Modelos economicos con ec diferenciales

Modelo de crecimiento de Solow: Ecuación fundamental de Solow: En la versión más simple del modelo (sin gasto del gobierno, economía cerrada, tasa de crecimiento poblacional constante, tasa de depreciación constante, entre otras). Se obtiene la ecuación diferencial: k = sf (k) – (n+ δ)k 

Donde el capital per cápita (relación capital – trabao), depende del nivel de producción, defini definido do por la funció función n f(!), f(!), multip multiplica licado do por la propen propensió sión n margin marginal al al a"orro a"orro,, con la sumatoria sumatoria de las tasas de crecimiento crecimiento poblacional poblacional con la tasa de depreciación depreciación del capital. #a notación ! corresponde d!$dt. Suponiendo %ue la producción de los bienes se "ace mediante la combinación de traba&o #, capital físico ',  tecnología , se puede afirmar %ue la función de producción se encontrará e*presada de la siguiente forma: +  -(#, ') demás, se tienen algunos supuestos adicionales de buen comportamiento de la función de  producción neoclásica son: . 1. 3.

/omog0nea de grado uno. 2óncava. 2ondiciones de 4nada:

limL →∞

∂ F  ∂ F    lim K  →∞ ∂ L ∂ K   0 85

lim L → 0

∂ F  ∂ F  ∂ L  limK  →0 ∂ K   ∞

La función de producción neoclásica más conocida que cumple estos supuestos es la función Cobb – Douglas definida de la forma: F ( L,  L, K )  AL – α K α 5 0  α 

 !l con"ertir la función en t#rminos per cápita, con"ierte la ecuación ecuación fundamental de $olo% en: &

(n  δ )k  k  sAk α  – (n

La cual es una ecuación diferencial de 'ernoulli Desde una primera perspecti"a, se desea e*aminar el "alor del capital de estado esta+cionario  -, "alor donde la cur"a de a.orro / la cur"a de depreciación son iguales $in embargo, la solución de la ecuación diferencial permite conocer cuál es el "alor del capital en cualquier instante del tiempo antes de llegar a un estado estacionario, teniendo presente que:

lim k  ( t  )  k &

4.

MODELO: MODELO DE CRECIMIENTO ECONOMICO DE SOLOW

l modelo de crecimiento económico de $olo% intenta pre"er la tendencia del pro+ducto potencial en el largo pla1o, anali1ándolo mediante la relación entre la acumula+ción de capital, el a.orro, la fuer1a de traba2o / el crecimiento 3ara su me2or comprensión, se definen las "ariables con las cuales se traba2ará: 4iempo ("ariable continua): t  3roducto total:  !cumulación de capital: 7n"ersión: 3ropensión marginal a.orro:

5uer1a de traba2o: L 3roducto per   Q 6 L cápita:

Q

Capital per cápita:  !.orro:

K  I 

K L

6

S

al s

4odas las "ariables definidas son funciones del tiempo t   , aunque ello será omitido en la notación, por ra1ones de simplicidad SUPUESTOS BASICOS Y DESARROLLO DEL MODELO:

l modelo de $olo% básico, apela a "arias .ipótesis simplificadoras $upone: La e*istencia de un equilibrio dinámico, o sea no e*iste desequilibrio / ni desempleo l punto de partida es la función de producción Q definida por  () Q = F ( K , L ) , en la cual K  / L son las "ariables antes definidas $e traba2ará con las "ariables in+"olucradas en t#rminos per cápita La población / la fuer1a de traba2o son iguales, con "ariación e*ponencial dada por 

n t 

, () L= L ( t ) L o e en la que n es una constante 9ótese que L ( t  ) n L ( t  ) , por lo que n L  6 L representa la tasa de crecimiento referida a la fuer1a de traba2o (relación constante en+tre tasa de crecimiento / fuer1a de traba2o) $e la supone independiente de otras "a+riables del modelo, / determinada por factores biológicos / otros factores e*ógenos La función de producción Q  tiene rendimientos constantes a escala sto significa que la función de producción global es .omog#nea de grado uno, es decir: Q F ( K , L ) L F ( K 6 L ,  ) L= f ( k )  (