemen Definisi 6. Sebuah sudut BAD adalah sudut siku-siku jika memiliki sebuah sudut yang bersuplemen yang kongruen (Gambar 1.9).

D

B

A

C

Gambar 1.9 Sudut siku-siku BAD  CAD Postulat Euclid-4. Untuk semua sudut siku-siku kongruen satu sama lain.

Soal-soal 1. Dari definisi-definisi berikut, manakah yang merupakan definisi yang tidak lengkap ?. a. Bangku ialah sesuatu yang digunakan untuk landasan menulis. b. Buku sejarah adalah buku yang berisi sejarah. c. Jika persegi panjang merupakan bujur sangkar, maka keempat sisinya sama. 2. Tulislah definisi no. 1 tersebut, sehingga memenuhi sifat definisi. 3. Definisikan istilsh-istilah berikut : a. sepatu lari.

b. biografi.

c. kertas tulis.

4. Apakah mungkin dalam anda mempelajari geomerti akan mendefinisikan istilah primitif ?

6

5.

A 5 1

2 2 4

B

4

3 C

D

a. Namakan suatu garis pada 1, dengan 2 cara berbeda. b. Namakan suatu garis pada 3, dengan 2 cara berbeda c. Namakan suatu garis pada 4, dengan 6 cara berbeda d. Namakan suatu garis pada 5, dengan 6 cara berbeda e. Namakan suatu garis pada 1, dengan 2 cara berbeda f. Namakan suatu garis pada 2, dengan 2 cara berbeda A 2

6. 3 B

1

D

C

a. Namakan suatu sudut pada 1 , dengan 2 cara berbeda . b. Namakan suatu sudut pada 2 , dengan 2 cara berbeda c.

Namakan suatu sudut pada 3 , dengan 4 cara berbeda

d. Namakan suatu sudut dengan sisi-sisi AB dan AC . e. Namakan suatu sudut dengan sisi-sisi CB dan CA . f.

Namakan dua sisi pada