Modelos de Sistemas Continuos
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Modelos matematicos de sistemas continuos Contenido Introduccion Descripcion de sistemas continuos Ejemplo de modela...
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Modelos matematicos de sistemas continuos
1
Contenido
Introduccion Descripcion de sistemas continuos Ejemplo de modelado y simulación Descripcion de entrada-salida de sistemas continuos Simulacion de modelos continuos
2
INTRODUCCION 3
Modelos matemáticos
Se expresan mediante ecuaciones matematicas
Permiten el trabajo cuantitativo analizando datos ormulando leyes
!ipicamente representan modelos simpliicados
"odelos #ue pueden producir resultados alsos
$
!ipos !ipos de sistemas
estocástico
determinístico
l o ca r t e on M e d n c ió la u s im
estático • • • • • •
tiempo-continuo tiempo-discreto
dinámico
Estático. Estado del sistema como un punto en el tiempo Dinámico . Estado del sistema como cambios en el tiempo Tiempo-continuo . Los estados del sistema cambian en cualquier momento. momento. Tiempo-discreto . Los cambios de estado del sistema se dan en momentos discretos del tiempo. Determinístico . Entradas fijas producen salidas fijas Estocástico. Uno o más parámetros parámetros aleatorios. Entradas fijas produce salidas diferentes d iferentes %
Sistemas dinamicos continuos y discretos
De tiempo continuo& de tiempo discreto De variables continuas& de variables discretas
'
Formalismos de modelos matematicos
De tiempo continuo& de tiempo discreto De variables continuas& de variables discretas Vars./Time
Continuous
Discrete
Continuous
[1] DESS (Differential equation System Specification) artial Differential Equations !rdinar" Differential Equations #ond $rap%s &odelica Electrical circuits
[2] DTSS Difference Equations 'inite Element &et%od 'inite Differences (umerical met%ods )in *eneral+ an" computin* met%od for t%e continuous counterparts,+ lie un*e-utta+ Euler+ D011L and ot%ers.
Discrete
[3] DEVS )Discrete Event System Speciication* DEV1 'ormalism Timed etri (ets Timed 'inite 1tate &ac%ines E2ent $rap%s
[4] utomata 'inite 1tate &ac%ines 'inite 1tate 0utomata etri (ets #oolean Lo*ic &aro2 C%ains
(
Modelos DESS
En el ormalismo DESS )differential equation System Specification model* el modelo matem+tico de un sistema din+mico es,
un conjunto de ecuaciones dierenciales #ue representan las caractersticas din+micas del sistema.
las cuales se obtienen aplicando leyes sicas.
/
Modelos DESS
"odelo mecanico
"odelo electrico
0
DESCRIPCION DE SISTEMAS DINAMICOS CONTINUOS 1
Sistemas dinamicos continuos
ormalmente estamos interesados en los sistemas dinamicos continuos,
Dinamico, ocurren cambios en el periodo de tiempo de interes !iempo continuo, los cambios ocurren continuamente ariables continuas, los cambios pueden tomar cual#uier valor Deterministico, se asume #ue es posible modelar el sistema como si uera completamente conocido 11
Descripcion interna de sistemas continuos S
u
! "
Inputs& u 4utputs& y States& x
! 3 S[u] 141!+ &4&! 1tatic or d"namic
Descripcion en 2ariables de estado 12
Descripcion en aria!les de estado de sistemas continuos
Linear systems: d " 3#"$%#u dt
( ")t 05 3 "'
Non-linear systems: d " 3 ) )"*u*t 5 dt ! 3 +)"*u*t 5
( ")t 05 3 "'
n× n
"
n
%
n× m
u
m
&
p × n
D
p × m
!
!3&#"$D#u
p
" , 1tate 2ector u , 4nput 2ector ! , !utput 2ector
n 3 (umber of state 2ariables m 3 (umber of inputs p 3 (umber of outputs
13
Sistemas lineales
5umplen con dos principios, 0diti2idad )superposicion5 6omo*eneidad )escala5 +
es decir&
y { a7u7 ( t ) + a8u 8 ( t ) } = a7 y { u7 ( t ) } + a8 y { u 8 ( t ) } 1$
Sistemas lineales e inariantes con el tiempo
6na ecuación dierencial lineal es invariante en el tiempo si sus coeicientes son constantes o unciones de la variable independiente.
Estos sistemas se denominan por sus si7las en in7l8s como sistemas 9!I )9inear !ime Invariant*
1%
Descripcion de sistemas "TI
x&= Ax + Bu y = Cx + Du
&atrices constantes
x ( 9 ) = x9
Demostrar que el sistema dinamico modelado mediante las matrices 0#CD es un sistema lineal 1'
El concepto de estado 1tate; 4n2erted pendulum 'ree joint 'orce
Cart :%eel
•
0n*le of t%e pendulum
•
0n*ular 2elocit" of t%e pendulum
•
Cart position
•
Cart 2elocit"
1(
El concepto de ector de estado 1tate 2ector = [ x x θ θ ]
T
El espacio de estado es el conjunto de todos los posibles valores del vector de estado
El vector de estado es un vector desde el ori7en del espacio de estados :asta el estado actual del sistema 1/
"a trayectoria del estado
Por las restricciones impuestas por las ecuaciones #ue describen al sistema
El estado describe una trayectoria en el espacio de estado
x&= Ax + Bu
Es lo #ue se denomina la y = Cx + Du trayectoria del estado
x ( 9 ) = x9
10
1tate 2ariable < ><
Trayectoria del estado t37
t39
t3= 1tate trajector"
t38
1tate 2ectors at different times
t3< )9+ 9+ 95 !ri*in of t%e state space 1tate 2ariable 8 >8
1tate 2ariable 7 )>75
2
Respuesta de un sistema lineal
Dado el modelo del sistema& nuestro interes esta en determinar tanto la trayectoria del estado& como la respuesta de entrada-salida del sistema.
El calculo de esta respuesta involucra la solucion de una ecuacion dierencial. 21
E#emplo$ respuesta de un sistema escalar
;5u+l es la respuesta del sistema si es escalar<
dx ( t ) dt
= ax
y = Cx x ( t9 ) = x9
Conocido el estado inicial 22
Respuesta de un sistema escalar
;5u+l es la respuesta del sistema si es escalar<
dx ( t ) dt
=
ax
y = Cx t
∫
x ( t ) = x ( t9 ) + ax ( τ ) d τ t 9
La solucion in2olucra un proceso de inte*racion
23
Respuesta de un sistema escalar
;5u+l es la respuesta del sistema si es escalar<
dx ( t ) dt
=
ax
y = Cx
La salida es una combinacion )lineal5 de los estados
t
∫
x ( t ) = x ( t9 ) + ax ( τ ) d τ t 9
Tra"ectoria del estado 2$
Representacion en !lo%ues de un sistema lineal
Ejercicio,
=a7a un dia7rama del sistema lineal descrito por las ecuaciones&
x&= Ax + Bu y = Cx + Du
x ( 9 ) = x9 2%
Representacion en !lo%ues 4nte*racion
x&= Ax + Bu y = Cx + Du
Condicion inicial
x ( 9 ) = x9
2'
E&EMP"O DE MODE"ADO ' SIMU"ACI(N 2(
E#emplo de modelado
Se propone entonces,
Discutir el modelado del amorti7uador de un automovil.
Proponer un modelo matematico
5onstruir el modelo en Simulin>
eriicar el comportamiento del modelo
Un modelo matematico del sistema El modelo matemático del sistema puede ser descrito por;
f ( t ) x M
K
m x x + kx = f )t 5 + c B
arametros; m 3 9.8?+ c 3 9.?+ k 3 7
Analisis de las ecuaciones
?orma estandar
?recuencia natural @azon de amorti7.
Aananacia estatica
x 7 c + x + x = f )t 5 k k k m
ω n 8ζ
ω n
k
=
=
m =
K =
c
→
k 7 k
=
7
8.9
ζ = 9.?
El modelo en simulin) f(t) input
@ -
m x
7 m
x
7
7
x
s c x
kx
x x(t) output
s c
x k
x
El proposito del dia*rama de simulation es resol2er la !DE del modelo matematico propuesto
*eri+icacion de los resultados de simulacion
El amorti7uamiento es menor #ue uno ).%*
Se espera #ue el sistema sea sub-amorti7uado Se espera sobrepulso
9a 7anancia estatica es uno
Se espera #ue la ma7nitud de la salida sea i7ual a la ma7nitud de la entrada.
ALos resultados de simulaciBn se ajustan a las e>pectati2as
E#ercicio
5onstruya el modelo en Simulin>. erii#ue el modelo.
Plantee pre7untas sobre el caso
5onsulte como el !oolbox Sim"ec:anics modela el sistema masa-resorte-amorti7uador
E#ercicio
=a7a un dia7rama en simulin> del sistema lineal descrito por las ecuaciones&
x&= Ax + Bu y = Cx + Du
x ( 9 ) = x9
3$
DESCRIPCION DE ENTRADA,SA"IDA DE SISTEMAS CONTINUOS 3%
Descripcion de entrada,salida de sistemas "TI
9a relacion entradaBsalida de un sistema lineal invariante en el tiempo de dimension inita din+mico& operando sobre seCales de tiempo continuo es n
a9 y )t 5 + + an 7 y )t 5 + an y )t 5 =b 9 u −
) m5
)t 5 + + bmu )t 5
Una ecuaciBn diferencial ordinaria 3'
Descripcion de entrada,salida de sistemas "TI
9a relacion entradaBsalida de un sistema 9!I de dimension inita tambien se da en terminos del operador dierencial
y)t 5 3 G) p5 u)t 5 !perador diferencial
∂ pu ( t ) ;= u ( t ) ∂t
no confundir con la 2ariable compleja sF 3(
Respuesta de los sistemas "TI
9a relacion entradaBsalida se puede obtener mediante distintas representaciones,
9a respuesta al impulso
g )t 5
9a unción de transerencia
G)s5
9a respuesta de recuencia
G(iw5 3/
"a respuesta al impulso
9a relación entre las seCales de entrada y de salida se obtiene por la convolución de u con la respuesta al impulso g )t * ∞
∫
y ( t ) = g ( τ ) u ( t − τ ) d τ 9
ara condiciones iniciales nulas 30
"a +unci-n de trans+erencia
9a función de transferencia G)s* es la respuesta estacionaria del sistema lineal
Y ) s53 G) s5U ) s5 es una funciBn compleja Donde s es la 2ariable de Laplace+ " Y ) s5+ U ) s5 las transformadas de Laplace de la salida " la entrada $
"a respuesta de +recuencia
Es la respuesta estacionaria de un sistema lineal ante una seCal de entrada sinusoidal
y ( t )
=
G ( iω ) sin ( ωt + φ ) $1
O!tencion de la +uncion de trans+erencia a partir de la ODE
5onsidere un sistema lineal invariante en el tiempo& descrito por la si7uiente ecuación dierencial a9 y n )t 5 + + an 7 y )t 5 + an y )t 5 =b 9 u ) m 5 )t 5 + + bmu )t 5 −
donde y)t 5 es la salida del sistema y u)t 5 es la entrada del sistema. $2
O!tencion de la +uncion de trans+erencia a partir de la ODE
Para obtener la unción de transerencia del sistema, se toma la transormada de 9aplace de ambos miembros de la ecuación dierencial& considerando #ue las condiciones iniciales son i7uales a cero
) a9 s
n
++
an 7 s + an 5Y ) s 5 = )b9 s −
m
++
bm 5U ) s 5
$3
"a +uncion de trans+erencia
Entonces& la unción de transerencia est+ dada por
G ) s 5 =
Y ) s 5 U ) s 5
=
b 9 s a9 s n
+
m
+
+ bm
+ an 7 s + an −
La funcion de transferencia es un recurso matematico util para representar sistemas lineales+ in2ariantes en el tiempo+ con dicionesiniciales nulas $$
Polos y ceros de la +uncion de trans+erencia G ) s 5 =
Y ) s 5 U ) s 5
=
b 9 s a9 s n
+
m
+
+ bm
+ an 7 s + an −
Se deinen los ceros de G)s* como las races del numerador de A)s* y los polos de G)s* como las races del denominador
ara la representacion en 2ariables de estado de sistemas los polos " ceros no estan definidosF
%$ E%uialencia de las representaciones Laplace
'ourier
Teorema de #ode
Cone>iBn entre la respuesta al impulso+ la funciBn de transferencia+ " la respuesta en frecuencia $'
E%uialencia de las representaciones
Ejercicio
Investi7ue como "atlab representa un sistema din+mico en los dierentes dominios. er 9!Iormats.m
$(
SIMU"ACION DE MODE"OS CONTINUOS $/
El modelo de simulaci-n
partir del modelo& se construye en un simulador. Objetivos contradictorios entre el modelado y la simulación,
"odelado, @epresentación de un modelo si7niicativo para comprensión y re-utilización
Simulacion, exactitud y velocidad
El simulador puede ser usado en& por ejemplo& un optimizador& un entrenador& o en una :erramienta de enseCanza.
Simulacion de modelos continuos Codi*o 01C44
Mundo Real
modelado
Simulador
simulacion 4nte*racion numerica Modelo
d )t 5 / dt 3 x)t 5
%
"en.ua#es de simulacion de sistemas continuos
6n len7uaje de simulación describe las operaciones a ejecutar durante una simulación en la computadora
9a mayoria de los len7uajes tienen tambien una interaz 7r+ica capacidad de an+lisis de los resultados
%1
"en.ua#es de simulacion de sistemas continuos
Existen dierentes len7uajes de simulacion bajo el ormalismo DESS ) ASCLCSSL etc.* C11L !$0& Van der ol 4(4T40L constant 3 -7+ >9 3 7+ 29 3 9+ tf 3 89 E(D DG(0&4C DE4V0T4VE > 3 inte*)2+ >95 2 3 inte*))7 H >II85I2 H I>+ 295 E(D termt )t .*e.tf5 E(D E(D
%2
"en.ua#es de simulacion de sistemas continuos5SS9, 5ontinuous
Simulin> SPI5E Scilab Dynamo S9", Simulation 9an7ua7e or lternative "odelin7 isSim Saber-Simulator
System Simulation 9an7ua7e 5S9, dvanced 5ontinuous Simulation 9an7ua7e E9, EcosimPro 9an7ua7e F"9lab ?lexsim $.
%3
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