MODUL 2 Osilasi Teredam

Drs. Fatkhulloh, M.Si

Pendidikan Fisika FPMIPA UAD Yogyakarta

OSILASI HARMONIK TEREDAM Dalam pembahasan yang terdahulu, masih dianggap bahwa titik massa yang melakukan osilasi sederhana (dapat berupa bandul atau beban pada pegas), tidak mengalami redaman seperti karena gaya gesekan, sehingga dapat berosilasi terus menerus. Pada kenyataannya, amplitudo osilasi makin lama makin berkurang hingga akhirnya menjadi nol. Hal ini terjadi karena pengaruh gaya gesekan. Contoh gesekan ini misalnya gesekan oleh udara, hembusan angin, gesekan dengan air seperti pada sistem nassa pegas yang ditunjukkan oleh Gambar 2.1 dan lainnya. Osilasi yang demikian disebut osilasi harmonis teredam.

Gambar 2.1 (a) Getaran selaras teredam sistem massa – pegas yang dibenamkan ke dalam air. (b) Kurva peredaman pada sistem itu Pada umumnya gaya gesek yang dialami titik massa yang berosilasi ini berbanding lurus dengan kecepatannya dan ditulis sebagai berikut

Fgesekan = bv

(2.1)

dengan b adalah tetapan redaman dan v adalah kecepatan. Substitusikan gaya gesekan ini sebagai gaya luar selain gaya pegas ke Persamaan

ΣF = ma = −kx − bv

(2.2)

d 2x dx m 2 + b + kx = 0 dt dt

(2.3)

Perhatikanlah, sekarang kita memiliki suku berbentuk –bv = -b dx/dt dalam persamaan (2.2) yang mana sebelumnya tidak terdapat dalam persamaan (1.5). Inilah representasi gaya gesekan. Tanda negatif menunjukkan bahwa HANDOUT “GELOMBANG”

1

Drs. Fatkhulloh, M.Si

Pendidikan Fisika FPMIPA UAD Yogyakarta

arahnya selalu berlawanan dengan arah gerakan massa. Adapun b merupakan tetapan yang nilainya bergantung kepada rapat massa fluida, dan bentuk dari massa m. Sebelum kita mencoba menemukan penyelesaian dari persamaan (1.22), sekarang cobalah bayangkan bahwa Anda memiliki sebuah ayunan pegas yang berayun cukup cepat, katakanlah periodenya 1 sekon. Jika pada saat t=0, simpangan ayunan bernilai 1 cm dan misalkan satu sekon kemudian simpangan tersebut berkurang menjadi 0,5 cm. Kejadian tersebut berulang dan berulang dengan pengurangan amplitudo setengah dari periode sebelumnya. Jika dibuat plot antara t dan amplitudo, maka kita akan memperoleh hasil berupa pola penurunan amplitudo secara eksponensial menurut bentuk,

A( t ) = A0 e −αt

(2.4)

Sehingga

x( t ) = A( t ) cos( ωt + θ ) = A0 e −αt ( ωt + θ )

(2.5)

Untuk menggambarkan pola ayunan yang dimaksud di dalam persamaan (2.5). Gambar (2.2) menyajikan pola penurunan amplitudo untuk fungsi x(t)=e-tcos(2π t). Garis ‘mlengkung’ adalah yang merupakan cungkup (envelope) ayunan. Tentu saja, pola yang berbeda akan kita peroleh untuk keadaan laju penurunan amplitudo dan frekuensi yang berbeda

Gambar 2.2 Pola penurunan amplitudo dari sebuah fungsi berbentuk x(t)=e-αtcos(2πt) dengan α=1. Pola yang berbeda akan kita peroleh untuk nilai yang berbeda. Tampak bahwa ayunan bergerak dengan amplitudo yang terus mengecil menuju nol.

kita akan mencoba memilih bentuk,

x ( t ) = x0 eαt

(2.6)

dan memasukkannya sebagai penyelesaian persamaan (2.3).

dx( t ) = α x0 e α t = α x ( t ) dt dx 2 ( t ) = α 2 x0 e α t = α 2 x ( t ) 2 dt HANDOUT mα 2 x “GELOMBANG” + bαx + kx = 0

(2.7) (2.8)

2

Drs. Fatkhulloh, M.Si

Pendidikan Fisika FPMIPA UAD Yogyakarta

Hilangkan faktor x, maka persamaan karakteristik :

menjadi persamaan

mα 2 + bα + k = 0

(2.9) kuadrat atau disebut (2.10)

Persamaan (2.10) merupakan persamaan kuadrat dan untuk penyelesaian akar persamaan karakteristiknya diberikan oleh α :

− b ± b 2 − 4mk α= 2m

(2.11)

Kita akan mengkaji persamaan (2.11) secara lebih detil dan melihat konsekuensinya terhadap perilaku osilasi. Jika faktor redaman b bernilai besar, tentu akar kuadrat dalam persamaan (2.11) akan bernilai real atau sebaliknya bisa menjadi imaginer. Kita ambil suku akar kuadrat D

D = b 2 − 4mk

(2.12)

1. Keadaan teredam kuat (D > 0) Pada keadaan ini, OHS teredam mempunyai dua akar persamaan karakteristik α = α1 ≠ α 2 bernilai riil dan berbeda, dan disebut sebagai keadaan teredam kuat.

− b + b 2 − 4mc α+ = 2m dan

α− =

(2.13)

− b − b 2 − 4mc 2m

(2.14)

Hal ini berarti bahwa kedua solusi berkurang secara eksponensial.

[

v ( t ) = eα + t , eα − t

]

(2.15)

Gambar (2.3) menyajikan contoh dari ayunan sejenis yang diberikan oleh persamaan berbentuk 1 x( t ) = { exp( − 2t ) + exp( − 0,5t )} (2.16) 2 Gambar 2.3 Perilaku ayunan yang sejenis dengan keadaan yang digambarkan oleh persamaan (2.22)

HANDOUT “GELOMBANG”

3

Drs. Fatkhulloh, M.Si

Pendidikan Fisika FPMIPA UAD Yogyakarta

Ketika b bertambah, kedua solusi α+ dan α- menjadi sangat berbeda satu sama lain. α+ 0 sementara α∞ . Saat bernilai sangat kecil itu berarti bahwa pelemahan amplitudo berlangsung sangat lambat. Sehingga ketika b bertambah, laju penurunan amplitudo malah melambat. Hal ini berlawanan dengan keadaan pada kasus nomor 1 di atas. Pada keadaan ini tidak terjadi ayunan akibat gesekan yang sangat besar dan massa tidak dapat bergerak. Yang terjadi hanyalah penuruan amplitudo secara perlahan Solusi persamaan OHS teredam kuat, yang ditandai dengan mempunyai akar persamaan karakteristik riil dan berbeda, α = α1 ≠ α2 biasa ditulis :

x(t ) = Aeα1t + Beα 2t

(2.17)

A dan B merupakan konstanta yang tergantung pada kondisi awal , contoh x=A, dan v=0 pada t=0 Contoh : Tentukan solusi umum dari persamaan OHS teredam kuat dan solusi khusus bila nilai awal x(0) = 1 dan x’(0) = 0

d 2x dx − 5 + 6x = 0 2 dt dt Solusi : 1. Solusi Umum

α 2 − 5α + 6 = 0 Persamaan karakteristiknya :

α1, 2 =

− b ± b 2 − 4mc 2m

5 ± 25 − 4.1.6 5 ± 1 = 2.1 2 5 +1 α1 = =3 2 5 −1 α2 = =2 2

α1, 2 =

x(t ) = Ae3t + Be2t 2. Solusi Khusus Substitusi nilai awal ke dalam solusi umum dan turunan pertamanya :

x(0) = Ae3t + Be2t = 1 → Ae3.0 + Be2.0 = 1 → A + B = 1 dx 3t 2t 3.0 2.0 = 3 Ae + 2 Be = 0 → 3 Ae + 2 Be =0 HANDOUT “GELOMBANG” dt 4

Drs. Fatkhulloh, M.Si

dx = 3A + 2B = 0 dt A + B =1 3A + 2B = 0

Pendidikan Fisika FPMIPA UAD Yogyakarta

A=-2 dan B=3

Jadi solusi khususnya :

x(t ) = −2e3t + 3e2t

2. Keadaan teredam kritis (D = 0) Keadaan ini memiliki banyak manfaat untuk aplikasi dan rekayasa, contohnya untuk kepentingan perancangan komponen peredam (shock absorber) pada kendaraan bermotor. Saat b bernilai terlampau kecil, akan menimbulkan ayunan yang lama tanpa menimbulkan pengurangan yang berarti pada amplitudo. Namun, jika b terlampau besar, keadaan berubah seolah dalam keadaan terhimpit dan memerlukan waktu yang lama sebelum dapat kembali menggerakkan massa m. Pilihan terbaik untuk nilai b adalah pada keadaan , yang disebut sebagai keadaan teredam kritis, yang berada diantara keadaan teredam lemah dengan teredam kuat. Ilustrasinya disajikan dalam Gambar (2.4) dari sebuah fungsi yang berbentuk x(t) = exp (-t)(1-t). Garis ‘melengkung’ adalah plot untuk exp (-t).

Gambar 2.4 Keadaan teredam kritis.

Keadaan OSH teredam kritis, mempunyai nilai akar persamaan sama, α = α1 = α2 sehingga solusinya adalah :

x(t ) = eαt ( A + Bt )

(2.18)

Contoh : HANDOUT “GELOMBANG”

5

Drs. Fatkhulloh, M.Si

Pendidikan Fisika FPMIPA UAD Yogyakarta

Tentukan solusi umum dari persamaan OHS teredam kritis dan solusi khusus bila nilai awal x(0) = 1 dan x’(0) = -1

d 2 x dx − =0 dt 2 dt Solusi : 1. Solusi Umum

α 2 −1 = 0 Persamaan karakteristiknya :

α1, 2 = 1

x (t ) = et ( A + Bt ) 2. Solusi Khusus Substitusi nilai awal ke dalam solusi umum dan turunan pertamanya :

x(0) = e0 ( A + B.0 ) = 1 → A = 1 dx = Aeεt + Beεt .t + Beεt = −1 → A + B = −1 dt A =1 A + B = −1

A=1 dan B=-2

x(t ) = et (1 − 2t )

Jadi solusi khususnya :

3. Keadaan teredam lemah (D < 0) Akar persamaan karakteristik α berbentuk kompleks dengan bagian realnya diberikan oleh –b/2m. Adapun bentuk imaginernya dapat kita peroleh dengan menulis kembali √b2-4mk berbentuk

( − 1) ( 4mk − b 2 ) − i

( 4mk − b )

(2.19)

2

Sehingga kita dapat menulis ekspresi untuk α berbentuk :

−b k b2 α= ±i − 2m m 4m 2

(2.20)

Tampak jelas dari persamaan (2.20) bahwa jika b = 0, maka bentuk akar dalam persamaan tersebut berubah menjadi √k/m yang tak lain frekuensi ayunan seperti yang diberikan dalam persamaan (1.10). Dengan demikian bentuk akar dalam persamaan (2.20) juga berdimensi yang sama, sehingga membolehkan kita untuk menulis persamaan (2.20) berbentuk

−b α= ± iω HANDOUT “GELOMBANG” 2m

k b2 ω= − m 4m 2 6

Drs. Fatkhulloh, M.Si

Pendidikan Fisika FPMIPA UAD Yogyakarta

dengan

(2.21)

Substitusi persamaan (2.21) pada persamaan (1.10) akan menghasilkan bentuk penyelesaian persamaan (2.3) sebagai berikut :

x( t ) = x0 e = x0 e αt

 −b  ± iω  t   2m 

= x0 e

−b t 2 m ± iω t

e

(2.22)

Tanda ± dalam persamaan (2.22) mengandung pengertian bahwa persamaan tersebut terdiri dari dua bentuk penyelesaian. Kita dapat pula menulis persamaan tersebut dalam bentuk yang ekivalen

x( t ) = x0 e = x0 e αt

−b t 2m

[ cos( ωt ) , sin( ωt ) ]

(2.23)

Atau sering ditulis :

x( t ) = x0eαt = x0eαt { A cos( ωt ) + B sin ( ωt )}

(2.24)

Persamaan (2.24) adalah solusi persamaan deferensial orde dua OHS teredam, untuk kasus akar karakteristiknya kompleks. Persamaan ini tidak lain merupakan perkalian sebuah bentuk eksponensial dengan sinusuida. Amplitudo x0 berkurang dengan laju exp(–b/2m). Sekarang mari kita cermati makna dari bentuk ini. Ketika ia bernilai nol, maka itu berarti tidak terdapat penurunan amplitudo sama sekali, akan tetapi jika ia bernilai cukup besar, maka penurunan amplitudo akan berlangsung secara sangat cepat. Sebagai gambaran, misalnya amplitudo pada saat t = 0 adalah bernilai satu. Kita ingin mengetahui waktu τ yang diperlukan untuk meredam hingga mencapai keadaan 1/e atau ekivalen dengan nilai 0,37 kali amplitudo semula. Besaran ini disebut dengan waktu relaksasi. Saat t=1, kita memiliki simpangan sebesar , maka untuk keadaan yang ditanyakan berlaku

e

−b t 2m

τ=

(2.25)

= e −1 2m b

(2.26)

Persamaan (2.18) lazim disebut dengan waktu pelemahan. Sehingga kita dapat menulis ulang penyelesaian pada persamaan (2.16) ke bentuk

x( t ) = x0 e − t /τ [ cos( ωt ) , sin ( ωt ) ]

(2.27)

x( t ) = x0e − t τ = x0e − t τ { A cos( ωt ) + B sin ( ωt )}

(2.28)

Ketika redaman bertambah, τ mengecil, yang berarti bahwa proses peredaman berlangsung lebih cepat. HANDOUT “GELOMBANG”

7

Drs. Fatkhulloh, M.Si

Pendidikan Fisika FPMIPA UAD Yogyakarta

Contoh : d 2x dx Tentukan solusi persamaan OHS teredam lemah berikut ini +: 4 + 9 x = 0 2

dt

dt

Solusi : Persamaan karakteristiknyaα: 2 + 4α + 9 = 0

α1, 2 α1, 2 =

− b ± b 2 − 4mc = 2m

− 4 ± 16 − 4.1.9 − 4 ± − 20 = = −2 ± i 5 2.1 2

{

x(t ) = e −2t A cos 5t + B sin 5t

}

Tugas : Carilah solusi umu dan khusus persamaan OHS teredam berikut ini ; 2 1. d x − 4 dx − 5 x = 0 → pada x(0) = 0 dan x' (0) = -1 2

dt

dt

2 2. d x − 6 dx + 9 x = 0 → pada x(0) = 1 dan x' (0) = 0 2

dt

dt

2

3.

d x dx − 4 + 7 x = 0 → pada x(0) = −1 dan x' (0) = 0 2 dt dt

2 4. d x

dt 2

+ 4 x = 0 → pada x(0) = 1 dan x' (0) = -1

HANDOUT “GELOMBANG”

8