Modul 2 Teknik Pantai

Bahan Kuliah Teknik Pantai

Alwafi Pujiraharjo - 2009

BAB II TEORI GELOMBANG Bentuk gelombang di laut adalah sangat kompleks dan sulit digambarkan secara matematis. Hal ini disebabkan karena gelombang di laut bersifat acak, tidak linier, dan tiga-dimensi. Beberapa teori mencoba mendekati fenomena gelombang dengan beberapa penyederhanaan. Sehingga teori-teori gelombang yang dikemukakan mempunyai batasan-batasan keberlakuannya. Bab ini mencoba menguraikan beberapa teori gelombang yang sering dipelajari dan digunakan untuk berbagai keperluan praktis.

2.1. Teori Gelombang Linier Teori gelombang yang paling sederhana, adalah teori gelombang linier atau teori gelombang amplitudo kecil yang pertama kali dikemukakan oleh Airy tahun 1845. Teori gelombang linier mengasumsikan gelombang mempunyai bentuk sinusoidal. Anggapan/asumsi yang digunakan dalam teori gelombang linier antara lain: 1. Air adalah homogen dan tak mampu mampat (incompressible) sehingga ρ = konstan dan persamaan kontinuitas menjadi :

∂u ∂w + =0 ∂x ∂z

2. Tegangan permukaan dan gaya coriolis diabaikan. 3. Tekanan permukaan adalah seragam dan konstan. 4. Air adalah fluida ideal (inviscid) sehingga berlaku aliran irrotasional, maka bisa dimisalkan potensial kecepatan (φ) dimana u=−

∂φ ∂φ dan w = − ∂x ∂z




∂ 2φ ∂ 2φ + =0 ∂x 2 ∂z 2

(persamaan Laplace)

5. Dasar perairan adalah horisontal, diam, dan impermeable sehingga kecepatan vertikal di dasar adalah nol. 6. Amplitudo gelombang adalah kecil dibandingkan dengan panjang gelombang dan kedalamannya.

2. Teori Gelombang

II - 1

Bahan Kuliah Teknik Pantai

7. Gerakan

gelombang

Alwafi Pujiraharjo - 2009

berbentuk

silinder

yang

tegak

lurus

arah

perambatannya sehingga dianggap gelombang adalah dua-dimensi.

2.1.1. Definisi Gelombang Sketsa terminologi gelombang dalam sistem koordinat x - z disajikan pada Gambar 2.1 berikut. z L C H

0

η

SWL x w u

d

ε

d+z

ξ

Gambar 2. 1. Sketsa gelombang

Notasi-notasi penting yang digunakan adalah: d

= kedalaman air rerata

a

= amplitudo gelombang

H

= tinggi gelombang = 2a

η(x,t) =

elevasi muka air diukur dari SWL (Still Water Level /muka air diam)

L

=

panjang gelombang, yaitu jarak antara dua puncak gelombang yang berurutan

T

= periode gelombang, yaitu interval waktu yang diperlukan partikel untuk kembali ke kedudukan semula

C

= Cepat rambat gelombang (= L/T)

ω

= frekuensi gelombang (= 2π/T)

k

= angka gelombang (= 2π/L)

2. Teori Gelombang

II - 2

Bahan Kuliah Teknik Pantai

Alwafi Pujiraharjo - 2009

u

= kecepatan partikel arah horisontal

w

= kecepatan partikel arah vertikal

2.1.2. Persamaan Pengatur Persamaan pengatur teori gelombang linier adalah persamaan Laplace untuk aliran irrotasional: ∂ 2φ ∂x 2

+

∂ 2φ ∂z 2

=0

(2.1)

φ adalah potensial kecepatan dimana : u=−

∂φ ∂x

dan

w=−

∂φ ∂z

(2.2)

Agar penyelesaian persamaan tersebut bersifat khusus, digunakan kondisikondisi batas antara lain: a. Kondisi Batas Dinamik di Permukaan (z = η) (Dynamic Free Surface Boundary Condition (DFSBC) Kondisi batas untuk permukaan air memenuhi persamaan Bernoulli untuk “irrotational flow”:

−

∂φ 1 2 p + 2 (u + w 2 ) + gz + = 0 ∂t ρ

(2.3)

Persamaan (2.3) dilinierkan dan tekanan permukaan diambil = 0, sehingga diperoleh:

η=

1 ∂φ g ∂t

(2.4) z =0

b. Kondisi Batas Kinematik di Permukaan (z = η) (Kinematic Free Surface boundary Condition (KFSBC) Syarat batas kinematik di permukaan adalah sebagai berikut:

−

∂φ ∂η ∂φ ∂η = − ∂z ∂t ∂x ∂x

2. Teori Gelombang

(2.5)

II - 3

Bahan Kuliah Teknik Pantai

Alwafi Pujiraharjo - 2009

c. Kondisi Batas di Dasar Laut (z = -d) Bottom Boundary Condition (BBC) Kecepatan partikel dan ukuran orbit makin ke dalam makin berkurang dan pada dasar laut kecepatan arah sumbu-z adalah nol (w = 0).

w=−

∂φ =0 ∂z

(2.6)

Untuk ketiga syarat batas di atas : w = kecepatan arah vertikal

η = elevasi muka air dihitung dari SWL. g = percepatan gravitasi (= 9,81 m/detik2) d. Kondisi Batas Lateral Periodic Lateral Boundary Condition (PLBC) Untuk gelombang yang periodeik terhadap waktu dan ruang, syarat batasnya diekspresikan dalam bentuk periodisitas sebagai berikut: φ(x,t) = φ(x + L, t)

dan

φ(x,t) = φ(x, t + T)

(2.7)

Gambar 2.2 mengilustrasikan masalah nilai batas untuk gelombang periodik dua dimensi yang telah diuraikan di atas. L

z η(x,t)

H

DFSBC KFSBC

PLBC d

x PLBC

∇2 φ = 0 BBC

Gambar 2.2. Ilustrasi masalah nilai batas untuk gelombang periodik.

2. Teori Gelombang

II - 4

Bahan Kuliah Teknik Pantai

Alwafi Pujiraharjo - 2009

2.1.3. Penyelesaian Persamaan Pengatur Persamaan (2.1) berikut syarat-syarat batasnya diselesaikan dengan cara pemisahan variabel. Asumsi yang digunakan adalah bahwa potensial kecepatan merupakan hasil perkalian antara fungsi-fungsi yang masing-masing hanya bergantung pada satu variabel. Di sini kita ambil sebagai berikut: φ(x,z,t) = X(x) . Z(z) . Γ(t)

(2.7)

dimana X(x) adalah fungsi yang hanya bergantung pada jarak arah x, Z(z) adalah fungsi yang hanya bergantung pada z, dan Γ(t) adalah fungsi yang hanya bergantung pada waktu. Fungsi φ harus periodik terhadap waktu pada batas lateral, kita bisa menentukan bahwa Γ(t) = sin ωt. Untuk memperoleh nilai ω yaitu frekuensi sudut gelombang, kita dapat menggunakan syarat batas periodik persamaan (2.7), sehingga: sin ωt = sin ω(t + T) atau sin ωt = sin ωt.cos ωt + cos ωt.sin ωt yang akan bernilai benar untuk ωT = 2π atau ω = 2π/T. Sehingga potensial kecepatan sekarang dapat dituliskan φ(x,z,t) = X(x) . Z(z) sin ωt

(2.8)

Persamaan (2.8) dimasukkan kedalam persamaan Laplace akan diperoleh:

d 2 X ( x) ⋅ Z ( z ) ⋅ sin ωt + dx 2

X ( x) ⋅

d 2 Z ( z) ⋅ sin ωt = 0 dz 2

Apabila persamaan (2.9) dibagi dengan

(2.9)

φ(x,z,t) = X(x) . Z(z) sin ωt akan

diperoleh: 1 d 2 X ( x) ⋅ X ( x) dx 2

+

1 d 2 Z ( z) ⋅ Z ( z ) dz 2

= 0

(2.10)

Dapat dilihat bahwa suku pertama persamaan (2.10) hanya merupakan fungsi x saja dan suku kedua hanya merupakan fungsi z saja.

2. Teori Gelombang

II - 5

Bahan Kuliah Teknik Pantai

Supaya

bisa

Alwafi Pujiraharjo - 2009

diselesaikan,

persamaan

(2.10)

harus

merupakan

penjumlahan dari dua konsatanta non-zero yang sama sehingga ditentukan: 1 d 2 X ( x) ⋅ X ( x) dx 2 1 d 2 Z ( z) ⋅ Z ( z ) dz 2

= −k2

(2.11a)

= +k2

(2.11b)

Sekarang persamaan (2.11) adalah merupakan persamaan diferensial biasa dan dapat diselesaikan secara terpisah. Ada tiga kasus yang mungkin dapat dicoba untuk menyelesaiakan persamaan di atas yang tergantung dari nilai , yaitu untuk k = bilangan real, k = 0, dan k = bilangan imajiner. Kemungkinan penyelesaian tersebut disajikan pada Tabel 2.1. Tabel 2.1 Kemungkinan Pemisahan Variabel.

Penyelesaian

Persamaan

Laplace

Berdasarkan

Nilai k

Persamaan Diferensial Biasa

Penyelesaian

Real

d 2 X ( x) dx 2

+ k 2 X ( x) = 0

X(x) = A cos kx + B sin kx

d 2 Z ( z) dz 2

− k Z ( z) = 0

d 2 X ( x) dx 2

= 0

2

k >0

k=0

Imajiner 2

k < 0, k = i|k| |k| = arah dari k

2. Teori Gelombang

d 2 Z ( z) dz 2

= 0

d 2 X ( x) dx 2

−

d 2 Z ( z) dz 2

Z(z) = C ekz + D e-kz

2

+

X(x) = Ax + B Z(z) = Cz + D

2

k X ( x) = 0 2

k Z ( z) = 0

X(x) = A e|k|x + B ei|k|x Z(z) = C cos |k|z + D sin|k|z

II - 6

Bahan Kuliah Teknik Pantai

Alwafi Pujiraharjo - 2009

Penerapan Kondisi Batas a. Kondisi Batas Periodik Lateral (PLBC) Semua penyelesaian dalam Tabel 2.1 memenuhi persamaan Laplace namun tidak semua periodik dalam arah x. Pada kenyataannya hanya jika k = bilangan real dan tidak nol yang memenuhi kondisi batas periodik. Sehingga penyelesaian persamaan Laplace adalah:

( A cos kx + B sin kx )(C e kz

φ( x, z , t ) =

)

+ D e − kz ⋅ sin ωt

(2.12)

Untuk memenuhi kondisi batas periodik secara eksplisit, maka : A cos kx + B sin kx = =

A cos k ( x + L ) + B sin k ( x + L ) A (cos kx cos kL − sin kx sin kL )

(2.13)

+ B (sin kx cos kL + cos kx sin kL)

sin kL = 0, yang berarti bahwa kL = 2π

yang dipenuhi untuk cos kL = 1 dan

atau k = 2π/L (yang sering disebut dengan angka gelombang / “wave number”). Dengan prinsip superposisi, φ dapat dibagi menjadi beberapa bagian. Sementara

ini

hanya

digunakan

φ( x, z , t ) =

(

(

)

A cos kx C e kz + D e − kz ⋅ sin ωt ,

)

dengan prinsip superposisi suku B sin kx C e kz + D e − kz ⋅ sin ωt akan ditambahkan kemudian. b. Kondisi Batas di Dasar (BBC), di z = -d Substitusi persamaan (2.12) ke kondisi batas di dasar yaitu persamaan (2.6) akan diperoleh: w = −

∂φ ∂z

= − A cos kx ( k C e kz − k D e − kz ) ⋅ sin ωt

= 0

atau − A k cos kx (C e − kd − D e kd ) ⋅ sin ωt

= 0

(2.14)

Supaya persamaan (2.14) bernilai benar untuk semua nilai x dan t maka suku-suku di dalam tanda kurung harus sama dengan nol, sehingga diperoleh C

= D e 2 kh dan potensial kecepatan sekarang menjadi:

2. Teori Gelombang

II - 7

Bahan Kuliah Teknik Pantai

Alwafi Pujiraharjo - 2009

φ( x, z , t ) =

A cos kx ( D e 2 kd e kz + De − kz ) ⋅ sin ωt

φ( x, z , t ) =

A D e kd cos kx ( e k ( d + z ) + e − k ( d + z ) ) ⋅ sin ωt

φ( x, z , t ) = G cos kx ⋅ cosh k ( d + z ) ⋅ sin ωt

(2.15)

dimana G = 2 A D ekd adalah konstanta baru. c. Kondisi Batas Dinamik di Permukaan (DFSBC), di z = η Persamaan (2.15) dimasukkan ke dalam kondisi batas dinamik di permukaan persamaan (2.4), akan diperoleh: η =

1 ∂φ g ∂t

= z =0

Gω cos kx cosh k ( d + z ) cos ωt g

z =0

 G ω cosh kd  =   cos kx cos ωt g  

(2.16)

Suku-suku di alam tanda kurung adalah konstan sehingga η adalah konstanta dikalikan fungsi periodik terhadap jarak dan waktu. Representasi fisik dari η berdasarkan Gambar 2.1 adalah: η =

H cos kx cos ωt 2

(2.17)

Berdasarkan perbandingan representasi analitik dan fisik dari η persamaan (2.16) dan (2.17) diperoleh:

G =

H g 2 ω cosh kd

(2.18)

Persamaan (2.18) dimasukkan ke persamaan (2.15) sehingga akan diperoleh potensial kecepatan sebagai berikut:

φ =

H g cosh k ( d + z ) cos kx sin ωt 2 ω cosh kd

(2.19)

atau φ = − 2. Teori Gelombang

H g cosh k ( d + z ) sin( kx − ωt ) 2ω cosh kd

(2.20) II - 8

Bahan Kuliah Teknik Pantai

Alwafi Pujiraharjo - 2009

k = 2π/L = angka gelombang

dimana :

ω = 2π/T = frekuensi angular gelombang

d. Kondisi Batas Kinematik di Permukaan (KFSBC), di z = η Kondisi batas kinematik di permukaan, elevasi muka air dihitung dari SWL dinyatakan oleh persamaan (2.5). Kecepatan vertikal di permukaan air adalah w = ∂η/∂t, sehingga: w

=

∂η ∂t

=

∂  1 ∂φ    = ∂t  g ∂t 

1 ∂ 2φ g ∂t 2

(2.21)

Karena w = -∂φ/∂z, maka persamaan (2.21) dapat ditulis: ∂φ ∂z

= −

1 ∂ 2φ g ∂t 2

(2.22)

Apabila nilai φ dari persamaan (2.20) disubstitusikan ke persamaan (2.22) maka akan diperoleh:

 1 ∂2 ∂  H g cosh k ( d + z )  − sin( kx − ωt )  = 2 ∂y  2ω cosh kd  g ∂t

 H g cosh k ( d + z )   − sin( kx − ωt )  2ω cosh kd  

H g k sinh k ( d + z ) H ω cosh k ( d + z ) sin( kx − ωt ) = sin( kx − ωt ) 2ω cosh kd 2 cosh kd

Nilai z untuk gelombang amplitudo kecil adalah sama dengan muka air diam (z = 0), sehingga persamaan di atas menjadi : ω2 = g k tanh kd

(2.23)

Persamaan (2.23) adalah persamaan dispersi untuk gelombang linier.

Karena ω = k C, maka persamaan (2.23) dapat ditulis menjadi:

C2

=

2. Teori Gelombang

g tanh kd k

=

gL tanh kd 2π

(2.24)

II - 9

Bahan Kuliah Teknik Pantai

Alwafi Pujiraharjo - 2009

Sehingga akan diperoleh persamaan untuk kecepatan rambat dan panjang gelombang berikut: L=

gT 2 tanh kd 2π

(2.25)

C=

gT tanh kd 2π

(2.26)

2.1.4. Klasifikasi Gelombang Berdasarkan Kedalaman Relatif (d/L) Gelombang dapat diklasifikasikan berdasarkan kedalaman relatif yaitu perbandingan antara kedalaman air dan panjang gelombang (d/L) menjadi tiga macam seperti disajikan pada Tabel 2.2. Tabel 2.2 Klasifikasi Gelombang Klasifikasi

d/L

kd

tanh kd

Gelombang di laut dalam

≥ 0,5

π ≤ kd < ∞

1

Gelombang di laut transisi

0,05 < d/L < 0,5

π/10 < kd < π

tanh kd

Gelombang di laut dangkal

≤ 0,05

0 < kd ≤ π

kd

Klasifikasi tersebut didasarkan pada nilai-nilai d/L, kd, dan fungsi-fungsi hiperbolik kedalaman relatif jika fungsi hiperbolik dan asimptot-asimtotnya diplot bersama-sama seperti yang disajikan pada Gambar 2.2.

2. Teori Gelombang

II - 10

Bahan Kuliah Teknik Pantai

Alwafi Pujiraharjo - 2009

Gambar 2.2. Hubungan kedalaman relatif dan asimptot-asimptotnya terhadap fungsi-fungsi hiperbolik.

Untuk kedalaman air yang besar (laut dalam), nilai (tanh kd) mendekati 1, sehingga persamaan (2.25) dan (2.26) di laut dalam menjadi: L0 =

gT 2 2π

C0 =

gT 2π

≈ 1,56 T2

(2.27) (2.28)

Untuk kedalaman air yang kecil (laut dangkal), nilai (tanh kd) mendekati kd sehingga persamaan (2.25) dan (2.26) di laut dangkal menjadi:

L = gd T

(2.29)

C= gd

(2.30)

2. Teori Gelombang

II - 11

Bahan Kuliah Teknik Pantai

Alwafi Pujiraharjo - 2009

Untuk kondisi gelombang di laut transisi, panjang gelombang dan cepat rambat gelombang dihitung dengan menggunakan persamaan (2.25) dan (2.26). Apabila persamaan (2.25) dibagi dengan persamaan (2.27) atau persamaan (2.26) dibagi dengan persamaan (2.28) maka akan diperoleh : L C  2πd  = = tanh  L0 C 0  L 

(2.31)

Apabila diperhatikan dari Gambar 2.2 akan terlihat terjadi penurunan kurva (tanh kd) yang berarti terjadi penurunan cepat rambat dan panjang gelombang selama perambatan dari laut dalam menuju pantai. Apabila kedua ruas persamaan (2.31) dikalikan dengan d/L maka akan didapatkan : d d  2πd  = tanh  L0 L  L 

(2.32)

Persamaan (2.32) dapat digunakan untuk mencari panjang gelombang pada setiap kedalaman apabila panjang gelombang di laut dalam diketahui. Persamaan (2.32) adalah persamaan non-linier sehingga diperlukan iterasi untuk menyelesaikannya. Untuk memudahkan hitungan dengan persamaan (2.32) telah dibuat tabel, yaitu Tabel C-1 dan C-2 pada SPM (Shore Protection Manual) 1984.

2.1.5. Fluktuasi Muka Air Persamaan fluktuasi muka air diperoleh dari kondisi batas di permukaan air menggunakan persamaan (2.4) , η =

1 ∂φ g ∂t

Jika nilai φ dari persamaan (2.20) dimasukkan ke persamaan (2.4) dan y = 0, maka akan diperoleh persamaan elevasi muka air: η=

 1 ∂  H g cosh k ( d + z )  − sin( kx − ωt )  g ∂t  2ω cosh kd 

2. Teori Gelombang

=

H cos(kx − ωt ) 2

(2.33)

II - 12

Bahan Kuliah Teknik Pantai

dengan :

k=

2π = angka gelombang L

ω=

2π = frekuensi angular gelombang. T

Alwafi Pujiraharjo - 2009

2.1.6. Kecepatan dan Percepatan Partikel Air Kecepatan partikel air untuk berbagai kedalaman dan waktu (z dan t) dapat ditentukan menggunakan persamaan (2.2) dengan memasukkan nilai φ dari persamaan (2.20) : Kecepatan arah horisontal : u=−

u=

 ∂  H g cosh k ( d + z )  − sin( kx − ωt )  ∂x  2ω cosh kd 

H g k cosh k ( d + z ) cos(kx − ωt ) 2 ω cosh kd

(2.34)

Jika k = 2π/L dan ω = 2π/T kita substitusikan ke persamaan di atas maka akan diperoleh :

u=

H g cosh k ( d + z ) cos(kx − ωt ) 2C cosh kd

Karena C =

(2.35)

gT g T sinh kd tanh kd = , maka jika dimasukkan ke persamaan 2π 2π cosh kd

(2.35) akan diperoleh:

u=

πH cosh k ( d + z ) cos(kx − ωt ) T sinh kd

(2.36)

Dengan cara yang sama, akan diperoleh kecepatan partikel arah vertikal : w=

H g sinh k ( d + z ) sin( kx − ωt ) 2C cosh kd

w=

πH sinh k ( d + z ) sin( kx − ωt ) T sinh kd

2. Teori Gelombang

(2.37) II - 13

Bahan Kuliah Teknik Pantai

Alwafi Pujiraharjo - 2009

Percepatan partikel air diperoleh dengan mendeferensialkan persamaan (2.36) dan (2.37) terhadap waktu (t) : ax =

∂u ∂  πH cosh k ( d + z )  =  cos(kx − ωt )  ∂t ∂t  T sinh kd 

ax =

2π 2 H cosh k ( d + z ) sin( kx − ωt ) sinh kd T2

az =

∂w ∂  πH sinh k ( d + z )  =  sin( kx − ωt )  ∂t ∂t  T sinh kd 

az = −

2π 2 H sinh k ( d + z ) cos(kx − ωt ) sinh kd T2

(2.38)

(2.39)

2.1.7. Orbit Partikel Air Perpindahan partikel air dapat diperoleh dengan hubungan berikut: u=

∂ξ ∂t

dan w =

∂ε ∂t

Persamaan di atas disusun ulang kemudian diintegralkan sehingga diperoleh : ξ = ∫ u dt

dan

ε = ∫ w dt

Jika persamaan (2.36) dimasukkan ke persamaan di atas akan diperoleh : ξ=−

H cosh k ( d + z ) sin( kx − ωt ) 2 sinh kd

(2.40)

Dengan cara yang sama akan diperoleh perpindahan arah vertikal: ε=

H sinh k ( d + z ) cos(kx − ωt ) 2 sinh kd

2. Teori Gelombang

(2.41)

II - 14

Bahan Kuliah Teknik Pantai

Alwafi Pujiraharjo - 2009

Persamaan (2.26) dan 2.27) disusun ulang dalam bentuk :

sin( kx − ωt ) = −

2ξ sinh kd H cosh k ( d + z )

dan

cos(kx − ωt ) =

2ε sinh kd H sinh k ( d + z )

Kemudian kedua persamaan dikuadratkan menjadi :  2ξ sinh kd   sin ( kx − ωt ) =  −  H cosh k ( d + z ) 

2

2

 2ε sinh kd   cos ( kx − ωt ) =   H sinh k ( d + z ) 

(2.42)

2

2

(2.43)

Apabila persamaan (2.42) dan (2.43) dijumlahkan akan diperoleh: ξ2 A2

+

ε2

=1

B2

(2.44)

dimana :

A=

H cosh k ( d + z ) 2 sinh kd

B=

H sinh k ( d + z ) 2 sinh kd

Persamaan (2.44) adalah persamaan orbital partikel air di laut transisi yaitu berupa ellips dengan jari-jari terpanjang A dan jari-jari terpendek B. Untuk laut dalam (d/L > ½), panjang A = B sehingga orbit partikel berupa lingkaran.

A=B=

H kz e 2

(2.45)

Sedangkan untuk laut dangkal (d/L < 1/20), persamaan menjadi : A=

H 2kz

dan

B=

H z 1 +  2  d

(2.46)

Untuk memperjelas orbital partikel tersebut disajikan Gambar 2.3.

2. Teori Gelombang

II - 15

Bahan Kuliah Teknik Pantai

Alwafi Pujiraharjo - 2009

Gambar 2.3. Orbit partikel air di laut transisi dan laut dalam.

2.1.8. Tekanan Gelombang Tekanan yang disebabkan oleh gelombang adalah gabungan dari tekanan hidrostatis dan tekanan dinamis. Besarnya tekanan dapat diturunkan dari persamaan Bernoulli untuk “unsteady flow” yang dilinierkan berikut :

−

∂φ p + gz + = 0 ∂t ρ

(2.47)

Jika persamaan (2.47) disusun ulang dan persamaan potensial kecepatan disubstitusikan, maka akan diperoleh : p = −ρgz + ρ

p = −ρgz +

2. Teori Gelombang

 ∂  H g cosh k ( d + z )  − sin( kx − ωt )  ∂t  2ω cosh kd 

ρgH cosh k ( d + z ) cos(kx − ωt ) 2 cosh kd

(2.48)

II - 16

Bahan Kuliah Teknik Pantai

Alwafi Pujiraharjo - 2009

Suku pertama ruas kanan persamaan (2.48) adalah tekanan hidrostatis, sedangkan suku kedua adalah tekanan dinamis yang disebabkan oleh percepatan partikel air. Karena η =

H cos( kx − ωt ) , maka persamaan (2.48) dapat ditulis: 2

p = ρgη

cosh k ( d + z ) − ρgz cosh kz

(2.49)

Jika didefinisikan : Kz =

cosh k ( d + z ) yaitu faktor respon tekanan, maka persamaan (2.49) cosh kz

dapat ditulis:

p = ρg (ηK z − z )

(2.50)

Faktor respon tekanan (Kz) di dasar perairan (z = -d) :

Kz = K =

1 cosh kd

(2.51)

Distribusi vertikal tekanan gelombang laut dalam disajikan pada Gambar (2.4).

ρgH cosh k ( d + z ) cos(kx − ωt ) 2 cosh kd SWL

-ρgz

Gambar 2.4. Distribusi vertikal tekanan gelombang di laut dalam.

2. Teori Gelombang

II - 17

Bahan Kuliah Teknik Pantai

Alwafi Pujiraharjo - 2009

2.1.9. Kecepatan Group / Kelompok Gelombang Kecepatan gelombang yang datang bersamaan biasanya tidak akan sama dengan gelombang tunggal yang menyusun kelompok gelombang tersebut. Untuk gelombang yang merambat di laut dalam atau transisi dengan gaya gravitasi maka kecepatan group akan lebih kecil dibandingkan dengan phase kecepatannya. Konsep kecepatan kelompok ini dapat dijelaskan dengan memandang 2 buah gelombang sinusiodal yang berinteraksi dan bergerak dengan arah yang sama namun dengan panjang gelombang dan periode berbeda. Persamaaan elevasi muka airnya sebagai berikut :

η = η1 + η 2 = Bila

:

H H cos(k1 x − ω1t ) + cos(k 2 x − ω 2 t ) 2 2

k 1 - k2 = ∆ k

;

(k1 + k2)/2 = k

(2.52)

ω1 - ω2 = ∆ω

;

(ω1 + ω2)/2 = ω

Maka jika disubstitusikan ke persamaan (2.52) dan disusun ulang akan diperoleh: η = H cos 12 (( k1 + k 2 ) x − (ω1 + ω 2 )t )cos 12 (( k1 − k 2 ) x − (ω1 − ω 2 )t ) ∆ω   ∆k η = H cos(kx − ωt ) cos x− t 2   2

(2.53)

Persamaan (2.53) adalah gelombang yang merambat dengan kecepatan C = ω/k yang dimodulasi oleh “envelope” yang bergerak dengan kecepatan Cg = ∆ω/∆k dimana ∆ω dan ∆k sangat kecil. Kecepatan group tersebut diuraikan dengan memasukkan persamaan dispersi sehingga diperoleh : Cg =

1 L 4π d / L  1+ = nC ,  2 T  sinh( 4π d / L ) 

dimana n =

2. Teori Gelombang

(2.54)

1 4π d / L  1+  2  sinh( 4π d / L )  II - 18

Bahan Kuliah Teknik Pantai

Alwafi Pujiraharjo - 2009

Di laut dalam nilai (4πd/L)/sinh (4πd/L) mendekati nol sehingga n = ½ , jadi persamaan menjadi : Cg =

1 Lo 1 = Co 2 T 2

(2.55)

Di laut dangkal nilai (4πd/L)/sinh (4πd/L) mendekati 1 sehingga n = 1, jadi persamaan menjadi :

Cg =

L =C = gd T

(2.56)

Gambar 2.5. Karakteristik kelompok gelombang disajikan dalam bentuk penjumlahan gelombang sinusoidal yang berbeda periodenya.

2. Teori Gelombang

II - 19

Bahan Kuliah Teknik Pantai

Alwafi Pujiraharjo - 2009

2.1.10. Energi dan Daya Gelombang Total energi dari sistem gelombang adalah jumlah dari energi kinetik dan energi potensialnya. Energi kinetik adalah energi yang dihasilkan gelombang akibat kecepatan partikel partikel air. Energi kinetik per satuan panjang puncak gelombang adalah :

Ek =

η

x+ L

∫ρ

∫

−d

x

u 2 + w2 dz dx 2

(2.57)

Setelah diintegralkan maka diperoleh: Ek =

1 ρg H2 L 16

(2.58)

Energi potensial adalah energi yang dihasilkan oleh massa fluida untuk berada di puncak gelombang. Energi potensial per satuan panjang puncak gelombang dihitung dengan :

EP =

x+ L

∫ x

 (η + d ) 2 d 2   dx ρg  − 2 2  

(2.59)

Setelah diintegralkan diperoleh :

EP =

1 ρg H 2 L 16

(2.60)

Sehingga energi total gelombang per satuan luas permukaan dan disebut energi spesifik atau kerapatan energi (specific energy or energy density) adalah : E=

Ek + E p ρg H 2 = L L

(2.61)

Daya gelombang adalah energi gelombang setiap satuan waktu yang merambat dalam arah perambatan gelombang dan dapat dituliskan sebagai hasil kali gaya yang bekerja pada bidang vertikal tegak lurus arah perambatan gelombang dengan kecapatan partikel air yang melewati bidang tersebut. Untuk satu satuan lebar, daya gelombang rerata adalah :

2. Teori Gelombang

II - 20

Bahan Kuliah Teknik Pantai

P=

1 T

T

Alwafi Pujiraharjo - 2009

0

∫ ∫ ( p + ρ g z ) u dz dt

(2.62)

0 −d

Apabila besarnya tekanan dinamis persamaan (2.49) dan kecepatan partikel arah horisontal persamaan (2.36) disubstitusikan ke persamaan (2.62) maka akan

P=

1 T

diperoleh:

T

 ρgH cosh k ( d + z )  πH cosh k ( d + z )  cos(kx − ωt )  cos(kx − ωt )  dz dt 2 cosh kd sinh kd  T  −d 0

∫ ∫  0

P=

ρgH 2 L  2kd  1 +  16 T  sinh 2kd 

P=

E 1  2kd  1 +   T  2  sinh 2kd 

P=

En T

=

EnL T

n=

dimana

(2.63) 1 2kd  1 +  2  sinh 2kd 

Selama perambatan gelombang menuju pantai, daya gelombang adalah konstan sehingga daya gelombang per satuan luas yang melewati satu titik akan sama dengan titik berikutnya. Pernyataan ini dapat dituliskan sebagai : n E L n E L  =  = konstan P =      T 1  T  2

atau n1 E 1 L1 = n 2 E 2 L2

(2.64)

Apabila perambatan gelombang dari laut menuju laut dangkal, persamaan (2.64) menjadi : ½ E 0 L0

= nE L

(2.65)

RINGKASAN RUMUS-RUMUS TEORI GELOMBANG LINIER 2. Teori Gelombang

II - 21

Bahan Kuliah Teknik Pantai

Alwafi Pujiraharjo - 2009

2.2. Teori Gelombang Orde Tinggi 2. Teori Gelombang

II - 22

Bahan Kuliah Teknik Pantai

Alwafi Pujiraharjo - 2009

Teori gelombang linier berlaku untuk gelombang dimana perbandingan tinggi dan panjang gelombang adalah kecil (½kd ½) η=

 2 πx 2 πt Ho cos  −  Lo 2 T 

 πH o +  4 Lo 

2

 4 πx 4 πt cos  −  Lo T 

   

(2.69)

Kecepatan Partikel 2

H gT cosh k ( d + z ) 3  πH  cosh 2k ( d + z ) u= cos(kx − ωt ) +  cos(kx − ωt )  C 2 L cosh kd 4 L  sinh 4 kd

(2.70) 2

v=

H gT sinh k ( d + z ) 3  πH  sinh 2k ( d + z ) sin( kx − ωt ) +  cos(kx − ωt )  C 2 L sinh kd 4 L  sinh 4 kd

(2.71) Perpindahan partikel ξ=−

HgT 2 cosh k ( d + z ) sin( kx − ωt ) 4πL cosh kd πH 1 8 L sinh 2 kd 2

+

 3 cosh 2k ( d + z )  1 −  sin 2( kx − ωt ) 2  2 sinh kd 

2

 πH  Ct cosh 2k ( d + z ) +  sinh 2 kd  L  2

(2.72)

HgT 2 sinh k ( d + z ) 3 πH sinh 2k ( d + z ) cos( kx − ωt ) + cos 2( kx − ωt ) 4πL cosh kd 16 L sinh 4 kd 2

ε=

(2.73)

2. Teori Gelombang

II - 24

Bahan Kuliah Teknik Pantai

Alwafi Pujiraharjo - 2009

Kecepatan transport massa Pada teori gelombang Stokes, orbit partikel tidak tertutup seperti pada teori gelombang linier, sehingga menyebabkan terjadinya transport massa dalam arah perambatan gelombang. Persamaan (2.72) suku terakhir adalah tidak periodik dan merupakan perkalian antara waktu dengan suatu konsatanta yang merupakan fungsi kedalaman dan periode. Kecepatan gerak partikel rata-rata (Mean drift velocity) adalah jarak tempuh partikel searah propagasi gelombang untuk satu periode dibagi dengan periode gelombang. 2

 πH  C cosh 2k ( d + z ) U (z) =   sinh 2 kd  L  2

(2.74)

Persamaan diatas menyatakan bahwa transport fluida netto oleh gelombang dalam arah propagasi-nya. Jika sejumlah massa terangkut maka akan terkumpul pada suatu tempat, maka permukaan bebas akan naik, sehingga akan terjadi gradien tekanan. Arus yang terjadi akibat proses ini akan membawa dan mendistribusikan massa. Transport massa ke arah vertikal adalah nol.

Tekanan di bawah permukaan Tekanan di sembarang titik di bawah permukaan diberikan oleh persamaan :

p = ρg

H cosh k ( d + z ) cos( kx − ω t ) − ρ gz 2 cosh kd

3 πH tanh kd  cosh 2k ( d + z ) 1  + ρg −  cos 2( kx − ωt )  8 L sinh 2 kd  sinh 2 kd 3 2

1 πH tanh kd − ρg {cosh 2k ( d + z ) − 1} 8 L sinh 2 kd 2

2. Teori Gelombang

(2.75)

II - 25

Bahan Kuliah Teknik Pantai

Alwafi Pujiraharjo - 2009

B. 2. Teori Gelombang Cnoidal Teori gelombang amplitudo hingga dari Stokes hanya berlaku pada interval d/L > 1/8 atau kd > 0,78 atau Ur < 79. Dimana UR adalah parameter Ursell yang didefinisikan sebagai : UR =

L2 H d3

(2.76)

Bentuk permanen gelombang panjang, finite amplitude yang merambat di perairan dangkal secara akurat dapat dijelaskan dengan teori gelombang Cnoidal. Batasan berlakunya teori gelombang Cnoidal ini adalah untuk d/L < 1/8 atau UR > 26. Penjelasan mengenai kecepatan, percepatan , energi, daya gelombang Cnoidal

adalah rumit. Karakteristik gelombang ini dinyatakan sebuah

parameter yang disebut modulus integral elliptic (k), dimana k sendiri tidak mempunyai arti yang signifikan, tetapi hanya menyatakan hubungan beberapa parameter yang ada. Ordinat permukaan air (ys) diukur dari dasar adalah:  x t   y s = y t + H cn 2  2 K (k ) − , k  L T  

(2.77)

dengan : yt

= jarak dari dasar

cn

= fungsi kosinus elliptik

K(k)

= keseluruhan integral elliptik

k

= modulus integral elliptik (0 – 1)

Nilai k berkisar antara 0 sampai 1. Apabila nilai k = 0 maka profil muka air adalah sinusoidal seperti pada teori gelombang linier. Sedangkan apabila nilai k = 1 maka profil gelombang akan menjadi gelombang tunggal (solitary wave).

2. Teori Gelombang

II - 26

Bahan Kuliah Teknik Pantai

Alwafi Pujiraharjo - 2009

Argumen cn2 biasanya dinyatakan dengan ( ) sehingga persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk : ys = yt + H cn2 ( )

(2.78)

Jarak dari dasar ke lembah gelombang (yt) di rumuskan :

H yt yc H 16d 2 = − = K (k )[K (k ) − E (k )] + 1 − 2 d d d d 3L

(2.79)

yc adalah jarak dari dasar ke puncak gelombang. E(k) adalah keseluruhan integral ellips. Panjang gelombang yang diberikan adalah : L=

16d 3 k K (k ) 3H

(2.80)

Sedangkan periode gelombangnya :     16 yt d  g kK ( k )  = T  d 3H yt H  1 E(k )    −   1 + yt H 2  2 K ( k )   

(2.81)

Gelombang Cnoidal adalah periodik dan mempunyai bentuk yang permanen, sehingga L = CT. Tekanan di bawah gelombang Cnoidal pada ketinggian y dari dasar tergantung pada kecepatan lokal, sehingga sangat komplek. Namun

dapat

didekati dengan persamaan hidrostatis : p = ρg ( ys − y )

(2.82)

Dimana distribusinya dianggap bervariasi linier dari ρgys dari dasar ke permukaan. Untuk menghitung beberapa parameter gelombang Cnoidal digunakan beberapa grafik. Grafik-grafik tersebut disajikan dalam Gambar 2.6 sampai Gambar 2.11.

2. Teori Gelombang

II - 27

Bahan Kuliah Teknik Pantai

Alwafi Pujiraharjo - 2009

Gambar 2.6 dan Gambar 2.7 menyajikan profil gelombang Cnoidal sebagai fungsi k2. Gambar 2.18 sampai Gambar 2.11 menyatakan hubungan parameterparameter gelombang Cnoidal.

Gambar 2.6. Profil gelombang Cnoidal untuk berbagai nilai k2. (After Wiegel, 1960)

Gambar 2.7. Profil gelombang Cnoidal untuk berbagai nilai k2. (After Wiegel, 1960)

2. Teori Gelombang

II - 28

Bahan Kuliah Teknik Pantai

Alwafi Pujiraharjo - 2009

Gambar 2.8. Hubungan antara k2 dengan L2H/d3 dan k2 dengan T g / d (After Wiegel, 1960)

2. Teori Gelombang

II - 29

Bahan Kuliah Teknik Pantai

Alwafi Pujiraharjo - 2009

Gambar 2.9. Hubungan antara L2H/d3 dengan k2, yc/H, yt/d, dan K(k). (After Wiegel, 1960)

Gambar 2.10. Hubungan antara T g / d , L2H/d3 , dan H/d. (After Wiegel, 1960) 2. Teori Gelombang

II - 30

Bahan Kuliah Teknik Pantai

Alwafi Pujiraharjo - 2009

Gambar 2.11. Hubungan antara C / gyt , H/yt, dan L2H/d3. (After Wiegel, 1960)

B. 3. Teori gelombang Solitary Gelombang solitary adalah gelombang berjalan yang mempunyai satu puncak gelombang. Bila merambat menuju laut dangkal, puncak gelombang menjadi semakin tinggi dan semakin tajam dan lembanhnya menjadi semakin datar. Gelombang solitary mengalami translasi relatif pada massa air dan hanya bergerak dalam arah perambatan gelombang. Di alam sangat sulit untuk menentukan apakah gelombang tersebut solitary, karena tepi gelombangnya biasanya mengalami dispersi. Gelombang solitary adalah bentuk khusus dari gelombang Cnoidal, yaitu untuk k2 = 1 dan bentuk cosinus elipstic direduksi menjadi fungsi hyperbolic secant.  3 H  y s = d + H sech 2  ( x − Ct )  3  4d 

atau

 3 H  η = H sech 2   ( x − Ct )  3     4 d

(2.83) 2. Teori Gelombang

II - 31

Bahan Kuliah Teknik Pantai

Alwafi Pujiraharjo - 2009

Sedangkan volume air gelombang di atas stillingwater level adalah:

16  V =  d 3H  3 

1/ 2

(2.84)

Kecepatan rambat gelombang solitary C = g ( H + d ) Kecepatan partikel : u = CN

w = CN

1 + cos( My / d ) cosh( Mx / d )

[cos(My / d ) + cosh( Mx / d )]2 sin( My / d ) sinh( Mx / d )

[cos(My / d ) + cosh( Mx / d )]2

(2.85a)

(2.85b)

M, N adalah fungsi H/d seperti yang disajikan pada Gambar 2.12, y diukur dari dasar perairan. Kecepatan maksimum akan terjadi bila x dan t = 0. Kecepatan ini sering digunakan untuk memprediksi gaya gelombang pada bangunan pantai di laut dangkal. Kecepatan maksimum dirumuskan sebagai : u max =

CN 1 + cos( My / d )

(2.86)

Total energi persatuan lebar puncak gelombang : E=

8 3 3

ρgH 3 / 2 d 3 / 2

(2.87)

Tekanan tergantung pada kecepatan lokal fluida dan diberikan oleh persamaan: p = ρg ( ys − y )

(2.88)

Gelombang akan pecah bila

H = 0,78 ≈ 0,8    d  max

atau

Hb = 0,75 + 25m − 112m 2 + 3870m 3 db

(2.89)

dengan kemiringan dasar (m) = 0,01 – 0,02 (SPM 1984 Volume I).

2. Teori Gelombang

II - 32

Bahan Kuliah Teknik Pantai

Alwafi Pujiraharjo - 2009

Batas Keberlakuan Teori Gelombang Pengetahuan tentang batasan keberlakuan teori gelombang yang telah diuraikan sebelumnya akan dapat digunakan untuk menentukan teori mana yang tepat untuk menyelesaikan permasalahan yang kita hadapi. Penerapan teori gelombang tersebut didasarkan pada nilai perbandingan H/d dan d/L. Atau dapat juga didasarkan pada nilai perbandingan H/(gT2) dan d/(gT2). Gambar 2.12 menyajikan batasan keberlakuan teori gelombang berdasarkan perbandingan nilai H/d dan d/L. Sedangkan Gambar 2.13 menyajikan batasan keberlakuan teori gelombang berdasarkan nilai perbandingan H/(gT2) dan d/(gT2).

Gambar 2.12. Nilai M dan N sebagai fungsi H/d pada teori Gelombang Solitary. (After Munk, 1949)

2. Teori Gelombang

II - 33

Bahan Kuliah Teknik Pantai

d/L = 0,04 d/(gT2) = 0,00155

Alwafi Pujiraharjo - 2009

d/L = 0,5 d/(gT2) = 0,0792

Gambar 2.13. Batasan keberlakuan teori-teori gelombang. (After Le Mehaute, 1969)

2. Teori Gelombang

II - 34

Bahan Kuliah Teknik Pantai

Alwafi Pujiraharjo - 2009

SOAL-SOAL LATIHAN Contoh Soal 1 Diketahui gelombang dengan periode T = 10 detik merambat ke arah pantai dengan kemiringan seragam dari kedalaman d = 200 m menuju kedalaman d = 10 m. Hitung panjang gelombang (L) dan kecepatan rambat (Celerity) gelombang pada kedalaman tersebut.

Penyelesaian Panjang gelombang di laut dalam : Lo =

gT 2 = 1,56T 2 m = 1,56(10)2 = 156 m 2π

Pada kedalaman h = 200 m •

d 200 = = 1,2821 maka tergolong laut dalam Lo 156

•

Jadi

•

Kecepatan rambat gelombang :

•

C=

d d = sehingga L = Lo =156 m Lo L

L 156 = = 15,6 m/dt T 10

Pada kedalaman h = 3 m Dihitung

d 3 = = 0,0192 , maka tergolong laut transisi. Lo 156

Panjang gelombang dapat dicari dengan menggunakan dua cara yaitu:
Dengan menyelesaikan persamaan dispersi (Persamaan 2.23) : ω2 = gk tanh kd

dimana : ω = 2π/T

dan

k = 2π/L

Persamaan di atas adalah persamaan non-linier dan diselesaikan dengan cara sebagai berikut: •

Ruas kanan dan kiri persamaan di atas dikalikan dengan d/g sehingga persamaan menjadi: ω2 d = kd tanh kd g

2. Teori Gelombang

II - 35

Bahan Kuliah Teknik Pantai

•

Alwafi Pujiraharjo - 2009

Dimisalkan kd = x maka persamaan menjadi : ( 2π / 10) 2 * 3 = x tanh x 9,81

•

0,12073 = x tanh x



Persamaan disusun ulang menjadi : x tanh x - 0,12073 = 0

•

Persamaan diselesaikan dengan metode Newton-Raphson dengan persamaan iterasi sebagai berikut:

xn+1 = x n − •

Diambil nilai awal x = 0,5, hasil iterasi disajikan pada tabel berikut:

•

Iterasi

Xn

ke-n

•

f(xn)

f'(xn)

Error (%)

1

0.5000000 0.1103286 0.8553410

-

2

0.3710122 0.0109336 0.6791646 34.7664670

3

0.3549136 0.0001983 0.6544361

4.5359169

4

0.3546106

7.133E-08

0.6539652

0.0854343

5

0.3546105

9.243E-15

0.6539651

0.0000308

Diperoleh x = kd = 0,3545105 

•

f ( xn ) x tanh x − 0,12073 = xn − f ' ( xn ) tanh x + x sech 2 x

k = 0,3546105/3 = 0,1182075

Panjang gelombang: k = 2π/L



L = 2π/k = 53,15 m

Cepat rambat gelombang C = L/T = 53,15/10 = 5,315 m/detik
Dengan menggunakan Tabel C-1 SPM 1984. Berdasarkan nilai

d = 0,05641 L

d = 0,0192 maka dari Tabel C-1 diperoleh : Lo

sehingga

L=

3 = 53,2 m 0,05641

Kecepatan rambat gelombang : C=

L 53,2 = = 5,32 m/dt T 10

2. Teori Gelombang

II - 36

Bahan Kuliah Teknik Pantai

Alwafi Pujiraharjo - 2009

Contoh Soal 2 Gelombang dengan periode T = 8 detik pada kedalaman d = 15 m mempunyai tinggi H = 5,5 m. Hitunglah kecepatan dan percepatan lokal partikel air dalam arah

θ=

vertikal

dan

horisontal

pada

elevasi

z

=

-5

m

pada

saat

2π x 2 π t π − = . L T 3

Penyelesaian Panjang gelombang di laut dalam :

Lo =

gT 2 = 1,56T 2 m = 1,56(8)2 = 99,8 m 2π

Pada kedalaman d = 15 m d 15 = = 0,1503 , maka dari Tabel C-1 diperoleh nilai : Lo 99,8

Berdasarkan nilai d ≈ 0,1835 L




;

2πd 2πd = 1,424 ; cosh = 1,742 L L

Panjang gelombang : L=




sinh

15 = 81,7 m 0,1835

Kecepatan Lokal Partikel Air pada z = - 5 m Horisontal

u =

H g T cosh k ( d + z ) cos(kx − ωt ) 2L cosh kd

u =

5,5 9,8(8) cosh[2π(− 5 + 15) / 81,7]  π  cos  2 81,7 1,742 3

= 1,515 (1,3106 )(0,5) = 0,99 m/dt Vertikal w =

H g T sinh k ( d + z ) sin( kx − ωt ) 2L cosh kd

w =

5,5 9,8(8) sinh[ 2π(− 5 + 15) / 81,7]  π  sin  2 81,7 1,742 3

= 1,515 (0,8472)(0,8667) = 1,11 m/dt


Percepatan Partikel Air pada z = - 5 m

2. Teori Gelombang

II - 37

Bahan Kuliah Teknik Pantai

Alwafi Pujiraharjo - 2009

Horisontal ax =

g π H cosh k ( d + z ) sin( kx − ωt ) L cosh kd

ax =

9,8( π)(5,5) cosh[2π(− 5 + 15) / 81,7]  π  sin  81,7 1,742 3

= 1,190(1,3106)(0,8667) = 1,35 m/dt2 Vertikal ax = −

g π H sinh k ( d + z ) cos( kx − ωt ) L cosh kd

az = −

9,8( π)(5,5) sinh[ 2π(− 5 + 15) / 81,7] π cos  81,7 1,742 3

= -1,190 (0,8472)(0,5) = - 0,50 m/dt2

Contoh Soal 3 Diketahui gelombang dengan periode T = 10 detik merambat pada perairan dengan kontur kedalaman lurus dan paralel. Jika tinggi gelombang di laut dalam dan pada kedalaman d = 12 m masing-masing adalah H0 = 3,13 m dan H = 3 m. a. Perpindahan partikel air maksimum dalam arah horisontal dan vertikal pada kedalaman 12 m dengan z = -5 m. b. Perpindahan partikel air maksimum pada kedalaman tak hingga dengan elevasi z = -7,0 m.

Penyelesaian Panjang gelombang di laut dalam : sehingga

Lo =

gT 2 = 1,56T 2 m = 1.56(10)2 = 156 2π

d 12 = = 0,0769 Lo 156

Dengan nilai

d = 0,0769 , maka dari Tabel C-1 diperoleh : Lo

2. Teori Gelombang

II - 38

Bahan Kuliah Teknik Pantai

sinh

a.

Alwafi Pujiraharjo - 2009

2πd d = 0,8306 dan = 0,12 sehingga L = 100 m (perairan transisi ) L L

Perpindahan partikel maksimum arah vertikal dan horisontal pada kedalaman 12 m dan z = -5 m:

A =

B =

H cosh k ( d + z ) 2 sinh kd H sinh k ( d + z ) 2 sinh kd

=

=

 2.3,14 (12 − 5) cosh  3 100   2 0,8312  2.3,14 sinh  (12 − 5) 3  100  2 0,8312

= 1,9818 m

= 0,8191 m

b. Perpindahan partikel maksimum di laut dalam dan z = - 7 m: A = B =

H kz e 2

=

3,13 ( 2.3,14 / 100 )( −7 ) e 2

= 1,0081 m

Contoh Soal 4. Dari pengukuran tekanan di bawah permukaan gelombang dan pada elevasi 0,6m dari dasar diperoleh tekanan maksimum (p) = 124 kN/m2. Kedalaman perairan pada lokasi d = 12 m. Rata-rata frekuensinya (f0 = 0,1 cycles /dt (herzt)). Hitung tinggi gelombang (H) dengan menggunakan teori gelombang linier.

Penyelesaian Periode gelombang, T =

1 1 = = 10 detik , f 0,1

Panjang gelombang di laut dalam : Lo =

Kedalaman perairan d = 12 m sehingga

2. Teori Gelombang

gT 2 = 1,56T 2 m = 1,56(10)2 = 156 m 2π

d 12 = = 0,0769 Lo 156

II - 39

Bahan Kuliah Teknik Pantai

Dengan

Alwafi Pujiraharjo - 2009

2πd d d = 1,3. = 0,0769 , dari Tabel C-1 diperoleh = 0,12 dan cosh Lo L L

Sehingga panjang gelombang L =

Kz =

cosh( 2π( d + z ) / L) cosh( 2πd / L)

12 = 100 m. 0,12

=

cosh( 2π(12 − 11,4) / 100) 1,3

p = ρg ( ηK z − z ) , tekanan maksimum terjadi bila η =

H  124000= 1000*9,81  * 0,771 + 11,4   2 

= 0,771

H , sehingga : 2

H = 3,217 m




Contoh Soal 5 Diketahui gelombang dengan periode T = 15 detik dan tinggi H = 1,0 m merambat pada perairan dengan kedalaman d = 3 m. a. Hitung panjang gelombang dengan menggunakan teori gelombang Cnoidal kemudian hasilnya dibandingkan dengan panjang gelombang berdasarkan teori gelombang linier (teori gelombang Airy). b. Hitung kecepatan rambat gelombang dengan teori gelombang Cnoidal dan bandingkan dengan teori gelombang Airy. c. Hitung jarak puncak gelombang (yc) dan jarak lembah gelombang (yt) terhadap dasar air.

Penyelesaian a. Hitung H/d = 1/3 = 0,33 dan

T g/d

= 15 9,81 / 3 = 27,11

Dari grafik Gambar 2.8 dengan nilai H/d = 0,33 dan T g / d

=

27,11

diperoleh nilai k2 = 1 – 10-5. Dengan grafik Gambar 2.9 untuk k2 = 1 – 10-5 diperoleh :

L2 H d3

= 290

2. Teori Gelombang

sehingga L =

290 d 3 = H

290. 33 1,0

= 88,5 m

II - 40

Bahan Kuliah Teknik Pantai

Alwafi Pujiraharjo - 2009

Dengan menggunakan teori gelombang Airy, panjang gelombang dihitung sebagai berikut: •

Panjang gelombang di laut dalam L0 = 1,56 T2 = 1,56 . 152 = 351 m

•

d/L0 = 3/351 = 0,00855

•

Dengan d/L0 = 0,00855 dari Tabel C-1 diperoleh d/L = 0,0372 sehingga panjang gelombang L = 3,0/0,0372 = 80,64 m

Untuk mengecek apakah teori gelombang Cnoidal dapat diterapkan pada kondisi ini maka dihitung d/L dan parameter Ursell UR =

L2 H sebagai d3

berikut: d/L = 3,0 / (88,5) = 0,0339 < 1/8

O.K.

L2 H UR = d3

O.K.

(88,5) 2 (1,0) = = 290 > 26 (3,0) 3

Sehingga teori gelombang Cnoidal dapat diterapkan. b. Kecepatan rambat gelombang dihitung dengan : C = L/T = 88,5 / 15 = 5,90 m/detik Sementara dengan teori gelombang linier : C = L/T = 80,6 / 15 = 5,37 m/detik. Prosentase tinggi gelombang di atas SWL dapat dicari dengan menggunakan grafik Gambar 2.6 dan Gambar 2.7. Dengan nilai

L2 H = 290 maka nilai d3

(yc – d) = 0,865 atau 86,5 %, sehingga : yc = 0,865 H + d = 0,865 (1,0 ) + 3,0 = 3,865 m Juga dari grafik diperoleh

yt − d + 1 = 0,865 sehingga H

yt = 2,865 m

2. Teori Gelombang

II - 41