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GRUPO VALLEJIANO ESTRUCTURAL LIMA NORTE

MODOS DE VIBRACIÓN DE UN PORTICO 2D DE 3 NIVELES. ANÁLISIS Y COMPARACIÓN DE RESULTADOS EN PROGRAMA ETABS Autor:

JUAN GABRIEL ROJAS VILLACAMPA

GRUPO VALLEJIANO ESTRUCTURAL

LIMA - PERU

2017

______________________________ ° El Grupo Vallejiano Estructural contempla el desarrollo, innovación e incentiva la investigación en el área de la ingeniera estructural en la Universidad César Vallejo

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ÍNDICE Pág. INTRODUCCION

2

MARCO TEÓRICO 1.

2.

3.

Masa 1.1

Masa distribuida

3

2.1

Masa concentrada

3

Rigidez

4

2.1

Matriz de rigidez de una armadura y una viga

4

2.2

Matriz de rigidez de un pórtico plano

6

Condensación estática 3.1

4.

3

8

Matriz de rigidez lateral

10

Vibración libre de sistemas de varios grados de libertad

12

METODOLOGIA 1.

Datos Generales

15

2.

Herramientas

16

3.

Procedimiento sin Etabs

16

4.

Procedimiento con Etabs

19 RESULTADOS

23

CONCLUSIONES

30

BIBLIOGRAFÍA

31

[1]

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INTRODUCCIÓN

El tema de este trabajo de investigación está relacionado con la dinámica estructural y el diseño sísmico de edificaciones. Durante el desarrollo de este trabajo se darán a conocer los conceptos básicos que se deben tener en consideración para conocer y entender los modos de vibración de una estructura. El proceso por el cual se desarrollará este trabajo llevará al lector a aprender conceptos como la matriz de masa de una estructura, la matriz de rigidez lateral, la condensación estática, los modos de vibración de una estructura, etc. Después de haber revisado estos conceptos, se explicará la metodología por la cual se desarrollará este problema. Se harán cálculos sin la ayuda del programa Etabs, para luego comparar estos resultados con los del programa y observar que la diferencia entre estos dos resultados es mínima. De esta forma se garantiza la confiabilidad que tienen hoy en día los programas dedicados al diseño de estructuras y además se entiende cómo es su proceso de solución. Por consiguiente, se espera que el siguiente trabajo de investigación sea de una gran utilidad a todas aquellas personas que realizan estudios de ingeniería civil en la rama de estructuras.

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MARCO TEÓRICO 1.

1.1.

MASA

MASA DISTRIBUIDA

García (1998), menciona que los sistemas donde tanto la masa y la rigidez se consideran como propiedades que se asignan a un infinito número de grados de libertad se denominan sistemas con propiedades distribuidas. Las aplicaciones de esta metodología están limitadas y su utilidad en casos prácticos de ingeniería civil es limitada. Por esta razón, este tipo de sistemas no son tratados en este trabajo. 1.2.

MASA CONCENTRADA

En este sistema se asume que la masa de cualquier estructura está concentrada en los puntos en los cuales los desplazamientos de traslación son definidos. El procedimiento usual para definir que la masa está localizada en cada nodo es asumir que la estructura está dividida en segmentos con los nodos sirviendo como puntos de conexión. Se asume que la masa de cada segmento está concentrada en masas puntuales en cada nodo. (Clough y Penzien, 2005) Para un sistema en el cual solo los grados de libertad traslacionales son definidos, la matriz de masa concentrada tiene una forma diagonal. Por ejemplo, para un sistema de 1 grado de libertad por piso, las masas se concentran a nivel de piso.

𝑚1 𝑀=( 0 0

Figura 1. Pórtico de 3 niveles con un grado de libertad por nivel. [3]

0 0 𝑚2 0 ) 0 𝑚3

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2.

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RIGIDEZ

El significado físico de los coeficientes de rigidez, se puede entender, según Clough y Penzien (2005), como las fuerzas que desarrolla una estructura cuando un desplazamiento unitario correspondiente a un grado de libertad es introducido y ningún otro desplazamiento más es permitido. Estos son positivos cuando el sentido de la fuerza aplicada corresponde a un desplazamiento positivo; o negativo en el caso contrario. En los siguientes puntos se identificara cuáles son estos coeficientes de rigidez en una armadura, en una viga y así hasta llegar a la matriz de rigidez de un pórtico plano. 2.1.

MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA ARMADURA Y UNA VIGA

Para obtener los coeficientes de rigidez en una armadura se aplican desplazamientos unitarios en cada grado de libertad. El término (i, j) de una matriz de rigidez equivale a la fuerza que se debe aplicar en el grado de libertad “i” cuando el grado de libertad “j” es objeto de un desplazamiento unitario, mientras los demás grados de libertad permanecen restringidos (Hurtado, 2014).

Figura 2. Coeficientes de rigidez en una armadura. (a): desplazamiento unitario en grado de libertad 1. (b): desplazamiento unitario en grado de libertad 2

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Si se conoce la fórmula para hallar los desplazamientos ante cargas axiales en un elemento:

𝛿=

𝑃𝐿 𝐸𝐴

(1)

Si el desplazamiento es de una unidad y despejamos “P”, se obtiene el coeficiente de rigidez de la figura 2. Así se obtiene la matriz de rigidez de una armadura.

𝐸𝐴 𝐾=( 𝐿 𝐸𝐴 − 𝐿

𝐸𝐴 𝐿) 𝐸𝐴 𝐿

−

Para obtener los coeficientes de rigidez en una viga también se hace el mismo procedimiento, sin embargo en las vigas existirán 4 grados de libertad. En la figura 4 se puede apreciar los desplazamientos y giros unitarios en cada grado de libertad.

Figura 3. Desplazamientos y giros unitarios. (a): desplazamiento unitario en grado de libertad 1. (b): giro unitario en grado de libertad 2. (c): desplazamiento unitario en grado de libertad 3. (b): giro unitario en grado de libertad 4

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Al resolver para cada caso las fuerzas que resultan por cada desplazamiento y giro unitario, se hallará la matriz de rigidez de la viga, la cual tiene 4 filas y columnas por tener 4 grados de libertad.

12𝐸𝐼 6𝐸𝐼 12𝐸𝐼 − 𝐿3 𝐿2 𝐿3 4𝐸𝐼 6𝐸𝐼 6𝐸𝐼 − 𝐿 𝐿2 𝐿2 𝐾= 12𝐸𝐼 6𝐸𝐼 12𝐸𝐼 − 3 − 2 𝐿 𝐿 𝐿3 6𝐸𝐼 2𝐸𝐼 6𝐸𝐼 − ( 𝐿2 𝐿 𝐿2

2.2.

6𝐸𝐼 𝐿2 2𝐸𝐼 𝐿 6𝐸𝐼 − 2 𝐿 4𝐸𝐼 𝐿 )

MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN PÓRTICO PLANO

La matriz de rigidez de un pórtico será la combinación de las dos matrices previamente vistas. Un pórtico plano está sometido tanto a cargas verticales, horizontales y momentos. En la figura 4 se presentan los grados de libertad en coordenadas locales de un pórtico plano.

Figura 4. Grados de libertad en el sistema local de coordenadas

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Presentado de esta forma, la matriz de rigidez en coordenadas locales es la siguiente:

Si queremos la matriz de rigidez del pórtico en coordenadas globales, es decir al girar un ángulo el eje de coordenadas locales. Transformamos la matriz de rigidez y se obtiene la matriz en coordenadas globales.

Figura 5. Grados de libertad en el sistema global de coordenadas

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En esta matriz, “C” y “S” representan el coseno y seno del ángulo girado. Es importante resaltar que esta matriz no incluye los efectos producidos por las deformaciones por corte, donde en elementos esbeltos se puede despreciar. Sin embargo, en elementos como los muros cortantes, estas deformaciones suelen ser mayores.

3.

CONDENSACION ESTÁTICA

Chopra (2008) explica que, el método de condensación estática es usado para eliminar del análisis dinámico aquellos grados de libertad de una estructura a los cuales se les asigna una masa cero, sin embargo, todos los grados de libertad se incluyen en el análisis estático.

Para reforzar esta idea, Aguiar (2014) menciona que la condensación estática es la base fundamental para el análisis sísmico de estructuras. En este análisis se considera que ante la componente horizontal del movimiento del suelo, el piso se desplaza lateralmente, de esta forma se tiene un grado de libertad por piso al igual como se vio en la figura 1.

[8]

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Debido al movimiento horizontal del suelo actúa una fuerza horizontal solo para el grado de libertad horizontal, de esta forma se condensa la matriz de rigidez.

Figura 6. Pórtico de un nivel con un grado de libertad traslacional y dos grados de libertad rotacionales.

Si se tiene el pórtico de la figura 6, podemos llamar a “Q” el vector de cargas:

𝑄 𝑡 = [𝐹

0

0]

Además, para cada grado de libertad le corresponderá cierto desplazamiento o giro, y el vector de desplazamientos que llamaremos “q” se mostraría de esta forma:

𝑞 𝑡 = [𝛥1

𝜃2

𝜃3 ]

Si particionamos el vector de cargas y desplazamientos de tal forma que se quiera condensar la matriz para el grado de libertad 1, tendríamos:

𝑄𝑎 ) 𝑄𝑏 𝑞𝑎 𝑞 = (𝑞 ) 𝑏 𝑄=(

(2)

(3)

Por otra parte, la ecuación básica de análisis estático, que relaciona el vector de cargas y desplazamientos, por medio de la matriz de rigidez de la estructura K, es:

𝑄=𝐾𝑞

[9]

(4)

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Al reemplazar (2) y (3) en (4) y al trabajar con submatrices; la matriz de rigidez de la estructura, también estará particionada, de la siguiente forma:

(

𝑄𝑎 𝐾 ) = [ 𝑎𝑎 𝐾𝑏𝑎 𝑄𝑏

𝐾𝑎𝑏 𝑞𝑎 ]( ) 𝐾𝑏𝑏 𝑞𝑏

(5)

La matriz condensada se da cuando el vector de cargas Qb es cero.

𝐾 𝑄 ( 𝑎 ) = [ 𝑎𝑎 𝐾𝑏𝑎 0

𝐾𝑎𝑏 𝑞𝑎 ]( ) 𝐾𝑏𝑏 𝑞𝑏

De donde:

𝑄𝑎 = 𝐾𝑎𝑎 𝑞𝑎 + 𝐾𝑎𝑏 𝑞𝑏 0 = 𝐾𝑏𝑎 𝑞𝑎 + 𝐾𝑏𝑏 𝑞𝑏 De la segunda ecuación se puede encontrar una relación entre el vector de desplazamientos del grado de libertad traslacional y los giros de los grados de libertad rotacionales.

𝑞𝑏 = −𝐾𝑏𝑏 −1 𝐾𝑏𝑎 𝑞𝑎

(6)

Al sustituir (6) en la primera ecuación y luego de factorizar se obtiene:

𝑄𝑎 = (𝐾𝑎𝑎 − 𝐾𝑎𝑏 𝐾𝑏𝑏 −1 𝐾𝑏𝑎 )𝑞𝑎

(7)

Entonces, la matriz de rigidez condensada será:

𝐾 = (𝐾𝑎𝑎 − 𝐾𝑎𝑏 𝐾𝑏𝑏 −1 𝐾𝑏𝑎 ) 3.1.

(8)

MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL

Se define así a la matriz de rigidez asociada a las coordenadas laterales de piso. La matriz de rigidez condensada previamente vista en la formula (8) sería la matriz de rigidez lateral. Su significado físico se encuentra en que los elementos de la matriz de rigidez lateral son las fuerzas horizontales que deben aplicarse a nivel de piso, con el fin de obtener un desplazamiento lateral unitario y los demás desplazamientos laterales nulos (Aguiar, 2014).

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Como ejemplo se muestra un pórtico de dos niveles con su respectiva matriz de rigidez lateral.

𝐾𝐿 = (

𝐾11 𝐾21

𝐾12 ) 𝐾22

Figura 7. Pórtico de dos niveles con un grado de libertad por piso Si observamos la primera columna de la matriz de rigidez, se puede decir que la fuerza K11 y K21 aplicada en el primer y segundo nivel respectivamente, producirán un desplazamiento lateral unitario en ese nivel mientras que en el segundo nivel no hay desplazamientos. De forma similar sucede con la segunda columna de la matriz de rigidez.

Figura 8. Significado físico de la matriz de rigidez lateral. (a): efecto de la primera columna de la matriz de rigidez lateral. (b): efecto de la segunda columna de la matriz de rigidez lateral.

[11]

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4.

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VIBRACION LIBRE DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

Al igual que en el caso de un sistema de un grado de libertad, un sistema con múltiples grados de libertad vibrará incluso sin la presencia de una fuerza externa cuando es sometido a perturbaciones en la forma de desplazamientos, o velocidades iniciales, o ambos, en uno o más de sus grados de libertad (Humar, 2002). La vibración libre de un sistema de varios grados de libertad sin considerar el amortiguamiento, está gobernado por la siguiente ecuación de movimiento.

[𝑀]{𝑢̈ } + [𝐾 ]{𝑢̇ } = {0}

(9)

La ecuación (9) tiene una solución de la forma {𝑢} = {𝛷}𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 + 𝜃), donde “𝛷” es un vector arbitrario que en los sistemas de un grado de libertad se le daba el nombre de amplitud, “w” representa la frecuencia de vibración y “θ” es el ángulo de desfase. Para probar la validez de esta solución, la reemplazamos en la ecuación (9).

−𝑤 2 [𝑀]{𝛷}𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 + 𝜃 ) + [𝐾 ]{𝛷}𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 + 𝜃 ) = {0} Reordenando los términos:

[[𝐾 ] − 𝑤 2 [𝑀]]{𝛷} = {0}

(10)

La solución no trivial de esta ecuación, esto es, la solución en la cual no todos los valores de { 𝛷 } = 0, requiere que el determinante de la matriz del factor de { 𝛷 } sea igual a cero, es decir:

|[𝐾 ] − 𝑤 2 [𝑀]| = 0

(11)

Esta ecuación es conocida como ecuación característica del sistema, para cada valor de 𝑤 2 que satisface la ecuación (11), podemos resolver la ecuación (10) para { 𝛷 }. Sin embargo, para sistemas con varios grados de libertad, el cálculo numérico manual puede resultar muy extenso.

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Por este motivo, se hará referencia al problema matemático llamado de valores caracteristicos o de valores propios. Si volvemos a la ecuacion (10) y la presentamos de forma distinta, despejando términos en cada lado, se tiene:

[𝐾 ]{𝛷} = 𝑤 2 [𝑀]{𝛷}

(12)

Multiplicando la ecuacion (12) por 𝑀−1:

[𝑀−1 ][𝐾 ]{𝛷} = 𝑤 2 [𝐼]{𝛷}

(13)

Donde [𝐼] es la matriz unidad diagonal. Por otro lado, si llamamos [𝐴] a la

multiplicacion matricial [𝑀−1 ][𝐾] y “λ” a la multiplicacion 𝑤 2 [𝐼], se obtiene:

[𝐴]{𝛷} = 𝜆{𝛷}

(14)

Donde a {𝛷} se le llama los vectores propios y corresponde a los modos naturales de vibracion de la estructura; y a "𝜆" se le llaman los valores propios y son las frecuencias naturales al cuadrado. Para cada frecuencia le corresponderá un modo de vibración. En general, para un sistema con “n” grados de libertad, se tiene:

𝑤1 < 𝑤2 < ⋯ < 𝑤𝑛−1 < 𝑤𝑛

y

𝑇1 > 𝑇2 > ⋯ > 𝑇𝑛−1 > 𝑇𝑛 Siendo 𝑇1 el periodo fundamental por ser el mayor periodo correspondiente a la menor frecuencia angular. La relacion que existe entre la frecuencia y el periodo se da en la siguiente fórmula:

𝑇=

2𝜋 𝑤

[13]

(15)

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Para entender mejor el concepto de los modos de vibracion en una estructura, se presenta un portico de dos niveles:

Figura 9. Modos de vibración en pórtico de dos niveles. (a): Modo de vibración 1. (b): Modo de vibración 2 Si representamos el modo 1 como 𝛷1 y al modo 2 como 𝛷2 se tendría:

𝛷 𝛷 𝛷1 = ( 11 ) 𝛷2 = ( 12 ) 𝛷21 𝛷22 Los elementos del modo 1 representan los desplazamientos de las masas que existirían si la estructura presenta la frecuencia angular w1 o el periodo T1. De forma similar con el modo 2. Por otro lado, si observamos nuevamente la ecuación (12), se puede apreciar que si los modos son multiplicados por cualquier factor, estos seguirán siendo solucion de la ecuacion caracteristica. Es decir, si existe un vector 𝛷𝑛 que es un modo natural, cualquier vector proporcional a 𝛷𝑛 es en esencia el mismo modo natural puesto que también satisface la ecuación (Chopra, 2008).

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METODOLOGÍA 1. DATOS GENERALES El pórtico analizado es de 3 niveles, con columnas y vigas de concreto armado de secciones rectangulares. Las columnas son de 30cm x 30cm y las vigas de 30cm x 60cm de peralte. La resistencia del concreto es de 210 kg/cm 2, su peso específico es de 2.4 ton/m3 y el módulo de elasticidad es de 2188197.89 ton/m 2. La altura de cada nivel es de 3 metros y la distancia entre columnas es de 5 metros.

Figura 10. Pórtico analizado de 3 niveles En el desarrollo no se ha incluido los efectos de las deformaciones por corte. Esto también se tomará en cuenta durante el desarrollo en el programa Etabs. Las vigas se han considerado axialmente rígidas, teniendo finalmente un grado de libertad horizontal por nivel. Por otro lado, no se han considerado las columnas axialmente rígidas, esto quiere decir que estos grados de libertad van a ser también condensados con los grados de libertad rotacionales en cada nudo. Además, para hallar la matriz de masas de la estructura, la gravedad usada fue de 9.81 m/s 2.

[15]

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2. HERRAMIENTAS •

Se usaron hojas de cálculo de Excel para los distintos cálculos como el metrado del peso propio de los elementos y poder hallar la masa de cada uno de estos. Además, también se usaron para poder hallar la matriz de rigidez lateral de la estructura y dar los resultados finales.

•

Se usó el programa Matlab para poder hallar las frecuencias y modos de vibración de la estructura.

•

El programa Etabs para comprobar los resultados obtenidos manualmente.

3. PROCEDIMIENTO SIN ETABS

A. MATRIZ DE MASA Para el cálculo de la matriz de masas, se dividió el pórtico en lo que llamaremos áreas de influencia por cada nivel. Es de esta forma que se hallaran las masas por cada nivel y así lo halla el programa Etabs.

Figura 11. Áreas de influencia en cada nivel del pórtico.

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B. MATRIZ DE RIGIDEZ Se hizo uso de la hoja de cálculo de Excel para hallar la matriz de rigidez total de la estructura. Se consideran grados de libertad verticales en las columnas, grados de libertad rotacionales en los nudos y los grados de libertad horizontales en cada nivel, obteniendo un total de 15 grados de libertad.

Figura 12. Grados de libertad considerados, elementos y nudos La matriz de rigidez se ensambla, tomando en cuenta la figura 5, según la numeración de los grados de libertad.

Tabla 1. Ensamble de la matriz de rigidez G.D.L. 1 2 3 4 5 6

C1 0 0 0 1 4 5

C2 0 0 0 1 6 7

C3 1 4 5 2 8 9

C4 1 6 7 2 10 11

C5 2 8 9 3 12 13

[17]

C6 2 10 11 3 14 15

V1 0 4 5 0 6 7

V2 0 8 9 0 10 11

V3 0 12 13 0 14 15

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C. CONDENSACIÓN ESTÁTICA Ya obtenida la matriz de rigidez ensamblada de la estructura, se procede a condensar la matriz a los 3 grados de libertad horizontales con la ecuación (8). La matriz resultante será una de 3x3. D. FRECUENCIAS Y MODOS DE VIBRACIÓN Este procedimiento se hizo en el programa Matlab para poder resolver la ecuación característica de forma más rápida y aplicando la teoría del capítulo 4 del marco teórico. El procedimiento en Matlab se indica en los siguientes puntos: i.

Se crean 2 nuevas variables en el espacio de trabajo. Les ponemos la letra “M” para representar a la matriz de masas y a la otra variable, la letra “K” para la matriz de rigidez.

ii.

Se escribe en la ventana de comando: A=inv(M)*K , esta es la matriz “[A]” de la ecuación (14).

iii.

Por último se hallan los auto valores y auto vectores escribiendo: [V,D]=eig(A) , la matriz “V” representa a los auto vectores, esto es, los modos de vibración de la estructura; y la matriz “D” será los auto valores, es decir la matriz de frecuencias naturales elevadas al cuadrado. Se pueden hallar las frecuencias naturales escribiendo: W=sqrt(D)

Figura 13. Procedimiento en Matlab. Creación de nuevas variables

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4. PROCEDIMIENTO CON ETABS En primer lugar se definen las propiedades del material que, como ya se especificó en los datos generales, se trata de un concreto con resistencia de 210 kg/cm 2. Su módulo de elasticidad es de 2188197.89 ton/m2 y su peso específico, 2.4 ton/ m2.

Figura 14. Procedimiento en Etabs. Definiendo propiedades del material

Una vez definidas las propiedades, se crean los elementos frame. Estos son, las columnas de 30cm x 30cm y las vigas de 30cm x 60cm. Para que Etabs no tome en cuenta las deformaciones por cortante seleccionamos los elementos frame y modificamos propiedades.

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La ruta es Assign > Frame > Property modifiers. Le damos el valor de “0” para shear area in 2 direction.

Figura 15. Procedimiento en Etabs. Modificando propiedades de los elementos frame. Ya que las vigas se consideraron axialmente rígidas, se crean diafragmas en los nudos para cada nivel, como se muestra en la figura 16. Se seleccionan los nudos y asignamos diafragmas. Assign > Joint > Diaphragm.

Figura 16. Procedimiento en Etabs. Creando diafragmas rígidos para cada nivel

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Se analizarán 2 casos modales (Eigen y Ritz) para comparar resultados. Sin embargo, se sabe que el análisis por vectores Ritz da mejores resultados que los eigenvectors cuando es usado en los análisis dinámicos de espectro de respuesta y tiempo-historia que son basados en superposición modal (Computers and Structures Inc., 2015). La ruta es: Define > Modal Cases. Por defecto se presenta el caso modal Eigen. Agregamos un nuevo caso modal y seleccionamos el tipo Ritz. Aquí agregamos una carga del tipo aceleración en la dirección del eje “x”, como se observa en la figura 17 (b). En los dos casos se trabajó con 3 como el número máximo de modos.

(a)

(b)

Figura 17. Definiendo casos modales. (a): Eigen. (b): Ritz

Las propiedades como “mass source” o “load patterns” se dejaron por defecto. Etabs calculará la masa solo con el peso de los elementos del pórtico.

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Por último, antes de correr el análisis, ya que se está trabajando en el plano XZ, se va a la siguiente ruta: Analyze > Active degrees of freedom. Esto activa y permite analizar solo los grados de libertad en ese plano.

Figura 18. Activando grados de libertad en el plano XZ

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RESULTADOS Los resultados finales se determinaron comparando la proporción que existe entre los desplazamientos de cada modo, encontrándose una diferencia mínima de resultados. Ya se vio por teoría en el capítulo 4 del marco teórico que los modos naturales que se hallan por el cálculo sin Etabs, son en esencia los mismos que los hallados con el programa Etabs. Por consiguiente, si dividimos los desplazamientos que existen en los modos, esta proporción se debe mantener. Si tenemos los siguientes modos:

𝛷11 𝛷1 = (𝛷21 ) 𝛷31

𝛷12 𝛷2 = (𝛷22 ) 𝛷32

𝛷13 𝛷3 = (𝛷23 ) 𝛷33

Los resultados a comparar son la división de los siguientes desplazamientos: MODO 1

MODO 2

MODO 3

𝛷31 /𝛷21

𝛷32 /𝛷22

𝛷33 /𝛷23

𝛷21 /𝛷11

𝛷22 /𝛷12

𝛷23 /𝛷13

Para hallar la diferencia entre los dos resultados independientes, se compararon estos 6 datos obtenidos en cada procedimiento con la siguiente fórmula.

|𝑥| =

𝐷𝑎𝑡𝑜 sin 𝐸𝑡𝑎𝑏𝑠 − 𝐷𝑎𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝐸𝑡𝑎𝑏𝑠 𝑥100% 𝐷𝑎𝑡𝑜 sin 𝐸𝑡𝑎𝑏𝑠

El valor absoluto de este resultado nos da el porcentaje de diferencia entre los dos datos. En las siguientes páginas se muestran los resultados de las matrices de masa, rigidez, condensación estática, frecuencias y modos de vibración, y por último los resultados finales.

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A. MATRIZ DE MASA El metrado de cargas se hizo tal como se mostró en la figura 11. El peso específico es de 2.4 ton/m3 y la aceleración de la gravedad es 9.81 m/s2

Tabla 2. Metrado de cargas en nivel 1 y 2. Elementos C - 30X30 V - 30X60

Área(m2) 0.09 0.18

Long(m) 3 4.7

Cantidad 2 1

Peso(ton) 1.296 2.0304 Masa total

Masa(ton-s2/m) 0.132110092 0.206972477 0.339082569

Tabla 3. Metrado de cargas en nivel 3. Elementos C - 30X30 V - 30X60

Área(m2) 0.09 0.18

Long(m) 1.5 4.7

Cantidad 2 1

Peso(ton) 0.648 2.0304 Masa total

Masa(ton-s2/m) 0.066055046 0.206972477 0.273027523

Para metrar la viga, a la longitud de 5 metros de eje a eje de columna se le restó 15 cm. por cada columna. Finalmente la matriz de masa en ton-s2/m es:

0.339082569 𝑀=( 0 0

0 0.339082569 0

[24]

0 ) 0 0.273027523

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B. MATRIZ DE RIGIDEZ La matriz de rigidez ensamblada tal como se vio en la tabla 1, sera una matriz de 15x15. En la figura 19 se puede ver la matriz de rigidez ensamblada y sus grados de libertad enumerados a los lados.

Figura 19. Matriz de rigidez ensamblada

C. CONDENSACIÓN ESTÁTICA Identificamos las submatrices que se vieron en la ecuacion (8) y operamos para obtener la matriz de rigidez lateral.

Figura 20. Submatrices para la condensación

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Operando con la ecuación (8). La matriz de rigidez lateral es:

2513.41 −1315.23 111.10 𝐾𝐿 = (−1315.23 2391.55 −1183.22) 0 −1183.22 1072.73 D. FRECUENCIAS Y MODOS DE VIBRACIÓN Se halla la matriz [A] y luego se hallan los modos (V) y frecuencias naturales (W) como se vio en el procedimiento.

Figura 21. Resultados en Matlab

Ordenando estos datos, se muestran las frecuencias de menor a mayor, los periodos correspondientes a través de la ecuación (15), y por último los modos de vibración.

Tabla 4. Frecuencias y Periodos en cada modo.

MODO 1 MODO 2 MODO 3

Frecuencias (w) (rad/seg.) 25.686 73.985 110.729

[26]

Periodos (Seg.) 0.245 0.085 0.057

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Tabla 5. Modos naturales de vibración

𝜱𝟏

𝜱𝟐

𝜱𝟑

0.3037

0.7026

-0.5900

0.5918

0.2965

0.7041

0.7467

-0.6468

-0.3951

Los resultados de Etabs acerca de las frecuencias y periodos se pueden encontrar en tablas en la siguiente ruta: Display > Show tables > Analysis > Results > Modal Results > Modals periods and frequencies. Tabla 6. Frecuencias y periodos en Etabs. Caso

Modo

Modal Modal Modal Ritz Ritz Ritz

1 2 3 1 2 3

Periodos Frecuencias (w) (Seg.) (rad/seg.) 0.245 25.6812 0.085 73.9723 0.057 110.71 0.245 25.6812 0.085 73.9723 0.057 110.71

Se puede observar que los resultados de la tabla 6 son similares a los de la tabla 4. Además, en este caso, no existe diferencia en el caso modal Eigen y Ritz. Para conocer los modos en Etabs, observamos los desplazamientos que existen en cada modo de vibración y los ordenamos en una tabla.

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GRUPO VALLEJIANO ESTRUCTURAL ,

LIMA NORTE

(a)

(b)

(c)

Figura 22. Modos de vibración en Etabs. (a): Modo 1. (b): Modo 2. (c): Modo 3

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GRUPO VALLEJIANO ESTRUCTURAL ,

LIMA NORTE

Tabla 6. Modos de vibración en Etabs.

𝜱𝟏

𝜱𝟐

𝜱𝟑

-0.000176 -0.000344 -0.000434

0.000402 0.000170 - 0.000370

0.000329 -0.000392 0.000220

Como se indicó en un inicio, la comparación de resultados se dio entre las proporciones que deberían mantenerse constantes para cada modo. En cada modo, se divide el desplazamiento del tercer nivel con el del segundo, y el segundo con el del primero.

Tabla 7. Proporciones entre los desplazamientos

Con Etabs Sin Etabs

MODO 1 1.2616 1.9545 1.26171 1.94860

MODO 2 -2.1765 0.4229 -2.1813 0.42203

MODO 3 -0.5612 -1.1915 -0.56106 -1.19345

Por último, se obtienen los porcentajes de diferencia que existe entre los valores de la tabla 7 con la ecuación que se vio al inicio de este capítulo.

Tabla 8. Porcentajes de diferencia MODO 1

MODO 2

MODO 3

0.006%

0.220%

0.029%

0.305%

0.202%

0.164%

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GRUPO VALLEJIANO ESTRUCTURAL ,

LIMA NORTE

CONCLUSIONES

Como se observó en los resultados y al inicio de estos, la diferencia entre los dos procedimientos es mínima, llegando a tener un porcentaje máximo de diferencia de 0.305 %. Sin embargo, aun siendo una diferencia mínima, se puede tener idea de por qué existe esta diferencia. El planteamiento quizás más importante durante el desarrollo de estos dos procedimientos fue el de asumir una gravedad de 9.81 m/s 2 para realizar el metrado de cargas y hallar las masas en cada nivel. La gravedad predeterminada que usa Etabs es de aproximadamente 9.806 m/s2. Por otro lado se tiene a los modos de vibración hallados por Etabs que pudimos observarlos como desplazamientos en la figura (22). Es posible que estos desplazamientos sean valores ya redondeados, en cuyo caso las proporciones existentes entre los desplazamientos pueden haber cambiado un cierto valor mínimo. En general, estas diferencias mínimas entre valores como la gravedad usada o los desplazamientos podrian conducir a una diferencia igual de mínima como se ven en los porcentajes de diferencia en los resultados finales.

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GRUPO VALLEJIANO ESTRUCTURAL ,

LIMA NORTE

BIBLIOGRAFÍA

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