Modul 4 Tempat Kedudukan Akar

Tujuan Instruksional Umum (TIU) Setelah mengikuti mata kuliah ini mahasiswa dapat : 1. Menentukan tempat kedudukan akar dari sebuah sistem kendali. 2. Melakukan analisis dengan menggunakan methoda TKA

Tujuan Instruksional Khusus (TIK) Setelah mengikuti mata kuliah ini mahasiswa dapat 1. Mengtahui cara menggambar TKA baik secara manual maupun dengan program/sofware 2. Menentukan batas akhir gain yang diperkenankan agar sistem tetap dalam keadaan stabil. 3. Membaca gambar TKA untuk memperoleh informasi tentang  performasi sistem

Pendahuluan Karakteristik

dasar respon transien suatu sistem lup tertutup ditentukan oleh lup-lup tertutup.

Teknik

klasik dgn penguraian polinomial atas faktor2nya sulit dilakukan (terutama u/ n>3)

Solusi Methoda MTKA adalah

tempat kedudukan akar (MTKA).

: suatu methoda grafis sederhana untuk  menentukan akar-akar dengan menggambar pada  bidang kompleks semua harga parameter sistem (penguatan, K untuk harga K dari 0 s/d tak hingga)

MTKA 

Ide dasar  harga s yang membuat fungsi alih lup terbuka = -1 harus memenuhi persamaan karakteriktik sistem

MTKA berguna krn dapat dap at menunjukkan cara memodifukasi pole dan zero lup terbuka sehingga respon memenuhi spesifikasi  performasi sistem



Variasi pole-pole sistem lup tertutup (1)

Fungsi alih lup tertutup : C ( s)  R( s )



G ( s) 1   K . B( s) /  A( s )

Persamaan karakteristik  1 + K .G( s) H ( s) = 0 atau G( s) H ( s) = -1

Variasi pole-pole sistem lup tertutup (2) Fungsi alih lup terbuka G( s) H ( s) bisa dinyatakan dgn : G( s) H ( s) 

dimana

 K (b0 s m  b1 s m1  .... bm1 s  bm a0 s  a1 s n

n 1

 .... an1 s  an



 B( s)  A( s)

 B( s) dan A( s)  polinom variabel kompleks m 0 :

Titik-titik TKA terletak disebelah kiri jumlah GANJIL dari  banyaknya kutub dan nol Untuk

K 0

4.

Menentukan titik pisah

Titik pisah adalah sebuah titik pada sumbu nyata dimana dua cabang atau lebih TKA keluar dari sumbu nyata atau tiba disumbu nyata

Titik pisah σ b ditentukan sbb :

n

1

i 1

( b   pi )



m

1

i 1

( b  z i )



Contoh Tentukan titik pisah dari G ( s) H ( s) 

 Jawab :

n

1

i 1

( b  pi )





1 ( b  0)

 K   s( s  1)( s  2)

0 

1 ( b  1)



1 ( b  2)

0

 ( b  1)( b  2)   b ( b  2)   b ( b  1)  0  3 b2  6 b  2  0   b  0.423,1.577



Untuk K > 0  ada cabang-cabang TKA antara 0 dan -1 dan antara - dan -2. Karena itu akar di -0.423 merupakan titik pisah = 1,577 adalah titimpisah untuk K < 0

5. Menentukan sudut keluar dan sudut masuk

# SUDUT KELUAR  Sudut keluar suatu TKA dari sebuah pole kompleks adalah : 

   180  G ( s ) H ( s )' dimana : G( s) H (s)'  sudut phase dari G(s)H(s) yang dihitung

dari pole kompleks tersebut.

Contoh : 

Selidiki sebuah sistem yang mempunyai fugsi alih lup terbuka :  K ( s  2) G ( s) H ( s )  , K   0 ( s  1   j )( s  1  J )



Sudut G(s)H(s) untuk s = -1+j1 dengan mengabaikan sumbangan pole di s = -1 + j tersebut adalah -45. maka sudut keluarnya adalah : 





   180  (45 )  135

# SUDUT MASUK  Sudut masuk u/ TKA ke sebuah zero kompleks adalah : 

  A  180  G ( s) H ( s)' ' dimana

G( s) H ( s)' '

adalah sudut phase dari G(s)H(s) yang dihitung di zero kompleks tsb dengan mengabaikan efek dari nol itu

Contoh : 

Selidiki fungsi alih lup terbuka : G ( s) H ( s) 



 K ( s  2) ( s  1   j )( s  1   J )

, K   0

Sudut masuk untuk TKA ke zero kompleks di s = j adalah : 





  A  180  (45 )  225

a). Sudut keluar

b). Sudut masuk

Prosedur umum tempat kedudukan akar (TKA)  Tentukan

persamaan karakteristik  Tentukan titik awal dan titik akhir dari TKA dan tentukan juga banyaknya cabang TKA.  Tentukan bagian-bagian TKA pada sumbu nyata.  Hitung pusat dan sudut-sudut asimtot dan gambar asimtot pada gambar TKA   Tentukan titik ‘luncur’ dan ‘mulai’  Tentukan

sudut keluar dan sudut masuk di pole-pole kompleks dan zero kompleks (jika ada) dan berikan tandanya)  Tentukan titk potong TKA dengan sumbu imajiner  Buat sketsa dari cabang-cabang TKA sedemikian hingga TKA  tsb berakhir di sebuah zero atau mendekati tak hingga disepanjang salah satu asimtot tsb.

#Contoh : 

Tentukan TKA untuk semua harga K dari sistem lup tertutup yang mempunyai fungsi alih lup terbuka sbb :

G ( s) H ( s ) 

 K   s ( s  2)( s  4)

Penyelesaian 

# Dari penyebut fungsi alih dapat diketahui kutub-kutub  pada titik 0, -2 dan -4



# Untuk K > 0, TKA terletak diantara 0 dan -2 dan diantara -4 dan – tak hingga pada sumbu nyata



# Pusat asimtot = -(2+4)/3 = -2, banyaknya asimtot n-m = 3, Sudut asimtot = 60, 180, 300.



# Karena dua cabang TKA datang bersama-sama di sumbu nyata antara 0 dan -2, ada sebuah titik pisah diantara 0 dan -2.





Jadi TKA dapat dilukiskan dengan memperkirakan titik   pisah dan melanjutkan cabang-cabang ke asimtotnya.

# Titik pisah, 1

n

 i 1

( b   pi )



1 ( b  0)

0 

1 ( b  1)



1 ( b  2)

2 b

 3   12 b  8  0   b  0.845, dan  3.155

0

# TKA untuk K > 0



# TKA K < 0 disusun dengan cara yang hampir  sama, dimana bagian-bagian sumbu nyata antara 0 dan tak hingga dan antara -2 dan -4.



# Titik pisah di - 3,155



# Sudut asismtot 0, 120 dan 240



# TKA untuk K < 0

PENEMPATAN AKAR r 

u

e 



 K 

 H ( s)

 y

Kutub dari sistem kalang tertutup adalah nilai dari s yaitu 1 + KH(s) = 0. H(s) = b(s)/a(s), maka persamaan ini mempunyai bentuk: a(s) + Kb(s) = 0 (a(s)/K) + b(s) = 0  Aturan menggambar penempatan akar

Evans (setelah Walter R. Evans memperkenalkannya untuk pertama kali pada tahun 1948),



MENGGAMBAR DIAGRAM PENEMPATAN AKAR DENGAN MATLAB  H ( s) 

Y ( s) U ( s)



 s  7  s( s  5)( s  15)( s  20)

num=[1 7]; den=conv(conv([1 0],[1 5]),conv([1 15],[1 20])); rlocus(num,den) axis([-22 3 -15 15]) zeta=0.7;Wn=1.8;sgrid(zeta, Wn) grid on 15 15

10

letak kutub agar sist em sesuai dengan kriter ia yang diinginkan

10

5 5

  s    i   x    A   g 0   a   m    I

  s    i   x    A   g 0   a   m    I

-5

-5

-10 -10

-15 -20

-15 -20

-15

-10 Real Axis

-5

0

-15

-10 Real Axis

-5

0