Modelos Determinísticos de Inventarios

Modelos Determinísticos De Inventarios Investigación de Operaciones II

Integrantes: Héctor Cortés Esteban Oyanadel Cesar Salas

Carrera: Ingeniería en Computación Asignatura: Investigación de Operaciones II Profesor: Juan Garrido Zúñiga Fecha: 07/10/2011

Contenido Introducción ........................................................................................................................................ 3 Modelo clásico de cantidad económica de pedido (CEP) ................................................................... 4 Ciclo ................................................................................................................................................. 4 Demanda ......................................................................................................................................... 4 Frecuencia de pedido ...................................................................................................................... 4 Punto de reorden ............................................................................................................................ 4 Costos de Pedidos ........................................................................................................................... 5 Costo de Almacenamiento .............................................................................................................. 5 Deducción de Fórmulas ................................................................................................................... 6 Aplicación de Fórmulas ................................................................................................................... 8 Ejercicio 1. ................................................................................................................................... 8 Ejercicio 2 .................................................................................................................................... 9 Modelo CEP Con Faltantes ................................................................................................................ 11 Deducción de Fórmulas ................................................................................................................. 11 Aplicación de Fórmulas ................................................................................................................. 14 Ejemplo1.................................................................................................................................... 14 Ejemplo 2................................................................................................................................... 15 Ejemplo 3................................................................................................................................... 15 Modelo de Producción y Consumo a Tasa Constante ....................................................................... 17 Deducción de Fórmulas ................................................................................................................. 17 Descripción del modelo ............................................................................................................. 18 Caso para el cual

............................................................................................... 22

El problema de la sobreproducción .......................................................................................... 24 Modelo de producción limitada y orden externa ..................................................................... 26 Aplicación de Fórmulas ................................................................................................................. 28 Ejemplo 1................................................................................................................................... 28 Ejemplo 2................................................................................................................................... 29 Ejemplo 3................................................................................................................................... 30

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Introducción Una empresa o una industria suele tener un inventario razonable de bienes para asegurar su funcionamiento continuo. En forma tradicional se considera a los inventarios como un mal necesario; si son muy pocos, causan costosas interrupciones; si son demasiados equivalen a tener un capital ocioso. El problema de inventario determina la cantidad que equilibra los dos casos extremos. Un factor importante en la formulación y la solución del modelo de inventario es que la demanda de un artículo (por unidad de tiempo) sea determinística (que se conozca con certidumbre) o probabilística (que se pueda describir con una distribución de probabilidad. La naturaleza del problema de inventarios (o existencias) consiste en colocar y recibir en forma repetida pedidos (u “ordenes”) de determinados tamaños a intervalos de tiempo establecidos. Desde este punto de vista, una política de inventario contesta las siguientes preguntas:  

¿Cuándo pedir? ¿Cuándo pedir?

La respuesta de estas preguntas se basa en minimizar el siguiente modelo de costo: (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Todos esos costos se deben expresar en la cantidad económica de pedido (¿Cuánto pedir?) y el tiempo entre los pedidos (¿Cuándo pedir?). 1. El Costo de compra se basa en el precio por unidad de artículo, puede ser constante, o puede ofrecerse con descuentos. 2. El costo de preparación representa el costo fijo incurrido cuando se coloca un pedido, es independiente de la cantidad pedida. 3. El costo de almacenamiento o de posesión representa el costo de mantener una existencia de inventario. Comprende el interés sobre el capital y el costo de almacenamiento, mantenimiento y manejo. 4. El costo de faltante es la penalización en que se incurre cuando se terminan las existencias. Incluye la perdida potencial de ingresos y el costo, mas subjetivo, de pérdida de la buena voluntad del cliente. Un sistema de inventario se puede basar en la revisión periódica, cuando se reciben nuevos pedidos al iniciar cada periodo. En forma alternativa, el sistema se puede en una revisión continua, cuando se colocan los nuevos pedidos y la cantidad de inventario baja hasta cierto nivel, que se llama punto de orden. En el siguiente informe se explicaran 3 modelos determinísticos de inventario estáticos y además se entrega en cada sección una serie de ejercicios para el mejor entendimiento de los conceptos.

3

Modelo clásico de cantidad económica de pedido (CEP) El modelo más sencillo toma una tasa constante de demanda, un surtido de instantáneo del producto y no existe material faltante, por lo tanto no hay penalización por falta de existencia de este.

Ciclo Duración del ciclo del pedido, también se puede expresar como el periodo de tiempo entre la colocación de dos pedidos sucesivos. Se identifica con el símbolo t0 (unidades de tiempo)

Donde y es la cantidad pedida.

Demanda Cantidad necesitada por los clientes por unidad de tiempo. Esta puede ser determinística (se sabe con certeza la cantidad) o probabilística (se puede describir con una distribución de probabilidad). También puede describirse como la tasa de demanda de los clientes por unidad de tiempo. Se representa con el símbolo D (unidades por unidad de tiempo)

Frecuencia de pedido Es la cantidad de pedidos que se efectúan en una unidad de tiempo.

Punto de reorden Cuando él sistema se encuentra en una revisión continua, se colocan los nuevos pedidos y la cantidad baja hasta cierto nivel, este es el punto de reorden.

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Figura 1 En la Fig. 1 se puede identificar como el punto más bajo en el nivel de inventario, es el punto de reorden. Luego se coloca un pedido de tamaño y unidades, y se recibe en forma inmediata.

Figura 2 En la Fig. 2 existen punto intermedios para volver a ordenar un nuevo pedido antes que se acabe lo que ya se tenía.

Costos de Pedidos También llamado costo de compras se basa en el precio por unidad del artículo. Puede ser constante, o puede ofrecerse con descuento.

Costo de Almacenamiento También llamado costo de posesión, representa el costo de mantener una existencia en el inventario. Comprende el interés sobre el capital y el costo de almacenamiento, mantenimiento y manejo.

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Deducción de Fórmulas Dado que el modelo requiere minimizar el costo total del inventario.

Donde el costo de faltante se omite en el modelo clásico. El ciclo de pedido para este modelo es:

El nivel promedio de inventario resulta ser:

El modelo de costos requiere de dos parámetros. K = Costo de preparación correspondiente a la colocación de un pedido ($/pedido). h = Costo de almacenamiento ($ por unidad en inventario por unidad de tiempo). El costo total por unidad de tiempo (TCU), se calcula:

El valor óptimo de la cantidad de pedido y se determina minimizando TCU(y) con respecto a y. Suponiendo que “y” sea continua, una condición necesaria para determinar el valor óptimo de y es

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La solución de la ecuación da como resultado lo siguiente:

Así, la política óptima de inventario para el modelo propuesta se resume como sigue:

No se necesita realizar un pedido en el momento exacto en el que la cantidad anterior se acaba. Se recurre a un tiempo de entrega positivo, L, entre la colocación y la recepción de un pedido. En la Fig. 2 se puede observar que el punto de reorden se presenta cuando el nivel de inventario baja a LD unidades. En la Fig. 2 se supone que el tiempo de entrega de L es menor que la longitud del ciclo t*0 lo cual en general no es el caso. Para tener en cuenta otras situaciones, se definirá el tiempo efectivo de entrega como sigue:

Donde n es el entero mayor no mayor que . Este resultado se justifica, porque después n ciclos de cada uno, el estado del inventario es como si el intervalo entre colocar un pedido y recibir otro es Le. Así, el punto de reorden está en las LeD unidades, y la política de intervalo se puede renunciar como sigue.

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Aplicación de Fórmulas Ejercicio 1. Se cambian luces de neón en el campus de la U de A a una tasa de 100 unidades diarias. Estas luces de neón se piden en forma periódica. Cuesta $100 iniciar una orden de compra. Se estima que una luz de neón en el almacén cuesta unos $0.02 diarios. El tiempo de entrega, entre la colocación y la recepción de un pedido es de 12 días. Determine la política óptima de inventario para pedir las luces de neón. De acuerdo con los datos de este problema, D= 100 unidades por día. K= $100 por pedido. h= $0.02 por unidad y por día. L= 12 día. Así, √

√

La longitud del ciclo correspondiente es

Como el tiempo de entrega L=12 días es mayor que la longitud del ciclo t*0 (=10 días) se debe calcular Le. La cantidad de ciclos incluidos en L es n = (Entero mayor ≤

)

= (Entero mayor ≤

)

=1 Entonces

Entonces, el punto de reorden se presenta cuando la cantidad de inventario baja a

La política de inventario para pedir las luces de neón es Pedir 1000 unidades cuando el inventario baja a 200 unidades

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El costo diario de inventario correspondiente a la política propuesta es ( ) ( )

( )

( )

(

(

)

)

Ejercicio 2 McBurger pide carne molida al comenzar cada semana, para cubrir la demanda semanal de 300 lb. El costo fijo por pedido es de $20. Cuesta unos $0.03 por libra y por día refrigerar y almacenar la carne. a) Determine el costo semanal de inventario para la política actual de pedidos. b) Determine la política óptima que debería utilizar McBurger, suponiendo tiempo de entrega cero entre la colocación y la recepción de un pedido. c) Determine la diferencia de costos semanales entre las políticas actual y óptima de pedidos. Se rescatan los datos del ejercicio D = 300 lb/sem = y (dado que pide cada semana para cubrir la demanda) K = $20 h = $0.03 lb/dia a) ( ) ( )

(

( )

( ) (

)

)

Dada la política actual de McBurger, el costo de inventario es de $51.50. b) √

√

9

( )

(

)

(

)

Le=0 La política óptima de McBurger debería ser: Pedir 239 lb cuando el inventario llegue a nivel cero, de esta manera el costo de inventario sería de $50.2. c)

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Modelo CEP Con Faltantes Deducción de Fórmulas Uno de los inconvenientes en la administración de cualquier inventario es que ocurran faltantes (llamadas también ordenes pendientes y es la demanda que no se satisface debido a que se agota el inventario). Esto genera varios problemas, entre ellos los clientes enojados y también realizar trabajo adicional en relación a los registros para cumplir esa demanda posteriormente (en este modelo se permiten faltantes) al reabastecer el inventario. A pesar de ello, existen situaciones limitadas en las que aceptar faltantes tiene sentido desde el punto de vista administrativo. El principal requerimiento es que los clientes acepten el hecho de tener que esperar más de lo presupuestado por sus pedidos, en el caso que sea necesario. Si es así los costos por faltantes no serán exorbitantes. Si el costo de mantener inventarios es muy alto en relación a los costos por faltantes, una buena medida es bajar el nivel de inventario y permitir faltantes ocasionalmente. El modelo EOQ o CEP con faltantes planeado toma en cuenta este tipo de situación y sustituye solo la tercera suposición del modelo básico CEP por la siguiente. Ahora se permiten faltantes planeados. Cuando ocurre un faltante, los clientes afectados esperan que el producto esté disponible de nuevo. Sus órdenes pendientes se satisfacen de inmediato cuando llega la cantidad ordenada para reabastecer el inventario. Con estas suposiciones, el patrón de niveles de inventario en el tiempo tiene la apariencia mostrada en la figura. El aspecto de sierra es el mismo que en el modelo clásico. No obstante, ahora los niveles de inventario se extienden a valores negativos que reflejan el número de unidades del producto que faltaron o están pendientes de entregar.

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Sea:   

costo de faltante por unidad que falta por unidad de tiempo que falta, nivel de inventario justo después de recibir un lote de Q unidades, faltante en inventario justo antes de recibir un lote de Q unidades.

El costo total por unidad de tiempo se obtiene a partir de las siguientes componentes: Costo de producir y ordenar por ciclo = Durante cada ciclo, el nivel de inventario es positivo durante el tiempo . El nivel del inventario promedio durante este tiempo es ( ) artículos por unidad de tiempo y el costo correspondiente es por unidad de tiempo. Entonces, Costo de mantener el inventario por ciclo

.

De manera similar los faltantes ocurren durante un tiempo ( ) . La cantidad promedio de faltantes durante este tiempo es ( ) ( ) artículos, y el costo correspondiente es ( ) por unidad de tiempo. Así, (

Costo de faltantes por ciclo

)

(

)

.

Por lo tanto, (

Costo total por ciclo

)

Y el costo por unidad de tiempo es (

)

Este modelo tiene dos variables de decisión ( al establecer las derivadas parciales (

(

) y los valores óptimos (

)

) se encuentran

igual a cero. Entonces, ) (

)

(

)

Al resolver estas ecuaciones simultáneamente se obtiene √

√

√

√ 12

La longitud óptima del ciclo √

esta dada por √

El faltante máximo es √

√

Más aún en la figura anterior se observa que la fracción de tiempo en que no existen faltantes es

Que es independiente de . Cuando el valor de o de se hace mucho más grade que el otro, las cantidades anteriores se comportan de manera intuitiva. En particular, cuando con constante (los costos por faltantes dominan), mientras que tanto como convergen a sus valores dados en el modelo CEP básico. Aunque el modelo actual permite faltantes, implica que no vale la pena tenerlos. Por otro lado, cuando con constante (de manera que dominan los costos de mantener inventario), . Así, el tener hace que no sea económico tener niveles de inventario positivos, con lo que cada nuevo lote de unidades va no más allá de eliminar los faltantes actuales.

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Aplicación de Fórmulas Ejemplo1 Una compañía que fabrica televisores produce sus propias bocinas para usarlas en la fabricación de aparatos. Los televisores se ensamblan en una línea de producción continua a un tasa de 8000 por mes, en donde se necesita una bocina por televisor. Las bocinas se producen por lotes, pues no justifican toda una línea de producción y se pueden producir en cantidades relativamente grandes en un tiempo corto. Por lo tanto las bocinas se colocan en inventario hasta que se necesitan para ensamblarlas en los televisores en la línea de producción. La compañía está interesada en determinar cuándo producir un lote de bocinas y cuantas producir en cada lote. Es necesario tomar en cuenta varios costos: 







Cada vez que se produce un lote, se incurre en un costo de preparación de $12000. Esta cantidad incluye el “costo de preparar las máquinas y herramientas”, los costos administrativos, los de registros, etcétera. Observe que la existencia de estos costos es un argumento para producir lotes grandes de bocinas El costo unitario de producción de una sola bocina (excluye el costo de preparación) es $10 independiente del tamaño del lote fabricado. (no obstante, en general, el costo unitario de producción no necesita ser constante y puede decrecer con el tamaño del lote) La producción de bocinas en grandes lotes lleva a un inventario grande. La estimación del costo de mantener una bocina en almacén es de $0.30 por mes. Este monto incluye el costo del capital comprometido en el inventario. Como el dinero invertido en él no se puede usar de otra manera productiva, este costo de capital consiste en el rendimiento perdido (llamado costo de oportunidad) porque debe prescindirse de usarlo de renta del espacio de almacén, los seguros de incendio, robo o vandalismo, impuestos basados en el valor del inventario y el coste de personal que supervisa y protege el inventario. Se estima que cada bocina que falta cuesta $1.10 por mes. Este costo por faltantes incluye el costo de instalar las bocinas con el televisor totalmente ensamblado, el interés perdido por el retraso en recibir ingresos de ventas, el costo de mantener registros y otros.

Solución Se estimó el costo por faltantes en Luego, Por lo que ahora √

√

√

√

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Y Meses. Así, la línea de producción debe prepararse cada 3.6 meses para producir 28540 bocinas. El faltante máximo que se permite es de 6116 bocinas ( ). Note que no difieren mucho de los valores del caso en que no se permiten faltantes. La razón es que es mucho mayor que . Ejemplo 2 La demanda de un producto es 600 unidades por semana y los artículos se retiran a una tasa constante. El costo de colocar una orden de reabastecimiento del inventario es $25. El costo unitario por artículo es $3 y el costo de mantener un inventario es $0.05 por artículo por semana. Si se permiten faltantes por $2 por artículo por semana, determine cuándo y cuánto debe ordenarse. Solución

√

√

√

√

Faltante máximo = a 19.13 Ejemplo 3 Speedy Wheels es un distribuidor de bicicletas. Su gerente de inventario. Ricky Sapolo, revisa la política de inventario de un modelo popular que se vende a una tasa de 250 por mes. El costo administrativo de colocar una orden al fabricante es $200 y el precio de compro es $70 por bicicleta. El costo de capital comprometido anual es 20% del valor (basado en el precio de compra) de estas bicicletas. El costo adicional de guardar las bicicletas (incluye renta de espacio de almacén, seguros, impuestos, etcétera) es $6 por bicicleta por año. Los clientes no objetan retrasos cortos para que lleguen sus órdenes. Así, la administración está de acuerdo en una nueva política que acepta pequeños faltantes ocasionales para reducir el costo variable total. Después de consultar con la administración, Ricky estima que el costo anual por faltantes (incluye perdida de negocios futuros) será $30 multiplicado por el número promedio de bicicletas faltantes en el año. Use CEP con faltantes para determinar la nueva política óptima.

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Solución

(

√

√

)

√

√

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Modelo de Producción y Consumo a Tasa Constante En esta sección se estudia un modelo de inventario con tasas de producción y demanda constantes. Dentro de los supuestos se considera que el tiempo de espera, referido al tiempo en que la unidad de producción está inhabilitada, es proporcional al tiempo de actividad de la misma. El objetivo es desarrollar un modelo matemático y determinar el número óptimo de ciclos que minimice los costos, o bien, maximice la utilidad.

Deducción de Fórmulas Inicialmente se analizan tres situaciones que se presentan al comparar la constante de proporcionalidad y el cociente entre tasa de producción y tasa de demanda, obteniendo resultados correspondientes en cada caso al óptimo de ciclos que maximiza la utilidad en un horizonte de planificación dado. Por otra parte, se estudian las condiciones bajo las cuales la sobreproducción es económicamente conveniente. Finalmente, se examina de nuevo el modelo cuando la tasa de producción es menor que la tasa de demanda, considerando posible que las unidades en déficit sean abastecidas por un distribuidor externo. Este modelo es estudiado bajo los siguientes supuestos:   

La tasa de demanda y la de producción son conocidas y constantes por unidad de tiempo. El consumo comienza cuando la producción termina. El tiempo de receso de la unidad de producción es proporcional al tiempo de operación.

La notación utilizada en esta sección es la siguiente: N: número de ciclos en el horizonte de planeación. S: costo fijo de preparación de cada ciclo. p: precio de venta por unidad. r: tasa de producción por unidad de tiempo. d: tasa de demanda por unidad de tiempo. h: costo de mantenimiento de inventario por unidad en el horizonte de planificación. T: tiempo por ciclo que la unidad de producción está inhabilitada. m: horizonte de planificación. π: costo por unidad insatisfecha. k: precio de salvamento. α: constante de proporcionalidad. 17

Nota: Alguna notación adicional será introducida cuando se requiera.

Descripción del modelo De acuerdo con la notación anterior, la expresión (m - TN) representa el tiempo en el horizonte de planificación durante el cual la unidad de producción está habilitada. Luego, el número de unidades producidas en dicho horizonte es r(m - TN); en particular, considerando que hay N ciclos, la producción por ciclo está dada por

La notación representa el tiempo por ciclo que la unidad de producción está habilitada; bajo el supuesto de que el tiempo de receso es proporcional al tiempo de operación, se verifica entonces que

De donde se deduce que

Luego el tiempo de operación por cada ciclo de la unidad de producción se expresa

La producción por ciclo está dada por

Se considerarán tres casos. Una primera situación es cuando el cociente entre la tasa de producción y la tasa de demanda es menor que la constante de proporcionalidad, es decir

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Posteriormente se analizarán

Definición: Nivel de inventario. El nivel de inventario I(t) es una función del tiempo que representa la cantidad almacenada en cualquier instante t. El nivel de inventario para un instante

Se expresa como sigue (Figura 1)

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Una posible segunda situación podría ser, por ejemplo

En este caso el nivel de inventario para cualquier instante

Se expresa de la siguiente manera (Figura 2)

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En los dos casos nombrados, el inventario promedio está dado por

Luego, el costo de mantenimiento de inventario en todo el horizonte es

El número de unidades no satisfechas durante el horizonte de planificación es

Que generan un costo por déficit de

De acuerdo a lo anterior, la utilidad en ambos casos de expresa

Proposición (*): Si

entonces el número óptimo de ciclos que maximiza U es

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Caso para el cual

El nivel de inventario para cualquier instante

, se expresa (Figura 3)

En esta situación se tendrá excesos de producción y no habrá costo generado por la penalidad debido a unidades insatisfechas, al contrario, se tendrá un precio de salvamento k por cada unidad que hubiese sido sobreproducida. El número de unidades sobreproducidas en todo el horizonte está dado por

El inventario promedio es

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El costo de mantenimiento de inventario es

Luego, la utilidad en el horizonte de planificación se expresa

Lema: Si α, x, y

R+ entonces

Es decreciente en x. Proposición (**): Si

entonces el número óptimo de ciclos que maximiza U es

Demostración: Si ecuación

, la función de utilidad está dada por (4). Al resolver para N la

, se obtiene

Se verifica que

De la hipótesis

y por el lema anteriormente mencionado se verifica que

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En efecto

Luego N* maximiza U.

El problema de la sobreproducción Podemos concluir que la sobreproducción es económicamente conveniente si el precio de salvamento k es tal que

Es decir, el precio de salvamento permite la recuperación total de los costos de producción por unidad. En caso contrario, que desde la lógica de la teoría económica solo es posible k < c, es necesario actuar sobre el tiempo de trabajo y/o el tiempo de producción, de tal manera que ciclo a ciclo se agote el inventario, es decir, se debe encontrar un α que produzca una situación como la siguiente.

Entonces, la constante de probabilidad se convierte en

Desde el supuesto inicial, se nota que α’ > α, lo cual indica que con α’ el tiempo en el cual la unidad de producción está inhabilitada es mayor, lo cual es fácilmente demostrable, pues T es creciente en α y T’ es decreciente en α. Es también pertinente anotar que la variación de la constante de proporcionalidad no distorsiona el modelo, pues se debe respetar un mínimo receso, el cual para este caso se está ampliando. Así, los nuevo tiempos vienen dados por

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De esta manera, con un tiempo de descanso más amplio y un tiempo de trabajo más corto, el número de unidades producidas en un ciclo, que es menor que en la propuesta original, está dado por

De la misma manera que en los casos anteriores, el nivel de inventario I(t) es una función de tiempo que representa la cantidad almacenada en cualquier instante t. Luego el nivel de inventario para un

se expresa

El inventario promedio es

El costo de mantenimiento del inventario en el horizonte de planificación es, entonces

Luego, la utilidad viene dada por

Por tanto, el número óptimo de ciclos que maximiza la utilidad es

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Modelo de producción limitada y orden externa Considerando el caso para el cual , la demanda insatisfecha puede traer problemas y pérdida de la buena voluntad de los clientes; por tal motivo se considera posible que el faltante de unidades necesarias para satisfacer la demanda sea abastecido por un distribuidor externo, a quien se le comprarán dichas unidades de déficit; como consecuencia no habrá demanda insatisfecha. El número de unidades solicitadas en cada ciclo al distribuidor externo, es el número de unidades faltantes en el modelo anterior, para el caso que

, y está dado por

Los supuestos adicionales que se consideran son:   

No hay agotamiento de existencias. La obtención de la orden externa no modifica el tiempo de producción de la orden interna. La orden externa es recibida y se ubica en el lote de producción.

La notación adicional para el modelo es: v: costo por unidad solicitada al distribuidor externo. Q0: cantidad solicitada al distribuidor externo. O: costo fijo de cada orden externa, independiente del volumen. El nivel de inventario para cualquier instante

, se expresa (figura 4)

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El inventario promedio en el horizonte está dado por

El costo de mantenimiento de inventario es

La demanda de unidades en cada ciclo de longitud

es de

. Luego la demanda total en todo

el horizonte es dm unidades. Puesto que no hay déficit de unidades se tiene un ingreso de pdm. La utilidad en todo el horizonte se expresa como

De (6) se obtiene que

Luego el número de ciclos que maximiza N* es

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Aplicación de Fórmulas Ejemplo 1 Considerando la siguiente información: Demanda anual = 10000 d = 40/día r = 36/día m = 250 días S = $200/setup p = $40/unidad c = $30/unidad π = $5/unidad h = 20% de c α = 1.5 Se verifica que es:

; luego de la siguiente proposición (*) el número óptimo de ciclos

Proposición (*): Si

entonces el número óptimo de ciclos que maximiza U es

Número óptimo de ciclos:

La producción óptima por ciclo es Luego la producción total en el horizonte de planeación es 3600 unidades. De (1) la demanda no satisfecha en el horizonte es 6400 unidades. Y de (2) la utilidad máxima en el horizonte de planificación es $ 1437.50122.

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Ejemplo 2 Suponiendo la siguiente información: Demanda anual = 7500 d = 30/día r = 40/día m = 250 días S = $200/setup p = $40/unidad c = $30/unidad k = $5/unidad h = 20% de c α = 0.3 Se verifica que De la proposición (**), el numero óptimo de ciclos es: Proposición (**): Si

entonces el número óptimo de ciclos que maximiza U es

Número óptimo de ciclos:

La producción óptima por ciclo es Luego la producción anual es 7692.3 unidades. De (3) el número de unidades en sobreproducción durante el horizonte completo es 192.3 unidades. Y de (4) la utilidad máxima es $ 64436.9.

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Ejemplo 3 Considerando la siguiente información: Demanda anual = 10000, d = 40/día r = 36/día m = 250 días S = $200/setup p = $40/unidad c = $30/unidad v = $42/unidad h = 20% de c α = 1,5 O = 100 Se verifica que

; luego de (7), el número óptimo de ciclos es

La producción óptima por ciclo es Luego la producción en todo el horizonte es de 3600 unidades. De (5), la cantidad de unidades solicitadas por cada ciclo al distribuidor externo es 546.075; para el horizonte completo sería entonces 6400 unidades. Y de (6), la utilidad máxima es $ 16755.68.

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