Modern Control Engineering 5th Edition - 6.en - Id
September 12, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
Short Description
Download Modern Control Engineering 5th Edition - 6.en - Id...
Description
6-5 PENDEKATAN ROOT-LOCUS UNTUK MENGENDALIK MENGENDALIKAN-SYSTEMS AN-SYSTEMS DESIGN
Desain Awal Pertimbangan.
Dalam membangun sistem kontrol, kita tahu bahwa
modifikasi yang tepat dari dinamika tanaman dapat menjadi cara sederhana untuk memenuhi specifications.This kinerja, bagaimanapun, tidak mungkin dalam banyak situasi praktis karena tanaman dapat tetap dan tidak modifiable.Then kita harus menyesuaikan parameter selain yang di tetap menanam. Dalam buku ini, kita mengasumsikan bahwa tanaman diberikan dan tidak bisa diubah. Dalam prakteknya, plot akar-lokus dari suatu sistem dapat menunjukkan bahwa kinerja yang diinginkan tidak dapat dicapai hanya dengan penyesuaian gain (atau beberapa parameter disesuaikan lainnya). Bahkan, dalam beberapa kasus, sistem mungkin tidak stabil untuk semua nilai keuntungan (atau parameter disesuaikan lainnya). Maka perlu untuk membentuk kembali akar lokus untuk memenuhi spesifikasi kinerja.
Masalah desain, oleh karena itu, menjadi orang untuk meningkatkan kinerja sistem dengan memasukkan kompensator a. Kompensasi dari sistem kontrol berkurang dengan desain filter yang karakteristik cenderung mengimbangi karakteristik yang tidak diinginkan dan tidak dapat diubah tanaman.
Desain dengan Metode Root-Locus. Desain dengan metode akar-lokus didasarkan pada membentuk kembali lokus akar sistem dengan menambahkan kutub dan nol untuk fungsi transfer loop terbuka sistem dan memaksa akar lokus untuk melewati diinginkan loop tertutup tiang di
s plane.The karakteristik dari desain akar-lokus makhluk yang didasarkan pada asumsi bahwa sistem loop tertutup memiliki sepasang dominan poles.This loop tertutup berarti bahwa efek dari nol dan tiang tambahan tidak mempengaruhi karakteristik karakteristik respon yang sangat banyak. Dalam merancang sistem kontrol, jika selain penyesuaian gain ( atau penyesuaian parameter lainnya) diperlukan, kita harus memodifikasi akar lokus asli dengan memasukkan compensator.Once compensator.Once cocok efek pada lokus akar penambahan tiang dan / atau nol sepenuhnya dipahami, kita dapat dengan mudah menentukan lokasi tiang (s) dan nol (s) dari kompensator yang akan membentuk kembali akar lokus yang diinginkan. Pada intinya, dalam desain dengan metode tempat kedudukan akar, akar lokus dari sistem yang dibentuk kembali melalui penggunaan penggunaan kompensator sehingga sepasang dominan kutub loop tertutup dapat ditempatkan di lokasi yang diinginkan.
Seri Kompensasi dan Paralel (atau Masukan) Kompensasi. Gambar 6-33 (a) dan (b) menunjukkan skema kompensasi yang umum digunakan untuk sistem kontrol k ontrol umpan balik. Gambar 6-33 (a) menunjukkan konfigurasi di mana kompensator G G c c ( s) ditempatkan secara seri dengan tanaman. Skema ini disebut kompensasi disebut kompensasi seri. Sebuah alternatif untuk kompensasi seri adalah untuk memberi makan kembali sinyal (s) dari beberapa elemen (s) dan tempat kompensator di jalur umpan balik dalam yang dihasilkan, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 6-33 (b). kompensasi tersebut disebut kompensasi disebut kompensasi paralel atau kompensasi umpan balik.
Dalam kompensasi sistem kontrol, kita melihat bahwa masalah biasanya bermuara pada desain yang sesuai dari serangkaian atau pilihan compensator.The paralel antara kompensasi seri dan kompensasi paralel tergantung pada sifat dari sinyal dalam sistem, tingkat daya pada berbagai titik, komponen yang tersedia, pengalaman desainer, pertimbangan ekonomi, dan sebagainya. Secara umum, kompensasi seri mungkin lebih sederhana dari kompensasi paralel; Namun, kompensasi seri sering memerlukan amplifier tambahan untuk meningkatkan keuntungan dan / atau untuk memberikan isolasi. (Untuk menghindari disipasi daya, seri kompensator dimasukkan pada titik energi terendah di jalur feedforward.) Perhatikan bahwa, secara umum, jumlah komponen yang diperlukan kompensasi paralel akan kurang dari jumlah komponen 308
Bab 6 / Sistem Kontrol Analisis dan Desain oleh Root-Locus Cara
+
G c c ( s) s)
-
G (s)
H (s)
(Sebuah)
+
G 1 1 ( s) s)
-
+
G 22 ( s)
-
G c c ( s) s)
Gambar 6-33
(A) Series H (s)
kompensasi; (B) paralel atau kompensasi umpan balik.
(B)
kompensasi seri, memberikan sinyal yang cocok tersedia, karena transfer energi dari tingkat daya yang lebih tinggi ke tingkat yang lebih rendah. (Ini berarti bahwa amplifier tambahan mungkin tidak diperlukan.)
Dalam Bagian 6-6 melalui 6-9 kita bahas teknik kompensasi seri dan kemudian menyajikan teknik kompensasi paralel menggunakan desain dari sistem kontrol kecepatan-umpan balik.
Umumnya Digunakan kompensator. Jika kompensator diperlukan untuk memenuhi spesifikasi kinerja, desainer harus menyadari perangkat fisik yang memiliki fungsi transfer yang ditentukan dari kompensator. perangkat fisik banyak telah digunakan untuk tujuan tersebut. Bahkan, banyak ide mulia dan berguna untuk membangun fisik kompensator dapat ditemukan dalam literatur. Jika input sinusoidal diterapkan ke input dari jaringan, dan output steady state (yang juga sinusoidal) telah memimpin fase, maka jaringan ini disebut jaringan memimpin. (Jumlah sudut fase memimpin adalah fungsi dari frekuensi input.) Jika output steady-state memiliki lag fase, maka jaringan ini disebut jaringan lag. Dalam sebuah jaringan lag-lead, baik lag fase dan memimpin fase terjadi pada output tetapi dalam daerah daerah frekuensi yang berbeda; fase lag terjadi di wilayah frekuensi rendah dan fase memimpin terjadi di region.A kompensator frekuensi tinggi memiliki karakteristik jaringan memimpin, lag jaringan, atau jaringan lag-lead disebut kompensator lead, lag kompensator, atau lag- kompensator lead.
Di antara berbagai jenis kompensator, kompensator luas digunakan adalah kompensator lead, lag kompensator, kompensator lag-lead, dan kecepatan umpan balik (tachometer) kompensator. Dalam bab ini i ni kita akan membatasi diskusi kami sebagian besar untuk jenis j enis ini. Memimpin, lag, dan lag-lead kompensator mungkin perangkat elektronik (seperti sirkuit menggunakan penguat operasional) atau RC jaringan (listrik, mekanik, pneumatik, hidrolik, atau kombinasinya) dan amplifier.
Sering digunakan kompensator seri dalam sistem kontrol yang memimpin, lag, dan lag-lead kompensator. kontroler PID yang sering digunakan dalam sistem kontrol industri dibahas dalam Bab 8.
Bagian 6-5 / Root-Locus Pendekatan Sistem Pengendalian Desain
309
j v v
j v v
j v v
Gambar 6-34
(A) Plot Root-lokus dari sistem single-pole;
s
s
s
(B) akar-lokus plot sistem dua kutub; (C) akar-lokus plot sistem tiga-tiang. (B)
(Sebuah)
(C)
Perlu dicatat bahwa dalam merancang sistem kontrol oleh akar-lokus atau frekuensi-respon metode hasil akhir tidak unik, karena yang terbaik atau optimal solusi mungkin tidak didefinisikan secara tepat jika spesifikasi waktu-domain atau spesifikasi frekuensi-domain yang diberikan.
Pengaruh Penambahan Polandia. Penambahan tiang untuk fungsi transfer loop terbuka memiliki efek menarik akar lokus ke kanan, cenderung menurunkan stabilitas relatif sistem dan memperlambat pengendapan respon. (Ingat bahwa penambahan kontrol terpisahkan menambahkan sebuah tiang di asal, sehingga membuat sistem kurang stabil.) Gambar 6-34 menunjukkan contoh lokus akar menggambarkan efek dari penambahan tiang untuk sistem single-pole dan penambahan dari dua kutub ke sistem single-pole.
Pengaruh Penambahan Zero. Penambahan nol untuk fungsi transfer loop terbuka t erbuka memiliki efek menarik akar lokus ke kiri, cenderung membuat sistem yang lebih stabil dan untuk mempercepat pengendapan respon. (Secara fisik, penambahan nol dalam fungsi transfer feedforward berarti penambahan kontrol derivatif untuk efek system.The kontrol tersebut adalah untuk memperkenalkan tingkat antisipasi ke dalam sistem dan mempercepat respon.) Gambar 6-35 (a) menunjukkan lokus root untuk sistem
j v v
j v v
s
s
(B)
(Sebuah)
j v v
Gambar 6-35
j v v
(A) Root-lokus plot sistem tiga-tiang; (B), (c), dan (d) akar-lokus plot s
menunjukkan efek dari
s
penambahan nol ke sistem tiga-tiang. (C)
310
Bab 6 / Sistem Kontrol Analisis dan Desain oleh Root-Locus Cara
(D)
yang stabil untuk keuntungan kecil tapi stabil untuk keuntungan besar. Angka 6-35 (b), (c), dan (d) plot menunjukkan akar-lokus untuk sistem ketika nol ditambahkan ke fungsi transfer loop terbuka. Perhatikan bahwa ketika nol ditambahkan ke sistem Gambar 6-35 (a), menjadi stabil untuk semua nilai gain.
6-6 KOMPENSASI LEAD Dalam Bagian 6-5 kami disajikan pengenalan kompensasi kompensasi sistem kontrol dan dibahas bahan awal untuk pendekatan akar-lokus untuk mengontrol-sistem desain dan kompensasi. Pada bagian ini kami akan menyajikan desain kontrol sistem dengan menggunakan teknik kompensasi memimpin. Dalam melaksanakan desain kontrol sistem, kita menempatkan kompensator kompensator secara seri dengan fungsi transfer yang tidak dapat diubah G (s) untuk mendapatkan perilaku yang diinginkan. Masalah utama kemudian melibatkan melibatkan pilihan bijaksana tiang (s) dan nol (s) dari kompensator G c ( s) untuk memiliki dominan kutub loop tertutup di lokasi yang diinginkan dii nginkan di
s Pesawat sehingga spesifikasi kinerja akan terpenuhi. Kompensator dan kompensator Lag memimpin. Ada memimpin. Ada banyak banyak cara untuk mewujudkan mewujudkan kompensator kompensator lead dan kompensator lag, seperti jaringan elektronik menggunakan penguat operasional, listrik RC RC jaringan, jaringan, dan sistem semi-dashpot mekanik. Gambar 6-36 menunjukkan sebuah sirkuit elektronik menggunakan penguat operasional. Fungsi transfer untuk sirkuit ini diperoleh dalam Bab 3 sebagai berikut [lihat Persamaan (3-36)]:
s+1 E Hai( s) E saya( s) = R 2 R 4 C 1 s + 1 R 2 C 2 s + 1 = R 4 C R 1 C 1 1 R 1
R 1 R 3
R 3 C 2
s+1
s+1
R 2 C 2
T
(6-18)
= K c Sebuah Ts + 1 Sebuah Ts + 1 = K c
s+1 Sebuah T
dimana
T = R 1 C 1 .
Sebuah T = R 2 C 2 .
K c = R 4 C 1 R 3 C 2
C 2 2 C 1 1 R 44 R 2 2
R 33
Gambar 6-36
R 1 1
sirkuit elektronik yang merupakan
E saya( s) saya( s)
jaringan memimpin jika
R 1 C 1 7 R 2 C 2
-
+
+ E (s)
E Hai( Hai( s) s)
dan
jaringan lag jika
R 1 C 1 6 R 2 C 2 .
Bagian 6-6 / Lead Kompensasi
311
j v v
1
-
Gambar 6-37
R 22 C 22
0
1
-
j v v
s
-
R 11 C 11
1 R 1 1 C 1 1
0
-
s
R 2 2 C 2 2
Tiang-nol konfigurasi: (a) jaringan memimpin; (B) jaringan lag.
(A)
(B) 1
Perhatikan itu
R 2 C 2 K c a = R 4 C 1 = R 2 R 4 . R 3 C 2 R 1 C 1 R 1 R 3 Jaringan ini memiliki keuntungan dc
a = R 2 C 2 R 1 C 1
K c a = R 2 R 4 SEBUAH R 1 R 3 B.
Dari Persamaan (6-18), kita melihat bahwa jaringan ini adalah jaringan memimpin jika atau
R 1 C 1 6 R 2 C 2 .
Sebuah 6 1.Ini adalah jaringan lag jika
bekerja ketika
R 1 C 1 7 R 2 C 2
R 1 C 1 7 R 2 C 2 .
Konfigurasi pole-zero dari net- ini
dan R 1 C 1 6 R 2 C 2
ditunjukkan pada Gambar 6-37 (a) dan (b),
masing-masing.
Teknik Kompensasi memimpin Berdasarkan Pendekatan Root-Locus. Pendekatan akar-lokus untuk merancang sangat kuat ketika spesifikasi yang diberikan dalam hal jumlah waktu-domain, seperti rasio redaman dan frekuensi alami undamped dari dominan kutub loop tertutup yang diinginkan, overshoot maksimum, waktu naik, dan settling time . Mempertimbangkan masalah desain di mana sistem yang asli baik tidak stabil untuk semua nilai keuntungan atau stabil namun memiliki karakteristik transient-respon yang tidak diinginkan. Dalam kasus seperti itu, membentuk kembali dari lokus akar diperlukan dalam lingkungan yang luas dari j v
axis dan asal agar dominan kutub loop tertutup berada di lokasi yang diinginkan dalam masalah plane.This kompleks dapat diselesaikan dengan memasukkan memimpin kompensator tepat dalam kaskade dengan fungsi transfer feedforward. Prosedur untuk merancang kompensator lead untuk sistem yang ditunjukkan pada Gambar 6-38 dengan metode akar-lokus dapat dinyatakan sebagai berikut:
1. Dari spesifikasi kinerja, menentukan lokasi yang diinginkan untuk dominant kutub loop tertutup.
+
-
c ( s) G c s)
Gambar 6-38 Sistem pengaturan pengaturan..
312
Bab 6 / Sistem Kontrol Analisis dan Desain oleh Root-Locus Cara
G (s)
2. Dengan menggambar plot akar-lokus dari sistem terkompensasi (sistem yang asli), memastikan apakah atau tidak penyesuaian gain saja dapat menghasilkan kutub closedloop yang diinginkan. Jika tidak, menghitung kekurangan sudut f. Sudut ini harus disumbangkan oleh kompensator lead jika akar lokus baru adalah untuk melewati lokasi yang diinginkan untuk dominan kutub loop tertutup.
3. Asumsikan 3. Asumsikan kompensator kompensator lead G c c ( s) menjadi
s+1
T
G c ( s) = K c Sebuah Ts + 1 Sebuah Ts + 1 = K c
, (0 6 Sebuah 6 1)
s+1 Sebuah T
dimana Sebuah dan T ditentukan dari kekurangan sudut. K c c ditentukan dari kebutuhan gain loop terbuka. 4. Jika konstanta kesalahan statis tidak ditentukan, menentukan lokasi tiang dan nol dari kompensator lead sehingga kompensator lead akan memberikan kontribusi sudut yang diperlukan f. Jika tidak ada persyaratan lain yang dikenakan pada sistem, mencoba untuk membuat nilai Sebuah besar seperti possible.A nilai yang lebih v, yang diinginkan. Perhatikan bahwa besar dari Sebuah umumnya menghasilkan nilai yang lebih besar dariK dari K v,
K v = lim sS0
sG c ( s) G (s) = K c Sebuah lim
sS0
sG c ( s)
5. Menentukan nilai K c c dari kompensator lead dari kondisi besarnya. Setelah kompensator telah dirancang, periksa untuk melihat apakah semua spesifikasi kinerja telah dipenuhi. Jika sistem kompensasi tidak memenuhi spesifikasi kinerja, kemudian ulangi prosedur desain dengan menyesuaikan tiang kompensator dan nol sampai semua spesifikasi tersebut terpenuhi. Jika besar statis kesalahan konstan diperlukan, kaskade jaringan lag atau mengubah kompensator mengarah ke kompensator lag-lead. Perhatikan bahwa jika dominan kutub loop tertutup yang dipilih tidak benar-benar dominan, atau jika dominan kutub loop tertutup yang dipilih tidak menghasilkan hasil yang diinginkan, maka akan diperlukan untuk mengubah lokasi dari pasangan tersebut yang dominan tiang loop tertutup yang dipilih . (The loop tertutup tiang selain yang dominan memodifikasi respon yang diperoleh dari dominan kutub loop tertutup alone.The jumlah modifikasi tergantung pada lokasi ini yang tersisa tiang loop tertutup.) Juga, nol loop tertutup mempengaruhi respon jika mereka terletak di dekat asal.
CONTOH 6-6 Mempertimbangkan sistem kontrol posisi yang ditunjukkan pada Gambar 6-39 (a). Transfer feedforward fungsi G (s) =
10
s (s + 1)
Akar-lokus plot untuk sistem ini ditunjukkan pada Gambar 6-39 (b). Fungsi transfer loop tertutup untuk sistem ini
C (s) R (s) =
10
s 2 + s + 10
=
Bagian 6-6 / Lead Kompensasi
10
(S + 0,5 + j 3,1225) ( s + 0,5 - j 3,1225)
313
j v v
j 3 3 Loop tertutup
j 2 2
tiang
j 1 1
-3-2-1
1
s
- j 1 1
R (s)
+
C (s)
10
-
s (s + 1) 1)
- j 2 2
G (s)
- j 3 3
Gambar 6-39
(A) sistem kontrol; (B) Plot akar-lokus.
(B)
(Sebuah)
Kutub loop tertutup yang terletak di s = - 0,5; j 3,1225 z = ( 1 2) 2 10 = 0,1581
Rasio redaman dari kutub loop tertutup adalah quency dari kutub loop tertutup adalah
v n = 2 10 =
. The fre- alami undamped
3,1623 rad sec.Because rasio redaman kecil,
sistem ini akan memiliki overshoot besar di respon langkah dan tidak diinginkan. Hal ini diinginkan untuk merancang sebuah kompensator lead G c ( s) seperti yang ditunjukkan pada Gambar 6-40 (a) sehingga dominan kutub loop
z = 0,5
tertutup memiliki rasio redaman
v n = 3 rad sec.
dan frekuensi alami undamped
Lokasi yang diinginkan dari dominan kutub loop tertutup dapat ditentukan dari s 2 + 2 ZV n s + v = n2 s 2 + 3s + 9 = ( s + 1,5 + j 2,5981) (s + 1,5 - j 2,5981)
sebagai berikut:
s = -1,5; j 2,5981 j v v
j 2,5981 2,5981
Diinginkan loop tertutup
j 2 2
tiang
v n = 3 3
j 1 1 R (s)
+
10
G c s) c ( s)
-
60 °
C (s)
s (s + 1) 1)
-3
- 1,5
1
G (s)
- j 1 1
Gambar 6-40
- j 2 2
(A) sistem Kompensasi; (B) yang diinginkan loop tertutup tiang lokasi.
- j 3 3 (Sebuah)
314
Bab 6 / Sistem Kontrol Analisis dan Desain oleh Root-Locus Cara
(B)
s
[Lihat Gambar 6-40 (b).] Dalam beberapa kasus, setelah lokus akar sistem yang asli telah diperoleh, dominan kutub loop tertutup dapat dipindahkan ke lokasi yang diinginkan oleh sederhana penyesuaian gain. Hal ini, bagaimanapun, tidak demikian halnya untuk sistem.Oleh ini, kami akan memasukkan kompensator memimpin di jalur feedforward.
Prosedur umum untuk menentukan kompensator kompensator lead adalah sebagai berikut: Pertama, menemukan jumlah sudut di lokasi yang diinginkan dari salah satu yang dominan loop tertutup tiang dengan tiang loop terbuka dan nol dari sistem yang asli, dan menentukan diperlukan diperlukan sudut f akan ditambahkan sehingga total jumlah sudut sama dengan
; 180 ° ( 2k + 1).
Memimpin kompensator harus berkontribusi ini
sudut f. ( Jika sudut f cukup besar, maka dua atau lebih jaringan memimpin mungkin diperlukan daripada satu tunggal.)
Asumsikan bahwa kompensator lead G c ( s) memiliki fungsi transfer sebagai berikut: s+1
T
G c ( s) = K c Sebuah Ts + 1 Sebuah Ts + 1 = K c
, (0 6 Sebuah 6 1)
s+1 Sebuah T
Sudut dari tiang di asal ke dominan tiang loop tertutup yang diinginkan di s = - 1.5 + j 2,5981 adalah 120 ° sudut .suatu dari tiang di s = - 1 ke kutub loop tertutup yang diinginkan adalah 100,894 °. Oleh karena itu, kekurangan sudut adalah
Kekurangan sudut = 180 ° - 120 ° - 100,894 ° = - 40,894 ° Sudut defisit 40,894 ° harus disumbangkan oleh kompensator lead. Perhatikan bahwa solusi untuk masalah tersebut tidak unik. Ada jauh lebih banyak solusi. Kami akan menyajikan dua solusi untuk masalah dalam apa yang berikut. Metode 1. Ada 1. Ada banyak cara untuk untuk menentukan lokasi lokasi dari nol dan tiang dari kompensator kompensator lead. Dalam apa apa yang berikut kita akan akan memperkenalkan memperkenalka n prosedur untuk mendapatkan nilai yang mungkin terbesar untuk Sebuah. ( Perhatikan bahwa nilai yang lebih besar dari Sebuah akan menghasilkan nilai yang lebih besar dari K v. v. Dalam kebanyakan kasus, semakin besar K v v adalah, semakin baik kinerja sistem.) Pertama, menggambar garis horizontal yang melewati titik P, P, lokasi lokasi yang diinginkan untuk salah satu yang dominan kutub loop tertutup. Hal ini ditunjukkan sebagai garis PA pada Gambar 6-41. Menarik juga titik garis yang menghubungkan P dan asal. Membagi dua sudut antara garis PA dan PO, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 6-41.Draw dua baris PC dan PD bahwa sudut make
;f2
dengan garis bagi para PB. Itu
persimpangan PC dan PD dengan sumbu nyata negatif m emberikan lokasi yang diperlukan untuk tiang dan nol dari kompensator network.The memimpin dengan demikian dirancang akan membuat titik P sebuah titik pada lokus akar kompensasi system.The gain loop terbuka ditentukan oleh penggunaan kondisi besarnya.
Dalam sistem ini, sudut G (s) di kutub loop tertutup yang diinginkan adalah
= - 220,894 °
n 10
s (s + 1) 2
s = - 1.5 + j 2,5981
j v v P SEBUAH
f 2
-
f 2
1
-
Sebuah T Sebuah T
1
T HAI
Gambar 6-41
C
Penentuan tiang dan nol
B
s
D
dari jaringan memimpin.
Bagian 6-6 / Lead Kompensasi
315
Jadi, jika kita perlu memaksa akar lokus untuk pergi melalui tiang loop tertutup yang diinginkan, kompensator lead harus berkontribusi f = 40,894 ° pada saat ini. Dengan mengikuti prosedur desain sebelumnya, kita dapat menentukan tiang nol dan dari kompensator lead. Mengacu pada Gambar 6-42, jika kita membagi dua sudut APO dan mengambil 40,894 ° / 2 setiap sisi, maka lokasi dari nol dan tiang yang ditemukan sebagai berikut:
nol pada s = -1,9432
tiang di s = -4,6458 Demikian, G c ( s) dapat diberikan sebagai
s+1 G c ( s) = K c s+1
T
s + 1,9432
= K c
s + 4,6458
T
(Untuk kompensator ini nilai Sebuah aku s a = 1,9432 / 4,6458 = 0,418.) Nilai K c dapat ditentukan dengan menggunakan kondisi besarnya.
2 K c
s + 1,9432 s + 4,6458
10 =1
s (s + 1) 2
s = - 1.5 + j 2,5981
atau
K c = 2 ( s + 4,6458) s (s + 1) 10 ( s + 21,9432)
= 1,2287
s = - 1.5 + j 2,5981
Oleh karena itu, kompensator lead G c ( s) hanya dirancang diberikan oleh
G c ( s) = 1,2287 s + 1,9432 s + 4,6458 Kemudian, fungsi transfer loop terbuka dari sistem yang dirancang menjadi 10 G c ( s) G (s) = 1,2287 Sebuah s + 1,9432
s (s + 1)
s + 4,6458 b
dan fungsi transfer loop tertutup menjadi C (s) R (s) =
12,287 ( s + 1,9432)
s (s + 1) ( s + 4,6458) + 12,287 ( s + 1,9432) 12,287 s + 23,876 =
s 3 + 5,646 s 2 + 16,933 s + 23,876 j v v j 3 3 P
SEBUAH
j 2 2 ° 7 ° 4 4 7 0 , 4 2 4 , 0 2
- 4,6458
-3
- 1,9432
Gambar 6-42
j 1 1
0
- j 1 1
Penentuan tiang dan nol dari kompensator lead.
316
- j 2 2
Bab 6 / Sistem Kontrol Analisis dan Desain oleh Root-Locus Cara
1
2
s
j v v
j 3 3
j 2 2
j 1 1
-5
-4
-3
-2
1
-1
s
- j 1 1
- j 2 2
Gambar 6-43
Akar-lokus plot dari sistem yang
- j 3 3
dirancang.
Gambar 6-43 menunjukkan plot akar-lokus untuk sistem yang dirancang. Hal ini bermanfaat untuk memeriksa kecepatan statis kesalahan konstan K v untuk sistem hanya dirancang.
K v = lim sS0
= lim sS0
sG c ( s) G (s) 10
s c 1,2287 s + 1,9432 s + 4,6458
s (s + 1) d
= 5,139 Perhatikan bahwa ketiga tiang loop tertutup dari sistem yang dirancang ditemukan dengan membagi persamaan karakteristik oleh faktor-faktor yang dikenal sebagai berikut:
s 3 + 5,646 s 2 + 16,933 s + 23,875 = ( s + 1,5 + j 2,5981) ( s + 1,5 - j 2,5981) ( s + 2,65) Metode kompensasi di atas memungkinkan kita untuk menempatkan dominan kutub loop tertutup pada titik-titik yang diinginkan dalam bidang kompleks. Yang ketiga tiang di s = 2,65 cukup dekat dengan menambahkan nol pada 1,9432. Oleh karena itu, efek dari tiang ini pada respon relatif kecil. Karena tidak ada pembatasan telah dikenakan pada tiang nondominant dan tidak ada spesifikasi yang telah diberikan mengenai nilai statis koefisien err or kecepatan, kami menyimpulkan bahwa desain ini adalah memuaskan.
Metode 2.
Jika kita memilih nol dari kompensator memimpin di s = 1 sehingga akan membatalkan
pole tanaman pada s = 1, maka tiang kompensator harus berada di s = 3. (Lihat Gambar 6-44.) Oleh karena it u kompensator lead menjadi
G c ( s) = K c
s+1 s+3
Nilai dari K c dapat ditentukan dengan menggunakan kondisi besarnya.
2 K c
Bagian 6-6 / Lead Kompensasi
s+1 s+3
10 s (s + 1) 2
=1 s = - 1.5 + j 2,5981
317
Diinginkan pole loop
j v v
tertutup
j 3 3
j 2 2
pole
j 1 1
kompensator
120 °
-4
-3
60- 2°
1
-1
Kompensator nol
s
- j 1 1
Gambar 6-44
Compensator tiang dan
- j 2 2
nol. atau 2
K c = 2 s (s + 3) 10
= 0,9
s = - 1.5 + j 2,5981
Karenanya
G c ( s) = 0,9 s + 1 s+3 Fungsi transfer loop terbuka dari sistem yang dirancang kemudian menjadi 10
G c ( s) G (s) = 0,9 s + 1
s+3
s (s + 1) =
9
s (s + 3)
Fungsi transfer loop tertutup dari sistem kompensasi menjadi 9
s 2 + 3 s + 9 Perhatikan bahwa dalam kasus ini nol dari kompensator lead akan membatalkan tiang tanaman, sehingga sistem orde kedua,
R (s) = daripada sistem orde ketiga seperti yang kita dirancang menggunakan Metode 1.
Statis kesalahan kecepatan konstan untuk kasus ini diperoleh sebagai berikut:
K v = lim s S 0 sG c ( s) G (s) C (s) = lim sS0
9 sc
s (s + 3) d = 3
Perhatikan bahwa sistem yang dirancang oleh Metode 1 memberikan nilai yang leb ih besar dari statis kecepatan kesalahan constant.This berarti bahwa sistem yang dirancang oleh Metode 1 akan memberikan kesalahan steady state yang lebih kecil dalam mengikuti input ramp daripada sistem yang dirancang oleh Metode 2.
Untuk kombinasi yang berbeda dari nol dan tiang dari kompensator yang memberikan kontribusi 40,894 °, nilai K v akan different.Although different.Althoug h perubahan tertentu dalam nilai K v dapat dibuat dengan mengubah lokasi tiang-nol dari kompens kompensator ator lead, j ika peningkatan peningkata n besar dalam nilai K v adalah diinginkan, maka kita harus mengubah kompensator mengarah ke kompensator lag-lead.
Perbandingan langkah dan jalan respon dari sistem kompensasi dan tanpa kompensasi. Dalam apa yang berikut kita akan membandingkan unit-langkah dan Unit-jalan tanggapan dari tiga sistem: sistem yang asli terkompensasi, terkompensas i, sistem yang dirancang oleh Metode 1, dan sistem yang dirancang oleh metode 2. Program MATLAB digunakan untuk memperoleh satuan-langkah respons kurva diberikan dalam
318
Bab 6 / Sistem Kontrol Analisis dan Desain oleh Root-Locus Cara
MATLAB Program 6-9, di mana num1 dan den1 menunjukkan pembilang dan penyebut dari sistem yang dirancang oleh Metode 1 dan num2 dan den2 menunjukkan bahwa dirancang dengan Metode 2.Also, num dan den digunakan untuk system.The terkompensasi terkompensa si asli dihasilkan unit- kurva langkah respon ditunjukkan dalam program Gambar 6-45.The MATLAB untuk mendapatkan kurva respon unit jalan dari
MATLAB Program 6-9
% ***** Unit-Langkah Respon Kompensasi dan tidak terkompensasi Sistem *****
num1 = [12,287 23,876]; den1 = [1 5,646 16,933 23,876]; num2 = [9]; den2 = [1 3 9]; num = [10]; den = [1 1 10]; t = 0: 0.05: 5;
c1 = langkah (num1, den1, t); c2 = langkah (num2, den2, t); c = langkah (num, den, t); plot (t, c1, '-' '', t, c2,, t, c, 'x') jaringan
judul ( 'Responses 'Responses Unit-Langkah Unit-Langkah Kompensasi Kompensasi Sistem dan tidak terkompensasi terkompensasi Sistem') xlabel xlabel ( 't Sec')
ylabel ( 'Output c1, c2, dan c') teks (1.51,1.48, 'Kompensasi System (Metode 1)') teks (0.9,0.48, 'Kompensasi System (Metode 2)') teks (2.51,0.67, 'tidak terkompensasi Sistem')
Unit-Langkah Tanggapan dari Kompensasi Sistem dan Sistem tidak terkompensasi
1.8
1,6 Kompensasi System (Metode 1) 1.4
1.2 c
n a d , 2 c
, 1 c
t u p t u o
0,8 Sistem terkompensasi 0.6 1
Kompensasi System (Metode 2) 0,4
Gambar 6-45
Unit-langkah kurva respon dari sistem yang dirancang
0,2
dan sistem terkompensasi asli.
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5 4
4,5
5
t Detik Detik
Bagian 6-6 / Lead Kompensasi
319
sistem yang dirancang diberikan dalam Program MATLAB 6-10, di mana kita menggunakan perintah langkah untuk memperoleh tanggapan Unit-jalan dengan menggunakan pembilang dan penyebut untuk sistem yang dirancang oleh Metode 1 dan Metode 2 sebagai berikut:
num1 = [12,287 23,876] den1 = [1 5,646 16,933 23,876 0] num2 = [9] den2 = [1 3 9 0]
kurva respon Unit-jalan yang dihasilkan ditunjukkan pada Gambar 6-46.
MATLAB Program 6-10
% ***** Unit-Ramp Tanggapan dari Kompensasi Sistem ***** num1 = [12,287 23,876]; den1 = [1 5,646 16,933 23,876 0]; num2 = [9]; den2 = [1 3 9 0]; t = 0: 0.05: 5;
c1 = langkah (num1, den1, t); c2 = langkah (num2, den2, t); plot (t, c1, '-', t, c2,, t, t, '' '-') jaringan
judul ( 'Unit-Ramp 'Unit-Ramp Tanggapan dari Kompensasi Sistem') Sistem') xlabel ( 't Sec') Sec') ylabel ( 'Unit-Ramp Input dan Output c1 dan c2') teks (2.55,3.8, 'Masukan')
teks (0.55,2.8, 'Kompensasi System (Metode 1)') teks (2.35,1.75, 'Kompensasi System (Metode 2)') Unit-Ramp Tanggapan Kompensasi Sistem 5
4,5
Memasukkan
2
3,5
c
n a d 1
3
c
Kompensasi System (Metode 1)
t u p t u 2,5 O n a d t 2 u p n I p m 1,5 a R t i n U
Kompensasi System (Metode 2)
1
Gambar 6-46
0,5 4
kurva respon Unit-jalan dari sistem yang dirancang.
0 0
0,5
1
1,5
2
2,5 3 t Detik Detik
320
Bab 6 / Sistem Kontrol Analisis dan Desain oleh Root-Locus Cara
3,5 4
4,5
5
Dalam memeriksa kurva respon ini melihat bahwa sistem kompensasi yang dirancang oleh Metode 1 pameran overshoot sedikit lebih besar dalam respon langkah dari sistem kompensasi yang dirancang dengan Metode 2.However, mantan memiliki karakteristik respon yang lebih baik untuk input ramp daripada yang terakhir. Sehingga sulit untuk mengatakan mana yang lebih baik. Keputusan yang satu untuk memilih harus dibuat oleh persyaratan respon (seperti overshoots kecil untuk langkah jenis input atau kesalahan steady state yang lebih kecil dalam mengikuti jalan atau mengubah input) yang diharapkan dalam sistem yang dirancang. Jika kedua overshoots lebih kecil pada langkah input dan lebih kecil kesalahan steady-state dalam mengikuti perubahan input yang diperlukan, maka kita mungkin menggunakan lag-lead kompensator. (Lihat Bagian 6-8 untuk teknik kompensasi lag-lead.)
6-7 LAG KOMPENSASI Lag Compensator elektronik Menggunakan Penguat Operasional. Konfigurasi kompensator lag elektronik menggunakan penguat operasional adalah sama dengan yang untuk kompensator lead yang ditunjukkan pada Gambar
di sirkuit ditampilkan C 1 pada Gambar 6-36, itu menjadi kompensator lag. Mengacu pada Gambar 6-36, fungsi transfer dari 6-36. Jika kita memilih
1
kompensator lag diberikan oleh
s+1
E Hai( s) E saya( s) = K c b Ts + 1
b Ts + 1 = K
T
c
s+1
b TR 2 C 2 7 R
dimana
T = R 1 C 1 .
b T = R 2 C 2 .
b = R 2 C 2 7 1, K R 1 C 1
c=
R 4 C 1
R 3 C 2
Perhatikan bahwa kita menggunakan b dari pada Sebuah dalam ekspresi di atas. [Dalam kompensator lead kami menggunakan Sebuah untuk menunjukkan rasio
R 2 C 2 SEBUAH R 1 C 1yang B,
kurang dari 1, atau 0 < a < 1.] Di dalam
Buku kami selalu menganggap bahwa 0 < a < 1 dan b> 1.
Lag Teknik Kompensasi Berdasarkan Pendekatan Root-Locus. Mempertimbangkan masalah menemukan jaringan kompensasi yang sesuai untuk kasus di mana sistem menunjukkan karakteristik transient-respon yang memuaskan tetapi karakteristik steady-state yang tidak memuaskan. Kompensasi dalam hal ini pada dasarnya terdiri dari meningkatkan keuntungan openloop tanpa lumayan mengubah characteristics.This transient-respon berarti bahwa akar lokus di lingkungan yang dominan kutub loop tertutup tidak harus diubah lumayan, tapi gain openloop harus meningkat sebanyak yang dibutuhkan. Hal ini dapat dicapai jika kompensator lag diletakkan di cascade dengan fungsi transfer feedforward yang diberikan.
Untuk menghindari perubahan yang cukup dalam lokus akar, kontribusi sudut jaringan lag harus dibatasi untuk sejumlah kecil, mengatakan kurang dari 5 °. Untuk menjamin ini, kita menempatkan tiang dan nol dari jaringan lag relatif dekat bersama-sama dan dekat asal
s plane.Then kutub loop tertutup dari sistem kompensasi akan bergeser hanya sedikit dari lokasi aslinya. Oleh karena itu, karakteristik transient-respon akan berubah hanya sedikit.
Bagian 6-7 / Lag Kompensasi
321
G c ( s), dimana
Pertimbangkan kompensator lag
s+1
G c ( s) = K c b Ts + 1 b Ts + 1 = K
T
(6-19)
c
s+1
bT
Jika kita menempatkan tiang nol dan satu lag kompensator sangat dekat satu sama lain, maka pada
s = s 1 .
dimana s 1 adalah salah satu yang dominan kutub loop tertutup, besaran
s 1 + C 1 ( b T) D
s 1 + ( 1 T)
dan
hampir sama, atau
s 1 + 1
T
ΣG c SEBUAH s 1 B Σ = 4 K c
Kc
4
s 1 + 1
bT
Untuk membuat kontribusi sudut bagian lag kompensator kecil, kami membutuhkan
T - 5°6
n s s 1 1
60°
1 +
1 +
bT
c Ini berarti bahwa jika gain dari K kompensator lag diatur sama dengan 1, perubahan dalam karakteristik transient
respon akan sangat kecil, meskipun fakta bahwa keuntungan secara keseluruhan dari fungsi transfer loop terbuka meningkat dengan faktor b, dimana b> 1. Jika tiang dan nol ditempatkan sangat dekat dengan asal, maka nilai b dapat dibuat besar. (Nilai besar b dapat digunakan, disediakan realisasi fisik dari kompensator lag adalah mungkin.) Perlu dicatat bahwa nilai T harus besar, tetapi nilai eksaknya tidak kritis. Namun, itu tidak boleh terlalu besar untuk menghindari kesulitan dalam mewujudkan fase-lag kompensator oleh komponen fisik.
Peningkatan gain berarti peningkatan konstanta kesalahan statis. Jika fungsi transfer openloop dari sistem terkompensasi adalah G (s), maka statis kecepatan kesalahan konstan K v v dari sistem terkompensasi adalah
K v = lim sS0
sG (s)
Jika kompensator dipilih sebagai diberikan oleh Persamaan (6-19), maka untuk sistem kompensasi dengan fungsi transfer loop terbuka
G c ( s) G (s)
kecepatan statis kesalahan konstan
K v menjadi K v = lim sS0
sG c ( s) G (s)
= lim
G c ( s) K v
= K c b K v
sS0
dimana K v v adalah statis konstan kesalahan kecepatan sistem terkompensasi. Jadi jika kompensator diberikan oleh Persamaan (6-19), maka statis kesalahan kecepatan konstan meningkat dengan faktor 322
K c b, dimana K c adalah sekitar kesatuan.
Bab 6 / Sistem Kontrol Analisis dan Desain oleh Root-Locus Cara
Efek negatif utama dari kompensasi lag adalah bahwa kompensator nol yang akan dihasilkan dekat asal menciptakan tiang closedloop dekat kutub origin.This closedloop dan kompensator nol akan menghasilkan ekor panjang dari amplitudo kecil di respon langkah, sehingga meningkatkan waktu menetap.
Prosedur desain untuk Lag Kompensasi dengan Metode Root-Locus. Prosedur untuk merancang kompensator lag untuk sistem yang ditunjukkan pada Gambar 6-47 dengan metode akar-lokus dapat dinyatakan sebagai berikut (kita asumsikan bahwa sistem terkompensasi memenuhi spesifikasi transient-respon oleh sederhana penyesuaian keuntungan, jika hal ini tidak terjadi , lihat Bagian 6-8):
1. Menggambar plot akar-lokus untuk sistem terkompensasi yang trans- loop terbuka
Fungsi fer adalah G (s). Berdasarkan spesifikasi transient-respon, cari dominan loop tertutup tiang pada lokus akar. 2. Asumsikan 2. Asumsikan fungsi fungsi transfer dari dari kompensator lag diberikan oleh oleh Persamaan (6-19):
s+1
G c ( s) = K c b Ts + 1 b Ts + 1 = K
T
c
s+1
bT
Kemudian fungsi transfer loop terbuka dari sistem kompensasi menjadi G c ( s) G (s). 3. Mengevaluasi konstan kesalahan statis tertentu ditentukan dalam masalah.
4. Tentukan jumlah peningkatan kesalahan statis konstan diperlukan untuk satisfy spesifikasi. 5. Menentukan tiang dan nol dari kompensator lag yang menghasilkan yang diperlukan
peningkatan statis kesalahan tertentu konstan tanpa lumayan mengubah akar lokus asli. (Perhatikan bahwa rasio nilai gain yang diperlukan dalam spesifikasi dan keuntungan ditemukan dalam sistem terkompensasi adalah rasio yang dibutuhkan antara jarak nol dari asal dan bahwa tiang dari titik asal.)
6. Menggam Menggambar bar plot akar-lokus baru untuk sistem kompensasi. Menemukan Menemukan dom- diinginkan
inant loop tertutup tiang pada lokus akar. (Jika kontribusi sudut jaringan lag sangat kecil-yaitu, beberapa derajat-maka asli dan baru lokus akar hampir identical.Otherwise, akan ada sedikit perbedaan antara them.Then menemukan, pada lokus akar baru , yang dominan tiang loop tertutup yang diinginkan berdasarkan spesifikasi transient-respon.) c 7. Sesuaikan gainKdari kompensator dari kondisi besarnya sehingga dom-
K c akan menjadi sekitar 1. B
inant loop tertutup tiang terletak di lokasi yang diinginkan. SEBUAH
+
-
G cc ( s) s)
G (s)
Gambar 6-47 Sistem pengaturan pengaturan..
Bagian 6-7 / Lag Kompensasi
323
CONTOH 6-7 Mempertimbangkan sistem yang ditunjukkan pada Gambar 6-48 (a). Fungsi transfer feedforward adalah
G (s) =
1,06
s (s + 1) (s + 2)
Akar-lokus plot untuk sistem sistem ini ditunjukkan ditunjukkan pada Gambar 6-48 (b). Fungsi transfer transfer loop tertutup menjadi menjadi
C (s) R (s) =
1,06
s (s + 1) (s + 2) + 1,06 1,06 =
(S + 0,3307 - j0.5864) (s + 0,3307 + j0.5864) (s + 2,3386)
Dominan tiang loop tertutup adalah s = -0,3307; j0.5864 Rasio redaman yang dominan kutub loop tertutup adalah
z = 0,491.
The teredam alami
frekuensi dominan kutub loop tertutup adalah 0,673 rad sec.The statis kesalahan kecepatan konstan adalah
0,53 sec -1. Hal ini diinginkan untuk meningkatkan kecepatan statis kesalahan konstan K v v sekitar 5 detik -1 tanpa lumayan mengubah lokasi dominan kutub loop tertutup. Untuk memenuhi spesifikasi ini, mari kita memasukkan kompensator lag seperti yang diberikan oleh Persamaan (6-19) di kaskade transfer feedforward yang diberikan function.To meningkatkan kesalahan kecepatan statis konstan dengan faktor sekitar 10, mari kita memilih b = 10 dan menempatkan nol dan tiang dari kompensator lag di s = -0,05 dan s = -0,005, respectively.The fungsi transfer dari kompensator lag menjadi
G c ( s) = K
s + 0.05 s + 0,005 c
j v v
j 2 2 kutub loop tertutup
j 1 1
-
+
3
-2
-1
0
1,06
-
s (s + 1) 1) ( s ( s + 2) 2)
- j 11
- j 2 2 Gambar 6-48
(A) sistem kontrol; (B) Plot akar-lokus.
324
(Sebuah)
Bab 6 / Sistem Kontrol Analisis dan Desain oleh Root-Locus Cara
(B)
1
s
+
^
K c c
-
s + 0,05 0,05
1,06
s + 0,005 0,005
Gambar 6-49
s (s + 1) 1) ( s ( s + 2) 2)
^ K c 0,966 c = 0,966
sistem kompensasi.
Kontribusi sudut jaringan lag ini dekat tiang loop tertutup dominan adalah sekitar 4 °. Karena kontribusi sudut ini tidak sangat kecil, ada perubahan kecil di lokus akar baru di dekat dominan kutub loop tertutup yang diinginkan.
Fungsi transfer loop terbuka dari sistem kompensasi kemudian menjadi
G c ( s) G (s) = K
s + 0.05 s + 0,005
1,06
c
s (s + 1) (s + 2)
K (s + 0,05) =
s (s + 0,005) (s + 1) (s + 2) dimana
K = 1.06K c Diagram blok dari sistem kompensasi ditunjukkan pada Gambar 6-49.The akar-lokus plot untuk sistem kompensasi dekat dominan kutub loop tertutup ditunjukkan pada Gambar 6-50 (a), bersama-sama dengan aslinya akar-lokus petak . Gambar 6-50 (b) menunjukkan plot akar-lokus dari sistem kompensasi
Akar-Locus Plot Kompensasi Kompensasi dan tidak terkompensasi terkompensasi Sistem
Akar-Locus Plot Kompensasi Sistem dekat Asal yang yang
2 0,5 1,5 0,4
sistem terkompensasi
0,3
pole closedloop baru
Asli pole loop tertutup tertutup
0,5
0,2 0,1
i x s A g a m i
sistem kompensasi
0
s i x A g a m i
- 0,5
0
- 0,1 - 0,2
-1
- 0,3 - 0,4
- 1,5 1
- 0,5 -2
-3
- 2,5
-2
- 1,5
-1
- 0,5
0
0,5
nyata Axis (Sebuah)
1
- 0,4
- 0,2
0
0,2
0,4
0,6
nyata Axis (B)
Gambar 6-50
(A) plot Root-lokus dari sistem kompensasi dan sistem terkompensasi; (B) Plot akar-lokus sistem kompensasi dekat asal.
Bagian 6-7 / Lag Kompensasi
325
dekat program origin.The MATLAB untuk menghasilkan plot akar-lokus yang ditunjukkan pada Gambar 6-50 (a) dan (b) diberikan dalam MATLAB Program 6-11.
MATLAB Program 6-11
% ***** plot Root-lokus dari sistem kompensasi dan sistem terkompensasi% ***** % ***** Masukkan pembilang dan penyebut dari% kompensasi dan sistem terkompensasi ***** numc = [1 0,05]; denc = [1 3,005 2,015 0,01 0]; num = [1,06]; den = [1 3 2 0];
% ***** Masukkan perintah rlocus. Plot lokus akar dari kedua sistem% ***** rlocus (numc, denc) mengadakan
plot saat diadakan rlocus (num, den) v = [-3 1 -2 2]; axis (v); axis ( 'persegi') jaringan
teks (-2.8,0.2, 'sistem Kompensasi') teks (-2.8,1.2, 'sistem tidak terkompensasi') teks (-2.8,0.58, 'Asli loop tertutup tiang') teks (-0.1,0.85, 'tertutup New ') teks (-0.1,0.62,' lingkaran kutub ')
judul ( 'Akar-Locus Plot Kompensasi dan tidak terkompensasi Sistem') memegang
plot saat dirilis % ***** Plot akar lokus dari sistem kompensasi dekat asal ***** rlocus (numc, denc) v = [-0,6 0,6 -0,6 0,6]; axis (v); axis ( 'persegi') jaringan
judul ( 'Akar-Locus Plot Kompensasi Kompensasi Sistem dekat dekat Asal')
Jika rasio redaman yang dominan kutub loop tertutup baru disimpan sama, maka kutub ini diperoleh dari plot akar-lokus baru sebagai berikut: s 1 = - 0 0,31 0, ,31 + j0.55, j0.55,
s 2 = - 0,31 - j0.55
Gain loop terbuka K ditentukan dari kondisi besarnya sebagai berikut: K = 2 s (s + 0,005) (s + 1) (s + 2) s + 0,05 = 1,0235
326
Bab 6 / Sistem Kontrol Analisis dan Desain oleh Root-Locus Cara
2 s = -0,31 + j0.55
K c ditentukan sebagai
Maka keuntungan lag kompensator
K c = K
1,06 = 0,9656 1,06 = 1,0235
Dengan demikian fungsi transfer dari kompensator lag dirancang adalah
G c ( s) = 0,9656 s + 0,05
(6-20)
s + 0,005 = 9,656 20-an + 200s 1 +1
Maka sistem kompensasi memiliki fungsi loop terbuka Transfer berikut: 1,0235 (s + 0,05)
G 1 ( s) =
s (s + 0,005) (s + 1) (s + 2) 5.12 (20-an + 1)
=
s (200s + 1) (s + 1) (0.5s + 1) Kecepatan statis kesalahan konstan K v v aku s
K v = lim sS0
sG 1 ( s) = 5.12 detik- 1
Dalam sistem kompensasi, statis kesalahan kecepatan konstan meningkat menjadi 5,12 sec -1, atau 5.12 / 0.53 = 9.66 kali nilai asli. (Kesalahan steady-state dengan input ramp telah menurun menjadi sekitar 10% dari yang dari sistem yang asli.) Kami pada dasarnya telah dicapai tujuan desain meningkatkan kesalahan kecepatan statis konstan untuk 5 detik -1.
Perhatikan bahwa, karena tiang dan nol dari kompensator lag ditempatkan berdekatan dan terletak sangat dekat asal, efeknya pada bentuk akar lokus asli telah kecil. Kecuali untuk kehadiran tertutup tempat kedudukan akar kecil dekat asal, akar lokus dari kompensasi dan sistem terkompensasi sangat mirip satu sama other.Howe other.However, ver, nilai statis kesalahan kecepatan konstan dari sistem kompensasi adalah 9,66 kali lebih besar dari bahwa sistem terkompensasi. Dua kutub loop tertutup lainnya untuk sistem kompensasi yang ditemukan sebagai berikut:
s 3 = - 2 2,326, 2, ,326,
s 4 = - 0,0549
Penambahan kompensator lag meningkatkan urutan sistem dari 3 sampai 4, menambahkan satu tambahan loop tertutup tiang dekat dengan nol dari kompensator lag. (Menambahkan loop tertutup tiang at s = -0,0549 dekat dengan nol pada s = -0,05.) Seperti sepasang tiang nol dan menciptakan ekor panjang dari amplitudo kecil di respon, seperti yang akan kita lihat nanti dalam respon satuan langkah. Karena tiang di s = -2,326 sangat jauh dari j v sumbu dibandingkan dengan dominan kutub loop tertutup, efek dari tiang ini di respon juga kecil. Oleh karena itu, kita dapat mempertimbangkan kutub loop tertutup di
s = -0,31; j0.55
menjadi dominan kutub loop tertutup.
Frekuensi alami undamped yang dominan loop tertutup tiang dari sistem kompensasi adalah 0,631 rad Nilai sec.This adalah sekitar 6% kurang dari nilai asli, 0,673 sec.This rad menyiratkan bahwa respon dari sistem kompensasi lebih lambat dibandingkan dengan sistem yang asli. Tanggapan akan memerlukan waktu lebih lama untuk menyelesaikan down.The overshoot maksimum di respon langkah akan meningkatkan dalam sistem kompensasi. Jika efek samping tersebut dapat ditoleransi, kompensasi lag seperti yang dibahas di sini menyajikan solusi yang memuaskan untuk masalah desain yang diberikan.
Berikutnya, kita akan membandingkan tanggapan unit ramp dari sistem kompensasi terhadap sistem terkompensasi dan memverifikasi bahwa kinerja mapan jauh lebih baik dalam sistem kompensasi dari sistem terkompensasi. Untuk mendapatkan respon unit jalan dengan MATLAB, kita menggunakan perintah langkah untuk sistem C (s) C sR (s) D.
Sejak C (s) C sR (s) D C (s) sR (s) =
untuk sistem kompensasi adalah
1,0235 (s + 0,05) s C s (s + 0,005) (s + 1) (s + 2) + 1,0235 (s + 0,05) D
1.0235s + 0,0512 =
s 5 + 3.005s 4 + 2.015s 3 + 1.0335s 2 + 0.0512s Bagian 6-7 / Lag Kompensasi
327
kita punya
numc = [1,0235 0,0512] denc = [1 3,005 2,015 1,0335 0,0512 0] Juga,
C (s) C sR (s) D
untuk sistem terkompensasi adalah
C (s) sR (s) =
1,06 s C s (s + 1) (s + 2) + 1,06 D
1,06
=
s 4 + 3s 3 + 2s 2 + 1.06s Karenanya,
num = [1,06] den = [1 3 2 1,06 0] Program MATLAB 6-12 menghasilkan plot kurva respon unit ramp. Gambar 6-51 menunjukkan hasilnya. Jelas, sistem kompensasi menunjukkan jauh lebih kecil error steady state (sepersepuluh dari kesalahan steady state asli) dalam mengikuti input unit ramp.
MATLAB Program 6-12
% ***** tanggapan Unit-jalan dari sistem kompensasi dan sistem terkompensasi% ***** % ***** respon Unit-jalan akan diperoleh sebagai unit-langkah% respon dari C (s) / [sR (s)] *****
% ***** Masukkan pembilang dan penyebut dari C1 (s) / [sR (s)]% dan C2 (s) / [sR (s)], di mana C1 (s) dan C2 (s) adalah Laplace% mengubah output dari sistem% kompensasi kompensasi dan un, masing-masing. *****
numc = [1,0235 0,0512]; denc = [1 3,005 2,015 1,0335 0,0512 0]; num = [1,06]; den = [1 3 2 1,06 0];
% ***** Tentukan rentang waktu (seperti t = 0: 0.1: 50) dan masukkan% langkah komando dan perintah plot. ***** t = 0: 0.1: 50; c1 = langkah (numc, denc, t); c2 = langkah (num, den, t); plot (t, c1, '-', t, c2,, t, t, '' '-') jaringan
teks (2.2,27, 'sistem Kompensasi'); teks (26,21.3, 'sistem tidak terkompensasi'); judul ( 'Unit-Ramp Tanggapan dari Kompensasi dan tidak terkompensasi Sistem') Sistem') xlabel ( 't Sec');
ylabel ( 'Output c1 dan c2')
328
Bab 6 / Sistem Kontrol Analisis dan Desain oleh Root-Locus Cara
Unit-Ramp Tanggapan dari Kompensasi dan tidak terkompensasi Sistem
50 45
40 35
2 30 c
n a d 25 1
Gambar 6-51
tanggapan Unit-jalan
sistem kompensasi
c t u 20 p t u o 15
sistem terkompensasi
10
sistem kompensasi dan tanpa kompensasi. [Itu
5
0 05
kompensator diberikan oleh
10
15
20
25
30
35
40
45
50
t Detik Detik
Persamaan (6-20).]
Program MATLAB 6-13 memberikan kurva unit langkah respon dari sistem kompensasi dan tanpa kompensasi. Kurva respon Unit-langkah ini ditunjukkan pada Gambar 6-52. Perhatikan bahwa sistem lag-kompensasi pameran overshoot maksimum yang lebih besar dan respon lebih lambat dari sistem terkompensasi asli. Perhatikan bahwa sepasang tiang di s = -0,0549 dan nol pada
MATLAB Program 6-13
% ***** tanggapan Unit-langkah sistem kompensasi dan sistem terkompensasi% ***** % ***** Masukkan pembilang dan penyebut dari% kompensasi dan sistem terkompensasi ***** numc = [1,0235 0,0512]; denc = [1 3,005 2,015 1,0335 0,0512]; num = [1,06]; den = [1 3 2 1,06];
% ***** Tentukan rentang waktu (seperti t = 0: 0.1: 40) dan masukkan% langkah komando dan perintah plot. ***** t = 0: 0.1: 40; c1 = langkah (numc, denc, t); c2 = langkah (num, den, t); plot (t, c1, '-', t, c2, '') jaringan
teks (13,1.12, 'sistem Kompensasi') teks (13.6,0.88, 'sistem tidak terkompensasi') judul ( 'Unit-Langkah 'Unit-Langkah Tanggapan dari Kompensasi Kompensasi dan tidak terkompensasi terkompensasi Sistem') Sistem') xlabel ( 't Sec') Sec')
ylabel ( 'Output c1 dan c2')
Bagian 6-7 / Lag Kompensasi
329
Unit-Langkah Tanggapan dari Kompensasi dan tidak terkompensasi Sistem
1.4
1.2
sistem Kompensasi
sistem terkompensasi 2 c
0.8 1
n a d 1 c t u p t u o
Gambar 6-52
0,6
0,4
tanggapan Unit-langka Unit-langkah h sistem kompensasi dan
0,2
tanpa kompensasi. [Itu 0 0
kompensator diberikan oleh
5
10
15
20
25
30
35
40
t Detik Detik
Persamaan (6-20).]
s = -0,05 menghasilkan ekor panjang dari amplitudo kecil di respon. Jika overshoot maksimum yang lebih besar dan respon lambat yang tidak diinginkan, kita perlu menggunakan lag-lead kompensator seperti yang disajikan dalam Bagian 6-8.
Komentar. Perlu dicatat bahwa dalam keadaan tertentu, bagaimanapun, baik memimpin kompensator dan lag kompensator dapat memenuhi spesifikasi yang diberikan (baik spesifikasi transientresponse dan spesifikasi steady-state.) Kemudian baik kompensasi dapat digunakan.
6-8 LAG-LEAD KOMPENSASI
kompensasi memimpin pada dasarnya mempercepat respon dan meningkatkan stabilitas sistem. kompensasi Lag meningkatkan akurasi mapan dari sistem, tetapi mengurangi kecepatan respon. Jika perbaikan di kedua respon dan respon steady-state yang diinginkan, maka kedua kompensator lead dan kompensator lag dapat digunakan simultaneously.Rather dari memperkenalkan kedua kompensator lead dan kompensator lag sebagai unit terpisah, bagaimanapun, adalah ekonomis untuk digunakan satu lag-lead kompensator.
kompensasi lag-lead menggabungkan keunggulan lag dan kompensasi memimpin. Karena lag-lead kompensator memiliki dua kutub dan dua angka nol, kompensasi seperti meningkatkan urutan sistem dengan 2, kecuali pembatalan tiang (s) dan nol (s) terjadi pada sistem kompensasi.
Elektronik Lag-Lead Compensator Menggunakan Penguat Operasional. Gambar 6-53 menunjukkan lag-lead kompensator elektronik menggunakan penguat operasional. transfer
330
Bab 6 / Sistem Kontrol Analisis dan Desain oleh Root-Locus Cara
2 C 2
R 22
Z 11
2 Z 2
1 C 1
R 1 1
R 66
R 44
R 55
R 3 3
-
+
+ saya( s) E saya( s)
E (s)
E Hai( s) Hai( s)
Gambar 6-53
Lag-lead kompensator.
jaringan lag-lead
Masuk inverter
fungsi untuk kompensator ini dapat diperoleh sebagai berikut: Kompleks impedansi Z 1 1 diberikan oleh
1
+
=
1 R 3
R 1 + 1 C 1 s atau R 1 C 1 s + 1 B R 3
SEBUAH R 1 + R 3 B C 1 s + 1 1 Z 1
2 diberikan oleh Demikian pula, impedansi kompleks Z 2
Z 2 = SEBUAH R 2 C 2 s + 1 B R 4 SEBUAH R 2 + R 4 B C 2 s + 1 Z 1 = SEBUAH Oleh karena itu, kita harus
E (s) E saya( s) = - Z 2
R 2 C 2 s + 1
SEBUAH R 1 + R 3 B C 1 s + 1
Z 1 = - R 4R 3
R 1 C 1 s + 1
SEBUAH R 2 + R 4 B C 2 s + 1
Tanda inverter memiliki fungsi transfer E Hai( s) E (s) = - R 6
R 5 Dengan demikian fungsi transfer kompensator yang ditunjukkan pada Gambar 6-53 adalah
E Hai( s) E saya( s) = E Hai(E s)(s) E saya( s) = R 4 R 6 E (s) c A R 1 + R 3 B C 1 s + 1
R 3 R 5
R 1 C 1 s + 1
R 2 C 2 s + 1 dc
(6-21)
SEBUAH R 2 + R 4 B C 2 s + 1 d
Mari kita mendefinisikan
T 1 = SEBUAH R 1 + R 3 B C 1 .
Bagian 6-8 / Lag-Lead Kompensasi
T 1 g = R 1 C 1 .
T 2 = R 2 C 2 .
b T 2 = SEBUAH R 2 + R 4 B C 2
331
Kemudian Persamaan (6-21) menjadi
E Hai( s) E saya( s) =bg £ T 1 s + 1 K c
T 1
Sebuah s + 1 ba s + 1
T 1
T 2
b
(6-22)
b T 2 s + 1 b = K c Sebuah s + g ba s + 1
T 1
g s + 1 ≥ Sebuah T 2 s + 1
b T 2
b
dimana
7 1,
g = R 1 + R 3 R 1
R 1 + R 3 7 1, K c = R 2 R 4 R 6 R 1 R 3 R 5 R 2 + R 4
b = R 2 + R 4 R 2
Perhatikan bahwa g sering dipilih untuk menjadi sama dengan b.
Lag-lead Teknik Kompensasi Berdasarkan Pendekatan Root-Locus. Mempertimbangkan sistem yang ditunjukkan pada Gambar 6-54.Assume bahwa kita menggunakan lag-lead kompensator:
bg
T 1
SEBUAH T 1 s + 1 BA T 2 s + 1 B a T
G c ( s) = K c 1
s+g g s + 1 b A b T 2 s + 1 B = K c ± s + 1
dimana
dan g 7 1.
b71
T 2
T 1
(6-23)
≤
≤±s+1
s+1
b T 2
(Mempertimbangkan K c c milik bagian utama dari lag-lead
kompensator.) Dalam merancang kompensator lag-lead, kita mempertimbangkan dua kasus di mana Kasus 1.
g Z b.
gZb
dan g = b.
Dalam hal ini, proses desain adalah kombinasi dari desain
kompensator lead dan lag compensator.The prosedur desain untuk lag-lead kompensator berikut:
1. Dari spesifikasi kinerja yang diberikan, menentukan lokasi yang diinginkan untuk
dominan tiang loop tertutup. 2. Menggunakan fungsi transfer loop terbuka terkompensasi G (s), menentukan sudut kekurangan f jika dominan kutub loop tertutup yang berada di bagian yang diinginkan location.The fase-utama dari kompensator lag-lead harus berkontribusi sudut ini f.
3. Dengan asumsi bahwa kita kemudian memilih T 2 cukup besar sehingga besarnya lag
bagian T 2 4 s 1 + 1
s 1 + 1
+
-
4
b T 2
G cc ( s) s)
Gambar 6-54 Sistem pengaturan pengaturan..
332
Bab 6 / Sistem Kontrol Analisis dan Desain oleh Root-Locus Cara
G (s)
adalah sekitar kesatuan, di mana
memilih nilai-nilai
s = s 1
adalah salah satu yang dominan kutub loop tertutup,
T 1 dan g dari persyaratan yang
T 1
n ss
1 1 + g
= f
1 +
Pilihan
T 1
T 1 dan g tidak unik. (Jauh banyak set
T 1 dan g yang mungkin.)
Kemudian menentukan nilai K c c dari kondisi besarnya: s 1 + 1
T 1
4 K c
G SEBUAH s 1 B 4 = 1
s 1 + g
T 1
4. Jika kecepatan statis kesalahan konstan K v v adalah ditentukan, menentukan nilai b untuk memenuhi persyaratan untuk K v. v. Kecepatan statis kesalahan konstan K v v diberikan oleh
K v = lim
sG c ( s) G (s)
sS0
T 1 = lim
sk c ± s + 1
sS0
T 2 ≤ G (s)
≤±s+1
s+g
s+1
T 1
b T 2
bg G (s)
= lim sS0
sk c
dimana K c c dan g sudah ditentukan pada langkah 3.Hence, mengingat nilai K v, v, nilai dari b dapat ditentukan dari persamaan terakhir ini. Kemudian, dengan menggunakan nilai b dengan demikian bertekad, memilih nilai
T 2 seperti yang
T 2 4
4 s 1 + 1
s 1 + 1
- 5°6
ns
1
b T 2
T 2 60°
1
1 +
s 1 + 1
b T 2
(Prosedur desain sebelumnya diilustrasikan pada Contoh 6-8.) Kasus 2.
g = b.
Jika g = b diperlukan dalam Persamaan (6-23), maka desain preceeding
Prosedur untuk lag-lead kompensator dapat dimodifikasi sebagai berikut:
1. Dari spesifikasi kinerja yang diberikan, menentukan lokasi yang diinginkan untuk
dominan tiang loop tertutup. Bagian 6-8 / Lag-Lead Kompensasi
333
2. Kompensator lag-lead diberikan oleh Persamaan (6-23) dimodifikasi untuk Sebuah s + 1 ba s + 1
T 1
SEBUAH T 1 s + 1 BA T 2 s + 1 B a T
G c ( s) = K c 1
Sebuah s + b ba s + 1
T 1
b s + 1 b A b T 2 s + 1 B = K c
b
T 2
b T 2
(6-24) b
dimana b> 1. Fungsi transfer loop terbuka dari sistem kompensasi adalah G c c ( s) G (s). Jika kecepatan statis kesalahan konstan K v v adalah ditentukan, menentukan nilai konstanta K c c dari persamaan berikut: sS0
= lim sS0
sG c ( s) G (s)
sk c G (s) K v = lim
3. Untuk memiliki dominan kutub loop tertutup di lokasi yang diinginkan, menghitung sudut
kontribusi f dibutuhkan dari bagian fase-utama dari lag-lead kompensator. T 2 cukup besar sehingga
4. Untuk lag-lead kompensator, kita kemudian memilih
T 2 4 s 1 + 1
s 1 + 1 adalah sekitar kesatuan, di mana
Termine nilai-nilai
s = s 1
4
b T 2
adalah salah satu yang dominan loop tertutup poles.De-
T 1 dan b dari kondisi besarnya dan sudut:
T 1 4 K c ± s 1 + 1
s 1 + b
≤ G SEBUAH s 1 B 4 = 1
T 1
T 1
n ss
1 1 + b
= f
1 +
T 1 maka
5. Menggunakan nilai b hanya ditentukan, pilih
T 2 4 s 1 + 1
s 1 + 1
- 5°6
ns
b T 2
T 2
.
60°
1
1 +
s 1 + 1 Nilai dari
1 T 2
4
b T 2
konstanta waktu terbesar dari lag-lead kompensator, tidak harus
terlalu besar untuk diwujudkan secara fisik. (Contoh desain lag-lead kompensator saat 2 g = bb Tdiberikan pada Contoh 6-9.)
334
Bab 6 / Sistem Kontrol Analisis dan Desain oleh Root-Locus Cara
CONTOH 6-8 Mempertimbangkan sistem kontrol ditunjukkan pada Gambar 6-55. Fungsi transfer feedforward adalah 4 s (s + 0,5)
Sistem ini memiliki kutub loop tertutup di
s = -0,2500; j1.9843 G (s) = Rasio redaman adalah 0,125, frekuensi alami undamped adalah 2 rad / detik, dan kesalahan kecepatan statis konstan adalah 8 sec
-1.
Hal ini diinginkan untuk membuat rasio redaman yang dominan kutub loop tertutup sama dengan 0,5 dan untuk meningkatkan frekuensi alami undamped ke 5 rad detik dan error kecepatan statis konstan 80 sec -1. Desain sebuah kompensator yang tepat untuk memenuhi semua spesifikasi kinerja. Mari kita asumsikan bahwa kita menggunakan kompensator lag-lead memiliki fungsi transfer
T 1 G c ( s) = K c ± s + 1
T 2 ≤±s+1
s+g
s+1
T 1
( g 7 1, b 7 1)
≤
b T 2
dimana g tidak sama dengan b. Maka sistem kompensasi akan memiliki fungsi transfer loop terbuka
T 1 G c ( s) G (s) = K c ± s + 1
T 2 ≤ G (s)
≤±s+1
s+g
s+1
T 1
b T 2
Dari spesifikasi kinerja, dominan kutub loop tertutup harus berada di s = -2,50; j4.33 Sejak
= - 235 °
n 4 s (s + 0,5) 2 s = -2,50 + j4.33
bagian fase-utama dari lag-lead kompensator kompensator harus berkontribusi 55 ° sehingga akar lokus melewati lokasi yang diinginkan yang dominan kutub loop tertutup. Untuk desain bagian fase-lead dari kompensator, pertama kita menentukan lokasi dari nol dan tiang yang akan memberikan 55 ° kontribusi. Ada banyak kemungkinan pilihan, tapi kami akan di sini memilih nol pada s = -0,5 sehingga nol ini akan membatalkan tiang di s = -0,5 tanaman. Setelah nol yang dipilih, tiang dapat ditemukan sehingga kontribusi sudut adalah 55 °. Dengan perhitungan sederhana atau analisis grafis, tiang harus berada di s = -5,02. Dengan demikian, bagian fase-utama dari lag-lead kompensator menjadi
s+1
T 1
K c
= K c s+g
+
s + 0,5 s + 5.02
T 1
4
-
s (s + 0,5) 0,5)
Gambar 6-55 Sistem pengaturan pengaturan..
Bagian 6-8 / Lag-Lead Kompensasi
335
Demikian
T 1 = 2 2,,
g = 5.02 5.02 0,5 = 10.04
Selanjutnya kita menentukan nilai K c c dari kondisi besarnya: s + 0,5
2 K c
s + 5.02
4 =1
s (s + 0,5) 2
s = - 2.5+ j 4.33
Karenanya, 2
K c = 2 ( s + 5.02) s 4
= 6,26
s = - 2.5+ j 4.33
Bagian fase-lag dari kompensator dapat dirancang sebagai berikut: Pertama nilai b ditentukan untuk memenuhi kebutuhan pada statis kesalahan kecepatan konstan: bg G (s)
K v = lim
sG c ( s) G (s) = lim
sS0
= lim sS0
sS0
sk c
s (6,26) b 10.04 4 s (s + 0,5) = 4,988 b = 80
Karenanya, b ditentukan sebagai
b = 16.04
Akhirnya, kita memilih memilih nilai
s+1
T 2 sehingga dua kondisi berikut dipenuhi: dipenuhi:
T 2
4
s+
1
16.04 T 2
T 2
n s+1
- 5°6
1,
4
s+ s = - 2.5+ j 4.33
60°
4
1
16.04 T 2
s = - 2.5+ j 4.33
Kita dapat memilih beberapa nilai untuk T 2 dan memeriksa apakah kondisi magnitude dan sudut yang satisfied.After perhitungan sederhana kita temukan untuk T 2 = 5
- 2.10 ° 6 sudut 6 0 °
1 7 besarnya 7 0,98,
Sejak T 2 = 5 memenuhi dua kondisi, kita dapat memilih T 2 = 5 Sekarang fungsi transfer dari lag-lead kompensator dirancang diberikan oleh
s+1 2
5
G c ( s) = (6,26) ± s + 1
≤
≤±
s+
s + 10.04 2
1
16.04 * 5
= 6,26 Sebuah s + 0,5 s + 5.02 ba s + 0,2
s + 0,01247 b
=
10 (2s + 1) (5s + 1) (0.1992s + 1) (80.19s + 1)
336
Bab 6 / Sistem Kontrol Analisis dan Desain oleh Root-Locus Cara
sistem kompensasi akan memiliki fungsi transfer loop terbuka 25,04 (s + 0,2)
(s) =
s (s + 5,02) (s + 0,01247)
Karena pembatalan pembatalan ( s + 0,5) istilah, sistem kompensasi adalah sistem orde ketiga. (Secara matematis, pembatalan pembatalan ini adalah tepat, tetapi pembatalan praktis tersebut tidak akan tepat karena beberapa perkiraan biasanya terlibat dalam menurunkan model matematika dari sistem dan, sebagai hasilnya, konstanta waktu tidak tepat.) Akar-lokus plot sistem kompensasi ditunjukkan pada Gambar 6-56 (a) .an tampilan yang diperbesar dari plot akar-lokus dekat asal ditunjukkan pada Gambar 6-56 (b). Karena kontribusi sudut bagian fase lag lag-lead kompensator cukup kecil, hanya ada perubahan kecil di lokasi closedloop tiang dominan dari lokasi l okasi yang diinginkan, s = -2,5; j4.33. G c ( s) GPersamaan karakteristik untuk com- yang Sistem pensated adalah
s (s + 5.02) ( s + 0,01247) + 25,04 ( s + 0,2) = 0 atau
s 3 + 5,0325 s 2 + 25,1026 s + 5,008 = ( s + 2,4123 + j 4,2756) ( s + 2,4123 - j 4,2756) ( s + 0,2078) = 0 Oleh karena itu kutub loop tertutup baru terletak di
s = - 2,4123; j 4,2756 Rasio redaman baru z = 0.491.Therefore sistem kompensasi memenuhi semua spesifikasi kinerja yang diperlukan. Ketiga pole loop tertutup dari sistem kompensasi terletak di s = -0,2078.
s = -0,2,
Sejak pole loop tertutup ini sangat dekat dengan nol pada
efek tiang ini
pada respon kecil. (Perhatikan bahwa, secara umum, jika tiang dan nol kebohongan dekat satu sama lain pada sumbu nyata negatif dekat asal, maka tiang-nol kombinasi tersebut akan menghasilkan ekor panjang dari amplitudo kecil di respon.)
Akar-Locus Plot Kompensasi Sistem dekat dekat Asal yang
Akar-Locus Plot Sistem Sistem Kompensasi 10
0.25
8
0,2 6 0,15
4
0,1 2
0,05 s i x A g a m i
s i x A g a m i
0
-2
0
- 0,05 - 0,1
-4
- 0,15 -6
- 0,2
-8 - 10 -
- 0.25 10
-5
0 Nyata
5
10
-
0,5
- 0,4
- 0,3
- 0,2
- 0,1
0
RealAxis
Axis (Sebuah)
(B)
Gambar 6-56
(A) Root-lokus plot sistem kompensasi; (B) akar-lokus Plot dekat asal.
Bagian 6-8 / Lag-Lead Kompensasi
337
Unit-Langkah Tanggapan dari Kompensasi dan tidak terkompensasi Sistem
1.8 1,6
sistem terkompensasi 1.4 1.2
t u p t u o 0,8 0.6 1
sistem kompensasi
0,4 0,2 0 0
1
2
4
3
5
8
7
6
t Detik Detik (Sebuah)
Unit-Ramp Tanggapan dari Kompensasi dan tidak terkompensasi Sistem 10
error steady state dari sistem kompensasi = 0,0125 9
error steady state dari sistem terkompensasi =
8
0,125 7
t u p t u o
5 6
4
Gambar 6-57
kurva transien respon untuk
sistem
3
sistem terkompensasi
kompensasi
2
sistem kompensasi dan sistem terkompensasi. (A)
1
kurva Unit-langkah respon; (B) kurva respon
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t Detik Detik
Unit-jalan.
(B)
Kurva respon Unit-langkah dan kurva respon unit jalan sebelum dan setelah kompensasi ditunjukkan pada Gambar 6-57. (Perhatikan ekor panjang dari amplitudo kecil di respon satuan langkah dari sistem kompensasi.)
CONTOH 6-9 Mempertimbangkan sistem kontrol Contoh 6-8 lagi. Misalkan kita menggunakan lag-lead kompensator dari bentuk yang diberikan oleh Persamaan (6-24), atau
Sebuah s + 1 ba s + 1
T 1
c (
G s) = K
b
c
( b 7 1) Sebuah s + b ba s + 1
T 1
338
T 2
Bab 6 / Sistem Kontrol Analisis dan Desain oleh Root-Locus Cara
b T 2
b
Dengan asumsi spesifikasi yang sama dengan yang diberikan pada Contoh 6-8, desain kompensator sebuah
G c c ( s). lokasi yang diinginkan untuk dominan kutub loop tertutup berada di
s = -2,50; j4.33 Fungsi transfer loop terbuka dari sistem kompensasi adalah
Sebuah s + 1ba s + 1
T 1
T 2
b
4 s (s + 0,5)
G c ( s) G (s) = K c Sebuah s + b ba s + 1
T 1
b T 2
b
Karena persyaratan pada kecepatan statis kesalahan konstan K v v adalah 80 sec -1, kita punya
4
K v = lim sS0
sG c ( s) G (s) = lim
K c
sS0
0,5 = 8K c = 80
Demikian
K c = 10 Konstanta waktu
T 1 dan nilai b ditentukan dari
T 1 4s+1
4 22
T 1
40 s (s + 0,5) =4s+1
8 4
4.77 = 1
s = -2,5 + j4.33
s + b T 1
s + b T 1
T 1
n s + 1
s+b
= 55 °
4
T 1
s = -2,5 + j4.33
(Kekurangan sudut 55 ° diperoleh pada Contoh 6-8.) Mengacu pada Gambar 6-58, kita dapat dengan mudah menemukan poin SEBUAH dan B seperti yang
PA PB = 4.77 8
/ APB = 55 °,
(Gunakan pendekatan grafis atau pendekatan trigonometri.) Hasilnya adalah
= AO AO 2,38, 2,38,
BO = 8.34 BO 8.34
atau
T 1 = 1
b = 8.34T 1 = 3,503
2,38 = 0.420,
Bagian fase-utama dari jaringan lag-lead demikian menjadi 10 Sebuah b s + 2,38 s + 8.34
Untuk bagian fase-lag, kita memilih s+1
sedemikian rupa sehingga memenuhi kondisi
T 2
4
s+
T 2
4
1
3,503 T 2
1,
- 5°6
n s+1 s+
s = - 2.50+ j 4.33
Bagian 6-8 / Lag-Lead Kompensasi
T 2 4
60°
1
3,503 T 2
s = - 2.50+ j 4.33
339
j v v j 5 5
P
j 4 4 j 3 3
55 °
j 2 2 j 1 1 B
SEBUAH
- 10 - 9 - 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1
0
1
2
s
- j 1 1 - j 2 2 - j 3 3
Gambar 6-58
Penentuan tiang-nol lokasi
- j 4 4
yang diinginkan.
T 2 = 5
Dengan perhitungan sederhana, kita menemukan bahwa jika kita memilih
- 1,5 ° 6 sudut 6 0 °
1 7 besarnya 7 0,98, dan jika kita memilih
T 2 = 10
, kemudian
- 1 ° 6 sudut 6 0 °
1 7 besarnya 7 0.99,
Sejak
T 2 = 10
, kemudian
T 2 adalah salah satu konstanta waktu lag-lead kompensator, seharusnya tidak terlalu besar. Jika dapat diterima dari T 2 = 10
sudut pandang praktis, maka kita dapat memilih 1
b T 2
.Kemudian
1 =
3,503 * 10 = 0,0285
Dengan demikian, lag-lead kompensator menjadi
G c ( s) = (10) Sebuah s + 2,38
s + 8.34 ba s + 0,1 s + 0,0285 b
sistem kompensasi akan memiliki fungsi transfer loop terbuka 40 (s + 2,38) (s + 0,1)
G c ( s) G (s) =
(S + 8.34) (s + 0,0285) s (s + 0,5)
Tidak ada pembatalan terjadi dalam kasus ini, dan sistem kompensasi adalah agar keempat. Karena kontribusi sudut bagian lag fase jaringan lag-lead cukup kecil, kutub loop tertutup dominan terletak sangat dekat lokasi yang diinginkan. Bahkan, lokasi yang dominan kutub loop tertutup dapat ditemukan dari persamaan karakteristik sebagai berikut: Persamaan karakteristik dari sistem kompensasi adalah
(S + 8.34) ( s + 0,0285) s (s + 0,5) + 40 ( s + 2,38) ( s + 0,1) = 0 yang dapat disederhanakan
s 4 + 8,8685 s 3 + 44,4219 s 2 + 99,3188 s + 9.52 = ( s + 2,4539 + j 4,3099) ( s + 2,4539 - j 4,3099) ( s + 0,1003) ( s + 3,8604) = 0
340
Bab 6 / Sistem Kontrol Analisis dan Desain oleh Root-Locus Cara
Dominan tiang loop tertutup yang terletak di s = - 2,4539; j 4,3099 Kutub loop tertutup lainnya berada di s = -3,8604 Karena loop tertutup tiang di
s = -0.1,
s = -0,1003 s = -0,1003; sangat dekat dengan nol pada
mereka hampir membatalkan
setiap other.Thus, efek dari pole loop tertutup ini sangat kecil.Ruangan kecil.Ruangan tersisa loop tertutup tiang
(S = -3,8604)
tidak cukup membatalkan nol di
s = -2,4.
Efek dari nol ini adalah untuk menyebabkan
overshoot yang lebih besar dalam respon langkah dari sistem serupa tanpa nol seperti itu. Kurva Unit-langkah respons dari sistem kompensasi dan tanpa kompensasi ditunjukkan pada Gambar 6-59 (a) kurva respon an unit jalan untuk kedua sistem digambarkan pada Gambar 6-59 (b).
Unit-Langkah Tanggapan dari Kompensasi dan tidak terkompensasi Sistem
1.8
sistem
1,6
kompensasi 1.4
sistem terkompensasi 1.2
t u p t u 0,8 o 0.6 1
0,4 0,2 0 0,5
0
1
2
1,5
2,5
3
3,5
4
4,5
5
t Detik Detik (Sebuah)
Unit-Ramp Tanggapan dari Kompensasi dan tidak terkompensasi Sistem
3,5
3
2,5 4
t u p t u o
Gambar 6-59
2
1,5
sistem
(A) Unit-langkah
kurva respon untuk sistem kompensasi dan tanpa kompensasi;
1
sistem terkompensasi
kompensasi
0,5
0
(B) kurva respon
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
t Detik Detik
Unit-jalan untuk kedua sistem.
(B)
Bagian 6-8 / Lag-Lead Kompensasi
341
Overshoot maksimum maksimum dalam respon langkah dari sistem kompensasi adalah sekitar 38%. (Ini jauh lebih besar dari overshoot maksimum 21% dalam desain yang disajikan dalam Contoh 6-8.) Hal i ni dimungkinkan untuk menurunkan overshoot maksimum dengan sejumlah kecil dari 38%, tetapi tidak untuk 20% jika g = b diperlukan, seperti dalam contoh ini. Perhatikan bahwa dengan tidak mengharuskan g = b, kita memiliki parameter tambahan untuk bermain dengan dan dengan demikian dapat mengurangi overshoot maksimum.
6-9 KOMPENSASI PARALEL Sejauh ini kami telah menyajikan teknik kompensasi seri menggunakan kompensator kompensator lead, lag, atau lag-lead. Pada bagian ini kita membahas teknik kompensasi paralel. Karena dalam desain kompensasi paralel controller (atau kompensator) berada dalam lingkaran kecil, desain mungkin tampak lebih rumit daripada dalam kasus kompensasi seri. Hal ini, bagaimanapu bagaimanapun, n, tidak rumit jika jik a kita menulis ulang persamaan karakteristik untuk menjadi bentuk yang sama dengan persamaan karakteristik untuk sistem seri kompensasi. Pada bagian ini kami menyajikan masalah desain sederhana yang melibatkan kompensasi paralel.
Prinsip dasar untuk Merancang Paralel Kompensasi Sistem. Mengacu pada Gambar 6-60 (a), loop tertutup fungsi transfer untuk sistem dengan kompensasi seri
1 + G c GH G c G
Persamaan karakteristik adalah
1 + G c GH = 0 CR =
mengingat G dan H, masalah desain menjadi yang menentukan kompensator G c c yang memenuhi spesifikasi yang diberikan.
C
R
+
G c c ( s) s)
-
G (s)
H (s)
(Sebuah)
C
R
+
G 1 1 ( s) s)
-
+
G 22 ( s)
-
Gambar 6-60
G c c ( s) s)
(A) Series kompensasi; (B) paralel atau umpan
H (s)
balik
kompensasi.
342
(B)
Bab 6 / Sistem Kontrol Analisis dan Desain oleh Root-Locus Cara
Fungsi transfer loop tertutup untuk sistem dengan kompensasi paralel [Gambar 6-60 (b)] adalah G 1 G 2 1 + G 2 G c + G 1 G 2 H Persamaan karakteristik adalah
Dengan membagi persamaan karakteristik ini dengan jumlah dari istilah yang tidak melibatkan G c, c,
H + G 2 G c = 0 CR =
kita memperoleh
G c G 2
(6-25)
1 + G 1 G 2 H = 0 1 + G 1 G 2 Jika kita mendefinisikan
G 2 1 + G 1 G 2 H 1 + maka Persamaan (6-25) menjadi
Sejak G f f adalah fungsi transfer tetap, desain G c c menjadi sama dengan kasus kompensasi seri. Oleh karena itu pendekatan desain yang sama berlaku untuk sistem paralel kompensasi.
Velocity Masukan Systems. Sebuah sistem umpan balik kecepatan (tachometer sistem umpan balik) adalah contoh dari paralel kompensasi systems.The controller (atau kompensator) dalam sistem tersebut adalah element.The gain gain dari elemen umpan balik dalam satu lingkaran kecil harus ditentukan dengan benar sehingga seluruh yang sistem memenuhi desain specifications.The karakteristik tertentu seperti sistem umpan balik kecepatan adalah bahwa parameter variabel tidak muncul sebagai faktor pengali dalam fungsi transfer loop terbuka, sehingga aplikasi langsung dari teknik desain akar-lokus tidak mungkin. Namun, dengan menulis ulang persamaan karakteristik sehingga parameter variabel muncul sebagai faktor pengali, maka pendekatan akar-lokus desain adalah mungkin.
+ 20ks 1 + G c G f = 0 G f =
Contoh desain sistem kontrol menggunakan teknik kompensasi paralel disajikan dalam Contoh 6-10.
CONTOH 6-10 Mempertimbangkan sistem yang ditunjukkan pada Gambar 6-61.Draw akar-lokus diagram.Then menentukan nilai dari k sehingga rasio redaman yang dominan kutub loop tertutup adalah 0,4. Berikut sistem melibatkan umpan balik kecepatan. Fungsi transfer loop terbuka adalah
20 s (s + 1) (s + 4)
fungsi transfer loop terbuka =
R (s)
+
-
+
20 ( s ( s + 1) 1) ( s ( s
-
+ 4) 4)
1
C (s)
s
k
Gambar 6-61 Sistem pengaturan pengaturan..
Bagian 6-9 / Paralel Kompensasi
343
Perhatikan bahwa variabel disesuaikan k tidak muncul sebagai faktor pengali. Persamaan karakteristik untuk sistem ini
+ 20 = 0
(6-26)
Menetapkan
20k = K s 3 + 5 s 2 + 4 s + 20 ks Kemudian Persamaan (6-26) menjadi
(6-27) 2 + tidak mengandung K, kita mendapatkan Membagi kedua sisi persamaan (6-27) dengan jumlah dari0istilah yang s 3 + 5s 4s + Ks + 20 = 0
Ks s 3 + 5s 2 + 4s + 20 = =01+
atau
Ks (s + j2) (s - j2) (s + 5)
1+
(6-28)
Persamaan (6-28) adalah bentuk persamaan (6-11). Sekarang kita akan membuat sketsa lokus akar dari sistem yang diberikan oleh Persamaan (6-28). Perhatikan bahwa kutub loop terbuka yang terletak di s = j2, s = -j2, s = -5, dan nol loop terbuka terletak di s = 0.
Akar locus ada pada sumbu nyata antara 0 dan -5. Sejak Sejak Ks (s + j2) (s - j2) (s + 5) = lim K s 2
lim s sq
s sq
kita punya
Sudut asymptote asymptote =; 180 ° ( 2k + 1)
=; 90 ° 2
Persimpangan asimtot dengan sumbu nyata dapat ditemukan dari Ks s 3 + 5s 2 + 4s + 20 = lim
lim s sq
K s 2 + 5s + p = lim
s sq
s sq
K (s + 2.5) 2
sebagai
s = -2.5 Sudut keberangkatan keberangkatan (angle u) dari tiang di s = j2 diperoleh sebagai berikut: u = 180 ° - 90 ° - 21,8 ° + 90 ° = 158,2 ° Dengan demikian, sudut keberangkatan keberangkatan dari tiang s = j2 adalah 158,2 °. Gambar 6-62 menunjukkan plot akar-lokus untuk
s =; j2
sistem. Perhatikan bahwa dua cabang root locus berasal dari kutub di
dan
berakhir pada angka nol di tak terhingga. Satu cabang yang tersisa berasal dari tiang di s = -5 dan berakhir pada nol pada s = 0. Perhatikan bahwa loop tertutup tiang dengan z = 0,4 harus berbaring di garis lurus melewati
asal dan membuat sudut
; 66,42 ° dengan sumbu nyata negatif. Dalam kasus ini, ada dua
persimpangan dari cabang akar-lokus di bagian atas s pesawat dan garis lurus dari sudut 66,42 °. Dengan demikian, dua nilai dari K akan memberikan rasio redaman z dari loop tertutup tiang sama untuk 0.4.At titik P,
nilai dari K aku s
K = 2 ( s + j2) (s - j2) (s + 5) s
2
= 8,9801
s = -1,0490 + j2.4065
Karenanya
k=K
344
20 = 0,4490
Bab 6 / Sistem Kontrol Analisis dan Desain oleh Root-Locus Cara
pada titik P
j v v
j 6 6 j 5 5
Q s = - 2,1589 + j + j 4,9652 4,9652
j 4 4 s = -1,0490 -1,0490 + j + j 2,4065 2,4065
j 3 3 P
j 2 2
s = - 2,9021 66,42 °
-7
-6
-5
-4
-3
-2
j 1 1
-
1
0 1
s
- j 1 1 - j 2 2 - j 3 3 - j 4 4
- j 5 5 Gambar 6-62
- j 6 6
Akar-lokus plot untuk sistem yang ditunjukkan pada Gambar 6-61.
pada titik Q, nilai dari K aku s
K = 2 ( s + j2) (s - j2) (s + 5) s
2
= 28,260
s = -2,1589 + j4.9652
Karenanya
k=K
pada titik Q
20 = 1,4130
Dengan demikian, kita memiliki dua solusi untuk masalah ini. Untuk k = 0,4490, tiga tiang loop tertutup yang terletak di
s = -1,0490 + j2.4065,
s = -1,0490 -1,0490 - jj2.4065, 2.4065,
s = -2,9021 -2,9021
Untuk k = 1,4130, tiga tiang loop tertutup yang terletak di s = -2,1589 + j4.9652,
s = -2,1589 -2,1589 - jj4.9652, 4.9652,
s = -0,6823 -0,6823
Hal ini penting untuk menunjukkan bahwa nol pada asal adalah loop terbuka nol, tapi bukan loop tertutup nol. Hal ini terbukti, karena sistem yang asli ditunjukkan pada Gambar 6-61 tidak memiliki loop tertutup nol, karena
G (s) R (s) =
Bagian 6-9 / Paralel Kompensasi
20
s (s + 1) (s + 4) + 20 (1 + ks)
345
Loop terbuka nol pada s = 0 diperkenalkan dalam proses memodifikasi persamaan karakteristik seperti bahwa variabel disesuaikan K = 20k adalah untuk muncul sebagai faktor pengali. Kami telah mendapatkan dua nilai yang berbeda dari k untuk memenuhi persyaratan bahwa rasio redaman yang dominan kutub loop tertutup sama dengan 0,4. Loop tertutup fungsi transfer dengan k = 0,4490 diberikan oleh
C (s) R (s) =
20 s 3 + 5s 2 + 12.98s + 20 20
=
(S + 1,0490 + j2.4065) (s + 1,0490 - j2.4065) (s + 2,9021)
Loop tertutup fungsi transfer dengan k = 1,4130 diberikan oleh C (s) R (s) =
20 s 3 + 5s 2 + 32.26s + 20 20 =
(S + 2,1589 + j4.9652) (s + 2,1589 - j4.9652) (s + 0,6823)
Perhatikan bahwa sistem dengan k = 0,4490 memiliki sepasang dominan tiang kompleks-konjugat loop tertutup, sedangkan dalam sistem dengan k = 1,4130 nyata loop tertutup tiang di s = -0,6823 dominan, dan kompleks-konjugat loop tertutup tiang yang tidak dominan. Dalam hal ini, karakteristik respon terutama ditentukan oleh tiang loop tertutup nyata. Mari kita bandingkan respon unit langkah kedua sistem. Program MATLAB 6-14 dapat digunakan untuk merencanakan kurva respon Unit langkah dalam satu diagram. kurva respon Unit-langkah yang dihasilkan C c 1 ( t) untuk k = 0,4490 dan c 2 ( t) untuk k = 1,4130 D ditunjukkan pada Gambar 6-63.
MATLAB Program 6-14 % ---------- Unit-langka Unit-langkah h respon ---------% ***** Masukkan pembilang dan penyebut dari sistem dengan% k = 0,4490 dan k = 1,4130, masing-masing. ***** num1 = [20]; den1 = [1 5 12,98 20]; num2 = [20]; den2 = [1 5 32,26 20]; t = 0: 0.1: 10; c1 = langkah (num1, den1, t); c2 = langkah (num2, den2, t); plot (t, c1, t, c2) teks (2.5,1.12, 'k = 0,4490') teks (3.7,0.85, 'k = 1,4130') jaringan
judul ( 'Unit-langkah Tanggapan Tanggapan dari Dua Dua Sistem') xlabel ( 't Sec') ylabel ( 'Output c1 dan c2')
346
Bab 6 / Sistem Kontrol Analisis dan Desain oleh Root-Locus Cara
Unit-Langkah Tanggapan dari Dua Sistem
1.2
k = 0,4490 0,4490
k = 1,4130 1,4130 0,8
Gambar 6-63
2 c
Unit-langkah respon kurva
n a d 0,6 1
untuk sistem yang ditunjukkan
c
pada Gambar 6-61 ketika rasio
t u p t u o 0,4
redaman z dari kutub closedloop dominan diatur sama dengan 0,4. (Dua nilai yang mungkin dari k
0,2 1
0 0
memberikan rasio redaman z sama
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t Detik Detik
dengan 0,4.)
Dari Gambar 6-63 kita melihat bahwa respon sistem dengan k = 0,4490 berosilasi. (Pengaruh tiang loop tertutup di s = -2,9021 pada respon Unit langkah kecil.) Untuk sistem dengan k = 1,4130, osilasi karena kutub loop tertutup di meredam jauh lebih cepat dari respon murni eksponensial karena loop tertutup tiang di s s= =-0,6823. -2,1589; j4.9652 Sistem dengan k = 0,4490 ( yang menunjukkan menunjukkan respon yang lebih cepat dengan overshoot relatif kecil) memiliki karakteristik respon yang jauh lebih baik dari sistem dengan k = 1,4130 ( yang menunjukkan respon overdamped lambat). Oleh karena itu, kita harus memilih k = 0,4490 untuk sistem ini.
CONTOH SOAL DAN SOLUSI
A-6-1.
Sketsa akar lokus untuk sistem yang ditunjukkan pada Gambar 6-64 (a). (Gain The K diasumsikan positif.) Perhatikan bahwa untuk nilai-nilai kecil atau besar K sistem overdamped dan untuk nilai-nilai media K itu underdamped.
Larutan. Prosedur untuk merencanakan akar lokus adalah sebagai berikut:
1. Cari kutub loop terbuka dan nol pada bidang kompleks. lokus akar ada di negatif sumbu nyata antara 0 dan -1 dan antara -2 dan -3.
2. Jumlah kutub loop terbuka dan dari nol hingga adalah sama. Ini berarti bahwa ada ada asimtot di wilayah kompleks s pesawat. 3. Tentukan memisahkan diri dan istirahat-in points.The persamaan karakteristik untuk sistem ini
1 + K (s + 2) (s + 3) s (s + 1) = 0 atau
K = - s (s + 1) (S + 2) (s + 3)
Contoh Masalah dan Solusi
347
View more...
Comments
