Modern Beamer Theme Mtheme
Short Description
Descripción: mom...
Description
wavelets y el análisis multiresolución Trabajo de Investigación Felipe Arriagada Rivera 18 de enero de 2016 Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Electrónica IPD410
la transformada wavelet
definición
Una función ψ ∈ L2 (R) es llamada “wavelet” ortonormal, si puede ser utilizada para definir una base Hilbert, es decir, una base ortonormal completa para el espacio de Hilbert L2 (R) de funciones cuadrado integrables. La base Hilbert {ψj,k ; j, k ∈ Z} se construye mediante dilataciones y traslaciones de la única función ψ, tal que ψj,k (x) = 2−j/2 ψ(2−j x − k); j, k ∈ Z
2
definición
Entonces, el producto interno en L2 (R), dado por ∫ ⟨f, g⟩ = f(x)g(x)dx, R
define la transformada wavelet como ( ) ∫ 1 x−b wav (T f) (a, b) = √ f(x)ψ dx, a |a| R donde los coeficientes que acompañan a ψj,k están dados por Cj,k = (Twav f) (2j , 2j k). ¿Cómo encontrar un ψ apropiado?
3
el análisis multiresolución
la hipótesis
Sea una secuencia Vj de subespacios cerrados de L2 (R). Llamaremos a esta colección de espacios un análisis multiresolución si satisface · · · V2 ⊂ V1 ⊂ V0 ⊂ V−1 ⊂ V−2 ⊂ · · ·
(1)
con ∪
Vj = L2 (R),
(2)
Vj = {0}.
(3)
j∈Z
∩
j∈Z
Note que (1) y (2) aseguran que f = limj→−∞ Pj f, ∀f ∈ L2 (R).
5
la hipótesis
Además se requiere que f(·) ∈ Vj ⇐⇒ f(2j ·) ∈ V0 y f(·) ∈ V0 =⇒ f(· − n) ∈ V0 ,
(4) ∀n ∈ Z.
(5)
Note que (4) y (5) permiten que si f(·) ∈ Vj , entonces f(· − 2j n) ∈ Vj , ∀n ∈ Z. Es decir, los espacios Vj son invariantes ante corrimientos en múltiplos enteros de 2j .
6
la hipótesis
Finalmente se requiere que exista ϕ ∈ V0 tal que {ϕ0,n (·) = ϕ(· − n); ∀n ∈ Z} es una base ortonormal en V0 .
(6)
Note que mediante (4), (5) y (6), se deduce que ϕj,n (·) = 2−j/2 ϕ(2−j · −n), ∀n ∈ Z es una base ortonormal para el espacio Vj para todo j ∈ Z.
7
demostración Sea f =
∑ n∈Z
αn ϕ0,n , ∀f ∈ V0 , entonces, a partir de (4), ∑ fj (·) = αn ϕ(2−j · −n), ∀fj ∈ Vj . n∈Z
Esto significa que el conjunto ϕ(2−j · −n), ∀n ∈ Z genera el espacio Vj . Adicionalmente, se tiene que ⟨ ⟩ ∫ j j ϕ(2 · −n), ϕ(2 · −m) = ϕ(2−j x − n)ϕ(2−j x − m)dx R ∫ = 2j ϕ(y − n)ϕ(y − m)dy R
= 2j ⟨ϕ0,n , ϕ0,m ⟩ , lo cual implica que los elementos ϕ(2j · −n) también son ortogonales entre si, y que ∥ϕ(2j · −n)∥ = 2j/2 . =⇒ ϕj,n (·) = 2−j/2 ϕ(2−j · −n), ∀n ∈ Z es base ortonormal de Vj . 8
un ejemplo
En el análisis multiresolución de Haar, los sucesivos espacios Vj se definen como los espacios generados por la base ortonormal Haar {ϕHaar se construye como j,n , ∀n ∈ Z}, donde ϕ { ϕ
Haar
(x) =
1 , si 0 ≤ x < 1 0 , en otro caso
(7)
Entonces probemos, por ejemplo, las proyecciones de la función f(x) = sin(2πx/5)(µ(x) − µ(x − 10))
(8)
sobre algunos espacios de aproximación de Haar.
9
implicancias importantes
Cada espacio Vj está contenido dentro de otros infinitos espacios. En particular, Vj está contenido dentro de Vj−1 . Luego existe Wj ⊂ Vj−1 : Wj ⊥ Vj : Vj−1 = Vj ⊕ Wj
(9)
10
tables 1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4 0.2 f(x)
f(x)
0.2 0
0
−0.2
−0.2
−0.4
−0.4
−0.6
−0.6
−0.8 −1 0
−0.8 1
2
3
4
5 x
6
7
8
9
−1 0
10
1
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
4
5 x
6
7
8
9
10
8
9
10
0.2 f(x)
0.2 f(x)
3
(b) j = −1
(a) j = 0
0
0
−0.2
−0.2
−0.4
−0.4
−0.6
−0.6
−0.8 −1 0
2
−0.8 1
2
3
4
5 x
6
7
(c) j = −2
8
9
10
−1 0
1
2
3
4
5 x
6
7
(d) j = −3
Figura: Una función f y su proyección sobre distintos espacios Vj . 11
blocks
This is a block title This is soothing.
12
math
ufgyoij
13
quotes
Veni, Vidi, Vici
14
dark background
1 0.8 0.6 0.4
f(x)
0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1 0
1
2
3
4
5 x
6
7
8
9
10 15
conclusion
summary
Get the source of this theme and the demo presentation from github.com/matze/mtheme The theme itself is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License.
cb a
17
Questions?
18
View more...
Comments
