Modul 1 Bentuk Pangkat, Akar Dan Logaritma

MODUL 1 BENTUK PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA Kompetensi Dasar :1. Menggunakan sifat dan aturan tentang pangkat, akar  dan logaritma dalam pemecahan masalah. 2. Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan pangkat, akar dan logaritma. 3. Merancang model matematika yang berkaitan dengan bentuk pangkat, pangkat, akar dan dan logaritma menyelesaikan modelnya dan menafsirkan hasil yang diperoleh. Indikator : 1. Mengubah bentuk pangkat negatif ke pangkat positif dan sebaliknya. 2. Mengubah bentuk akar ke bentuk pangkat dan sebaliknya. 3. Mengubah bentuk pangkat ke bentuk logaritma dan sebaliknya. 4. Melakukan operasi aljabar pada bentuk pangkat, akar dan logaritma. 5. Menyederhanakan bentuk aljabar yang memuat pangkat rasional. 6. Menyederhanakan bentuk aljabar yang memuat logaritma. 7. Merasionalkan bentuk akar. 8. Membuktikan sifat-sifat yang sederhana tentang bentuk pangkat, akar dan logaritma. 9. Menjelaskan karakteristik masalah yang mempunyai model matematika bentuk pangkat, akar dan logaritma. 10.Menentukan besaran masalah yang dirancang sebagai variabel bentuk pangkat, akar dan logaritma. 11.Merumuskan bentuk pangkat, akar dan logaritma yang merupakan model matematika dari masalah. masalah. 12.Menentukan penyelesaian dari model matematika. 13.Memeberikan tafsiran terhadap solusi dari masalah.

Pangkat. 1. Bentuk Pangkat. Bentuk Umum :

an

dengan a=bilangan pokok (basis) n=pangkat bilangan rasional

Sifat-sifat Bentuk Pangkat. p

1. a

1 1

x a q = ap + q

:

Bukti a  p

( axaxax

......  xa )

=

 p faktor 

aq

( axaxax

.......  xa )

=

q faktor   p

a  xa

q

( axaxax

=

...  xa )  x ( axaxax

 p faktor 

...  xa )

q faktor  (  p +q ) faktor 

a  p

=

q

+

Contoh : 22 x 23 = ap+q = 22 + 3 = 25 = 32 2.

a

–n

1

=

a≠ 0

an

 Bukti : a −n

= a 0−n = =

3.a

p

a0 an 1 an

: a q = ap – q

 Bukti : a  p aq

1 aq =a  p .a −q

= a  p .

=a  p +( −q ) =a  p −q Contoh : 36 32

= a  p −q =a 6 −2 =a 4 =16

4.(a

p q

) = apxq

2 2

:

B u k t i

(a

     p

)

q

(a

     p

)   x (

= = (a x a x

. . .

     p

(a x a x

a

Contoh: (2 3 ) 2

( a  p ) q

=

( 2) 3 x 2

=

5.

=

( 2) 6

=

64

ao = 1  Bukti : ao

= = =

a m −m am am 1

2. Be Ben ntu tuk k Aka Akar. r. a. Menyederha Menyederhanaka nakan, n, menga mengalikan likan dan Membagi. Membagi. b. Penjum Penjumlah lahan an dan dan Peng Pengura uranga ngan. n. c. Mena Menari rik k Aka Akarr kua kuadr drat at.. d. Akar Akar Pangk Pangkat at n suatu suatu bila bilanga ngan. n. e. Keseka Kesekawan wanan an Bentuk Bentuk Akar. Akar. f. .Meras .Merasion ionalk alkan an Penye Penyebut but Pec Pecaha ahan n Bentuk Bentuk Akar Akar..

a.Menyederhanakan, Mengalikan dan Membagi 1). Menyederhanakan Menyederhanakan a  x b

a  x

=

b

Contoh: 75

25  x3

=

25  x

= =

5

3

3

2). Mengalikan a  x

b

a  x b

=

Contoh: 6  x 12

= =

6

3). Membagi

3 3

36 x 2 36  x 2

= =

72

2

f a k t o r  

. . . .

p x q

a

a

=

b

b

Contoh: 48

48

=

6

6 =

8

=

4 x 2

=

4  x 2 2 2

=

b. Penjumlahan dan Pengurangan. 1). Penjumlahan a  x

+

b  x

(a

b )  x

=

+

Contoh: 3 7

5

7

+

(3 +5)

7

=

8 7

=

2). Pengurangan a

 y

b

 y

=

3 2

=

−

(a

−

b)  y

(7

−

Contoh: 7

2

−

4

3)

2

2

=

c. Menarik Akar Kuadrat (x+y)2 = x2 + 2xy + y2  Jika (

a

a

 x +

+

a dan

=

b)

2

b

 y

(

a)

=

a

+

=

(a

=

=

+

2

b

=

+

maka

2 a. b

2 ab

+

+

( b)

2

b

b ) + 2 ab

( a +b) + 2 ab

Contoh: 7

2 10

+

= =

(5 +2 ) 5

+

+

5 .2

2

(x-y)2 = x2 - 2xy + y2  Jika  x = a dan dan  y = b maka 2 2 ( a − b ) = ( a ) − 2 a. b + ( = a − 2 ab + b = (a + b) − 2 ab a− b

=

b)

2

(a + b) − 2 ab dengan a

>b

Contoh:

4 4

10

2

21

−

(7

= =

7

3)

2

+

7 .3

−

3

−

d. Akar Pangkat n suatu bilangan Akar Pangkat n suatu bilangan (bentuk akar) dapat dinyatakan dengan pangkat rasional. m n

a

=an

m

dengan

m, n ∈bilangan

bulat 

dan n

≥2

=2  Jika m tidak  ditulis berarti m =1  Jika n tidak  ditulis berarti

n

Contoh: 3

64

=

3

26 6

23

= =

22

=

4

e. Kesekawanan Bentuk Akar. Kesekawanan Bentuk Bentuk Akar adalah adalah pasangan bentuk bentuk akar  (bilangan irasional) yang hasil kalinya bukan bentuk akar  (bil.rasional). Untuk a, b, m dan n ∈ bilangan rasional selain nol, maka : Bentuk Akar Bentuk Sekawan Hasil Kali a

+

b

a

b

a a

a

a2

b

a

b

+ b− c

a

−b − b

− b+ c

−b

a−b

a

+

+

−

2

a −b a

−

(b + c ) + 2 bc

Contoh: 1).Sekawan dari 3+ 2 adalah 3 - 2 Hasil kali bentuk akar dengan sekawannya: (3 + 2 )( 3 − 2 −) = 9 - 2 =7 2).Sekawan dari 5 + 2 adalah 5 −2 Hasil kali bentuk akar dengan sekawannya ( 5

+

2)(

5

−

2)

= =

5 −4

1

3).Sekawan dari ( 7 + 5 ) adalah ( 7 − 5 ) Hasil kali bentuk akar dengan sekawan: ( 7 + 5 )( 7 − 5 ) = 7 −5 =2

f. Merasionalkan Penyebut Pecahan Bentuk Akar. 5 5

Merasionalkan penyebut pecahan bentuk akar artinya mengubah penyebut pecahan bentuk akar ( bilangan irasan) menjadi bilangan rasional, tetapi tidak mengubah nilai pecahan tersebut. 1).Pecahan bentuk : *)

a b

a

dan * *) a

Menyelesaikan bentuk : *

b a

=

b

b =

a

b

 x

b

b

b

Contoh: 6 3

6

= =

3

6

x

3 3

3

3

=2 3 a

Menyelesaikan bentuk : **

b

= =

1 b

a b

 x

b b

ab

Contoh: 3

3

=

8

x

8

8 8

24

=

8 =

=

1

8 1 8 2

24 4 .6

=

=

8 1 2

6 6

2).Pecahan bentuk : *)

c a+ b *)

Menyelesaikan bentuk:

dan * *)

c a− b

  c    a−  =      a − a + b  a + b    c (a − b ) = 2 a −b c

    b     b

Contoh:

6 6

12 3+ 6

=

12 (3 + 6 )

x

(3 − 6 ) (3 − 6 )

12 (3 − 6 ) 9 −6

=

12 (3 − 6 ) 3

=

=4(3 − 6 ) c

* *)

a− b

Menyelesaikan bentuk :

c

=

(a − b ) =

 x

(a + b ) (a + b )

c (a + b ) a2

−

b

Contoh: 5

5

=

2− 3

(2 − 3 )

 x

(2 + 3 ) (2 + 3 )

5 (2 + 5 )

=

4 −3 5 (2 + 5 )

=

3).Pecahan bentuk *)

c a

b

+

*)

Menyelesaikan bentuk :

c

dan * *)

c a

+

b

a

−

b

       a + b    c ( a − b) = a −b

  =   

c

− a− a

    b     b

Contoh:

 x       5+ 3 5 + 3     6 ( 5 − 3) = 5 −3 6( 5 − 3 ) = 6

  =   

6

− 5− 5

3  

  3    

2

=3 (

5

−

3)

* *)

Menyelesaikan bentuk :

c a

−

b

  =   

=

Contoh:

7 7

c(

       a − b    a + b) a −b c

+ a+ a

    b     b

    x      6− 2 6 − 2     12( 6 + 2 ) = 6−2 12 ( 6 + 2 ) = 6 −2 12 ( 6 + 2 ) =   =   

12

2  

+ 6+

12

6

  2    

4

= 3(

6

+

2)

3. Logaritma. a. Logari Logaritma tma suatu suatu bilang bilangan. an. Bentuk Umum :  p log a =b →a = p b Syarat : p > 0 dan p ≠ 1 a>0 p = bilangan pokok jika tidak ditulis artinya p=10 a = numerus b = hasil logaritma. Jika p=10 dan a= 10 m maka log 10 m = m log log log log

= log 100 = log 101 = log 102 = log 103

1 10 100 1000

=o =1 =2 =3

b. Sifa Sifatt-si sifa fatt Loga Logari ritm tma. a. 1).  p log log a.b

=  p log log

 Bukti : misalkan

a

+ p

 p

log log a

 p

log log b

a.b

∴ p log log

log log b

= x →a =  p  x = y →b =  p  y

= p  x . p  y = p  x + y

= p log log  p  x + y =( x + y ) =  p log log a +  p log

a.b

b

Contoh : 6 log 72 + 6log 3 = 6log (72x3) = 6log 216 = 6log 63 = 3. 6log 6 = 3.1 =3

8 8

a

2).  p log log

 p

=

b

log log a  p

 Bukti : misalkan

 p

 p −

log log a =  x

log log b

a

 p

log log

a

 p

=

log log  p ( x

b =

=

 y

 p  x

=

b ∴

log log b

 p

 y

a

=

 p  x

b

=

 p  y

→ →

=

 p  x

 y

−

 y )

−

( x −  y )  p

=

log log a −  p log log b

Contoh: 5

−5

log 100

=5

log 4

log(

100 4

)

= 5 log 25 = 5 log 5 2 =2 5 log 5 =2  p

3). log log a

n

=

 p

n. log log a

 Bukti :  p log log a n

=

 p

log log ( axaxax ........ axa ) n  faktor 

=

 p

log log a + p log log a + p log log a + ....... n   faktor 

=

 p

n. log log a

Contoh: 2

log 16

=

2

log 2 4

4 2 log 2

=

4.1

= =

4  p

4). a log log b

log =  p log

log log a

 Bukti : Misalkan

∴a

log log b

= p

 x

 x

 p

log =  p log

b

log log a

9 9

=  x → a =  p  x  p log log b =  y → b =  p  y  p

log log a

log log  p  y

=  y

Contoh:

b

 p +

log log a

27

log log 729 log log 27

=

log log 729

log log 3 6

=

log log 3 3 6 log log 3 3 log log 3

=

6

= . 3 log log 3

3 =2 5). a

a

log b

a

 Bukti :

b

=

log b = c → b = a

c

berarti b = a

a

log b

Contoh: 4

2

log 3

1

=

(2 2 )

=

( 4)

14 4

=

( 4)

=

34

=

4

4

4

log 3

log 3 1

log 3 4

1

=

6). b log log a

3 1 a

log a  Bukti :b log

log log b

= =

=

 p

log log a

 p

log log b 1

 p

log log b

 p

log log a 1

a

log log b

Contoh: 8

log log 2

1

=

=

2

log log 8 1

2

log log 2 3 1

=

2

3 log log 2 =

1 3

c. Pers Persam amaa aan n Log Logar aritm itma. a. a a 1). log f(x)= log p f(x)=p dengan syarat f(x)>0 Contoh 1 :

10 10

5

log( 2 x +3)

=

log 5 3

5 =

log 125

(2 x +3)

 selidiki

∴

125

=

2 x

=

 x

=

122 61

  f  ( x)

>

0

2 x +3

>

0

2.61

+

125 maka

3

5 =

himpunan

3

>

>

0

0 memenuhi

penyelesai

annya {61}

2). alog f(x)=blog f(x) Contoh 2 : 3 log(x2-x-3)=2 =3log32 =3log 9 (x2-x-3) = 9 x2 +x -12 = 0 (x+4)(x-3)=0 x+4=0 atau x-3=0 x= - 4 x=3 Syarat : f(x) > 0 x2 + x - 3 > 0 x= - 4 → (-4)2 +(-4) – 3>0 16 - 4 -3 > 0 16 - 7 > 0 9 > 0 memenuhi Hp={-4 , 3}

2). alog f(x)=blog f(x) f(x)=1 syarat : a

| x=3 → 32 +3 -3>0 | 9 > 0 memenuhi memenuhi

≠

b

Contoh 1 : 5 log (2x-3)=7log(2x-3) Syarat f(x)=1 2x – 3 = 1 2x = 4 x=2 Syarat : a ≠ b 5 ≠ 7 memenuhi maka Hp={2} Contoh 2 : 3

log (x2 +2x-2)=4log (x2 +2x-2) Syarat f(x)=1 x2+2x-2=1 x2 +2x-3=0

11 11

(x+3)(x-1)=0 x + 3=0 atau x -1=0 x = -3 x= 1 Syarat : a ≠ b 3 ≠ 4 memenuhi Hp={-3, 1}

3). alog f(x)=alog g(x) ⇒ f(x) = g(x) Syarat f(x) > 0 dan g(x) > 0 Contoh 1 : log (x2 +3x-7)=log (x+8) (x2+3x-7)= (x+8) x2 +2x -15=0 (x+ 5)(x- 3)=0 x + 5 = 0 atau x – 3=0 x=-5 x=3 Syarat : f(x) > 0 x2+3x-7>0 x=-5 → (-5)2+3(-5)-7>0 | x=3 → (3)2+3(3)-7>0 25 -15 -7 >0 9 + 9 -7 >0 3 > 0 memenuhi 11 >0 memenuhi Syarat : g(x) g(x) > 0 x+8>0 x=-5 → (-5)+8 > 0 | x=3 → (3)+8 > 0 3 >0 memenuhi 11 > 0 memenuhi Maka Hp={ -5, 3 } Contoh 2 : log log 2x = log(log log(log 2x + 6)-log 6)-log 4 log  log  

log log 2x = log  log 2x =

log 2 x

2 x + 6     4  

6

+

4

4log 2x = log 2x + 6 3log 2x = 6 log 2x= 2 2x= 102 2x= 100 x= 50 Syarat f(x)>0 | Syarat g(x)>0 log 2x > 0 log 2.50>0 log 100 >0

log log 2 x + 6 4 log log 2.50

4 log log 100 100 4

>0

+

+6

6

>

0

>0

12 12

2 +6 >0 4 2>0

2>0 Hp = { 50 } d. Persamaan Pangkat Sederhana 1). Bentuk : af(x)= ap

→

f(x)=p dan a ≠ 0

Contoh : Tentukan nilai x dari persamaan: 9x+1 =243 Peneyelesaian : 9x+1 =243 2  x +1

(3 )

= 35 3 2 x +2 = 3 5 2 x + 2 = 5 2 x = 3  x

3 2

=

2). Bentuk : af(x) = ag(x)

→ f(x)=g(x)

dan a ≠ 0

Contoh : Tentukan nilai x dari persamaan: 2 x −1

 1       8  

=3

3 2 x −1

( 2− )

32 x

+2

= 3 ( 25 )

 x +2

5 x +10

2

3−6 x

=2

3 − 6 x 23 x

13 13

=

3

5 x + 10 3

= −1 → x = −

→ 9 −18 x = 5 x +10 1 23