Modelos Lineales y Solucion Grafica PROGRAMACION LINEAL

 

La programaci´on on lineal es una importante rama de la Investigaci´on on Operativa. Esta t´eecnica cnica matem´aatica tica consiste en una serie de m´eetodos todos que permiten obtener la mejor soluci´o on n en problemas de optimizaci´o on n line lineal al con res restric triccio ciones nes.. Est Estee tipo de problemas surgen en la pr´aactica ctica en diferentes contextos cuando se trata de asignar recursos limitados a actividades que los necesitan para ser realizadas. La importancia de esta t´eecnica cnica radica en la variedad de sistemas que se pueden representar utilizando util izando un modelo lineal, as´ı como su aplicaci o on ´ n a otras aareas ´ reas de la optimizaci´o on. n. Algunos eje ejemplos mplos son la asignac asignaciio on ´ n de recursos a necesidadas, planificaci´o on n de la producci´o on, n, o organizar rganizar el transporte d dee un producto desde or´ııgenes genes a destinos, problemas de mezclas, etc. La programaci´o on n lineal utiliza un modelo matem´aatico tico para describir el problema. El adjetivo lineal  adjetivo lineal  se  se refiere a que todas las funciones del modelo son lineales.

1.1 1. 1

El mo mode delo lo line lineal al

Un mo mode delo lo line lineal al es el qu quee tr trat ataa de op opti timi miza zarr (m (max axim imiz izar ar o mi mini nimi miza zar) r) un unaa fu func nci´ i´o on n lineal sujeta a que las variables verifiquen un sistema de inecuaciones lineales opt   z   =   cT x

 

(1.1)

sujeto a ≤

> b

 

(1.2)

x≥0

 

(1.3)

Ax

 

(1.1) es la funci´o on n a optimizar y se llama  funci  funci´  on ´  objetivo, (1.2) son las desigualdades que deben verificar las variables y se llaman   re restricciones stricciones  y (1.3) son las  restricciones de no negatividad . Los elementos elementos que apare aparecen cen en el modelo planteado son los siguientes: siguientes: •   x, vector de  variables de decisi´  decision ´  , con  n  componentes. •   cT ,  vector de precios  o  vector de costes unitarios, con  n  componentes. •   b,  vector de recursos, con  m  componentes. •  La matriz  A , con  m  filas y  n  columnas se llama  matriz de coeficientes tec-

nologicos nol´  . Ca Cada da elemen elemento to   aij  de la matriz   A  representa la cantidad de re´  curso i,   i  = 1, . . . , m, que se necesita para realizar una unidad de actividad  j ,   j   = 1, . . . , n.

metros conocidos; el vector x es el vecEn el modelo lineal, cT , b y A son par´aametros tor de variables cuyo valor hay que determinar con el objetivo de que los recursos del vector   b  sean asignados de forma o optima. ´ ptima.

1.2

For orma mass de es escr crib ibir ir el mo mode delo lo

1.  Teniendo en cuenta el tama˜n no o de los vectores y de la matriz de coeficientes.

opt  z    =  c 1 x1 + c2x2  + · · · + cn xn sujeto a ≤

a11 x1  + a12 x2  + · · · + a1n xn > b1 ≤

a21 x1  + a22 x2  + · · · + a2n xn > b2   .. ..     .. ..   .. . . .≤ . . am1 x1 + am2 x2  + · · · + amn xn > bm x1 , x2 . . . xn   ≥ 0

 

2.   Forma matricial.

  x. opt  z   = (c , . . . , c )  .. 

1

n

1

xn

  

sujeto a



a11   a12   . . .

a1n



x1





b1



  

a21   a22   . . . a2n ..   ..   . .   .. . . . . am1   am2   . . . amn

   x ..   .

2

xn

  

≤

= ≥

 b ..  .

2

bm

  

(x1 , x2 , · · ·   , xn )T  ≥ (0, 0, · · · , 0)T 

3.   Si   a1 , a2 , . . . , an  son las columnas de la matriz   A. opt  z    =  c 1 x1 + c2 x2  + · · · + cn xn sujeto a ≤

a1 x1  + a2 x2  + · · · + an xn

> b x j   ≥ 0  , j   = 1, . . . , n

1.3 1. 3

Co Cons nstr truc ucccio on ´ n de modelos

Cuando se quiere analizar un sistema real por medio de la programaci´o on n lineal el primer paso es construir un modelo matem´aatico tico que represente el problema. Este primer paso es el m´aass dif´ııcil cil en el an an´aalisis ´ lisis y, es importante porque la soluci´o on n que se obtiene para el sistema sistema depende del modelo plante planteado. ado. Par Paraa construir un

modelo no existen reglas, por eso algunos ejemplos pr´acticos acticos pueden ser de ayuda para desarrollar cierta habilidad.

 

Ejemplo 1. Problema de transporte. Una empresa produce bicicletas en tres sucursales que tiene en las ciudades C 1 , C 2   y   C 3. La ca capac pacida idad d de prod producc ucciio on ´ n mensual en cada una de las ciudades es 1000, 2100 y 1500, respecti respectivam vamente. ente. Tie Tiene ne cuatro clientes clientes,,  A  A,, B , C   y   D, en distintos puntos que demandan mensualmente 800, 1100, 900 y 1300 bicicletas, respectivamente. En la siguiente tabla se dan los costes unitarios de transporte de las bicicletas que var´ııan an en funci o on ´ n de la distancia que se recorre desde la ciudad en la que se produce al punto de destino. Clientes Ciudades

A

B

C

D

C 1

 

10

8

1 10 0

1 13 3

C 2

 

19

6

1 15 5

1 16 6

C 3

 

14

8

9

6

Plantear un modelo que sirva para organizar el transporte a coste m´ıınimo. nimo.

•  Variables de decision. decision.

cantidad ad de bicicl bicicletas etas que se en env´ v´ııan an mensu mensualmen almente te desde la ciudad xij : cantid C i , i  = 1, 2, 3 al cliente  j, j   =  A  A,, B , C , D . •   Funci´ o on n objetiv objetivo: o: minimiz minimizar ar el coste de transpo transporte. rte.

min   z   = 10x1A  + 8 x1B  + 10x1C  + 13x1D  + 19x2A  + 6 x2B   + 15x2C + +16x2D  + 14x3A  + 8 x3B  + 9x3C   + 6x3D . restriccio ricciones nes son la oferta y la demanda. demanda. •   Las rest on: n: la capacidad de producci´o on. n. –  Oferta de los centros de producci´o

x1A  + x1B  + x1C   + x1D   ≤ 1000 x2A  + x2B  + x2C   + x2D   ≤ 2100 x3A  + x3B  + x3C   + x3D   ≤ 1500

 

necesario rio satisfac satisfacer er la demand demandaa de los clientes clientes.. –   Es necesa

x1A  + x2A  + x3A   ≥ 800 x1B  + x2B  + x3B   ≥ 1100 x1C   + x2C   + x3C   ≥ 900 1D

2D

3D

x

 ≥

 + x  + x

1300

–  Las variables deben tomar valores no negativos.

xij   ≥ 0, i  = 1, 2, 3, j   =  A  A,, B,C, D. Ejemplo 2. Problema de produccio on. ´ n. Una empresa de producci´o on n fabrica tres tipos de piezas,   P 1 ,   P 2   y   P 3. En eell proc proces eso o ut util iliz izaa tres tres tipo tiposs de m´aaqui quina nas, s, A, B y C, cuya cuyass ho hora rass de tr trab abaj ajo o di disp spon onib ible less y el coste de producci´on on se recogen en la siguiente tabla.

Ma´ quina

Horas/semana

Coste de Producci´o on n euros/hora

A

1000

6

B

1000

4

C

1000

5

En la tabla se da el n´umero umero necesario de horas en cada m´aaquina quina para la producci´o on n de cada pieza.

P 1   P 2   P 3 Ma´ quina A

1

2

3

Ma´ quina B

2

3

1

Maquina C

1

1

1

2  de los producir las ypiezas dos tiposLa decantidad materiales,  M 1   y  M  quePara se tiene 1000 kg 1200 se kg,necesitan respectivamente. necesaria para cada pieza de cada uno de los materiales se da en la siguiente tabla:

 

M 1 (kg/pieza)   M 2 (kg/pieza) P 1

 

1

2

P 2

 

1

3

P 3

 

3

1

El coste de 1 kg de M 1  es 1.5 euros el de 1 kg de M 2  es 3 euros. Por otra parte, el precio de venta de cada pieza es 50, 56 y 70 euros, respectivamente. El objetivo de la empresa es organizar la producci´o on n para obtener el m´aaximo ximo beneficio. •  Variables de decisi´ on. on.

umero ´ mero de piezas   P  j , j   = 1, 2, 3,  que la empresa debe producir semax j : nu nalmente. •

  Funci´o on n objetivo: maximizar el beneficio. Beneficio = Precio Venta− Coste materiales − Coste producci´o on. n.

–  Precio de venta  = 50x1 + 56 x2 + 70 x3 .

–  Coste de los materiales = (1 × 1.5 + 2 × 3)x1 + (1 × 1.5 + 3 × 3)x2 + (3 × 1.5 + 1 × 3)x3. on n = (1 × 6 + 2 × 4 + 1 × 5)x1 + (2 × 6 + 3 × 4 + –  Coste de Produccci´o 1 × 5)x2 + (3 × 6 + 1 × 4 + 1 × 5)x3 . Haciendo los c´alculos alculos se tiene la siguiente funci´o on n objetivo:

max   z   = 23.5x1 + 16 .5x2 + 35 .5x3 . restriccione iccioness son el tiempo disp disponible onible de las m m´aaquinas ´ quinas y la cantidad de •   Las restr material.

x1   +2x2   +3x3   ≤ 1000

2x1   +3x2   +x3

  ≤

a´ quina A) (Maquina

a´ quina B) 1000 (Maquina

x1   +x2   +x3   ≤ 1000

a´ quina C) (Maquina

x1   +x2   +3x3   ≤ 1000

(Material  M 1 )

2x1   +3x2   +x3

  ≤

1200 (Material  M 2 )

 

•  Restricciones de no negatividad:   x1 , x2 , x3   ≥ 0.

Ejemplo Ejemp lo 3. Prob Problema lema de mezc mezclas. las.

En una refiner´ııaa se producen gasolinas de tipos A y B mezclando y procesando 3 tiposyde crudos. La barril. siguiente tabla da la cantidad de barriles disponibles disponibles de cada crudo el crudos precio.por Canti Ca ntida dad d de

Pr Prec ecio io po porr

Crudo

barriles

barril

1

2000

10

2

3000

8

3

1000

12

Para que las gasolinas A y B sean de una calidad aceptable, las mezclas deben tener la siguiente composici´o on: n: •  La gasolina A debe contener al menos el 30% de crudo 1, al menos el 20%

de crudo 2 y no m´aass del 30% de crudo 3. •   La gasolina B debe conte contener ner al menos el 25% de cada uno de los crudos crudos..

Los precios de venta de un barril de las gasolinas A y B son de 40 y 35 unidades monetarias respectivamente. El objetivo es organizar la producci´o on n de gasolinas para obtener el m´aaximo ximo beneficio por las ventas. •  Variables de decisi´on. on.

 A,, B. xij   :  cantidad de barriles de crudo  i, i  = 1, 2, 3,  en la gasolina de tipo  j, j   =  A •   Funci´ on on objetivo (maximizar el beneficio) = Precio de venta   −  Coste de

producci´o on. n.

–  Precio de venta  = 40(x1A + x2A  + x3A ) + 35(x1B  + x2B  + x3B ). –   Cos Coste te de produc producci´ ci´o on n = 10(x1A + x1B )+8(x2A + x2B )+12(x3A + x3B ).

 

Haciendo c´aalculos, lculos, el objetivo es el siguiente: max z   = 30x1A  + 32 x2A + 28 x3A  + 25 x1B  + 27x2B  + 23x3B . •   Las restric restricciones ciones son las cantida cantidades des disponibles disponibles de crudos y la compos composici ici´o on ´n

de las gasolinas.

–  Cantidades de crudo.

x1A  + x1B   ≤ 2000 (crudo 1) x2A  + x2B   ≤ 3000 (crudo 2) x3A  + x3B   ≤ 1000 (crudo 3) –   Composici´o on n de las gasolinas.

30

x1A   ≥

100

(x1A + x2A  + x3A )

20 (x1A + x2A  + x3A ) 100

x2A   ≥

x3A   ≤ 30 (x1A + x2A  + x3A ) x1B   ≥ x2B   ≥ x3B   ≥

100 25 (x1B  + x2B  + x3B ) 100 25 (x1B  + x2B  + x3B ) 100 25 (x1B  + x2B  + x3B ) 100

–  Restricciones de no negatividad.

xij   ≥ 0, i  = 1, 2, 3, j   =  A  A,, B. Ejemplo 4. Problema de la dieta. En un centro de nutrici´o on n se est´a preparando una dieta que contenga las vitaminas  A  A,, B , C   y   D  en las sigui siguiente entess can cantida tidades des:: al men menos os 25 mili miligra gramos mos de vitamina  A, entre 25 y 30 miligramos de vitamina  B , al menos 22 miligramos de vitamina C  y   y no mas de 17 miligramos de vitamina  D .  

Vita itami mina nass (mg/ (mg/g) g) Nutrientes   A

B

C

Co Cost stee

D   (euros/g)

1

2

1

0

1

0.014

2

1

2

1

2

0.009

3

1

0

2

0

0.013

4

1

2

1

1

0.016

Las vitaminas se pueden obtener b´asicamente asicamente a trav´eess de cuatro nutrientes. La tabla muestra la cantidad de miligramos de cada vitamina que contiene cada gramo de nutriente y el coste de cada gramo de nutriente. Un modelo lineal para encon encontrar trar una dieta de m´ıınimo nimo coste que garantice el aporte necesario de vitaminas se plantea de la siguiente manera. •  Variables de decisi´on. on.

x j : cantidad de gramos del nutriente  j, j   = 1, 2, 3, 4, que se debe incluir en la dieta. o on n objetivo: minimizar el coste de la dieta. •   Funci´

min   z   = 0.014x1 + 0.009x2 + 0 .013x3 + 0 .016x4 . •  Restricciones: garantizar la cantidad necesaria de vitaminas.

2x1  + x2  + x3 + x4   ≥ 25   (Vitamina A) x1  + 2 x2 + 2 x4   ≥ 25   (Vitamina  B ) x1  + 2 x2 + 2 x4   ≤ 30   (Vitamina  B ) x2 + 2 x3 + x4   ≥ 22   (Vitamina  C ) x1 + 2 x2 + x4   ≤ 17   (Vitamina  D ) •  Restricciones de no negatividad:  x 1 , x2 , x3 , x4   ≥ 0.

 

Ejemplo 5. Problema del corte  corte  optimo. o´ ptimo. Una empresa produce rollos de papel de un ancho est´andar andar de 5 metros y de 20 met metros ros de long longitud itud.. Las dema demanda ndass que recib recibee de sus clie clientes ntes habi habitua tuales les son de dif difere erentes ntes anc anchos hos y de long longitud itud 20 metros metros.. Pa Para ra satisf satisface acerr las dema demanda ndass la empresa empre sa tiene que cortar los rollos est´aandar. ndar. Los pedidos para el pr´o oximo ximo mes son los siguientes: 100 rollos de 3 metros de ancho, 100 rollos de 2 metros de ancho, 300 rollos de 1.5 metros de ancho, 150 rollos de 1 metro de ancho.

Para obtener las este anchuras demandadas existen varios cortes de los rollos est´ aandar ndar.. En prob problem lema a lo que tene tenemos mos que cal calcul cular ar esposibles el nu umero ´ mero de cortes cor tes de cad cadaa tipo tipo.. Pa Para ra ello ello com comenz enzamo amoss con constr struye uyendo ndo la tab tabla la de todo todoss los posibles cortes de rollos de 5 metros de ancho.

Opci´on

Anchuras (m)

Papel

de corte

3

2

1.5

1

sobrante

1

1

1

0

0

0

2

1

0

0

2

0

3

0

2

0

1

0

4

0

1

2

0

0

5

0

1

0

3

0

6

0

0

2

2

0

7

0

0

0

5

0

•  Variables de decisi´ on. on.

x j : nu umero ´ mero de rollos que se cortan con la opci´o on n  j, j   = 1, . . . , 7. •   Funci´ o on n obj objet etiv ivo: o: minim minimiz izar ar el ga gasto sto de pa pape pel, l, es de deci cirr, m mini inimi miza zarr el nu umero ´ mero

total de rollos que se deben cortar.

 

min   z   =  x 1  + x2 + x3  + x4 + x5  + x6 + x7.

•  Restricciones: satisfacer las demandas.

x1 + x2   ≥ 100 x1  + 2 x3  + x4 + x5   ≥ 100  ≥ 4

6

2x  + 2 x 300 2x2 + x3  + 3 x5 + 2 x6 + 5 x7   ≥ 150

•  Las variables deben de ser no negativas:   x1 , . . . , x7   ≥ 0.

El problema tambi´en en se puede plantear definiendo otros posibles cortes aceptando que se desperdicie papel. En la siguiente tabla se recogen los cortes en los que se pierden hasta 0.5 m. Opc pcio ion nes

Anchur huras (m)

Papel

de corte

3

2

1.5

1

sobrante

1

1

1

0

0

0

2

1

0

1

0

0.5

3

1

0

0

2

0

4

0

2

0

1

0

5

0

1

2

0

0

6

0

1

1

1

0.5

7

0

1

0

3

0

8

0

0

3

0

0.5

9

0

0

2

2

0

10

0

0

1

3

0.5

11

0

0

0

5

0

 

caso eldefinici´ n´umero umero cortes y, por s,losetanto, u umero mero variables es 11. En Coneste la misma o on n de para las variable variables, tiene el el n´ siguie siguiente ntedemodelo lineal para el proble problema. ma.

min   z   =  x 1 + x2 + x3  + x4 + x5  + x6 + x7  + x8  + x9 + x10 + x11