Modelos de Simulacion HYSYS

 

Optimización y Simulación de Procesos Enrique Eduardo Tarifa Facultad de Ingeniería - Universidad Nacional de Jujuy

Modelos y Función Objetivo Introducción Este capítulo está basado en los capítulos capítu los II y III III del libro “Optimization of Chemical Processes” (Edgar y Himmelblau, 1988), debe completarse con la lectura del capítulo II y III del libro “Optimization: Theory and Practice” (Beveridge y Schechter, 1970). En este capítulo nos referiremos a la formulación de las restricciones y de la función objetivo necesarias para plantear un problema de optimización. optimi zación. Ambos temas son demasiados ext extensos, ensos, cada uno de ello justifica un curso aparte. apart e. Sin embargo, embargo, dado que necesitamos tener algunas nociones de estos temas para poder plantear problemas de optimización, aquí se abordará someramente cada uno de ellos.

Restricciones y modelos de un sistema Las restricciones que figuran en la formulación general de un problema de optimización, por lo general, surgen del modelo del sistema que está siendo optimiz optimizado. ado. Cuando vamos a desarrollar un modelo debemos considerar los siguientes si guientes aspectos: 1. ¿Cuál Cuál es el el nivel nivel de de abstr abstrac acció ción n más más adecu adecuado ado,, micro microsc scóp ópic ico o o macr macros oscó cópic pico; o; y cuá cuáll es el grado de detalle requerido? 2. ¿Se pu pued edee des descr cribi ibirr el el ssist istem emaa util utiliz izan ando do princ principi ipios os de fís físico ico-qu -quími ímica ca?? 3. ¿Cuál Cuál eess la la exa exacti ctitud tud requ requer erida ida y cóm cómo o afe afecta cta ésta ésta a la aplica aplicació ción n fina final? l? 4. ¿Cuál ¿Cuáles es so son n las las variabl variables es medidas medidas y cuáles cuáles los datos datos disponib disponible less para la validac validación ión del modelo? 5. ¿Se pued puedee sub subdi divi vidi dirr el el proc proceeso en subp subpro roce ceso soss más más sim simpl ples es?? Si el modelo es muy simple, los resultados no serán confiables; pero si el modelo es demasiado complicado, la optimización será también muy difícil sino imposible. Por lo tanto, existe un modelo óptimo que podemos definirlo como aquel que es el más simple pero que satisface nuestras necesidades.

Clasificación de Modelos Podemos clasificar los modelos en las siguientes categorías: 1. Bas Basad ado os en en lo los pri prime mero ross pri princ ncip ipio ioss vs. vs. Empí Empíri rico cos. s. 2. Lineales vs. No lineales. 3. Estacionarios vs. Dinámicos. 4. Pa Pará ráme metr tros os co conc ncen entr trad ados os vs. vs. Par Parám ámet etro ross dis distr trib ibui uido dos. s. 5. Con Con va varia iab bles co contin ntinu uas vs vs. Dis Disccretas tas. 6. Dete terrminí nísstic ticos vs. Esto Estoccástico icos. Un ejemplo del primer tipo es el siguiente modelo para un reactor tubular isotérmico con Optimización y Simulación de procesos.   Modelos Modelos y Función Objetivo  Enrique Eduardo Tarifa - Universidad Nacional de Jujuy.

1

 

dispersión axial: c

 

 

t 

2

 D z

c

 

 

 z

v

2

c

 

 

r 

 z

(1)

No existe único modelo, una alternativa posible es ver el reactor como un conjunto de  p reactores agitados continuos en serie como muestra la Figura 1.

Figura 1: Reactor tubular.

Como modelo empí rico rico podemos citar los siguientes modelos propuestos para un precipitador electrostático: b1  A

 

 

10 0

1

b2

(2)

e  

 

1  

1

 

2

 A

3  A

(3)

donde  es la eficiencia y A es la superficie de recolecci ón.  

El principal inconveniente de los modelos emp í ricos ricos es que están restringido al dominio que contiene los datos utilizados para ajustar el modelo. Además, el sistema a modelar debe existir necesariamente necesariamen te para poder obte obtener ner los datos requeridos. Todo esto está atenuad  atenuado o en los modelos con base teórica, sin embargo, el costo de desarrollo puede ser grande. Los modelos lineales tienen la ventaja ventaj a del princi principio pio de la superpos superposici ición; esto es, dado un modelo lineal J , se cumple:  J (a x1

b x2)

a J (  xx1)

b J ( x  x2)

(4)

El primer modelo utilizado para el precipitador es lineal, el segundo no lo es. Existe una teor í a matemática ampliamente ampli amente desarrollada p para ara tratar modelos lin lineales. eales. No ocurr ocurree lo mismo con los modelos no lineales. Por lo tanto, siempre que sea posible, posib le, se prefiere un modelo del tipo lineal. lineal. En los modelos estacionario estacion ario no se consid considera era la evol evoluci ución de las variables con el tiempo; es decir, dec ir, que las derivadas parciales con respecto al tiempo son nulas. Este tipo de modelos es ampliamente utilizado para optimizar. Cuando se utilizan modelos dinámicos, entramos en el Optimizaci ó  ó n y Simulaci ó  ó n de procesos.  Modelos Modelos y Funci ó  ó n Objetivo  Enrique Eduardo Tarifa - Universidad Nacional de Jujuy.

2

 

campo del “control óptimo”. Cuando se desprecia la variaci ón de las propiedades con respecto a las coordenadas espaciales, se dice que el modelo es del tipo parámetro concentrado; por ejemplo, un tanque perfectamente agitado. Si las propiedades del sistema est án en función de algunas de las coordenadas espaciales, tenemos tenemos un modelo con parámetro distribuido; por ejemplo, un reactor tubular. á  perfectamente Cuando la respuesta de ununmodelo por las de entradas y los par ámetros estamos frente modeloest determin í stico stico (por determinada ejemplo, cualquiera los modelos anteriores). Cuando a pesar de conocer las entradas y los parámetros existe incertidumbre en la respuesta se está frente un modelo estocástico (por ejemplo, el modelo estad í stico stico utilizado para predecir la población de un paí s). s).

Desarrollo de un modelo En la Figura 2 se esquematizan los pasos involucrados en el desarrollo de un modelo.

Experiencia, realidad

Objetivo, planificaci ón

Objetivos de la empresa

Definici ón del problema

Determinaci ón de variables y primeros principios

Simulación

Desarrollo del modelo

Observación, datos

Diseño Estimación de parámetros

Evaluación Evaluación y verificaci ón

Aplicaciónd del modelo

Figura 2: Desarrollo de un modelo.

Estimación de parámetros, método de los mí nimos nimos cuadrados Uno de los métodos más utilizados para ajustar los par ámetros de un modelo es el método de los mí nimos nimos cuadrados. Se trata de un problema optimización donde se plantea un modelo lineal en los parámetros  de la forma:  

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3

 

n

 y

 xi

i

   

i 0

(5)

1

 x0

por otra parte tenemos los vectores de datos X e Y con  p puntos experimentales. El problema de ajustar los coeficiente se formula como sigue:  p

Y  j

 Min  

 j 1

 

2

n    

i 0

 X  j0

i

 X  ji

(6)

0

Este problema puede ser resulto analí ticamente. ticamente. Para ello, derivando la ecuación anterior con respecto a los  e igualando a cero (aplicando el operador  /  i = 0), tenemos:  

 p  

 

0

0

 

 p

2

 X  j0

 

 

 j 1  p

0

 

 j 1

 X  j0 X  j1

 

 j 1

 

1

 j 1  p  

 p

 p

 X  j1 X  j0

 

1

 

 

 

1

 

 j 1

 p

 

 j 1  p

2

 X  j1

 

2

2

 

 j 1  p

 X  j2 X  j0

 

 

 j 1

 X  j2 X  j1

 

2

 X  j0 X  j2

...

 X  j1 X  j2

...

 p

 

n

 X  j0 X  jn

 

 j 1  p

n

 X  j1 X  jn

 

 j 1  p

2

...

 X  j2

 

 

 p

 

 j 1

n

 

 j 1  p

Y  j X  j0 Y  j X  j1

 

 j 1  p

 X  j2 X  jn

 

 j 1

 

 j 1

Y  j X  j2

(7)

...  p  

0

 

 j 1

 p

 X  jn X  j0

 

1

 

 j 1

 p

 X  jn X  j1

 

2

 

 j 1

 p

 X  jn X  j2

...

 

n

 

 p

2

 X  jn

 j 1

 

 j 1

Y  j X  jn

1  X 11  X 12 ...  X 1n  X 

1  X 21  X 22 ...  X 2n .. .

...

.. .

1  X   X   p1

...

...

(8)

...  X 

 p2

 pn

Usando notación matricial se puede escribir en una forma más compacta: Entonces:  X T  X 

 

 X T  Y 

(9)

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4

 

 

 

 

 

0 1

(10)

2

...  

n

despejando (note que la matriz X  no  no es cuadra y por lo tanto tan to no tiene inversa):

( X   X T  X ) 1  X T  Y 

 

(11)

Y 1 Y 2

Y 

(12)

... Y  p

Ejemplo. Costos de fabricación de intercambiadore intercambiadoress Se necesita estimar los costos de fabricación de un nuevo tipo de intercambiadores de calor en base al conocimiento de la estructura de costos histórica. Se asume que la curva de costo tiene la siguiente forma lineal: C 

 

0

 

1

 N 

 

2

 A

(13)

donde N es el n úmero de tubos, y A es la superficie de la coraza. Los datos correspondientes a intercambiadores de acero templado con cabezal flotante para 0 a 500 psig (manométrico) (Shahbenderian, 1961):

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5

 

Y

X 1

 X 2

Mano de obra $

Area

Número de tubos

310

120

550

300

130

600

275

108

520

250

110

420

220

84

400

200

90

300

190

80

230

150

55

120

140

64

190

100

50

100

XT X = 10

891

3430

891

86241

349120

3430

349120

1472700

XT Y = 2135 207290 844800

Resolviendo, tenemos:  

= 38.177 1.164 0.209

Note que la función debe ser lineal en los coeficiente, el resto no afecta el desarrollo. Por ejemplo, la siguiente funci ón:  y

 

0

 

1

 x

 

2

 x 2

(14)

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6

 

se puede resolver tomando x0 = 1, x1 = x, x2 = x2.

Diseño Factorial El cálculo de los coeficientes puede ser facilitado y su exactitud aumentada eligiendo adecuadamente los valores valores d dee X ; es decir, teniendo un plan adecuado de experimentación. El diseño factorial permite alcanzar estos objetivos; por ejemplo, para la función:  y

0

 

 

1

 x1

 

2

 x2

(15)

el m étodo recomienda desarrollar los siguientes experimentos (ubicados en las esquinas del cuadrado unitario y en el origen): Experimento Respuesta Diseño Experimental n

Y

X 1

 X 2

1

Y1

-1

-1

2

Y2

1

-1

3

Y3

-1

1

4

Y4

1

1

5

Y5

0

0

Se puede verificar que las sumatorias que aparecen en la ec. 7 adoptan ahora los siguientes valores: 5  

 j 1

 X  j1

0

(16)

 X  j2

0

(17)

5  

 j 1

5  

 j 1

0

 X  j1 X  j2

5  

2

 X  j1

4

(18)

(19)

 j 1

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7

 

5

2

4

 X  j2

 

(20)

 j 1

con lo cual la ec. 7 simplifica a: 5 0 0  X T  X 

(21)

0 4 0 0 0 4

Y  j

 

 X T  Y 

Y 1

Y 2

Y 3

Y 4

Y 1

Y 2

Y 3

Y 4

(22)

Una de las ventajas de este método es que para invertir la ec. 21 basta bast a con tomar la recí proca proca de los elementos de la diagonal; pero más importante aún, es que la covarianza entre los coeficientes es mí nima. nima. Ejemplo. Modelo de un reactor Tenemos Tenem os un reactor operando a 220 °F y 3 atm. Queremos desarrollar un modelo lineal en T y P para predecir el efecto sobre la producci ón de perturbaciones de ± 20 °F y ± 2 atm.

Primero normalizamos las variables:  x1

 x2

T 

P

220 20

2

(23)

3

(24)

Entonces, tomamos los siguientes datos: Y  (Producci  (Producción)

 X 1  X 2

2 0. 50

-1

-1

6 0. 14

1

-1

5 8. 89

-1

1

6 7. 71

1

1

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8

 

7 7. 87

0

0

7 8. 93

0

0

7 0. 10

0

0

Los datos extras tomados en (0,0) son utilizados para medir el error involucrado en el experimento. Calculando, tenemos: 7 0 0  X T  X 

(25)

0 4 0 0 0 4

( X   X T  X ) 1

1/ 7

0

0

0

1/ 4

0

0

0

1/ 4

(26)

434.1  X T  Y 

48.46

(27)

45.96 por lo tanto =  

62.02 12.11 11.49

Función objetivo En esta sección consideraremos las funciones objetivos que pueden ser planteadas con criterio económico. De acuerdo a los factores considerado considerados, s, tenemos: 1. Sólo costos de operación e ingresos: corresponden a los problema de supervis supervisor or control c ontrol. Los costos de capital permanecen fijos. 2. Sólo costos de capital: diseños mecánico que no afectan los costos de operación. 3. Ambos costos. Es importante analizar también algunos casos que se presentan con frecuencia dada la forma de la función objetivo. Sea Sea la fun funci ción f (  xx) con un punto máximo en xopt, este punto también será un Optimizaci ó  ó n y Simulaci ó  ó n de procesos.  Modelos Modelos y Funci ó  ó n Objetivo  Enrique Eduardo Tarifa - Universidad Nacional de Jujuy.

9

 

punto óptimo de la función g(  xx) definida como: g(  xx)

 

 f (  xx)

(28)

 

Si  > 0, entonces:  

 Max{g(  xx)}

 

 Max{ f ( x  x)}

(29)

 

Si  < 0, entonces:  

 Min{g(  xx)}

 

 Max{ f ( x  x)}

(30)

 

Un caso particular de esta situación es:  Min{  f (  xx)}

 Max{ f ( x  x)}

(31)

Otra forma de definir g(  xx) es: g(  xx)

h(  f  f (  xx))

(32)

 

Si la derivada de h(  xx) es siempre positiva, entonces:  Max{g(  xx)}

h( Max  Max{ f ( x  x)})

(33)

 

Si la derivada de h(  xx) es siempre negativa, entonces:  Min{g(  xx)}

h( Max  Max{ f ( x  x)})

(34)

 

Ejemplo para 1. Sólo costos de operación. Una planta quí m mica ica produce tres productos (D, E, F) utilizando (A, B, C). Los procesos son paralelos. Las reacciones involucradas son:  A

B

 D

 

(35)

 E  F  3 A  A 2 BB C   

 

Los datos del proceso son: Materia Prima

Disponibilidad [lb/dí a]

Costo [c/lb]

A

40 000

1. 5

B

30 000

2. 0

C

25 000

2. 5

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10

 

 

 x

 

2

lb reactivo / lb

Costo del proceso

Precio de venta

producto

[c / lb producto]

[c/ lb producto]

D

2/3 A, 1/3 B

1 .5

4. 0

E

2/3 A, 1/3 B

0 .5

3. 3

F

½ A,  A, 1/6 B, 1/3 C

1 .0

3. 8

3000 (36)

Producto

Nota: c es centavo de dolar. La masa se conserva.

Se elije como función objetivo a maximizar el beneficio por d í a. a. Definiendo el vector x como la producción o consumo por d í a (lb/dí a) a) de (A, B, C, D, E, F), tenemos que los ingresos por d í as as son: 0.04  x4

0.033  x5

0.038  x6

(37)

0.02  x2

0.025  x3

(38)

0.005  x5

0.01  x6

(39)

Los costos de materias primas son: 0.015  x1 y los costos de procesamiento: 0.015  x4

Entonces, los beneficios diarios son (ingresos - egresos):  f (  xx) 0.025  x4 0.028  x5 0.028  x6 0.015  x1

0.02  x2

0.025  x3

(40)

Las restricciones surgen del balance de materia:  x1

 x2

0.667  x4 0.333  x4

0.667  x5 0.333  x5

0.5  x6

(41)

0.167  x6

(42)

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11

 

0.333  x6

 x3

(43)

El balance global no se plantea porque no es independiente. Las restricciones restricciones de disponibilidad son:  x

 

0

0

 

1

 x3

 

 

40000

(44)

25000

(45)

Ejemplo para 2. Sólo costos de capital. Se quiere determinar la mejor relación L/D para un tanque cilí ndrico ndrico y compararla con el heurí stico stico que plantea que la mejor relaci ón es 3.

Suponiendo que: 1 2.. 3. 4.

Q s) syonlapdensidad lanas. Qu uee lealsedso psestoarpa(t  de las paredes son constantes y que el espesor no es función de la presión. Que el costo de fabricación y de materia es el mismo para las tapas como c omo para el cuerpo y es igual a S ($/lb). Qu Quee n no oh hay ay de desp speerdi dici cio os d dur uran ante te la ffab abrric icac aciión.

Podemos plantear las siguientes funciones objetivos, área:  f 1

 D 2

 

 D L

 

2

(46)

peso:  f 2

 D 2

 

 

 D L

 

2

t 

(47)

costo:  f 3

S 

 

 D 2

 

 

2

 D L

t 

(48)

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12

 

Las tres son equivalentes, por simplicidad tomaremos la primera. La restricción surge cuando cuand o especificamos el volumen: V 

 D 2

 

4

 L

(49)

Eliminando L, tenemos la nueva función objetivo:  f 4

 

 D 2

4 V 

2

 D

(50)

Derivando y despejando, tenemos:  D

4 V 

opt 

1/3

(51)

 

2/3

 f 

Entonces 4  es proporcional a V , es decir que cumple con la conocida regla del 0.6; sin embargo:  L

4 V 

opt 

1/3

(52)

 

dando el sorprendente resultado (L/D)opt = 1. Esto está lejos del 3 planteado por la experiencia, y se debe a que las suposiciones realizadas no se cumplen en la realidad. Ejemplo para 3. Ambos costos Se quiere determinar d eterminar el espesor óptimo de una capa aislante para un recipiente que contiene un fluido caliente.

El calor perdido es: Q

 A  x / kk  

 

T 

1/ h c

(53)

donde x es el espesor del aislante. Se supone que el coeficiente externo hc es el limitante. El costo de instalación por unidad de área del aislante viene dado por: F 0

F 1  x

(54)

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13

 

El aislante tiene un vida útil de cinco años. Suponga que tomamos un préstamo y pagamos anualmente (en cinco años) una fracción r   del del capital. El beneficio obtenido del calor ahorrado -6 es H t (10  $/Btu), y las horas de operación en un año son Y . El calor ahorrado es: Q0

Q

h c  A

 A

T 

 

 

 x / k  k 

T 

1/ h c

(55)

La función objetivo que debe ser minimizada ($/año) es:  f 

(Q0

Q) Y H t  10

6

(F 0

F 1  x)  A r 

(56)

Derivando y despejando, tenemos:  x

opt 

k 

Y H t 

 

1/2

T 

106 k F 1 r 

1 hc

(57)

Valor del dinero en el tiempo Hasta aquí  no  no hemos considerado cómo varí a el valor del dinero con el tiempo, frecuentemente esta variación debe ser contemplada en la función objetivo. El valor que damos al dinero var í a con el tiempo, no es lo mismo recibir $100 ahora que recibirlos el a ño que viene. Este grado de importancia se puede expresar matemáticamente recurriendo recurriendo a distintas f órmulas. Ellas serán de utilidad cuando debamos comparar costos de producción con costos de inversión ya que se debe comparar la suma que se invierte hoy con la que se pretende ganar en el futuro. Valor Futuro Es el valor futuro F n que un determinado capital actual P tendrá en el año n con una tasa anual unitaria i  capitalizando (esto es, transformar los intereses en capital como ocurre cuando se renueva un plazo fijo) q veces por año será: F n

P

1

n q

i q

(58)

Si q = 12, tenemos un interés mensual i  /  / q. Para q    , la ecuación anterior tiende a:  

 

F n

P en

i

(59)

Valor presente Si sólo debemos convertir un único monto futuro, la f órmula es:

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14

 

F n

P

(60)

in

1

Si son varios los montos, la f órmula a emplear es: n

P

 

k  1

F k 

(61)

i k 

1

Si los montos anuales son constante e iguales a F (cuota a pagar), la ecuación anterior corresponde a una serie geométrica, por lo tanto: F 

i)n

i (1 n

(1

i)

P

1

(62)

Aquí , es útil definir el factor de reembolso ( repayment multiplier ) como: i)n

i (1 r 

(1

i)n

1

(63)

por lo tanto F   = = r P. Para interés continuo, la f órmula es: Ejemplo. Superficie óptima de un intercambiador Queremos optimizar el área de intercambio de un generador de vapor. Se necesita enfriar una corriente de aceite, inicialmente a 400 °F, y al mismo tiempo generar vapor a 250°F y 30 psia. Las condiciones del generador son: U = 100 Btu/ (h ft2 °F) w  Cp  = 7.5 x 104 Btu/(°F h) oil

oil

el precio del área es de 25 $/ft 2, el beneficio proveniente del vapor generado es 2 x 10 -6 $/Btu. Las horas de servicio son 8000 h/a ño. Suponer que se solicita un préstamo con una tasa de interés de 15% y un periodo de 10 a ños para su devolución en cuotas iguales. Podemos plantear la siguiente función objetivo:  Max  f

F

T 2,  A A

 f 

2 x10

6  

 H v W agua 8000

r I 0

r  25  A [$/ año]

(64)

(65)

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15

 

sujeto a: w aceite Cp aceite (400

U A (400

T 2)

w aceite Cp aceite (400

ln(150/(T 2

T 2)

 

T 2)

(66)

250))

 H v w agua

(67)

donde se utilizó la diferencia de temperatura medio logarí tmico tmico (definida (definida como la di diferencia ferencia de temperaturas en el extremo ca caliente liente menos la diferencia en el extremo frí o, o, todo dividido por el logaritmo del cociente de las dos diferencias). Utilizando estas ecuaciones y eliminando A y wagua, tenemos:

 f 

0.016 w aceite Cp aceite (400

T 2)

25 r 

waceite Cp aceite U 

ln

150 T 2 250

(68)

Sacando afactor común w Cp, el resultado no es alterado, la soluci ón es obtenida derivando con respecto T2 e igualando a cero: 0

25

T 2

r 

100 T 2

2 50

1 250

0.016

15.62 r 

(69)

(70)

Calculando con los datos de i y n, tenemos que r  es  es 0.2; por lo tanto, T 2 = 253.1 °F, y A = 2905 2 ft .

Evaluación de proyectos Todos los ejemplos considerados anteriormente fueron peque ños proyectos de inversión donde la función objetivo podí a ser simplificada hasta llegar a los costos o los beneficios. Los proyectos de mayor complejidad requieren de una funci ón objetivo acorde. En la Figura 3 se  Ingresos esos son muestra el flujo de dinero de un proyecto en ejecuci ón. Se puede apreciar aprecia r como los Ingr  son derivados en Costos e  Impuestos para al final producir el ingreso real en la caja denominado Cash flow.

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16

 

Figura 3: Flujo de fondo de un proyecto.

Dado que la DG DGII permite que una empresa reserve parte de su suss Beneficios como c omo fondo de ahorro para reemplazar los bienes perdurables o simplemente recuperar la inversi ón, se utiliza el concepto de Amortización. Existen diferentes métodos para estimar la amortización, el más común es el método de la lí nea nea recta: d 

 I 0

S v

(71)

n

donde Sv es el valor de rescate al cabo c abo de la vida útil de n años del bien que se est á amortizando. Generalmente, los costos de operación se estiman estiman como un % de los costos d dee capita capitall (Peters and Timmerhaus, 1980). Incluyen costos de materias primas, de mano de obra, mantenimiento, servicios, seguros, etc. Los costos de capital incluyen el precio de los equipos, su instalación, la instrumentación, aislación, etc. Una f órmula tí pica pica para estimar estos costos es: C 

(72)

S   

 

donde S  es  es el parámetro de tamaño, las constantes se encuentran tabuladas.

Medidas de rentabilidad Como función objetivo para un proyecto se elegirá al  alg gún í ndice ndice de rentabilidad. En la siguiente tabla se muestran los í ndices ndices más empleados para medir la rentabilidad de un proyecto.

Indice

Inversión inicial concentrada

Inversión distribuida

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Payback period , PBP [años] Se desea el mí nimo nimo valor.

 Return on investment, ROI 

n 1

PBP

Se desea el máximo valor.

Valor presente neto, VAN Se desea el máximo valor.

 

 j 0

PBP

 I  j

n

F   

 j 1

 ROI 

Se desea el máximo valor.

Tasa interna de retorno, TIR = i

 I 0

F  j

 NI   I 0

i

F   I 0

VAN

n

i

(1

F  

(1

i)

n

1

i´ )n

i´  (1

 

 j 1

1 i´ )n

n 1

F  j i) j

(1

 

 j 0

n

 I 0

 j 1

(1

0

i) j

(1

n 1

F  j

VAN   

 I  j

i´ ) j

 

 j 0

 I  j

(1

i´ ) j

 NI : ingreso neto después de los impuestos, se parece a F . i´ : es la tasa de la siguiente mejor alternativa para invertir. Tanto F  (el  (el cash flow) como I  (la  (la inversión) se toman al final del a ño.

Los que más se utilizan son el TIR y el VAN. Cuando se optimiza un proyecto se suele maximizar el TIR o el VAN. Muchas veces se pueden hacer h acer simplificaciones simplifi caciones y basta con ev evaluar aluar los costos o los beneficios como se hizo en los ejemplos anteriores. Ejemplo. La compra de un extrusor. Se va a comprar un extrusor a un costo de $24000, tiene una vida útil de 5 años y un valor de rescate de $4000. $400 0. Los ingresos esperados sson on $12000 el primer año y $15000 los siguientes. Los costos de mantenimientos aumentan con la edad del equipo y son: 2000, 3000, 5000, 7000 y 8000 para cada año respectivamente. La amortización es lineal. Los impuestos son del 50%. Calcule el TIR para las siguientes situaciones: • Sin financiación. • Con el 50% de financiación con pago de capital mas interés a cinco años con una tasa del 10%. Es decir, se pagan anualmente $3170 que se reparte en intereses y capital. Caso a: Sin financiación

A. Ingresos B Costos C Beneficios (A-B)

1

2

3

4

5

12000

15000

15000

15000

15000

2000

3000

5000

7000

8000

10000

12000

10000

8000

7000

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D Amortización

4000

4000

4000

4000

4000

E Ingresos Netos antes de Impuestos (C-D)

6000

8000

6000

4000

3000

F Impuestos (05 E)

3000

4000

3000

2000

1500

G Ingresos Netos después de Impuestos (E-F)

3000

4000

3000

2000

1500

0

0

0

0

4000

7000

8000

7000

6000

9500

H Rescate I Cash Flow (D+G+H)

0

(1

2

i)

3

(1

9500

6000

7000

8000

7000 1 i

i)

4

(1

i)

5

(1

24000

(73)

i)

La solución es TIR = 0.1653 Caso b: Con 50% de financiación 1

2

3

4

5

12000

15000

15000

15000

15000

B Costos   Intereses (10% de la deuda actual)

2000 1200

3000 1000

5000 790

7000 550

8000 290

C Beneficios (A-B)

8800

11000

9210

7450

6710

D Amortización

4000

4000

4000

4000

4000

E Ingresos Netos antes de Impuestos (C-D)

4800

7000

5210

3450

2710

F Impuestos (05 E)

2400

3500

2600

1720

1355

G Ingresos(E-F) Netos después de Impuestos

2400

3500

2610

7730

1355

H Principal (Cuota - Intereses)

1970

2170

2380

2620

2880

0

0

0

0

4000

4430

5330

4230

3110

6495

A. Ingresos

I Rescate J Cash Flow (D+G-H+I)

0

4430 1 i

(1

2

i)

(1

6495

3110

4230

5330

3

i)

(1

4

i)

(1

5

12000

i)

(74)

El TIR es igual a 0.2708. 0. 2708. Es mucho mejor que antes, esto se conoce como efecto palanca. Optimizaci ó  ó n y Simulaci ó  ó n de procesos.  Modelos Modelos y Funci ó  ó n Objetivo  Enrique Eduardo Tarifa - Universidad Nacional de Jujuy.

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