MODUL BARISAN DAN DERET.pdf

Jelas U1 = a = 20, dan beda ( b ) = -2 ( dapat dicari Ringkasan Materi :

dengan U 2 – U1 atau U3 - U2 )

1. Barisan dan Deret Aritmetika

Suku ke-7 = U 7 = a + ( 7  – 1) . b



Definisi Barisan Aritmetika :

= 20 + 6.(-2)

Definisi I :

= 20 – 12

Barisan Aritmetika adalah susunan bilangan yang

=8

kenaikan suku berurutannya ditambah ( atau dikurangi )

Jumlah 7 suku pertama = S 7

dengan bilangan yang tetap/ sama

Cara I : S 7 =

1 2

.7.(2a  (7  1).b)

=

1 2

.7(2.20  6.(2))

Bilangan yang tetap/ sama itu disebut dengan beda ( b ) Definisi II :

=

Barisan Aritmetika adalah susunan bilangan yang

1 2

memenuhi sifat setengah dari jumlah suku pertama dan

.7.(40  12)  12 .7.28  7.14  98

terakhir sama dengan suku tengahnya. rumus suku ke-n barisan aritmetika

Cara II : S7 =

1 2

.7.(a  U 7 )

=

1 2

.7.(20  8)

=

1 2

.7.28

Un = a + ( n  – 1 ) .b

Dan b = U n – Un-1, dengan U n-1 adalah suku sebelum suku ke-n Utengah = Ut =

U 1

= 7. 14

 U n

= 98

2 

2. Barisan dan Deret Geometri

Rumus suku ke-n : Un = a + ( n  – 1 ) .b, dengan a= suku



pertama, b = beda, dan n adalah urutan suku 

Definisi Barisan Geometri :

Definisi Deret Aritmetika :

Barisan Geometri adalah susunan bilangan yang

Deret Aritmetika adalah penjumlahan dari suku  – suku

kenaikan suku berurutannya dikalikan ( atau dibagi )

pada barisan aritmetika.

dengan sesuatu/ bilangan yang tetap/ sama.

U1 + U2 + U3 + ... + U n

Bilangan yang tetap/ sama itu disebut dengan rasio ( r

Selanjutnya U 1 + U2 + U3 + ... + U n ditulis dengan S n

)

(

dari kata Sum n, yang berarti jumlah n suku pertama ) 

Rumus Jumlah n suku pertama deret aritmetika ( S n ) Sn =

  m   o   c  .    t   o   p   s   g   o    l    b  .    k   c    i   r    t   a   m   e    t   a   m    /    /   :   p    t    t    h

Sn = 

r=

2a  (n  1).b

n

2 1 2



n a  U n

=

1 2

n

U 2

... 

U n

 dengan

U n 1

n-1

Rumus suku ke-n barisan geometri : Un = a.r



Rumus suku tengah pada barisan geometri ( dengan syarat banyaknya suku ganjl ) : U t =



Un = Sn – Sn-1

U 1 .U n

Definisi Deret Geometri : penjumlahan suku  – suku pada barisan geometri

Dengan Sn-1 = jumlah suku pertama sampai dengan suku sebelum n 

U 1





Hubungan U n , dan Sn ( juga berlaku untuk barisan/ deret geometri )

U 3



Un-1 adalah suku sebelum suku ke-n

2a  (n  1)b  atau



U 2

U1 + U2 + U3 + ... + U n = Sn 

Rumus Jumlah n suku pertama deret Geometri ( S n )

Contoh :

n

Sn =

Diketahui sebuah barisan 20, 18, 16, 14, ... Tentukanlah : a. beda

Sn =

c. jumlah 7 suku pertama 

)

n



1  r  n

b. suku ke-7

Penyelesaian :

U 1 (1  r 

U 1 (r 



r   1

a(1  r 

)

1  r  1)

n



a(r 



r   1

1)

, untuk r < 1 atau

, untuk r > 1

Hubungan U n , dan Sn : Un = Sn – Sn-1

 Deret geometri tak hingga ( dalam arti n menuju ∞ ),

Jelas U1= a = 5 dan U 7 = a + (7-1). b = 23, maka

dituliskan dengan :



U1 + U2 + U3 + ... = S ∞ ( baca : jumlah tak hingga suku



derat geometri )



6b = 23 – 5



6b = 18



b=3

Rumus tak hingga deret geometri : S∞ =



a + 6b = 23

U 1

a 

1  r 

1  r 

Sehingga suku ketiga belas = U 13 = a + 12b = 5 + 12.3= 5+36=41

Contoh : Diketahui barisan geometri 9, 3, 1,

1 3

Jadi jawabanya B.

, ....

Tentukan : rasio, suku ke-7, jumlah 5 suku pertama, dan

2.

Penyelesaian :

Jelas yang ditanya : r, U 7 , S5 , dan S∞ 1 3

dan jelas bahwa r =

 )

1 3

= 9. (

 )

coba saja a diganti 12 dan b diganti -4 ( dan tepat ) / Anda

1

2

3

6

dapat pula mencari a dan b dengan cara eliminasi  – subtitusi. Ditanya : S7

 )

36

=3 .

e. 168

U6 = -8 berarti a + 5b = -8, selanjutnya kita cari a dan b,

6

1

= 9. (

b.  –8

Jelas U2 = 8 berarti a + b = 8, dan

7-1

 )

d. 12

Penyelesaian : U 1

1 3

a.  –12

c. 0

 ( dapat dicari dengan 3 dibagi 9 / U 2

U7 = 9.(

Suku ke-2 suatu deret aritmetika adalah 8 dan suku ke-6 adalah –8. Jumlah tujuh suku pertama adalah …

 jumlah tak hingga suku tersebut

Jelas S7 = =

1 3



4

1

S5 =

9(1  ( 13 ) 5 ) 1  13



9(1 

=

=

=

=

S∞ =

9 1

1  3



9 2 3

1 2



1 24 3

)

3 1  3 3 3 9( 24  24 3

.7(2.12 + (7-1).(-4))

=

1 2

=

1 2

.7(24-24)

=

1 2

.7.0

81

( Catatan : Anda dapat menempuh cara lain )

  m   o   c  .    t   o   p   s   g   o    l    b  .    k   c    i   r    t   a   m   e    t   a   m    /    /   :   p    t    t    h

.7(24+6.(-4))

3.

1 24 3

)

2 9.( 24 ) 24 3 2 3

a.

1536

d. 14267

b.

3072

e. 88572

c.

6144

2 3

Penyelesaian :

242 3 . 27 2



3

27

9.

2



121 9

2





13 49

Jelas diketahui U 2 = 9, berarti a. r = 9 , dan 4

U5 = 243, berarti a.r = 243, maka 4

a.r 

13 12

41

e. 44

c.

42

Penyelesaian :



a.r 



243 9

3

r 

= 27 = 3, maka a = 3 ( sebab a. r = 9 )

Ditanya : S 10

adalah ........

b.

2a  (n  1)b 

24 2 27

dan suku ketujuh 23. Suku ketiga belas dalam deret itu

d. 43

n

adalah 243. Jumlah sepuluh suku pertama adalah ....

2 3

Diketahui deret aritmatika dengan suku pertama adalah 5

40

1 2

Sn =

Suku kedua barisan geometri adalah 9 dan suku kelima

 r 

a.

Ingat !

= 0 . Jadi jawabannya C.

Contoh Soal :

1.

 5 + 6b = 23

Jelas S10 =

3.(310



1)

3 1 =

3.(35



1).(35 2



1)

=

=

3.

3.(243  1).(243  1) 2

Suku pertama barisan geometri = 54 dan suku kelima adalah

3.242.244 2

= 3. 242.122

a. 6 9

= 88572 ( jawaban E )

b.

2

5

5 2

2

10

c.

( ii ). (3  – 1).(3 +1) = ( (3 )  – 1  ) = 3 -1

4.

Jumlah sampai tak hingga deret 3 + 1 +

a. b.

c.

6 2

7 2

. Suku ketujuh barisan tersebut adalah ....

d.

1 3

+ ... adalah ....

4 27

4

e.

2 27

6 27

4.

Suatu deret geometri suku pertama dan suku ke empat berturut-turut adalah 5 dan 40. Suku ketujuh deret

11

d.

3

9

2

Catatan : ( i ). ( a – b ) . ( a + b ) = a  – b 5

2

tersebut adalah ....

2 13

a. 64

d. 320

2

b. 80

e. 640

e.

c. 120

9 2

Penyelesaian :

5.

Seorang ayah akan membagikan 78 ekor sapi kepada

Jelas yang ditanyakan adalah S ∞ , maka yang perlu ditentukan

keenam anaknya yang banyaknya setiap bagian

terlebih dahulu adalah mencari a dan r .

mengikuti barisan aritmetika. Anak termuda mendapat

Dan jelas :

bagian paling sedikit, yaitu 3 ekor dan anak tertua

a = 3 ( suku pertama )

mendapat bagian terbanyak. Anak ketiga mendapat

r=

1 3

 ( dari

U 2

atau

U 1

Sehingga S∞ =

U 3

bagian sebanyak …. (UN 2011)

 )

U 2

a

1  r 

=

3 1  13

=

3 2 3



3.

3



2

9

( jawabannya C )

2

a.

11 ekor

d. 18 ekor

b.

15 ekor

e. 19 ekor

c.

16 ekor

Paket Soal 16 :

6.

Suku ketiga dan suku k eenam barisan geometri berturutturut adalah 18 dan 486. Suku kedelapan barisan

Kelompok menentukan U n

tersebut adalah …. ( UN 2011 )

1.

  m   o   c  .    t   o   p   s   g   o    l    b  .    k   c    i   r    t   a   m   e    t   a   m    /    /   :   p    t    t    h

Diketahui barisan aritmatika dengan suku kedua 8 dan

a.

4.374

d. 1.458

suku kesepuluh 24, suku keduapuluh lima barisan

b.

3.768

e. 1.384

aritmatika tersebut adalah....

c.

2.916

a.

48

d. 54

b.

50

e. 56

c.

52

22 dan suku ke-12 adalah 57. Suku ke-15 barisan ini

d.

54

adalah….

7.

Dari suatu barisan aritmetika diketahui suku ke-5 adalah

( UN 2011 ) 2.

a.

Suatu deret geometri suku pertama dan suku ke empat

62

b. 68

c. 72

d. 74

e. 76

berturut-turut adalah 3 dan 24. Suku ketujuh deret Kelompok Menentukan S n

tersebut adalah .... a.

64

d. 192

b.

80

e. 320

c.

120

8.

Diketahui suku pertama suatu deret aritmetika adalah 2 dan suku

ke-10 adalah 38. Jumlah 20 suku pertama

deret tersebut adalah .... a.

400

b. 460

c.

800

c.

1775

d. 920 e. 1600

15. Diketahui deret aritmetika dengan suku ke-3 adalah 3 dan suku ke-8 adalah 23. Jumlah 20 suku pertama deret

9.

Suku lelima dan suku kedua belas suatu barisan aritmetika

tersebut adalah .... ( UN 2010 )

berturut – turut adalh 42 dan 63. Jumlah dua puluh suku

a.

656

d. 668

pertama barisan tersebut adalah ....

b.

660

e. 672

a. 870

d. 1.170

c.

664

b. 900

e. 1.200

c. 970

16. Suku ketiga dan suku k eenam suatu deret geometri

10. Diketahui suku pertama suatu barisan geometri adalah 3

berturut – turut adalah  – 12 dan 96. Jumlah tujuh suku

dan suku ke-4 adalah 24. Jumlah tujuh suku pertama

pertama deret tersebut adalah.... ( UN 2010 )

barisan tersebut adalah ....

a.  – 192

d. 129 e. 192

a. 182

d. 381

b.  – 129

b. 189

e. 384

c.  – 127

c. 192 11. Seorang petani mencatat hasil panennya selama 100 hari.

17. Suku kedua deret geometri dengan rasio positif adalah

Jika hasil panen hari pertama 12 kg dan mengalami

10 dan suku keenam adalah 160. Jumlah 10 suku

kenaikan 3 kg setiap 10 hari. Banyak seluruh hasil panen

pertama deret tersebut adalah .... ( UN 2011 )

setelah 100 hari adalah ... kg.

a.

5.215

d. 5.120 e. 5.115

a.

245

d. 260

b.

5.210

b.

250

e. 265

c.

5.205

c.

255 Kelompok Menentukan S ∞

12. Suatu pabrik sepatu dapat menghasilkan 5000 buah sepatu pada awal bulan. Pada bulan berikutnya ditingkatkan menjadi 5050 buah. Bila peningkatan produksi setiap

18. Jumlah deret geometri tak hingga 1 +

a. 5550 b. 60000

a.

c.

  m   o   c  .    t   o   p   s   g   o    l    b  .    k   c    i   r    t   a   m   e    t   a   m    /    /   :   p    t    t    h

d. 63300 e. 63000

b.

60600 c.

13. Suku pertama barisan geometri adalah 3 dan suku kelima

3

384

d. 3069

b.

768

e. 6144

c.

1536

14. Seorang petani jeruk berhasil memetik buah jeruk setiap harinya sesuai rumus deret Aritmetika dimana n menunjukkan hari , Un banyaknya jeruk yang dipetik setiap harinya dan

Un = 50 + 25n. Banyak jeruk yang berhasil

dipetik selama sepuluh hari adalah ….

d.

2 4

e.

3

1 9



1



27

...

2 3 1 3

3 4

19. Rumus suku ke-n barisan geometri tak hingga turun

adalah 48. Jumlah sepuluh suku pertama adalah .... a.

3



adalah ....

bulanya tetap makan jumlah produksi pabrik tersebut dala setahun adalah ....buah

1

adalah

1 3

n

, maka jumlah deret geometri tak hingga

tersebut adalah .... a.

3

d.

1 2

b.

2

e.

3 4

c.

1

20. Jumlah deret geometri tak hingga 8 + 4 + 2 + 1 +... adalah .... a. 15

d. 24 e. 32

a.

1525

d. 1875

b. 16

b.

1625

e. 1925

c.

8

21. Jumlah tak hingga deret geometri : 64 + 8 + 1 + adalah …. ( UN 2010 )

  m   o   c  .    t   o   p   s   g   o    l    b  .    k   c    i   r    t   a   m   e    t   a   m    /    /   :   p    t    t    h

a.

74

b.

74

c.

74

1 7 1 8

d.

73

e.

73

1 7 1 8

1 8

+…